Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i
Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver Selvtest... Fsit Selvtest... Kpittel Grunnleggende emner... 4. Tllinjen og reelle tll... 4. Mengder og tllmengder... 4. Intervller... 4.4 Regnerekkefølge... 4.5 Bokstvregning og brøkregning... 5.6 Prentesregler... 6.7 Brøkregning og brudden brøk... 6.8 Fktorisering... 6.9 Fellesnevner... 6.0 Absoluttverdi... 7. Potenser med heltllige eksponenter... 8. Kvdrtsetningene... 8. Geometrisk rekke... 8.. Summetegnet... 9.4 Aritmetisk rekke... 0 Oppgver Kpittel... Fsit Kpittel... Kpittel Funksjoner, ligninger og ulikheter... 4. Hv er en funksjon?... 4. Grfen til en funksjon... 4. Noen viktige begrep... 6.4 Noen funksjoner... 7.5 Førstegrdsfunksjoner f () b... 7.6 Ligninger... 7.7 Førstegrdsligninger... 8.8 Andregrdsligninger b c 0... 8.9 Andregrdsfunksjoner f () b c... 0.0 Inverse funksjoner.... Rsjonle ligninger.... Irrsjonle ligninger.... Ulikheter..... Enkle ulikheter... 4.. Doble ulikheter... 5.4 Grfisk løsning... 6.5 Rsjonle ulikheter... 6 Oppgver Kpittel... 7 Fsit Kpittel... 9 Kpittel Eksponentielle funksjoner og logritmer.... Eksponentiell vekst.... Logritmer f log og f ln.... Regneregler for logritmer....4 Den nturlige logritmefunksjonen... 4.5 y e og y ln er inversfunksjoner... 4
.6 Eksponentile og logritmiske ligninger... 4.6. Ligningen b... 4.6. Noen eksponentilligninger... 5.6. Noen logritmiske ligninger... 5 Oppgver Kpittel... 6 Fsit Kpittel... 7 Kpittel 4 Trigonometri i grder og rdiner... 8 4. Vinkelmål: grder og rdiner... 8 4. Rettvinklet treknt... 8 4. Trekntberegninger... 9 4.4 Trigonometri i rdiner... 9 4.5 Noen kjente vinkler... 40 4.6 Grfene til sinus, cosinus og tngens... 40 4.7 Trekntberegninger (trigonometri i grder)... 4 4.8 Trigonometriske formler... 4 4.9 Beskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinus- /sinuskurve... 4 4.0 Den periodiske funksjonen: f ( t) cost bsint... 4 4. Ligninger på formen: sin( ) b der 0... 44 4. Ligninger på formen: cos( ) c der 0... 45 Oppgver Kpittel 4... 47 Fsit Kpittel 4... 5 Kpittel 5 Grenseverdi og kontinuitet... 57 5. Grenseverdi... 57 f( ) 0 5. Grenseverdi lim... 57 g ( ) 0 5. Ensidig grense lim og lim... 58 5.4 Kontinuitetsbegrepet... 58 f( ) 5.5 Noen ord om grenseverdi når lim... 59 g ( ) 5.6 Asymptoter... 59 5.7 Tllet e... 60 Oppgver Kpittel 5... 6 Fsit Kpittel 5... 6 Kpittel 6 Derivsjon... 64 6. Vekstrte... 64 6. Definisjon, vekstrte... 64 6. Tolkninger... 64 6.4 Derivsjonsformler og derivsjonsregler... 65 6.5 Viktige derivsjonsregler... 65 6.6 Den deriverte til og r... 66 6.7 Den deriverte med hensyn til : d... 67 d 6.8 Oversikt over derivsjonsformler og -regler... 69 6.9 Derivert, nnenderivert og funksjonsdrøfting... 69 6.0 Mksimum og minimum... 70 6. Ligningen til tngenten og linerisering... 7 Oppgver Kpittel 6... 7 iii
Fsit Kpittel 6... 76 Kpittel 7 Integrsjon... 79 7. Det bestemte integrlet som rel... 79 7. Det bestemte integrlet... 80 7. Det ubestemte integrlet... 80 7.4 Integrsjonsformler... 80 7.5 Regneregler for bestemt og ubestemt integrl... 80 7.6 Integrsjon ved substitusjon... 8 7.7 Delvis integrsjon... 8 7.8 Noen nvendelser v det bestemte integrlet... 8 Oppgver Kpittel 7... 84 Fsit Kpittel 7... 85 Kpittel 8 Vektorer i rommet... 86 8. Hv er en vektor?... 86 8. Vektorlgebr... 87 8. Sklr produkt... 87 8.4 Vektor produkt... 87 8.5 Ligningen til en linje i rommet... 88 8.6 Ligningen til et pln i rommet... 88 8.7 Avstnden fr et punkt til et pln... 88 8.8 Projeksjonen v en vektor på en nnen vektor... 89 8.9 Noen kommentrer... 89 Oppgver Kpittel 8... 90 Fsit Kpittel 8... 9 Ikonbeskrivelser: Innhold Definisjon Eksempel Løsning Kommentr, hint, bemerk, husk Vnskelig oppgve
Forord Å lære mtemtikk er som å lære et nnet språk; ved første øyekst virker det uforståelig og vnskelig, men etter hvert vil du oppleve t det blir grdvis lettere. Mnge begreper i mtemtikken er forbundet og bygger på hverndre. Å forstå innholdet i et bestemt begrep, vil dermed hjelpe deg til å forstå mnge ndre. Å være usikker og frustrert i rbeidet med stoffet er en nturlig del v læringsprosessen. Husk t læring ikke bre skjer ved god innsts, men også ved intens konsentrsjon. Dette heftet er et oppsummeringsnott fr noen utvlgte grunnleggende emner i mtemtikk. Enkelte eksempler er ment som utfyllende forklring til lærestoffet og viser hvordn lærestoffet blir benyttet til å løse konkrete oppgver. For hvert kpittel finner du en oppgvedel etterfulgt v fsit/løsningsforslg. Når du skl lære et nytt emne er det ikke nok å få tk i hvordn ting skl gjøres. Det er like viktig å spørre seg hvorfor og prøve å forstå hvordn ting henger smmen. D blir det lettere å lære. Jo bedre du forstår mtemtikken, desto lettere er det å bruke den til å løse ktuelle problemer i ndre fgfelt. Det er svært viktig t du leser nøye gjennom oppgvene før du prøver å løse dem. Hvis du står fst i en oppgve, les heller gjennom lærestoffet enn å se på fsit/løsningsforslg. I kpittel 0 kn du teste og se om du innehr tilstrekkelig med bsisferdigheter i mtemtikk. Heftet er orgnisert på følgende måte: Kpittel 0: Test deg selv (elementære regneferdigheter) Del : Algebr Kpittel : Grunnleggende emner Del : Funksjonslære Kpittel : Funksjoner, inversfunksjoner, ligninger og ulikheter Kpittel : Eksponentielle funksjoner og logritmer Kpittel 5: Grenseverdi og kontinuitet Kpittel 6: Derivsjon, funksjonsdrøfting og en del nvendelser Del : Kpittel 4: Trigonometri Kpittel 7: Integrsjon og en del nvendelser Kpittel 8: Vektorlgebr Amir Mssoud Hshemi Mtemtisk institutt, UiB Juni 0 Copyright 0 Forftter
Kpittel 0: Test deg selv Kpittel 0 Test deg selv Før du begynner å lese nottene og t forkurset, kn du teste deg selv i grunnleggende emner. Oppgver Selvtest Oppgvene skl løses uten bruk v klkultor. Oppgve 0. Regn ut. 5 4 ) 4 4 4 44 c) 5 4 Oppgve 0. Regn ut. ) 5 8 c) 6 50 7 5 Oppgve 0. 5 6 d) 4 :6 7 Regn ut. 5 7 ) 8 5 Oppgve 0.4 c) : 5 5 Regn ut. 56 ) 5 64 c) 5 6 5 Oppgve 0.5 Regn ut. ) 5 5 9 c) 6 4 d) Oppgve 0.6 Multipliser og trekk smmen. b b b b ) b b ( d) b b ( b ) b( b ) b c)
Forkurs i mtemtikk - UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve 0.7 Skriv så enkelt som mulig. ) 6b b 6( 6b 9b 9b Oppgve 0.8 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) 5 5 5 c) Oppgve 0.9 d) 5 5 5 Fktoriser uttrykkene. ) 4 8 c) t 8 d) Oppgve 0.0 Fktoriser uttrykkene ved hjelp v nullpunktene. ) 4 c) 5 d) y y 8 Oppgve 0. Forkort brøkene. ) 6 c) d) y 4y 4y Oppgve 0. ) Prisen til en vre gikk opp fr 0 til kr. Hvor mnge prosent vr prisstigningen? En fmilie på to voksne og to brn betlte til smmen 0 kroner for å komme inn på et rrngement. En nnen voksen og tre brn betlte til smmen 90 kroner. Hv koster én brnebillett, og hv koster én voksenbillett? c) En kinosl hr 80 seter. En voksenbillett koster 00 kroner og en brnebillett koster 60 kroner. Ved en forestilling vr slen fullstt. De smlede billettinntektene vr 6 000 kroner. Hvor mnge voksne og hvor mnge brn vr til stede på forestillingen? d) Hvis y 00 og y 60, hv er d produktet y? e) Summen til to positive tll er 0 og summen v deres kvdrter er 5. Bestem disse.
Kpittel 0: Test deg selv Fsit Selvtest 0. ) 78 c) - 0. ) 4 5 c) 5 d) 0. ) 7 6 c) 6 0.4 ) 49 40 9 0 c) 6 0.5 ) 5 4 5 c) 6 9 d) 0.6 ) b 4 c) 6 b( b ) d) 0 0.7 6b b ( b b ) ( ( b ) 6( ( ( 6b 9b ( b 9b ( ( b 0.8 ) 0( 5) c) d) 5 9 4 0.9 ) 99 c) tt d) 0.0 ) c) 5 d) y4 y7 0. ) c) y d) y 0. ) 0% 40kr og 70 kr. c) 0 voksne og 50 brn d) 0 e) 4 og 6.
Forkurs i mtemtikk - UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Kpittel Grunnleggende emner Dette kpittelet er en repetisjon v grunnleggende konsepter og prinsipper. Vi oppsummerer emner som: - Tllmengder, intervll - Bokstvregning og brøkregning - Regler for potensregning - Absoluttverdi - Geometriske og ritmetiske rekker. Tllinjen og reelle tll Reelle tll er mengden v de tll som tilsvrer lle punkter på en uendelig lng tllinje og betegnes eller R.. Mengder og tllmengder En mengde inneholder visse objekter, klt elementer. Elementene kn i prinsippet være hv som helst, for eksempel tll, personer, biler eller ndre mengder. M: er et element i mengden M M : et element er ikke i mengden M En mengde kn være tom. Den tomme mengden blir betegnet med Ø. Kjente tllmengder: Mengden v lle nturlige tll: N,,, { } { } Mengden v lle hele tll: Z,,,,0,,,, p Mengden v lle rsjonle tll: Q { p og q er hele tll, q 0} q Mengden v lle reelle tll: R inneholder lle tll på reelle tllinjen Et reelt tll som ikke er rsjonlt klles irrsjonlt, for eksempel: Eksempel. Noen rsjonle tll: 0,8,,, 5 7 Noen irrsjonle tll:, 4
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no). Intervller Intervller er deler v tllinjen. Et intervll kn være lukket eller åpent: Intervllet 0 er lukket og kn skrives som: 0, Intervllet 0 er åpent og kn skrives som: 0, Intervllet er hlvt lukket/hlvåpent og kn skrives som: [,, eller [, Åpent intervll Intervll notsjon Grfisk frmstilling, ( b, b ( ) b, ) R, ( tilhører reelle tll) Hlvt åpent intervll Intervll notsjon Grfisk frmstilling [, [ b [ b, [ ) b, ] ] Lukket intervll Intervll notsjon Grfisk frmstilling b [ b, ] [ ] b.4 Regnerekkefølge Kunnskper om smmenheng mellom regneopersjonene er svært viktig i lgebr. I smmenstte uttrykk kn mn regne ut uttrykket i følgende rekkefølge:. Regn ut lle prenteser. Regn ut potenser. Multipliser eller divider 4. Legg smmen eller trekk fr 4
Kpittel Eksempel. Regn ut uten klkultor: 5 7(5 ) ( ) ( ) Prenteser og potenser: 5 4 78 9 8 Multipliser: 60 56 8 8 Legg smmen: 60 56 8 8.5 Bokstvregning og brøkregning Algebr er for mnge det smme som bokstvregning. I mtte brukes bokstver spesielt i formler, ligninger og ulikheter, identiteter og funksjonsuttrykk. Et ledd er et ledd, der er koeffisient, er vribel og er eksponent. To ledd tskilles fr hverndre med + eller : En fktor ( ) består v fktorer. To fktorer tskilles fr hverndre med gngetegn: y. Regneregler Kommuttiv lov Assositiv lov Distributiv lov Motstte og inverse tll Addisjon Multipliksjon b b b b ( b c) ( c ( b c) ( c ( ) 0 ( b c) b c der 0 Tllet 0 og : 0 0 5
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no).6 Prentesregler b c b c b( c d) c d bc bd.7 Brøkregning og brudden brøk b c b c Husk: b c b c c c Husk: b d b d b c b c : c d d Husk: : c d d d c c c d c c d c d d : Husk: b c d d : b d b c bc c b d b c bc d.8 Fktorisering Fktorisering er en prosess der mn deler opp et mtemtisk uttrykk som for eksempel en ligning eller et tll i mindre enheter (fktorer) som kn gnges smmen for å få det opprinnelige uttrykket. Eksempel : 5 6 ( ) Eksempel : 4 b b 8b 4b b b.9 Fellesnevner Fellesnevner Fellesnevner er det minste tllet som er delelig med lle nevnerne. Eksempel : 4 7 6 6 Eksempel : ( ) En brudden brøk består v en brøk i telleren, en brøk i nevneren og en hovedbrøkstrek mellom dem. For mer info kn du lese her: http://mth.uib.no/forkurs/primtll.pdf 6
Kpittel.0 Absoluttverdi Absoluttverdien eller tllverdien til et reelt tll er den numeriske verdien til tllet uten hensyn til fortegnet. Den geometriske tolkningen v bsoluttverdi kn være vstnd på tllinjen. 0 0 Grfen til y : Husk: Absoluttverdien v kn tolkes som vstnden fr 0 til på tllinjen. Tilsvrende vil y bli vstnden mellom og y på tllinjen. Dermed hr vi t de som tilfredsstiller ligningen er lle tll slik. Noen regneregler som gjelder: 0 0 b b ( b 0) b b Det kn vises: b b b b Eksempel. ) Beregn: 7 Løs ligningen c) Tegn grfen til y ) 7 7 4 c) y ( ). Grfen er vist her: Eksempel.4 Løs ligningene og ulikheten: ) 5 5 ) 5 8 5 5 8 0 R 0 0 c) 0 eller R, 0 c) 7
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no). Potenser med heltllige eksponenter n klles potens (potensledd) og er definert som: n der er grunntll og n er et nturlig tll og klles eksponent. Hvis 0, kn vi skrive 0 n og n Regneregler n gnger n n n m n m n b b m n mn n m n m m n b n b p q p q n n Husk: 0 n n n n Kvdrtrot skrives slik: og. n te rot skrives n og kn noteres: n n Eksempel.5 Skriv så enkelt som mulig: ) ) 5 4 ( ). Kvdrtsetningene b b b (. og. kvdrtsetning) b b b (. kvdrtsetning). Geometrisk rekke Kjennetegnet til en geometrisk rekke er t forholdet mellom to påfølgende ledd er konstnt. n k (kvotient) n n Summen v de n første leddene i rekken er: S = + k + k + k n k og kn utledes som S, husk t n er ntll ledd i rekken. k 8
Kpittel Geometrisk rekke, ledd n n k n k er rekkens kvotient Summen v de n første leddene i en n k Gjelder for k. geometrisk rekke S k Hvis k = er, S n Summen v en uendelig Gjelder for k geometrisk rekke (konvergent) s k S = 0 når 0 Rentesrenteformelen p n Verdien K n om n år v et beløp K n K 0 ( ) 00 K 0 i dg Eksempel.6 Ved den første injeksjonen gir dosen 5 enheter. Psienten skl få 0 injeksjoner med en ukes mellomrom. ) Hvor mye skl injeksjonen økes slik t den siste dosen er 00 000 enheter? Hvor mnge enheter mottr psienten i løpet v de 0 injeksjonene? ) ( p ) n Kn K0 00 p 9 p /9 00, 000 5( ) (0, 000), 684 p 0, 684 eller 68, 4 %. 00 00 Vi ønsker å bestemme summen til 0 ledd i en geometrisk rekke: 0 (, 684) S = 5 + 5 (,684) + 5(,684) + 5(, 684) 5, 4590, 684 9 5 enheter.. Summetegnet Summetegnet kn hjelpe oss til å omskrive en sum som følger en bestemt regel: n i i Eksempel.7 Skriv summen n 4 5 0 () () () ved hjelp v summetegnet. Regn ut summen. 0 4 5 0 () () () () i eller i4 7 4 5 0 () () () () i 7 4 5 0 4 Summen er d lik: () () () () 6096 i Bemerk: + k + k + k n n i ( k) i i ( n ) k k 9
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Eksempel.8 Bestem summen til den geometriske rekken: 5 0 0 640 For å bestemme n (ntll ledd i rekken) kn vi benytte: n k n 640 8 n n 7 n 8 5 8 Summen er d lik: 5 0 0 60 5 75 n Bemerk: + k + k + k n i i ( k) ( n k ) k i.4 Aritmetisk rekke Kjennetegnet til en ritmetisk rekke er t differnsen mellom lle to påfølgende ledd er konstnt. n n d Summen v de n første leddene i en ritmetisk rekke er gitt ved: n n n i ( d) ( d) ( ( n ) d) ( n) ( ( n ) d) i Eksempel.9 Bestem summen til den ritmetiske rekken: 5 9 49 Differnsen d kn bestemmes: d 9 5 9 4 For å bestemme n (ntll ledd i rekken) kn vi benytte: n ( n ) d 4( n ) 49 5 n n Summen er d lik: 5 9 49 (5 49) 4 n n Bemerk: i ( d) ( d) ( ( n ) d) ( n) i 0
Kpittel Oppgver Kpittel Oppgvene skl løses uten bruk v klkultor. Oppgve. Regn ut. 5 9 4 ) 4 4 4 4 c) 5 4 Oppgve. Regn ut. ) 6 5 c) 8 44 7 0 Oppgve. 5 7 5 d) :6 Regn ut. ) 4 c) : Oppgve.4 Regn ut. ) 5 b b b b c) 5 5 Oppgve.5 Regn ut. ) c) 4 Oppgve.6 Multipliser og trekk smmen. ) b b b b( c) b b ( d) 4
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve.7 Skriv så enkelt som mulig: ) 4 4b b ( 4b 4b 4b Oppgve.8 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) ( ) c) Oppgve.9 d) Fktoriser uttrykkene. ) 9 Oppgve.0 4 49 c) 4t 9 d) 6 9 Fktoriser uttrykkene ved hjelp v nullpunktene. ) 5 4 c) d) b b 6 Oppgve. Forkort brøkene. 9 ) 6 6 4 4 c) d) y 9y 9y Oppgve. Skriv så enkelt som mulig ( 0 ) : ) ( ) 4 c) 4 d) 6 4 4 4 Oppgve. Bestem summene: 4 8 ) 9 7 der Oppgve.4 ) Løs ligningen: ( ). Tegn grfen til y. c) Bestem største verdien til f ( ) 5.
Kpittel Fsit Kpittel. ) 0 c). ) c) 6 7 d) 9. ) 6 4 6 6.4 ) 5.5 ) ( ) b b b 9 b 5b 0 b.6 ) 4 c) c) c) 7 c) 4 b( d).7 ) b b b 4 c) 6 () d) ( ).8 ) 6.9 ) () (7)( 7) c) (t)(t) d) ( ).0 ) ( )( 4) ( )( ) c) ( 4)( ) d) ( (. ). ) 6 4 7 4 5 6 5 c) d) ( ) 4 9 ( ) y y y y y 9y ( y)( y) y 94 ( ) 6 6 6 4 7 ( ) ( ) c) d) 6 4 0 4 4 4 n n ( ) 4 8 k. ) S S lim 9 7 k n n n ( ) k der S lim k n.4 ) y der n lim( ) 0 n c) Største verdien er 5 for.
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Kpittel Funksjoner, ligninger og ulikheter Her skl vi t for oss sentrle begreper knyttet til funksjoner og deretter studere ligninger og ulikheter.. Hv er en funksjon? En funksjon f er en regel som tilordner ethvert element,, fr en mengde klt definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde klt verdimengde: y f ( ) der D f og y V f og y klles henholdsvis uvhengig vribel og vhengig vribel. Krvet for t en relsjon y f () er en funksjon er: For enhver i definisjonsmengden finnes én og bre én y i verdimengden: y y Vertikllinjetesten: En linje prllell med y-ksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt. Eksempel. y er en funksjon, mens y ikke tilfredsstiller definisjonen til en funksjon (grfen til y som er vist litt tykkere hr bre ett skjæringspunkt med en vertikl linje, mens y hr to).. Grfen til en funksjon L f være en funksjon. Mengden v lle tllpr (, f ( )) som vi får ved å l gjennomløpe definisjonsmengden til f, klles grfen til funksjonen y f (). Eksempel. Grfen til y f ( ) er vist her: Som vi ser, er denne relsjonen en funksjon. 4
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no). Noen viktige begrep Monotoni (i) En funksjon f er voksende dersom: f ( ) f ( ) (ii) En funksjon f er strengt voksende dersom: f ( ) f ( ) (iii) En funksjon f er vtgende dersom: f ( ) f ( ) (iv) En funksjon f er strengt vtgende dersom: f ( ) f ( ) Kontinuitet En funksjon y f ( ) er kontinuerlig dersom grfen er smmenhengende. I kpittel 5 skl vi studere kontinuitetsbegrepet nærmere. En entydig funksjon For enhver y i verdimengden finnes én og bre én i definisjonsmengden. Vi kn bruke den såklte horisontllinjetesten til å studere entydighet. Horisontllinjetesten En linje prllell med -ksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt. Smmenstte funksjoner For eksempel: y kn nses som y g( ) der g ( ). Oppdelte funksjoner En funksjon som er uttrykt ved hjelp v flere funksjonsuttrykk i forskjellige intervller. For eksempel: 0 f( ) 0 Odde og jmne funksjoner, og symmetriegenskper (er foreløpig ikke pensum) 6
Kpittel.4 Noen funksjoner n Polynomfunksjoner: f ( ) 0 n (polynom v n te grd) (for eksempel førstegrds- og ndregrdsfunksjoner) f( ) Rsjonle funksjoner: y ( g ( ) 0 ), der f og g er polynomfunksjoner g ( ) Eksponentilfunksjoner: y, 0 Logritmefunksjoner: y log, der 0, 0. (for eksempel briggske logritmer, y log og nturlige logritmer, y ln ) Trigonometriske funksjoner: y sin, y cos, y tn, y c sin( ),.5 Førstegrdsfunksjoner f () b En førstegrdsfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er v første grd og kn skrives på formen: y b, der klles stigningstll og b er konstntleddet. Ettpunktsformelen: y y0 ( 0) (en rett linje med stigningstll som går gjennom punktet ( 0, y 0) ) y y0 y y0 Topunktsformelen: 0 0 (en rett linje gjennom punktene ( 0, y0) og (, y) der stigningstllet d blir Grfen til y b, der klles stigningstll og b konstnt ledd, er en rett linje. 0 funksjonen er strengt voksende. 0 funksjonen er strengt vtgende. 0 funksjonen er konstnt: y b. y y 0 0 ).6 Ligninger En ligning består v to mtemtiske uttrykk som er stt lik hverndre, der uttrykkene inneholder minst én ukjent. Den ukjente betegnes ofte. Når ett ledd (i en ligning) flyttes fr en side v likhetstegnet til den ndre, må vi skifte fortegn (, ) på leddet. En ligning som lltid er oppfylt, unsett vlg v den ukjente, klles en identitet. For eksempel ( ) ( ). 7
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no).7 Førstegrdsligninger Når vi skl løse førstegrdsligninger må vi prøve å smle -ene på en side og tllene på den ndre siden. Men for å få til det må vi legge til eller trekke fr det smme tllet på begge sider, eller multiplisere eller dividere lle ledd på begge sider med det smme tllet. Eksempel. Løs ligningene: ) 8 7 88 c) ( ) 4 5 ) 8 7 88 6 8 88 7 66 6 9 8 66 8 9 6 9 c) 0 ( ) 5 4 0 5( ) ( ) 40 0 5 5 4 40 9 45 5.8 Andregrdsligninger b c 0 Vi hr å gjøre med en ndregrdsligning når en ligning hr en ukjent som er opphøyd i. Den skrives ofte på denne formen: b c 0, der, b og c er reelle tll og 0. Løsningene til ndregrdsligningen: b c 0 kn skrives som:, b b 4c b c b Hvis b 0, kn ligningen Hvis c 0, kn ligningen b c 4 0 foskjellige reelle løsninger 4c 0 dobbel løsning 4 0 ingen reell løsninger c c 0 h løsningene, b b 0 h løsningene 0, En ndregrdsfunksjon nullpunkt(er): f ( ) b c som hr nullpunkt, kn fktoriseres med dens b c ( )( ), der og kn bestemmes ved:, b b 4c 8
Kpittel Det er hovedskelig tre tilfeller v ligningene: Ingen konstntledd 0 c Ingen førstegrdsledd b 0 0 ( 0 0 eller b 0 0 b c eller c c 0 c Generell b c 0 b b b 4c b 4c 0: reelle løsninger Eksempel 4 0 ( 4) 0 0 eller 0 eller 4 9 0 4 9 9 4 9 4 6 0 4 0 ( ) 4 ( 6) 5 eller b 4c 0: en dobbel løsning 4 4 0 4 4 4 4 4 0 Eksempel.4 Løs følgende ndregrdsligning 4 0 4 0 SVAR: Bruker bc-formelen. Her er = 4, b = 0 og c = 4. 0 0 4 4 ( 4) 0 484 0, 4 8 8 Dette gir de to løsningene 4 og 9
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Eksempel.5 Løs ligningene: ) 4 5 c) 5 0 ) 4 0 5 ( 5) 0 4( 4) 0 5 5 4 c) 5 0 5 5.9 Andregrdsfunksjoner f () b c Dersom 0, smiler grfen, mens grfen er sur når 0. Skjæringspunkt med y-ksen er ( = 0, y = c ). b b 4c Nullpunktene til grfen (skjæringspunkt med -ksen) er (, y 0). Husk t ndregrdsfunksjonen kn fktoriseres hvis den hr løsning(er): b c ( )( ) Grfen er symmetrisk om linjen: b. For å tegne grfen til en ndregrdsfunksjon kn vi tenke slik: ) Er grfen sur eller smiler den? b b b b ) Bestem symmetrilinjen: og f ( ). Fktisk er punktet: (, y f ( ) ) koordintene til mksimumspunktet ( 0 ) eller minimumspunktet ( 0 ). ) Bestem eventuelle nullpunkt. 4) Bestem skjæringspunktet med y-ksen (0, c ). 0
Kpittel Eksempel.6 Tegn grfen til y 4 ) Nullpunktene : 4 0 og dermed er b 4 ) Symmetrilinjen:. ) 0 grfen smiler og dermed er (, f ()) (, 4() ) loklt minimum..0 Inverse funksjoner En invers funksjon til en funksjon y f ( ) der D f og y V f er en relsjon som tilordner y-verdien tilbke til -verdien. Dermed er: y f ( ) der D f V og f V f Df Krvet for t en funksjon hr en invers funksjon er t funksjonen er entydig (monoton). Husk: f ( f ( )) og f ( f ( )) Hvordn kn vi bestemme den inverse funksjonen til y f ( )? ) Bestem med hensyn til y. ) Bytt om og y. Eksempel.7 Bestem den inverse funksjonen til y f ( ) gitt 0 ) Finner uttrykt ved y: y og siden 0, får vi: y ) Bytter om og y: y dermed er: y f ( ) Bemerk: D Vf [, f og V Df [0, f.
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no). Rsjonle ligninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rsjonle uttrykk må vi derfor psse på t nevneren ikke blir null. I uttrykket ( ) er nevneren null når 0og når. Det er ikke mulig å sette inn 0eller i uttrykket. Derfor må vi forutsette 0og når når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser ligninger der den ukjente er med i nevneren. ( betyr ikke lik, i motsetning til =, som betyr lik ) Eksempel.8 Løs ligningene: ) ( ) ) ( ) 0 0 0, ( ) ( ) ( ) flyttes til venstre side og fellesnevneren er ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 4 5 0 4 5 0 ( ) 4 A Bemerk: 0 A 0 ( B 0) B. Irrsjonle ligninger Vi skl studere noen enkle irrsjonle ligninger på formen: b c d Eksempel.9 Løs ligningene: ) 5 ) Begge sider kvdreres: Mn får d ndregrdsligningen: 0 ( ) OK! 4( )
Kpittel Leddet med kvdrtroten ønsker vi å h lene på én side v ligningen. Ligningen må først skrives på formen: 5 Begge sider kvdreres: 5 Høyre side utvides ved hjelp v. kvdrtsetning: 0 5 Mn kn d sette opp ndregrdsligningen: 8 0 Ligningen hr reelle løsninger som må settes på prøve: 4 4 4 5 Umulig ( 4)( 7) 0 7 7 7 5 OK!. Ulikheter Ulikheter er et mtemtisk oppsett med opplysninger om hv som er større, mindre, større og lik, eller mindre og lik noe nnet. Minst ett v leddene består v en eller flere ukjente. Hv er de viktigste reglene ved løsing v en ulikhet? Reglene når du regner med ulikheter er nesten de smme som når du regner med ligninger. Det kn dderes og subtrheres med smme tll på begge sider. Det kn også multipliseres og divideres med et positivt tll på begge sider. Men hvis det skl multipliseres eller divideres med et negtivt tll, må ulikhetstegnet snus for t ulikheten skl stemme. Å løse en ulikhet er å finne de verdier v som gjør ulikheten snn. Hv må mn psse på når mn løser ulikheter? Når mn løser ulikheter må mn psse på å snu ulikhetstegnet når mn multipliserer eller dividerer med negtive tll. Regel : Legge til / trekke fr det smme tllet på begge sider. Eksempel: ulikhet 6 hr smme løsninger som ulikheten 8 (Den ndre ulikheten ble hentet fr den første ved å legge på begge sider.) Regel : Hvis vi bytter sidene i ulikhetene, endrer vi retningen på ulikhetstegnet. Eksempel: ulikhet hr smme løsninger som ulikheten. (Vi hr byttet side og vendte `` '' til en `` ''). Sist, men ikke minst, den opersjonen som er kilden til lle problemer med ulikheter: Regel : Multiplisere / dividere med smme positive tll på begge sider. Regel b: Multiplisere / dividere med smme negtive tll på begge sider og endre retningen på ulikhetstegnet. Betrkt ulikhetene med, b, og c der c 0 (c er negtiv): b c bc b c bc
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Her skl vi se på noen eksempler med Enkle ulikheter: p ( ),,, 0 Doble ulikheter m( ) p( ) n( ) Rsjonle ulikheter p( ) q( ),,, 0.. Enkle ulikheter Ulikheter der deler v (i første) inngår, løses som en ligning. Ulikheten settes på stndrdform slik t du hr 0 på den ene siden. Det vil si t lle ledd med smles på venstre side og trekkes smmen, og t lle tll smles på høyre side og trekkes smmen. Eksempel.0 Løs ulikhetene: ) 6 ) 6 Eksempel. Løs ulikheten: 4 0. Det trekkes 4 fr begge sider Begge sider deles med - 4 0 6 Løsningsmengden til ulikheten er d: { } eller [, ). - 4
Kpittel Eksempel. Løs ulikheten: 6 0 Andregrdsligningen kn fktoriseres: ( )( ) 0. Fortegnsskjem: 0 + + + + 0 + + + + 0 0 + + + + ( )( ) + + + + 0 0 + + + + Løsning Løsning Løsningsmengden til ulikheten er d: { },, eller.. Doble ulikheter En dobbel ulikhet på formen: A b B kn løses ved å gjøre lle prosesser i lle tre deler v ulikheten. Prosessene kn vnligvis gjøres i følgende rekkefølge: subtrksjon/ddisjon, multipliksjon/divisjon. Eksempel. Flersidige ulikheter Løs ulikheten: 8 Metode : Det dderes på begge sider 9 Metode : Deler i ulikheter og 8 9 Snittet mellom disse er : { } eller,. 5
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no).4 Grfisk løsning Ulikheten f ( ) g( ) kn omskrives som f ( ) g( ) 0. Løsningen er lle -verdier der y f ( ) g( ) 0, det vil si der grfen til y f ( ) g( ) er ovenfor y-ksen. Eksempel.4 - Grfisk løsning Løs 4 5 grfisk. Ulikheten skl først omskrives som 4 5 0 Tegn grfen til y 4 5 og bestem mengden v -verdier der y 0: Løsning: { 5} eller, 5 0 8 6 4 0 - - - 0 4 5 6.5 Rsjonle ulikheter Her skl vi se på noen eksempler der ulikheten hr én eller flere rsjonle uttrykk. En rsjonl ulikhet kn skrives på formen: P ( ) Q ( ) 0, P ( ) Q ( ) 0, P ( ) Q ( ) 0 eller P ( ) Q ( ) 0 der nevneren Qer ( ) forskjellig fr null ( Q ( ) 0) og hr en vribel. Eksempel.5 Løs ulikheten: 0. Fortegnsskiftepunkt: Nullpunkt fåes der telleren er lik null: 0. Bruddpunkt fåes der nevneren = 0, dvs. 0. 0 + + + + 0 + + + + 0 0 + + + + + + + + 0 4 + + + + Løsning Løsning: { } eller,,. 4 betegner bruddpunkt. 6
Kpittel Oppgver Kpittel Oppgve. Hvilken v følgende uttrykk for y f ( ) beskriver en funksjon? ) y 4 Oppgve. ) Gitt f ( ). Bestem f (0), f (), f ( ) og f( ) y c) y Gitt f ( ) og g( ) der. Bestem f ( g( )) og g( f ( )) 5. Hv kn vi si om f og g? 6 Oppgve. Gitt f ( ). Bestem definisjonsmengden og verdimengden til til f. Bestem Sett opp funksjonen g( ) f ( ). f ( ). Oppgve.4 Gitt f( ). Hv er definisjonsmengden til f? Tegn grfen til f( ). Oppgve.5 Grfen til en funksjon er vist her: ) Bestem f ( ) og f (). Er funksjonen kontinuerlig 7 i punktene og? Oppgve.6 Tegn grfen til f( ) der 0. Oppgve.7 Løs ligningene: ) 4 5 4 Oppgve.8 Løs ligningene: ) 50 0 5 b b b c) c) 0 5 9 5 f ( g( )) og g( f ( )) klles smmenstt funksjon. Disse kn også skrives som f o g og go f. 6 Se kpittel.0 Inverse funksjoner. 7 Se kpittel 5.4 Kontinuitet. 0 7
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve.9 Løs ligningene: ) 6 c) 5 4 0,5 Oppgve.0 Løs ligningene: ) 5 0 ( ) 8 c) y 7y 0 Oppgve. Løs ligningene: ) 6 c) Oppgve. Løs ligningene ) 9 Oppgve. Løs ulikhetene: ) 5 4 c) 5 d) e) 5 f) g) h) 4 7 4 4 8 4 7 5 6 Oppgve.4 Løs ulikhetene: ) 4 4 4 c) 4 e) f) 8
Kpittel Fsit Kpittel Oppgver. ) J Nei. fordi y c) J ( ). f (0), f (), f ( ) og f ( ) f ( g( )) f ( ) og g( f ( )) g( ) tilsier t f og g er inverse funksjoner.. D { R } (lle reelle tll slik t er minst ) f V { y R y 0} (lle reelle tll y slik t er mer eller lik 0) f g( ) der. f ( )..4 D { R 0} lle reelle tll unnttt 0. f f ( ) (tegn grfen til linjen y der punktet (0, ) ikke ligger på grfen..5 f ( ) og f (). Funksjonen er kontinuerlig i men ikke i..6 0 f( ) 0.7 ).8 ) 5 0 4 5 c).9 ),5 5 c),75.0 ) 5 4 c) y y 4. ) 0 c) c) b. ). 9 9 9 6 9 7 Innsetting viser t løsningen 7 psser. 4 4 5 4 0 Det siste er åpenbrt umulig, siden 4 4 0. Ligningen hr ingen løsning. ) 5 4 6 9
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 6 5 6 4 0 5 c) 4 8 d) 5 6 5 8 0 0 e) f) g) h) i) j) 4 4 0 0 7 4 7 4 6 4 4 8 4 8 6 4 5 0 4 7 5 4 7 5 6 8 7 5 6 8 6 4 7 0 0 0 4 5 5 5 5 0 9 5 5 5 0 5 4 0 5 4 45 4 6 5 0 6 4 0 5 5 7 0.4 4 4 0 + + + + 0 + + + + ) 4 0 4 0 0 + + + + 4 0 4 0 + + + + 0 0 + + + + Løsning: { 4} eller Løsning, 4, Løsning eller c) - 0 0 0 0 eller 0 0
Kpittel Tllinjedigrm: 0 0 0 0 0 + + + 0 + + + 0 + + + 0 + + + 0 + + + 0 0 + + + 0 + + + 0 + + + 0 0 0 + + + 0 + + + ( )( ) Løsning: eller 0 eller + + + 0 8 + + + 0 0 + + + d) Her vet vi t er positiv siden ldri kn bli negtiv. Altså kn vi multiplisere begge sider v ulikheten med : 4 4 4 0 0 Setter opp fortegnsskjem, og får eller. e) 4 4 0 0 0 eller Vi bruker tllinjedigrm: 4 0. 4 4 0 + + + + + + 0 + + + + + 0 0 + + + + + 4 + + + + + + 0 + + + + + 4 Konklusjonen er t 0 4 f) 0 0. Her finner vi røttene i nnengrdspolynomet i telleren: 8, slik t. og. Tllinjedigrm: 0 0 0 0 + + + + 0 + + + + 0 + + + + 0 + + + + 0 0 + + + + 0 + + + + ( )( ) 0 + + + + 0 + + + + Løsning Løsning Konklusjonen er t 0 0 8 betegner bruddpunkt.
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Kpittel Eksponentielle funksjoner og logritmer Her skl vi studere eksponentielle funksjoner som kn beskrive en eksponentiell vekst og lære oss hvordn vi kn benytte logritmer til å løse eksponentilligninger. Vi skl også oppsummere t y e og y ln er inverse funksjoner.. Eksponentiell vekst Når en størrelse øker/synker med en fst prosent over like store tidsrom, klles endringen en eksponentiell vekst/reduksjon. Eksponentiell vekst når For eksempel 5 f c y 0 Eksponentiell reduksjon når 0 For eksempel y 7 ( ) c 0 p der er vekstfktor og kn skrives om og p klles rentefot (gitt i %). 00 Eksempel: For en verdi som Vokser Vokser med 0% 0,, med 0% Synker Synker med 0% 0, 0,8 For en verdi som vokser med 00% Eksempel. Ved. jnur 980 vr jordens befolkning 4, millirder. Vi regner med t folketllet vokser med c. % pr. år. Sett opp en funksjon som beskriver folketllet t år etter året 980. f t c. Modellering ved hjelp v eksponentilfunksjonen: t Vi ønsker å bestemme c og. Vi kn betrkte året 980 som 0 f 0 4, f (0) c c 4, t og dermed er 0 Vekstfktoren er 0,0,0 og funksjonen blir: f t 4, (,0) t (millirder) som bestemmer folketllet t år etter året 980. I forrige eksempel, hvis vi skulle bestemme hvor lenge det tr før jordens befolkning hr blitt 4,9 millirder. Det vil si vi skl bestemme t når: t 4, (,0) 4,9 Her vi kn benytte logritmer. Jeg løser denne ligningen her, men du kn se på løsningen etter du hr lært om logritmer: t ln(4,9 4,) (, 0) 4,9 4, tln(, 0) ln(4,9 4,) t 9 ln(, 0)
Kpittel. Logritmer f log og ln f Logritmen til et tll med grunntll b er den eksponenten som grunntllet må opphøyes i for å få tllet b: b log der 0 og b 0 b Grunntllet b klles også bsis for logritmen. Tllet b er ntilogritmen. Logritmer med grunntll lik eulertllet klles nturlige logritmer, mens briggske logritmer bruker grunntllet 0. Dersom vi skl bestemme eksponenten i ligningen b, benytter vi logritmer. Senere skl vi se t b log b log ln b log (se oppgve.0) b log b ln b Når 0 gjelder: y log y Ti-logritmer (Briggske logritmer): y 0 log y Nturlige logritmer y e ln y log0, log 0, ln e, ln 0 Bemerk t 0 er vertikl symptote for log f ( lim log ). 0 Noen nyttige regler A log(0 ) A A ln( e ) A log 0 A A ln A e A. Regneregler for logritmer A n log A B log A log B log log A log B log A n log A B der A 0 og B 0
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Eksempel. Skriv så enkelt som mulig: ) log00 log000 c) log0,00 d) log 0 e) Fsit: ) c) d) 0,5 e) log7 7 log 00.4 Den nturlige logritmefunksjonen Dersom grunntllet i logritmen er e, klles logritmen den nturlige logritmen. y e og y ln er inversfunksjoner. lim e og lim e 0 ( y 0 er horisontl symptote for y e ) lim ln og ( 0 er vertikl symptote for y ln ) 0.5 y e og y ln er inversfunksjoner Når 0 gjelder: y log y og dette kn bety t y log er inversfunksjonen til y f ( ) 0 f ( ) log f ( ) e f ( ) ln.6 Eksponentile og logritmiske ligninger.6. Ligningen b Generelt Eksempel. b 7 ln( ) ln( ln ln b ln b ln ln( ) ln(7) ln ln7 ln 7 ln 4
Kpittel.6. Noen eksponentilligninger Her skl vi se på noen eksponentilligninger som kn løses ved hjelp v forskjellige frmgngsmåter. Eksempel.4 Løs ligningene: ) 5 e e e 0 ) e 5 5 e ln(5 / ) (ln(5 / ) ) e e 0 Velger hjelpevribelen: u e u e e u 0 som gir: u u ln 0 ln e be c 0 kn løses ved å velge u e : u bu c 0 (ndregrdsligning).6. Noen logritmiske ligninger Eksempel.5 Løs ligningene: ) ln( ) ln( ) ln( ) ln() c) ln( ) ln() 0 ) ln( ) e e ln( ) ln( ) ln(4) ln( ) ln(4) 4 4 5 5 c) ln( ) ln() 0 ln( ()) 0 ( ) 0, Bemerk: kn ikke være løsning, fordi 0. 5
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgver Kpittel Oppgve. Skriv så enkelt som mulig: ) e e e e 5e e Oppgve. k Eksponentilfunksjonen gitt ved: f ( ) c kn skrives som f ( ) c e. Bestem k. Oppgve. Folketllet i en bygd ved. jnur 000 vr 500. Vi regner med t bygdens befolkning vokser med c. % pr. år. ) Sett opp en funksjon som beskriver folketllet t år etter året 000. Hv er folketllet til bygd i slutten v 005 etter denne modellen. Oppgve.4 t år etter t en orgnisme døde, er ndelen v rdium redusert til p % v mengden i den levende orgnismen. Hlveringstiden er c.60 år. Sett opp en eksponentilfunksjon som beskriver pt () målt i %. Oppgve.5 Skriv så enkelt som mulig uten å bruke klkultor: ) ln e ln ln e c) ln ln ln d) ln ln ln 4 e) ln e f) ln ln ln Oppgve.6 Skriv så enkelt som mulig: ) ln e Oppgve.7 Løs ligningene: ln e c) e ln ln 5 ) e 5 5 e c) 5 e 7 0 6
Kpittel Oppgve.8 Løs ligningene: ) e e 0 e 0 e Oppgve.9 Løs ligningene: ) ln 0 ln ln 9 c) 6 d) 5 7 Oppgve.0 Vis t log ln b log. b log b ln b Fsit Kpittel. ) e ln. Vi vet t : e. ln ln ( e ) e dermed er k ln.. ) Nt ( ) 500 (,0) t t 60.4 t ln 6 N(6) 500 (,0) 79 60 pt ( ) 00 ( ) eller p( t) 00 e.5 ) c) 0 d) ln e) f) 0.6 ) c) 5.7 7 ) ln 5 ln c) ln 5 5.8 ) 0 ln Hvis mn multipliserer begge sider med e, får mn smme ligning som i del ) 0 ln 9.9 ) e e 5 7 ln ln 6 c) d) 5 ln 7 ln 5 ln ln ln.0 b ln( ) ln( ln ln b ln b Def. b log b ln b log( ) log( log log b log b log 7
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Kpittel 4 Trigonometri i grder og rdiner Trigonometri (fr gresk trigonon = tre vinkler og metro = måling) er en gren innenfor mtemtikken som studerer forholdet mellom vinkler og sider i en rettvinklet treknt. Trigonometri nvendes i mtemtikk, stronomi og lndmåling, men også innen felter som ikke er direkte forbundet med dette, som meknikk og frekvensnlyse (lyd, lys, optikk, kvntemeknikk). Det er uenighet om trigonometrien er en egen mtemtisk gren eller om den er underlgt geometrien. I nturen gjentr det seg noen fenomener over en bestemt tidsperiode. Hr mn informsjon om fenomenet i denne tidsperioden, kn mn bruke trigonometriske funksjoner til å beskrive fenomenet over flere tidsperioder. 4. Vinkelmål: grder og rdiner Vinkelmålet rdin er en SI-enhet definert som buelengde delt på rdius. Det klles også for bsolutt vinkelmål. Andre vinkelmål er grder, som knskje er mest kjent. 60 grder tilsvrer π rdiner. Omregningsformelen er: 80 r d r d 80 der r er vinkelen regnet i rdien og d vinkelen regnet i grder (engelsk: degrees). Eksempel 4. Omgjør 0, 45, 60, 90 og 60 grder til rdiner. Vi vet t: 80 o rd, dermed er: 0 o rd, 45 6 o rd, 60 4 o rd,90 o rd o,60 rd 4. Rettvinklet treknt En rettvinklet treknt er en treknt hvor én v de tre vinklene er 90 grder, og hvor Pythgors setning gjelder: b c Forholdet mellom ktetene og hypotenusen kn defineres ved hjelp v sinus og cosinus: sin A c b cos A c sin A tn A b cos A 8
Kpittel 4 4. Trekntberegninger Cosinussetningen: b c bc cos( A) Sinussetningen: sin( A) sin( B) sin( C) b c Se oppgve 4.-4.4 4.4 Trigonometri i rdiner Enhetssirkel, sinus, cosinus og tngens sin cos (cos, sin ) Figuren til venstre viser de grunnleggende definisjonene v de trigonometriske funksjonene. Enhetssirkel (en sirkel med rdius med sentrum i origo) Cosinus-ksen (horisontlksen) Sinus-ksen (vertiklksen) Skjæringspunktet mellom denne linjen og enhetssirkelen hr d koordintene: cos, sin. sin tn. cos Med utgngspunkt i denne definisjonen (og Pytgors' setning) får vi t: sin cos Ved hjelp v enhetssirkelen kn vi sette opp følgende: sin sin cos cos tn tn sin sin cos cos tn tn Det gjelder også t: cos sin( ) sin cos( ) Det kn vises t grfen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon hr fseforskjell. 9
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 4.5 Noen kjente vinkler Vinkel Rdiner sin cos tn 0 o 0 0 0 0 o 6 45 0 4 60 o 90 0 0 80 o 0 0 70 0 0 60 0 0 0 4.6 Grfene til sinus, cosinus og tngens Sinusfunksjon Cosinusfunksjon Tngensfunksjon y sin 0 y cos 0 y tn 0 Legg merke til t perioden til sin og cos er, mens for tn er den : sin sin( ), cos cos( ), tn tn( ) Husk: Grfen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon hr fseforskjell: cos sin( ) eller sin cos( ) 40
Kpittel 4 4.7 Trekntberegninger (trigonometri i grder) Cosinussetningen: b c bc cos( A) Sinussetningen: sin( A) sin( B) sin( C) b c 4.8 Trigonometriske formler Grunnleggende formler: sin cos tn sin cos cot tn Trigonometriske formler for y sin( y) sincos y cos sin y, cos( y) cos cos y sin siny tn tn y tn( y) tn tny Trigonometriske formler for sin sincos cos cos sin cos sin Andre formler: cosu cosv (cos(u v) cos(u v)) sinusin v (cos(u v) cos(u v)) sinu cosv (sin(u v) sin(u v)) Eksempel 4. Finn ekskte verdier for: ) sin 5 6 (Hint: Bruk tbell i delkpittel 4.5) ) c) tn 5 4 c) cos 5 4
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 4.9 Beskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinus- /sinuskurve y C0 C cos ( t t0) og y C0 C sin ( t t0) T T der: C 0 er middelverdi (likevektslinje), er C mplitude, T er periode og sirkelfrekvens er gitt ved. t T 0 klles krofse. Noen eksempler for å studere disse prmetrene: y C0 C sin ( 0 ) C 0 = 0, C, T Amplitude C er fordoblet Sirkelfrekvens er fordoblet y sin y sin og y sin y sin og y sin C 0 Likevektslinje C0 Akrofse t 0 0 C =, C, og t 0 y sin og y sin y sin og ysin( ) y sin ( ) Eksempel 4. Grfen til en periodisk funksjon er tegnet her. Funksjonen kn uttrykkes ved: y C0 C sin ( 0 ) Bestem de ukjente prmetrene C 0, C, T og sirkelfrekvens ved T C 0 =, C =, og 0 0. T 4 cos( /) sin( ) eller sin( / ) cos( ) 4
Kpittel 4 4.0 Den periodiske funksjonen: f ( t) cost bsint Omforming til funksjonen som en cosinusfunksjon: cos t bsin t C cos ( t t ) der C b og tn( t0) 0 b Husk t ( C, t 0 ) er polrkoordintene til punktet (,, og dermed hørert0 til smme kvdrnt som punktet (,. Eksempel 4.4 Gitt funksjonene: ) f ( t) cost sin t f ( t) cost sint Skriv dem på formen C cos ( t t0) og tegn grfen. ) C b og b tn( t0 ) t0 t0 6 f ( t) cos ( t ) og grfen blir d: C b og b tn( t0 ) t0 t0 f ( t) cos ( t ) og grfen blir d: 4
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 4. Ligninger på formen: sin( ) b der 0. Vi skl løse ligningen: sin( ) b eller sin( ) b b og dermed sin ( ) (Her kn du bre tste SHIFT SINUS( b ) eller INV SINUS( b ) på klkultoren. Du må først sjekke t klkultoren et innstilt på Rdin.) Vi må huske t sin( ) lltid sin( ) omløp ( 0 ), eller: b gir to vinkler og i første b og sin ( ) b sin ( ) De generelle løsningene med uendelig mnge vinkler er d: b b og n sin ( ) der n 0,,, n sin ( ) Ligningen sin( ) der som forklring. 0 60 0 løses på tilsvrende måte. Her er enhetssirkelen tegnet Eksempel 4.5 Løs ligningene når ) 6sin 7sin c) 7sin 44
Kpittel 4 ) 6sin sin 6 sin ( ) ( 6 5 6 6 sin ( ) er en kjent vinkel. Se tbell i 4.5) Hvis det ikke vr ngitt 0, ville løsningene være: 5 n og n 6 6 7sin sin 7 7 0, 9,85 sin ( ) 0, 879 0, 9 Hvis det ikke vr ngitt 0, ville løsningene være: 0, 9 n og,85 n der n 0,,, c) 7sin 7 ( 0, 879), 4 sin ( ) 0, 879 ( 0, 879) 5,99 6 Hvis det ikke vr ngitt 0, ville løsningene være: 6 n og,4 n der n 0,,, 4. Ligninger på formen: cos( ) c der 0. c Vi skl løse ligningen: cos( ) c eller cos( ) c cos ( ) Her kn du bre tste SHIFT COSINUS( c ) eller INV COSINUS( c ) på klkultoren. Du må først sjekke t klkultoren er innstilt på Rdin. c Vi må huske t når cos( ) lltid cos( ) gir to vinkler i første omløp (0 ) c c cos ( ) og cos ( ) De generelle løsningene med uendelig mnge vinkler er d: c c og n cos ( ) der n 0,,, eller n cos ( ) c., n cos ( ) 45
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Eksempel 4.6 Løs ligningene når 0 ) 6cos 7cos c) 7cos ) 6cos cos 6 cos ( ) ( 5 cos ( ) er en kjent vinkel. Se tbell i 4.5) Hvis det ikke vr ngitt 0, ville løsningene være: 5 n og n 7cos cos 7 7 cos ( ), 79, 8, 8 5,5 Hvis det ikke vr ngitt 0, ville løsningene være:, 8 n og 5,5 n der n 0,,, c) 7cos 7 cos ( ), 04, 0,0 4, 7 4, Hvis det ikke vr ngitt 0, ville løsningene være: n og 4, n der n 0,,, 46
Kpittel 4 Oppgver Kpittel 4 Oppgve 4. L være en vinkel i. kvdrnt. Finn (uten å bruke klkultor) sin og cos når: ) tn tn c) tn 5 Oppgve 4. Løs ligningene: ) 5 cos = 0, [0, sin + = 0, [0, c) 4 tn + =, [0, Oppgve 4. ) 7 Gitt cos v og v [70, 60 ]. Bestem sin v og tn v. 5 Vis t cos ( ) 4 sin ( ) cos sin 6 c) 8 Gitt cos v og v [, ]. Bestem sin v og sin v, cos v og tn v. 7 Oppgve 4.4 I treknt ABC er vinkel B = 8.5, = 74.0 og b = 9.5 ) Finn de øvrige sidene og vinklene i treknten. Finn lengden v vinkelhlveringslinjen fr vinkel C. Oppgve 4.5 I en treknt ABC er følgende oppgitt. Du skl regne ut lle de tre sidene og de tre vinklene. ) = 4,7 cm, c=6,9 cm og C 56. c = 7, cm, A 5 og C 7 c) B 48, =8,0 cm og c= 6, cm Oppgve 4.6 I treknt ABC er AB =.9, BC = 6.4, vinkel C =.5, og vinkel A er stump. Bestem vinkelen A. 47
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve 4.7 Figuren viser treknt ABC, hvor vinkel C er stump. Målene fremgår v figuren. ) Bestem vinkel C. Bestem relet v treknten ABC. Oppgve 4.8 Figuren viser en treknt ABC, hvor vinkel A = 5.8 og AB = 5.5. Arelet v treknten er 4.4. Bestem AC og BC. Oppgve 4.9 En byggegrunn hr form som en firknt ABCD, hvor vinkel A = 80, vinkel B = 60, vinkel C = 05, AD = m og AB = 50 m. ) Tegn en modell v byggegrunnen, og bestem lengden f digonlen BD. Bestem relet v byggegrunnen. Oppgve 4.0 En treknt ABC er bestemt ved t = 9, b = og c = 0. ) Bestem størrelsen v vinkel A. Bestem relet v treknt ABC. Oppgve 4. I treknt ABC er vinkel A = 6., AC = 5.0 og BC =.0. Vinkel C er stump. ) Bestem vinklene B og C. Bestem AB. c) Bestem lengden v medinen m c. Oppgve 4. En byggegrunn hr form som en firknt ABCD. Tre v sidene hr følgende lengder: AB = 5.7 m, BC = 5. m og CD =.8 m. Lengden v digonlen AC er målt til 8. m. Endelig er vinkel D målt til 94. ) Bestem vinkel B. Bestem byggegrunnens rel. 48
Kpittel 4 Oppgve 4. På figuren ses en treknt ABC, hvor M er midtpunktet v siden AC. De kjente målene fremgår v figuren. Videre opplyses det t vinkel ABM er stump. ) Beregn vinkel ABM og AC. Beregn BC og vinkel B i treknten ABC. c) Beregn relet v treknt ABC. Oppgve 4.4 Figuren viser en skisse v en gvlkonstruksjon i et sommerhus. De kjente målene fremgår v figuren. ) Bestem lengden v bjelkene AB og BD. Bestem lengden v bjelken BC smt vinkel BCD. Oppgve 4.5 Figuren viser en firknt ABCD hvor digonlen BD er inntegnet. De kjente firkntens mål fremgår v figuren. ) Beregn BD Beregn vinkel D i treknt BDC. c) Beregn CD. d) Beregn AC. Oppgve 4.6 Gitt treknten på figuren til høyre.. Vis t bcos C ccos B b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise t sin A sin Bcos C sin C cos B Oppgve 4.7 I treknten ABC er AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. Hlveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene og y. Beregn disse stykkene. Gjent utregningen når AB=c, BC= og AC=b. 49
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve 4.8 I treknten ABC er C 90, A 0 og AB=s. Hlveringslinjen for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier. Oppgve 4.9 Gitt en treknt ABC med sidelengder 4, 5.5, og 8 enheter. Finn vinkelene til treknten. Oppgve 4.0 ) Bruk grfene til sin, cos og tn til å vise t: sin sin cos cos sin sin cos cos Vis de smme smmenhengene ved hjelp v enhetssirkelen og definisjonene v sin og cos. Oppgve 4. ) Benytt 45 o + 0 o = 75 o til å finne ekskte verdier for sin 75 o og cos 75 o. o o o Benytt 45 0 =5 til å finne ekskte verdier for sin 5 o og cos 5 o. Oppgve 4. ) Tegn grfen til funksjonen: f 4 cos( ), [0,4] Funksjonen forteller hvor høyt sol står på himmelen et sommerdøgn et sted nord for polrsirkelen. Vi kller denne høyden over horisonten for solhøyden og måler den i grder. Finn solhøyden kl. 04.00 og kl. 6.00. c) Når vr solhøyden o? d) Når stod sol på det høyeste? Hvor høyt stod sol d? Oppgve 4. Skriv funksjonene nedenfor på formen f C cos v : ) f sin 4cos f cos sin Oppgve 4.4 Grfen til en funksjon på formen y c sin( ( 0 )) er gitt: () ( Bestem c,, og 0. 50
Kpittel 4 Fsit Kpittel 4 4. ) Du kn tenke deg en rettvinklet treknt der lengden til kteten motstående for vinkelen er og hosliggende er, det vil si tn. Lengden til hypotenusen er d ( ). Vi få d sin og cos. Vi kn bruke smme metode for del og c) c) sin og cos. 5 sin og cos. 4. ) 5 cos = 0 5 cos cos 5 Vi bruker klkultoren og får frm den ene løsningen.,6 Den ndre løsningen finner vi ved å tegne enhetssirkelen. =,6 = 5, De to løsningene på ligningen er =,6 og = 5, 5
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) sin + = 0, [0, sin sin Vi tegner enhetssirkelen og finner to løsninger.. Vi får to 0-60-90-treknter der AOP = og BOP =. Av symmetrigrunner får vi d løsningene: De to løsningene på ligningen er 5 og 4. 4 5 eller c) 4 tn + =, [0, 4tn 9 tn 4 Klkultoren gir løsningen,5 Den generelle løsningen er d,5 n Ettersom løsningen skl være i første omløp, må [0,. n = =,5 +,4 =,99 n = =,5 +,4 = 5, Løsningene er d : =,99 og = 5, 5
Kpittel 4 4. 7 ) cos v og v [70, 60 ] 5 Enhetsformelen gir cos v sin v eller sin v cos v 7 49 576 sin v 5 65 65 Ettersom v [70, 60 ], er sin v negtiv. Det gir Definisjonen v tn v gir 4 sin v 5 4 sin v 5 c) 4 4 5 sin v 5 5 4 tn v = cos v 7 7 5 7 5 5 cos ( ) 4 sin ( ) 6 (cos cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 6 6 (cos ( ) sin ) 4(sin cos ) cos sin sin cos cos sin 8 cos v og v [, ] 7 cos v sin v eller sin v cos v 8 64 5 sin v 7 89 89 5 sin v Ettersom v [, ], er sin v positiv. Det gir 7 5 sin v 7 5 8 40 sin v sin v cos v ( ) 7 7 89 5 5 6 cos v sin v 7 89 89 40 sin v 89 40 tn v cos v 6 6 89 5
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 4-4 ) A = 5.5, C = 45., c = 66.0 v c = 76.0 4.5 ) c sin C 4.7 sin A sin 56 0.5647, A 4.4 sin C sin A c 6.9 B 80 56 4.4 89.6 b c c 6.9cm b sin B sin 89.6 8.cm sin B sin C sin C sin 56 c c 7,cm sin A sin 5 5.88cm sin A sin C sin C sin 7 B 80 5 7 57 c sin B 7.cm sin 57 b 6.cm sin C sin 7 c) b c c cos B 8 6. 8 6. cos 48 6.0 cm b sin B 8.0 sin 48 sin A 0.99, A 8 sin A sin B b 6.0 C 80 48 8 50 4.6 b c Sinussetningen gir sin B sin, b c C. Dermed blir sin A sin B sin C sin A sin A sin B sin C ccos B bcos C cos C cos B. Vi dividerer denne likheten med sin A sin A og multipliserer sin A: sin A sin Bcos C sinc cos B. Siden sin( B C) sin(80 B C) sin A, følger t sin( B C) sin Bcos C sin C cos B 4.6 ) A = 7.8 4.7 ) C = rel 8674 4.8 ) AC =.0, BC = 8.9 54
Kpittel 4 4.9 ) BD = 50.8 m 00 m 4.0 ) A = 47. rel 44.0 4. ) B = 47., C = 06.7 AB = 6.5 c) m c =.5 4. ) B = 97.5 78. 4. ) vinkel AMB = 6.5, AC =.9 BC = 5., B =.4 c) 4.66 4.4 ) AB =.4 m, BD =.4 m BC = 5.5 m, vinkel BCD =.6 4.5 ) BD = 7. vinkel BDC = 8.4 c) CD =.9 d) AC = 8. 4.6 ) Det er lett å vise ved hjelp v figuren bcos C ccos B c Det fremgår ved å dele begge sider b: cosc cos B b b sin sin sin Vi vet t sin A c sin C og dermed er: og. b c b sin B b sin B sin A sin C cos C cos B sin B sin B begge sider med sin B og får svret: sin A sin Bcos C sin C cos B 4.7 Se figuren til høyre. Ifølge setningen om delingsforhold og 6 hlveringslinje er y, vi får dermed 4 y. Vi hr også y 7. D må 7 y y, og vi får 5 7 y og dermed: 4 4 y,. 5 5 5 Når AB=c, BC= og AC=b, må y c og AC b og y BC c c b c og y,. b b b b y. D må b y c 55
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 4.8 I denne treknten er AB=s, BC s, AC s. Setningen om vinkelhlveringslinjenes deling v den motstående siden i en treknt gir d / AC AD AD og herv AD s AD, AD / BC BD s s AD 4.9 s AD s s BD AB AD s Vi setter = 5.5, b= 8, og c= 4, Vi finner vh cosinussetningen: Her lønner det seg å omforme b c bc cos slik t vi får lene på den ene b c 8 4 5,5 49,75 siden: cos bc 84 64 cos (0,78) 8,74 Vi bruker sinusproporsjonen for å finne sin sin c sin 4sin(8, 74) sin 0, 46 c 5,5 sin 0, 46 sin 0,46 7,4 o og dermed: o o o 80 (8,74 7, 40 ),86 4.0 ) Det fremgår ved å tegne grfene og se t disse er like. Det fremgår ved å tegne enhetssirkelen og tegne inn vinklene og se t deres sin og cos er like. 4. ) sin 75 o 6 4 cos75 o 6 4 sin5 o 6 4 cos5 o 6 4 4. ) o og 5 o Kl. 00.00 (kl. 4.00) c) Ved midntt (00.00), kl. 06.00 og kl. 8.00. d) Høyeste: kl..00. 4. ) C 5, v tn 0, 645, 49 4 C, 5 v tn 4.4 ) y5 sin y 5 sin ( 0,5) eller y5sin 56
Kpittel 5 Kpittel 5 Grenseverdi og kontinuitet 5. Grenseverdi L y f ( ) være en funksjon som er definert om et punkt, men ikke nødvendigvis i selve. Når vribelen går mot punktet, dersom funksjonen nærmer seg en verdi A, skriver mn: lim f ( ) A Noen regneregler for grenser Ant t lim f ( ) A, lim g ( ) B. D gjelder følgende: lim f ( ) g( ) A B lim ( ) ( ) f g AB f ( ) A lim ( B 0 ) g ( ) B 5. Grenseverdi f( ) 0 lim g ( ) 0 f( ) 0 I dette vsnittet skl vi se nærmere på tilfellet når lim og i delkpittel 4.5 når g ( ) 0 f( ) lim. Dersom det er mulig, kn vi fktorisere telleren og nevneren med ( ). g ( ) Ellers kn L'Hôpitls regel benyttes. 9 Nedenfor følger noen eksempler. Eksempel 5. Bestem grenseverdiene: 4 ) lim lim c) lim d) lim sin 5 9 e) lim f) lim 0 9 sin 5 sin 5 Fsit: ) 4 c) d) lim lim5 5 e) 6 f) 0 0 5 sin lim 0 sin lim 0 b b tn lim 0 tn lim 0 b b sin sin lim lim 0 b 0 b b 9 http://www.hib.no/nstte/hs/forkurs/lhopitlsregel.pdf 57
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 5. Ensidig grense lim og lim For å undersøke kontinuitet til noen funksjoner som f( ) eller f( ) 4 er det nødvendig å studere grenseverdiene på høyre og venstre side. Eksempel 5. Bestem grenseverdiene: ) lim lim c) lim( ) 0 Fsit: ) Eksisterer ikke( ) c) Eksisterer ikke( ) 5.4 Kontinuitetsbegrepet En funksjon y f ( ) er kontinuerlig i punktet dersom grenseverdien eksisterer om dette punktet og er lik funksjonsverdien: lim f ( ) f ( ) Eksempel 5. Undersøk om følgende funksjoner er kontinuerlige i det ngitte punktet: 5 5 ) f( ) i g ( ) 5 4 5 i 5 Fsit: ) J Nei (grenseverdi eksisterer ikke) 58
Kpittel 5 5.5 Noen ord om grenseverdi når f( ) lim g ( ) n n 0 n n ( n ) n n n 0 lim lim m m b m bm b0 m bm b 0 ( bm ) m 0 n m n nm n lim n m bm bm nm når grenseverdien går mot, sier mn t grenseverdien ikke eksisterer. Eksempel 5.4 Bestem grenseverdiene: ) lim lim 7 5 4 c) 5 lim 4 8 d) lim 9 Fsit: ) 0 c) d) 5.6 Asymptoter Asymptoter til grfen for y f ( ) er rette linjer, som ikke kn skjelnes fr grfen i det fjerne. Vi skl se nærmere på tre typer symptoter: y y Vertikl symptote: y Horisontl symptote: y Vertikl symptote: 0 y Skrå symptote: y 59
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Eksempel 5.5 Bestem eventuelle symptoter til: 5 ) y y c) y d) y 4 Fsit: ), y y c), y 0 d) 0, y Eksempel 5.6 Bestem grenseverdiene: 9 ) lim( ) ( ) lim c) lim d) lim( ) ( ) 7 5 n Fsit: ) (Eksisterer ikke) 0 c) d) 0 n n n 5.7 Tllet e Tllet e klles Eulers konstnt (Eulertllet) etter den sveitsiske mtemtikeren Leonhrd Euler og Npiers konstnt etter den skotske mtemtikeren John Npier. Konstnten e ble først omtlt i 68 i en tbell i tilleggsnottet til et verk om logritmer v John Npier. Selve konstnten vr ikke inkludert, men en rekke nturlige logritmer ble beregnet. Den første kjente nvendelsen v konstnten, d representert med en b, vr i en brevveksling mellom Gottfried Leibniz og Christin Huygens i 690 og 69. Noen mener t e står for "eksponentiell", siden tllet e er det nturlige vlget til grunntll i en eksponentilfunksjon. Leonhrd Euler strtet å bruke bokstven e om konstnten i 77, og den ble først brukt som e i Eulers Mechnic som ble publisert i 76 som er tilnærmet lik: e,788 Oppdgelsen v konstnten i seg selv krediteres Jkob Bernoulli, som forsøkte å finne verdien til det følgende uttrykket, som kn brukes som en definisjon v e: n lim e, 788 n n Euler-tllet kn også uttrykkes ved: e!! 60
Kpittel 5 Oppgver Kpittel 5 Oppgve 5. cos I) Bestem grenseverdiene: ) lim f( ) lim 0 II) For funksjonene f og g vet vi t lim f( ) og lim g ( ) 5. Bestem grenseverdiene: ) lim f ( ) g( ) lim f ( ) g( ) c) lim f( ) Oppgve 5. Bestem grenseverdiene: 9 ) lim d) lim lim e) lim 9 c) lim 9 f) lim g) lim 7 h) lim i) lim 5 j) sin lim 0 k) tn lim 0 sin l) lim Oppgve 5. Funksjonene f, g og h er gitt ved: f ( ) 5 7 g( ) h ( ) ) Vis t funksjonene f, g og h er kontinuerlige for. Vis t funksjonene f og g er kontinuerlige for lle punkter. c) Hvilke krv må vi stille for t h skl være kontinuerlig i? Oppgve 5.4 En funksjon er definert ved: sin når 0 f når 0 Beregn lim 0 f. Er f kontinuerlig for 0? Oppgve 5.5 Finn eventuelle vertikle symptoter til funksjonen. ) f( ) f( ) 5 54 6
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve 5.6 Finn eventuelle horisontle symptoter til f når: 0 t 9 ) f( ) f() t t 7 Oppgve 5.7 For hver v funksjonene skl du bestemme: ) Nullpunktene ) De vertikle symptotene ) De horisontle symptotene ) 5 f( ) 5 4 f( ) 76 ( 56) Oppgve 5.8 Finn den skrå symptoten til funksjonene: ) y 8 7 y 8 Oppgve 5.9 Bestem det minste leddet i uttrykket når: n : f( n) (0,99) (,05) n n n Oppgve 5.0 Bestem grenseverdiene: 4 5 ) lim( ) ( ) 4 lim 4 7 5 5 d) lim e) lim 7 7 8 9 c) lim 5 7 f) lim( ) ( ) 5 n n n n Oppgve 5. En funksjon er definert ved: 9 når f når Beregn lim f. Bestem slik t f kontinuerlig i Oppgve 5. En funksjon er definert ved: Beregn lim f f når når. Er f kontinuerlig i? 6
Kpittel 5 Fsit Kpittel 5 5. I) ) II) ) 8 5 c) 9 5. ) 6 c) 6 d) e) 0 f) g) h) 0 i) Eksisterer ikke j) k) / l) 5. c) 5.4 J,. 5.5 ) 5, 5, 4 5.6 ) y y 0 5.7 5 ).. 4. 5., 6.,. 5.8 ) y y y 5 y 5.9 (,05) n er det minste leddet. Grenseverdi eksisterer ikke. 5.0 ) Eksisterer ikke 0 c) 8 5 d) 0 e) 0 f) 0 5. 6, 6 5. Grenseverdi eksisterer ikke ( ): 0 ( )( ) lim = = lim lim ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) lim = = lim lim ( ) ( ) 0 ( ) I nvendelsen v mtemtikk ønsker vi ofte å finne ut hvor rskt en størrelse er i ferd med å endre seg. Derivsjon hndler om endring v en vribel i forhold til en nnen vribel. I denne smmenhengen benyttes ofte begrepene momentn hstighet og vekstrte. Ved å finne den deriverte til en funksjon i et punkt på en kurve, finner du stigningstllet kkurt der, og denne kn klles vekstrten for dette punktet (momentn hstighet). 6
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Kpittel 6 Derivsjon 6. Vekstrte Den gjennomsnittlige vekstrten er definert ved forholdet mellom endringen til den y vhengige vribelen og den uvhengige vribelen: 6. Definisjon, vekstrte dy y f ( ) f ( ) y f ( ) lim lim d 0 0 Eksempel 6. Bestem den deriverte til y ved hjelp v definisjonen til derivsjon. ( ) ( ) ( ) y lim lim lim lim 0 0 0 0 6. Tolkninger y f ( 0 h) f ( 0) Gjennomsnittsfrt: h Dette kn tolkes som stigningstllet til seknten 0 gjennom to punkter (P og Q) på grfen til f. På grfen er det vist noen seknter. Momentn frt: dy y f ( 0 h) f ( 0) y f ( ) lim lim d 0 h0 h Dette kn tolkes som stigningstllet til tngenten i et punkt (P) på grfen til f og kn beskrive hvor rsk funksjonen endrer seg i dette punktet. Tngenten er vist på grfen (linjen L). 0 Seknten til en kurve er en rett linje som går gjennom to punkter som ligger på kurven. Tngenten til en kurve er en rett linje som berører kurven bre i ett punkt. 64
Kpittel 6 6.4 Derivsjonsformler og derivsjonsregler y f ( ) y f ( ) Konstntledd k 0 Potensfunksjon y r r r r r ( ) r ( ) Eksponentilfunksjon med k k e e ( e ) ke grunntllet e Eksponentilfunksjon ln med grunntllet y Logritmefunksjoner ln log ln0 Den deriverte til bsoluttverdifunksjonen: f ( ) f ( ) for 0 6.5 Viktige derivsjonsregler Enkle regler: ( y) y ( u v) u v ( u bv) u bv Viktige kjente regler:. Produktregelen. Kvotientregelen. Kjerneregelen [ u v] uv u v u u v u v [ ] v v dy dy du y y( u( )) d du d. Produktregelen: Eksempel 6. y cos u v u v u v y cos ( sin ) (cos sin ) u u v u v v v. Kvotientregelen: Eksempel 6. cos ( sin ) (cos ) sin cos y y 65
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no). Kjerneregelen: dy dy du y y( u( )) d du d Eksempel 6.4 ucos y ln(cos ) y ln( u) y u ( sin ) tn u cos Eksempel 6.5 d Bestem (sin ) og d ( k cos t ) d dt d (sin ) cos d ( k cos t ) k sin t d dt r 6.6 Den deriverte til og Formel Generell (kjerneregelen) u u ( e ) e ( e ) e u r ( ) Eksempel ( e ) e r r r r ( u ) r u u ( ) ( ) 6( ) Den deriverte til : ( ) ln Vi kn først omskrive uttrykket: e ln Husk t: ln ln ( ) ( e ) ln e ln Eksempel 6.6 Deriver: ) y (cos ) 7 5 9 y ( ) c) 7 e y d) y e) 5 y k Fsit ) 6 y 7cos sin 4 5 8 d) y ln e) y k 5 ln5 y 45 ( ) c) y 7 e 66
Kpittel 6 6.7 Den deriverte med hensyn til : d d df Uttrykket f( ) kn oppfttes som den deriverte til f med hensyn til : d df f y f ( ) lim d 0 Kjerneregelen kn formuleres slik: dy dy du y y( u( )) (Leibniz-notsjon) d du d Eksempel 6.7 d 4 Bestem ( r ) dr Løsning: d 4 ( r ) 4r dr Eksempel 6.8 d 4 Bestem ( r ) når rdien forndrer seg med tiden. dt d 4 dr ( r ) 4r (kjerneregelen) dt dt Eksempel 6.8 kn også formuleres: 4 Bestem endringshstigheten til volumet til en kule gitt ved V r der rdien r forndrer seg med tiden. dv dv dr 4 dr dr Løsning: V V ( r( t)) kjerneregelen: ( r ) 4r. dt dr dt dt dt Det vil si t volumendringen pr. tid vhenger v kulens overflterel S 4 r Eksempel 6.9 Gitt funksjonen: f ( ). ) Bestem f( ) og vgjør hvor funksjonen vtr og hvor den vokser. Bestem f( ) og vgjør hvor funksjonen krummer oppover og hvor den krummer nedover. c) Tegn grfen til denne funksjonen. 67
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) f ( ) 0 f ( ) + + + + + + + 0 0 + + + + + f( ) Øker Synker Øker Mks. pkt. Min. pkt. er mksimumspunkt og er mksimumsverdi ( f ( ) ). er minimumspunkt og er minimumsverdi ( f () ). f ( ) 6 f ( ) 6 0 0 Vendepunkt: (0, 0) 0 f ( ) 0 + + + + + f( ) Krummer nedover Krummer oppover Mks. pkt. Min. pkt. c) Grfen til f ( ) Nullpunktene: 0 ( ) 0 0 c) Grfen: 68
Kpittel 6 6.8 Oversikt over derivsjonsformler og -regler y f ( ) dy y f ( ) d k 0 n n e ln sin cos cos Kjerneregelen u n u u n n n 0 e u Eksempel e e u ln u u ln u sin tn tn cos u k e 5 4 sin 5 sin cos ke ln u u ln( u b sin u cos u u sin( cos( cos u sin u u cos( sin( tn tn u u u u cos u tn( k cos ( 6.9 Derivert, nnenderivert og funksjonsdrøfting Monotoniegenskpene L y f ( ) være en funksjon definert i intervllet I. f( ) 0 i intervllet I f( ) er voksende i intervllet I f( ) 0 i intervllet I f( ) er strengt voksende i intervllet I f( ) 0 i intervllet I f( ) er vtgende i intervllet I f( ) 0 i intervllet I f( ) er strengt vtgende i intervllet I For å finne de enkelte intervllene der funksjonen er voksende eller vtgende, kn det være nyttig å gjøre bruk v et fortegnsskjem: X f ( ) 0 + + + + + + + 0 f( ) Synker Øker Synker Min. pkt. Mks. pkt. Av fortegnet til f ( ) kn vi bestemme de lokle ekstremlpunktene. Dersom funksjonen er definert i et lukket intervll, bør eksistensen v eventuelle bsolutte og lokle ekstremlpunkter undersøkes. 69
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 6.0 Mksimum og minimum Ekstrempunkt: L c være et ekstrempunkt for f. Hvis c ligger i definisjonsmengden til f og f() c eksisterer, er f( c) 0. Bemerk t c kn være et ekstrempunkt uten t f( c) 0. (globlt mksimum/minimum) Eksistens v mksimums- og minimumspunkt L f være definert og kontinuerlig i et lukket intervll [, b ]. D finnes det både et mksimumspunkt og et minimumspunkt i dette intervllet. Krkterisering v ekstrempunkt L y f ( ) være definert og kontinuerlig i et begrenset lukket intervll [, ].. Finn de punktene der f( ) 0 og bestem funksjonsverdien der f( ) 0. Angi de endepunktene der f er definert. Bestem funksjonsverdien i endepunktene.. Finn de punktene i intervllet der den deriverte ikke eksisterer. (For eksempel: den deriverte til f ( ) er f( ). f ( ) eksisterer ikke i = 0) Smmenlign disse verdiene for å bestemme eventuelle LOKALE /GLOBALE mksimums- og minimumspunkter. A er globlt mksimumspunkt, B er globlt minimumspunkt, C og E er lokle mksimumspunkter, D er loklt minimumspunkt. Eksempel 6.0 Betrkt funksjonen f ( ),,5 Bestem eventuelle ekstremlpunkt(er). I eksempel 6.9 fnt vi t: er mksimumspunkt og er mksimumsverdi( f ( ) ). er minimumspunkt og er minimumsverdi ( f () ). f (,5) 8,5 f () 8 70
Kpittel 6,5 globlt minimumspunkt (globl minimumsverdi er f (,5) 8,5 ) loklt minimumspunkt (lokl mksimumsverdi er f ( ) ) loklt minimumspunkt (lokl minimumsverdi er f () ) globlt minimumspunkt (globl mksimumsverdi er f () 8 ) Metode for funksjonsdrøftning ) Bestem eventuelle nullpunkter og skjæringspunkter med ksene. ) Bestem eventuelle symptoter. ) Finn f ( ). Finn eventuelle nullpunkter til f ( ) (ekstrempunkter) og sett opp fortegnsskjem. 4) Finn f ( ). Finn eventuelle nullpunkter til f ( ) (vendepunkter). Den ndrederiverte (krumning og vendepunkt) d f d df f ( ) klles den ndrederiverte til f : f( ) ( ) (Leibniz-notsjon) d d d L f være en dobbel deriverbr funksjon i. Dersom er et vendepunkt, er f( ) 0. X f ( ) 0 + + + + + + + + 0 f( ) Krumning Krumning Krumning nedover oppover nedover Vendepkt. Vendepkt. Eksempel 6. Vis t f ( ) hr ett vendepunkt. Grfen er vist her. f ( ) 0 (krummer oppover) f ( ) 6 0 0 (0,0) er vendepunktet. 6. Ligningen til tngenten og linerisering Ligningen til tngenten for en funksjon y f ( ) i et punkt som ligger på grfen er: y f ( ) f ( )( ) Det å linerisere en deriverbr funksjon i et punkt = er å bruke tngentlinjen til funksjonen i dette punktet: f ( ) f ( ) f ( )( ) 7
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Eksempel 6. Bestem ligningen til tngentlinjen i det gitte punktet og lineriser funksjonene. ) f ( ) sin i 0 f ( ) e i 0 Grfen til funksjonen og tngenten for del er tegnet her: Fsit ) y y Tilvekstformelen Vi tr utgngspunkt i lineriseringne v y f ( ) : f ( ) f ( ) f ( )( ). Eller f ( ) f ( ) f ( )( ) Dette kn omskrives som f ( ) f ( ) f ( ) Eksempel 6. Bestem hvor mye volumet til en kule vokser hvis rdien øker fr 0 til 0, cm og fr 0 til 4 0,0 cm. Volumet til en kule med rdien r er gitt ved: V r. Ved å nvende tilvekstformelen for å bestemme en tilnærmet verdi for volumendringen: dv V r og derivere formelen for volumet v en kule med hensyn på r får vi: dr dv 4 ( ) 4 r r dr V 4r r 4 (0) 0, 5,7 cm V 4r r 4 (0) 0, 0, 57 cm Vi kunne eventuelt regne ut den ekskte endringen ved: 4 4 V V. V ( r r ) (0, 0 ) 6,9 cm 4 4 V V. V ( r r ) (0,0 0 ),58 cm Dette eksempelet bekrefter t jo mindre r blir, jo mer nøyktig blir svret fr tilvekstformelen. 7
Kpittel 6 Oppgver Kpittel 6 Oppgve 6. Deriver funksjonene. ) f ( ) 5 g ( ) 5 Oppgve 6. Deriver funksjonene. ) f ( ), f ( ),5 Oppgve 6. Deriver uttrykkene med hensyn til. ) c) Oppgve 6.4 Deriver funksjonene. ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) c) f ( ) ( 5 ) Oppgve 6.5 Deriver funksjonene ved hjelp v produktregelen. ) 4 f ( ) ( ) f ( ) ( )cos Oppgve 6.6 dy Bestem y ' når d 5 sin ) y 7 y 5 cos c) y cos d) y ( )sin e) y f) y g) y h) y i) y(5) j) m) y k) 4 y 5 n) y l) y ln o) y 00 ( 5 ) 4 cos y Oppgve 6.7 dy Bestem y d når ) sin y y cos 7
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Oppgve 6.8 Deriver funksjonene. ) Oppgve 6.9 5 f ( ) 4 5 f ( ) c) y ( ) 5 5 ) Bestem vekstfrten for funksjonen: f ( ) 4 i et punkt med. Bestem tngentlinjen til funksjonen: g( ) i et punkt med som ligger på kurven til funksjonen. Oppgve 6.0 ) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter til funksjonen: Bestem vendepunktet. Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter til funksjonen: Bestem vendepunktet. y y 6 4 Oppgve 6. Finn y når: ) y y c) y 5 5 f f d) Bruk formelen lim til å bestemme den deriverte v 0 Oppgve 6. Bestem eventuelle grenseverdier: f 64 ) lim lim c) lim d) 4 4 9 9 lim 9 Oppgve 6. ) Gitt funksjonen f ( ) e. Bestem lim f( ) Vis t f ( ) e og ( ) f e og lim f( ) c) Bestem eventuelle nullpunkter, ekstremlpunkter og vendepunkter. 74
Kpittel 6 Oppgve 6.4 Et kurvestykke f 0 4 er gitt. Punktet, f P ligger på kurven. ) Finn ligningen for tngenten ved dette punktet P. ) Denne tngenten skjærer -ksen ved punktet P. Finn koordintene til P. Oppgve 6.5 En funksjon y, 0,0 er gitt. ) Bestem eventuelle ekstremlpunkter på kurven. Bestem det punktet på kurven hvor vstnden mellom kurven og punktet (0, ) er minst mulig. Oppgve 6.6 mm En kuleformet snøbll smelter med en konstnt frt på og kuleformen beholdes min hele tiden. Hvor fort vtr rdien v snøbllen i det øyeblikket rdien er lik 6 mm? Hvor fort vtr overflten v snøbllen i det smme tidspunktet? Oppgve 6.7 Ligningen til en funksjon er gitt: f ( ) Bestem: ) Området hvor funksjonen vtr og øker Ekstremlverdier c) Eventuelle vendepunkter og konkviteten d) Skisser kurven. Oppgve 6.8 Ligningen til en funksjon er gitt: f ( ) 4 4 Bestem: ) Ekstremlverdier Området hvor funksjonen vokser og vtr c) Eventuelle vendepunkter og konkviteten d) Skisser grfen. 4 0 ; 5,5 75
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) Fsit Kpittel 6 6. ) 6 5 6. ) 0,,,5 7,5 6. ) c) 6.4 ) 6( ) 4 ( ) c) ( 5 )( 5) 6.5 ) 5 6 f ( ) cos ( )sin 4 cos sin 6.6 ) 5 5 sin c) sin cos d) sin ( ) cos e) f) 4 ( ) g) h) 99 i) 00( 5) ( ) j) 8 ( ) k) l) 5 4 4 ( 5 ) m) 6.7 ) 5 4 4 ( 5 ) cos sin y sin cos n) (ln ) o) cos sin cos sin y cos sin 6.8 4 ) f ( ) 5 4 f( ) 4 c) y 5( ) ( ) 6.9 4 ) f ( ) 5 8 og dermed er vekstfrt i : f ( ). Ligningen til tngenten i : f ( ) f ( ) f ( )( ) y f ( ) f ( )( ) y 4 y 5 f f ( ), ( ) 76
Kpittel 6 6.0 ) Topp- og bunnpunkt: (, 8) (, 4) og vendepunkt: (0, ) Topp- og bunnpunkt: (0, 4) (4, 8) og vendepunkt: (, ) 6. 5 ) y 5 y 4 y y 5 5 6 4 5 5 ( 5) c) y y ( 5) 5 ( 5 ) ( 5 ) ( 5) d) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ' lim lim lim 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) ( )( ) 6. Bemerk t mn kn også bruke L Hopitls regel. 4 4 6 64 0 4 0 4 ) lim lim lim 4 6 6 6 6 48 4 4 4 0 lim lim lim lim 0 0 c) lim lim lim 9 9 0 9 9 6 lim ( ) d)lim lim ( ) Dermed grenseverdi eksisterer ikke 6. ) 0, (ingen grenseverdi) Nullpunkt (0, 0) ekstremlpunkter (, ), vendepunkter (0, 0) (, ) og e e e f f ' y y 6.4 ) ) (, ) e e y 0 0, (, 0) (, ) e og http://home.hib.no/nstte/hs/forkurs/lhopitlsregel.pdf 77
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 6.5 dy ) y ; 0,0 ; y 0 0; dette gir d y hr bsolutt minimum ved. Kontroll vh fortegnskjem. vstnd S ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ds d 0 0 4 4 4 4 4 0 0 0 8 4 Avstnden er minst ved 8 6.6 O t do dt 6.7 ) 4 r r6 mm do dt 8 r 8 6 mm 4 dr dt mm 6 min mm min f f ( ) 4 4 0 ; 5, 5, ( ) 4 0 0, 4 ( ) 0 0, vh fortegnsskjem finner vi t f vokser, 5 og vtr 5, f hr rel. min ved. f ( ) 4 0 ( ) 0 0,, ved fortegnsskjem finner vi krumning oppover 5, 0, krumning nedover 0,, vendepunkt : (0, 0) (, 6) 6.8 ( 4) ( ) 0 f ( ) f ( ) 0, 0 0, 0 4 ( 4) ( 4) f vokser, og, 0 vtr 0, og, rel. mks ved 0 ( 4) ( 0) 0 (( 4)( )) 0 4 ( ) 0, 0 4 0 4 f får ingen reelle ( 4) ( 4) verdier, dermed ingen vendepunkter. Krumning oppover, og, krumning nedover,. 78
Kpittel 7 Kpittel 7 Integrsjon Integrsjonskonstnt f ( ) d F( ) C, og det gjelder: F( ) f ( ) Integrnd Anti-deriverte til f ( ) 7. Det bestemte integrlet som rel Arelet vgrenset v grfen til en funksjon og -ksen i et bestemt intervll [, b] kn beregnes ved hjelp v et bestemt integrl: f ( ) d. b RIEMANN-SUM Det bestemte integrlet kn skrives som grensen til en sum. Riemnn-sum hndler om å summere uendelig mnge uendelig små reler. Vi skl prøve å benytte summen til relene til mnge rektngler som en god tilnærming for relet under grfen til en begrenset kontinuerlig integrerbr funksjon. Integrsjonsintervllet [, b] deles i n deler:,,,,,, 0, b n, n der 0 n Delintervllene hr ikke nødvendigvis smme lengder. i i i, i,, n Vi kn sette opp øvre og nedre Riemnn-sum henholdsvis: n i * i S S Sup f ( ) * der ( i ) i Sup f er supremum til f( ) i delintervllet n i * i S S Inf f ( ) * der ( i ) i Inf f er infimum til f( ) i delintervllet i, i. i, i. n n i n n * * Sup f i i ( i ) lim ( ) lim n i Inf f Når denne grenseverdien eksisterer, skriver vi Riemnn-summen som bestemt integrl: i n S lim f ( ) f ( ) d F( ) F( F( ) i0 n i b b 79
Forkurs i mtemtikk UiB (Amir.Hshemi@mth.uib.no) 7. Det bestemte integrlet Som vist i forrige vsnitt, kn relet vgrenset v kurven til funksjonen y f ( ) og - ksen i intervllet b beregnes ved hjelp v det bestemte integrlet: Eksempel 7. b A f ( ) d F ( ) F( F( ) Bestem relet vgrenset v grfen til y, -ksen i intervllet [0,]. 0 8 0 0 d 7. Det ubestemte integrlet b Antideriverte til f ( ) Integrsjonskonstnt f ( ) d F( ) C og d gjelder: F( ) f ( ) Integrnd 7.4 Integrsjonsformler n n d C n, n cos d sin C d ln C sin d cos C e d e C tn d ln cos C d C d C ln tn cos 7.5 Regneregler for bestemt og ubestemt integrl Noen regler for bestemt integrl: b b b f ( ) d F( ) F( F( ) f ( ) d 0 f ( ) d f ( ) d b c c b f ( ) d f ( ) d f ( ) d der bc b Noen regler for ubestemt integrl: f ( ) d F( ) C Lineritetsegenskpen: k f ( ) d k f ( ) d der k er konstnt [ ( ) Bg( )] d A f ( ) d B g( Af ) d Uegentlig integrl: t f ( ) d lim f ( ) d (se oppgve 7.6 t Hvis grensen eksisterer, konvergerer integrlet, ellers er det divergent 80