Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo
3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet i denne puliksjonen er omfttet v åndsverklovens estemmelser. Uten særskilt vtle med rettighetshverne er enhver eksemplrfremstilling og tilgjengeliggjøring re tilltt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tilltt gjennom vtle med Kopinor, interesseorgn for rettighetshvere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller vtle kn medføre ersttningsnsvr og inndrgning, og kn strffes med øter eller fengsel. Boken hr egen nettside: www.universitetsforlget.no/klkulus Henvendelser om denne utgivelsen kn rettes til: Universitetsforlget AS Postoks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlget.no Sts, figurer og formgiving: Arve Michelsen/Mtemtisk Sts Boken er stt med: MthTimes og Times Romn 10/12
Forord Dette tilleggskpitlet gir en kort innføring i regning med vektorer, determinnter og prmetriserte kurver. Stort sett skl vi holde oss i plnet og rommet, men kpitlet inneholder også litt stoff som peker fremover mot det n-dimensjonle tilfellet. Selv om de fleste lesere llerede vil h vært orti vektorregning i den videregående skolen, hr jeg for logikkens og smmenhengens skyld vlgt å strte fremstillingen fr unnen v. I undervisningen vil det sikkert være nturlig å hoppe over en del v det stoffet som skl være kjent fr før. Studenter som ikke hr vært orti vektorregning tidligere, vil knskje finne fremstillingen noe kortfttet enkelte steder, og de vil knskje føle seg ekskludert v en del emerkninger v typen: «Som vi husker fr videregående skole, så...». Jeg håper likevel det vil være mulig å ruke kpitlet også som en første innføring i emnet. En del v stoffet i dette kpitlet finnes også i tilleggskpittel T2, men ehndling her er lngsommere og mer elementær (den konsentrerer seg hovedsklig om vektorer i 2 og 3, mens fremstillingen i T2 stort sett hndler om vektorer i n ). Det er mulig å lese T1 først og så T2, men overlppet mellom kpitlene er så pss stort t de fleste nok vil være mer fornøyd med å velge ett v kpitlene. Ønsker mn en snill og forsiktig videreføring v vektorregningen i videregående skole, er dette kpitlet est egnet, men ønsker mn en rskere og mer misiøs innføring, er T2 det este vlget (her får mn i tillegg med en del stoff om funksjoner v flere vrile). Kpitlene hr til forskjellige tider vært rukt i første semester ved Universitetet i Oslo og fungerer godt for studentgruppen der. Litt om notsjon og orgnisering: Kpitlet er delt opp i «seksjoner» (seksjon 1, Forord 3
seksjon 2 osv), som igjen er delt opp i «vsnitt» (vsnitt 3.1, vsnitt 3.2, osv). Definisjoner, setninger og teoremer er nummerert fortløpende innen hvert seksjon. Eksempler og figurer er også nummerert seksjonsvis, men med egen nummerering. Jeg ruker til å mrkere slutten på et evis, og til å mrkere slutten på et eksempel. Til slutt en stor tkk til Klr Hveerg som hr kommet med en rekke konstruktive forslg underveis, og som hr hjulpet til med å lge fsiten. Blindern, 29. juni, 2006 Tom Lindstrøm 4 Forord
Innhold Forord...3 1 Vektorregning og prmetriserte kurver...7 1.1 Regning med n-tupler 7 Oppgver 10 1.2 Vektorer i plnet 10 Geometrisk tolkning v regneopersjonene 11 Oppgver 13 Sklrproduktet 13 Oppgver 18 Prmeterfremstilling 19 Oppgver 22 Determinnter, reler og orientering 23 Oppgver 27 Prmetriserte kurver 28 Oppgver 35 1.3 Vektorer i rommet 37 Geometrisk tolkning v regneopersjonene 38 Oppgver 39 Vektorproduktet 40 Oppgver 47 Determinnter, volumer og orientering 47 Oppgver 49 Pln 50 Oppgver 54 Prmetriserte kurver 55 Oppgver 58 1.4 Geometri i høyere dimensjoner 59 Oppgver 64 Fsit 66 Innhold 5
tilleggskpittel1 Vektorregning og prmetriserte kurver Dette kpitlet er en repetisjon og videreføring v vektorregningen i videregående skole. De fleste egrepene (som vektorer, linjer og prmetriserte kurver) vil du kjenne fr før, men noen (som vektorprodukt og determinnter) vil knskje være nye. I tillegg til vektorregning i to og tre dimensjoner skl vi egynne å se litt på vektorregning i n dimensjoner et tem som høres mye skumlere ut enn det er! T1.1 Regning med n-tupler I denne seksjonen skl vi studere de grunnleggende regnereglene for n-tupler og se på noen eksempler som ntyder hv n-tupler kn rukes til. ( Et n-tuppel er en sekvens v n (reelle) tll ( 1, 2,..., n ). For eksempel er 3, 4, 3 4, 7, 0, 3) et 6-tuppel, mens ( 1,π, 1, 42) 37 er et 4-tuppel. Tllene 1, 2,..., n klles komponentene til n-tuppelet ( 1, 2,..., n ); 1 er førstekomponenten, 2 er ndrekomponenten osv. To n-tupler regnes som like dersom de inneholder de smme tllene i den smme rekkefølgen. At ( 1, 2,..., n ) = ( 1, 2,..., n ), etyr ltså t 1 = 1, 2 = 2,..., n = n. Legg merke til t (3, 2, 4) (2, 3, 4); selv om tllene er de smme, er rekkefølgen forskjellig. I dette kpitlet skl vi ruke okstver i fete typer som nvn på n-tupler, f.eks. = ( 2, 3, 0, 17). Det er vnskelig å ruke fete typer når mn skriver for hånd, og mn kn d isteden skrive en pil eller en strek over okstven slik = ( 2, 3, 0, 17) eller slik ā = ( 2, 3, 0, 17). 7
Vi skl skrive 0 for det n-tuppelet som hr lle komponenter lik 0, ltså 0 = (0, 0,...,0). Hvis vi hr et n-tuppel = ( 1, 2,..., n ), skriver vi for n-tuppelet ( 1, 2,..., n ). Det er en nturlig måte å definere ddisjon og sutrksjon v n-tupler på. Dersom = ( 1, 2,..., n ) og = ( 1, 2,..., n ),såer og + = ( 1 + 1, 2 + 2,..., n + n ) = ( 1 1, 2 2,..., n n ) Vi sier t vi dderer og sutrherer komponentvis. Legg merke til t vi re kn ddere og sutrhere n-tupler v smme type oppskriften ovenfor gir oss ikke noen måte å ddere et 3-tuppel og et 7-tuppel på. Før vi ser på noen eksempler, tr vi med en regneopersjon til. Dersom s er et tll og = ( 1, 2,..., n ) er et n-tuppel, definerer vi produktet v s og til å være Vi gnger ltså s inn i hver komponent i. s = (s 1,s 2,...,s n ) T1.1.1 Eksempel Vi lr = ( 2, 3, 0, 17) og = (4, 1, 3, 17). Der + = ( 2 + 4, 3 + ( 1), 0 + 3, 17 + 17) = (2, 2, 3, 0) og = ( 2 4, 3 ( 1), 0 3, 17 17) = ( 6, 4, 3, 34) Hvis s = 3, får vi s = (3 ( 2), 3 3, 3 0, 3 ( 17)) = ( 6, 9, 0, 51) Vi skl innføre en regneopersjon til. Dersom = ( 1, 2,..., n ) og = ( 1, 2,..., n ) er to n-tupler, definerer vi sklrproduktet ved = 1 1 + 2 2 + + n n Legg merke til t er ikke er et n-tuppel, men et tll (eller en sklr som mn ofte sier når mn vil understreke t noe er et tll og ikke et n-tuppel). Hvis vi lr = ( 2, 3, 0, 17) og = (4, 1, 3, 17) som ovenfor, ser vi t = ( 2) 4 + 3 ( 1) + 0 3 + ( 17) 17 = 8 3 + 0 289 = 300 Vi hr nå sett hvordn vi kn regne med n-tupler, og det er knskje på tide å forklre hvorfor det er noen vits i slike regnestykker. Eksempelet nedenfor viser t n-tupler er nturlige redskp når vi skl holde styr på mer informsjon enn det som kn rommes i et enkelt tll, og t regneopersjonene svrer til regnestykker det ofte er nturlig å utføre i slike smmenhenger. T1.1.2 Eksempel En forretning hr nstt 7 studenter på timesis. For å holde styr på hvor mnge timer hver student hr reidet, kn vi ruke et 7-tuppel t = 8 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
(t 1,t 2,...,t 7 ) der t 1 er ntll timer den første studenten hr reidet, t 2 er ntll timer den ndre studenten hr reidet osv. Dersom studentene reider mer, kn vi på smme måte kode tilleggstimene som et n-tuppel s = (s 1,s 2,...,s 7 ). Det totle ntll timer som studentene hr reidet, er nå gitt ved t + s. Studentene hr ulik erfring og derfor ulik lønn. Hvis student nummer én hr en timelønn på p 1 kroner, student nummer to hr en timelønn på p 2 kroner osv., kn vi også representere lønnen som et 7-tuppel p = (p 1,p 2,...,p 7 ). Dersom studentene hr reidet t = (t 1,t 2,...,t 7 ) timer, er den totle lønnen som forretningen skylder, gitt v sklrproduktet p t = p 1 t 1 + p 2 t 2 +...+ p 7 t 7. Dersom lle studentene får et lønnstillegg på 7 prosent, får vi det nye lønnstuppelet ved å gnge det gmle med sklren 1.07, ltså 1.07p. Vi tr med noen eksempler til som viser hvordn n-tupler rukes til å holde styr på tllmessig informsjon i forskjellige smmenhenger. T1.1.3 Eksempel Tilstnden til en gsseholder er estemt v trykket p, temperturen T og volumet V. Hvis du får i oppdrg å måle tilstnden til eholderen ved forskjellige tidspunkt, kn det være nturlig å ruke 4-tupler (t,p,t,v)der t er tidspunktet for målingen. Forskjellen mellom to målinger og er d gitt ved differensen. T1.1.4 Eksempel Et ilde på en fjernsynsskjerm eller en dtskjerm er ygget opp v små lysende punkter (piksler). Et vnlig formt er 1280 1024 = 1 310 720 piksler. I hvert punkt må vi ngi styrken til hver v de tre grunnfrgene rødt, lått og grønt, så totlt hr vi 3 1 310 720 = 3 932 160 tll å holde styr på. En nturlig måte å gjøre dette på, er å oppftte ilder som 3 932 160-tupler! Her er noen enkle regneregler for n-tupler (det finnes flere): T1.1.5 Regneregler for n-tupler Dersom, og c er n-tupler og s og t er reelle tll, gjelder følgende regneregler: () + = + () = (c) s( + ) = s + s (d) (s + t) = s + t (e) c ( + ) = c + c og ( + ) c = c + c (f) 0 med likhet hvis og re hvis = 0 Bevis: Alle disse reglene evises lett ved å regne ut venstre- og høyresiden og kontrollere t svrene stemmer. Vi tr (c) og (f) som eksempler: (c) Dersom = ( 1, 2,..., n ) og = ( 1, 2,..., n ), ser vi t venstresiden kn skrives s( + ) = s( 1 + 1, 2 + 2,..., n + n ) = (s( 1 + 1 ), s( 2 + 2 ),...,s( n + n )) = (s 1 + s 1,s 2 + s 2,...,s n + s n ) Seksjon T1.1 Regning med n-tupler 9
Tilsvrende kn høyresiden skrives s + s = (s 1,s 2...,s n ) + (s 1,s 2...,s n ) = (s 1 + s 1,s 2 + s 2,...,s n + s n ) Siden de to uttrykkene er like, er (c) evist. (f) Vi ser t = 2 1 + 2 2 + +2 n 0 siden kvdrter ldri er negtive. Likhet hr vi dersom 2 1 = 0,2 2 = 0,...,2 n = 0, dvs. dersom 1 = 0, 2 = 0,..., n = 0 Vi hr nå innført noen regneopersjoner for n-tupler og sett på noen v de enkleste regnereglene. I de neste to seksjonene skl vi se t når n er lik 2 eller 3, er ikke regning med n-tupler noe nnet enn regning med vektorer i plnet og i rommet. Forskjellen er re t i rommet og i plnet hr vi muligheten til å forestille oss vektorene geometrisk, og det gir oss en helt nnen forståelse v hv de er. Mot slutten v kpitlet skl vi se t det er mulig å t med seg mye v denne geometriske forståelsen når vi studerer generelle n-tupler. Dette vil gi oss en slgs geometrisk forståelse v n-dimensjonle ojekter! Før vi går videre, tr vi med noen ord om notsjon. Mengden v lle n-tupler kller vi n. Når vi skriver n, etyr dette derfor ikke noe nnet enn t er et n-tuppel. I dette kpitlet skl vi stort sett holde oss til reelle n-tupler, men vi kn selvfølgelig også tenke oss n-tupler (c 1,c 2,...,c n ) der komponentene c 1,c 2,...,c n er komplekse tll. Mengden v lle slike n-tupler kller vi n. Vi kn gjøre det end mer generelt: Dersom A er en hvilken som helst mengde, etegner A n mengden v lle n-tupler ( 1, 2,..., n ) der i A for lle i = 1, 2,...,n. Oppgver 1. Finn +,, s og når = (1, 2, 4, 5, 1), = ( 3, 5, 5, 0, 3) og s = 3. 2. Finn +,, s og når = (7, 0, 4, 2, 5, 4), = (0, 2, 1, 6, 0, 1) og s = 4. 3. Vi sier t står ortogonlt på dersom = 0. Vis t dersom står ortogonlt på åde og c, så står ortogonlt på + c. 4. Bevis punkt (d) i setning T1.1.5. 5. Bevis punkt (e) i setning T1.1.5. T1.2 Vektorer i plnet Et 2-tuppel er ikke noe nnet enn et pr ( 1, 2 ). Geometrisk kn vi tenke på et slikt pr på to måter enten som et punkt med koordinter 1 og 2, eller som en vektor (pil) som strter i origo og ender i dette punktet (se figur T1.2.1). I skolemtemtikken ruker mn gjerne forskjellig notsjon om mn tenker på pret som et punkt eller som en vektor et punkt ( 1, 2 ) hr runde prenteser, mens en vektor [ 1, 2 ] hr klmmeprenteser. Det er gnske tungvint å ruke to forskjellige notsjoner, og vi vil derfor ruke runde prenteser = ( 1, 2 ) unsett om vi tenker på som et punkt eller 10 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
som en vektor. Hv som er nturlig, fremgår som regel v smmenhengen. Snkker vi om en linje gjennom, er det nturlig å tenke på som et punkt, men snkker vi om en linje prllell med, er det nturlig å tenke på som en vektor. Når jeg lger figurer, vil jeg noen gnger tegne pret ( 1, 2 ) som en vektor og ndre gnger som et punkt etter hv jeg synes psser est i hvert enkelt tilfelle (se figur T1.2.1). y y ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) 2 2 1 x 1 x Figur T1.2.1 som et punkt og som en vektor Ofte er det nturlig å tegne vektorer med et nnet strtpunkt enn origo. Vi skl derfor regne to vektorer som like dersom de hr smme retning og er like lnge (selv om de ikke strter smme sted). Figur T1.2.2 viser flere versjoner v den smme vektoren. y x Figur T1.2.2 Forskjellige versjoner v smme vektor BEMERKNING: Det kn være på sin plss med en liten dvrsel det er ikke i lle smmenhenger vi kn neglisjere strtpunktet til en vektor. Det er greit i dette kpitlet der vi re er interessert i lengden og retningen til vektorer, men i fysikk symoliserer ofte vektorene krefter, og d er strtpunktet viktig fordi det mrkerer det stedet hvor krften ngriper. Flytter vi strtpunktet, får krften ofte en helt nnen virkning (tenk på en vektstng). I prksis er det nesten lltid klrt om strtpunktet spiller noen rolle eller ikke, men det skder ikke å være oppmerksom på prolemstillingen. Geometrisk tolkning v regneopersjonene Når n = 2, kn de regneopersjonene vi innførte i forrige seksjon, tolkes som smmensetting v vektorer. Figur T1.2.3 viser hvordn vi setter smmen vektorene og foråfå +, og hvordn vi setter smmen c og d foråfåc d. Multipliksjon med en sklr hr også en geometrisk tolkning. Dersom vi gnger med et positivt tll s, eholder vektoren retningen, men lir s gnger så lng. Dersom Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 11
vi gnger med et negtivt tll s, snur retningen 180 og den nye vektoren lir s gnger så lng som den opprinnelige (se figur T1.2.4). y y d c x c d x Figur T1.2.3 Addisjon og sutrksjon v vektorer y 3 x ( 2) Figur T1.2.4 Multipliksjon med et tll Lengden til en vektor = ( 1, 2 ) er gitt ved Pythgors setning: = 1 2 + 2 2 Tilsvrende er vstnden d(, ) mellom to punkter = ( 1, 2 ) og = ( 1, 2 ) gitt ved d(, ) = ( 1 1 ) 2 + ( 2 2 ) 2 Legg merke til t d(, ) = Avstnden fr til er ltså lik lengden til vektoren (lg en figur!). To vektorer spiller en så viktig rolle t de hr fått egne nvn. Det er enhetsvektorene lngs x-ogy-ksen. Vi ruker etegnelsene i = (1, 0) og j = (0, 1) I enkelte øker vil du isteden finne notsjonen e x = (1, 0) og e y = (0, 1) 12 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
Vi skl ikke gjøre mye ruk v disse etegnelsene i dette kpitlet, men det er greit å vite om dem. Før vi går videre, tr vi oss tid til noen få ord om hv vektorer kn rukes til i fysikk. Der rukes vektorer til å eskrive fysiske fenomener som hr åde retning og størrelse, som for eksempel hstigheter og krefter. Når mn kjører i en il, er det ikke re viktig å vite hvor fort mn kjører retningen hr også noe å si. Mn kn derfor eskrive hstigheten som en vektor der lengden ngir hvor fort mn kjører, og der retningen til vektoren forteller hvilken vei mn kjører. Når mn ruker en krft for å flytte en gjenstnd, drr mn ikke re med en viss styrke, men også i en estemt retning. For å eskrive en slik krft, ruker mn en vektor der lengden ngir styrken mn drr med, og retningen ngir hvilken vei mn drr. Dersom det er flere krefter som trekker gjenstnden i hver sin retning, lir den smlede krften (resultnten) summen v lle disse vektorene. Oppgver 1. Vi hr vektorene = ( 2, 1) og = (1, 3).Tegn,, +, i smme koordintsystem. 2. L = ( 1, 3) og = (2, 3). Tegn punktene +, + 2, og 2 i smme koordintsystem. Beskriv mengden v lle punkter + t. 3. Tegn et punkt = (, ). Tegn deretter punktene (, ), (, ),(, ). Kommenter. 4. Finn vstnden fr ( 7, 8) til (6, 3). 5. Vnnet i en elv renner med en frt på 1 m/s. Du kn svømme med en frt på 2 m/s reltivt til vnnet. I hvilken retning ør du svømme dersom du skl til et punkt tvers over elven? Hvor lng tid ruker du på turen dersom elven er 50 meter red? Sklrproduktet Sklrproduktet v de to vektorene = ( 1, 2 ) og = ( 1, 2 ) er gitt på vnlig måte: = 1 1 + 2 2 Vi ser t vi kn uttrykke lengden til ved hjelp v sklrproduktet på denne måten: Sgt på en nnen måte er = = 2 Denne smmenhengen er grei å ruke når vi skl skrive opp kvdrtsetningene for vektorer. T1.2.1 Kvdrtsetninger for vektorer Dersom og er to vektorer i plnet, gjelder: () + 2 = 2 + 2 + 2 () 2 = 2 2 + 2 (c) ( + ) ( ) = 2 2 Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 13
Bevis: Disse formlene kn evises på flere måter mn kn for eksempel regne ut egge sider og se t mn får det smme svret, eller mn kn ruke regnereglene T1.1.5 fr forrige seksjon. Som et eksempel skl jeg vise hvordn mn ruker regnereglene til å vise punkt () de ndre punktene greier du sikkert selv. Vi strter med venstresiden og regner ut (prøv å finne ut hvilke regneregler som rukes i hvert trinn): + 2 = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + + = 2 + 2 + 2 To vektorer og estemmer en vinkel v mellom 0 og 180 som vist på figur T1.2.5. Vi kller dette vinkelen mellom og. Legg merke til t dersom vi eveger oss i positiv omløpsretning, vil denne vinkelen noen gnger strte i og ende i (se figur T1.2.5 og ndre gnger strte i og ende i (se figur T1.2.5. I det første tilfellet sier vi t pret (, ) er positivt orientert, i det ndre tilfellet t det er negtivt orientert. Her er åpenrt rekkefølgen til vektorene viktig er første vektor og er ndre vektor. Bytter vi om rekkefølgen v vektorene, ytter vi også orientering. y y v v x x Figur T1.2.5 Vinkelen v Som de fleste vil huske fr skolemtemtikken, kn sklrproduktet uttrykkes geometrisk ved hjelp v vinkelen v: = cos v (1.1) At sklrproduktet kn uttrykkes på to vidt forskjellige måter (åde som = 1 1 + 2 2 og som = cos v), er svært nyttig. Den første måten er grei når mn skl regne ut sklrprodukter eller evise regneregler, mens den ndre måten gjør det mulig å ruke sklrproduktet som et redskp i geometriske resonnementer. Siden det geometriske uttrykket (1.1) for sklrproduktet er så viktig, skl vi utlede det her selv om det er kjent fr videregående skole. Det er flere utledninger å velge mellom, men den vi skl ruke, hr den fordelen t den også fungerer for vektorer i rommet. Før vi strter på utledningen, minner jeg om cosinussetningen fr 1T: Gitt en treknt som på figur T1.2.6. D er c 2 = 2 + 2 2 cos u 14 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
(husker du ikke denne setningen, finner du en utledning i oppgve 1.2.19). Siden cos u = cos v (hvorfor?), kn denne formelen også skrives c 2 = 2 + 2 + 2 cos v (1.2) c u v Figur T1.2.6 Cosinussetningen vi t Bevis for formel (1.1): Bruker vi formel (1.2) på treknten i figur T1.2.7, ser + 2 = 2 + 2 + 2 cos v y v x Figur T1.2.7 Dersom vi isteden ruker den første kvdrtsetningen ovenfor, får vi: + 2 = 2 + 2 + 2 Skl disse to uttrykkene være like, må og eviset for (1.1) er fullført. = cos v Formel (1.1) er grei å ruke når mn skl finne vinkelen mellom to vektorer. T1.2.2 Eksempel Finn vinkelen v mellom vektorene = (4, 1) og = ( 2, 3). Vi hr cos v = 4 ( 2) + ( 1) 3 = = 11 0.74 17 13 221 En lommeregner forteller oss t v rccos( 0.74) 137.7. Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 15
Som det neste eksemplet på smmenhengen mellom sklrproduktet og geometri, skl vi undersøke når vektorer er prllelle eller står normlt på hverndre (også dette er kjent fr skolemtemtikken). Husk t to ikke-null vektorer og står normlt på hverndre dersom vinkelen mellom dem er 90,ogtdeerprllelle dersom vinkelen mellom dem er 0 eller 180 (vektorer som peker i motstt retning, regnes ltså som prllelle). Når to vektorer står normlt på hverndre, sier vi ofte t de er ortogonle. T1.2.3 Setning L og være to vektorer i plnet forskjellig fr 0. D gjelder: () med likhet hvis og re hvis og er prllelle. () og er ortogonle hvis og re hvis = 0. Bevis: () Siden = cos v og cos v 1, er = cos v med likhet hvis og re hvis cos v =1, dvs. når v er lik 0 eller 180 grder. () Siden og er forskjellige fr 0, kn = cos v re være 0 fordi cos v = 0, og det skjer re når v er 90 grder. T1.2.4 Eksempel For å vise t vektorene = ( 3, 4) og = ( 2, 3 2) er ortogonle, sjekker vi t sklrproduktet er lik 0: = ( 3) 2 + 4 3 2 = 6 + 6 = 0 Altså er vektorene ortogonle. Tidligere i oken hr vi møtt trekntulikhetene for reelle og komplekse tll. Nå kommer trekntulikheten for vektorer: T1.2.5 Trekntulikheten Dersom og er to vektorer i plnet, så er + + Bevis: Geometrisk sier denne setningen t lengden til én side i en treknt lltid er mindre enn summen v de to ndre (forklr!). Vi kn gi et lgerisk evis ved å kominere første kvdrtsetning og setning T1.2.3() ovenfor: + 2 = 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 = ( + ) 2 Siden åde + og + er positive, må + + 16 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
Vi skl nå ruke den geometriske tolkningen v sklrproduktet til å studere projeksjoner. Figur T1.2.8 viser projeksjonen p v ned på. Projeksjonen p er vektoren som er prllell med og så lng t p står normlt på. y p p x Figur T1.2.8 Projeksjonen p v ned på Vi skl finne et uttrykk for p. Siden p er prllell med,måp = t for ett eller nnet tll t. Siden p står ortogonlt på, må vi derfor h: 0 = ( p) = ( t) = t 2 Løser vi denne ligningen med hensyn på t, får vi t = 2 Dette etyr t Vi får dermed dette resulttet: p = 2 T1.2.6 Setning Ant t og er to ikke-null vektorer i plnet. D er projeksjonen p v ned på gitt ved: p = 2 Lengden til projeksjonen er p = Bevis: Den første formelen hr vi llerede utledet. Den ndre kn vi for eksempel finne med følgende regnestykke: p = t = = 2 Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 17
T1.2.7 Eksempel Finn lengden til projeksjonen p v = (2, 5) ned på = (3, 4). Vi hr 2 3 + ( 5) 4 p = = = 14 3 2 + 4 2 5 Projeksjonen v en vektor ned på en nnen vektor rukes ofte i fysikk og meknikk. Ved hjelp v projeksjonen p kn vi skrive som en sum v to ortogonle vektorer p og p der den ene () er prllell med og den ndre står normlt på. Dette klles å dekomponere. Dekomposisjon rukes mye i forindelse med krefter der vi ofte er interessert i den komponenten v krften som peker i en spesiell retning (gjerne den retningen vi ønsker t krften skl virke i). Oppgver 6. Finn sklrproduktet v ( 2, 3) og (4, 1). Finn også vinkelen mellom vektorene. 7. =4, =5 og vinkelen mellom og er 45. Finn. 8. Finn vinkelen mellom vektorene = (4, 3) og = ( 1, 3). Finn også projeksjonen v ned på. 9. Hvor lng er projeksjonen v ( 3, 4) ned på (1, 2)? 10. Finn vinkelen som hver v vektorene = ( 3, 1) og = (1, 1) dnner med x-ksen. Regn ut og ruk svret til å finne et ekskt uttrykk for cos(15 ). 11. Skriv = (4, 3) som en sum v to vektorer og c der er prllell med d = (1, 2) og c står normlt på d. 12. =6, =4, + =3. Finn. 13. =3, =4og + =5. Finn vinkelen mellom og. 14. Per påstår t hn hr to vektorer og slik t =3, =2og + =7. Hvorfor tror du ikke på hm? 15. Kri påstår t hun hr to vektorer og slik t =7, =2og =4. Hvorfor tror du ikke på henne? 16. Bevis punkt () og (c) i setning T1.2.1. 17. Husk t d(, ) =. Bevis t d(, ) d(, c) + d(c, ) for lle vektorer,, c. Hv er den geometriske tolkningen v denne ulikheten? 18. Ant t og c står normlt på. Vis t og c er prllelle. 18 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
19. Forklr t på figuren nedenfor er ( + cos v) 2 + ( sin v) 2 = c 2. c sin v u v cos v Bruk dette til å evise cosinussetningen c 2 = 2 + 2 2 cos u når vinkel u er stump (dvs. større enn 90 ). Bruk en tilsvrende figur til å evise cosinussetningen når vinkel u er spiss (dvs. mindre enn 90 ). 20. Vis t for lle vektorer x og y gjelder x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 Vis t i et prllellogrm er summen v kvdrtene v sidene lik summen v kvdrtene v digonlene. Prmeterfremstilling Vi skl nå se litt på hvordn vektorer kn rukes til å studere linjer i plnet. Du er vnt til å eskrive linjer ved hjelp v ligninger v typen y = x +. I vektorregning er det ofte nyttigere å ruke en nnen eskrivelse v linjer. Vi tr utgngspunkt i en linje som går gjennom et punkt = ( 1, 2 ) og er prllell med vektoren = ( 1, 2 ) (se figur T1.2.9). y x Figur T1.2.9 Rett linje gjennom prllell med Siden enhver vektor t er prllell med, ser vi t lle punkter v typen + t må ligge på linjen (se figur T1.2.10). Det er heller ikke så vnskelig å overevise seg om t ethvert punkt på linjen må være v formen + t for ett eller nnet tll t. Vi hr dermed kommet frem til t de punktene som ligger på den rette linjen, er nøyktig de som er v typen + t for et reelt tll t. Bruker vi koordinter, ser vi t + t = ( 1, 2 ) + t( 1, 2 ) = ( 1 + t 1, 2 + t 2 ) Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 19
Dette uttrykket kller vi en prmeterfremstilling for den rette linjen. Det er ofte greit å h et kortere nvn på prmeterfremstillingen, og vi skriver d gjerne r(t) = ( 1 + t 1, 2 + t 2 ) Tenk på r(t) som et punkt som eveger seg lngs linjen når t endrer seg. y t t x Figur T1.2.10 Prmeterfremstilling v en rett linje T1.2.8 Eksempel Vi skl finne en prmeterfremstilling for den rette linjen som går gjennom punktet = (2, 3) og er prllell med = ( 1, 4). Deretter skl vi undersøke om punktet (5, 2) ligger på linjen. Etter formelen ovenfor får vi: r(t) = + t = (2, 3) + t( 1, 4) = (2 t,3 + 4t) L oss sjekke om punktet (5, 2) ligger på linjen. D må det finnes et tll t slik t (2 t,3 + 4t) = (5, 2), det vil si t vi må h 2 t = 5 og 3+ 4t = 2 Løser vi den første ligningen, får vi t = 3, men prøver vi denne løsningen i den ndre ligningen, ser vi t den ikke psser. Det etyr t punktet ikke ligger på linjen (hdde t = 3 psset i denne ligningen også, ville punktet h ligget på linjen). Hittil hr vi eskrevet en linje ved å oppgi t den går gjennom et gitt punkt og er prllell med en gitt vektor, men ofte er det ndre eskrivelser som er mer nturlige, for eksempel å oppgi to punkter som linjen går gjennom. Hvordn finner vi en prmeterfremstilling for linjen som går gjennom de to punktene = ( 1, 2 ) og c = (c 1,c 2 )? Det er lett vi oserverer re t denne linjen må være prllell med vektoren = c (se figur T1.2.11), og ruker deretter formelen ovenfor. y c c x Figur T1.2.11 En rett linje gjennom to gitte punkter 20 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
T1.2.9 Eksempel Vi skl finne en prmeterfremstilling for den rette linjen som går gjennom punktene = (3, 5) og c = ( 1, 4). Vi ser t = c = ( 1 3, 4 ( 5)) = ( 4, 9). Dermed lir prmeterfremstillingen r(t) = + t = (3, 5) + t( 4, 9) = (3 4t, 5 + 9t) Prmetriserte linjer kn rukes til å eskrive jevne, rettlinjede evegelser. Her er et enkelt eksempel: T1.2.10 Eksempel I dette eksemplet er lle vstnder målt i nutiske mil. En fiskeåt efinner seg ved tidspunktet t = 0 i punktet (2, 3) og eveger seg med en jevn frt v 9 nutiske mil per time i retningen (3, 4). Finn åtens posisjon etter t timer. Siden vektoren d = (3, 4) hr lengde 5, vil åten i løpet v en time h forflyttet seg en strekning gitt ved 9 5d. I løpet v t timer vil den derfor h forflyttet seg en strekning d. Siden strtposisjonen er e = (2, 3), må posisjonen etter t timer være: 9t 5 r(t) = e + 9t 5 9t 27t d = (2, 3) + (3, 4) = (2 + 5 5, 3 + 36t 5 ) L oss t med et litt mer omfttende eksempel. T1.2.11 Eksempel Linjen l går gjennom punktene = ( 1, 2) og = (1, 3).Vi skl finne det punktet på l som ligger nærmest punktet c = (2, 6). Det er flere måter å gå frem på, men unsett hvilken vi velger, trenger vi først å finne en edre eskrivelse v punktene på l. Velger vi å ruke prmeterfremstilling, regner vi først ut vektoren d = = (1 ( 1), 3 2) = (2, 1). Prmeterfremstillingen lir dermed r(t) = + td = ( 1, 2) + t(2, 1) = ( 1 + 2t,2 + t) Vi må nå finne ut hvilket v disse punktene som ligger nærmest c. Det må være det punktet r(t) der vektoren c r(t) står ortogonlt på linjen l (se figur T1.2.12), eller, med ndre ord, ortogonlt på vektoren d. Dette etyr t vi må h (c r(t)) d = 0 y c c r(t) r(t) l d x Figur T1.2.12 Punktet på l nærmest c Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 21
Siden (c r(t)) = (2, 6) ( 1 + 2t,2 + t) = (3 2t,4 t) ser vi t (c r(t)) d = (3 2t, 4 t) (2, 1) = (3 2t) 2+(4 t) 1 = 6 4t +4 t = 10 5t Skl dette uttrykket være lik 0, må vi h t = 2. Det punktet på l som ligger nærmest c finner vi ltså ved å sette t = 2: r(2) = ( 1 + 2 2, 2 + 2) = (3, 4) Oppgver 21. Finn en prmeterfremstilling for linjen gjennom ( 3, 2) prllell med (1, 2). Sjekk om punktet ( 7, 6) ligger på linjen. 22. Finn en prmeterfremstilling for linjen som går gjennom punktene (2, 1) og (3, 8). 23. Finn en prmeterfremstilling for linjen som går gjennom (5, 2) og som står normlt på ( 1, 2). 24. Finn en prmeterfremstilling for linjen som hr ligning 2x + 3y = 6. 25. En linje hr prmeterfremstilling ( 3 + 2t,2 t). Finn en ligning v typen y = x + for denne linjen. 26. En linje går gjennom punktene (0, 1) og (3, 2). Finn det punktet på linjen som ligger nærmest (3, 4). 27. En linje går gjennom (3, 1) og er prllell med (1, 2). Finn vstnden fr punktet (1, 5) til linjen. 28. En linje går gjennom punktet (1, 2) og står normlt på vektoren (3, 4). Finn det punktet på linjen som ligger nærmest (9, 2). 29. I denne oppgven skl vi løse prolemet i eksempel T1.2.11 på en nnen måte. ) Forklr hvorfor vstnden fr punktet c = (2, 6) til punktet r(t) på linjen er (2t 3)2 + ( 4 + t) 2. ) Forklr hvorfor vstnden fr c til r(t) er minst når f(t)= (2t 3) 2 + ( 4 + t) 2 er minst. c) Deriver f(t)og ruk resulttet til å finne det punktet på linjen som ligger nærmest c. 30. En linje hr ligning x + y = c. Vis t vstnden fr et punkt (x 0,y 0 ) til linjen er x 0 + y 0 c 2 + 2. 31. To skip er på kryssende kurs. Ved tiden t = 0 er det ene skipet i punktet (0, 4), og det ndre skipet i punktet (39, 14) (lle vstnder er målt i nutiske mil.) Det første skipet eveger seg prllelt med vektoren (3, 4) med en frt v 15 knop (1 knop = 1 nutisk mil per time). Det ndre skipet eveger seg prllelt med vektoren ( 12, 5) med en frt v 13 knop. ) Hvor vil kursene krysse hverndre? ) Vil skipene kollidere? 22 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver
32. I sin evige jkt etter honning forsøker Ole Brumm å invdere et tre ved hjelp v en llong. Plutselig lir llongen ttt v et vindkst og frer v sted med Ole Brumm. Etter å h tenkt seg om et øyelikk, innser Kristoffer Roin t hns eneste sjnse til å redde vennen er å skyte istykker llongen med lekegeværet sitt. Figuren nedenfor viser en skisse v situsjonen. y (0,6) (4,3) u (20, 0) x Når vindkstet kommer ved tiden t = 0, efinner llongen seg i punktet (0, 6). Den lir ført v gårde med en frt v 5 m/s i retningen (4, 3). Ved tiden t = 2 skyter Kristoffer Roin mot llongen fr sin posisjon (20, 0). Vinkelen mellom geværet og underlget er u, og vi regner med t kulen eveger seg rettlinjet med en frt v 70 m/s. Alle vstnder er målt i meter og tiden er målt i sekunder. ) Forklr t llongens posisjon ved tiden t er (4t,6 + 3t). ) Vis t kulens posisjon ved tiden t er (20 70(t 2) cos u, 70(t 2) sin u). c) Hvilken vinkel u må Kristoffer Roin holde geværet i for å treffe midt i llongen? Hvor lngt er det ned til kken når llongen lir truffet? Determinnter, reler og orientering En 2 2-determinnt er et uttrykk c d (1.3) der,, c og d er fire tll. Dette uttrykket kn se mystisk ut, men det er rett og slett definert ved c d = d c Legg merke til t uttrykket d c fremkommer fr digonlene i c d ; gnger vi smmen tllene i den ene digonlen, får vi d, og gnger vi smmen tllene i den ndre digonlen, får vi c. Mn kn selvfølgelig lure på hvorfor mn trenger et så komplisert symol som c d for det enkle uttrykket d c. Det er det ikke så enkelt å forklre nå, men når du senere lærer om mtriser og generelle n n-determinnter, vil du se t denne definisjonen psser inn i et generelt system (vi skl se litt på 3 3-determinnter i neste seksjon). Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 23