Multippel integrasjon
|
|
- Morten Erlandsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kittel 4 Multiel integrsjon Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte oersjoner. de foregående kitlene hr vi sett ulike måter vi kn derivere funksjoner i flere vrible. Neste skritt er å integrere funksjoner i flere vrible. ette klles multiel integrsjon. 4. Multiel integrsjon over rektngler Vi skl begynne med å integrere funksjoner i to vrible over rektngler i lnet. ette klles dobbeltintegrsjon, siden vi må utføre to integrsjons-oersjoner. Ved rtiell derivsjon deriverte vi med hensyn å en vribel og betrktet lle ndre vrible som konstnter. Multiel integrsjon bserer seg å nøyktig smme rinsi, bre motstt vei. Vi integrerer med hensyn å vriblene i tur og orden, og ved hver integrsjon betrkter vi de ndre vriblene som konstnter. L f,y) være en funksjon i to vrible, og : [,b] [c,d] et rektngulært område i,y)-lnet. et betyr t området består v lle unkter,y) i lnet der le le b og c le y le d. Vi skl bruke notsjonen Z d f,y)ddy f,y)d)dy c ette betyr t vi først integrerer f,y) med hensyn å og tenker å y som en konstnt). L F,y) være en slik nti-derivert, dvs. F f. et gir oss Z d c Z d f,y)d)dy Fb, y) c F, y))dy ntegrnden Fb,y) F,y) er en funksjon i y som vi kn nti-derivere med hensyn å y å vnlig måte, og regne ut det bestemte integrlet. Pss å t det er smsvr mellom integrnd og grenser i hver v de to integrlene. Vi bruker v og til notsjonen da ddy for en uendelig) liten firknt. Eksemel 4... Vi skl regne ut integrlet v funksjonen f,y)y over rektngelet : [,] [,] i,y)-lnet. Vi hr Z Z y ddy y d)dy Z Z [ y ] dy y dy [ 4 y y] 4 4 ) Eksemel 4... Vi kn regne ut det smme integrlet, men i motstt rekkefølge: Z Z y ddy y dy)d Z [ y y] d Z )d [] et er ikke noen tilfeldighet t disse to integrlene er like. et er et generelt fktum, klt Fubinis teorem. Teorem 4... En funksjon f,y) er definert og kontinuerlig over et rektngel : [,b] [c,d] i lnet. 7
2 hr vi Z d fddy f,y)d)dy c Z d f,y)dy)d c Eksemel Funksjonen f,y)siny ye er definert over rektngelet [,] [, ]. Vi skl beregne integrlet RR f ddy. Z Z siny Z [ Z ye dy)d y e ] d 8 e )d [ cosy 8 e ] 8 e 8 e 8 e På smme måte som t integrlet v en ositiv funksjon i en vribel uttrykker relet mellom -ksen og grfen, vil integrlet v en ositiv funksjon i to vrible uttrykke volumet mellom y-lnet og grfen. Eksemel Vi skl regne ut volumet under grfen til f,y) y over rektngelet [,] [,]. Z Z e) Z y dy)d Z 3 [ ] [ y 3 y3 ] d ) 3 )8 3 3 ))d Tilsvrende som t dobbeltintegrsjon dreier seg om å integrere en funksjon i to vrible over et område i lnet, så bruker vi begreet trielintegrsjon når vi integrerer en funksjon over et område i rommet. Regneteknikkene er helt rllelle. Eksemel L [,] [,] [,3] være en boks i 3-rommet. Vi skl finne volumet v denne boksen ved å integrere konstntfunksjonen f, y, z) over. Z Z f,y,z)ddydz Z Z Z d)dy)dz )dy)dz )dz 3 )6 Vi skl se å et eksemel til. ddydz Eksemel L [,] [,] [,3] være en boks i 3-rommet. Vi skl regne ut integrlet v funksjonen f, y, z)yz over. Z Z Z yzddydz yz d)dy)dz Z Z [ yz] dy)dz yzdy)dz [ y z] dz 4 zdz [ z ] 3 9 Ant nå t vi hr gitt en funksjon i to vrible z f,y) over et område i lnet, og vi v gode grunner ønsker å bruke olrkoordinter. et kn f.eks. hende t området er mye mer hensiktsmessig å beskrive i olrkoordinter, heller enn i krtesiske koordinter. Frmgngsmåten minner mye om vnlig susbtitusjon i én vribel. Vi ersttter vriblene i funksjonsuttrykket med r cosq og y r sinq. et gir oss en ny funksjon i olr-vriblene r og q. For å utføre integrsjonen må vi også endre ddy til drdq. ersom vi tenker å da ddy som relet v en bitte liten firknt i,y)-lnet vil ikke forholdet mellom denne og den tilsvrende firknten drdq være konstnt, men vhenge v r dvs. hvor lngt unn origo vi er. 7
3 over mer generelle områder enn rektngler, men roblemet løser seg når vi skifter til olrkoordinter. Området svrer d til rektngelet {r,q) le r le R, le q le } [,R] [,] Funksjonen vi skl integrere er gitt ved Tenk å det som t en sektor med fst vinkel vil h mindre rel, jo nærmere origo vi kommer. ette gir oss følgende formel for integrlet, hvor vi lr betegne området i r,q)-koordintene som svrer til området i,y)-lnet. f,y)ddy f r cosq,r sinq)rdrdq Vi skl illustrere formelen med et eksemel. Eksemel Betrkt funksjonen z f,y) y og l området være øvre hlvdel v en sirkelskive med sentrum i origo og rdius. olrkoordinter er gitt ved : le r le, le q le. et gir integrlet f,y)ddy cosq r sinq)rdrdq r 3 Z Z Z r cosq sinq)drdq cosq sinq)dq 3 [sinq cosq] 3 sin cos sin cos) 3 Vi kn også bruke dobbeltintegrsjon ved olrkoordinter til å beregne volumet v en kule. Vi ser å et område i,y)-lnet gitt ved {,y) y le R } Vi merker oss t ikke er noe rektngulært område. Vi hr ennå ikke gått gjennom hvordn vi skl integrere z f,y) R y ette gir oss den øvre hlvkul. For å finne volumet v hele kul multiliserer vi integrlet med. Vi kn skrive om funksjonen i olrkoordinter; det gir z f r cosq,r sinq) q R r cosq) r sinq) R r ette gir oss volumet v kul; f,y)ddy f r cosq,r sinq)rdrdq Z R Z R r rdqdr 4 Z R Z R R R r r[q] dr r rdr Vi substituerer u R r, det gir du rdr og nye grenser u u)r, u ur), Z R f,y)ddy 4 R r rdr 4 Z R udu 3 [u 3 ] R R ) 3 ) 4R3 3 som er den korrekte formelen for volumet v en kule med rdius R, først utledet v Archimedes for mer enn å siden. Et nnet eksemel å en beregning v dobbeltintegrl ved olrkoordinter er torusen, 73
4 Så setter vi v sinu og dv cosudu, med nye grenser u ±. et gir Z q V 4A sinu) cosudu Z q 4A sinu) cosudu Z 4 A cos udu Vi setter rdius i den blå sirkelen til å være A, og den røde sirkelen til å være. Vi skl integrere funksjonen over området q f r,q) r A) [,] [A,A ] På smme måte som for kul hr vi en øvre og en nedre hlv-torus, slik t volumet blir gnger integrlet: V 4 f r cosq,r sinq)rdrdq Z A Z A Z A A q r A) rdq dr q r A) rdr Vi setter først v r A, som gir dv dr, og nye grenser va ), va ). et gir Z V 4 4 Z v v A)dv Z v vdv 4A v dv Symmetrien v v v i intervllet [,] gir t det første integrlet blir, dvs Z V 4A v dv Men vi vet fr tidligere t en nti-derivert v cos u er u sinucosu), som gir V 4 A[ u sinucosu)] 4 A A )) som gir oss volumet v torusen. ette er nøyktig det smme volumet som en sylinder med rdius og lengde A. Når vi bøyer denne sylinderen til en torus vil volumtet innenfor midten svre nøyktig til volumgevinsten utenfor midten. 4. Multiel integrsjon over mer generelle områder Vi skl se å dobbeltintegrlet over mer generelle områder enn rektngler, områder som er begrenset v grfene til funksjoner i en vribel. Vi begynner med de områdene vi kller tye. ette er områder gitt ved {,y) le le b, g) le y le h)} ette området i,y)-lnet er vgrenset v de to grfene til g) og f ), mellom de to linjene og b. Grensene i den første integrsjonen, si med hensyn å y, vil være funksjoner i. isse setter vi inn for y i uttrykket for den nti-deriverte til funksjonen f,y) med hensyn å y. et gir oss en ny funksjon i som vi så kn regne ut det bestemte integrlet til. Prosedyren for å regne ut slike integrl er den smme som over rektngler, bortsett fr t rekkefølgen nå er vesentlig. områder v tye er vgrensingen gitt ved t y ligger mellom to funksjoner i. et betyr t vi først må integrere med hensyn å y, og deretter med 74
5 hensyn å. Hvis vi integrerer med hensyn å først vil integrsjon med hensyn å y etterå gi oss et svr som er en funksjon i, noe vi ikke skl h. Svret skl være et tll. Figur 4.. Område v tye efinisjon 4... Vi definerer integrlet v funksjonen f,y) over området, gitt over, til å være Z h) fda f,y)dy)d g) Eksemel 4... L være området gitt ved ulikhetene le le og le y le. Vi skl beregne dobbeltintegrlet yddy dette eksemlet er g) og h). et gir Z yddy Z Z Z ydy)d [ y ] )d 5 d [ 6 ] 63 Områder integrler) v tye er vgrenset v kurver å formen gy), ltså grfer der -ksen og y-ksen hr byttet roller i forhold til tye. {,y) c le y le d, gy) le le hy)} Formelen for dobbeltintegrlet v en funksjon f, y) over et slikt område er gitt ved Z d Z hy) f,y)ddy f,y)d)dy c gy) et er viktig å merke seg t i disse tilfellene er det ikke nødvendigvis mulig å bytte om å integrsjonsrekkefølgen, det kn vi kun gjøre dersom området både er v tye og v tye. Eksemel 4... Vi skl beregne dobbeltintegrlet RR y sinyddy der er området mellom y og og der y [,]. Vi regner ut Z Z y f,y)ddy y sinyd)dy Z Z [y y cosy]y dy ycosy ydy [ siny y ] sin 4.3 Arel og tyngdeunkt Vi kn bruke dobbeltintegrsjon til å finne relet til et område i y-lnet. et gjør vi ved å betrkte konstntfunksjonen f,y) over det området vi skl finne relet v. et legemet vi d beregner volumet v vil være en sylindrisk boks med grunnflte lik området i y-lnet og høyde, og relet får nøyktig smme verdi som volumet. Vi kn se å et eksemel. Eksemel Vi skl finne relet v området i ylnet som ligger inni rbelen y, under y og mellom og. Vi beregner dobbeltintegrlet A Z Z Z dyd d [ Z [y] d 3 3 ] 3 ) 3 )3 ) Vi kn bruke en tilsvrende teknikk for å finne tyngdeunktet v et rel i lnet. Tyngdeunktet v et område i lnet er det unktet som ligger mest midt i området. et betyr t dersom vi kutter ut området å en lte og setter lten å toen v en ssersiss, så vil lten blnsere dersom vi hr stt ssersissen i tyngdeunktet. Vi skl vise t koordintene,y) til tyngdeunktet til området er gitt ved formelene A ddy ya yddy der A er relet v området. Vi skl vise dette for et tye -omrde. L området være gitt ved {,y) le le b, g) le y le h)} 75
6 Fr Archimedes likevektsrinsi vet vi t momentene v områdene å de to sidene v i -retningen må være like store, og tilsvrende for y i y-retningen. For en verdi v er bredden v området gitt ved h) g) i y-retningen og vi får Z )h) g))d som vi kn skrive eller Z h) )h) g)) d g)) d h) h) Z g)) d h) g)) d h) g)) d h) Nå hr vi t og vi får derfor Z h) g) Z h) g) dy h) dyd g) Z h) g) Z h) g) g)) d g)) d dyd dyd obbeltintegrlet å venstresiden er kkurt relet v området og formelen gitt over følger. Argumentet er helt tilsvrende for et tye -område. Mer generelle områder kn mn lltid dele o i delområder v tye eller tye. og bruke dette til å vise t formen for tyngdeunktet blir å nøyktig smme form som vi hr vist for tye -områder. Eksemel Vi kn bruke disse formelene til å finne tyngdeunktet til en treknt med grunnlinje og høyde h. Vi legger de tre hjørnene i unktene,),,) og,h). Siden treknten stikker like mye ut å hver side v y-ksen vil et enkelt symmetrirgument gi t. For å finne y-koordinten deler vi treknten i to og betrkter den delen som ligger i første kvdrnt. Vi ser t y-koordinten til tyngdeunktet er den smme for denne hlve treknten som for hele treknten. et betyr t området vi skl integrere over er gitt ved t le le og le y le h h. en siste ulikheten får vi fr uttrykket som gir likningen til hyotenusen i den h hlve treknten, nemlig y h. Arelet v denne treknten vet vi er A h og formelen over gir oss y h Z Z Z Z h h ydyd [ y ]h h d h 4h 4h d [h h 4h 3 3 ] h h ) 4h 3 )3 h 6 )h 6 eler vi ut får vi t y 3h som er y-koordinten til tyngdeunktet. mnge situsjoner er vi interessert i å beregne gjennomsnittet v en funksjon over et område i lnet. En ikke-negtiv funksjon f f,y) i to vrible vil definere et volum over sitt definisjonsområde. Gjennomsnittsverdien f til f finner vi ved å dele dette volumet å relet v området. Formelen blir d f rel) f,y)ddy Eksemel Vi skl beregne gjennomsnittsverdien til funksjonen f,y) y over rektngelet [,] [,]. Arelet v området er olgt, og gjennomsnittsverdien blir d f Z Z Z ydyd )d 3 ) 5 6 Merk smmenhengen mellom gjennomsnittsverdien v en funksjon og tyngdeunkt, -koordinten til tyngdeunktet er gjennomsnittsverdien v vriblen over området, tilsvrende for y. Vi kn ltså betrkte tyngdeunktet som et slgs gjennomsnittsunkt for området. 76
7 4.4 Greens teorem ette dreier seg om et v mtemtikkens mest berømte resultter, nemlig det som klles Stokes teorem. Stokes teorem ble først formulert v vitensksmnnen Willim Thomson 84-97), eller Lord Kelvin, i 85, men hr fått nvn etter Sir George Gbriel Stoke 89-93). Begge disse to stt dye sor etter seg innen mtemtikk og nturvitensk. midlertid heter den -dimensjonle versjonen v Stokes teorem som vi skl se å Greens teorem, oklt etter George Green ). Green formulerte dette resulttet i det osiktsvekkende essyet An Essy on the Aliction of Mthemticl Anlysis to the Theories of Electricity nd Mgnetism fr 88. Essyet er osiktsvekkende v to grunner. For det første fordi det inneholder nye og bnebrytende resultter, for det ndre fordi det er skrevet v en legmnn. Green hdde fktisk bre ett års skolegng! Her er hns resultt: Teorem L være en ositivt orientert dvs. mot klokk), lukket kurve i lnet gitt ved rmetriseringen rt)t),yt)) og l være det området som kurven omslutter. L F, y), y), q, y)) være et vektorfelt. hr vi rt)) t)qrt))y t))dt q y )ddy Med ndre ord, den totle sirkulsjonen til feltet over et område er lik kurveintegrlet til feltet lngs rnd til området. ersom feltet er konservtivt vil begge sider i likheten være, venstresiden fordi lukkede kurveintegrl i et konservtivt felt er, høyresiden fordi integrnden er for et konservtivt felt. Eksemel Betrkt det sirkulære vektorfeltet f,y) y,) og sirkelen rt)rcost,rsint), le t le. Vi hr tidligere sett t venstresiden er lik R. Høyresiden kn vi også regne ut, y y))ddy )ddy rel)r Eksemel Vi skl beregne integrlet y d 3ydy y t)3yy t)dt rundt øvre hlvrt v enhetssirkelen med sentrum i origo. Vi hr y d 3ydy 3y y y )ddy 3y y) ddy yddy Z Z Z ydyd [ y ] d [ 3 3 ] 3 Z )d Eksemel Vi kn uttrykke relet v et område som et kurveintegrl: yd dy y y))ddy ddy rel) Eksemel Vi lr kurven være firknten gitt v hjørnene,),,),,) og,). Vi skl beregne kurveintegrlet 5 y y )d y)dy Ved Greens teorem er dette ensbetydende med å regne ut dobbeltintegrlet v y y 3 over firknten. 3ddy 3 rel) 3 77
8 Vi skl se å et eksemel der vi regner ut begge sidene i Greens teorem og selvfølgelig får smme svr. Vi lr vektorfeltet være gitt ved F, y),y),q,y)) y, y), og vi skl integrere det over området, gitt som første kvdrnt v enhetsdisken i lnet, dvs. i krtesiske koordinter, le le, le y le, eller i olrkoordinter, le q le, le r le. Rnd til, dvs. den lukkede kurven som omslutter er gitt med tre deler, segmentet lngs -ksen; r t) t,), le t le med r t),), sirkelbuen r t)cost,sint), le t le med r t) sint,cost) og segmentet lngs y-ksen, r 3 t), t),let le, med r 3 t), ). Venstresiden i Greens teorem ser d ut som Z d qdy Z Z t,) t)qt,)y t) dt cost,sint) t)qcost,sint)y t) dt, t) 3t)q, t)y 3t) dt Z dt Z Z Z Z cost sint) t) ) dt sint)cost sint)cost) dt sin t cost cos t sint cost) dt t dt [ 3 sin3 t 4 sint t sin t] [ t t] Vi hr curlf) q q y som gir høyresiden y )ddy ddy Området er både tye og tye, vi skl beregne integrlet som et tye -integrl. Som nevnt tidligere er området gitt ved le le, le y le ddy Z Z Z Z Z dyd [y y] d d, og vi hr d Z d et første integrlet gir resis relet mellom -ksen og grfen til y, dvs. relet v. ette er en kvrt sirkelskive med rdius, og rel 4. et ndre integrlet løser vi ved å substituere u, med du d. et gir Z d Z udu 3 u 3 3 ) 3 Setter vi dette inn i integrlet får vi Z ddy d 4 [ Z 3 ) 3 ] 4 d Vi kn også beregne dette integrlet ved å bruke olrkoordinter, le q le, le r le. For olrkoordinter hr vi lltid dd rdrdq. Med r cosq gir det ddy Z Z Z Z Z Z [rq r [ r 3 r cosq)rdq dr r r cosq)dq dr r sinq] dr r )dr 3 r3 ] 4 et fbelktige med Greens teorem illustreres godt v dette eksemlet, vi beregner to forskjellige integrler, ett linjeintegrl og ett dobbeltintegrl. et er vnskelig å se direkte t disse to utregningene gir smme svr, men det gjør det ltså. 3 78
9 Ogve. Beregn dobbeltintegrlet RR f,y)ddy for ) f,y)ye y, hvor [,3] [,]. b) f,y)y y, hvor [,4] [,]. c) f,y)sine y, hvor [,] [,]. Ogve. Beregn dobbeltintegrlet RR f,y)ddy for ) f,y) y, hvor [,] [,]. b) f,y) 4 y y 4, hvor [,] [,]. c) f,y)e y, hvor [,] [,]. Ogve 3. Finn volumet v legemet som ligger mellom området [,] [,] i y-lnet og grfen til funksjonen f,y) y. Ogve 4. En eske hr grunnflte G [,] [,] og høyde gitt ved funksjonen g, y)4 y. Finn volumet v esken. Ogve 5. Beregn dobbeltintegrlene. ) R R y 3 y b) R c) R R 3ddy y) dyd R 3y ey ddy Ogve 6. Finn gjennomsnittsverdien v y over følgende områder: ) Kvdrtet [, ] [, ] b) Kvdrtet [, ] [,], hvor >. c) Kvdrtet [,] [,], hvor >. Ogve 7. Finn tyngdeunktet til området i y-lnet som ligger mellom grfen til y og le le å -ksen. Ogve 8. ) Finn relet til området i y-lnet som ligger mellom grfene til f ) og g) 3, og for le le. b) Finn tyngdeunktet til området beskrevet i og. ). Ogve 9. En ellise er gitt ved t) cost, yt)bsint, le t le. Bruk Greens teorem å vektrofeltet F,y) y,) til å beregne relet v ellisen. Ogve. Et område i, y)-lnet er vgrenset v en kurve gitt ved rette linjer gjennom de fire hjørnene,),,),,) og,). Beregn kurveintegrlet mot klokk) y d dy ved å bruke Greens teorem. Ogve. Smme ogve som over, men l området være vgrenset v hjørnene ±,±). Ogve. Smme ogve som over, men nå lr vi området være vgrenset v en sirkel om origo, med rdius lik 79
1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
Detaljer1 Mandag 8. mars 2010
1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
DetaljerMultippel integrasjon. Geir Ellingsrud
Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert
Detaljer1 Mandag 18. januar 2010
Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerTillegg om integralsatser
Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerEksamen R2, Va ren 2014, løsning
Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin,
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerMAT 100A: Mappeeksamen 4
. november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f ().
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
Detaljera 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.
MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerIntegrasjon av trigonometriske funksjoner
Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte
Detaljerdy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerKalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen
Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.
De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
DetaljerI = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx,
TMA5 Mtemtikk Vår 7 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 8 Alle oppgvenummer referer til 8 utgve v Adms & Essex Clculus: A Complete Course 57: Vi
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
Detaljer6. Beregning av treghetsmoment.
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel
Detaljer2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π
Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2007
Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 15, (13).
Løsning til utvlgte oppgver fr kpittel 5, (). Oppgve 5..7 (..7) Kurven r( t) (, t, t), t ligger i - plnet. Dette gir lterntiv b eller f. Setter inn t som gir punktet (, ) som bre er med i lterntiv f. Vi
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA4 Mtemtikk Høst 8 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 6 5..5 Gjennomsnittet v f(x) = x på intervllet [, ] er lik relet A under grfen dividert
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk 0 EMNENUMMER: REA04 EKSAMENSDATO:. desember 008 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerTema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)
Tem 2: Stokstiske vribler og snnsynlighetsfordelinger Kpittel 3 ST1101 2019-01-13 12:44 (Gunnr Trldsen) Det nts i nottet t S er et utfllsrom utstyrt med en snnsynlighet P (A) for enhver hendelse A F. F
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerMAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06
MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerR2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012
R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:
Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn
DetaljerI løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042
Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfg Mtemtikk Ukeoppgver uke 43 I løpet v uken blir løsningsforslg lgt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/llmennfg/emnesider/re4
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
DetaljerIntegral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)
Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................
DetaljerEksempel Funksjonen f (x)=x 3 er strengt voksende. vokser på intervallet [0, ) og avtar på intervallet
Kpittel Derivsjon I det første kpitlet skl vi friske opp teorien for funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere deres kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. For intervller
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er
DetaljerKap. 3 Krumningsflatemetoden
SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning
DetaljerMidtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Oppgver på side 3 10. Svrtbell på side 11. Sett tydelige
Detaljer1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
DetaljerVår 2004 Ordinær eksamen
år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens
DetaljerØving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerNumerisk Integrasjon
Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
DetaljerS1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
Detaljer1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
DetaljerFASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
Detaljer2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 6 Avsnitt 6. 7 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er π[r(x)] 2 dx 3 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er L u
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve f = + f ( ) = 6 ( ) 3 g = ( ) e g = + = + ( ) e e e ( ) h = 3 ( ) ln( ) 3 h ( ) = 3 = 3 3 Oppgve
DetaljerYF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49
Detaljer9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler
96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerFormelsamling i matematikk
Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =
DetaljerProjeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er
Kpittel Projeksjon En projeksjon er en lineærtrnsformsjon P som tilfredsstiller P x P x. for lle x. Denne ligningen sier t intet nytt skjer om du benytter lineærtrnsformsjonen for ndre gng, og mn kn tenke
Detaljer75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag
75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;
DetaljerKapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.
Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig
DetaljerYF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen Mat1110 våren 2004 Oppgave 1 (a) Elemetære rekkeoperasjoner anvendt på den utvidete matrisen til systemet gir oss:
Løsningsforslg til prøveeksmen Mt våren 4 Oppgve () Elemetære rekkeopersjoner nvendt på den utvidete mtrisen til systemet gir oss: b b b b b Setter vi = og b = får vi d mtrisen: som gir likningssystemet:
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+
DetaljerIntegrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon
Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får
DetaljerArne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerTom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,
Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerVurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007
Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 007 Mtemtikk sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Vurderingsveiledning til sentrlt gitt eksmen i Kunnsksløftet
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
DetaljerIntegrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
DetaljerLøsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003
Oppgve 1 Løsningsforslg SIE4010 Elektromgnetisme 5. mi 2003 ) Av symmetrigrunner må det elektriske feltet være rdielt rettet og uvhengig v φ, E = E(r)u r.vilrs være overflten til en sylinder med rdius
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerDerivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen
3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker
DetaljerYF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
Detaljer