b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene.

Transkript

1 Oppgave I Likninger og ulikheter a) Løs likningen: x + 2 a. + (3x + 4) ( x + 2) (3x + 4) x x + 2 2x 9x 2 5 x b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x -3. Løs også likningene. c) Løs ulikheten: 2 + x 3 < 2 x + 2x + 0 gir at x 2 Vi tester hva som skjer med ulikheten når 2x+>0 og når 2x+<0: 2x+>0 gir at x > - 2 Da kan vi multiplisere med 2x+ uten å endre ulikhetstegnet: 3(2x+) < 2+x > 6x-x < 2-3 > 5x < - x < - 5 De to kravene x > - 2 og x < - 5 gir løsningsmengden: L {x - 2 < x < - 5 } Vi tester videre på 2x+ < 0 som gir x < - 2 Da må vi snu ulikhetstegnet når vi multipliserer med (2x+) og får: 3(2x+) > 2+x > 6x-x > 2-3 > 5x > - x > - 5 De to kravene x < - 2 og x > - 5 lar seg ikke forene, så her har vi ingen løsning.

2 d) Vis, ved å sette inn aktuelle verdier, at løsningen du har kommet til i c) virkelig stemmer. L {x - 2 < x < - 5 } Ved å sette inn verdier i dette intervallet, for eksempel x - 4, får vi: 2 3 < 2 ( 4 ) < 4 7 > 3 < som vi ser stemmer. > 3 < 3,5 Setter vi inn verdier utenfor dette intervallet, for eksempel x og x -, får vi: < > 3 < og < > 3 < som ikke gjør utsagnet sant, hvilket viser at disse verdiene ikke er riktige løsninger. e) Vis hvordan dette problemet kan løses ved hjelp av likning: I 936 var bestemor dobbelt så gammel som Sally var i 999. I 944 var bestemor tre ganger så gammel som Sally var i 999. Hvor gammel var bestemor i 999? Dette problemet kan løses på flere måter. Her er en måte: x bestemorsalder i 999 y Sallys alder i 999 x 63 2 * y x 55 3 * y x 63 x x 89 2x 0 3x 2x 89 0 x 79

3 f) Finn x og y i dette likningssettet. x + 2y 2 3 2x 3( y ) 2 Omformer likning I og II: I x + 6y -6 II 2x 3y +3 2 Bruker innsettingsmetoden: I x -6 6y II 2(-6-6y) 3y y 3y y y 5 y -2 Setter inn i I og får: I x -6 6(-2) x 6 Setter x- og y-verdiene inn i likning I og II og ser at løsningene stemmer. g) Hva er en likning? Et matematisk uttrykk med en eller flere ukjente variabler. Det er som regel kun en løsning som gjør uttrykket sant. Likhetstegnet er vesentlig. I skolen bruker man ofte skålvekta som bilde på en likning. Variabelen / variablene fungerer som plassholdere i en likning. Det betyr at man kan gjøre omtrent hva man vil med en likning bare man gjør det samme på begge sider av likhetstegnet.

4 Oppgave 2 a) Forklaring til konstruksjonen: i) Sett av AB6cm. ii) Konstruer 90 i B og 60 i A. iii) Skjæringspunktet mellom disse vinkelbeina gir hjørne C. b) I en trekant der vinklene er 30, 60 og 90 grader er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den minste kateten. c) AB 2 + BC 2 AC BC BC BC BC 2 08 BC 2 08 BC 0,4 cm d) og e) se figur f) Vinklene i de to trekantene er parvis like store: ABC ADB 90 CAB BAD 60 (felles) BCA DBA 80 ( ) 30 g) Vi kan f. eks. Bruke følgende forhold: DB BA BC CA DB 6 0,4 2 2 DB 6 0,4 62,4 DB 5,2 cm 2

5 h) Kan gjøres på flere måter, f. eks. slik: Jeg vet at AB D ABD siden det er en speiling. Da må arealet av B BC være dobbelt så stort som arealet av ABD. Lengden av AD er ½ AB 3cm (minste katet i en trekant der vinklene er 30, 60 og 90 grader) CD må da være 2cm 3 cm 9 cm. B B 2 DB 2 5,2cm 0,4 cm A B BC B' B CD 0,4cm 9cm 46,8cm cm 2 i) Arealet i h) må da multipliseres med (2,5) 2 6,25 Arealet ville da blitt: 47 cm 2 6,25 293,75cm 2 Oppgave 3 Jeg kjenner to punkt, altså to x-verdier og 2 y-verdier. Da kan jeg v.h.a. det generelle uttrykket for en lineær funksjon sette opp et likningssett med to ukjente, a og b. I) 5 2a + b II) 0 2a + b Hvis vi adderer de to likningene får vi: 5 2b b b 5 2 2,5 Setter b 2, 5 inn i II) og får: 0 2a + 2,5 2a 2,5 a,25 Funksjonsuttrykket blir da: f(x) -,25x +2,5

6 b) Situasjonen kan f. eks. være at flere personer skal dele på en utgift. Et eksempel er at en klasse skal leie en buss. Prisen hver enkelt må betale vil da avta jo flere personer som skal være med å dele. c) 2000 f ( x) x d) t Generelt: f ( t) a Vi skal altså vise at vekstfaktoren er 0, Reduksjonen er på 2, % pr. 000 år. Det vil si 0,02% pr. år 00% - 0,02% 99,9879% 0, Oppgave IV Variabelbegrepet Firmaet Lea Levegg selger levegger. De selges i alle størrelser. Den minste, størrelse, er bygget opp av 3 like lange metallstenger. a) Hvordan ser levegg 4 og 5 ut? Hvor mange metallstenger trenger man til størrelse 4? Størrelse 5? Størrelse 4 Størrelse 5

7 Størrelse Antall stenger (n) n 3n+(n-) b) Grafen viser sammenhengen mellom størrelse og antall stenger. Finn funksjonsuttrykket for grafen, og beskriv variablenes rolle i en slik funksjon. Ved å lese av grafen, ser vi at stigningstallet (a) er 4 og at krysningspunktet med y- aksen (b) er -. Det gir: f(x) 4x- Ser vi på uttrykket for størrelse n i tabellen over, S n 3n+(n-), kan dette omformes til S n 3n+n-4n- I en funksjon benyttes variablene til å formulere en sammenheng mellom størrelser. En uavhengig variabel (gjerne kalt x) og en avhengig variabel (gjerne kalt y eller f(x)). Funksjonsuttrykket bestemmer hvordan x og y henger sammen. I vår funksjon over, er for eksempel y (eller f(x)) en mindre enn fire ganger så stor som x, for alle verdier av x.

8 c) Hva er det største gjerdet man kan bygge med 00 stenger? Hvilken rolle har variabelen i arbeidet med å finne svar på dette spørsmålet? Dette problemet kan løses ved hjelp av likning (kan gjerne også betrakte en ulikhet): 00 4x- 0 x 4 x 25,25 Det største gjerdet man kan bygge er ett i størrelse 25. Da får man en stang til overs. I en likning fungerer variabelen som en plassholder. Man kaller ofte variabelen for den ukjente. Man kan imidlertid også betrakte den som en variabel, der en verdi gjør utsagnet sant, og resten gjør utsagnet usant.