A.4 Utvikling i egenfunksjoner

Transkript

1 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 1 Tillegg 3: A.4 Utviklig i egefuksjoer a. Begrepet fullstedig sett eller basis) I tillegg 2 har vi gjort et ummer av at kvadratisk itegrerbare fuksjoerer er vektorer i et uedelig-dimesjoalt) vektorrom. Også begrepet basis eller fullstedig sett) er hetet fra vektorlære, og ka illustreres ved å betrakte det to-dimesjoale vektorrommet vi så på i Tillegg 2. Her ka de vilkårlige vektore a i dette rommet godt utvikles i e basis som består av vektoree a 1 og a 2, som er to vilkårlige, lieært uavhegige vektorer. Me det er mer praktisk å bruke et ortoormert basis-sett â 1 og â 2, I utvikligsformele for de vilkårlige vektore a, â i, â j δ ij, i, j 1, 2. T3.1) 2 a a 1 â 1 + a 2 â 2 a i â i, i1 T3.2) blir da emlig koeffisietee a 1 og a 2 gaske ekelt lik projeksjoee av vektore a på de respektive basisvektoree. Dette ser vi ved å rege ut disse projeksjoee, som pr def er skalarproduktee â 1, a â 1, a 1 â 1 + a 2 â 2 a 1, osv. Dette regestykket ka også skrives slik: â i, a â i, j a j â j j a j â i, â j j a j δ ij a i, i 1, 2. T3.3) Her ser vi é av fordelee med å bruke et ortoormert basis-sett.) Ved å sette i for koeffisietee fier vi altså at de vilkårlige vektore a ka utvikles slik: a â 1, a â 1 + â 2, a â 2 i â i, a â i. T3.4) Alt dette er selvsagt veldig trivielt, me edefor skal vi se at vi ka bruke akkurat de samme regetekikke for fuksjoer.

2 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 2 b. Fullstedige sett av fuksjoer Som forklart i Hemmer og i Tillegg 2, ka vi betrakte ormerbare bølgefuksjoer som vektorer i et uedelig-dimesjoalt komplekst vektorrom. E basis for dette vektorrommet må følgelig bestå av uedelig mage fuksjoer. Det merkelige er at egefuksjossettee til hermiteske operatorer daer slike basis-sett, eller fullstedige sett av fuksjoer, som vi kaller dem. Et eksempel på e slik hermitesk operator er Hamilto-operatore for de édimesjoale harmoiske oscillatore, 2 Ĥ h2 2m x mω2 x 2. Dee har som kjet det diskrete og ikke-degeererte spektret E hω + 1 ), 0, 1, 2,. 2 Hver av de tilhørede ortoormerte egefuksjoee, ψ x) ) mω 1/4 1 ) π h 2! H x mω/ h e mωx2 /2 h ψ k, ψ δ k ), T3.5) går som et Hermite-polyom H av grad ) i de dimesjosløse variabele x mω/ h ξ multiplisert med Gauss-fuksjoe exp mωx 2 /2 h) exp ξ 2 /2) som sikrer ormerbarhete). Merk at atallet slike fuksjoer gaske riktig er uedelig. Det ka bevises matematisk at dette fuksjos-settet er fullstedig, slik at e vilkårlig, kvadratisk itegrerbar fuksjo gx) ka utvikles i dette settet, gx) c ψ x), 0 T3.6) aalogt med at vektore a ka utvikles i de to ehetsvektoree â 1 og â 2. I formele ovefor spiller altså de ormerte egefuksjoe ψ x) rolle som ehetsvektor. Og på samme måte som i forrige avsitt gjør ortogoalitete til disse ehetsvektoree det lett å bestemme utvikligskoeffisietee c. Disse er gaske ekelt projeksjoee av de aktuelle fuksjoe gx) på de respektive ehetsvektoree ψ x), c ψ, g ψ x)gx)dx, T3.7) aalogt med at a i â i, a. Dette ka vi forvisse oss om ved å rege ut disse projeksjoee: ψ, g ψ, k c k ψ k k c k ψ, ψ k k c k δ k c, q.e.d. T3.8) Aalogt med formele a i a i â i i â i, a â i, ser altså utvikligsformele for de vilkårlige fuksjoe gx) slik ut: gx) c ψ x) ψ, g ψ x). T3.9)

3 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 3 At de vilkårlige fuksjoe gx) ka utvikles på dee måte, iebærer at egefuksjossettet ψ x) må har e spesiell egeskap; de må oppfylle de såkalte fullstedighetsrelasjoe. Dette ka vi lett vise ved e lite omskrivig av formele ovefor: Ved å skrive ut itegralet for skalarproduktet med itegrasjosvariabele x ) og bytte rekkefølge på summasjo og itegrasjo fier vi at gx) ψ ) ) x )gx )dx ψ x) ψ x)ψ x ) gx )dx. T3.10) Dee ka vi sammelige med relasjoe gx) δx x )gx )dx. T3.11) Side disse relasjoee gjelder for alle kotiuerlige og kvadratisk itegrerbare) fuksjoer gx), ka de to formlee ovefor bare være forelige dersom egefuksjos-settet oppfyller de såkalte fullstedighetsrelasjoe: ψ x)ψ x ) δx x ). T3.12) Her har vi utledet fullstedighetsrelasjoe fra utvikligsformele. Me det går også a å gå motsatt vei kalt de baklegse metode edefor): Ved å erstatte δ-fuksjoe i idetitete T3.11) med vestreside i T3.12) fier vi at utvikligsformele følger fra fullstedighetsrelasjoe: ) gx) δx x ) gx ) dx ψ x)ψ x ) gx ) dx ψ x )gx )dx ) ψ x) ψ, g ψ x) c ψ x). T3.13) Utvikligsformele og fullstedighetsrelasjoe er altså helt ekvivalete. For egefuksjossettet ovefor ka fullstedighete som evt bevises. Slike bevis er også gjeomført for egefuksjoee til mage adre av de mest brukte hermiteske operatoree i kvatemekaikk. For hermiteske operatorer hvor bevis ikke er gitt, atar e i kvatemekaikke at egefuksjossettee er fullstedige. Dette ka om øskelig betraktes som et postulat i de kvatemekaiske teorie. I avsitt i Hemmer ser du hvorda formalisme essesielt er de samme for alle fullstedige sett som svarer til diskrete spektra. Også for egefuksjossett som svarer til kotiuerlige spektra vil du se i Hemmer at framgagsmåte er este de samme; e erstatter bare summee i utvikligsformele og i fullstedighetsrelasjoe med itegraler. Her skal vi som et alterativ til dee framgagsmåte i bruke de baklegse metode se ovefor) på et eksempel, emlig egefuksjossettet til impulsoperatore ˆp x : c. Impulsegefuksjoer som basis. Fourier-itegraler Vi har sett at impulsoperatore ˆp x h/i)/x er hermitesk, med et kotiuerlig spektrum p, ). I dette tilfellet er det lett å vise at egefuksjoee ψ p x) 2π h) 1/2 e ipx/ h, T3.14)

4 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 4 med deltafuksjosormerige ψ p x)ψ p x)dx δp p ), T3.15) daer et fullstedig sett. Her må vi vete at både fullstedighetsrelasjoe og utvikligsformele ieholder itegraler over alle egeverdier p. Vi veter altså å fie e fullstedighetsrelasjo på forme ψ p x)ψ p x )dp δx x ), T3.16) og e utvikligsformel som ser slik ut, gx) φp) ψ p x) dp, T3.17) hvor fuksjoe φp) spiller rolle som utvikligskoeffisiet. Bevis: Vi beviser først fullstedighetsrelasjoe, ved å sette i plabølgee T3.14) på vestre side av T3.16): ψ p x)ψ p x )dp 1 2π e ix x )p/ h) dp/ h) δx x ), q.e.d. Så bruker vi dee på høyreside i idetitete T3.11), aalogt med framgagsmåte i T3.13): gx) δx x )gx )dx dx dp ψ p x)ψ ) p x ) gx ) dp dx ψ ) p x )gx ) ψ p x) Dee utvikligsformele, dp ψ p, g ψ p x) dp φp) ψ p x), q.e.d. T3.18) gx) φp) ψ p x) dp, T3.19) er kjet som et Fourier-itegral. Vi legger merke til at utvikligskoeffisiete φp) også her er e projeksjo av fuksjoe gx) som skal utvikles, på ehetsvektore som her er ψ p x): φp) ψ p, g ψ p x) gx) dx. T3.20) Dee er kjet som Fourier-trasforme av fuksjoe gx). Det er bare otasjoe som skiller disse formlee fra stadardformlee for Fourier-trasformasjoer som du fier side 383 i Hemmer, gx) Gk) 1 2π 1 2π Gk) e ikx dk, e ikx gx) dx. T3.21)

5 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 5 Se også Griffiths side 46, og B&J side 776.) I Fourier-aalyse er det velkjet at de frihetee vi har tatt oss med å bytte rekkefølge på itegrasjoer er tillatt år fuksjoe gx) er kvadratisk itegrerbar. Da viser det seg at også trasforme φp) blir kvadratisk itegrerbar, og dessute får samme ormerig som gx): gx) 2 dx φp) 2 dp. T3.22) Dee er kjet som Parcevals relasjo. Legg ellers merke til at diskrete egefuksjossett som oscillatorfuksjoee T3.5) er ormerbare til 1) og altså er medlemmer av vektor-rommet av kvadratisk itegrerbare fuksjoer. Plabølgee ψ p x) e ipx/ h e ikx, derimot, er ikke ormerbare til 1 og krever deltafuksjosormerig. Vi har derfor de merkelige situasjoe at disse daer e fullt brukbar basis for rommet av kvadratisk itegrerbare fuksjoer, samtidig som de selv ikke hører til i dette rommet. Me Fourieraalytikere vet at dette ikke er oe problem i det hele tatt. Det er helt greit å bruke basisfuksjoer som ligger utefor dette såkalte Hilbert-rommet, så lege disse basisfuksjoee daer et fullstedig sett. 3 dimesjoer Det er ekelt å geeralisere formelverket ovefor til 2 eller 3 dimesjoer. For eksempel har vi at det fullstedige settet av egefuksjoer til impulsoperatore ˆp h er plabølgesettet i ψ p r) 2π h) 3/2 e ip r/ h ψ px x)ψ py y)ψ pz z). Dette settet oppfyller fullstedighetsrelasjoe ψ p r) ψ pr ) d 3 p δr r ), T3.23) T3.24) og daer e basis for det tredimesjoale Fourier-itegralet: E vilkårlig kvadratisk itegrerbar fuksjo gr) ka utvikles som gr) φp) ψ p r)d 3 p, T3.25) og Fourier-trasforme er projeksjoe av fuksjoe gr) på ehetsvektore ψ p r), φp) ψ p, g ψ pr) gr) d 3 r. T3.26) Me adre fullstedige sett ka også brukes; se avsitt i Hemmer. Som et spesielt eksempel ka vi eve egefuksjoee til H-atomet Coulomb-problemet), Ĥ h2 2m 2 e2 4πɛ 0 r. I dette tilfellet er de bude tilstadee kvadratisk itegrerbare, mes de ubude krever deltafuksjosormerig. I slike tilfeller vil utvikligsformele og fullstedighetsrelasjoe ieholde både e sum over diskrete egeverdier) og et itegral over kotiuerlige. De bude tilstadee alee daer altså ikke et fullstedig sett. Se f.eks B&J, avsitt 5.3.

6 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 6 d. Fysisk tolkig av utvikligskoeffisietee Fourier-aalyse er et viktig redskap på mage områder i fysikk og tekologi. Me hvorfor er også fullstedighete til alle de adre egefuksjossettee til hermiteske operatorer og de resulterede utvikligsformlee så viktige i kvatemekaikk? Mye av svaret ligger i de fysiske tolkige av utvikligskoeffisietee. Også dette er ydelig beskrevet i Hemmer, i avsitt 2.5.2, så det som kommer her blir bare e variasjo over samme tema. For å skjøe dette resoemetet må vi prøve å holde to taker i hodet på é gag. De ee er at vi teker på et fysisk system egetlig et esemble), preparert i e fysisk tilstad som beskrives av e ormert bølgefuksjo Ψ. Dee ka vi teke på som e fuksjo som avheger både av rom og tid, eller som de romlige bølgefuksjoe ved et bestemt tidspukt. De adre take er at vi ka gjøre måliger av e observabel F på dette systemet. Vi ka f.eks måle eergie E.) Ata for ekelhets skyld at de tilhørede hermiteske operatore ˆF har et diskret, ikke-degeerert spektrum {f } med et tilhørede ortoormert egefuksjossett ψ : ˆF ψ f ψ ; ψ k, ψ ψ k ψ dτ δ k. T3.27) Da ka vi utvikle systemtilstade Ψ i det fullstedige settet ψ : Ψ c ψ ; c ψ, Ψ ψ Ψ dτ. T3.28) Dette ka vi bruke i beregige av forvetigsverdie av observabele F ved måligee: F Ψ Ψ ˆF Ψ dτ ˆF Ψ) Ψ dτ ) ) ˆF c ψ Ψ dτ c ˆF ψ Ψ dτ c f ψ Ψ dτ f reell) }{{} c c f c c 2 f. T3.29) Samtidig forteller målepostulatet se side 23 i Hemmer) at hver målig av F må gi e av egeverdiee f og etterlate systemet i de tilhørede egetilstade ψ. Ifølge valig sasylighetsregig betyr dette at forvetigsverdie også ka uttrykkes slik: F Ψ P f, T3.30) der P er sasylighete for å måle egeverdie f. Ved å sammelige disse to formlee ser vi at sasylighete må være lik kvadratet av utvikligskoeffiseiete: P c 2.

7 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 7 Morale som vi ka trekke ut av dette resoemetet er følgede fysiske tolkig av utvikligskoeffisietee i T3.28): Når systemet er i tilstade Ψ, så er sasylighete for at e målig av F gir egeverdie f og etterlater systemet i tilstade ψ ) P c 2 ψ, Ψ 2 ψ 2 T3.31) Ψ dτ. På gru av dette kalles selve utvikligskoeffisiete c ofte for sasylighetsamplitude for å måle f og etterlate systemet i de tilhørede egetilstade ψ ). Her er det viktig å legge seg på miet at dee amplitude gaske ekelt er projeksjoe av systemtilstade Ψ før målige på de resulterede tilstade ψ etter målige; c ψ, Ψ. Dette er e setral regel i kvatemekaikk. Merk at e målig ormalt vil edre tilstade til det kvatemekaiske systemet. Dette er sarere e regel e et utak. Et eksempel er år vi f.eks måler eergie E for et system, og etterlater systemet i eergiegetilstade ψ. Dersom systemet ikke var i dee tilstade før målige, er tilstade blitt edret. Me etter dee målige vil e y målig av eergie gi samme verdi E og ikke edre tilstade. Merk ellers at summe av sasylighetee er lik 1: P Dette svarer til at tilstade Ψ er ormert. c 2 1. Et ekelt eksempel La systemet være e partikkel i boks, med eergiegefuksjoee ψ x) 2/L siπx/l) og eergiegeverdiee E 2 E 1 ; E 1 π 2 h 2 /2mL 2 ); 1, 2,. Da vet vi at Ψ x, t) ψ x) e iet/ h er stasjoære) løsiger av Schrödigerligige for bokse, Ψx, t) i h t ĤΨx, t). Ifølge superposisjosprisippet vil også lieærkombiasjoer av slike stasjoære tilstader oppfylle Schrödigerligige og beskrive akseptable fysiske tilstader. Som et ekelt eksempel på e slik ikke-stasjoær tilstad ka vi se på bølgefuksjoe Ψx, t) e ie 1 t/ h ψ 1 x) e ie 2t/ h ψ 2 x). I dette tilfellet er det bare to sasylighetsamplituder som er forskjellige fra ull, c e ie 1 t/ h og c e ie 2t/ h.

8 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 8 Vi merker oss at summe av de to sasylighetee er c 2 c c , 4 4 som i realitete svarer til at Ψ er ormert. Dette ka du prøve å sjekke.) Når boks-systemet er preparert i dee tilstade Ψ, vil e eergimålig gi grutilstadseergie E 1 og etterlate systemet i grutilstade) med sasylighete 3/4, mes sasylighete for å måle eergie E 2 4E 1 ) og etterlate systemet i første eksiterte tilstad er 1/4. Forvetigsverdie av eergie er E Ψ c 2 E 3 4 E E E 1. E ka også more seg med å rege ut usikkerhete i eergie i dee tilstade. Degeererte egeverdier foreleses) I tilfeller der de målte egeverdie er degeerert, må vi gjøre oe presiseriger, både år det gjelder målepostulatet og tolkige av utvikligskoeffisietee. Som et eksempel ka vi teke på e tredimesjoal isotrop harmoisk oscillator [med V 1 2 mω2 r mω2 x mω2 y mω2 z 2.] Ved å skrive eergiegefuksjoee som produkter av édimesjoale oscillatoregefuksjoer é for hver av de tre retigee x, y og z) er det lett å se at eergiivåee er E N hωn + 3/2), N 0, 1, 2,. T3.32) Se side 83 i Hemmer.) For N 1 fier e at disse ivåee er degeerert, med degeerasjosgrad g N 1 N + 1)N + 2). T3.33) 2 For et gitt eergikvatetall N er det altså g N eergiegetilstader med samme eergi E N, ψ Ni, i 1, 2,, g N. Tilsamme daer alle disse tilstadee et fullstedig sett, som ka brukes til å utvikle e vilkårlig kvadratisk itegrerbar fuksjo gr), deriblat tilstade Ψ som vi har valgt å preparere oscillatore i systemtilstade): g N 3 6 Ψ c Ni ψ Ni c 01 ψ 01 + c 1i ψ 1i + c 2i ψ 2i +. N0 i1 i1 i1 Utvikligskoeffisietee er projeksjoee T3.34) c Ni ψ Ni, Ψ ψ Ni Ψ d 3 r. T3.35) E serie av måliger av eergie på dee oscillatortilstade Ψ vil gi e middelverdi like i ærhete av de teoretiske forvetigsverdie, som ka uttrykkes ved utvikligskoeffisietee, på samme måte som i T3.29): E Ψ ĤΨ ) Ψ d 3 r

9 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 9 ) c Ni Ĥψ Ni Ψ d 3 r N i c NiE N ψ Ni Ψ d 3 r N i }{{} c Ni gn ) c Ni 2 E N. N i1 T3.36) Samtidig har vi at E Ψ N P N E N, T3.37) der P N er sasylighete for å måle eergie E N. Så sasylighete for å måle de degeererte eergiegeverdie E N er P N g N i1 c Ni 2. T3.38) Umiddelbart etter dee målige av eergie E N vil oscillatore være i e tilstad beskrevet ved de ormerte) bølgefuksjoe ψ N gn i1 c Ni ψ Ni g N i1 c Ni ψ Ni. T3.39) Så de dele av de opprielige bølgefuksjoe Ψ som ikke er forelig med eergie E N skrelles altså bort ved dee målige. Dette viser hvorda målepostulatet side 23 i Hemmer) må formuleres år e egeverdi er degeerert. For de ikke-degeererte grutilstade N 0) ka du legge merke til at tilstade etter målige ifølge dee formele blir c 01 ψ 01 c 01 ψ 01 c 01 c 01 ψ 01, i tråd med formulerige side 23. Fasefaktore c 01 / c 01 er ute betydig.) e. Fysisk tolkig i det kotiuerlige tilfellet De fysiske tolkige av utvikligskoeffisietee i det kotiuerlige tilfellet er veldig klart og kosist beskrevet side 34 i Hemmer. Se også Griffiths side og B&J side 208.) Her skal vi igje se på eksemplet med impulsegefuksjoee ψ p x) 2π h) 1/2 e ipx/ h, ˆp x ψ p x) pψ p x), p, ). T3.40) Istedefor e vilkårlig kvadratisk itegrerbar fuksjo gx) velger vi dee gage å utvikle de tidsavhegige bølgefuksjoe Ψx, t) for et édimesjoalt kvatemekaisk system: Ψx, t) Φp, t) ψ p x) dp. T3.41) Side Ψx, t) avheger av tide vil også Fourier-trasforme Φp, t) gjøre det: Φp, t) ψ p, Ψt) ψ p x) Ψx, t) dx. T3.42)

10 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 10 I tråd med T3.29) er opplegget videre å berege forvetigsverdie av observabele p x i tilstade Ψ: p x Ψ dx Ψ x, t) ˆp x Ψx, t) dx ˆp x Ψx, t)) Ψx, t) dx ˆp x dp Φp, t) ψ p x)) Ψx, t). Her erstatter vi ˆp x ψ p x) med pψ p x) og bytter rekkefølge på itegrasjoee: p x Ψ På de ae side har vi at dp Φ p, t) p dp Φ p, t) p Φp, t) p x Ψ dx ψ ) p x) Ψx, t) P p) dp, dp Φp, t) 2 dp. der P p) er sasylighetstetthete i p-rommet [slik at P p)dp er sasylighete for å måle impulse p x i itervallet p, p+dp)]. De fysiske tolkige av utvikligskoeffisiete, Fourier-trasforme Φp, t) er altså: Når systemet før målige er i tilstade Ψx, t), så er sasylighete for å måle p x i itervallet p, p + dp) P p)dp Φp, t) 2 dp ψ p, Ψ 2 dp ψ 2 T3.43) p x)ψx, t) dτ dp. Sasylighetstetthete i p-rommet er altså kvadratet av Fourier-trasforme Φp, t). Dette er aalogt med at sasylighetstetthete i x-rommet er Ψx, t) 2. f. Posisjos-egefuksjoee δx x ) ψ x x) som basis x-basise ) foreleses) Relasjoe xδx x ) x δx x ) T3.44) ka tolkes som e egeverdiligig for operatore ˆx x. Her er x egeverdie og de x-avhegige egefuksjoe som svarer til dee egeverdie er δx x ) ψ x x) e fuksjo av x).

11 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 11 Til sammeligig er ψ p x) e impulsegefuksjo med egeverdie p.) Det kotiuerlige spektret x, ) av egeverdier iebærer at vi må bruke δ fuksjosormerig: ψ x x)ψ x x)dx δx x )δx x )dx δx x ), T3.45) aalogt med ormerige ψ p x)ψ p x)dx δp p ) for impulsegefuksjoee. Posisjosegefuksjoee ψ x x) δx x ) er fullt brukbare som e basis for rommet av kvadratisk itegrerbare fuksjoer, selv om heller ikke disse basisfuksjoee hører til i dette fuksjosrommet. Vi ka f.eks utvikle e systembølgefuksjo Ψ. Dee utviklige følger direkte fra idetitete Ψx, t) Ψx, t)δx x )dx Ψx, t)ψ x x)dx. Utvikligskoeffisiete er altså Ψx, t). Dee utviklige er aalog med Ψx, t) Φp, t)ψ p x)dp. T3.46) Ispirert av T3.43) ka vi da tolke Ψx, t) 2 dx som sasylighete for å måle posisjoe i itervallet x, x +dx ). Dette gjekjeer vi som sasylighetstolkige av bølgefuksjoe. Dette illustrerer at rolle som Ψx, t) 2 spiller i posisjos-rommet er de samme som spilles av Φp, t) 2 i impuls-rommet. g. Impulsrepresetasjoe av kvatemekaikk Dee likhete mellom posisjos-og impuls-rommee er ige tilfeldighet. Som forklart i avsitt 4.6 i Hemmer, er det lett å formulere e versjo av teorie hvor Φp, t) spiller rolle som bølgefuksjo i impuls-rommet. Dee rolle er aalog med de som spilles av de ordiære bølgefuksjoe Ψx, t) i posisjosrom-formulerige av kvatemekaikk, som vi å etter hvert er i ferd med å bli vat med, og som er de som brukes mest på dette ivået. I de ye formulerige, impulsrom-formulerige av kvatemekaikk, kjeer vi alt oppskrifte for å berege forvetigsverdier av observable som bare avheger av p x, som f.eks K p 2 x/2m. Side sasylighetstetthete i impulsrommet er Φp, t) 2, har vi at F p x ) Φ som er aalog med Φp, t) 2 F p)dp V x) Ψ Φ p, t) F p) Φp, t) dp, Ψ x, t) V x) Ψx, t) dx T3.47) i posisjosrom-formulerige. Morale er at observabele p x i impulsrom-formulerige represeteres av e operator som gaske ekelt er lik tallet p, ˆp x p. T3.48) Dette er aalogt med at ˆx x i posisjosrom-formulerige.

12 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 12 Hva så med operatoree som skal represetere x og fuksjoer av x som f.eks V x)) i de ye formulerige? For å fie svaret på dette ka vi ata at V x) ka Taylor-utvikles, V x) v x, hvor koeffisietee er v. Forvetigsverdiee av x og poteser av x ka vi fie vha de gamle formulerige. Side x er hermitesk, har vi x Ψ x, t) x Ψx, t) dx x Ψ) Ψ dx dx x dp Φp, t) ψ p x)) Ψx, t). Her beytter vi oss av idetitete x e ipx/ h h i ) e ipx/ h, p T3.49) som betyr at Isettig og ordig gir da x x ψ p x) h i h dx dp Φp, t) i p dp Φ p, t) h ) i p dp Φ p, t) h i ) ψ p x). T3.50) p ) ψ p x)) Ψx, t) dx ψ p x)ψx, t) }{{} Φp,t) ) Φp, t). T3.51) p Ved å sammelige med de geerelle sadwich-oppskrifte for forvetigsverdier, F Φ dp Φ p, t) ˆF Φp, t), T3.52) ka vi kokludere med at observabele x i impulsrom-formulerige represeteres av te potes av operatore ˆx h i p. T3.53) For e fuksjo av x som f.eks V x) v x fier vi at V x) Φ dp Φ p, t) [ v h i De potesielle eergie represeteres altså av operatore v h i ) p ˆV h i ) ] Φp, t). p ). p T3.54)

13 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 13 Dette kalles e operatorfuksjo, og Taylor-utviklige på vestreside viser hva vi meer med dette begrepet. Som et eksempel svarer det harmoiske oscillator-potesialet V x) 1 2 mω2 x 2 til operatore ˆV 1 2 mω2 h i p )2. Vi har å lært oss å berege forvetigsverdier av observable som avheger av x og p x i de ye formulerige, vha bølgefuksjoe Φp, t). Me ka vi være sikre på at dee fuksjoe ieholder all mulig iformasjo om systemet, slik Ψx, t) gjør ifølge tilstadspostulatet side 21 i Hemmer? Svaret er ja: Kjeer vi Φp, t), så kjeer vi også Ψx, t), via Fourier-itegralet Ψx, t) og vice versa, via Fourier-trasforme Φp, t) Φp, t) ψ p x) dp, ψ p x) Ψx, t) dx. Så de to fuksjoee ieholder de samme iformasjoe. Me står ikke Ψx, t) i e særstillig, side de oppfyller e bølgeligig, Schrödigerligige? Svaret er ei: Det eksisterer e bølgeligig også for Φp, t). Dee ka vi fie ved å starte med de deriverte i h/t)φp, t) og håpe på det beste: Ved å sette i formele ovefor fier vi i h t Φp, t) ψ p x) i h i h t Ψx, t) dx t Ψ [ˆp 2 x/2m + V x) ] ) Ψ Her har vi brukt at [ ψ p x) [ˆp 2 x/2m + V x) ] }{{} [ ˆp 2 x/2m + p 2 /2m + hermitesk Ψx, t) dx ] ) v x ψ p x) Ψx, t) dx v h i ˆp x ψ p x) pψ p x) og x ψ p x) p 2 /2m + ) ] ) ψ p x) Ψx, t) dx. p h i ) ψ p x). p I det siste uttrykket ka vi flytte operatore [ ] til vestre for itegralteget, fordi de ikke avheger av x, og får: [ v h ) ] i p [ p 2 /2m + ˆV h i ψ p x)ψx, t) dx }{{} Φp,t) )] Φp, t) ĤΦp, t). p T3.55) Dette må vi jo si er e suksess: Φ oppfyller e bølgeligig, og forme er jo slik at vi ka kalle også dee e Schrödigerligig! Vi har altså to ekvivalete utgaver av kvatemekaikke, posisjosrom-formulerige posisjosrepresetasjoe) og impulsrom-formulerige impulsrepresetasjoe). Dee

14 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 14 situasjoe oppsummeres av tabelle side 81 i Hemmer, hvor formalisme er geeralisert til 3 dimesjoer. Med betegelsee x, y, z eller x i, i 1,.., 3) for de kartesiske koordiatee ser tabelle ut som edefor, hvor vi ser at begge bølgefuksjoee oppfyller Schrödigerligige, med e Hamilto-operatore gitt ved de geerelle formele Ĥˆx i, ˆp i ) ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z 2m + ˆV ˆx, ŷ, ẑ). Posisjosrepresetasjoe Impulsrepresetasjoe Bølgefuksjo Ψx, y, z, t) Φp x, p y, p z, t) Operator ˆx i x h i i p i Operator ˆp i Bølgeligig h i x i i h Ψ t Ĥˆx i, ˆp i )Ψ p i i h Φ t Ĥˆx i, ˆp i )Φ Eksempel: Fri partikkel For e fri partikkel i é dimesjo V 0) ser Schrödigerligige i impulsrepresetasjoe slik ut: Φp, t) i h p2 t 2m Φp, t) p p x). Her betyr /t derivasjo med fastholdt t. Da er det lett å se f.eks ved isettig) at de tidsavhegige bølgefuksjoe i impulsrommet blir Φp, t) Φp, 0) e ip2 /2m)t/ h. T3.56) Her er φp, 0) impulsbølgefuksjoe ved t 0, som vi i prisippet ka preparere på e vilkårlig måte, me slik at de er ormert: Φp, 0) 2 dp 1. Fra løsige T3.56) ser vi at sasylighetstetthete i impulsrommet blir tidsuavhegig for de frie partikkele, Φp, t) 2 φp, 0) 2,

15 TFY4250/FY2045 Tillegg 3 15 og dette bør vel ikke overraske. Det samme vil da gjelde for alle forvetigsverdier av ret p-avhegige observable, som f.eks p Φ p, t) p Φp, t) dp Φ p, 0) p Φp, 0) dp p t0, p 2, p, osv. Vi ka også fie ut hvorda forvetigsverdie av posisjoe oppfører seg: Fra T3.53) og T3.55) fier vi x t Φ p, t) h i Φ p, 0)e ip2 /2m)t/ h Φ p, 0) x t0 + p m t. h i ) Φp, t) dp p [ h i p Φp, 0) Φp, 0) h i ) Φp, 0) dp + t p m )] ip2 t e ip2 /2m)t/ h dp p 2m h Φ p, 0) p Φp, 0) dp Forvetigsverdie x t beveger seg altså jevt, fra x t0 ved t 0, og med hastighete p /m. Dette harmoerer med Newtos første lov.