Brukermanual i GeoGebra

Transkript

1 Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger. Programmet er utviklet av Markus Hohenwarter ved Florida Atlantic University, til bruk for elever og lærere. Programmet er gratis og finnes i versjoner for både Windows, Mac OS og Linux. Programmet er oversatt til norsk (bokmål/nynorsk), og har etter hvert fått stor utbredelse. Ved NTNU i Trondheim ble det høsten 2008 stiftet et Norsk GeoGebra Institutt, Norsk GeoGebra institutt er den offisielle norske delen av International GeoGebra Institute, og har som formål å: utvikle gratis GeoGebra-ressurser, tilby kurs og verksteder for lærere ved å bygge opp et nasjonalt nettverk av ressurspersoner, utvikle GeoGebra videre, bidra til nasjonalt og internasjonalt samarbeid om matematikkdidaktisk forskning på bruk av GeoGebra og andre digitale verktøy i undervisningen. Tor Erik Hansen

2 Innholdsfortegnelse Kompetansemål i Vg1T og Vg1P, Vg2T, R1 og R2 som GeoGebra passer til Oppgave 1. Grafen til en funksjon. Funksjonsanalyse Oppgave 2. Skjæringspunkt og areal mellom grafer Oppgave 3. To likninger med to ukjente Oppgave 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangler Oppgave 5. Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler i trekanter Oppgave 6. Konstruksjonsoppgaver Oppgave 7. Vektorregning Oppgave 8. Litt algebra Oppgave 9. Lineær regresjon Oppgave 10. Sentralvinkel og periferivinkel Oppgave 11. Punktets potens Oppgave 12. Medianer Oppgave 13. Midtnormaler Oppgave 14. Høyder i trekanter Oppgave 15. Eulerlinjen Oppgave 16. Halveringslinjer Oppgave 17. Vektorregning Oppgave 18. Regning med vektorkoordinater Oppgave 19. Finn lengde av diagonaler Oppgave 20. Vektorregning Oppgave 21. Punkter på en linje Oppgave 22. Trapes Oppgave 23. Skalarprodukt Oppgave 24. Skalarproduktet i koordinatsystemet Oppgave 25. Bruk av skalarproduktet Oppgave 26. Derivasjon Oppgave 27. Funksjonsdrøfting: Oppgave 28. Drøfting av funksjoner med delt funksjonsuttrykk Oppgave 29. Vektorfunksjoner Oppgave 30. Vektorer Oppgave 31. Logaritmefunksjon Oppgave 32. Eksponentialfunksjoner: Oppgave 32. Vektorfunksjoner Oppgave 33. Vektorregning Oppgave 34. Vektorregning Oppgave 35. Vektorfunksjoner kast av stein Oppgave 36. Vektorfunksjoner partikkel i bevegelse Brukermanual GeoGebra Side 2

3 Kompetansemål i Vg1T og Vg1P, Vg2T, R1 og R2 som GeoGebra passer til. Jeg vil først liste opp noen mål i læreplanen, der GeoGebra med fordel kan brukes. Kompetansemål etter Vg1T Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, tilarbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebrauttrykk løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritmefunksjoner, både med regning og med digitale hjelpemidler (Mål VG1T-T-4) omforme et praktisk problem til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere hvor gyldig løsingen er Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet (VG1T-F-1) beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennomsnittlig vekstfart, finne tilnærmete verdier for momentan vekstfart og gi noen praktiske tolkinger av disse aspektene (VG1T-F-2) gjøre greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utlede en derivasjonsregel for polynomfunksjoner og bruke denne regelen til å drøfte funksjoner (Mål VG1-T-F-3) lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analysere empiriske funksjoner og finne uttrykk for en tilnærmet lineær funksjon (Mål VG1-T-F-4) bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner (VG1T-F-5) Brukermanual GeoGebra Side 3

4 Kompetansemål etter Vg1P Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og Pytagoras setning til utregninger og i praktisk arbeid (VG1P-G-1) løse praktiske problemer som gjelder lengde, vinkel, areal og volum bruke varierte måleenheter og måleredskaper, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktighet tolke og fremstille arbeidstegninger, kart, skisser og perspektivtegninger knyttet til yrkesliv, kunst og arkitektur (VG1P-G-4) lage og kjenne igjen mønster av like eller ulike former som kan fylle hele planet Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å fastsette skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning, og tolke den praktiske verdien av resultatene (VG1P-F-1) omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner gjøre greie for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt (VG1P-F-3) Kompetansemål etter Vg2T Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for det geometriske bildet av vektorer som piler i planet, og beregne sum, differanse og skalarprodukt av vektorer og produktet av et tall og en vektor (VG2T-G-1) regne med vektorer i planet skrevet på koordinatform, beregne lengder, avstander og vinkler med vektorregning og avgjøre når to vektorer er parallelle eller ortogonale (VG2T-G-2) tegne og beskrive kurver på parameterform og beregne skjæringspunkt mellom slike kurver Brukermanual GeoGebra Side 4

5 Kompetansemål etter Matematikk R1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke linjer og sirkler som geometriske steder sammen med formlikhet og setningen om periferivinkler i geometriske resonnement og utregninger utføre og analysere konstruksjoner definert av rette linjer, trekanter og sirkler i planet, med og uten bruk av dynamisk programvare (Mål R1-G-2) utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant (Mål R1-G-3) Gjøre greie for forskjellige bevis for setningen til Pytagoras, både matematisk og kulturhistorisk (Mål R1-G-4) Regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinatform (Mål R1-G-5) Beregne og analysere lengder og vinkler til å avgjøre parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere regneregler for vektorer (Mål R1-G-6) Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbar, og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare bruke formler for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjoner, og derivere summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av disse funksjonene bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner (Mål R1-F-3) tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemidler, og tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen (Mål R1-F-4) finne likningen for horisontale og vertikale asymptoter til rasjonale funksjoner og tegne asymptotene (Mål R1-F-5) bruke vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet, tegne kurven og derivere vektorfunksjonen for å finne fart og akselerasjon Kompetansemål etter Matematikk R2 Funksjoner forenkle og løse lineære og kvadratiske likninger i trigonometriske uttrykk ved å bruke sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene derivere sentrale funksjoner og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjoner (Mål-R2-F-2) omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx, og bruke de til å modellere periodiske fenomener gjøre greie for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt integral som antiderivert (Mål R2-F-4) regne ut integral av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspaltning med lineære nevnere og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å regne ut areal av plane områder og volumer av omdreiiningslegemer (Mål R2-F-6) Brukermanual GeoGebra Side 5

6 Oppgaver og løsninger med GeoGebra. Oppgave 1. Grafen til en funksjon. Funksjonsanalyse. a) Tegn grafen til funksjonen f(x)= 1 + (Mål VG1T-F-1) x x x 8 b) Finn nullpunktene til funksjonen (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) c) Finn ekstremalpunktene (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) d) Finn vendepunktet og likningen for vendetangenten (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) e) Finn arealet som er avgrenset av x-aksen og grafen over x-aksen (Mål R2-F-6) f) Bruk GeoGebra til å studere hvordan den deriverte forandrer seg med x (Mål VG1T-F-3, R1-F-3) Løsning på oppgave 1 a) Åpne GeoGebra. Klikk på Vis. Hak av for Rutenett. Skriv i inntastingsfeltet nederst på skjermen: f(x)=1/3x^3+2x^2-3x-18. Trykk Enter. Vi ser nå at viktige deler av grafen ikke er med på tegneflaten. Høyreklikk en plass på tegneflaten, velg Egenskaper og la x gå frå -8 til 5. Klikk på y-akse og la y gå fra -20 til 10. Klikk på Bruk. Brukermanual GeoGebra Side 6

7 b) Skriv i inntastingsfeltet: Nullpunkt. Når du har skrevet de to første bokstavene kommer hele ordet fram automatisk. Trykk Enter, slik at markøren står mellom klammeparantesene og skriv f (fordi funksjonen heter f). Trykk Enter. Du kan nå lese av nullpunktene i algebravinduet. (Feltet til venstre for der grafen er tegnet.) GeoGebra merker også av nullpunktene på grafen Alternativt kan du klikke på pila ved Kommando til høyre for inntastingsfeltet og bla deg nedover til du finner ordet Nullpunkt. c) Skriv inn Ekstremalpunkt[f] og klikk Enter. Du finner ekstremalpunktene på grafen og algebravinduet. d) Skriv inn Vendepunkt(f) og trykk Enter. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på dette ikonet, og velg Tangenter. Klikk på vendepunktet F og deretter på grafen. Likningen for vendetangenten kommer opp i algebravinduet. e) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[f,-6,-3] og trykk Enter. Arealet er 11,25 f) Velg punktverktøyet og plasser et punkt på grafen. Lag en tangent til grafen i punktet, slik det er beskrevet i løsningen på oppgave 1 d. Dersom GeoGebra kaller denne tangenten for c, skriver du i inntastingsfeltet Stigning[c]. Flytt på punktet og se hvordan verdien for stigningstallet til tangenten forandrer seg. Brukermanual GeoGebra Side 7

8 Oppgave 2. Skjæringspunkt og areal mellom grafer. a) Tegn grafene til disse funksjonene: (Mål VG1T-T-4, VG1T-F-1) f ( x) = x 2 gx ( ) = x+ 6 b) Finn skjæringspunktene mellom grafene. (VG1T-F-1, VG1P-F-1) c) Finn arealet som er avgrenset av de to grafene. (Mål R2-F-6) Løsning på oppgave 2 a) Lag en ny tegning ved å klikke Fil, Ny og svar Nei på spørsmålet om du vil lagre fila du har jobbet med. Skriv inn f(x)=x^2 og trykk Enter. Skriv inn g(x)=x + 6 og trykk Enter. Dersom du vil flytte litt på tegningen, for å få grafene mer midt på skjermen, kan du klikke på dette ikonet og dra koordinatsystemet med grafene dit du vil. b) Skriv i inntastingsfeltet: Skjæring[f,g] og trykk Enter. c) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[g,f,-2,3] og trykk Enter. Vi skriver g foran f, fordi grafen til g ligger lengst oppe. Brukermanual GeoGebra Side 8

9 Oppgave 3. To likninger med to ukjente. a) Bruk GeoGebra til å løse likningssettet (Mål VG1T-T-4) 2x + y = 13 4x -5y = 5 b) La GeoGebra ordne likningene på formen y = a x + b (Mål VG1T-T-4) c) Finn den minste vinkelen mellom disse linjene. d) Åpne ei ny fil og bruk GeoGebra til å lære om stigningstall og konstantledd for lineære funksjoner slik instruks nedenfor viser. Klikk på Fil og velg Ny. Svar Nei for å lagre fila. Skriv i inntastingsfeltet nede på siden i programmet: a = 2 og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter. Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikke glem stjerne som gangetegn mellom a og x. Du må ha * når det er a, b, c osv som konstanter i stedet for tall. Høyreklikk på a i algebravinduet og velg Vis objekt. Du får nå en glider på tegneflaten. Gjør det samme og lag en glider for b. Flytt på en glider om gangen å se hva som skjer når du forandrer a og når du forandrer b. Forklar med egne ord hvordan stigningstallet og konstantleddet påvirker grafen til funksjonen. (Mål VG1P-F-3) Løsning på oppgave 3. a) Skriv 2x + y = 13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4x - 5y = 5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Vi ser nå at grafene skjærer hverandre når x = 5 og y = 3 Om vi vil, kan vi klikke på ikonet for å sette inn punkt, føre musa over skjæringspunktet, slik at begge linjene blir mørkere, og klikke. Då får vi koordinatene til skjæringspunktet (5,3) i algebravinduet Brukermanual GeoGebra Side 9

10 b) Høyreklikk på en av likningene i algebravinduet og velg y = ax + b Gjør det samme med den andre likningen. Da får du de på denne formen: c) Lag et punkt på hvert av vinkelbeina, slik figuren til venstre øverst på neste side viser. Klikk på ikonet for å måle vinkler. Klikk så på punktet på høyre vinkelbein, på skjæringspunktet mellom linjene og til slutt på punktet på venstre vinkelbein. Altså: høyre, spissen, venstre eller B, A og C. Da får du størrelsen på vinkelen mellom de i to linjene, i algebravinduet.. d) Følg oppskriften i oppgaveteksten. Dersom du vil utvide området for glideren, høyreklikker du på den og velger Egenskaper. Du kan da f. eks forandre området til intervallet -10 til 10. Oppgave 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangler. a) Bruk GeoGebra til å lære hvilken effekt forandring av konstantene a, b og c har for grafen til funksjonen f(x) = a x + b x + c (Mål VG1T-F-1, VG1T- F-5) b) Bruk GeoGebra til å lære om sammenhengen mellom integral og sum av rektangler. (Mål R2-F-4) Løsning på oppgave 4 a) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Skriv inn a = 1 og trykk Enter, skriv inn b= -6 og trykk Enter og skriv inn c = 5 og trykk Enter. Skriv inn f(x) =a*x^2+b*x+c. Trykk Enter. Brukermanual GeoGebra Side 10

11 Høyreklikk på konstanten a i algebravinduet og merk av for Vis objekt. Du få nå en glider på tegneflaten. Gjenta det samme for konstantene b og c. Høyreklikk på glideren a, velg Egenskaper og forandre minimumsverdien til -10 og maksimumsverdien til 10 Høyreklikk på glideren b, velg Egenskaper og forandre minimumsverdien til -30 og maksimumsverdien til 30. Gjenta det samme for glideren c som for b. Skriv Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Høyreklikk på bunnpunktet (3,-4), velg Egenskaper og merk av for Vis spor. Flytt på glideren c. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den beine linja som bunnpunktet lager når vi forandrer på c og holder de andre konstantene uendret. Dersom du vil styre glideren mer nøyaktig, kan du klikke på c i algebravinduet og bruke pilene på tastaturet for å flytte glideren. Klikk på denne pila for å fjerne sporene og få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glideren a. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den beine linja som bunnpunktet lager når vi forandrer på a og holder de andre konstantene uendret. Klikk på tilbake-pilen for å få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glideren b. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den kurva som bunnpunktet lager når vi forandrer på b og holder de andre konstantene uendret. b) Klikk på Fil, velg Ny og svar Nei på om du vil lagre. Skriv inn funksjonen f(x) = x 3-8x 2 + x Høyreklikk en plass på grafvinduet og velg Egenskaper. La verdiene på x- aksen gå frå -3 til 9 og verdiene på y-aksen frå -40 til 50. Klikk Bruk. Finn nullpunktene slik du gjorde i oppgave 1 b. Du ser at nullpunktene er (-2,0), (3,0) og (7,0). For å finne det ubestemte integralet, skriver du Integral[f] og trykker Enter. Vi får nå både plottet grafen til fjerdegradsfunksjonen og får uttrykket for denne i algebravinduet. Alle uttrykkene i algebravinduet blir oppgitt med desimaler (dersom det ikke er hele tall.) For å finne det bestemte integralet når x [-2,3], skriver du Integral[f,-2,3] Da får du denne figuren. Brukermanual GeoGebra Side 11

12 Verdien av integralet står både på figuren og i algebravinduet. Vi kan utnytte gliderne til å se at integralet er det samme som summen av uendelig mange rektangler. Skriv n=100, høyreklikk på n i algebravinduet og merk av Vis objekt. Høyreklikk på glideren for n, velg Egenskaper og la n gå frå 1 til 100 med Animasjonsskritt lik1. Skriv SumOver[f,-2,3,n] og flytt på glideren for å se hvordan summen av rektanglene nærmer seg verdien for integralet når n øker. Vi kan selvsagt gjøre det samme for SumUnder[f,-2,3,n]. Brukermanual GeoGebra Side 12

13 Oppgave 5. Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler i trekanter. I læreplanen for R1 står det at en skal kunne utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant (Mål R1-G-3) Denne oppgaven er egnet som en innledende innføring i problemene, før en går løs på de teoretiske bevisene. a) Bruk GeoGebra til å finne ut om medianene (linjestykkene fra et hjørne til midt på motstående side) alltid vil skjære hverandre i samme punkt (Mål R1-G-3) b) Bruk GeoGebra til å finne ut om midtnormalene på sidene i en trekant alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) c) Bruk GeoGebra til å finne ut om halveringslinjene for vinklene i en trekant alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) Løsning på oppgave 5. a) Åpne ei ny fil i GeoGebra og tegn en vilkårlig trekant. Det gjør du slik: Vel dette ikonet for å lage en trekant. Klikk på tegneflaten omtrent slik figuren viser, i rekkefølge A, B, C, A. OBS. Det er viktig å klikke i det samme punktet som vi startet med for å avslutte trekanten. Avsett punktene i rekkefølge mot klokka. Brukermanual GeoGebra Side 13

14 Klikk på den vesle trekanten nede i høyre hjørne på ikonet for punkt, og velg Midtpunkt eller sentrum. Klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Velg Linjestykke mellom to punkt og trekk opp de tre medianene. Plasser et punkt i skjæringspunktet ved å velge verktøyet for Skjæring mellom to objekt. Klikk etter tur på to av medianene Prøv å flytte på hjørnene og se hvordan skjæringspunktet flytter seg. OBS. Husk å klikke på flytteverktøyet (pila oppe til venstre) først. b) Åpne ei ny fil og lag en tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Midtnormal og klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Plasser et punkt i skjæringspunktet, slik det er forklart i oppgave 5 a) Flytt på hjørnene for å se hvordan skjæringspunktet mellom midtnormalene flytter seg. Brukermanual GeoGebra Side 14

15 c) Åpne ei ny fil og lag en tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Halveringslinje for vinkel og klikk på hjørnene i denne rekkefølgen: BAC, CBA og til slutt ACB Oppgave 6. Konstruksjonsoppgaver. a) Sirkelen S er gitt ved likningen x 2 + y 2 = 100 (Mål R1-G-2) S har to tangenter l og m som går gjennom punktet A(2,14) Tangentene rører S i punktene B og C. Finn koordinatene til B og C. b) I et koordinatsystem er en sirkel S1 gitt ved likningen x 2 + y 2-22x +4y +61 = 0 Finn sentrum og radien i sirkelen. (Mål R1-G-2) c) En annen sirkel S2 har sentrum i (-1,3) og radien 5. Vis at sirklene S1 og S2 tangerer hverandre. (Mål R1-G-2) d) Finn koordinatene til tangeringspunktet. (Mål R1-G-2) e) Konstruer nipunktsirkelen (Mål R1-G-2) Løsning på oppgave 6. a) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Vis akser og rutenett. Skriv x^2+y^2=100 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gi sirkelen nytt navn fra c til S ved å høyreklikke på den, og velge Gi nytt navn. Klikk på Bruk. Brukermanual GeoGebra Side 15

16 Vel forminskingsverktøyet og klikk en gang omtrent på origo. Skriv A=(2,14) i inntastingsfeltet og trykk Enter. (OBS. Dersom du skriver a = (2,14) får du ikke et punkt, men en vektor.) Klikk på verktøyet for tangenter, klikk på punktet A og deretter på sirkelen. b) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Vis akser og rutenett. Skriv i inntastingsfeltet x^2 + y^2-22x + 4y + 61 = 0 og trykk Enter. Omdøp sirkelen fra c til S1 ved å skrive S_1 i vinduet for å gi nytt navn. Klikk Bruk. Brukermanual GeoGebra Side 16

17 Zoom ut ved å velge Forminsk og klikk i origo som i oppgave 6a. Velg verktøyet Midtpunkt eller sentrum og klikk på sirkelen. Vi kan nå lese av i algebravinduet at sentrum er (11,-2) Likningen for sirkelen er omformet slik at vi kan lese av både sentrum og radius direkte. Vi ser ar radius er 64 = 8 En alternativ måte å finne radius på, er å velge verktøyet Linjestykke mellom to punkt, klikke i sentrum og deretter på et sted på sirkelen. Vi får da at lengden på linjestykket (radius) er 8. Omdøp dette linjestykket til r1. c) Skriv i inntastingsfeltet: C=(-1,3) og trykk Enter. Velg Sirkel definert ved sentrum og radius, klikk i punktet C, skriv in 5 i feltet for radius og Klikk Bruk. Omdøp sirkelen til S2. Trekk et linjestykke mellom A og C. Vi ser at lengden på dette blir 13. Da radius i S1 er 8 og radius i S2 er 5, må disse to sirklene bare ha ett felles punkt. d) En alternativ måte å vise at disse tangerer hverandre på, er å velge verktøyet Skjæring mellom to objekt. Klikker vi etter tur på de to sirklene, ser vi at skjæringspunktene D og E har felles koordinater (3,62, 1,08) Dette er tangeringspunktet. Brukermanual GeoGebra Side 17

18 e) Her er en punktvis fremgangsmåte for å konstruere nipunktsirkelen: Klikk på Vis og pass på at det ikke er haket av for Akser og Rutenett. Klikk på nedtrekkstrekanten nede i høyre hjørne på knappen for linjer. Velg Linjestykke. Lag en trekant ved å trekke opp linjestykkene AB, BC og CA. Dersom du vil ta bort navnene på linjestykkene, høyreklikker du på ett av dem og fjerner haken for Vis navn. Gjenta for alle linjestykkene. Finn nå midtpunktene på hvert av linjestykkene. Det gjør du ved å klikke på nedtrekkstrekanten på punktknappen A. Velg Midtpunkt eller sentrum. Klikk på et av linjestykkene. Gjenta for alle tre linjestykkene. Nå kan du finne fotpunktene for høydene fra hvert av punktene A, B og C. Dette gjør du ved å velge verktøyet Vinkelrett linje. Start med å klikke på punktet A og deretter på linjestykket BC. Gjenta for de to andre punktene B og C. Vi vil nå markere fotpunktene. Vi velger da verktøyet for å finne skjæringspunkt. Klikk etter tur på skjæringspunktene for linjene, der fotpunktene er. Pass på at begge linjene blir mørke og tykkere før du klikker. Klikk også på punktet der alle tre høydene skjærer hverandre i trekanten. Dette punktet kaller vi ortosenteret. Vi vil ikke ha høydene som lange linjer, men som linjestykker. Høyreklikk etter tur på disse lange linjene og fjern merkene foran Vis objekt. Velg nå verktøyet for linjestykker igjen, og merk av slike linjestykker mellom et hjørne og fotpunktet for høyden. Gjenta for alle tre høydene. Høyreklikk på linjestykkene og fjern merkene foran Vis navn. Vi kan få høydene stiplet ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, velge ei stiplet linje under Linjestil og klikke Bruk. Nå gjenstår det å finne midtpunktene mellom hvert av hjørnene og ortosenteret. Velg verktøyet for midtpunkt (se punkt 6 i denne forklaringen) og finn de siste tre punktene. Figuren skal nå se ut som den du finner under: Brukermanual GeoGebra Side 18

19 Til slutt skal vi tegne sirkelen gjennom de 9 aktuelle punktene. Vi velger nå verktøyet for å tegne en sirkel ut fra tre punkt: Klikk på tre fritt valgte punkt av de ni som ligger på nipunktsirkelen. Da er figuren ferdig. Klikk på pila oppe til venstre på skjermen (verktøyet for å flytte på punkt og andre deler av figuren.) Klikk på ett av hjørnene i trekanten, flytt på punktet med musetasten nede og se hvordan nipunktsirkelen forandrer seg. Oppgave 7. Vektorregning. a) Vi har vektorene v = [ 6,4 ] og u = [-2,3] Tegn vektorene som piler i koordinatsystemet. (Mål VG2T-G-1, R1-G-5) b) Finn ut om vektorene står på hverandre. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) c) Hva blir summen av vektorene? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) d) Regn ut 1 w= v + 2u (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) 2 e) Du starter i punktet A, som har koordinatene (10,1). Hva er koordinatene til B om w= AB (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) Brukermanual GeoGebra Side 19

20 Løsning på oppgave 7 Først litt om vektorer i GeoGebra: Dersom du skriver A=(2,5) får du punktet A. Dersom du skriver a=(7,3) får du vektoren a avtegnet som ei pil med start i origo og som ender i punktet (7,3) Dersom du skriver A + a, får du avtegnet et punkt B, som har koordinatene til endepunktet for en vektor a med start i A. Skriver du v = A+ a, får du tegnet en vektor med start i origo og som ender i punktet B. a) Åpne en ny GeoGebra-fil. Vis akser og rutenett. Skriv v=(6,4) og trykk Enter. Skriv u=(-2,3) og trykk Enter. b) Skriv inn: Skalarproduktet=u*v og trykk Enter. Vi ser at Skalarproduktet blir 0. u v c) Skriv: sum=u+v og trykk Enter. Vi ser at summen av vektorene blir [4,7], men GeoGebra skriver verktorkoordinater slik: (4,7) Skriver vi Sum i stedet for sum, får vi et punkt fordi vi startet med stor bokstav. Vi trenger ikke skrive Skalarproduktet= eller sum=, men det gjør det lettere å se hva vi har regnet ut. Vi kunne ha skrevet bare u*v og u+v. Da hadde GeoGebra gitt navn på resultatene. d) Skriv w=1/2*v+2*u og trykk Enter. Vi får tegnet svaret som en vektor med start i origo og som ender i (-1,8). I algebravinduet står det w=(-1,8) Vi kan se at dette stemmer med utregningene: = + = + = [ 6, 4 ] 2 [ 2,3 ] [ 3, 2 ] [ 4,6 ] [ 3 4, 2 6 ] [ 1,8 ] e) Skriv A=(10,1) Skriv B=A+w og trykk Enter. Vi ser at koordinatene til B blir (9,9) Dersom vi skriver vektor[a,b] og trykker Enter, finner vi at denne vektoren (som GeoGebra kaller z) har koordinatene [-1,8]. Dette skriver GeoGebra slik: (-1,8) Vi ser at z+ w Brukermanual GeoGebra Side 20

21 Oppgave 8. Litt algebra. Hittil har det vært mye funksjoner og geometri og lite av algebra. Algebra-delen til GeoGebra avgrenser seg stort sett til å finne uttrykk for den deriverte, ubestemte integral og utregning av parenteser som inneholder x. GeoGebra kan altså utføre litt algebra med bokstaven x. Alle andre bokstaver må være definerte tallverdier. a) Du skal finne en tredjegradsfunksjon som har ekstremalpunkt for x1 = -3og x2 = 7. Konstantleddet i tredjegradsfunksjonen er 0. b) Finn den femtederiverte av x 2 sin( x) c) Multipliser ut 4 ( x 2) Løsning på oppgave 8 a) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Vis algebravindu. Klikk og dra i kanten mellom algebravinduet og tegneflaten slik at algebravinduet blir litt bredere. Skriv: f(x)=(x+3)(x-7) og trykk Enter. Skriv: Integral[f] og trykk Enter Du får den søkte funksjonen gx ( ) = x 2x 21x. 3 Høyreklikk på f(x) i algebravinduet og fjern haken for Vis objekt. Høyreklikk på tegneflaten, klikk på x-akse:y-akse og la forholdet være 1:10 Bruk verktøyet for å flytte tegneflaten og flytt på grafen slik at du får med både toppunkt og bunnpunkt. Brukermanual GeoGebra Side 21

22 b) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Skriv f(x) = x^2*sin(x) og trykk Enter. Vi finner den deriverte ved å skrive f (x), den dobbelderiverte ved å skrive f (x) og den femtederiverte ved å skrive f (x) Skriv g(x) =f (x) og trykk Enter. Vi får da at: g(x) = -20 cos(x)+ x cos(x) +10 x sin(x) c) Lag ei ny GeoGebra-fil. Skriv Polynom[(x-2)^4] og trykk Enter. Da får du at ( x 2) = x 8x + 24x 32x+ 16 Her er en interessant variant, der vi utnytter glidere og kan bruke dette til å finne binomialkoeffisienter. Skriv inn n=1 og trykk Enter. Skriv a=1 og trykk Enter. Skriv f(x) = Polynom[(x-a)^n] og trykk Enter. Høyreklikk etter tur på n og a og lag glidere for disse ved å hake av for Vis objekt. Høyreklikk på gliderne, velg Egenskaper og la dem gå frå 1 til 5. La animasjonsskrittene være 1. Klikk på glideren for a og se hvordan utregningen forandrer seg. Brukermanual GeoGebra Side 22

23 Oppgave 9. Lineær regresjon. I virkeligheten skal vi ofte samle inn data om ulike størrelser for så å finne et matematisk uttrykk som beskriver sammenhengen mellom disse størrelsene. Ofte vil vi ikke kunne finne et uttrykk som helt nøyaktig beskriver sammenhengen mellom størrelsene. Vi skal nå vise hvordan vi kan finne et utrykk for sammenhengen mellom to størrelser som er tilnærmet lineære. Tabellen nedenfor viser antall elever som har valgt fordypning i matematikk i årene 2003 til 2006 ved Mandal videregående skole. År Antall elever a) Finn en lineær funksjon som gir et best mulig uttrykk for de oppgitte verdiene. (Mål VG1-T-F-4) Løsning på oppgave 9 a) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Vis Regneark. Juster størrelsen på regnearket ved å dra i venstre kant, og legg inn dataene fra tabellen i regnearket, med år i kolonne A og antall elever i kolonne B. Husk at år er antall år etter b) Merk alle tallene i regnearket og trykk på høyre mustast, og marker Lag liste med punkter. Brukermanual GeoGebra Side 23

24 c) Vi ser at vi får en liste med avhengige punkter i algebravinduet, kalt L 1. (Skrives L_1). Når kan vi bruke en kommando som heter RegLin. Den kan vi enten skrive inn i inntastingsfeltet, eller hente fra Kommandooversikten. Når vi har skrevet, eller hentet kommandoen, må vi legge inn navnet på Lista, kalt L 1. (Skrives L_1), mellom klammeparentesene, og trykke Enter. d) Vi får tegnet opp grafen til en den lineære funksjonen som passeer best til de oppgitte verdiene. For å endre funksjonsuttrykket ax+by=c til et funksjonsuttrykk av typen y=ax+b, markerer vi utrykket og trykker på y=ax+b. Da får vi en funksjon som vi kjenner igjen som en vanlig lineær funksjon, og som er svaret på oppgaven. Brukermanual GeoGebra Side 24

25 Oppgave 10. Sentralvinkel og periferivinkel Oppgave: Tegn en sirkel med radius lik 5. Kall sentrum A. Tegn 3 punkter B, C og D på sirkelen. Beregn vinklene α = CBD og β= CAD. Hvilken sammenheng er det mellom α og β? Løsning: Klikk på Vis og deretter på Akser. Du kan slå av og på visningen av akser og rutenett ved å klikke etter tur på disse. Nå får du en blank tegneflate uten akser eller rutenett. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne av ikonet for sirkler og deretter på Sirkel definert ved sentrum og radius. Klikk omtrent midt på tegneflaten, skriv 5 i ruten for Radius og klikk Bruk. Programmet kaller automatisk sentrum i sirkelen for A. Klikk på ikonet for å sette inn punkt. Brukermanual GeoGebra Side 25

26 Plasser tre punkter B, C og D på sirkelen, omtrent slik figuren nedenfor viser. Klikk på den vesle trekanten nede i høyre hjørnet på ikonet for linjer og linjestykker. Velg Linjestykke mellom to punkt. Lag linjestykkene BC, BD, AC og AD OBS. Du tegner linjestykket BC ved å klikke på B slippe og så klikke på C. Du skal ikke holde nede musetasten og dra. Vi ønsker ikke å se navnene på linjestykkene, og fjerner disse navnene ved å høyreklikke på dem etter tur og så klikke på Vis navn, slik at haken foran forsvinner. Til slutt vil vi måle vinklene CBD og CAD. Skriv i inntastingsfeltet nederst på siden: α = Klikk deretter på pila til høyre for Kommando nederst til høyre på skjermen. Velg Vinkel. I inntastingsvinduet fullfører du nå uttrykket, slik at det står: α =Vinkel[C,A,D]. Trykk Enter Brukermanual GeoGebra Side 26

27 OBS. Det er veldig viktig at du skriver punktene i denne rekkefølgen: punkt på høyre vinkelbein, punkt i vinkelspiss og punkt på venstre vinkelbein. Skriv inn β =Vinkel[C,B,D], på samme måte som for vinkelen α. Høyreklikk på de markerte vinklene, velg Egenskaper og skift til Vis navn og verdi. Om du vil kan du flytte litt rundt på navn og verdi for vinklene. Du kan rydde bort unødvendige opplysninger i algebravinduet til venstre på skjermen. Det gjør du ved å høyreklikke på de opplysningene som du vil skjule, og markerer dem som Hjelpeobjekt. Klikk så på Vis på verktøylinja og på Hjelpeobjekter for å skjule denne mappa. Klikk på ikonet for flytting (pila helt oppe til venstre på skjermen.) Flytt punktet B på sirkelen ved å klikke på det og dra punktet med musetasten nede. Hva skjer med vinklene α og β? Flytt så på ett av punktene C eller D. Hva skjer med vinklene α og β nå? Kan du finne en regel for forholdet mellom disse vinklene? Brukermanual GeoGebra Side 27

28 Oppgave 11. Punktets potens Oppgave: Tegn en sirkel med radius lik 5. Kall sentrum A. Tegn et punkt B utenfor sirkelen. Tegn en stråle fra punktet B, slik at den skjærer sirkelen i to punkter. La C og D være skjæringspunktene mellom strålen og sirkelen. Regn ut lengden b av BD og lengden d av BC. Regn ut produktet α = b d. Flytt punktet C opp og ned langs sirkelen. Hva skjer med produktet α = b d.? Løsning: Start GeoGebra. Fjern aksene og lag en sirkel med radius 5 cm, slik det er forklart i løsningen på oppgave Høyreklikk på sentrum i sirkelen, velg Gi nytt navn, kall punktet S og klikk Bruk. Klikk på ikonet for å sette inn punkt. Plasser et punkt utenfor sirkelen. Gi punktet nytt navn og kall det P. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørnet på ikonet for linjer og linjestykker. Velg Stråle. Klikk på punktet P og deretter på et sted på sirkelen som ligger omtrent slik som punkt A på figuren under. Brukermanual GeoGebra Side 28

29 Klikk på ikonet for å sette inn punkt. Klikk på det andre skjæringspunktet mellom strålen og sirkelen. Pass på at både strålen og sirkelen blir mørkere før du klikker. GeoGebra har nå kalt de to skjæringspunktene for A og B. Klikk i inntastingsvinduet og skriv PA= Klikk på pila til høyre for Kommando nede til høyre på skjermen. Velg Avstand. Fullfør uttrykket i inntastingsvinduet slik at der står: PA=Avstand[P,A] Trykk Enter. Gjør det samme med PB=Avstand[P,B] Skriv i inntastingsvinduet: Produkt=PA*PB. Trykk Enter. Klikk på ikonet for å flytte objekter. Flytt punkt A opp og ned langs sirkelen. Hva skjer med produktet PA*PB? Flytt på punkt P. Flytt igjen på punkt A. Hva skjer med produktet PA*PB? Kan du ut fra dette formulere en regel for produktet? Brukermanual GeoGebra Side 29

30 Oppgave 12. Medianer Oppgave: Tegn en trekant og konstruer medianene fra hvert hjørne i trekanten. Hvordan er det med skjæringspunktene mellom medianene? Skjæringspunktet deler medianene i to deler. Finn forholdet mellom lengdene av disse to delene. Løsning: Klikk på Vis. Det skal ikke være merke foran verken Akser eller Rutenett. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne av ikonet for linjer og linjestykker og velg Mangekant nederst i menyen. Lag en trekant ved å klikke på tre punkt på tegneflaten. Programmet kaller disse punktene for A, B og C. Pass på å lukke trekanten ved å klikke i punkt A, som du startet med. Brukermanual GeoGebra Side 30

31 Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på ikonet for punkt og velg Midtpunkt eller sentrum Før musetasten over sidene i trekanten og klikk på hver av dem etter tur. Klikk på den lille trekanten for å få fram menyen for linjer og linjestykker. Velg Linjestykke mellom to punkt og trekk opp linjestykker mellom hvert hjørne i trekanten og midtpunktet på motstående side. OBS. Klikk på et punkt, slipp opp og klikk på neste punkt, når du skal lage et linjestykke. Brukermanual GeoGebra Side 31

32 Klikk på den lille menytrekanten på ikonet for å sette inn punkt. Velg Skjæring mellom to objekter. Før musetasten over en av medianene og klikk. Gjenta dette for en annen av medianene. Velg ikonet for å flytte på objekt, og flytt på hjørnene i trekanten. Hva skjer med skjæringspunktet for medianene? Skriv i inntastingsvinduet: Forhold1=Avstand[A,G]/Avstand[G,E] Trykk Enter Skriv i inntastingsvinduet: Forhold2=Avstand[B,G]/Avstand[G,D] Trykk Enter Skriv i inntastingsvinduet: Forhold3=Avstand[C,G]/Avstand[G,F] Trykk Enter Flytt igjen på hjørnene i trekanten. Kan du ut fra dette formulere en regel om hvordan skjæringspunktet deler lengden av en median? Brukermanual GeoGebra Side 32

33 Oppgave 13. Midtnormaler Oppgave: Tegn en trekant og konstruer midtnormalen på hver av sidene i trekanten. Undersøk skjæringspunktet mellom midtnormalene. Slå en sirkel om skjæringspunktet mellom midtnormalene, slik at den går gjennom et av hjørnene i trekanten. Hvilken sammenheng er det mellom de andre hjørnene i trekanten og denne sirkelen? Løsning: Klikk på Vis. Det skal ikke være merke foran verken Akser eller Rutenett. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne av ikonet for linjer og linjestykker og velg Mangekant nederst i menyen. Brukermanual GeoGebra Side 33

34 Lag en trekant ved å klikke på tre punkt på tegneflaten. Programmet kaller disse punktene for A, B og C. Pass på å lukke trekanten ved å klikke i punkt A, som du startet med. Du kan fjerne navnene på sidene ved å høyreklikke på hver av dem etter tur og fjerne merket for Vis navn. Vil du forandre utseende på trekanten, kan du høyreklikke på den, velge Egenskaper, forandre fargen til blå og øke fyllgraden til 25 %. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på det ikonet som er nummer fire fra venstre. Velg Midtnormal. Klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Etterpå an du evt. høyreklikke på midtnormalene, velge Egenskaper og forandre linjestil til en stiplet linje. Klikk på den lille menytrekanten på ikonet for å sette inn punkt. Velg Skjæring mellom to objekter. Brukermanual GeoGebra Side 34

35 Før musetasten over en midtnormal og klikk. Gjenta for en annen midtnormal. Velg ikonet for å flytte på objekt, og flytt på hjørnene i trekanten. Hva skjer med skjæringspunktet for midtnormalene? Velg ikonet for å lage sirkler. Velg Sirkel definert ved sentrum og punkt. Klikk på D (som sentrum) og deretter på ett av hjørnene i trekanten. Du kan gjerne trekke linjestykker fra D til hjørnene og stiple disse. Vil du kalle dem r, må du velge verktøyet for å sette inn tekst, klikke utenfor trekanten, skrive r, klikke på Bruk, velge flytteverktøyet og flytte r-en til rett plass. Hvorfor er det like langt fra D til hvert av hjørnene? Brukermanual GeoGebra Side 35

36 Oppgave 14. Høyder i trekanter Oppgave: Tegn en trekant og konstruer høyden fra hvert av hjørnene i trekanten. Hvordan er det med skjæringspunktet mellom høydene? Løsning: Klikk på Vis. Det skal ikke være merke foran verken Akser eller Rutenett. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne av ikonet for linjer og linjestykker og velg Mangekant nederst i menyen. Lag en trekant ved å klikke på tre punkt på tegneflaten. Programmet kaller disse punktene for A, B og C. Pass på å lukke trekanten ved å klikke i punkt A, som du startet med. Brukermanual GeoGebra Side 36

37 Du kan fjerne navnene på sidene ved å høyreklikke på hver av dem etter tur og fjerne merket for Vis navn. Vil du forandre utseende på trekanten, kan du høyreklikke på den, velge Egenskaper, forandre fargen til blå og øke fyllgraden til 25 %. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på det ikonet som er nummer fire fra venstre. Velg Vinkelrett linje. Klikk på et hjørne i trekanten, og på den motstående siden. Gjenta dette for alle hjørnene med motstående sider. Brukermanual GeoGebra Side 37

38 Klikk på ikonet for punkt og velg Skjæringspunkt. Klikk så på en side i trekanten og den linja som går gjennom motstående hjørne og er vinkelrett på siden. Gjenta dette for alle sidene i trekanten. Vi høyreklikker nå på hver av linjene som er vinkelrett på sidene i trekanten, og fjerner haken for Vis objekt. Velg ikonet for linjestykke og trekk linjestykker fra hvert av hjørnene og ned på de motstående sidene i trekanten. Om vi vil, kan vi høyreklikke på hver av høydene, velge Egenskaper og forandre Linjestil eller farge. Velg ikonet for å flytte på objekter, og flytt på hjørnene i trekanten. Hva skjer med skjæringspunktet for høydene? Brukermanual GeoGebra Side 38

39 Oppgave 15. Eulerlinjen. Oppgave: Ta fram fila Eulerlinjen.ggb og følg anvisningen. Brukermanual GeoGebra Side 39

40 Oppgave 16. Halveringslinjer Oppgave: Tegn en trekant og konstruer halveringslinja for hver av de tre vinklene i trekanten. Hvordan er det med skjæringspunktet mellom de tre linjene? Slå en sirkel med sentrum i skjæringspunktet slik at den tangerer en av sidene i trekanten. Hvordan går sirkelen i forhold til de to andre sidene? Løsning: Tegn en trekant med verktøyet Mangekant. Klikk på menytrekanten på dette ikonet, slik det er vist nedenfor, og velg Halveringslinje for vinkler. For å halvere BAC, klikker du på punktene B, A og C i den rekkefølgen. Det er viktig at du går fra punkt på høyre vinkelbein, til spiss til punkt på venstre vinkelbein. For å halvere ACB, klikker du på punktene A, C og B i den rekkefølgen. For å halvere CBA, klikker du på punktene C, B og A i den rekkefølgen. Om du vil, kan du stiple disse halveringslinjene for vinklene. Bruk verktøyet Skjæring mellom to objekter, slik vi har forklart tidligere, og finn skjæringspunktet for halveringslinjene. Brukermanual GeoGebra Side 40

41 Vi skal nå lage en sirkel med sentrum i D, og som tangerer ei av sidene i trekanten. Da må vi først finne et slikt tangeringspunkt. Klikk på ikonet for Vinkelrett linje. Klikk på punkt D og deretter på grunnlinja c. Bruk verktøyet Skjæring mellom to objekter og finn tangeringspunktet E. Skjul linja gjennom D og E ved å høyreklikke på den og fjern merket for Vis objekt. Velg verktøyet Sirkel definert ved sentrum og punkt. Klikk på punktet D og deretter på E. Vi kan nå finne de andre tangeringspunktene ved å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekter. Flytt på A, B og C. Det sr ut til at sirkelen er innskrevet i trekanten. Brukermanual GeoGebra Side 41

42 Oppgave 17. Vektorregning Vektorer på koordinatform Oppgave: a) Tegn punktene ( ) ( ) A 2, 3, B 2, 2, C(3, 2) og D( 1,1) i et koordinatsystem. b) Skriv vektorene AB, BC, DC og AD på koordinatform. c) Hva slag figur er ABCD? Oppgaveløsning: Skriv inn koordinatene til punktene A, B, C og D i inntastingsfeltet og trykk Enter. Når det er gjort, skal vi trekke vektorene mellom punktene. Kall dem henholdsvis AB, BC, CD og AD. Skriv: og gjenta for resten av vektorene. Trekk vektorene AB, BC, DC og AD. Vi kan lese av vektorkoordinatene direkte på bildet. Vi ser og at AB = DC og AD = BC. Vi vil sjekke lengden av vektorene for å finne ut om ABCD er en rombe. Skriv: AD. Da disse vektorene har samme lengde, er ABCD en rombe. og gjenta det samme for Brukermanual GeoGebra Side 42

43 Oppgave 18. Regning med vektorkoordinater Oppgave: Vektorene u = [ 3, 1) ] og v = [ 1, 2) ] er gitt. a) Finn koordinatene til 2u+ 6 v. Oppgaveløsning: Skriv i inntastingsfeltet Skriv i inntastingsfeltet u = (3, 1) og trykk Enter. v = ( 1, 2) og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet w=2u+6v og trykk Enter. Da får vi svaret w = [0,10], som GeoGebra skriver slik. Regning med vektorkoordinater Oppgave: Punktene a(-2,-2) og B(4,7) er gitt. Et punkt C ligger på linjestykket mellom A og B slik at C deler AB i forhold 2:1. Finn koordinatene til C. Oppgaveløsning: Skriv inn A=(-2,-2) og B=(4,7). Husk å zoome ut slik at du får begge punktene på tegneflaten. Skriv inn u=vektor[a,b]. Skriv inn C=A+2/3u og trykk Enter. Vi må bruke 2/3 fordi det totalt er 3 deler og vi skal dele i 2:1. Punktet C blir plassert på linja fra A til B, og får koordinatene (2,4) Brukermanual GeoGebra Side 43

44 Oppgave 19. Finn lengde av diagonaler I parallellogrammet ABCD er A( 1,1), B(4, 1), C (3,3) og D( 2,5). a) Finn lengden av sidene. b) Finn lengden av diagonalene. Oppgaveløsning: Skriv inn koordinatene til A, B, C og D. Trekk linjestykker mellom punktene. Trekk og linjestykker for diagonalene. Vi kan nå lese av lengdene rett fra algebravinduet. Brukermanual GeoGebra Side 44

45 Oppgave 20. Vektorregning Oppgave Undersøk om vektorene [12,8] og [15,10] er parallelle. Oppgaveløsning. Skriv inn u=(12,8) og v=(15,10) For å sjekke dette, regner vi ut a=u/12 og b=v/15. Da ser vi at vektorene (a og b) har samme koordinater. Oppgave 21. Punkter på en linje Finn ut om punktene A=(-2,3), B=(1,-3) og C=(2,-5) ligger på linje. Oppgaveløsning. Skriv inn punktene A=(-2,3), B=(1,-3) og C=(2,-5). Velg Linje gjennom to punkt og dra ei linje mellom A og B, og ei ny linje gjennom A og C. Vi får nå likningene for disse linjene i algebravinduet. På denne formen er det vanskelig å se om linjene er identiske. denne Høyreklikk på begge disse likningene og velg Likning y = ax + b. Nå kan vi se at likningene for linjene er identiske, og punktene A, B og C må derfor ligge på ei rett linje. Brukermanual GeoGebra Side 45

46 Oppgave 22. Trapes. AB og CD er de parallelle sidene. Punktet D ligger på linja med ligningen y = x+ 4. Finn koordinaten til D. I trapeset ABCD er A ( 1,0 ), B( 3,1 ) og C( 2, 4) Oppgaveløsning. ( ) ( ) ( Skriv inn A= 1,0, B= 3,1 og C= 2,4). Velg Linjestykke mellom to punkt og trekk linjestykkene mellom AB og BC. Velg Parallell linje. Klikk på C og deretter på linjestykke AB. Skriv deretter likninga for linja som skal gå gjennom D, y = x+ 4, i inntastingsfeltet. Velg kommandoen for Skjæringspunkt mellom to objekt, og klikk etter tur på de to linjene. Da kan vi lese at koordinatene til D er (-2,2). Til slutt trekker vi linjestykket AD. Brukermanual GeoGebra Side 46

47 Oppgave 23. Skalarprodukt Oppgave e = 1, 0, e = 0,1 og v = 12,5 La [ ] [ ] [ ] 1 2 a) Tegn vektorene b) Finn v. c) Finn cosu der u er vinkelen mellom v og e1 d) Regn ut skalarproduktet v e1 e) Finn skalarproduktet v e2 Oppgaveløsning Skriv i inntastingsvinduet e_1=(1,0) og trykk Enter. Skriv i inntastingsvinduet e_2=(1,0) og trykk Enter. Skriv i inntastingsvinduet v=(12,5) og trykk Enter. Zoom med musa slik at du ser alle vektorene Skriv inn lengde_v= Lengde() v og trykk Enter. Du vil se at lengden av vektoren v=13 Skriv cos( Vinkel[( v, e _1)]. Vi ser at cosinus til vinkelen er 0,923. Ved å snu på formelen for skalarproduktet, kan vi få den eksakte verdien Skriv inn Skal arprodukt1 = v* e_1 og trykk Enter. Skriv inn Skalarprodukt2 = v* e_ 2 og trykk Enter. Brukermanual GeoGebra Side 47

48 Oppgave 24. Skalarproduktet i koordinatsystemet. Oppgave: Punktene A( 1, 1), B(1,1), C(2,3) og D(-3,4) er gitt. a) Regn ut AC BD. b) Hva kan du nå si om AC og B D? Oppgaveløsning: Skriv inn koordinatene til punktene A( 1, 1), B(1,1), C(2,3) og D(-3,4). Trekk vektorene fra A til C og fra B til D, og kall disse vektorene u og v. Skriv i inntastingsfeltet: Skalarproduktet=u*v og trykk Enter. Vi ser at skalarproduktet er 0. Det betyr at AC BD Brukermanual GeoGebra Side 48

49 Oppgave 25. Bruk av skalarproduktet Oppgave: I ABCD er A( 3.2), B(3, 1), C(5, 4) og D(0,5). Finn vinklene i firkanten. Oppgaveløsning: Skriv koordinatene til punktene: A= ( 3.2), B = (3, 1), C = (5,4) og D = (0,5). Trekk en mangekant mellom punktene og klikk på kommandoen for vinkel. Klikk et sted i mangekanten. Vi kan nå lese av vinklene i algebravinduet. Brukermanual GeoGebra Side 49

50 Oppgave 26. Derivasjon Oppgave: La funksjonen f være gitt ved at 1 f( x) = 2 x a) Finn f '( x ). b) Finn vekstfarten når x=1. c) Finn likningen for tangenten i punktet (1,( f (1)). d) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem. Oppgaveløsning: Skriv inn f( x) = 1/ x^2 Derivert ( f ) og trykk Enter. Skriv og trykk Enter. Høyreklikk på uttrykket f '( x) og fjern merket for Vis objekt. På denne måten vises bare uttrykket og ikke grafen til den deriverte. Skriv f '( x ). Vi får da vekstfarten -2 når x=1. Skriv inn (1, ( f (1)). Vi får da merket av dette punktet på grafen til f ( x ). Klikk på kommandoen for tangenter. Klikk på punktet A og deretter på grafen til f. Vi kan nå lese av i algebravinduet at likningen for denne tangenten er y = -2x+3. Brukermanual GeoGebra Side 50

51 Oppgave 27. Funksjonsdrøfting: Oppgave: Funksjonen f er gitt ved f ( x) 1 f x = x x x ( ) 3 9 a) Finn toppunktet og bunnpunktet til f. b) Tegn grafen til f. c) Finn likningen for tangenten i punktet ( 2, f ( )). d) Finn likningen til en annen tangent som er parallell til denne tangenten. Oppgaveløsning: Skriv inn f( x) = 1/3x^3-x^2-3x+9 og trykk Enter. Zoom for å få et godt utsnitt av grafen. Skriv Ekstremalpunkt [ f ] og trykk Enter. Vi får merket punktene A og B. Skriv inn ( 2, f (( 2)). Vi får merket dette punktet C på grafen til f ( x ). Klikk på kommandoen for tangenter. Klikk på det aktuelle punktet C, og deretter på grafen. 1 Vi leser av i algebravinduet at likningen for tangenten blir y = 5x+18 3 Klikk på et punkt D på figuren nedenfor, og lag en tangent til dette punktet D. Velg Flytt-kommandoen stigningstall, +5. Likningen for den andre tangenten blir: og flytt på punktet D, til likningen for tangenten får samme 2 y = 5x+17 3 Brukermanual GeoGebra Side 51

52 Oppgave 28. Drøfting av funksjoner med delt funksjonsuttrykk. Oppgave: Funksjonen f er gitt ved f( x) = 3 x x 3, x 2 2 x 8 14 x >2 x + a) Finn f '( x ). b) Finn eventuelle toppunkter og bunnpunkter. c) Tegn grafen til f ( x ). Oppgaveløsning: Skriv f ( x) = Dersom[ x <= 2, x ^ 3 3 x, x ^ 2 8x + 14] og trykk Enter. Vi finner den deriverte ved å skrive Derivert[f] og trykk Enter. Skal vi finne toppunkt og bunnpunkt, må vi skrive Ekstremalpunkt[x^3-3x] og trykke Enter, plassere et punkt i knekkpunktet ved hjelp av Nytt punkt og skrive Ekstremalpunkt[x^2-8x+14] og trykke Enter. Brukermanual GeoGebra Side 52

53 Oppgave 29. Vektorfunksjoner Fart og akselerasjon Oppgave: En bil kjører på en vei med jevn fart. I løpet av 10 s øker sjåføren farten og holder deretter farten konstant igjen. Etter t sekunder med fartsøkning har bilen kjørt st () meter, der st t t t 3 2 ( ) = 0,02 + 0,6 + 15, t [0,10] a) Finn farten vt () og akselerasjonen at () etter t sekunder. b) Finn farten før fartsøkningen. c) Finn farten etter fartsøkningen. d) Finn akselerasjonen etter 5 sekunder. Oppgaveløsning: Vi må bruke variabelen x i stedet fort. Skriv s(x)=funksjon[-0.02x^3+0.6x^2+15x,0,10] og trykk Enter. Vi må bruke desimalpunktum (.) i stedet for desimalkomma (,), og vi må zoome slik at x går fra 0 til 11 og y fra 0 til 200. Finn farten ved å skrive Derivert[s] og trykk Enter. Finn akselerasjonen ved å skrive Derivert[s,2] og Enter. Finn farten før akselerasjonen ved å skrive s (0) og trykk Enter. Finn farten etter akselerasjonen ved å skrive s (10) og trykk Enter. Finn akselerasjonen etter 5 sekund ved å skrive s (5) og trykk Enter. Brukermanual GeoGebra Side 53

54 Oppgave 30. Vektorer Logaritmefunksjonen Oppgave: Deriver funksjonen: hx x x x 2 ( ) = ln( + ) Oppgaveløsning: Skriv inn hx ( ) = 3x+ 2 + ln( x^ 2 + x) og trykk Enter. Skriv inn Derivert[h] og trykk Enter. Oppgave 31. Logaritmefunksjon Forskere tror at det om x år kommer til å være G(x) gauper innenfor et bestemt område, der Gx ( ) = ln( x+ 1), x [ 0,10] a) Finn gaupebestanden om 5 år. b) Bruk den deriverte til å anslå veksten i gaupebestanden i det 5. året. Oppgaveløsning: Skriv G(x)=Funksjon[100+60*ln(x+1),0,10] og trykk Enter. a) Skriv a=g(5) og trykk Enter. Svaret blir 207,51, som betyr ca gauper om 5 år. b) Skriv G (5) og trykk Enter. Bestanden vokser med 10 dyr det 5. året. c) Vi har laget en tangent (y=10x ) i punktet (5,G(5)) og fant stigningstallet=10. Brukermanual GeoGebra Side 54

55 Oppgave 32. Eksponentialfunksjoner: Oppgave: Funksjonen f er gitt ved 2 ( ) x x f x = e 4e a) Finn nullpunktet ved regning b) Finn bunnpunktet til f. c) Finn vendepunktet til f. d) Finn likningen for tangenten i vendepunktet. e) Tegn grafen og tangenten i vendepunktet i et koordinatsystem. Oppgaveløsning: Skriv f ( x) = e^(2 x) 4* e^ xog trykk Enter. Husk å bruker konstanten e som står i lista i nedtrekksmenyen til høyre for inntastingsfeltet. Når vi ikke har en polynomfunksjon, trenger GeoGebra et startpunkt for å lete etter nullpunkt. Vi lar programmet få startverdien x=1. A=Nullpunkt f,1 og trykk Enter. Skriv [ ] Vi kan ikke finne ekstremalpunktet direkte når vi ikke har en polynomfunksjon. Vi må benytte oss av den deriverte. Skriv Derivert [ f ] og trykk Enter. Grafen til f '( x) er tegnet stiplet i figuren nedenfor. Vi bruker også her startverdien x=1. Skriv B=Nullpunkt [ ',1] f og trykk Enter. Skriv ( x( B), f( x( B))) og trykk Enter. Nullpunktet blir nå plassert på grafen til f. Vi har ekstremalpunkt når den deriverte er 0. Vi kan heller ikke finne vendepunktet direkte. Vi finner den dobbeltderiverte av f ( x ). Skriv [,2] Derivert f og trykk Enter. Grafen til f ''( x ) blir tegnet med prikker i figuren. Vi bruker startverdien x=0. Skriv C=Nullpunkt [ f '',0]. Vi får et vendepunkt for x=0. Skriv E = (0, f(0)) og trykk Enter. Vi får nå plassert vendepunktet på grafen til f. Klikk på kommandoen for tangent. Klikk på vendepunktet og deretter på grafen. Vi ser i algebravinduet at likningen for vendetangenten er y=-2x-3. Brukermanual GeoGebra Side 55

56 Brukermanual GeoGebra Side 56

57 Oppgave 32. Vektorfunksjoner. Derivasjon av en kvotient. Oppgave: Funksjonen f er gitt ved ln x f( x) = x a) Finn eventuelle bunnpunkter og toppunkter. b) Finn vendepunktet. c) Tegn grafen til f. Oppgaveløsning: Denne har tilsvarende løsning som den forrige oppgaven. For å finne ekstremalpunkter og vendepunkt må vi finne f '( x ) og f''(x). Ved å finne nullpunktene til f '( x) og f''(x), kan vi finne ekstremalpunktene og vendepunktene, som vist på figuren. Brukermanual GeoGebra Side 57

58 Oppgave 33. Vektorregning. Parameterframstilling. Oppgave: I ABC har hjørnene koordinatene A( 1, 2), B(3,0), og C(2, 4). En linje l går gjennom C og er parallell med AB. a) Finn en parameterframstilling for l. b) Et punkt D ligger på linja l slik at ABCD er et parallellogram. Finn koordinatene til D. Oppgaveløsning: Skriv inn A=(-1,2), B=(3,0) og C=(2,4). Bruk mangekantverkøyet og lag en trekant mellom punktene. Klikk på verktøyet for parallell linje, klikk på punktet C, og deretter på linjestykket AB. Høyreklikk på likninga for linja i algebravinduet og velg Parametrisk form. x = 2+ 4t Vi ser at likninga for linja kan skrives som: l : y = 4 2t Klikk på verktøyet for parallell linje, klikk på punktet C, og deretter på linjestykket BC. Klikk på kommandoen for skjæring mellom to punkt oig klikk etter tur op de to linjene. Vi ser at koordinatene til D er (-2,6) Brukermanual GeoGebra Side 58

59 Oppgave 34. Vektorregning Parameterframstilling. Oppgave: En kurve K har parameterframstillingen x = 1 t K : y = t + t 2 a) Tegn kurven for t-verdier mellom -4 og 3 b) Finn skjæringspunktet mellom K og koordinataksene ved regning. Oppgaveløsning: Skriv inn K=Kurve[1-t,t+t^2,t,-4,3] og trykk Enter. Vi kontrollerer skjæringspunktene med koordinataksene, ved å bruke Nytt punkt og plassere et punkt i hvert av de tre skjæringspunktene. Brukermanual GeoGebra Side 59

60 Oppgave 35. Vektorfunksjoner kast av stein Oppgave: Vi kaster en stein. Etter t sekunder er posisjonen gitt ved 2 39 rt () = 15 t, 5t + t t 0, 4. Enhetene på aksene er meter. der [ ] a) Finn fartsvektoren og farten etter 3 s. b) Finn akselerasjonsvektoren og akselerasjonen etter 3 s. c) Finn fartsvektoren og farten idet steinen tar bakken. d) Hvor langt var dette kastet? Oppgaveløsning: Skriv i inntastingsfeltet: r=[15t,-5t^2+39/2t+2,t,0,4] og trykk Enter. GeoGebra tegner følgende kurve: Vi regner ut både r (t) og r (t). Skriv Derivert[r] og trykk Enter. Skriv Derivert[r,2] og trykk Enter. GeoGebra finner både den deriverte av 1. og 2. grad. Brukermanual GeoGebra Side 60

61 Høyreklikk på disse to og ta bort haken for Vis objekt. Da vises bare grafen for r(t). Skriv A=r(3) og trykk Enter. Du får et punkt A på grafen for vektorfunksjonen for tiden 3 sekunder. Skriv B=A+r (3) og trykk Enter. Du får nå et punkt B som markerer sluttpunktet for fartsvektoren fra punktet A. Skriv v_a=vektor[a,b]. Da får du tegnet fartsvektoren til steinen etter 3 sekund. Vi ser at fartsvektoren etter 3 sekund er:[15,-10.5] Skriv Fart_A=Lengde[v_A]. Farten etter 3 sekunder er 18,31 m/s Skriv C=A+r (3). Punktet C markerer sluttpunktet for akselerasjonsvektoren etter 3 sekund. Skriv a_a=vektor[a,c]. a_a er akselerasjonsvektoren til steinen etter 3 sekunder. Vi ser at akselerasjonsvektoren er [0,-10]. (Dette er akselerasjonsvektoren som ikke har noen 2 komponent i x-retningen, og der y-komponenten er -10 m/s.) Skriv Akselerasjon_A=Lengde(a_A). Akselerasjonen etter 3 sekunder er retning loddrett nedover m/s, med Bruk kommandoen Nytt punkt til å finne koordinatene til skjæringspunktet, E mellom grafen til r og x-aksen. Punktet har koordinatene (0,60). Skriv F=E+r (4) og trykk Enter. Punktet F markerer sluttpunktet for fartsvektoren fra punktet E. Skriv v_e=vektor[e,f]. Da får du tegnet fartsvektoren til steinen etter 4 sekunder. Fartsvektoren etter 4 sekunder er:[15,-20.5] Skriv Fart_E=Lengde(v_E]. Farten etter 4 sekunder er 25,4 m/s. Koordinatene til skjæringspunktet med x-aksen (E), er (0,60). Det betyr at lengden på kastet er 60 meter. Dersom du ville finne lengden på kastet langs banen, kunne du bruker kommandoen Lengde[r,0,4]. Banelengden er 74,74 m. Vi får følgende løsning: Brukermanual GeoGebra Side 61

62 Brukermanual GeoGebra Side 62

63 Oppgave 36. Vektorfunksjoner partikkel i bevegelse Oppgave: Posisjonen til en partikkel etter t sekunder er gitt ved t r = e,10te t a) Finn posisjonen til artikkelen etter 2 s. b) Finn fartsvektoren og farten etter 2 s. c) Finn akselerasjonsvektoren og akselerasjonen etter 2 s. d) Når er partikkelen i det høyeste punktet? e) Finn farten og akselerasjonen når partikkelen er i det høyeste punktet. Oppgaveløsning: t t Skriv i inntastingsfeltet: r=[10-10e,10te,t,0,10] og trykk Enter. Skriv Derivert(r) og Derivert(r ). Skriv A=r(2) og trykk Enter. Skriv B=A+r (2) og trykk Enter. Punktene A og B utgjør endepunktene for fartsvektoren i punkt A. Skriv v_a=vektor[a,b]. Skriv Fart_A=Lengde[v_A]. Skriv C=A+r (2) og trykk Enter. Da får vi punktene A og C som utgjør endepunktene for akselerasjonsvektoren i punkt A. Skriv a_a=vektor[a,c]. Skriv Akselerasjonen_A=Lengde[a_A]. For å finne det høyeste punkt på grafen må vi finne nullpunktet for den deriverte av r. Det finner vi ved å sette y-parameteren til den deriverte lik 0. Vi kan løse dette som en likning, men jeg har valgt å lage en vanlig x,y funksjon i GeoGebra av y-parameteren (t(x)), og ser at denne skjærer x-aksen i x=1. Det betyr at t også har verdi t=1 i det høyeste punktet. Skriv D=r(1) og trykk Enter. Skriv E=D+r (1). Vektoren [D,E] er fartsvektoren i punktet D. Skriv v_d=vektor[d,e]. Skriv Fart_D=Lengde[v_D]. Skriv F=D+r (1). Vektoren [D,F] er akselerasjonsvektoren i punkt D. Skriv a_d=vektor[d,f]. Skriv Akselerasjon_D=Lengde[a_D]. Løsningen står på neste side. Brukermanual GeoGebra Side 63

64 Brukermanual GeoGebra Side 64