Litt av matematikken bak solur

Transkript

1 Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med solur, nærmere estemt deklinsjonskurver på urskiv til solur. Dette dokumentet er resulttet etter en tids reid for å forstå hvordn solur fungerer gjennom mtemtikken og fysikken k horisontle solur. I denne versjonen noen mindre feil rettet og figuren med tidsjevning foredret. Tromsø, oktoer 003 Anne Bruvold 1. Innledning Jords rotsjon rundt sin egen kse gir sol en tilsyneltende evegelse over himmelen fr øst mot vest. Bevegelsen eskriver en sirkel i løpet v et døgn, 360 på 4 timer eller 15 per time. Solur enytter denne evegelsen til å vise tiden. Solur estår v en viser som, når sol skinner, kster skygge på en urskive som ikke nødvendigvis er en pln flte. Skyggens posisjon vrierer i løpet v døgnet, og for de fleste typer solur vrierer også skyggens lengde. Skyggens lengde ved et gitt klokkeslett på dgen vrierer også som regel i løpet v året, som resultt v sols vrierende deklinsjon (høyde i forhold til himmelekvtor). Vi skl her se nærmere på mtemtikken k solur med en pln horisontl urskive, med loddrett og polrettet viser. 31. oktoer 003 Side 1

2 . omenkltur Soluret Viser: Innretning som kster skygge på urskiv eller på nnen måte mrkerer tid. Urskive: Flte med mrkeringer for vlesning v tid ut fr posisjonen til viserens skygge eller tilsvrende. Timelinjerr Deklinsjonskurver Timelinjer: Linjer som mrkerer skyggens posisjon ved hele timer Middgstimelinj: Timelinj når sol står i sør. Ligger på linj mellom sør og nord. Deklinsjonskurve: Kurve som mrkerer skyggens lengde gjennom et døgn ved en gitt soldeklinsjon. Kurvene merkes gjerne med de stjernetegnene sol efinner seg i ved de mrkerte deklinsjonene. Ulike tidsegrep Snn soltid: Snn (lokl) soltid er tiden gitt v sol. Snn soltid er 1 når sol står rett i sør. Et soldøgn er tiden fr sol står i nord til den står i nord neste gng, eller med ndre ord: tiden mellom to påfølgende nedre kulminsjoner for sol. Lengden v et soldøgn vrierer noe i løpet v året. Middelsoltid: tiden gitt v en tenkt sol, middelsol, som eveger seg med konstnt hstighet lngs himmelekvtor. Lengden v et middelsoldøgn er konstnt gjennom året. Snn mellomeuropeisk soltid: Snn soltid på 15 øst meridinen, refernsemeridinen for mellomeuropeisk tid. Tidsjevning: Forskjellen mellom snn soltid og middelsoltid. 3. Størrelser Hvilke symoler som rukes for de ktuelle størrelsene, vrierer fr forftter til forftter. Her følger en oversikt over symolene i dette dokumentet. Senit Horisontle koordinter Az Sols simut, øst-vest posisjonen målt fr sør prllelt med horisonten, positiv vestover (med klokk). Ø S Sols ltitude, høyden over horisonten. (Kn også representere ulike konstnter i noen smmenhenger.) V Az 31. oktoer 003 Side

3 Ekvtorile koordinter H Sols timevinkel. Vinkelen fr meridinen til sol, målt i timer eller grder, prllelt med ekvtor. H = 0 kl 1 snn (lokl) soltid, H = 15 kl 13 snn soltid. Senit δ φ H δ Sols deklinsjon, høyden i forhold til himmelekvtor. Himmelekvtor Andre størrelser φ ordlig redde for stedet hvor soluret er. α h Vinkelen mellom en timelinje ved gitt timevinkel H og middgstimelinj. vstnden fr viserens topp til horisontlplnet. α h' lengden v polrettet viser. l l' vstnden fr punktet loddrett under viserens topp og skyggens topp (fotpunktet til loddrett viser). lengden v polrettet viser projisert ned på horisontlplnet. h' l' h L l L Lengden v skyggen v polrettet viser. Ø 4. Utregning v timelinjenes vinkel i forhold til middgstimelinj Det finnes ulike måter å finne vinkelen til timelinjene i forhold til middgstimelinj. Den tilsyneltende enkleste er å t utgngspunkt i ekvtorile solur, hvor urskiv er prllell med himmelekvtor, viseren prllell med jords rotsjonskse og vinkelrett på urskiv, og timelinjer jevnt fordelt med 15 mellom lle. Ved å projisere urksiv til et ekvtorilt solur lngs den polrettede viseren for horisontle solur med polrettet viser, og å se på smmenhengen mellom vinkler og sider i ulike treknter, får vi følgende smmenhenger: Ekvtoril urskive Horisontl urskive φ Mot polpunktet 31. oktoer 003 Side 3

4 sinϕ = c tn H = c tnα = Ved å kominere disse, får vi: (4.1) tnα = sinφ tn H (polrettet viser) Ekvtoril urskive H c α Horisontl urskive For horisontle solur med loddrett viser projiserer vi lngs den loddrette viseren og får et nnet uttrykk for sin φ : sin ϕ = oe som videre gir et nnet uttrykk for tn α : tn H (4.) tnα = (loddrett viser) sinφ Vi kn ikke helt uten videre gå ut fr t (4.1) og (4.) stemmer, sols vrierende deklinsjon kn skpe kompliksjoner. Ved hjelp v eregninger med utgngspunkt i sfærisk geometri, kn vi få ekreftet/vkreftet om (4.1) og (4.) kn rukes. Først finner vi smmenhengen mellom sols timevinkel H og sols høyde over horisonten, ved å ruke cosinussetning fr sfærisk geometri: Ekvtoril urskive Horisontl urskive Senit φ δ H Az Mot polpunktet φ 90 -φ 180 -Az H δ cos ( 90 ) = cos( 90 φ ) cos( 90 δ ) + sin( 90 φ ) sin( 90 δ ) cos H som gir (4.3) sin = sinφ sin δ + cosφ cosδ cos H Bruker så "four-prts" formelen for å finne smmenhengen mellom timevinkelen H og simut Az: 31. oktoer 003 Side 4

5 cos ( 90 φ ) cos H = sin( 90 φ ) cot( 90 δ ) sin H cot( 180 Az) som gir sin H (4.4) tn Az = sinφ cos H cosφ tnδ Az gir vinkelen mellom middgstimelinj og en linje fr punktet loddrett under viserens toppunkt og toppen v viserens skygge. For horisontle solur med loddrett viser er dette det smme som vinkelen for timelinj for et gitt tidspunkt. Vi ser t vinkelen er vhengig v sols deklinsjon, og dermed vrierende gjennom året. Kun når δ = 0, ved jevndøgnene, stemmer (4.). Projeksjonsmetoden som g oss likning (4.) er derfor ikke holdr for ur med loddrette visere. For polrettede visere, finner vi timelinjs vinkel ved først å finne vstnden l mellom punktet loddrett under viserens topp og skyggens topp: h l = tn hvor h er vstnden fr viserens topp til horisontlplnet. Videre er lengden v viseren projisert på horisontlplnet gitt ved: h l ' = tnφ h' l' h L l Ø Ved å ruke sinussetning to gnger i treknten gitt ved l, l' og L, hvor L er vstnden fr fotpunktet til viseren og toppen v skyggen, får vi: sin Az L = l sinα og sin 180 L = l' sin Az ( Az) ( α ) sin Az = l' sin Az cosα cos Az sinα Får d videre: sin Az sin Az l = l' sinα sin Az cosα cos Az sinα som gir Az l l' L Az α Ø (4.5) l sin Az tnα = l' + l cos Az 31. oktoer 003 Side 5

6 sin Az finner vi ved ruk v sinussetning for sfærisk geometri: sin sin 180 H sin = sin 90 ( Az) som gir sin H cosδ (4.6) sin Az = cos ( 90 ) ( δ ) cos Az finner vi nå ved hjelp v tn Az og sin Az: sin H cosδ cos Az = cos sin H sinφ cos H cosφ tn δ som gir (4.7) cosδ cos Az = ( sinφ cos H cosφ tn δ ) cos Setter vi inn (4.6) og (4.7) smt uttrykkene for l og l', i (4.5), får vi: tnα = h + tnφ tn h h sin H cosδ tn cos cosδ cos sin H cosδ tnφ = sin + cosδ tnφ Setter inn for sin fr (4.3) og får ( sinφ cos H cosφ tn δ ) ( sinφ cos H cosφ tn δ ) sin H cosδ tnφ tnα = sinφ sin δ + cosφ cosδ cos H + cosδ tnφ sinφ cos H = tn H cos tnφ φ + sin cosφ φ sinφ sin δ En siste forenkling gir tnα = tn H sinφ noe som stemmer med resulttet (4.1) ved projeksjon lngs den polrettede viseren. For horisontle solur med polrettet viser, er vinkelen mellom timelinjene og middgstimelinj kun 31. oktoer 003 Side 6

7 vhengig v sols timevinkel og stedets nordlige redde. En timelinje på et horisontlt solur med polrettet viser vil derfor være gyldig hele året. Figuren under viser hvordn timelinjene for kl 15 snn soltid ved 45 nord for et solur med loddrett viser vrierer gjennom året (sorte linjer). De lå heltrukne linjene mrkerer timelinj for kl 1 snn soltid (felles for loddrett og polrettet viser) og kl 15 snn soltid for polrettet viser, mens de sorte heltrukne linjene mrkerer de ulike timelinjene kl 15 snn soltid for en loddrett viser. 15 t δ = -3,5 Skyggen v loddrettet viser ulike tider v året Fotpunkt loddrett viser Fotpunkt polrettet viser 1 t δ = 0 δ = 3,5 Timevinkel ved solnedgng ord for polrsirkelen hvor det er midnttssol om sommeren, kn soluret rukes hele døgnet deler v året. Vi jr derfor ruk for timelinjer for lle døgnets 4 timer. Sør for polrsirkelen kn mn utelte timelinjer for de timene hvor sol er under horisonten. For å finne hvilke timelinjer vi kn utelte, trenger vi timevinkelen for nordligste solnedgng. Timevinkelen ved solnedgng finner vi ved å t utgngspunkt i formel (4.3) og sette høyden = 0. Med litt omregning får vi: cos H = tnφ tnδ Ved å sette inn δ = 3,5 for sommersolverv og nordligste solnedgng, og ønsket reddegrd φ finner vi timevinkelen for nordligste solnedgng. Tellen under viser timevinkelen og tilhørende klokkeslett for nordligste solnedgng for utvlgte reddegrder. Breddegrd Timevinkel for nordligste solnedgng Klokkeslett ved solnedgng (desimler v snn soltid) 75 Midnttssol Midnttssol 70 Midnttssol Midnttssol , , ,6 31. oktoer 003 Side 7

8 Mer om horisontle solur med loddrett viser Som vist i likning (4.4) gir projeksjonsmetoden som g likning (4.) feil i tidsvlesning for loddrette visere. Denne feilen er en effekt v sols vrierende deklinsjon gjennom året og vinkelen mellom himmelekvtor og horisonten. Ø Senit Ved et gitt klokkeslett i snn soltid, hr sol smme timevinkel uvhengig v deklinsjon. Hvis vi ser på sols posisjon kl 16 snn soltid gjennom året, vil sol eskrive et uesegment på gnger 3,5 v en storsirkel som går fr pol til pol. V S H = 4t Himmelekvtor Horisonten V J S J fr viserens fotpunkt til V', tilsvrer timelinj for tidspunktet. En loddrett viser ligger ikke i plnet til storsirkelen definert v sols v sols posisjon ved et gitt klokkeslett i snn soltid, med mindre klokkeslettet er 1 eller 4, eller soluret står på en v polene. Skyggen ligger derfor heller ikke i dette plnet. Sols vrierende deklinsjon gir dermed skyggen vrierende vinkel i forhold til middgslinj gjennom året. Feilen minker med økende nordlig redde; på nordpolen er horisontle solur med loddrett og polrettet viser og ekvtorile solur like. S V ord Viseren til et solur med polrettet viser ligger på ksen mellom himmelpolene, noe som videre gjør t viseren ligger i plnet til nevnte storsirkel. Siden storsirkelen definert v sols posisjon ved et gitt klokkeslett i snn soltid og viseren ligger i smme pln, vil også skyggen v viseren ligge i dette plnet. Dette etyr igjen t vinkelen mellom en gitt timelinje for solur med polrettet viser hr smme vinkel med middgstimelinj hele året. Dette er illustrert i figuren til venstre. V, J og S mrkerer sols posisjon ved henholdsvis vintersolverv, jevndøgnene og sommersolverv. V', J' og S' viser de tilsvrende toppunktene for skyggen. Linj Himmelekvtor Horisonten V J S' J' S V ' or d 31. oktoer 003 Side 8

9 Skl med dtomrkering for plssering v viser Prolemet med t vinkelen mellom middgstimelinj og skyggen v en loddrett viser ikke er den smme gjennom året, kn løses på ulike måter. En er å lge solur hvor viseren flyttes gjennom året, slik som gjøres i nlemmtiske solur. I nlemmtiske solur mrkeres timene ved punkter lgt ut på en ellipse i et estemt mønster. Viseren flyttes lngs ellipsens lille kse etter tiden på året. Dette korrigerer for timelinjevinkelens vhengighet v sols deklinsjon. En nnen måte å korrigere et solur med loddrett viser, er å lge urskiven slik t mn leser v tiden på ulike skler ulike tider på året. Denne typen solur klles horisontle simut ur eller horisontle ltitude ur etter om det er sols simut eller ltitude som leses v. Denne typen horisontle solur finnes gjerne på reisesolur smmen med solur med polrettet viser. Slike reisesolur med to typer solur kn stilles inn uten å kjenne til hvilken retning som er nord, mn må re vite dtoen og justere soluret slik t egge solurene viser smme tid Figuren til høyre viser skisse v urskiv for et simut ur for ruk ved 45 nord. Sirkeluene viser hvor mn leser v tiden ved ulike deklinsjoner/dtoer. Den inneste uen tilsvrer vintersolverv og den ytterste sommersolverv. Det er her ttt med timekurver for tiden mellom 07 og 17. ormlt vil soluret inneholde linjer for lle timene hvor sol er oppe. De stiplede lill linjene viser timelinjene dersom mn ikke justerer for sols deklinsjon. 10t 7t 11t 1t 13t 14t 17t 5. Fr solur tid til klokketid Hvis mn lger et horisontlt solur med polrettet viser, vil timelinjer gitt v (4.1) gi rett tid i forhold til snn soltid. Smmenlikner mn imidlertid tid soluret viser med for eksempel et rmåndsur som viser norsk normltid, vil urene som regel vise ulik tid. En v årskene til forskjellen, er t norsk normltid tr utgngspunkt i snn mellomeuropeisk soltid, snn soltid ved meridinen 15 øst for Greenwich. Det meste v orge ligger utenfor denne meridinen og vil h en nnen snn soltid. Dette kn vi imidlertid korrigere for ved å legge til eller trekke en konstnt fr sols timevinkel ved eregning v timelinjenes vinkel. Denne konstnten er vhengig v stedets lengdegrd. Middgstimelinj og linj for kl 1 vil med denne korreksjonen ikke lengre være den smme. Selv om vi korrigerer for stedets lengdegrd vil soluret fortstt vvike fr norsk normltid mesteprten v året. Dette kn korrigeres ved å legge til eller trekke fr tiden gitt v tidsjevning Dette skl vi se på senere, først skl vi se nærmere på de ulike tidsegrepene og smmenhengene mellom dem. Snn soltid Snn (lokl) soltid er tiden gitt v sol. Snn soltid er 1 når sol står i sør. Et soldøgn er tiden fr sol står i nord (såklt nedre kulminsjon) til den står i nord neste gng. 31. oktoer 003 Side 9

10 Ser mn på tiden mellom to påfølgende gnger sol står i nord ved ulike tider v året (eller tilsvrende for sør), vil mn finne små vrisjoner. Forskjellen på lengste og korteste soldøgn er 51 sekunder, litt over sekunder per time. I utgngspunktet er ikke dette mye når mn tenker på t ett døgn inneholder sekunder, men flere for korte soldøgn på rd gjør t sol står stdig tidligere i sør i forhold til normltid. Gjennom året gjør påfølgende for korte eller for lnge soldøgn t sol er opp til 16 minutter for tidlig eller sen i forhold til normltid. Snn mellomeuropeisk soltid Første trinn i overgngen fr snn soltid til norsk normltid, er fr snn soltid til snn mellomeuropeisk soltid. Denne er som nevnt snn soltid for meridinen 15 øst for Greenwich, refernsemeridinen for mellomeuropeisk tid. Solur stilt inn etter snn lokl soltid viser for mye dersom de er øst for 15 øst og for lite om de er vest for 15 øst. Lengdediffernsen er et steds østlige eller vestlige posisjon i forhold til 15 øst målt i grder. Tromsø ligger på 18 57' øst. Lengdediffernsen for Tromsø er dermed 3 57', eller 16 minutter om vi måler i tid. Dersom lengdediffernsen er mer enn 7 30', som for Vrdø på 31 7' øst, skulle stedet egentlig ligge i en nnen tidssone. Siden det er uprktisk med ulike tidssoner i ett lnd, dnner lndegrensene som regel grensen mellom tidssonene i stedet for lengdegrdene. Solur kn justeres slik t de viser snn mellomeuropeisk soltid i utgngspunktet. Horisontle og vertikle solur med polrettet viser og vrinter v disse, må justeres til snn mellomeuropeisk soltid ved konstruksjon. Ved eregning v vinkelen for timelinjene justeres sols timevinkel etter stedets lengde. For steder øst for 15 øst, trekkes lengdediffernsen fr timevinkelen, og for steder vest for 15 øst, legges lengdediffernsen til. Figuren viser timelinjer justert for et sted 4 øst for meridinen som dnner grunnlget for sonetid, for eksempel et sted på 19 øst og som følger mellomeuropeisk tid. Sorte heltrukne linjer er justerte timer, mens lill stiplede linjer er snn lokl soltid. Middelsoltid og tidsjevning Jords rotsjon rundt sin kse gir sol en tilsyneltende vestlig evegelse på himmelen. Jords evegelse i ne rundt sol gir sol en tilsyneltende østlig evegelse. Sols evegelse over himmelen gjennom et døgn, er summen v disse to evegelsene. Jordnens ellipseform gjør t jords evegelse i nen er ujevn og gir små vrisjoner i sols østlige evegelse. I tillegg kommer vrisjoner forårsket v jordksene helning. Dette er årsken til t soldøgnet hr ulik lengde gjennom året. Soldøgnet er lengst sommer og vinter - i nærheten v solvervene, og kortest vår og høst - i nærheten v jevndøgnene. For å unngå prolemene med ulik lengde på soldøgnet, er det lget en tenkt sol klt middelsol som eveger seg med konstnt frt lngs himmelekvtor. Middelsol dnner grunnlg for 31. oktoer 003 Side 10

11 middelsoltid på smme måte som sol dnner grunnlg for snn soltid. Middelsol kommer frm på følgende måte: En dynmisk middelsol strter smtidig med den virkelige sol når jord er i perihel (nærmest sol), følger ekliptikken med konstnt frt og kommer tilke til perihel smtidig som sol. Middelsol strter smmen med den dynmiske middelsol i vårjevndøgnspunktet, går med konstnt frt lngs ekvtor og kommer tilke til vårjevndøgnspunktet smtidig med den dynmiske middelsol. Differnsen mellom middelsoltid og snn soltid klles tidsjevning. Tidsjevning finnes i form v grfer eller teller som en kn ruke for å finne ut hvor mnge minutter mn må legge til eller trekke fr soluret for å få middelsoltid ut fr snn soltid. Hr mn et solur som er justert til snn mellomeuropeisk soltid, vil mn ved å ruke tidsjevning få normltid. Det siste mn evt må gjøre, er å legge til en time for sommertid. Minutter 0,0 15,0 10,0 5,0 0,0-5,0-10,0-15,0-0,0 1. jn. 9. jn. 6. fe. Tidsjevning = middelsoltid - snn soltid 6. mr. Solur senere enn middelsoltid, legg tiden til solurtiden 3. pr. 1. mi. 18. jun. 16. jul. 13. ug. Solur rskere enn middelsoltid, trekk tiden fr solurtiden Dto 10. sep. 8. okt. 5. nov. 3. des. 31. des. år mn justerer for tidsjevning må mn psse på hvordn tellen eller grfen er stt opp. oen ruker tidsjevning = snn soltid - middelsoltid, ndre ruker tidsjevning = middelsoltid - snn soltid. Himmelekvtor En forholdsvis kjent effekt v tidsjevning er nlemmen, en 8-tlls figur som kommer frm dersom mn mrkerer sols posisjon ved smme tidspunkt i normltid gjennom året. For å justere et horisontlt solur med Horisonten polrettet viser for tidsjevning, kn mn tegne inn projeksjonen v nlemmen på timelinjene. ord ormlt rukes midlere verdier for tidsjevning, men skl mn h spesielt nøyktige solur, som heliokronometrene som le rukt frm til 1900 for å justere jernneurene i Frnkrike, må mn eregne tidsjevning for hvert år. 31. oktoer 003 Side 11

12 I tillegg til t jordksen heller og jord går i ellipseformet ne rundt sol, så går jord smmen med månen rundt jord-månesystemets tyngdepunkt. Dette fører til en ytterligere ujevn frt i jords gng rundt sol og i sols østlige evegelse over himmelen. Til slutt kommer det t året og døgnet ikke går opp i hverndre, noe som gjør t vi må sette inn skuddger for å holde året og klenderen i tkt med hverndre. Dette må det ts hensyn til om vi skl eregne tidsjevning med stor nøyktighet. ormltid (sonetid) For å få norsk normltid fr et solur må mn justere tiden ut fr solurets posisjon i forhold til meridinen på 15 øst. Dette gjøres enten ved å justere soluret som eskrevet over, eller legge til eller trekke fr lengdediffernsen omregnet fr grder til timer og minutter. Deretter må mn legge til eller trekke fr tidsjevning, som vist i dette eksempelet: Lengdediffernsen for Tromsø er 3 57' eller 3,95. Omregnet til timer (15 = 1 time) lir dette 0,633 timer eller 16 minutter. år et solur i Tromsø (eller ndre steder på smme lengdegrd) viser snn soltid, er snn mellomeuropeisk soltid 16 minutter på 11 eller mi er tidsjevning (snn soltid - middelsoltid) cirk +3 minutter. Soluret i Tromsø som 1. mi viser snn soltid eller snn middeleuropeisk soltid, viser normltid. Siden vi ruker sommertid i orge, vil mekniske klokker som rmåndsur og lignende vise Vil mn sjekke om mn hr regnet rett, kn mn gjøre eregningene for kl 1 snn soltid og sjekke om mn hr regnet rett ved å sjekke ved hvilket tidspunkt normltid sol står i sør. Dette kn sjekkes ved å slå opp i Almnkk for orge og gjøre eregningene som er eskrevet der. 6. Utregning v deklinsjonskurver ved ruk v sfærisk trigonometri Deklinsjonskurvene tegnes v toppen v viserens skygge, og kn eregnes på smme måte for solur med polrettet og loddrett viser. Det eneste vi trenger å vite er hvor høyt over kken viserens topp efinner seg. z Hvis mn skl tegne grfen til deklinsjonskurvene på urskiv, kn det være greit å ruke et rettvinklet koordintsystem. Her ruker vi x og z for å h smme koordinter som rukt i eregningene sert på kjeglesnitt i kpittel 7. Origo for koordintsystemet er loddrett under viserens topp, x er positiv mot øst og z er positiv mot nord. Az Az l x Koordintene er gitt ved: x = l sin Az z = l cos Az sin H cosδ og cosδ ( sinφ cos H cosφ tn δ ) = h = h sin sin Setter inn for sin fr (4.3) og velger viserlengde slik t h = 1 og får (6.1) sin H x = sinφ tn δ + cosφ cos H 31. oktoer 003 Side 1

13 og (6.) tnφ cos H tn δ z = tnφ tn δ + cos H Dette gir oss grfer som på figuren under. Timelinjene kommer utomtisk frm ved å trekke en linje mellom punkter som kommer fr smme timevinkel men ulik deklinsjon. Eksempelet er for 45 nord. z δ = -3,5 δ = 0,0 x δ = 3,5 Grfer sert på (6.1) og (6.) gir smme kurve som grfer sert på kjeglesnittmetoden i kpittel 7. Fordelen med å t utgngspunkt i sfærisk geometri er t vi får ut timelinjene utomtisk og t vi lett kn justere for lengdegrden slik t vi lge solur som viser snn mellomeuropeisk soltid. 7. Utregning v deklinsjonskurver ved ruk v kjeglesnitt. Hvis vi tr utgngspunkt i et horisontlt solur med polrettet eller loddrett viser, vil solstålene tegne en doelkjegle i løpet v et døgn, med toppunkt i viserens topp. Aksen til doelkjeglen peker mot himmelens nordpol. Doeltkjeglen snittes v horisontlplnet (urskiv) slik t toppen v viserens skygge eskriver en kurve formet som et kjeglesnitt i løpet v døgnet. Deklinsjonskurvene i solur med horisontl urskive (og lle med pln urskive) er med ndre ord formet som kjeglesnitt. z" Vi skl nå se på hvordn vi kn ruke teorien fr kjeglesnitt for å eregne deklinsjonskurvene. Med et koordintsystem x", y", z", hvor z" er doelkjeglens kse, og x" peker mot øst, prllelt med horisontlplnet, vil kjegles flte eskrives v formelen δ y" 31. oktoer 003 Side 13

14 x = " + y" k z " 1 hvor k = og δ 0, 3, 5 ] er sols deklinsjon. Deklinsjonen vrierer egentlig mellom tn δ -3,5 og 3,5, men positive og negtive verdier vil gi smmenfllende løsninger. δ = 0 gir ingen kjegle og vil li ehndlet i eget punkt senere. Her konsentrerer vi oss om de positive verdiene. Et koordintsystem x', y', z', er rotert en vinkel φ i forhold til x", y", z", slik t z' er prllell med horisontlplnet og peker mot nord, y' loddrett ned i kken og x' prllell med x". Trnsformsjonen kn eskrives med følgende likninger: x" = x' y" = y' + z' z" = z' y' hvor = cosφ, = sinφ nordlige redde. og [ 0, 90 ] φ er stedets δ φ z" z' Kjegleformelen lir med denne trnsformsjonen slik: x ' + y' + y' z' + z' = k z' k y' z' + Et tredje koordintsystem x, y, z er prllellforskjøvet i forhold til x', y', z', slik t xz-plnet ligger i horisontlplnet. Med en stolpe med høyde 1, får vi følgende trnsformsjon: k y' y' y" x' = x y' = y + 1 z' = z og følgende kjegleformel: h = 1 z' z x ( y + 1 ) + z( y + 1) + z = k z k z( y + 1) + k ( + 1) + y Deklinsjonskurven er skjæring mellom kjegl og horisontlplnet. I horisontlplnet er y = 0, noe som gir oss: (7.1) ( k ) z ( k + 1) z + k x = 0 y' y Skyggen som toppen v stven tegner kn sees som en funksjon z(x). Likningen over løses derfor med hensyn på z og vi får: 31. oktoer 003 Side 14

15 + ( k + 1) ± ( k + 1) ( k )( k x ) (7.) z = ( k ) Grfen til z(x) tilsvrer skygen v toppen v en stolpe med høyde 1, plssert i origo i et koordintsystem hvor positiv x er mot øst og positiv z er mot nord. z(x) er deklinsjonskurven ved en gitt deklinsjon. Betrktninger fr teorien om kjeglesnitt: Kjeglesnitt med x og z som vrile kn eskrives ved den generelle formelen Ax + Bxz + Cz + Dx + Ez + F = 0 hvor fortegnet v B 4AC < 0 gir en ellipse B 4AC = 0 gir en prel B 4AC > 0 gir en hyperel B 4AC estemmer formen på deklinsjonskurven. I formelen for deklinsjonskurven (7.1), hr vi følgende A = 1 B = 0 C = som gir B ( k ) 4AC = 0 = 4 4( 1)( k ) ( k ) Kurvens form lir med ndre ord estemt v fortegnet til trigonometriske uttrykkene kn omskrives slik k, som ved innsetting v de k cos δ = cos φ sin φ sin δ = cos( φ + δ ) cos( φ δ ) cos( φ δ ) > 0 i de gitte mengdene for φ og δ, noe som gjør t fortegnet til leddet cos( φ + δ ) estemmer formen på deklinsjonskurven. Vi hr d: 31. oktoer 003 Side 15

16 cos( φ + δ ) < 0 når δ > 90 φ cos( φ + δ ) = 0 når δ = 90 φ cos( φ + δ ) > 0 når δ < 90 φ Dette gir følgende når det gjelder formen på deklinsjonskurven z(x): z(x) er en ellipse når δ > 90 φ en prel når δ = 90 φ en hyperel når δ < 90 φ Betrktninger rundt grensetilfellet prelen I grensetilfellet δ = 90 φ hvor deklinsjonskurven lir en prel, er nevneren i likning (7.), k =. ull i nevner kn imidlertid unngås ved følgende omskriving: ( ) 0 1 cosδ k = = tn δ sin δ sinφ = = cosφ Vi hr videre: k sin φ cos φ + 1 = + cos φ cos φ 1 1 = = cos φ ( ) = 0 k gjør t z leddet i likning (7.1) forsvinner. z kn dermed finnes med utgngspunkt i: som gir oss z = ( k + 1) z + k x = 0 ( x + 1) + år deklinsjonen er lik 0 år δ = 0 er viserens topp i plnet til sirkelen sol eskriver i løpet v et døgn. I dette tilfeller får vi ikke noen kjegle, men en pln flte. Deklinsjonskurven er i dette tilfellet skjæring mellom pln og følgelig en rett linje. Denne linj går i retning øst-vest, og hr en vstnd fr origo i x-z systemet gitt v: z = tnφ φ en smmenheng som følger v figuren til høyre. z 31. oktoer 003 Side 16

17 Resulttet fr kjeglesnittene Grfen til z(x) gir kurver som vist i figuren til venstre. Eksempelet er for 45 nord og kurvene er smmenfllende med resulttet fr sfærisk geometri i kpittel 6. Fordelen med å ruke formlene fr kjeglesnittene er t vi får z som funksjon v x. På den ndre side vil vi ikke få frm timelinjene utomtisk. δ = 0,0 δ = 3,5 δ = -3,5 z x 8. Mer om Den som vil vite mer, kn finne mer på disse internettstedene: Solur Solursid: Britisk solurselskp: ordmeriknsk solurselskp: Sundils on the internet: Anlemmen På norsk: Anlemm sid: Tid Time nd dte: Clockworks: A Wlk through Time: Eller lese mer om solur: Bøker om/med solur F.W. Cousins: Sundils, 1969, John Bker Pulishers ltd G. Jerkins, M. Ber: Sundils nd Timedils, Trquin R. Myll og M.W. Myll: Sundils, their construciton nd use, 1994, Sky Pulishing corp. E. ewth: Sol vår egen stjerne, 1994, Cppelen R.R.J. Rohr: Sundils, History, Theory nd Prctice, 1996, Dover pulictions, inc, J. Wlker og D. Brown (ed): Mke Sundil, 1991, British Sundil Scosiety Pul Eller Sfærisk geometri W.M. Smrt og R.M. Green: Textook on Sphericl stronomy, 1977, Cmridge Univ. Press 31. oktoer 003 Side 17