2.9 Lineær minimering

Transkript

1 2.9 Lineær minimering OPPGAVE 2.90 a) Med nivålinje Vi løser oppgaven som i eksempelet, men oppdaterer nivålinjen til den nye prisen, U = 200x y, og bruker glideren til å parallellforskyve linjen til den treffer det aktuelle området. Det skjer i punktet ( 4, 10 ). Det er vanskelig å treffe nøyaktig med glideren, så vi regner ut den minimale utgiften i punktet. Vi skriver inn den nye utgiftsfunksjonen i CAS og regner ut verdien i alle hjørnene. Utgiftene blir minst når skolen leier 4 busser av type A og 10 busser av type B. Utgiftene er da kr.

2 b) Med nivålinje Vi oppdaterer nivålinja til å samsvare med de nye prisene: U = 000x+ 2400y og bruker glideren til å parallellforskyve linja til den treffer det aktuelle området. Nivålinja 000x+ 2400y = U y = x + U har samme stigningstall som begrensningslinja 40x+ 2y = 480 y = x + 1, slik at de to linjene faller sammen 4 12, 0. mellom punktene ( 4, 10 ) og ( ) Det er vanskelig å treffe nøyaktig med glideren, så vi regner ut den minimale utgiften i et av disse punktene. Vi skriver inn utgiftsfunksjonen i CAS og regner ut verdien i alle hjørnene. Vi ser at utgiften er minimal i både ( 4, 10 ) og ( ) 12, 0, og dermed langs hele begrensningslinja mellom disse to punktene, y = x Siden antall busser må være heltall, blir antallet busser gitt av alle heltallskombinasjoner av x og y, der y = x + 1 og x er mellom 4 og 12: 4 x y 10 8,7 7, 6,2,7 2, 1,2 0 Den minimale utgiften forekommer ved leie av henholdsvis 4, 8 eller 12 busser av type A og 10, eller 0 busser av type B. Utgiften er da kr.

3 OPPGAVE 2.91 a) La x være antall busser av type A og y være antall busser av type B. Vi får følgende begrensninger av området: x+ y 12 Bussbegrensning 48x+ 2y 480 Setebegrensning x 0 Antallet kan ikke være negativt y 0 Vi tegner området og begrensningslinjene i GeoGebra, og bruker verktøyet «Skjæring mellom to objekt» til å finne hjørnene. Med nivålinje Vi tegner nivålinja U = 00x+ 2100y og parallellforskyver med glideren til den treffer området. Det skjer i punktet ( 6, 6 ), og vi finner den minste utgiften. Vi skriver inn utgiftsfunksjonen i CAS og regner ut verdien i hvert av hjørnene. Vi ser at utgiften er minst i punktet ( 6, 6 ), der den er 600 kr. Utgiften er minst når skolen leier 6 busser av type A og 6 busser av type B. Utgiften er da 600 kr.

4 b) Med nivålinje Vi oppdaterer nivålinja med de nye prisene, U = 600x+ 2700y, og parallellforskyver til den treffer området i punktet ( 10, 0 ). Der finner vi den minimale utgiften. Vi skriver inn utgiftsfunksjonen i CAS og regner ut verdien i hvert av hjørnene: Vi ser at utgiften er minst i punktet ( 10, 0 ), der den er kr. Utgiften er minst når skolen leier 10 busser av type A og 0 busser av type B. Utgiften er da kr.

5 c) Med nivålinje Vi oppdaterer nivålinja til å samsvare med de nye prisene: U = 600x+ 2400y og bruker glideren til å parallellforskyve linja til den treffer det aktuelle området. Nivålinja 600x+ 2400y = U y = x + U har samme stigningstall som setebegrensningslinja 48x+ 2y = 480 y = x +1, slik at de to linjene faller sammen 2 10, 0. mellom punktene ( 6, 6 ) og ( ) Det er vanskelig å treffe nøyaktig med glideren, så vi regner ut den minimale utgiften i et av disse punktene. Vi skriver inn utgiftsfunksjonen i CAS og regner ut verdien i hvert av hjørnene: Vi ser at utgiften er minimal i både ( 6, 6 ) og ( ) 10, 0, og dermed langs hele begrensningslinja mellom disse to punktene, y = x Siden antall busser må være heltall, blir antallet busser gitt av alle heltallskombinasjoner av x og y, der y = x +1 og x er mellom 6 og 10: 2 x y 6 4, 1, 0 Den minimale utgiften forekommer ved leie av henholdsvis 6, 8 eller 10 busser av type A og 6, eller 0 busser av type B. Utgiften er da kr.

6 OPPGAVE 2.92 La x være antall pakker av type A og y være antall pakker av type B. Vi får følgende begrensninger av området. 400x+ 100y Proteinbegrensning 800x+ 400y Karbohydratbegrensning x 0 y 0 Antallet kan ikke være negativt Vi tegner området og grenselinjene i GeoGebra og bruker verktøyet «Skjæring mellom to objekt» til å finne hjørnene av området. Fettmengden er gitt ved F = 400x+ 10 y. Vi tegner nivålinja og parallellforskyver til den treffer området i punktet ( 24, 48 ), der fettinnholdet er lavest mulig. Kokken bør blande 24 pakker av type A og 48 pakker av type B for å minimere fettinholdet.