10 Mer generell formulering av kvantemekanikk

Transkript

1 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 1 TILLEGG Mer geerell formulerig av kvatemekaikk Hittil i dette kurset har vi arbeidet mest med posisjos-rom-formulerige av de kvatemekaiske teorie, og litt med de ekvivalete formulerige i impulsrommet. I dette Tillegget skal vi se at disse formulerigee er spesialtilfeller av e mer geerell teori. Poeget med dee mer geerelle formulerige er for det første at de er mer elegat og byr på edel tekiske fordeler (etter at e er blitt fortrolig med de). Det viktigste er imidlertid at de tillater oss å behadle systemer som ikke ka beskrives bølgemekaisk, dvs. ved hjelp av bølgefuksjoer i x- eller p-rommet. Et setralt eksempel er spi-frihetsgrader. [Bakgrusstoff fier du i Hemmers kapittel 6, kapittel 3 i Griffiths, og kapittel 5 i B&J. E ae referase er J.J. Sakurai, Moder Quatum Mechaics, kapittel 1.] 10.1 Vektorer i Hilbert-rommet 10.1.a Rekapitulerig La oss begye med å rekapitulere oe av de setrale trekkee ved de teorie som er presetert hittil: Tilstade til e partikkel ved et bestemt tidspukt ka beskrives ved hjelp av e romlig bølgefuksjo ψ(x), dersom vi betrakter et edimesjoalt tilfelle. Verdie av ψ i puktet x gir sasylighetsamplitude for å fie partikkele i dette puktet, i de forstad at ψ(x) 2 gir sasylighetstetthete. Når vi kjeer hele fuksjoe ψ(x), kjeer vi altså amplitudee for å fie partikkele i alle mulige pukter x. Bølgefuksjoe ka om øskelig utvikles i et hvilket som helst fullstedig sett. Slike fullstedige sett eller basiser fies det mage av; vi husker at det for hver observabel størrelse fies e Hermitesk operator med et fullstedig sett av egefuksjoer. Eksempler er p x, Ĥ og x, med egeverdiligiger og egefuksjoer som følger: p x ψ p (x) = pψ p (x) ; ψ p (x) = (2π h) 1/2 e ipx/ h ; Ĥψ (x) = E ψ (x) ; ψ (x) avheger av potesialet V (x); (T10.1)

2 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 2 xψ x (x) = x ψ x (x) ; ψ x (x) = δ(x x ). Her har vi atatt et diskret og ikke-degeerert eergispektrum {E }, slik at vi ka bruke ortoermerigsrelasjoe ψ k, ψ ψ k (x)ψ (x)dx = δ k. (T10.2) Alle disse settee er fullstedige, slik at vi ka utvikle de vilkårlige tilstade ψ(x) i dem. Utviklige i eergiegefuksjoer blir da e sum, mes utvikligee i impuls- og posisjosegefuksjoer blir itegraler, side spektree {x } og {p} er kotiuerlige: ψ(x) = dp φ(p)ψ p (x); ψ(x) = c ψ (x); (T10.3) ψ(x) = dx c(x )ψ x (x). Utvikligskoeffisietee φ(p), c og c(x ) i disse formlee karakteriserer tilstade like godt som ψ(x) selv, på samme måte som kompoetee av e vektor i e bestemt basis gir e fullgod beskrivelse av vektore. Utvikligskoeffisietee i (T10.3) er projeksjoee av ψ på de respektive basis-vektoree ψ p, ψ og ψ x (x) = δ(x x ) : φ(p) = (ψ p, ψ) = ψ p (x)ψ(x)dx; c = (ψ, ψ) = ψ (x)ψ(x)dx; (T10.4) c(x ) = (ψ x, ψ) = δ(x x)ψ(x)dx = ψ(x ). La oss gjeta beviset for formele for c, ved å projisere ψ(x) = c ψ (x) på ψ k. Ved å bytte rekkefølge på itegral og sum fier vi at ψ k, ψ = ψ k (x) c ψ (x) = c ψ k (x)ψ (x)dx = c δ k = c k, q.e.d. (T10.5) E lite oppgave: Fi impulsbølgefuksjoe φ(p) ved å projisere ψ på ψ p. Hit: Bytt rekkefølge på itegrasjoee og bruk deltafuksjos- ormerige ψ p (x)ψ p(x)dx = δ(p p). Formele for c(x ) ka du tilsvarede fie ved hjelp av formele δ(x x )δ(x x )dx = δ(x x ). Me eda eklere er det å bruke idetitete ψ(x) = ψ(x )δ(x x )dx. Vi må også huske på de fysiske tolkige av utvikligskoeffisietee: ψ(x ) er (som alt evt) sasylighetsamplitude for å fie partikkele i posisjoe x (i de forstad at ψ(x ) 2 er sasylighetstetthete i posisjosrommet). Tilsvarede er φ(p) 2 sasylighetstetthete i impulsrommet, og c 2 er sasylighete for å måle eergie E (og etterlate partikkele i tilstade ψ ). (Alt dette ka du repetere i større detalj ved hjelp av boka eller Tillegg 2.)

3 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk b Tilstadsvektorer i Hilbert-rommet. Dirac-otasjo Det mest setrale puktet i de ye formulerige er at: Til hver bølgefuksjo ψ(x) svarer det e abstrakt vektor som vi kaller e tilstadsvektor. For slike vektorer vil vi bruke symbolet..., som ble oppfuet av Dirac. (T10.6) Dee såkalte ket-vektore ka vi utstyre med passede merkelapper for å idikere hva slags tilstad vi har i takee. Ket-vektore som svarer til bølgefuksjoe ψ(x) ka vi f.eks kalle ψ. Vektore som svarer til eergiegefuksjoe ψ (x) ka vi kalle ψ (eller eller E ). Vektore som svarer til posisjosegefuksjoe ψ x (x) = δ(x x ) ka vi passede kalle x. Vektore som svarer til impulsegefuksjoe ψ p (x) = (2π h) 1/2 e ipx/ h ka vi kalle p eller ψ p, osv. Uasett hvilke merkelapp vi velger å bruke har vi altså e é-til-é korrespodase mellom bølgefuksjoer og tilsvarede abstrakte vektorer: ψ(x) ψ, ψ (x) ψ = = E, ψ x (x) = δ(x x ) x, (T10.7) ψ p (x) p = ψ p, og så videre. Her må vi å ikke la oss forvirre av at også bølgefuksjoee er vektorer (jf Tillegg 2). Ket-vektore ψ og bølgefuksjoe ψ(x) er ikke samme sak; de hører hjemme i hvert sitt vektor-rom, me slik at det er é-til-é korrespodase mellom vektoree i de to rommee. Rommet som utspees av ket-vektoree vil vi fra å av kalle Hilbert-rommet H, (selv om også bølgefuksjoee ψ(x) er vektorer i et Hilbert-rom, matematisk sett). 1 E setral egeskap for Hilbert-rommet (som for alle lieære, komplekse vektor-rom) er at e vilkårlig lieærkombiasjo av to vektorer gir e vektor i samme rommet; c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = ψ 3. (T10.8) Spesielt gjelder at c ψ gir e y vektor ψ 1 : 2 c ψ = ψ c = ψ 1. (T10.9) Her svarer ψ til bølgefuksjoe ψ(x) og ψ 1 svarer til cψ(x) = ψ(x)c. Som du vil huske, beskriver ψ(x) og cψ(x) samme fysiske tilstad. Det samme vil da gjelde for ket-vektoree ψ og ψ 1 = c ψ. 1 Som du kaskje husker fra Tillegg 2, er impuls-egefuksjoee ψ p (x) ikke kvadratisk itegrerbare. De er derfor ikke vektorer i det matematiske Hilbert-rommet L 2 (, ) av kvadratisk itegrerbare fuksjoer. Det samme gjelder posisjosegefuksjoee ψ x (x) = δ(x x ). Ket-vektoree ψ p og x er tilsvarede ikke egetlig medlemmer av Hilbert-rommet H. Me de fugerer utmerket som basis-vektorer for utviklig av vektorer i Hilbert-rommet. Vi ka altså postulere at vektor-settee { ψ p } og { x }, i likhet med settet { ψ }, er fullstedige. I kvatemekaikk opererer vi derfor med et slags utvidet Hilbert-rom, hvor vektoree x og ψ p p stort sett ka behadles på lik lije med egetlige vektorer i Hilbert-rommet. 2 Noe lærebokforfattere bruker også otasjoe c ψ = ψ c = cψ.

4 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk c Det duale Hilbert-rommet. Skalarprodukt For at de ye formulerige skal bli ekvivalet med de gamle må vi postulere et skalarprodukt (idreprodukt) mellom ket-vektorer. Før vi går i gag med dette ka det være istruktivt å se hvorda skalarproduktet defieres for ordiære komplekse vektorer A og B. I fysikklitterature defieres dette som A, B = A B i A i B i. (T10.10) Fra dee defiisjoe følger det at det (valigvis) komplekse skalarproduktet oppfyller relasjoe A, B = B, A. (T10.11) Videre er det lett å se at dersom c er et komplekst tall, så har skalarproduktet egeskapee A, cb = c A, B og ca, B = c A, B. (T10.12) Vi sier da at skalarproduktet V 1, V 2 er lieært med hesy på vektor r 2 (V 2 ) og atilieært med hesy på vektor r 1 (V 1 ). Merk at skalarproduktet mellom fuksjoer har akkurat de samme egeskapee: f, g = f g dτ = g, f ; f, cg = c f, g ; cf, g = c f, g. (T10.13) For å få e praktisk otasjo for skalarproduktet (idreproduktet) ψ 1, ψ 2 mellom to ket-vektorer i Hilbert-rommet iførte Dirac det såkalte duale Hilbert-rommet H. Dette rommet kommer fram ved at vi til hver ket-vektor ψ i H tilorder e såkalt dual vektor ψ i H : dual til ψ ψ. (T10.14) Ved hjelp av disse ye vektoree..., som Dirac kalte bra-vektorer, ka vi formulere regeregler og etablere Dirac-otasjoe, som faktisk er eklere å bruke e bølgefuksjosformalisme (og som dessute ka brukes år det ikke eksisterer oe bølgefuksjoer, f.eks for spi). Poeget med bra-vektore er at de tillater oss å skrive skalarproduktet mellom ψ 1 og ψ 2 som et ekelt produkt av bra-vektore ψ 1 og ket-vektore ψ 2 : ψ 1, ψ 2 = ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2. (T10.15) Grue til at Dirac iførte betegelsee bra og ket skjøer du kaskje å: De foreklede skrivemåte for skalarproduktet (helt til høyre) har jo forme bra ket, som er avledet av det egelske ordet bracket. Merk at ψ 1 spiller omtret samme rolle som A i prikkproduktet A, B = A B, og som ψ 1 i skalarproduktet ψ 1, ψ 2 = ψ 1 ψ 2 dτ. Me i (T10.15) er vi ekstra strege : I slike idreprodukter skal bra-vektore alltid stå til vestre for ket-vektore. De fysiske tolkige av ψ 1 ψ 2 = ψ 1, ψ 2 projeksjoe av ψ 2 på ψ 1 er akkurat de samme som for de tilsvarede bølgefuksjoee: Projeksjoe er sasylighetsamplitude for at e ved e målig fier systemet i de fysiske tilstade som svarer

5 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 5 til ψ 1 (og til ψ 1 ) år systemet i utgagspuktet er i de fysiske tilstade som svarer til ψ 2 (og til ψ 2 ). Vi har altså ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 = ψ 1, ψ 2 ψ 1 ψ 2 dτ. (T10.16) Fra relasjoe ψ 1, ψ 2 = ψ 2, ψ 1 følger det da at eller Videre har vi at ψ 2 ψ 1 = ( ψ 1 ψ 2 ) = komplekst tall, ψ 1 ψ 2 = ψ 2 ψ 1. (T10.17) ψ 1 c ψ 2 = ψ 1, cψ 2 = c ψ 1, ψ 2 = c ψ 1 ψ 2. (T10.18) Skalarproduktet er altså lieært i ket-vektore (vektor r 2). Med ψ 1 = c φ ser vi tilsvarede at ψ 1 ψ 2 = ψ 2 ψ 1 = (c ψ 2 φ ) = c φ ψ 2. De duale til ψ 1 = c φ er altså c φ : c φ dual til c φ, (T10.19) i aalogi med (ca) = c a. Dee relasjoe kommer vi til å få bruk for ofte. Merk at dette betyr at skalarproduktet er atilieært med hesy på vektor r 1, akkurat som f, g = f g dτ. Sammehege mellom ψ og ψ(x) Mes bølgefuksjoe er et kokret og forhåpetligvis kjet og kjært begrep, vil du atakelig ha store problemer med å forestille deg hva de abstrakte tilstadsvektore ψ er for oe. Etter hvert vil du imidlertid oppdage at dee abstrakthete er til å leve med, og at du som kvatemekaiker får et lykkeligere og kaskje til og med behageligere liv e før dersom du bare vet hvorda du skal bruke disse vektoree. Vi skal å prøve å gå gjeom de setrale delee av bruksavisige, på e ikke alt for systematisk måte. To setrale egeskaper har vi alt evt: De duale tilordige (T10.14) og (T10.19), samt at skalarproduktet ψ 1 ψ 2 er det samme som mellom de tilsvarede bølgefuksjoee (se lig. (T10.16)). De fysiske tolkige av det ye skalarproduktet er altså som evt akkurat de samme som for det gamle: Skalarproduktet ψ ψ er eksempelvis sasylighetsamplitude for (ved e målig) å fie partikkele i de tilstade som er beskrevet av vektore ψ (dvs med eergie E ) dersom de (før målige) er i e tilstad beskrevet ved vektore ψ (dvs ved bølgefuksjoe ψ(x)). Tilsvarede er p ψ amplitude for å fie partikkele i tilstade beskrevet av vektore p (dvs med impuls p). Slik ka vi fortsette. Vi huskar at vektore x svarer til at partikkele med sikkerhet er i posisjoe x (svarer til bølgefuksjoe ψ x (x) = δ(x x )). Skalarproduktet x ψ er derfor amplitude for å fie partikkele i puktet x år de er i tilstade ψ. Her bør

6 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 6 det å rige e lite klokke, for dee amplitude er jo idetisk med bølgefuksjoe ψ(x ). Sammehege mellom bølgefuksjoe ψ(x) og vektore ψ er altså x ψ = ψ(x). (T10.20) Merk også at ψ x = x ψ = ψ (x). (T10.21) 10.1.d Fullstedighet Bølgefuksjoe ψ(x) = x ψ er altså kompoete av Hilbert-vektore ψ i x -retig, eller projeksjoe av ψ på basis-vektore x. Tilsvarede er skalarproduktee ψ ψ projeksjoee av ψ på et aet basis-sett, ψ. Disse settee er (som basis-betegelse idikerer) fullstedige, akkurat som de tilsvarede bølgefuksjos-settee (se lig. (T10.1)), slik at e vilkårlig vektor ψ i Hilbert-rommet ka utvikles i dem, aalogt med utvikligee (T10.3): ψ = dp φ(p) p, ψ = c ψ, ψ = dx c(x ) x. (T10.22) Her må vi vete at koeffisietee er akkurat de samme som i (T10.4), c = ψ, ψ = ψ ψ, osv., me la oss kotrollere det, for å få litt regetreig: Ved å ta projeksjoe av de midterste av ligigee (T10.22) på ψ k (dvs multiplisere fra vestre med ψ k ) fier vi ψ k ψ = c ψ k ψ = c δ k = c k, q.e.d.. Her har vi brukt (T10.16), som iebærer at settet ψ k er ortoormert, akkurat som settet ψ k (x): ψ k ψ = ψ k, ψ = δ k. (T10.23) Isettig i (T10.22) gir å ψ = ψ ψ ψ. (T10.24) De tilsvarede utvikligee i impuls- og posisjos-vektorer er ψ = dp p ψ p, ψ = dx x ψ x. (T10.25)

7 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 7 Dette vises ved å projisere (T10.22) på heholdsvis x og ψ p. Begge disse er kotiuumssett, med δ-fuksjosormerig, slik at vi i stedet for (T10.23) har 3 p p = p, p = δ(p p ), x x = ψ x, ψ x = δ(x x ). (T10.26) Dermed blir x ψ = dx c(x ) x x = dx c(x )δ(x x ) = c(x ), slik at ψ = dx c(x ) x = dx x ψ x = dx x ψ x, Tilsvarede har vi at p ψ = dp φ(p) p p = dp φ(p)δ(p p ) = φ(p ), Merk at p ψ = φ(p) q.e.d.. q.e.d.. (T10.27) er amplitude for å fie impulse p, altså impulsbølgefuksjoe (jf Tillegg 2). Merk også at formlee (T10.24) og (T10.25) er aaloge med utvikliger av e valig vektor i alterative basis-sett ê i og ê i, A = A i ê i = A iê i ; kompoetee (A i ) avheger av hvilke basis vi velger, mes selve vektore A er e basisuavhegig størrelse; de er et såkalt (absolutt) geometrisk objekt. Det samme ka vi si om Hilbert-vektore ψ. Fullstedighetsrelasjoe Ligigee (T10.24) og (T10.25) forutsetter som sagt at de tre basis-settee er fullstedige. E lite omskrivig av (T10.24) gir 4 ψ = ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ( ) = ψ ψ ψ. Side dette skal gjelde for e vilkårlig vektor ψ, har vi at (T10.28) ψ ψ = 1. (fullstedighetsrelasjoe) (T10.29) 3 Vektorer med δ-fuksjos-ormerig (og de tilsvarede bølgefuksjoee) faller som evt utefor det egetlige Hilbert-rommet. I kvatemekaikk arbeider vi derfor med et vektor-rom som vi ka kalle et utvidet Hilbert-rom (valigvis bare kalt Hilbert-rommet). 4 Merk at skalarproduktet ψ ψ er et komplekst tall, som ka flyttes akkurat hvor det passer oss.

8 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 8 Dette er fullstedighetsrelasjoe i Dirac-otasjo (for et diskret vektor-sett). Som vi skal se edefor er både vestre og høyre side i dee relasjoe operatorer. Størrelse på høyreside ka vi kalle ehetsoperatore; 1 ψ = ψ. For de to kotiuums-settee fier vi tilsvarede: ( ) ψ = dx x ψ x = dx x x ψ, osv., slik at fullstedighetsrelasjoee for disse settee er dx x x = 1, dp p p = 1. (fullstedighet) (T10.30) Vi skal etter hvert se at disse relasjoee er mye eklere å bruke e de tilsvarede fullstedighets-relasjoee for bølgefuksjoee (jf Tillegg 2): ψ (x)ψ (x ) = δ(x x ), dp ψ p (x)ψ p (x ) = δ(x x ), osv. (T10.31) Som et eksempel ka vi foreta følgede omskriviger av ψ 2 ψ ψ : ( ) ψ ψ = ψ 1 ψ = ψ dx x x ψ = dx ψ x x ψ = dx ψ (x)ψ(x) = ψ, ψ, ( ) ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ 2 ( ) ψ ψ = ψ dp p p ψ = dp p ψ 2 dp φ(p) 2. c 2, (T10.32) Disse relasjoee er geeraliserte Parseval-relasjoer. Merk at skalarproduktet ψ ψ alltid er reelt og 0, slik at vi ka defiere orme av ψ ved ψ = ψ ψ 1/2 0. (T10.33) De tekikke som vi har brukt her, med å putte i ehetsoperatoree (T10.29) eller (T10.31) (eller tilsvarede for adre fullstedige sett) der det passer oss, er et kep som vi kommer til å bruke ofte. La oss som eda et eksempel bruke dette kepet til å vise ekvivalese mellom (T10.29) og (T10.31): Fra ormerigs-relasjoe (T10.26) har vi: δ(x x ) = x x = x 1 x = x ψ ψ x (T10.34) = x ψ x ψ = ψ (x)ψ (x ), q.e.d.

9 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk Operatorer, egevektorer, forvetigsverdier, m.m a Geerell defiisjo av operatorer Operatorer hadde i de gamle formulerige egeskape operator bølgefuksjo = y bølgefuksjo. (T10.35) Tilsvarede gjelder i de ye formulerige: Når vi lar e Hilbert-rom-operator  virke på e Hilbert-vektor b så fåes e y Hilbert-vektor c =  b. Sagt med adre ord: Operatorer avbilder Hilbert-rommet på seg selv. Merk at operatore står til vestre for e ket-vektor. Eksempel: Projeksjosoperator Uttrykket P ψ ψ er e operator. Brukt på e vilkårlig vektor ψ gir de P ψ ( ψ ψ ) ψ = ψ ψ ψ c ψ. (T10.36) Operatore P ψ ψ projiserer altså ut de dele av vektore ψ som peker i ψ - retige, og kalles derfor e projeksjos-operator. Merk at P = ψ ψ = 1. (fullstedighetsrelasjoe) (T10.37) Uttrykket på vestreside i fullstedighetsrelasjoe er derfor e sum av operatorer, som til samme utgjør ehetsoperatore. Når vi skal bruke det evte kepet med å putte i ehetsoperatore 1 der det passer oss, må vi derfor alltid passe på at ehetsoperatore virker på e ket-vektor, dvs står til vestre for e ket. De ka også stå til høyre for e bra-vektor. Noe gager kommer vi til å sette de til høyre for e isolert bra vektor ; det er da uderforstått at bra vektor 1 i este omgag virker på e ket. (Se avsitt 10.3.b edefor.) 10.2.b Operatorer og egevektorer Som du ka se i avsitt 6.4 i Hemmer, er postulatee i de ye formulerige de samme som i de gamle, bortsett fra otasjoe. Også i de ye formulerige er det slik at det til hver fysisk observabel (f.eks. x, p x, E osv) svarer e Hermitesk operator. Problemet med disse og adre Hilbert-rom-operatorer er at de er like abstrakte som vektoree me igje skal vi se at abstrakthete er til å leve med. Det eeste vi treger å vite om operatore p x, f.eks, er at de er defiert slik at de oppfyller egeverdi-ligige p x p = p p. (T10.38) Tilsvarede er operatore x defiert ved at x x = x x. (T10.39) Posisjosvektore x er altså e egevektor til operatore x med egeverdi x.

10 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 10 Vi skal se at (T10.38) og (T10.39) er tilstrekkelige til å bestemme virkige av operatoree x og p x på e vilkårlig vektor ψ. Ved å bruke fullstedighetsrelasjoe for egevektor-settet til p x har vi ψ = dp p p ψ. (T10.40) Ved hjelp av (T10.38) fier vi da at operatore p x virker slik: p x ψ = p x dp p p ψ = dp p x p p ψ ( ) = dp p p p ψ. (T10.41) Da dee gjelder for alle ψ, har vi altså et veldefiert uttrykk for operatore p x : p x = dp p p p, (T10.42) der tallet p ka puttes både fora, bak eller mellom, alt etter hva e fier for godt. Dette uttrykket kalles de spektrale represetasjoe for operatore p x ; merk at itegralet over p løper over hele spektret til operatore. Med samme metode fier vi x = dx x x x. (T10.43) Tilsvarede program ka åpebart gjeomføres for alle Hermiteske operatorer (som har fullstedige egevektor-sett). E operator F med et kotiuerlig spektrum {f} og egevektorer f ka skrives F = df f f f. (T10.44) E operator  med et diskret egeverdi-spektrum {a } og egevektorer a ka tilsvarede skrives  = a a a. (T10.45) Samme oppskrift ka også brukes til å fie et uttrykk for e vilkårlig potes av e Hermitesk operator. Ved å bruke p x é gag til i (T10.41) fier vi f.eks at p 2 x = dp p p 2 p, og tilsvarede for høyere poteser av p x. Dermed ka vi også fie et uttrykk for e operator-fuksjo F ( p x ). Slike operatorfuksjoer er emlig pr defiisjo gitt ved e Taylor-utviklig av fuksjoe F i poteser av argumetet. Operatore F ( p x ) ka altså skrives F ( p x ) = dp p F (p) p, (T10.46) der F (p) er fuksjoe F av tallet p. Tilsvarede er f.eks operatorfuksjoe som svarer til potesialet V (x) gitt ved V ( x) = dx x V (x ) x. (T10.47)

11 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk c Adjugert Vi har allerede sakket om Hermiteske operatorer, me ute å defiere Hermitesitet i Diracotasjo. De ye defiisjoe skal selvsagt være helt ekvivalet med de gamle, dvs vi må kreve at operatore er selvadjugert. Vi har tidligere defiert de adjugerte  til e operator  ved (Âψ 1) ψ 2 dτ ψ 1  ψ 2 dτ, (T10.48) som også ka skrives slik: ψ ( 1  ψ 2 dτ = ψ 2 Âψ 1dτ ), eller (ψ 1,  ψ 2 ) = (ψ 2, Âψ 1). De ekvivalete defiisjoe i Dirac-otasjo er a  b = b  a, (def.  ) (T10.49) hvor vi til avvekslig bruker betegelsee a og b for de to vilkårlige vektoree. Kaller vi vektore  a for c, så har vi fra (T10.49): a  b = b c = c b. De duale til vektore c =  a er altså a  : a  dual til  a. (T10.50) For e selvajugert (dvs Hermitesk) operator  =  ser vi at a  b = b  a. ( Hermitesk) (T10.51) Nedefor skal vi se at forvetigsverdiee av Hermiteske operatorer, og egeverdiee deres, er reelle, slik vi også fat ved hjelp av de gamle formalisme. Ekvivalese mellom de gamle defiisjoe (T10.48) av adjugert og de ye (T10.49) iebærer at de regereglee vi fat for adjugerig i Tillegg 2 også gjelder for Hilbert-romoperatorer. Vi har blat aet: ( B) = B  ; ( BĈ) = Ĉ B Â, osv.; (T10.52) (c F ) = c F, (c komplekst tall). Vi tar også med regele ( ) = Â, (T10.53)

12 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 12 som følger ved å bruke (T10.51) to gager: a ( ) b = b  a = a  b. Bra-vektore a, som er dual til ket-vektore a, kalles ofte de adjugerte til a (og omvedt): ( a ) = a, ( a ) = a. (T10.54) Et vilkårlig sammesatt uttrykk av kostater, operatorer og ket- og bra-vektorer ka da adjugeres etter følgede regler: c c ; (kostat)   ; (operator) ; (ket bra) (T10.55) ; (bra ket) rekkefølge sues, me merk at kostater og skalarprodukter av type a b og a  b ka flyttes fritt, da de alle er komplekse tall. Eksempler: (i) De adjugerte til operatore c u  v φ ψ er ψ φ v  u c = c v  u ψ φ. (ii) De adjugerte til ket-vektore c u v w er bra-vektore 10.2.d Forvetigsverdier w v u c = c w v u. Forvetigsverdie av e størrelse F er i Dirac-otasjo gitt ved F ψ = ψ F ψ. (forvetigsverdi) (T10.56) La oss kotrollere at dee defiisjoe er ekvivalet med de gamle (se Postulat C i Tillegg 2): Vi prøver med F = x og bruker stadard-kepet vårt: x ψ = ψ x 1 ψ = ψ x dx x x ψ = dx ψ x x x ψ = dx ψ (x ) x ψ(x ), q.e.d. (Du ka utlede samme resultat mer direkte ved å bruke (T10.43)). Videre har vi fra (T10.27) og (T10.42): p x ψ = ψ p x ψ = dp ψ p p p ψ = dp φ (p) p φ(p) = dp φ(p) 2 p, (T10.57) der p ψ = φ(p) er amplitude for å fie impulse p (impuls-bølgefuksjoe) og φ(p) 2 er sasylighetstetthete i impulsrommet. Dette stemmer med resultatee i Tillegg 2.

13 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 13 Mer geerelt har vi for e (Hermitesk) operator  med egeverdier a og egevektorer a (jf (T10.45)): A ψ = ψ  ψ = ψ a a a ψ = a ψ a a ψ = a ψ 2 a P (a )a, (T10.58) der P (a ) = a ψ 2 er sasylighete for å måle a. Merk at Hermitesitete til  iebærer at A ψ blir reell for alle ψ (jf (T10.51)). Setter vi spesielt ψ = a, gir (T10.58) A a = a, slik at alle egeverdiee a er reelle, slik vi også har sett før Tilstadssligige. Posisjos- og impulsrepresetasjoee 10.3.a Tilstadsligige Vi har hittil ikke diskutert tidsavhegighete til tilstadsvektoree. E tidsavhegig bølgefuksjo Ψ(x, t) svarer til e tidsavhegig Hilbert-vektor Ψ(t) : Ψ(x, t) = x Ψ(t). (T10.59) Vi skal postulere at de kvatemekaiske bevegelsesligige for Ψ(t), eller tilstadsligige, geerelt har samme form som Schrödigerligige, i h d Ψ(t) = Ĥ Ψ(t), dt (T10.60) også for systemer som ikke lar seg beskrive ved hjelp av valige bølgefuksjoer (jf spifrihetsgrader). Dee ligige ka vi også kalle e geeralisert Schrödigerligig. Her er Ĥ systemets Hamilto-operator, som bestemmer hvorda Ψ(t) utvikler seg med tide. Dersom vi forutsetter at Ĥ er Hermitesk, ka vi si at Ψ(t) roterer i Hilbert-rommet, idet orme da er kostat. Dette følger fra (T10.60): side Ĥ = Ĥ år Ĥ er Hermitesk. d dt Ψ(t) Ψ(t) = ( d d Ψ ) Ψ + Ψ dt dt Ψ = 1 i h Ψ Ĥ Ψ + Ψ 1 Ĥ Ψ i h = ī h Ψ (Ĥ Ĥ) Ψ = 0, q.e.d., (T10.61)

14 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk b Posisjos- og impuls-represetasjoee For systemer som lar seg beskrive ved hjelp av bølgefuksjoer, må (T10.60) selvsagt være ekvivalet med Schrödigerligige, oe forme bærer tydelig preg av. Vi skal se at Schrödigerligige og posisjosrom-formulerige av kvatemekaikk, som vi kaller posisjosrepresetasjoe, følger ved å projisere (T10.60) ed på x -basise. Tilsvarede vil impulsrepresetasjoe følge ved å projisere (T10.60) på impuls-basise p. Vi begyer med å etablere oe ekle formler, som er yttige redskaper både her og i adre sammeheger: x x = x x ; (T10.62) x p x = h i x x ; p p x = p p ; p x = h i p p. (T10.63) (T10.64) (T10.65) Tilsvarede gjelder for poteser av operatoree x og p x og for operator-fuksjoer som lar seg Taylor-utvikle i poteser: x F ( x, p x ) = F (x, h i x ) x ; p F ( x, p x ) = F ( h i p, p) p. (T10.66) (T10.67) I alle disse uttrykkee er det uderforstått at vi kommer til å la dem virke fra vestre på e ket-vektor. Bevis: (T10.62) og (T10.64) følger ved adjugerig av egevektorligigee (T10.39) og (T10.38) (jf reglee (T10.55)). Formel (T10.63) viser vi slik: Fra relasjoe x p = ψ p (x ) = (2π h) 1/2 e ipx / h = p x (T10.68) har vi idetitetee p x p = h i x x p og x p x = h i p p x. (T10.69) Ved hjelp av fullstedighetsrelasjoe fier vi da x p x 1 = x p x dp p p = x dp p p p = dp x p p p = dp h i x x p p = h i x x dp p p = h i x x 1, q.e.d. (T10.70)

15 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 15 (Merk at vi kue ha spart oss de første triee i utledige ved å bruke uttrykket (T10.42) for operatore p x ). Ligig (T10.65) bevises på tilsvarede måte. Beviset (T10.70) for (T10.63) lar seg trivielt utvide til vilkårlige poteser av p x, slik at e potes p x til høyre for x ka erstattes med samme potes ( h i Tilsvarede gjelder for alle de fire relasjoee (T10.62) (T10.65). Dette holder også for e sum av poteser, altså for e Taylor-rekke. Dermed er også (T10.66) og (T10.67) bevist. ) til vestre for x. x Det er å e triviell sak å utlede Schrödigerligige fra de geerelle tilstadssligige (T10.60). Ved å projisere dee på x fier vi fra (T10.66): i h d dt x x Ψ(t) = x Ĥ( x, p x) Ψ(t) = Ĥ(x, h i x ) x Ψ(t), eller i h t Ψ(x, t) = Ĥ(x, h i x )Ψ(x, t), (T10.71) som er Schrödigerligige i posisjos-represetasjoe. At også Schrödigerligige i impuls-represetasjoe ka utledes fra (T10.60), treger vi å egetlig ikke å vise, for de ble jo utledet fra posisjos-represetasjoe i Tillegg 2. Me la oss gjøre det likevel, for å få litt treig: Ved å projisere (T10.60) på p -basise har vi fra (T10.67) i h d p Ψ(t) = dt p Ĥ( x, p x) Ψ(t) = Ĥ( h p i p, p) p Ψ(t). Her er p Ψ(t) amplitude for å fie impulse p ved tide t, som er idetisk med impulsbølgefuksjoe Φ(p, t). Vi har altså i h t Φ(p, t) = Ĥ( h i, p)φ(p, t), p (T10.72) som er Schrödigerligige i impuls-represetasjoe (jf Tillegg 2). Utledige av (T10.71) og (T10.72) viser at x og p x (og dermed også Ĥ) i posisjosog impuls-represetasjoee ka leses rett ut av høyresidee i ligigee (T10.62) (T10.67). Lar vi emlig f.eks p x virke på e vektor ψ, så fås e y vektor som vi ka kalle ψ. Dee vektore svarer til bølgefuksjoe ψ(x ) = x ψ = x p x ψ (T10.63) = = h i x ψ(x ). h i x x ψ (T10.73) Dette viser at impulsoperatore i posisjos-represetasjoe er h ; oe vi altså ka lese i x rett ut fra høyreside i (T10.63). La oss til slutt, som e lite øvigsoppgave, vise at Hilbert-rom-operatoree x og p x oppfyller kommutator-relasjoe [ x, p x ] = i h 1. (T10.74)

16 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 16 Dette ka gjøres på flere måter, f.eks ved å bruke fullstedighetsrelasjoe samt (T10.62) og (T10.63) slik: x p x p x x = = = = = = Merk rekkefølge: dx x x ( x p x p x x) dx x ( x x p x x p x x) dx x dx x dx x ( ( ( x x p x h i x h i x h i x x h i x x h i dx x i h x = i h 1, ) x x x ) x x x ( ) x x x h x i q.e.d. x x p x = x x p x = x h i x x ; x p x x = h i x x x = h i x x x. ) x x 10.4 Matrisemekaikk Posisjos- og impuls-represetasjoee i forrige avsitt framkom som vi så ved å projisere tilstadsligige (T10.60) på heholdsvis x - og p -basisee, som begge er kotiuumssett. Dette er bare to av mage mulige represetasjoer. I dette avsittet skal vi se hvorda formalisme blir år vi projiserer ed på e diskret basis a Matrise-represetasjoer av vektorer og operatorer Vi teker oss et diskret sett av basisvektorer 1, 2, osv., som er ortoormert; k = δ k. (T10.75) E vektor a = 1 a = k k k a = k k a k ka da represeteres av kompoetee (eller koordiatee ) k a, som vi ka kalle a k ; k a a k ; a = k a k k. (T10.76)

17 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 17 Disse kompoetee er det aturlig å samle i e søyle-matrise a, mes bra-vektore represeteres av rekkematrise a = k a k k a = (a 1, a 2,...). Merk at dee framkommer ved adjugerig (eller Hermitesk kojugerig) av søylematrise a. 5 Dermed får f.eks skalarproduktet forme b a = b 1 a = b k k a = k k a 1 a 2 = (b 1, b 2,...). b k a k b a. (T10.77) E operator  represeteres å ved e matrise. Dette iser vi ved f.eks. å betrakte kompoetee av vektore c =  a, som er k c = k  a = k  a, dvs c k = A k a, eller på matriseform: Tilsvarede er c 1 c 2. = A 11 A 12 A 21 b  a = k, b k k  a = (b 1, b 2,...). a 1 a 2 A 11 A 12 A a 1 a 2. (T10.78) b Aa. (T10.79) Et produkt av to operatorer represeteres av produktet av de to matrisee. Vi har emlig dvs ( B) k = k  B = k  m m B = A km B m, m m (AB) = (A)(B). For de adjugerte til e operator  har vi fra (T10.49) ( ) k = k  =  k = A k, A = Ã. eller (T10.80) (T10.81) Operatore  represeteres altså av de adjugerte eller Hermitesk kojugerte matrise. 5 Adjugerig, eller Hermitesk kojugerig, av e matrise svarer til traspoerig og komplekskojugerig; M M.

18 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk b Skifte av basis *** 6 Frihete i valget av basis gjør det iteressat å se hvorda et skifte av basis virker. Ata at vi vil skifte fra det opprielige settet k (som vi markerer med latiske merkelapper) til et ytt diskret sett α (α = 1, 2,...), som vi markerer med greske merkelapper, for å holde gammelt og ytt fra hveradre. De ye basis-vektoree ka uttrykkes ved de gamle: α = k k k α k k S kα. (T10.82) Her er S kα k α kompoetee av de ye i de gamle basise. Disse teker vi oss samlet i e matrise S. Vi har altså k α = S kα, α k = k α = S kα = (S ) αk. (T10.83) Dersom også det ye settet skal være ortoormert, må vi ha δ βα! = β α = k β k k α = k S βk S kα = (S S) βα. (T10.84) Tilsvarede er δ k = k = α k α α = α S kα S α = (SS ) k. Matrise S må altså være uitær: S S = SS = 1; S = S 1, (uitaritet). (T10.85) Det er aturlig å kalle S for trasformasjos-matrise, fordi de gir forbidelse mellom matrise-represetasjoee av vektorer og operatorer i de gamle og de ye basise. De ye matrise-elemetee av operatore  er f.eks A βα β  α = k, β k k A α = k, S βk A ks α, eller på matriseform: Videre represeteres vektore i de ye basise av kompoetee A y = S AS. a = k k k a (T10.86) a α α a = k α k k a = k S αk a k, eller på matriseform: 6 Ikke pesum a y = S a. (T10.87)

19 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 19 For e bra-vektor har vi tilsvarede b β = b β = b β = b β = b S β, eller på matriseform b y = b S. (T10.88) Slike uitære trasformasjoer (basis-skifter) edrer selvsagt ikke oe på fysikke i et problem. For eksempel vil alle skalarprodukter være bevart uder trasformasjoe: Ved å kombiere (T10.75) (T10.78) fier vi at b ya y a y = (b S)(S AS)(S a) = b Aa, slik det må være, side dette skalarproduktet er lik b  a, som er basis-uavhegig. Diagoaliserig Noe gager øsker e at de ye basisvektoree α skal være egevektorer til e operator Â,  α = a α α, (T10.89) slik at matrise A y blir diagoal: A βα = β  α = a αδ βα. (T10.90) Å fie egeverdiee til operatore  er derfor ekvivalet med å diagoalisere A-matrise. Dette diagoaliserigsproblemet, altså å fie kompoetee k α (lik S kα ) av de øskede vektoree α, ka i prisippet løses ved å ta utgagspukt i de ikke-diagoale matrise A k i de opprielige basise. E slik framgagsmåte ka være aktuell år e arbeider med et vektor-rom med edelig dimesjo N (et uder-rom av Hilbert-rommet). Fra (T10.89) har vi da: N k  α = a α k α, dvs. eller på matriseform: =1 A k S α = a α S kα ; α = 1, 2,, N; A 11 A 12 A 1N A 21. A N1 A NN S 1α S 2α S 1α S 2α. = a α.. S Nα S Nα (T10.91) Søyle r. α i S-matrise er altså e egevektor til A k -matrise. Ved å løse dette egeverdiproblemet for de N egeverdiee a α fier e de N søylee i S-matrise. Merk at de N egeverdiee fies ved å sette systemdetermiate lik ull: det[a a α 1] = 0. (T10.92)

20 TFY4250/FY2045 Tillegg 10 - Mer geerell formulerig av kvatemekaikk 20 Side determiate er et polyom i a α av grad N, har dee såkalte karakteristiske ligige N røtter, som er egeverdiee a α ; α = 1, 2,, N. Dersom e bare er iteressert i egeverdiee, ka e øye seg med å bestemme disse røttee. Øsker e også å fie vektoree α, så må (T10.91) som evt løses for de N egeverdiee a α, slik at e får bestemt kompoetee S α = α av α c Bevegelsesligige på matriseform Projeksjoe av tilstadsligige (T10.60) på k -basise gir ligige i h d dt k Ψ(t) = k Ĥ Ψ(t) = k Ĥ Ψ(t), eller i h d dt Ψ k(t) = H k Ψ (t). (T10.93) De tidsavhegige k -kompoetee Ψ k (t) av Ψ(t) er altså gitt av et koblet sett av 1.-ordes differesialligiger i t. På matriseform: i h d dt Ψ 1 (t) Ψ 2 (t). = H 11 H 12 H 21. Ψ 1 (t) Ψ 2 (t).. (T10.94) Merk at dersom e diagoaliserer dee Hamilto-matrise, så er diagoalelemetee (egeverdiee til H-matrise) eergiee E α til de stasjoære løsigee for det aktuelle systemet. Disse fies fra lig. (T10.92): det[h E α 1] = 0. (T10.95) Ved hjelp av metode som vi beskrev fora ka e også fie de tilsvarede egevektoree α til Ĥ, som svarer til de stasjoære tilstadee for systemet. Matriseformulerige av kvatemekaikke kalles matrisemekaikk, og er faktisk de formulerige som ble oppdaget først, av Werer Heiseberg i 1925, kort tid før Schrødiger preseterte si bølgemekaikk.