Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor 3. Grunnbok

Transkript

1 Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 3 Grunnbok Bokmål

2 # J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2007 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med J.W. Cappelens Forlag AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor 1 3 følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: AIT Oslo7 AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2011 Utgave 1 Opplag 3 ISBN Fotografier GVPress: #Christian Darkin/SPL s. 10, #Science photo library s. 59, #Javier Larrea s. 81, #J. D. Dallet s. 81, #Conner, Gary s. 81, #Superstock s. 85, #Superstock s. 88, #3LH-Fine Art s. 89, #Science Photo Library s. 90, #SPL s. 91, #Leonardo Diaz Romero s. 91, #Dr. Kari Lounatmaa s. 123, #Carles Campsolinas s. 145, #Mehau Kulyk s. 213, #Chris Mattison s. 288 Samfoto: #Tom Schandy/NN s. 72, 227, 255, #Ove Bergersen/NN s. 72, #Tore Wuttudal/NN s. 72, 91, 92, #Espen Bratlie s. 202, 204, #Bård Løken/NN s. 232 SCANPIX: #Stefano Bianchetti/Corbis s. 39, 278, #Klaus Hackenberg/Zefa/Corbis s. 48, #Bettmann/ Corbis s. 68, 258, #Visuals Unlimited/Corbis s. 71, #Car Culture/Corbis S. 84, #Stian Lysberg Solum/ SCANPIX s. 90, #Paul Seheult/Eye Ubiquitous/Corbis s. 90, #Hanan Isachar/Corbis s. 90, #John Heseltine/Corbis s. 91, #Steven Vidler/Eurasia Press/Corbis s. 92, #O. Haug/A-foto/SCANPIX s. 136, #Richard Hamilton Smith/Corbis s. 151, #Blue Lantern Studio/Corbis s. 176, #Rykoff Collection/ Corbis s. 194, #Lou Wall/Corbis s. 198, #Rune Hellestad/Corbis s. 212, #Frans Lanting/Corbis s. 228, #Cornelius Poppe/SCANPIX s. 254, #Simon Fowler/Capital Pictures/SCANPIX s. 270, #Will &Deni McIntyre/Corbis s. 282, #Andres Kudacki/Corbis s. 284, #Stephen Frink/Corbis s. 291, #Free Agents Limited/Corbis s. 292, #Eric Gaillard/Reuters/Corbis s. 293, #Palazzo Pubblico, Siena, Italia/The Bridgeman Art Library s. 88, #Private Collection/Photo/ Christie s Images/The Bridgeman Art Library s. 88, #1 images.no s. 92, #Espen Hjardar s. 152, #Arild Bakkland s. 275

3 Innledning Velkommen til Faktor 3. Dette er den tredje av i alt tre grunnbøker du skal bruke på ungdomstrinnet. Til hver grunnbok hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene. Fra venstre: Sara, Simen, Hanna, Herman, Lotte og Martin Kapitlene i grunnboka er delt inn i fire deler: Lærestoff og oppgaver Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Noen av oppgavene er merket med disse symbolene: Kalkulator Regneark Finn ut Utfordrende oppgave I oppgaveboka finner du oppgaver i tre vanskelighetsgrader og repetisjonsoppgaver til hvert kapittel. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av hvert Bakerst i boka finner du Digital manual for arbeid med kalkulator og regneark. Vi håper du får glede av arbeidet med Faktor! Hilsen Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen Innledning 3

4 Innhold 1 Tall og algebra...6 Tallsystemer...8 Problemløsing...12 Proporsjoner...19 Regning med variabler...23 Prøv deg selv...36 Noe å lure på...38 Oppsummering Geometri og beregninger...42 Pytagoras-setningen...44 Spesielle trekanter...49 Konstruksjon og beregning...54 Formlikhet og kongruens...64 Kongruensavbildninger...71 Perspektivtegning...84 Geometri i teknologi, kunst og arkitektur...89 Prøv deg selv...95 Noe å lure på...99 Oppsummering Funksjoner Funksjoner i dagliglivet Lineære funksjoner Grafen til kvadratiske funksjoner Proporsjonale størrelser Omvendt proporsjonale størrelser Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Likninger og ulikheter Å løse likninger Problemløsing og likninger Grafisk løsing av likninger To likninger med to ukjente Ulikheter Omforming av formler Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Romgeometri og massetetthet Rett prisme og sylinder Volumet til en pyramide Volumet til en kjegle Volumet og arealet av overflaten til en kule Massetetthet Bruk av formler til problemløsing Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Innhold 4

5 6 Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet Statistiske undersøkelser Feilkilder i statistikk Tolking av linjediagram Kombinatorikk Sannsynlighet ved én eller flere hendelser Forsøk og simulering Vanlige feil i sannsynlighetsregning Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Økonomi Lønn og skatt Lån Forsikringer Budsjett og regnskap Valuta Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Digital manual Kalkulatoren Regneark Fasit Stikkord Innhold 5

6 Avstanden til sola er km. Bakterien er 1, mm.

7 1 Tall og algebra Vi kan skrive tall på forskjellige måter. Når tallene er svært store eller svært små, er det vanlig å skrive dem på standardform. Vi bruker potenser av 10 (10 3,10 2,10 1, 10 0,10 1,10 2,10 3, osv.) når vi skriver tallene på den måten. Mål I dette kapitlet vil du få lære om. tall i forskjellige posisjonssystemer. store og små tall på standardform. egenskaper ved spesielle tall. proporsjoner. variabeluttrykk med parenteser og brøk Hva er forskjellen på tallene?

8 Tallsystemer? Jeg tror de to tallene er like store. Jeg er ikke sikker! , Hvordan skriver vi store og små tall på standardform? Titallssystemet Vi kan skrive på standardform. Da setter vi desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet og multipliserer med en tierpotens: = 2, Tall og algebra Vi har flyttet desimaltegnet åtte plasser til venstre. 8

9 Vi kan også skrive små tall på standardform. Vi ser først på disse sammenhengene: 0,1 = 1 10 =10 1 0,01 = = =10 2 0,001 = = =10 3 osv. Det betyr at vi kan skrive for eksempel 0, slik: 0, = 2,5 = 2, Den negative eksponenten forteller oss hvor mange plasser vi har flyttet desimaltegnet! Vi setter altså desimaltegnet mellom den siste og den nest siste desimalen og dividerer med en tierpotens. Det tallsystemet vi bruker titallssystemet er et plassverdisystem. Det betyr at hvert siffer i et tall har en verdi som bestemmes av hvor sifferet er plassert. HUNDRERE TIERE ENERE TIDELER HUNDREDELER Vi sier at sifferet 4 har plassverdi hundre, sifferet 3 plassverdi ti, sifferet 5 plassverdi en, sifferet 8 plassverdi tidel og sifferet 7 plassverdi hundredel. Vi kan skrive tallet 435,87 på utvidet form: Husk! 10 1 =10 og 10 0 =1 435,87 = , ,01 Når vi bruker standardform på tierpotensene, blir det slik: 435,87 = Tall og algebra 9

10 Regel Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Vi skriver små tall som er mindre enn 1 på standardform ved å plassere desimaltegnet bak den første desimalen som ikke er 0. Deretter multipliserer vi med en tierpotens med negativ eksponent. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel Skriv tallene på standardform. a) b) 0,00034 Løsning a) = 2, b) 0,00034 = 3, Oppgaver 1.1 Skriv tallene på standardform. a) 2500 c) e) b) d) f ) Tall og algebra 1.2 Ammonitter var en gruppe blekkspruter som det fantes mange av for ca. 200 millioner år siden. Skriv 200 millioner på standardform. Ammonitter 10

11 1.3 Skriv tallene på standardform. a) c) e) b) d) f) Skriv tallene på standardform. a) 0,05 c) 0,0008 e) 0,0085 b) 0,006 d) 0,00075 f) 0, Regn ut og skriv svarene på standardform. a) b) c) : 3000 d) : Skriv tallene på utvidet form. a) c) e) b) d) f) Skriv tallene på vanlig måte. a) b) c) d) Skriv tallene på vanlig måte. a) b) c) d) Skriv tallene på vanlig måte. a) b) c) d) Skriv tallene på utvidet form. a) 483 c) 291,67 e) 7,938 b) 34,75 d) 29,273 f) 5,076 Tall og algebra 11

12 Totallssystemet Databehandling i datamaskiner bygger på totallssystemet. Det er også et plassverdisystem. Titallssystemet består av ti siffer, mens totallssystemet bare har to siffer, 0 og 1. Datamaskinen bruker strøm og totallssystemet for å angi data! Ja, «strøm» = 1 og «ikke strøm» = 0. Verdien til hver sifferplass i titallssystemet er en potens av tallet 10, mens verdien til hver sifferplass i totallssystemet er en potens av tallet 2. Her ser du verdiene til de fem første posisjonene i totallssystemet: Tall og algebra Plassverdi Seksten Åtte Fire To Én Potens av Et eksempel på et tall i totallssystemet er (én, én, null, én, én): ð2 4 Þ 8 ð2 3 Þ 4 ð2 2 Þ 2 ð2 1 Þ 1 ð2 0 Þ Vi ser at plassverdiene her er seksten, åtte, fire, to og én. 12

13 Tallet (én, én, null, én, én) i totallssystemet kan skrives i titallssystemet: = = = =27 Tallet i totallssystemet er altså 27 i titallssystemet ,5 108 Totallssystemet kalles også det binære tallsystem! Eksempel Skriv i totallssystemet som et tall i titallssystemet. Løsning = = =23 Tallet i totallssystemet er 23 i titallssystemet. Tall og algebra 13

14 Oppgaver 1.11 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i titallssystemet. a) 11 c) 101 e) b) 111 d) 1101 f) Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i titallssystemet. a) 1111 c) e) b) 1000 d) 1001 f) Skriv av og sett inn riktig tegn, >, < eller =, i de tomme rutene. Tall i totallssystemet >, < eller = Tall i titallssystemet Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet. Skriv tallene i totallssystemet. a) 7 c) 29 b) 13 d) 48 Tall og algebra «Bi» betyr dobbelt, det vil si to ganger. 14

15 Problemløsing? Du er tre ganger så gammel som søsteren din. Jeg er også ti år eldre enn henne! Hvor gammel er Herman og søsteren hans? Hvis Herman er ti år eldre enn søsteren sin, kan han for eksempel være 11 år og søsteren 1 år. Men han kan også være 12 år, mens søsteren er 2 år. Det er flere muligheter: Herman Søsteren 11 år 1 år 12 år 2 år 13 år 3 år 14 år 4 år 15 år 5 år 16 år 6 år Osv. Hvis Herman samtidig skal være tre ganger så gammel som søsteren sin, må vi se på tallene ovenfor i sammenheng med dette. Tall og algebra 15

16 Søsterens alder Ti år eldre enn søsteren Tre ganger så gammel som søsteren 1år 11 år 3 år 2år 12 år 6 år 3år 13 år 9 år 4år 14 år 12 år 5år 15 år 15 år 6år 16 år 18 år 7år 17 år 21 år Vi ser her at hvis Herman er 15 år, er han både ti år eldre enn søsteren sin og tre ganger så gammel som henne. Vi kan også løse problemet ved å sette opp en likning: Søsterens alder: Ti år eldre enn søsteren: Tre ganger så gammel som søsteren: x år (x + 10) år 3 x år Ettersom Herman både skal være ti år eldre enn og tre ganger så gammel som søsteren, får vi denne likningen: Hvordan kan vi sette opp dette i et regneark? Tall og algebra x +10=3 x Vi løser likningen slik: x +10=3 x 10 = 3x -- x 10 = 2x 2x =10 x =5 Vi trekker fra x på begge sider. Det betyr at søsteren er 5 år. Vi ser at både og 3 5 blir 15. Altså er Herman 15 år. 16

17 Eksempel Simen har 40 kr mer enn Lotte. Det er samtidig dobbelt så mye som det Lotte har. Hvor mange kroner har Simen? Løsning Vi løser oppgaven ved å sette opp en likning. Lotte har: 40 kr mer enn Lotte: Dobbelt så mye som Lotte: x kr (x + 40) kr 2 x kr x +40=2 x 40 = 2x -- x 40 = x x =40 Vi flytter x over til motsatt side og skifter samtidig fortegn = 2 40 = 80 Simen har 80 kr. Oppgaver 1.15 Sara har dobbelt så mange kroner som Herman. Det er 20 kr mer enn det Herman har. Hvor mange kroner har Herman? 1.16 Et tall er dobbelt så stort som et annet tall. Summen av de to tallene er 45. Hvilke to tall er det? Tall og algebra 17

18 1.17 Summen av to tall er 25. Differensen mellom de samme to tallene er 5. Hvilke to tall er det? ledd + ledd = sum ledd ledd = differanse faktor faktor = produkt dividend : divisor = kvotient Husk dette! 1.18 Sara, Martin og Lotte skal dele 240 kr. Sara skal ha dobbelt så mye som Martin. Lotte skal ha 10 kr mindre enn Sara. Hvor mange kroner skal hver av dem ha? 1.19 Et tall er 9 større enn et annet tall. Når du multipliserer det minste tallet med 8 og det største tallet med 2, får du det samme produktet. Hvilke to tall er det? Tall og algebra 1.20 Simen kjøper noen små pizzaer og noen store pizzaer. En liten pizza koster 120 kr. En stor pizza koster 160 kr. Simen betaler 920 kr til sammen. Hvor mange pizzaer kjøper han? Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale 18

19 Proporsjoner? Jeg skal bruke en tredel av sparepengene mine. Jeg skal bruke en firedel av mine sparepenger. Hvordan forklarer du at Herman og Lotte vil bruke like mye penger? En firedel av 1600 kr er En tredel av 1200 kr er Brøkene og Dette kan vi sette opp slik: 1600 kr 4 = 1200 kr 3 Uttrykket = 400 kr = kr kr 3 = 400 kr. = 400 kr. har samme verdi. er en proporsjon. En proporsjon er et uttrykk som viser at to forhold er like store. Hvis ett av tallene i en proporsjon er ukjent, kan vi finne dette tallet ved å løse proporsjonen som en likning. Tall og algebra 19

20 Eksempel Onkel Jens tjener kr per måned. Han sparer 1 måned. Tante Monica sparer 25 mange kroner. Hvor mye tjener tante Monica per måned? Løsning Tante Monica tjener x kr. Hun sparer x kr 25 Onkel Jens sparer Proporsjonen blir: per måned kr 20 1 av lønna hver 20 av lønna hver måned. De sparer like per måned. x = x = x = Vi multipliserer alle ledd med 25. Tante Monica tjener kr per måned. Tall og algebra Oppgaver 1.21 Regn ut x i proporsjonene. a) x 5 = 50 b) x 10 8 = 90 6 c) = x 12 d) = x 8 20

21 1.22 Sara har 6000 kr i banken. Hun tar ut en tredel av pengene. Simen tar ut en firedel av de pengene han har i banken. De tar ut like mange kroner. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange kroner Simen har i banken En sementblanding består av 5 bøtter sement og 20 bøtter sand. I en annen sementblanding, med samme blandingsforhold, er det 24 bøtter sand. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange bøtter sement det er i den andre blandingen Forholdet mellom de lengste og de korteste sidene i to formlike rektangler er likt. 6 cm 4 cm 9 cm Sett opp en proporsjon og regn ut hvor lang den korteste siden i det minste rektangelet er. Tall og algebra 21

22 1.25 På en skole er forholdet mellom antall jenter og antall gutter 5 : 4. Det er 108 gutter på skolen. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange jenter det er på skolen På et kart i målestokken 1 : er det 9 cm mellom Hoppegropa og Buldrefossen. På et annet kart er det 6 cm mellom de to stedene. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvilken målestokk det andre kartet har. Hoppegropa Buldrefossen Tall og algebra 22

23 Regning med variabler???? 2(x 2y) 2(x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, må vi multiplisere hvert ledd inne i parentesen med dette tallet eller bokstavuttrykket. Vi regner ut uttrykket på tavla slik: 2ðx -- 2yÞ -- 2ðx -- yþ = ð2x -- 4yÞ -- ð2x -- 2yÞ =2x -- 4y -- 2x +2y =2x -- 2x -- 4y +2y =--2y Husk at vi forandrer fortegnet foran leddene inne i parentesen når det står minus foran parentesen! Tall og algebra 23

24 Eksempel Trekk sammen uttrykket 3xðx -- 2Þ -- 2xðx +4Þ så mye som mulig. Løsning 3xðx -- 2Þ -- 2xðx +4Þ = ð3x xÞ -- ð2x 2 +8xÞ =3x x -- 2x x =3x x x -- 8x = x x Oppgaver 1.27 Trekk sammen. a) 3x +2x b) 5x -- x c) 5a -- 4a d) 3a + b -- a -- 3b e) 3x -- y -- 5x +4y f) x +2y -- y -- 3x +2x 1.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) ð2x -- 2yÞ -- ðx -- 3yÞ c) ð--2a + bþ + ð5a +2bÞ b) ð5x -- yþ + ð--2x +3yÞ d) 3a -- ða -- bþ + ð2a -- 3bÞ 1.29 Regn ut. a) 2ðx -- 3Þ +3x d) 2x -- 2ð2x -- yþ +3x b) 5a -- 2ð2a -- 3Þ e) 3ð2a -- 2bÞ -- 2ða +3bÞ c) ðx -- 2yÞ +2ðx -- yþ f) 5x -- 2ðx -- 2yÞ +3ðx + yþ Tall og algebra 1.30 Regn ut. a) 2xðx -- 3Þ -- 2x c) xð2x -- yþ -- 2xðx -- 2yÞ b) xðx -- yþ +2x 2 d) 5x -- 3xðx -- 2Þ -- xðx +2Þ 24

25 Multiplikasjon av to parentesuttrykk Noen multiplikasjonsstykker består av to eller flere parentesuttrykk, som for eksempel ða + bþðc + dþ Når vi skal multiplisere parentesuttrykkene med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + bþðc + dþ = ac + ad + bc + bd Vi kan illustrere dette slik: 1 2 (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd 3 4 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c d) = ac ad + bc bd (a b)(c + d) = ac + ad bc bd (a b)(c d) = ac ad bc + bd Regel Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen: ða + bþðc + dþ = ac + ad + bc + bd Tall og algebra 25

26 Eksempel Regn ut. a) ða +2Þða -- 3Þ b) ð2x -- 1Þðx +2Þ -- 2ðx +1Þ Løsning a) ða +2Þða -- 3Þ = a a +2a -- 6 = a 2 -- a -- 6 b) ð2x -- 1Þðx +2Þ -- 2ðx +1Þ = ð2x 2 +4x -- x -- 2Þ -- ð2x +2Þ =2x 2 +4x -- x x -- 2 = 2x 2 + x -- 4 (x + 2) (x 1) = (x + 2)(x 1) Vi kan sløyfe multiplikasjonstegnet mellom to parentesuttrykk! Oppgaver Tall og algebra 1.31 Regn ut. a) ðx +1Þðx +2Þ c) ð2 --aþða +3Þ b) ðx +2Þð2x -- 1Þ d) ða -- 2Þða +2Þ 1.32 Regn ut. a) ð2x -- 1Þð2 --xþ c) ð2x -- 2Þð3x -- 1Þ b) ðx -- 4Þð2 -- xþ d) ð4 -- 2xÞð2 -- 2xÞ 1.33 Regn ut. a) ða -- 2Þð2a -- 1Þ +3a c) ð4a +1Þða -- 1Þ -- 2a b) 2a + ða +1Þð3a -- 2Þ d) ðx +2Þðx -- 2Þ -- ðx -- 3Þ 26

27 (x + 2) 2 = (x + 2)(x + 2) 1.34 Regn ut. a) ð2x +1Þð3x -- 1Þ -- 6x 2 d) ða +2Þ 2 b) ð2x +2Þðx -- 2Þ -- 4x e) ðx -- 2Þ 2 +2x c) ðx +2Þ 2 f) ð2x +1Þ x Regn ut. a) 5x -- ð2x -- 1Þð2x -- 2Þ c) ða -- 2Þð2a -- 1Þ + ða +1Þða -- 2Þ b) 2ða -- 1Þ + ða -- 1Þð2a -- 2Þ d) ð3x -- 1Þ 2 -- ðx +1Þðx -- 2Þ Faktorisering Sammensatte tall kan skrives som et produkt av primtall: 6= = = Primtall kan bare deles på seg selv og på 1! På tilsvarende måte kan bokstavuttrykk skrives som et produkt av primtall og variabler: 6xy =2 3 x y 10x 2 =2 5 x x Når bokstavuttrykket har flere ledd, kan vi faktorisere uttrykket hvis leddene har én eller flere faktorer felles: 2x +4=2 x + 2 2=2ðx +2Þ Her er 2 felles faktor. Den settes utenfor en parentes. 4a -- 8 = 2 2 a =2 2 ða -- 2Þ Her er 2 2 felles faktorer. De settes utenfor en parentes. Tall og algebra 27

28 Eksempel Faktoriser uttrykkene. a) 9xy b) 6x 2 y c) 12x Løsning a) 9xy = 3 3 x y b) 6x 2 y = 2 3 x x y c) 12x = x =2 3 ð2x -- 3Þ Vi får bruk for faktorisering når vi skal forkorte brøker, særlig når tallene er store eller brøken inneholder bokstavuttrykk. Eksempel Forkort brøkene mest mulig. a) b) 4x2 6xy c) 6x Løsning a) = = 2 3 b) 4x2 6xy = 2 2 x x 2 3 x y = 2x 3y Tall og algebra c) 6x Oppgaver = 2 3 x = 3 ð2x -- 3Þ 2 3 = 2x Skriv tallene som produkt av primtall. a)8 d)16 g)36 b) 12 e) 18 h) 56 c) 15 f) 22 i) 84 28

29 1.37 Faktoriser uttrykkene. a) 10xy c) 6a 2 b e) 15xy 2 b) 12ab d) 8x 2 y 2 f) 51a 3 b 6x 3 y 2 = 2 3 x x x y y 1.38 Faktoriser uttrykkene. a) 2x + 6 c) 4x + 6 e) 12a +18 b) 3x -- 9 d) 10a f) 8a Faktoriser uttrykkene. a) 4ab -- 6b c) 8x x e) 10x 2 y -- 4x b) 9ab +6a d) 4a a f) 12a +18a Forkort brøkene mest mulig. a) 6 c) 4x 8 6 b) 12 9x d) 18 12xy 1.41 Forkort brøkene mest mulig. a) 4x2 c) 8xy 6x 6x 2 y 4x 6a b) 10x 2 d) 10a 2 e) 6xy 8y f) 12xy 16xy e) 10a3 8a f) 12a2 16a Forkort brøkene mest mulig. 4x +8 a) 2 6x -- 9 b) 6 2a +12 c) 2a d) 6a2 +4a 8a Tall og algebra 29

30 Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøker når de har samme nevner (fellesnevner): = 2+3 = = = = Fellesnevneren for 6 og 4 er 12. Vi bruker samme framgangsmåte når vi trekker sammen bokstavuttrykk. 2x 7 + 3x 2x +3x = = 5x x 6 + 3x 4 = x x = 2x x 12 = 11x 12 Fellesnevneren for 6 og 4 er 12. I noen oppgaver er det variable størrelser i nevnerne. Da går vi fram slik: Trekk sammen: 3 4x x Vi finner først fellesnevneren: 4x =2 2 x 6x =2 3 x Fellesnevneren er x =12x Tall og algebra 3 4x x = 3 3 4x x 2 = x 12x = x 1 =-- 12x Vi utvider brøkene slik at fellesnevneren blir 12x. 30

31 Eksempel Trekk sammen brøkene. a) 2a 9 + a 6 b) x x x Løsning a) Fellesnevneren for 9 og 6 er 18. 2a 9 + a 6 = 2a a = 4a a 18 = 7a 18 b) Vi finner fellesnevneren: 3=3 2x =2 x 6x =2 3 x Fellesnevner: 2 3 x =6x x x x = x 2 x 3 2 x x x = 2x2 6x + 3 6x x = 2x x = 2x x Vi utvider alle brøkene slik at de får fellesnevner 6x. Tall og algebra 31

32 Oppgaver 1.43 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a) c) 2x x 9 b) d) Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. c) 2x 9 + x 6 a) 3a 2a b) 2x 9 + 2x 3 -- x 6 d) 3x x Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a) 5x x c) 2a a 3 + a 10 b) 7a a 6 d) 3a a 9 + 5a Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. Her blir fellesnevneren et bokstavuttrykk! a) 2 x + 3 4x b) 2 3x x Tall og algebra 3 c) 8a + 3 2a d) 1 3a + 3 4a a 1.47 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a) 2x 3y + 4x 2 9y c) 8b + 3b 4a 2 b) x y + x 6y d) 2x2 3y 2 + 3y 4x 32

33 Innsetting av tall i formler og uttrykk Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er A = g h 2 h g Hvis g = 8 cm og h = 9 cm, blir arealet A = 8cm 9cm 2 =36cm 2 Vi kan også sette inn tall som verdier for variablene i bokstavuttrykk. Hvis x = 3 og y = 5,så er 6x -- 2y = = = 8 Tall og algebra 33

34 Eksempel a) Trekk sammen. 4x -- 2ðx -- yþ b) Sett x =2ogy = 3 inn i oppgave a og i svaret på oppgaven. Sammenlikn de verdiene du får. Løsning a) 4x -- 2ðx -- yþ =4x -- ð2x -- 2yÞ =4x -- 2x +2y = 2x +2y b) Vi setter x =2ogy = 3 inn i oppgaven: 4x -- 2ðx -- yþ =4 2--2ð2 --3Þ =8--2ð-- 1Þ =8+2=10 Vi setter x =2ogy = 3 inn i svaret: 2x +2y = =4+6=10 Vi får 10 i begge tilfellene. Oppgaver 1.48 Formelen for omkretsen O av en sirkel er: O =2r r Tall og algebra der O står for omkretsen og r for radien i sirkelen. Regn ut omkretsen når a) r = 5,0 cm b) r = 8,5 m 34

35 1.49 Formelen for omkretsen O av et rektangel med lengden a og bredden b er: O =2a +2b b a der O står for omkretsen, a for lengden og b for bredden i rektangelet. Regn ut omkretsen når a) a = 8 cm og b =5cm b) a = 7,5 m og b = 4,5 m 1.50 Sett x =2ogy = 4 inn i uttrykkene og regn ut. a) x + y c) 3x +2y e) 4x -- 2y b) 2x + y d) 3x -- y f) x -- 3y 1.51 a) Sett a =3ogb = 2 inn i uttrykket og regn ut. 2a -- b +3a b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter a =3ogb =2 inn i svaret a) Sett x =1ogy = 3 inn i uttrykket og regn ut. 2ð2x -- yþ -- 3ðx -- 2yÞ b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x =1ogy =3 inn i svaret Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er A = g h 2 g h a) Regn ut arealet av trekanten når g =12cmogh = 8 cm. b) Regn ut grunnlinja når A =84cm 2 og h = 24 cm. c) Regn ut høyden når A =55cm 2 og g = 15 cm. Tall og algebra 35

36 Prøv deg selv 1 Skriv tallene på standardform. a) 4500 b) c) d) Skriv tallene på standardform. a) 0,008 b) 0,0005 c) 0,00007 d) 0, Skriv tallene på utvidet form. a) 4517 b) c) d) Skriv tallene på vanlig måte. a) b) c) , ,01 d) , , ,001 5 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene i titallssystemet. a) 111 b) 101 c) 1111 d) 1001 e) f) Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet. Skriv tallene i totallssystemet. a) 5 b) 8 c) 13 d) 16 Tall og algebra 7 a) Summen av to tall er 60. Differansen mellom de samme to tallene er 10. Hvilke to tall er det? b) Simen er ni år eldre enn søsteren sin. Om tre år er Simen dobbelt så gammel som henne. Hvor gamle er de nå? 8 Regn ut x i proporsjonene. a) x 3 = 24 8 b) 36 8 = x 16 36

37 9 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3x -- ðx -- 3Þ b) ð2x -- 1Þ + ðx +3Þ 10 Regn ut. a) ð2x +1Þðx -- 2Þ b) ð3a -- 2Þða +2Þ -- 3a c) 3a -- 2ða -- 2bÞ -- 3ða + bþ c) ðx +2Þ x 11 Primtallsfaktoriser tallene. a) 12 b) 20 c) 42 d) Faktoriser uttrykkene slik at tallene i uttrykkene blir primtall. a) 12xy b) 6a 2 b c) 8a 2 b 2 d) 3x + 9 e) 6x xy 13 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a) c) 2x 5 -- x 3 b) d) 5a Formelen for arealet A av en sirkel med radius r er: e) 5x 12 f) -- 4x a a a r 2 = r r A = r 2 der A står for arealet og r for radien i sirkelen. a) Regn ut arealet når r = 8 cm. b) Regn ut arealet når r =6m. 15 a) Sett x =2ogy = 1 inn i uttrykket og regn ut. 3ð2x -- yþ -- 3x b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x =2ogy =1 inn i svaret. Tall og algebra 37

38 Noe å lure på 1 Tallet 111 i totallssystemet er det samme som 7 i titallssystemet. Tallet i totallssystemet er det samme som 27 i titallssystemet. I begge tilfellene består tallene i totallssystemet av flere siffer enn tilsvarende tall i titallssystemet. Hvorfor er det slik? Hm... 2 Vi vet at 10 5 : 10 2 = =10 3. Bruk tilsvarende regnestykke for å forklare at =10 3 : 3 Du kjenner aldersforskjellen mellom to mennesker. Hvordan kan du på grunnlag av dette alltid finne ut når den ene var, eller blir dobbelt så gammel som den andre? Tall og algebra 4 I en blanding av tre stoffer er det 30 % av ett stoff og 50 % av et annet stoff. Hvordan kan du sette opp sammensetningen i denne blandingen som et forhold? 5 Tallet 6 er interessant. Det er et fullkomment tall. 6=1 2 3 Faktorene er 1, 2 og 3. 6=1+2+3 Kan du finne et annet tall der summen av faktorene er tallet selv? Tips: Et mulig tall er mindre enn

39 6 Tallet sju finner vi igjen i mange sammenhenger sjuende far i huset, sjumilsstøvler, sju underverker, osv. 13 er et ulykkestall. Mange tror at det ikke bør sitte 13 til bords, og fredag den 13. er en ulykkesdag. Tallet tre finner vi i en del eventyr. Undersøk på internett eller i bøker om det fins noe mer om tall og mystikk. De hengende hager I Babylon, et av verdens sju underverker fra antikken. Fra «Histoire Ancienne» av Charles Rollin (1829). 7 Kan du finne eksempler på bruken av tallet 6 i Bibelen? 8 Vi dividerer 1 og 2 med 7: 1 7 = 0, = 0, Divider flere tall med 7, og finn ut hvordan svaret endrer seg. 9 Herman påstår at elleve tusen, elleve hundre og elleve er det samme som Har Herman rett? Tall og algebra 39

40 Oppsummering Tall på standardform og på utvidet form Vi kan skrive naturlige tall på standardform = 2, Vanlig form Standardform 0,0025 = 2; Vanlig form Standardform Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form = = ,39 = , ,01 = Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.). Tallet 1101 i totallssystemet er Tall og algebra 1101 = = =13 i titallssystemet. Parenteser Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, skifter vi fortegn på hvert ledd inne i parentesen. 5x -- ð2x -- 3Þ =5x -- 2x +3=3x +3 Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, skifter vi ikke fortegn. 5x + ð2x -- 3Þ =5x +2x -- 3 = 7x

41 Multiplikasjon av tall med parentesuttrykk Hvis det står et tall eller et variabeluttrykk foran en parentes, må vi multiplisere tallet eller variabeluttrykket med hvert ledd inne i parentesen før vi løser den opp. 5x -- 2ð2x -- 3Þ =5x -- ð4x -- 6Þ =5x -- 4x +6=x +6 Multiplikasjon av to parentesuttrykk Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med hverandre. Vi multipliserer hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða +2Þð2a -- 3Þ = a 2a + a ð-- 3Þ +2 2a +2ð-- 3Þ =2a a +4a -- 6 =2a 2 + a -- 6 Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y =3 5 x x y Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk. 4x 2 y 6xy = 2 2 x x y 2 3 x y = 2x 3 Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. 3 4x + 5 6x x = 3 3 4x x x 4 = 9 12x x x = 11 12x Fellesnevner er 12x. Tall og algebra 41