Lineær optimering oppgaver

Transkript

1 Lineær optimering oppgaver Innhold 4.1 Lineær optimering Eksamensoppgaver Lineær optimering Gitt den generelle likningen y ax b for en rett linje. Forklar hva koeffisientene a og b forteller oss Løs følgende likninger med hensyn på y. a) 2x y 4 b) 3 y 4 x c) 3y 6x 12 d) e) 1 1 x y x y 9 2 1

2 4.1.3 Løs følgende likninger med hensyn på y. a) 2x 2y 4 b) c) 1 1 x y y 2 x 3 2 d) Tegn linjene til likningene i oppgave a), b) og c) i samme koordinatsystem a) Tegn linjene til likningene 2x y 1 og 4x 2y 6 i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk og ved regning. c) Finn skjæringspunktene mellom linjene og koordinataksene ved regning a) Tegn linjene til likningene 1,5x 0,5y 3 og 0,5y 1 0,5x i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk og ved regning. c) Finn skjæringspunktene mellom linjene og koordinataksene ved regning. 2

3 4.1.6 a) Tegn linjen til likningen y x 1 i et koordinatsystem. b) Skraver det området som er slik at y x 1. c) Tegn linjen til likningen y x 2 i samme koordinatsystem. d) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1 og y x 2. e) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1, y x 2 og y 0. f) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1, y x 2, y 0 og x a) Skraver området som er bestemt av ulikhetene y x 1 y 0,5x 2 y 0 x 0 b) Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom de to skrå linjene. c) Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom de to skrå linjene og koordinataksene a) Skraver området som er bestemt av ulikhetene 2y 3x 30 4y 6x 0 x 0 b) Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom til de to skrå linjene. 3

4 4.1.9 Gjør oppgave og ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra Funksjonen I x, y 400x 200y beskriver den inntekten en bedrift har ved å selge x antall av produkt A og y antall av produkt B. Inntekten er gitt i kroner. a) Bestem følgende inntekter: 1. I 25, I 60, I 100, I 120, 60 b) Tegn en linje i et koordinatsystem som viser hvilke verdier av x og bedriften blir nøyaktig kr. ysom er slik at inntekten til c) Tegn en linje som går gjennom punktene 20, 160 og 80, 40 i samme koordinatsystem som ovenfor. d) Hvilken inntekt får bedriften dersom den selger de kombinasjoner av produkter som ligger langs linjen du fant i c)? e) Hva kan du si om linjene du fant i c) og b)? f) Hva kalles disse linjene? 4

5 En bonde har en åker der han skal dyrke gulrøtter og blomkål. Åkeren er på 20 dekar. Bonden vil bruke x dekar til gulrøtter og y dekar til blomkål. a) Tegn en linje i et koordinatsystem som viser hvilken begrensing bonden har når det gjelder arealet han skal dyrke grønnsakene på. b) Forklar hvorfor linjen du tegnet i a) skjærer koordinataksene i 20,0 og 0,20. c) Skraver det området som viser alle mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. Husk at vi ikke kan ha negativt areal. Kostnadene er kroner per dekar for gulrøtter og 4300 kroner per dekar for blomkål. Bonden vil ikke bruke mer enn kroner på produksjonen av grønnsakene. d) Tegn en linje i samme koordinatsystem som ovenfor som viser begrensingen disse opplysningen gir. Skraverer det området som nå gir mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. Bonden regner med å bruke 15 timer per dekar til å dyrke gulrøttene og 35 timer per dekar til å dyrke blomkålen. Til sammen ønsker han ikke å legge ned mer enn 500 timer arbeidsinnsats på produksjonen av gulrøtter og blomkål. e) Tegn en linje i samme koordinatsystem som ovenfor som viser begrensingen disse opplysningene gir. Skraverer det området som nå gir mulige arealfordelinger mellom gulrøtter og blomkål. Bonden forventer å få solgt gulrøttene til 6,50 kroner per kg og blomkålen til 9,50 kroner per kg. Forventet avling av gulrøtter per dekar er kg og forventet avling av blomkål er kg. f) Forklar at inntekten, I, i kroner, er gitt ved likningen I x y. g) Finn den arealbruken som gir bonden høyest mulig inntekt. 5

6 En dag lager et gatekjøkken Cheeseburger og Maxburger. Til Cheeseburgeren går det med 130 gram kjøtt og til maxburgeren går det med 170 gram kjøtt. Gatekjøkkenet har 8 kg kjøtt på lager. I Cheeseburgeren brukes det 22 gram ost og til Maxburgeren brukes det 18 gram ost. På lageret har gatekjøkkenet 1,1 kg ost. Det tar 4 minutter å lage en Cheeseburger og 8 minutter å lage en Maxburger. Gatekjøkkenet har en person som kan disponere inntil 6 timer til denne jobben. La x stå for antall Cheeseburgere og y for antall Maxburgere. a) Sett opp tre ulikheter som beskriver produksjonen av burgere denne dagen. b) Forklar at betingelsene x 0 og y 0 må være oppfylt. c) Skraver området som er avgrenset av betingelsene i a) og b). Butikken har en fortjeneste på 1,50 kroner på hver Cheeseburger og 1,80 kroner på hver Maxburger. Vi antar at de får solgt alle burgerne som lages denne dagen. d) Forklar at en funksjonen F for fortjeneste til gatekjøkkenet er gitt ved F x, y 1,5x 1,8y. e) Tegn inn nivålinjen til F x, y i koordinatsystemet ovenfor og finn optimal produksjon av burgere denne dagen. 6

7 En bedrift framstiller tre produkter A, B og C. Produksjonen foregår i to avdelinger. Antall enheter som produseres i timen i de to avdelingene går fram av tabellen nedenfor. A B C Avdeling Avdeling Bedriften har fått en ordre på minst enheter av produkt A, minst enheter av produkt B og minst enheter av produkt C. Kostnadene i avdeling 1 er 700 kroner per time og 1000 kroner per time i avdeling 2. Bestem hvor mye avdeling 1 og avdeling 2 skal produsere av produktene A, B og C slik at kostnaden for bedriften blir lavest mulig. La antall timer i avdeling 1 være x og la y være antall timer i avdeling 2. Gi svaret i hele timer En møbelprodusent produserer to modeller av en stol, en standardmodell og en luksusmodell. Stolene skal gjennom tre avdelinger i bedriften før de er klare for salg. Tidsbruken i timer som stolene er innom den enkelte avdeling er gitt i tabellen nedenfor. Den enkelte avdelings produksjonskapasitet i timer per uke er også oppgitt i tabellen. Avdeling I Avdeling II Avdeling III Standardmodell Luksusmodell Kapasitet per uke Fortjenesten, F, på standardmodellen er 400 kroner og på luksusmodellen 600 kroner. a) Finn den maksimale fortjenesten bedriften har på disse stolene per uke. b) En bestemt uke får bedriften en ordre slik at de denne uken må produsere minst 50 luksusstoler. Bestem nå hvilken produksjon som gir høyest fortjeneste. c) Hva blir maksimal fortjeneste til bedriften dersom den bestemmer seg for bare å produsere luksusutgaven av stolen en uke? d) Forklar, ved å bruke tabellen i begynnelsen av oppgaven, hvordan du ved regning kan finne maksimal fortjeneste en uke hvis bedriften bare produserer standardmodellen av stolen. 7

8 4.2 Eksamensoppgaver På nettsidene til ndla S1 finner du følgende eksamensoppgaver i lineær optimering Vår 2014 del 2 nr. 6 Høst 2013 del 2 nr. 7 Vår 2013 del 2 nr. 4 Høst 2012 del 2 nr. 4 Vår 2012 del 2 nr. 8 Høst 2011 del 2 nr. 7 Vår 2011 del 2 nr. 6 Høst 2010 del 2 nr. 7 Vår 2010 del 2 nr. 6 Høst 2009 del 2 nr. 6 Vår 2009 del 2 nr. 5 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra 8