Integralregning. ) dx KATEGORI Antiderivert. 1.2 Ubestemt integral
|
|
- Gaute Aamodt
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1
2 Integralregning KATEGORI. Antiderivert Oppgave. En bil passerer et målepunkt ved tidspunktet t =. Bilen har da arten m/s. Etter t sekunder har bilen arten v(t) =,t + Finn arten etter ) s ) s b) Vis at strekningen s(t) målt i meter som bilen har tilbakelagt etter t sekunder, er s(t) =,t + t Hvor langt er bilen kommet ra målepunktet når arten er m/s? Oppgave. Finn alle de antideriverte til () = + b) () = + () = + d) () = + Oppgave. Funksjonen F er gitt ved F() = + + Vis at F er en antiderivert til () = + b) Funksjonen G er gitt ved G() = + Vis at G er en antiderivert til g() =. Ubestemt integral Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. d b) ( + ) d ( ) d Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. ( ) d b) ( ) d ( + ) d 7
3 8 Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. ( ) d b) d Oppgave. En unksjon er slik at ʹ() = + Finn unksjonsuttrkket or når graen til går gjennom punktet (, 7). Oppgave. En unksjon g er slik at gʹ() = + Bestem g når graen går gjennom punktet (, ). Oppgave. Etter t sekunder har en bil arten v(t) = +,t, t [, ] målt i meter per sekund. Finn arten til bilen målt i km/h etter s. b) ) Finn en unksjon s slik at sʹ(t) = v(t). ) Hvor langt kommer bilen på de ørste sekundene?. Integralet d Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. d b) d t dt d) ( ) d Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. ( + ) d ( s s ) ds b) ( ) d cosinus R > Integralregning. Integrasjon av eksponentialunksjoner Oppgave. Finn alle de antideriverte til () = e b) () = e () = e d) () = e, Oppgave. Finn integralene. e d b) (e + e ) d Oppgave. Finn integralene. ( + e ) d Oppgave. Finn integralene. 8,7 d b),88 d b) (e + ) d. Bestemt integral som grense or en sum Oppgave. Figuren viser graen til unksjonen () = + Finn arealet av det argelagte området ved å bruke ormelen or arealet av et trapes b) integrasjon digitalt
4 Oppgave. Graen til unksjonen () = + er tegnet sammen med rektangler som gir en tilnærmingsverdi or arealet av området mellom graen til, -aksen, -aksen og linja =. 8 8 Finn summen av arealene av rektanglene. b) Finn ( + ) d digitalt. Oppgave. Figuren viser graen til unksjonen () = Finn arealet av det argelagte området digitalt.. Bestemt integral og antiderivasjon Oppgave. Finn integralene ved regning. d b) d d Oppgave. Finn de bestemte integralene ved regning. ( ) d b) ( ) d ( + ) d d) ( ) d Oppgave. Finn de bestemte integralene ved regning. ( 9 ) d b) d d d) e d.7 Integrasjon og areal Oppgave.7 Tegn graen til () = +, D = R b) Finn arealet av det området som er avgrenset av graen, ørsteaksen, andreaksen og linja =, ved å utntte ormelen or arealet av et trapes. Finn arealet av området i oppgave b ved integralregning. Oppgave.7 Tegn graen til () = +, D = R b) Finn ved regning arealet av det området som er avgrenset av graen til og ørsteaksen. 9
5 Oppgave.7 Tegn graen til () = e, D = R b) Finn en eksakt verdi or arealet av området avgrenset av graen til, ørsteaksen og linjene = og =. Oppgave.7 Figuren viser graen til unksjonen g() = g Finn arealet av det området som er avgrenset av graen til og -aksen, ved regning. Oppgave.7 Figuren viser graene til unksjonene () = + g() = g Finn arealet av det argelagte området. cosinus R > Integralregning Oppgave.7 Figuren viser graene til unksjonene () = + og g() = Finn arealet av det argelagte området. Oppgave.7 Bruk digitalt hjelpemiddel og tegn i det samme koordinatsstemet graene til () = + og g() = b) Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g. Oppgave.77 Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g når () = g() = + g g
6 .8 Integral og samlet resultat Oppgave.8 Iølge Norsk Tipping tippet vi or 9, milliarder kroner i år. år seinere var omsetningen () i milliarder kroner () = 9,,97, Hvor stor var omsetningen i? b) Hvor mange prosent gikk omsetningen ned hvert år i perioden ra og med til og med? Regn ut digitalt () d Hva er dette svaret en tilnærmingsverdi or? Oppgave.8 Det totale oljeorbruket i verden var i på, milliarder tonn. år seinere var orbruket i milliarder tonn per år tilnærmet gitt ved () =, +,8 +,, 7 Finn en tilnærmingsverdi or oljeorbruket i verden i år 7. b) Regn ut det bestemte integralet 7 () d Hva er dette svaret en tilnærmingsverdi or? Oppgave.8 Et irma setter i gang en større reklamekampanje or en n kaemaskin. Salgssjeen regner med at tallet på solgte enheter per uke etter uker er S() = e,, [, ] Hvor stort er salget per uke etter 8 uker? b) Regn ut digitalt S() d Hva er dette svaret en tilnærmingsverdi or? Hvor mange kaemaskiner blir det etter dette solgt i gjennomsnitt per uke det ørste året?.9 Integrasjon og volum Oppgave.9 Figuren viser graen til unksjonen () =, 7 8 Vi dreier det argelagte latestkket om -aksen. Hva slags romigur år vi? b) Romiguren er en omdreiningsgjenstand. Finn volumet av denne gjenstanden ved integrasjon. Kontroller svaret i oppgave b uten bruk av integrasjon.
7 Oppgave.9 Nedenor ser vi graen til unksjonen 8 7 () =, 7 8 Vi dreier det argelagte latestkket om -aksen. Hva slags romigur år vi? b) Romiguren er en omdreiningsgjenstand. Finn volumet av denne gjenstanden ved integrasjon. Kontroller svaret i oppgave b uten bruk av integrasjon. Oppgave.9 Vi har tegnet graen til unksjonen 8 7 () = +, Finn arealet av det argelagte området. b) Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når vi dreier den argelagte laten om -aksen. KATEGORI. Antiderivert Oppgave. En motorskkel passerer et målepunkt på en rett veistrekning ved tidspunktet t =. Skkelen har da arten m/s. Etter t sekunder har den akselerasjonen a(t) =,t +,, t [, 8] målt i m/s. Finn arten etter 8 s. b) Finn avstanden ra målepunktet etter 8 s. Oppgave. En bil bremser opp oran et lskrss. Graen viser hvordan arten avtar ra bilen begnner å bremse til den stopper. m/s Finn akselerasjonen til bilen. b) Finn bremselengden. t s cosinus R > Integralregning
8 Oppgave. Finn de antideriverte til unksjonen. () = + b) () =, +,9 +, + () = ( ) Oppgave. Funksjonen er gitt ved () = + Finn en antiderivert F som er slik at F() =.. Ubestemt integral Oppgave. Finn de ubestemte integralene. ( + ) d b) ( + ) d ( + ) d d) ( )( + ) d Oppgave. Finn integralene. d b) ( ) d _ d d) d Oppgave. Figuren nedenor viser graen til den deriverte til unksjonen. Finn () når graen til går gjennom punktet (, ).. Integralet d Oppgave. Finn de ubestemte integralene. d ( + ) d b) + Oppgave. Finn de ubestemte integralene. d b) ( + + ) d Oppgave. Deriver uttrkket ln ( + ) b) Finn det ubestemte integralet + d. Integrasjon av eksponentialunksjoner Oppgave. Finn de ubestemte integralene. e d b) (e ) d e d d) e e Oppgave. Finn de ubestemte integralene. d b) e d Oppgave. Deriver uttrkket e e + b) Finn det ubestemte integralet. e (e + ) d d
9 . Bestemt integral som grense or en sum Oppgave. Tegn graen til unksjonen gitt ved () = b) Bruk rektangler og inn en tilnærmings verdi or det bestemte integralet ( ) d Finn integralet i oppgave b digitalt. Oppgave. Tegn graen til unksjonen gitt ved () = b) Finn en tilnærmingsverdi or arealet av det området som er avgrenset av graen til og -aksen, ved å bruke rektangler. Finn arealet av området i oppgave b digitalt. Oppgave. Vi har tegnet graen til unksjonen gitt ved () = e,, Finn en tilnærmingsverdi or arealet av det argelagte området. Bruk rektangler. b) Bruk digitalt hjelpemiddel og inn arealet av det argelagte området. cosinus R > Integralregning. Bestemt integral og antiderivasjon Oppgave. Figuren viser graen til en unksjon F som er en antiderivert til unksjonen. Finn () d. Oppgave. Finn de bestemte integralene. ( ) d b) d ( ) d d) _ d Oppgave. Finn de bestemte integralene. ln d b) e d Oppgave. Finn de bestemte integralene. + d b) + d d F d) d
10 .7 Integrasjon og areal Oppgave.7 Finn arealet avgrenset av ørsteaksen og graen til når () = + b) () = + () = 9 d) () = Oppgave.7 En unksjon er gitt ved () = Finn arealet av området mellom -aksen og graen til. Oppgave.7 En unksjon er gitt ved () = + Finn arealet av området mellom -aksen og graen til. Oppgave.7 En unksjon er gitt ved () = e e Finn arealet av området som er avgrenset av den positive -aksen, -aksen og graen til. Oppgave.7 Tegn graene til unksjonene og g i det samme koordinatsstemet der () = ( + + ) g() = Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g. Oppgave.7 Tegn graene til unksjonene og g i det samme koordinatsstemet der () = + g() = Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g..8 Integral og samlet resultat Oppgave.8 Elisabeth år kr i ukepenger. De neste to årene har hun en avtale med aren sin om at ukelønna skal økes med % hver uke. Finn ved integrasjon omtrent hvor me Elisabeth i alt år i ukepenger på disse to årene. Oppgave.7 Tegn graen til () =, b) Løs likningen (t t) dt = Bruk resultatet i oppgave b og skraver to områder som har samme areal.
11 Oppgave.8 I det kommende året har Petter som mål å gå ned % av sin egen vekt målt ved begnnelsen av hver måned. I måned nummer vil han da gå ned V() kg, der V() = _ 9,98 Hvor me veier Petter ør han begnner på denne slankingen? b) Finn ved integrasjon hvor mange kilogram Petter vil ta av i løpet av året. Oppgave.8 En bedrit har startet salget av en n vare. Etter t måneder regner bedriten med å selge (t) enheter av varen, der (t) = e,t 7e,t +, t [, 9] Finn salget av varen i den. måneden. b) Tegn graen til digitalt. Finn ved regning en tilnærmet verdi or det ventede totalsalget de nærmeste seks årene. Oppgave.8 En pasient er avhengig av medisin hver dag. Vi regner med at prisen på medisinen øker med,7 % per måned i årene som kommer. Pasienten betaler nå 9 kr per måned or medisinen. En modell or månedsutgitene () kroner til medisinen om måneder er () = 9,7 Da orutsetter vi at medisinorbruket hele tida er det samme som i dag. Bruk integrasjon til å inne en tilnærmet verdi or pasientens medisinutgiter de nærmeste tre årene. b) Finn en tilnærmet verdi or pasientens utgiter til medisin de nærmeste tre årene dersom medisinorbruket går ned med % per måned. cosinus R > Integralregning.9 Integrasjon og volum Oppgave.9 I et koordinatsstem med enheten meter på begge aksene har vi plassert den vertikale snittlaten av en tunnel. Snittlaten er avgrenset av -aksen og graen til unksjonen gitt ved () = + Tunnelen er helt rett og m lang. m m Finn arealet av snittlaten. b) Finn volumet av tunnelen. Oppgave.9 Funksjonen er gitt ved () = e, Tegn graen til. b) Det området som er avgrenset av -aksen, graen til og linja =, skal dreies om -aksen. Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi da år. Oppgave.9 Funksjonen g er gitt ved g() =, D g = [, ] Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når vi dreier det latestkket som er avgrenset av graen til g og -aksen, om -aksen.
12 Oppgave.9 Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når det latestkket som er avgrenset av graen til unksjonen () = + og -aksen, dreies om -aksen. b) ) Deriver unksjonen g() = ln ) Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når det latestkket som er avgrenset av linja =, -aksen og graen til unksjonen () = _ ln, D = [, e] dreies om -aksen. Oppgave.9 Vi har tegnet graen til en lineær unksjon. På iguren er lengden AB = h, lengden AD = r og lengden BC = R. BLANDEDE OPPGAVER Oppgave. Vi skal regne ut volumet av en gjenstand, og tenker oss en koordinatakse plassert sammen med gjenstanden slik at endelatene på gjenstanden ligger normalt på koordinataksen i = og =. Hvis vi lager et snitt gjennom gjenstanden normalt på koordinataksen i punktet med koordinaten, år vi ram en late med arealet A() =, [, ] Finn volumet av gjenstanden. Oppgave. Temperaturstigningen Tʹ(t) i en ovn er Tʹ(t) = t, t [, ] der temperaturen T(t) er gitt i celsiusgrader og tida t i minutter. Ved t = er temperaturen i ovnen C. Hvor lang tid tar det ør ovnen når C? b) Tegn graen til T. C D A r Vis at h B R () = R r + r h b) Når vi dreier det området som er avgrenset av koordinataksene, graen til og linja = R, om -aksen, år vi ei rettavkortet kjegle. Bruk integrasjon til å vise at denne rettavkortede kjegla har volumet V = h(r + Rr + r ) Oppgave. Finn de bestemte integralene. ( + ) d b) d e e d d) ( + ) d 7
13 8 Oppgave. Funksjonen er gitt ved () = e Tegn graen til digitalt. b) Finn en tilnærmet verdi or nullpunktene til. Finn en tilnærmet verdi or arealet av det området som ligger under -aksen, og som bare er avgrenset av -aksen og graen til. Oppgave. En bil har arten km/h. Etter t sekunder er arten v(t) målt i m/s v(t) =,t +,t +, t [, ] Uttrkk arten km/h i enheten m/s. b) Finn arten etter s uttrkt i km/h. Tegn graen til v i et koordinatsstem. d) Hvor langt har bilen kjørt på disse sekundene? Oppgave. I en kommune har de unnet ut at tallet på skattetere, A(), med en skattepliktig inntekt på tusen kroner er gitt ved A() = 9, [, ] Her er or eksempel A() tallet på skatte tere med inntekt mellom kr og kr. Finn ut hvor mange skattetere det er i kommunen som har inntekt mellom og kr. b) Tegn graen til A. Finn hvor mange skattetere det er som har mellom kr og kr i skattepliktig inntekt. d) Finn ut hvor mange skattetere det er som har inntekt mellom og kr. cosinus R > Integralregning Oppgave. En unksjon er gitt ved () =, Tegn graen til. b) Finn en eksakt verdi or arealet av området avgrenset av graen til, -aksen og linja = e. Oppgave.7 To gutter kjører en gammel bil der speedometeret virker, men ikke kilometertelleren. De ønsker å inne lengden av en bestemt strekning med dårlig grusvei. De bruker minutter på veistrekningen, og underveis leser de av arten på speedometeret med sekunders mellomrom. Tabellen nedenor viser de avleste verdiene. Anslå lengden av veistrekningen. Tid (s) Fart (km/h)
14 Oppgave.8 Hvor mange egg ei høne kan legge, er blant annet avhengig av hvor gammel høna er. Den øverste kurven på iguren nedenor viser sannsnligheten or at høna verper en dag (verpeprosenten), som unksjon av alderen. Fra uke 8 til uke 7 er kurven tilnærmet lineær. Legg et koordinatsstem slik at t er antall dager etter uke 8, t [, 8]. Finn unksjonsuttrkket E(t) or den rette linja som går gjennom punktene (,,9) og (8,,7). b) En bonde har høner. Forklar at 8 E(t) dt gir tallet på egg han kan regne med at disse hønene til sammen legger ra de er 8 uker til de er 7 uker gamle. Regn ut antallet egg vi kan vente at hønene legger i denne perioden. Oppgave.9 Salget av en vare i en orretning varierer med årstida. Et år var salget S() per måned etter måneder gitt ved S() = + +, [, ] Finn en tilnærmingsverdi or det totale salget dette året. Oppgave. Figuren viser graen til unksjonen () = På iguren har vi skravert to områder. Finn k slik at områdene år samme areal. 8 7 k 9
15 Oppgave. Finn arealet av de latestkkene som er avgrenset av graene til unksjonene () = og g() = + Oppgave. Funksjonen deinert ved () = e har ingen enkel antiderivert. For -verdier nær null kan vi bruke tilnærmingen () () + ʹ() + ʺ(). Vis at g() = er en tilnærming til nær =. b) Tegn graene til og g i samme koordinatsstem. Bentt tilnærmingen i oppgave a og inn en tilnærmet verdi or, e d, d) Finn også integralet digitalt. Oppgave. En unksjon er slik at ʺ() = a + b Graen til har et vendepunkt i (, ). Finn b uttrkt ved a. b) Graen til har et stasjonært punkt or =. Vis at også har et stasjonært punkt or =. Stigningstallet til vendetangenten er. Finn a og vis at ʹ() = + d) Finn unksjonsuttrkket til. Oppgave. Figuren viser graen til den deriverte av unksjonen () = a + b + c + d Bruk graen og inn vendepunktet til. b) Finn () når graen til går gjennom origo. Oppgave. Kratleverandøren Energispar hadde et år en varierende pris på elektrisk energi. måneder etter nttår var prisen P() i øre per kilowattime gitt ved P() = e,,8 +, [, ] Vis at prisen midt i ebruar var 9 øre per kilowattime. b) Hva var prisen per kilowattime i slutten av oktober? Tegn graen til P. d) Finn Pʹ(). e) Finn ved regning når prisen var lavest. Hva var prisen per kilowattime da? ) Harald har en rseboks som står på hele tida og bruker kwh per måned. Finn ved regning hvor me Harald må betale or å ha denne rseboksen stående på hele året. cosinus R > Integralregning
16 Oppgave. Petter eier et jordstkke. I et koordinatsstem med meter som enhet på aksene, vil dette jordstkket være det området som er avgrenset av graene til unksjonene og g der () = ( + ), [, ] g() = ( 9 + 8), [, ] Tegn graene til og g i det samme koordinatsstemet. b) Petter vil dele området i to. Han bestemmer seg or å dele området med ei linje vinkelrett på -aksen. Forklar at lengden d() av delelinja da er gitt ved d() = g() (), [, ] Finn den -verdien som gjør delelinja lengst. Hvor lang er delelinja da? d) Finn arealet av hele området ved regning. e) Petter drker jordbær på den ene halvdelen av området. Han selger jordbærene ved selvplukk i en periode på dager om sommeren. Inntekten I() i kroner per dag er etter dager I() =, + + Finn ved regning den totale inntekten av jordbærsalget i perioden. Oppgave.7 Vis at er en antiderivert til g når () = e e og g() = e b) () = ln og g() = ( ) Oppgave.8 Vis ved å bruke derivasjonsreglene ra R at ln d = ln + C b) e d = e e + C Oppgave.9 Et seil har en orm som er avgrenset av graene til tre unksjoner i. kvadrant: () = ln ( + ) g() = e h() = + Bruk digitalt hjelpemiddel og regn ut arealet av et slikt seil når enhetene langs aksene er meter.
17 FASIT 8. ) 8 m/s ) m/s m. F() = + + C b) F() = + + C F() = + + C d) F() = + + C. + C b) + + C + C C b) + C + + C. + C b) + C. () = + +. g() = , km/h b) ) s(t) =,t + t + C ) m. ln + C b) ln + C ln t + C d) ln + C. + ln + C b) ln + C ln s + s + C. F() = e + C b) F() = e + C F() = e + C d) F() = e, + C. e + C b) e e + C. ln + e + C b) e + + C. 8,7 + C b),88 + C. b). 8 b) 7.. b) 9 8. b) d). b) ln 8 d) e.7 b).7 b).7 b) e e b) ,7 milliarder b) %, milliarder Den totale tippe omsetningen i perioden.8,9 milliarder tonn b), milliarder tonn Det totale oljeorbruket i perioden solgte enheter per uke b) 8 97 Tallet på solgte kae maskiner det ørste året 7.9 Slinder b).9 Kjegle b) _ _.9 b) _ 7.,9 m/s b) 9 m. m/s b) m. F() = + + C b) F() =, +, +, + + C F() = ( ) + C. F() = + 8
18 . + + C b) C C d) 9 + C. + C b) + C + C d) + C. () =. + ln + C b) + ln + C. ln + C b) ln + C. + b) ln ( + ) + C. e + C b) e e + + C e + C d) + e + C. ln + C b) e ln e + C. e _ (e + ) b) e e + + C. b),77., b),8.,88 b),77.. b) 8 8 d) ( ). _ ln b). + ln b) _ ln d) _ 7 ln 8.7 _ b) 9 d) b) = eller = kr.8 kg b),7 kg.8 enheter b) 97 enheter.8 8 kr b) 78 kr.9 8 m b) m.9 b) ( e e + 7 ), b) (e ). _. min. + b) e + (ee + ) d) 8. b),8 og,,9. m/s b) 9, km/h d) 97 m. 78 b). b) ln + e.8 E(t) =,7t +,9 b) ca. 7 egg k =,.,8.,99 d),99. b = a a = d) () = +. = b) () = + 9
19 . P(,) = 9 øre (8,87) Prisen var 9 øre. b) P() = øre Prisen var øre. d) Pʹ() =,e,,8 e) I slutten av juni, øre ) kr. = m, m d) 7 m e) 7 kr (ved integrasjon).9 ca., m. Positiv.. Mot øst. sin ( ),87 cos ( ) =, sin,7 cos,7 sin =, cos,87. sin = cos =, sin = cos =,87. tan = b) tan 9 eksisterer ikke. tan = d) tan 8 =. 8, eller, b) 7,7 eller 89,, eller, d) 9, eller,. 8, eller 8, b) eller,7 eller, d) eller. v = eller v = 8 b) v = 9 eller v = 7.. AB = a, AC = a b). AB = a, BC = a. BC = a, AC = a. b) d) _ e). b) 9 d) ).,7 b),,., b),87, d),7. 7, b), 7,9 d) 9,. cos =, sin =, tan = b) cos =, sin =, tan eksisterer ikke. sin =, cos =, tan = d) sin =, cos =, tan =. = eller = b) =, eller =, =, eller =,8 d) =, eller =,87. =, eller =,89 b) =, eller =, =,9 eller =, d) =, eller =,. =, eller =,9 b) =,9 eller =, =, eller =,9 d) = eller = _.7 = b) =.7 = b) = eller = eller = eller = eller =.7 =, =, = og = _.8 b) cos v = _ b) sin v = tan v =.8 cos = b) tan =. u =, v = og w = b) u =, v = og w = 9. b). b), og 8, og. d) u =, eller 9, v =,9 eller,. b) ) ),7 ),
3 Funksjoner R2 Oppgaver
3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner... 3. Trigonometriske sammenhenger... 6 3.3 Trigonometriske likninger... 1 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 14 3.5 Omforming
Detaljer1 Funksjoner og grafiske løsninger
Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013
Eksamen R2 Høsten 203 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos b) g sin 2 Oppgave 2 (3
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
Detaljer4 Funksjoner og andregradsuttrykk
4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1
Detaljer3 Funksjoner R2 Løsninger
Funksjoner R Løsninger. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger.... Trigonometriske likninger....4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 7.5 Omforming av trigonometriske
DetaljerR2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri
R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerDel 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )
Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerEksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret
DetaljerFunksjoner S2 Oppgaver
Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en
Detaljer3 Formler, likninger og ulikheter
Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8
DetaljerEksamen R1, Våren 2015
Eksamen R1, Våren 015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 3 3 b) g( ) ln( ) c) h
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 3sin x cos x b) c) g( x) x cosx cos x h( x). Skriv svaret så enkelt som mulig. 1 sin x Oppgave (4 poeng) Bestem integralene a) b)
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
DetaljerDel 1. Oppgave 1. a) Løs ulikheten 2x+ 4 4x+ b) Løs ulikheten. 1) Løs likningen f( x ) = 4 grafisk og ved regning.
Del 1 Oppgave 1 a) Løs ulikheten + 4 4+ 8 b) Løs ulikheten + > + + 10 10 5 c) Vi har gitt funksjonen f( ) = lg + 3. Figuren viser grafen til f. 7 6 5 4 3 1-1 1 3 4 5 6 7-1 1) Løs likningen f( ) = 4 grafisk
DetaljerNewtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
DetaljerEksamen S1 høsten 2014
Eksamen S1 høsten 2014 Tid: 2 timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 2x 10 xx 5 b) x lg 3 5 2 Oppgave 2 (1 poeng)
DetaljerEksamen R2, Våren 2015, løsning
Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin
DetaljerEksamen R2 vår 2012, løsning
Eksamen R vår 0, løsning Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene ) f sin Bruker kjerneregelen på uttrykket sin der Vi har da guu sinu u cosu cos f cos 6cos ) g sin Vi bruker produktregelen for derivasjon.
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerS2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Derivasjon... 1.3 Funksjonsdrøfting... 6.4 Økonomiske optimeringsproblemer... 13.5 Modellering... 15.6 Bestemte integraler og arealer under kurver... 1 Grete Larsen. Derivasjon
DetaljerTall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
DetaljerEksamen 29.11.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 9..03 REA304 Matematikk R Nnorsk/Bokmål Nnorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del skal leverast inn etter timar. Del skal leverast inn seinast
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerPrøve i R2 Integrasjonsmetoder
Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel.a cos + + sin + = cos cos sin sin + sin cos + cos sin = cos sin + sin + cos = cos + = cos = cos b sin + = sin sin sin = sin = sin = sin =,7 =,7 +
DetaljerLøsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006
Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen S1 høsten 2014 løsning
Eksamen S1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x 10 0 7 49 40
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) S( x) 1 e e e. Deriver funksjonene. Bestem integralene
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 6cos(x 1) b) g( x) cos x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) (x 3 x) dx b) x cos( x ) dx c) x d x Oppgave 3 ( poeng) En
DetaljerR2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b
DetaljerEksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 9.05.008 AA654 Matematikk 3MX Elevar/Elever Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f 3 sin b) Deriver funksjonen g tan c) Finn integralet e d d) Løs likningen 1 cos sin ved regning. e)
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerHeldagsprøve. Matematikk - R April 2009 Løsningsskisser Ny versjon:
R -Heldagsprøve V10 Heldagsprøve Matematikk - R 9. April 009 Løsningsskisser Ny versjon: 05.05.10 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f sinln Deriver funksjonen f 3sin 1 c) Bestem summen av rekken 4
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
DetaljerS1 Eksamen våren 2010 Løsning
S1 Eksamen våren 010, Løsning S1 Eksamen våren 010 Løsning Del 1 Oppgave 1 f x x x. a) Gitt polynomfunksjonen 3 1) Regn ut f 1 og f 1 3 f 1 1 1 1 f x 3x x f 1 3 1 1 4 ) Bruk 1) til å beskrive hvordan grafen
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel 5 5.5 Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax
DetaljerEksamen REA3026 S1, Våren 2013
Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerTall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for
DetaljerSti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635
6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved
DetaljerEksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P
Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 10 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 14 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...
DetaljerEksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
DetaljerDel 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene
Del 1 Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) f ( ) e g( ) ln e 1 c) h( ) 1 Oppgave (4 poeng) Løs likningene a) b) e 7e 8 0 ln( 5 1) ln(3 ) 0 Oppgave 3 (5 poeng) Gitt vektorene a, 3 og b 5, 3 a)
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerR2 eksamen våren 2017 løsningsforslag
R eksamen våren 07 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3sin cos f 3cos sin 3cos sin b) g cos uv uv uv der u og v cos Vi bruker produktregelen for derivasjon
DetaljerS1 eksamen våren 2016 løsningsforslag
S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1
DetaljerLøsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Juni 2011
NTNU Institutt for Fysikk Løsningsforslag til eksamen FY0001 Brukerkurs i fysikk Juni 011 Oppgave 1 a) Figur A. Tyngdeakselerasjonen er konstant, altså den endrer seg ikke med tiden. b) Vi finner farten
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT03 Matematikk T Høsten 04 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng)
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy
DetaljerLineær optimering løsningsforslag
Lineær optimering løsningsforslag Innhold 4.1 Lineær optimering... 1 4. Eksamensoppgaver... 19 4.1 Lineær optimering 4.1.1 Gitt den generelle likningen y ax b for en rett linje. Forklar hva koeffisientene
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten
DetaljerEksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerR2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag
R eksamen høsten 017 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x sin3x f x cos3x 3 6cos3x sin x x sin x x sin x x x cos x sin x g x x x b) gx h x x cos x c) h
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs
DetaljerEksamen S2 høsten 2010 Løsning
Eksamen S høsten 010 Løsning Del 1 Oppgave 1 (4 poeng) a) Deriver funksjonene f x x 3x 4 1) 3 3 3 4 3 3 3 1 1 f x x x f x x f x x x g x 6x e ) x x 6x e x x 6 6 x 6 1 g x g x e x e g x e x P x x 6x 8x 4
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerLineær optimering oppgaver
Lineær optimering oppgaver Innhold 4.1 Lineær optimering... 1 4.2 Eksamensoppgaver... 8 4.1 Lineær optimering 4.1.1 Gitt den generelle likningen y ax b for en rett linje. Forklar hva koeffisientene a og
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerLøsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A
Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 2,510 3,010 15 5 Oppgave 2 (2 poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 2 0 1 3 2 9 6 4
DetaljerEksamen S2 høsten 2016 løsning
Eksamen S høsten 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene 3 a) f 5 f 3 5 b) g 5 1 7 5 7 1 70 1
DetaljerR2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k
R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. a) Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x 3x 0 b) lg(4x 3) lg7 Oppgave (4 poeng) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig a) b) (x 3) 3( x ) ( x 1)( x 1) 3 a b ( a b) 3 Oppgave 3 (3 poeng)
DetaljerStudieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag
Eksamen Fag: AA6526 Matematikk 3MX Eksamensdato: 3. mai 2005 Vidaregåande kurs II /Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar / Privatister Oppgåva ligg
DetaljerEksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål
Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerEksamen, Matematikk forkurs, 24. mai 2017 LØSNINGSFORSLAG
Side av Eksamen, Matematikk forkurs,. mai 7 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a) Forenkle uttrykket så mye som mulig: aa aa aa = aa aa 6 aa aa aa = aa + 6 = aa 9 6 + 6 6 6 = aa 6 6 = aa 6 b) Løs ulikheten: xx +
DetaljerLøsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 3.05.20 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2010
Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e
DetaljerTORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS. GeoGebra 6 for Sinus R2
TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS GeoGebra 6 for Sinus R2 Sinus R2 ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
Detaljer0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?
OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
7 desember EKSAMEN Løsningsorslag Emnekode: ITD5 Dato: 6 desember Hjelpemidler: Emne: Matematikk ørste deleksamen Eksamenstid: 9 Faglærer: To A-ark med valgritt innhold på begge sider Formelhete Kalkulator
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 2x 10 x( x 5) x b) lg 3 5 2 Oppgave 2 (1 poeng) Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 Oppgave 3 (2 poeng) Løs
DetaljerEksamen 1T våren 2015 løsning
Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003
DetaljerGrafer og funksjoner
14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerUtsatt eksamen i Matematikk 1000 MAFE ELFE KJFE 1000 Dato: 2. mars 2017 Løsningsforslag.
Utsatt eksamen i Matematikk 1 MAFE ELFE KJFE 1 Dato: 2. mars 217 Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene 1 2 1 3 A = 2 1, B = 7, C = 2 4 1 2 3 [ ] 1 2 1, v = 1 1 4 [ ] 5 1 og w =. 1 6 a) Regn ut følgende
DetaljerEksamen S2 høsten 2014 løsning
Eksamen S høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 3ln 1 3 f 3 1 b) g ln3 1 ln3 g 1
DetaljerEksamen REA3026 S1, Høsten 2010
Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0
Detaljer