En økonometrisk analyse an påstanden um at subsidierte rutebiloelokader
|
|
- Karina Dahlen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 IO 70/18 Oslo, 30. novemberi970 KOSTNADSEFFEKTER AV SUBSIDIERING I NORSK RUTEBILNÆRING En økonometrisk nlyse n påstnden um t subsidierte rutebiloelokder er mindre kostndsbevisste enn ikke-subsidierte. Am Exm. oecon. Finn Lndsverk INNHOLD l. Innledning...,...,...^ Kort metudbeokriveio Produktbegrep og produktfunksjon...^...~..,...~ Substitusjon eller fst fktorforhold?...~..~.,^..^~..`.^^~^^^ 5 5. Vurderingv produksjonsmålene...^...,...^ Übuerv'uoomterilet...~..~..~~~...~ Def' ' 'ooer og drofting v fktorpriser...,...~...~ ono»ent rer til kostodbeârepet..._..., Anlysemodeller..,,...~,~...,,~.,..,.,.., Stt ioti k nlyoetekuikk ~...~~, Beregningsresulttor...,...~~...~...,...^...~ Tolkning v reoultt eoe...~.,.,.~..~...~...~~.. 26 B i l 8 ; Litterturliste...~.~~.~~...,...,..,..,,,, 33 Side Dette rbeid er opprinnelig skrevet oom spesiloppgve ved det sosiløkonomiske studium. Forftteren b r stått fritt i vlg v opplegg og undersøkelsesmetoder. Arbeidet gjengisher en del forkortet u8 med en d el endringer som forftteren hr ønsket foret. SvuoDuuktr og konklu ~'ooer står for f f t re -uio. Ikke for offeut//ggjmrin&. Dette nott er et urbicixokuruut og kn siteres eller rfonuren bre etter spesiell d//4'/or i hvort enkctt Cilfe//c. Synspunkter og konklusjoner kn ikke uten videre ts som uttrykk for
2 2 I. INNLEDNING Subsidiene til smferdselssektoren hr - ifølge Smferdselskommisjonen v "sitt utspring i sttens dministrtive behov for forbindelseslinjer, postle behov for regelmessige og hurtige forbindelser, militære hensyn og i de smfunnsmessige behov i sin lminnelighet for utbygging og opprettholdelse v gode kommuniksjoner for fremme v næringslivet og sosilt smkvem". Jeg vil t for meg rutebilnæringen, som i 1967 mottok vel 31 mill.kr. i subsidier fordelt på 168 selskp, hvorv c. 40 prosent gikk til de tre nordligste fylkene. m p grunn v den sterke vekst og det store omfng subsidiene hr fått, er det grunn til å stille spørsmål om eventuelle negtive effekter med hensyn til effektivitet v virkemiddelet subsidiering. Er det slik t subsidiering fører til nedstt kostndsbevissthet og t et viktig incitment til rsjonell drift gorsvinner? Bruker de subsidierte mindre effektive produksjonsfktorkombinsjoner? Er de ikke like flinke til å utnytte eventuelle substitusjonsmuligheter som de ikke-subsidierte rutebilselskpene? Dette er spørsmål som folk både i og utenfor rutebilnæringen er oppttt v, og problemet er behndlet tidligere i en undersøkelse v Stein Blindheim (Se 01 i litterturlisten). Hn studerer en rekke forholdstll f.eks. lønnskostnder, reprsjonskostnder osv. pr. produsert enhet og smmenligner disse med dem hn finner i ikke-subsidierte selskp. Resulttene i hns undersøkelse gv ikke tilstrekkelig grunnlg for å trekke konklusjoner om effektivitet, og jeg vil i denne undersøkelsen ngripe problemet på en nnen mte. Jeg vil t utgngspunkt i trdisjonell produksjonsteori og ved økonometriske metoder teste en hypotese om det er nivåforskjell på de vrible totlkostndene mellom subsidierte og ikke-subsidierte rutebilselskper. Det er bre de direkte subsidiene slik de gis i form v 1) tilskudd til drift og 2) tilskudd til innkjøp v vognmteriell jeg vil t hensyn til i nlysen, og jeg vil teste om disse virker inn på kostndsnivået. Av dette følger t denne undersøkelsen ikke hr som målsetting å gi noen totlvurdering v subsidiene i likhet med Blindheim's undersøkelse. Jeg vil bre behndle et enkelt spekt i form v en nlyse v totikostndsnivået i subsidierte selskper smmenlignet med de ikkesubsidierte. Mn kn imidlertid ikke trekke konklusjoner om effektivitetsvirkninger ut fr en smmenligning v de vrible totlkostnder pr. produsert Se Stein Blindheim 5:1 s. 33.
3 3 enhet mellom to ktegorier v selskper, uten å h klrlgt hvilke fktorer som kn være årsk til en signifiknt forskjell. En slik forskjell vil også h sin årsk i fktorer som selskpene ikke hr muligheter til å forndre. De viktigste er følgende: 1) Høyere pris på produksjonsfktorene på grunn v geogrfiske årsker. F.eks. vil prisen på drivstoff vre vhengig v den geogrfiske loklisering til et selskp. 2) Dårligere veistndrd fører til kortere teknisk levetid på bussene. Dette slår ut i større vedlikeholdskostnder og høyere pris på produksjonsfktoren relkpitl ved t vognmteriellet må skiftes ut oftere. 3) Vnskeligere rutestruktur, som f.eks. si lnge ruter t det er nødvendig med overntting for bilmnnskp og dermed utgifter til kost og losji, som vil øke prisen på produksjonsfktoren rbeid. 4) Dårligere trfikkgrunnlg. Selskp som hovedskelig trfikkerer byruter vil kunne benytte busser med reltivt lngt flere ståplsser enn selskp som hr sitt trfikkgrunnlg i lnddistriktene. De oppnår derved en større trnsportkpsitet uten t dette slår tilsvrende ut i prisen pr. buss. Videre hr slike selskp et større tilpsningsområde for den mest lønnsomme kombinsjon v produksjonsfktorene. For t disse fktorene ikke skl skpe en systemtisk forskjell mellom de grupper v selskp jeg vil smmenligne, er det viktig å finne de priser hvert enkelt selskp må betle for produksjonsfktorene. Videre vil jeg holde utenfor selskp som bre driver nærtrfikk i byen og som derfor hr et lngt høyere ståplss/sitteplss-forhold enn lndtrfikkselskpene. For t mn skl få skiltut eventuelle effektivitetsforskjeller, er det v vgjørende betydning t mn hr til disposisjon en nlysemetode som tr hensyn til de nevnte fktorer, og t mn får god geogrfisk spredning i observsjonene innen hver v gruppene. I den grd dette lykkes kn mn trekke konklusjoner om effektivitetsvirkninger v virkemiddelet subsidiering. 2. KORT METODEBESKRIVELSE Den nlysemetoden jeg vil benytte er utformet v Mrc Nerlove ( L41. Sistnevnte brukte den på rutebilnæringen med godt resultt. litterturlisten) og senere brukt v blnt ndre Vidr Ringstd L6j og Terje Ruud Metoden går i korte trekk ut på t mn spesifiserer en produktfunksjon og definerer et produktbegrep som er slik t selskpene i næringen betrkter
4 4 produktmengden som uten:er gitt. Videre må mti )(Untie forutsette t prisene på produksjonsfktorene er eksogene. Mn ntt t selskpenes tilpsningptype er kostminimlisering under gitt produktmengde, og mn får den substitumle kostndsfunksjonn på redusert formhr gode estimeringsegenskper. Kostndsfunksjonens utonomigrd og dermed dens estimerbrhet er imidlertid helt vhengig v produktfunksjonen og relismen v de forutsetninger mn gjor om dens form. Jeg vil derfor undersøke hvilken type v produktfunksjoner selskpene i rutebilnæringen følger i sin tilpsning v produksjonsfktorene, og jeg vil diskutere dette med utgngspunkt i de to produksjonsmål som det blir innhentet tlloppgver for i primærsttistikken for rutebilnæringen. 3. PRODUKTBEGREP OG PRODUKTFUNKSJON ved hjelp v: primrsttistikken blir persontrnsportselskpenes produktmengde målt 1) vognkm 2) plsskm (tilbudte) En definisjon v næringens produktbegrep kn bseres på en nlyse v disse to produksjonsmålene, som kn oppfttes som "volumstørrelser", som viser mengden" v trnsportytelser. I en slik nlyse er det hensiktsmessig innføre folgende symboler: (j) X : vognkm kjørt med buss nr. i i selskp j ). * nt. plsser (sittepl. + stpl.) i buss nr. i i selskp j X (j) : plsskm kjørt med buss nr. i i selskp 2i i1=...,k, j.17. 1,... 4 Som en ser er plsskm med buss nr. X2i (j) (i) n X (i) l i For hele selskpet: Vognkm: X - E X. 1 i 11 (i) Plsskm: X - n. ( i) X,. (j) 2 _Li Plsskm består m..o. v et erodukt v vo nkm o ntll lsser r. buss. (Jeg vil inntil videre sløyfe toppskriften j, idet jeg hele tiden bruker et selskp som telleenhet.) 31 Om substitusjon se Frisch Clj kp. 10, b og d. mit Om redusert form se f.eks. Mlinvud 12J ch. 18 Ç 2.
5 5 Antll vognkm i et selskp vil vriere med innstsen v produksjonsfktorene hvorv jeg vil spesifisere de tre viktigste gruppene: virbeid mlt i dgsverk v 2 : drivstoff mlt i liter v3 : relkpitl (vognprk) målt i n&11 vogner Antll plsser pr. buss, n., vil derimot være en konstnt som blir bestemt ved investeringsbesluttinger i selskpet. Dermed står mn i reliteten igjen med ett produktbegrep hvis størrelse vil vriere med innstsen v produksjonsfktorene. Og jeg vil nt t ntll vognkm i et selskp vil være en funksjon v de tre spesifiserte grupper v produksjonsfktorer og et stokstisk ikke-observerbrt restledd. (1) X1 r. f(vl' v 2 ' v3' u) Funksjonssymbolet f uttrykker den mtemtiske smmenheng mellom produktmengde og produksjonsfktormengdene, og jeg vil nt t den er lik for lle persontrnsportselskpene. Produktfunksjonen bygger på fem tekniske forutsetninger om produksjons- K prosessen (I) Envreproduksjon (2) Momentn produksjon (3) Teknisk mlbrhet v både produktmengde og produksjonsfktormengder (4) Konstnt teknikk (5) Kontinuitetsfktorer Forutsetning (I) er oppfylt ved t jeg ser på en produkttype, vognkm, og produksjonen kn med en rimelig tilnærmelse nts d være momentn. Forutsetning (3) er oppfylt idet også produksjonsfktorene mles i tekniske enheter. Anlyseperioden er ett år og i en så kort periode er det rimelig nt t funksjonsformen f er konstnt. Som en rimelig tilnærmelse vil jeg nt t de prtielt deriverte v 1. orden eksisterer og er kontinuerlige funksjoner v vl' v2 og v3. 4. SUBSTITUSJON ELLER FAST FAKTORFORHOLD? Det neste som m undersøkes er hv slgs type v produktfunksjon selskpene står overfor. Er det en produktfunksjon med substitusjonsmuligheter, spesielt mellomv og v3? l Eller er det produktfunksjon med fst fktorforhold? Se R. Frisch ill s. 53.
6 6 Hvis v 1 v vil vi istedet for (1) få: (1) Xi = f (v2, v 3, u) og hiis også V 2 t f3v3 tf CO X 1 t f (v 3' u) For å få en indiksjon på om det er fst fktorforhold eller substitusjonsmuligheter mellom rbeid og kpitl, hr jeg forettt en empirisk undersøkelse. Jeg plottet inn observsjoner v produktmengden i et digrm med ln vl og in v 3 lngs ksene. Med nturlige logritmer som målestokk får en frem de prosentvise forskjeller i innstsen v rbeid og kpitl mellom observsjonene. Ved å studere spredningen i observsjonene kn mn få et inntrykk v om selskpene hr substitusjonsmuligheter, eller om det er fst fktorforhold mellom rbeid og kpitl målt ved dgsverk og ntll busser. Jeg plukket ut l4 observsjoner med minst mulig spredning i størrelsen på produktmengden. Resulttene er vist i Digrm 1 på neste side. Tllene ngitt i prentes er størrelsesindiktorer på produktmengden. Spredningen i observsjonene er gnske stor, og ved "velvillig tolkning" v isokvntenes forløp kn mn i det minste si t det er mulig t isokvnt enes krumningsegenskper er riktige. At tre v observsjonene vviker fr det som synes å vre det normle mønsteret, kn komme v spesielle forhold hos vedkommende selskp. F. eks. vil trfikkuhell med vognskder kunne kreve større innsts v begge produksjonsfktorer for å oppnå smme produktmengde. Det er imidlertid for få observsjoner til trekke noen sterk konklusjon om krumningsegenskper. Jeg mener t spredningen er så stor t det er rimelig d tolke resulttet dit hen t persontrnsportselskpene i rutebilnæringen hr substitusjonsmuligheter mellom rbeidskrft og kpitl, mlt ved henholdsvis dgsverk og ntll vogner. En hypotese om fst fktorforhold mellom forbruk v drivstoff og ntll busser, må en med god grunn kunne forkste. Forbruket v driftoff pr. vognkm vil være vhengig v egenskper ved den enkelte buss som f.eks. motorstyrke, tyngde og kilometerstnd. Videre vil det i en viss grd vre vhengig v topogrfiske forhold og snnsynligvis også v veistndrd. Som konklusjon vil jeg._ foputsette t selskpene hr en produktfunksjon Ill.substituliheter. Jeg vil senere spesifisere to slike produktfunksjoner som jeg vil bruke som grunnlg for nlysen.
7 7 Fktörkombinsjoner, rbeid Or, og kpitl n v 3,9 3,8, x ( 18) 3,7 I ic(17)\ 3,6 1 (18) 3,5.4 x (17 ) x (19 ) 3,4 1 3,0 1 2,9 i(16) 2, 8 I A 27 4 x(14 x(18) 2,6 2,5 2,4.1, x 6. 7 ) x(14 ) k 2,3 2,2 I 2,1. 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 ln vi Digrm i
8 8 5. VURDERING AV PRODUKSJONSMALENE En slik vurdering kn forets ut fr to kriterier: 1) Hv ønsker vi å måle? 2) Hvilke krv stiller nlysemetoden til produktbegrepet? Det vi ønsker å mle er "mengden" v de trnsportytelser persontrns - portselskpene tilbyr. (Hv som fktisk blir benyttet v trnsportbrukerne er uten interesse i denne smmenheng.) Svret på spørsmål nr. 2 er gitt under metodebeskrivelsen i kp. 2, og gr ut på t selskpene må betrkte produktmengden som en eksogen vribel. Dette betyr t mn må kunne forutsette t selskpene ikke kn, eller ikke vil, påvirke produktmengden i observsjonsperioden, slik t de tr den som gitt under tilpsningen v produksjonsfktorene. Vognkm vil ikke tilfredsstille det første krvet, fordi dette produksjonsmålet ikke tr hensyn til størrelsen på bussene. En buss på 20 pl. vil gi like store trnsportytelser som en buss på 40 pl. Hvis mn derimot benytter plsskm som er lik vognkm multiplisert opp med en konstnt fktor, ntll plsser pr. buss, får mn ttt hensyn til størrelsesdimensjonen. Anlysens målsetting er å vsløre eventuelle forskjeller på kostndsnivået mellom to ktegorier v selskper. Og i det spesiltilfellet hvor den gjennomsnittlige vognstørrelse, målt ved ntll plsser pr. buss, er like stor i lle selskper, vil vognkm være et like godt produksjonsmål som plsskm etter det første krvet. Denne forutsetningen er imidlertid ikke oppfylt i og med t det er en tendens til mindre gjennomsnittlig vognstørrelse i Nord- og Vestlndsfylkene. Vognkm hr dermed en 'målefeil" og konsekvensene v denne "målefeilen" vhenger v størrelsen på den systemtiske forskjell mellom subsidierte og ikke-subsidierte selskper m.h.t. gjennomsnittlig vognstørrelse. I 1967 ble c. 65 prosent v subsidiene fordelt til Nord- og Vestlndsfylkene slik t mulighetene for en systemtisk forskjell må nts å være til stede i gnske sterk grd. Den vil imidlertid bli redusert ved t jeg ikke tr med selskp som bre driver nærtrfikk i byene og som v den grunn hr stor gjennomsnittlig vognstørrelse. Krv nr. 2 som impliserer t selskpene må oppftte produktmengden som en eksogen vribel, mener jeg er oppfylt ved bruk v vognkm som produksjonsmål. Begrunnelsen for denne forutsetning er den strenge offentlige regulering v den ervervsmessige trnsportvirksomhet til lnds. Denne regulering er lovfestet i Smferdselsloven og Smferdselsdeprtementets forskrifter for gjennomføring v loven. &Je som utfører rutebiltrfikk må h konsesjon fr myndighetene som
9 9 bestemmer rutenes lengde og frekvens ut fr en vurdering v trnsportbehovet og trnsportsikkerheten. Reguleringens målsetting er presisert i Odelstingsproposisjon nr. 59(1962/63) s. 174 "Hv ruteopplegget og trfikkvviklinger ngår vil myndighetenes oppgve bl.. vre, gjennom bestemmelsene om rutetider, stoppesteder, gjennomkjøringslinje, rutefrekvenser og nnet, d søke tilpsse de enkelte ruter til hverndre slik t mn får et velordnet rutenett som trfikkntene er tjent med. Mn vil dessuten kunne hindre unødig dobbelt trfikkering rutestrekninger og skdevoldende konkurrnse mellom trnsportutøverne". Terje Ruud hr berørt spørsmålet om ikke selskpet "er en slgs kvntumstilpsser i det det søker om konsesjon". ii Med dette menes t selskpet kn vre i stnd til å påvirke omfnget v sine konsesjonsrettigheter ved å foreslå nye ruter, endrede rutefrekvenser m.v. Hn mener imidlertid t dette momentet hr liten betydning idet også prisen på trnsporttjenestene fikseres v det offentlige. Det ndre produksjonsmålet, plsskm, er en endogen vribel i og med t ntll plsser pr. buss blir bestemt ved investeringsbeslutninger, og det er dermed et resultt v tilpsningstferd hos hvert enkelt selskp. Dette produksionsmlet oppfyller med ndre ord ikke krv nr. 2 til produksjonsbegrepet. Jeg må konkludere med t ingen v de to produksjonsmålene er ideelle ut fr de oppstilte kriterier. I det ene tilfellet vil jeg få "målefeil" i observsjonsmterilet med mulighet for systemtisk forskjell mellom de grupper jeg ønsker smmenligne, og i det ndre tilfellet vil jeg få en endogen størrelse som høyresidevribel i regresjonsligningen. Jeg vil likevel nt t fren for feilktige konklusjoner ved bruk v vognkm ikke er større enn t det kn forsvres benytte dette produksjonsmålet i nlysen. Som lterntiv vil jeg også bruke plsskm. Begrunnelsen for dette er en vurdering v etterspørselssiden. Jeg tror t det er rimelig nt t i løpet v en tidsperiode på et år vil totletterspørselen og dens vrisjon over døgnet være reltivt konstnt. Videre tror jeg det er godt grunnlg for å forutsette t selskpene tilpsser seg en etterspørsel som de ikke hr mulighet til å påvirke i og med t myndighetene bestemmer billettpris, ntll ruter og rutefrekvens. Hvis mn kn forutsette t selskpene stort sett hr forettt sin tilpsning v vognprken ved begynnelsen v observsjonsperioden og dermed betrkter produktmengden som gitt, vil mn neppe gjøre noen stor feil ved å nvende plsskm som produksjonsmål til tross for t den er en endogen størrelse. En viss tilpsning vil mn h idet levetiden til en buss er c. 7 ir, og i løpet v en så lng periode vil etter - sporselen ikke være konstnt. En buss som hdde optiml størrelse d den ble m Terje Ruud (41 side 8.
10 10 innkjøpt hr snnsynligvis ikke optiml størrelse når den skiftes ut. Det Vil derfor vre en treghet i tilpsningen v vognprken til en optiml størrelse så en viss tilpsning i nlyseperioden er snnsynlig. Uten å h 5 prioru informsjon kn mn vnskelig vurdere relismen i forutsetningen, men jeg tror t den er såvidt dristig t resulttene ved bruk v plsskm bre kn brukes som mulig støtte for konklusjoner trukket på grunnlg v vognkm som produksjonsmål. 6. OBSERVASJONSMATERIALET Anlysen er bsert på tverrsnittsdt, og observsjonsmterilet er ttt fr primærsttistikken for rutebiler i Tellingen er totl og omftter c selskper som utfører både persontrnsport og godstrnsport. Målsettingen er nlysere persontrnsportselskpene og jeg vil utelukke selskp hvor godstrnsporten utgjør mer enn 20 prosent v det smlede trnsportrbeid mlt med vognkm. Grensen på 20 prosent er stt ut fr behovet for observsjoner og geogrfisk spredning, som er v vgjørende betydning for nlysemetoden. Jeg må smtidig forutsette t inntil 20 prosent godsrbeid ikke skper noen systemtisk forskjell mellom subsidierte og ikke-subsidierte m.h.t. kostndsnivået. Jeg kn ikke se t det er noen grunn til en systemtisk forskjell v betydning, men jeg hr ingen undersøkelse legge til grunn for denne forutsetning. Videre vil jeg utelukke selskper med bre skolekjøring fordi disse neppe kn utnytte vognprk og sjåfører effektivt i smme grd som ndre, fordi de blir bundet i de perioder på dger d etterspørselen er størst. m Dette medfører t selskpet må h en større vognprk og flere nstte enn det er behov for til den ordinære trfikk. Jeg vil utelukke selskp etter følgende kriterier: ) Selskp med mer enn 20 prosent godsrbeid mlt ved kjørte vognkm. b) Selskp med bre skolebrnkj øring. e) vi melkekjøring. d) vi ft bytrfikk. s) Selskp som hr gitt mngelfulle etter selvmotsigende opplysninger. Disse utelukkingskriteriene forte til t jeg "stod igjen" med 110 observsjoner hvorv 47 hdde motttt subsidier i nlyseperioden. Den geogrfiske spredning er meget god, og jeg fikk observsjoner v både subsidierte og x S. Blindheim
11 11 ikke-subsidierte selskper innen hvert enkelt fylke, men den reltive hyppighet v subsidierte er størst i nord- og vestlndsfylkene. Det er viktig å h observsjoner v begge ktegorier i hvert enkelt fylke, så en får ttt bort effekten v t noen fylker hr dårligere trfikkgrunnlg, dårligere veistndrd osv. som kn være årsk til en systemtisk forskjell i trfikkvilkårene mellom de to grupper. Siden jeg også benytter plsskm som produksjonsmål, må jeg bruke en "tommelfingerregel" for den del v trnsportrbeidet som utføres med godsvogner. Jeg hr d vlgt "å gjøre godsvogner om til busser" ved å fstsette t en godsvogn hr like mnge plsser som den gjennomsnittlige størrelse på bussene. I de tilfeller hvor forskjellen p størrelsen mellom et selskps godsvogner og busser hr vært stor,hr jeg forettt en skjønnsmessig tilpsning v dette prinsippet. 7. DEFINISJONER OG DRØFTING AV FAKTORPRISER I nlysen trengs følgende input-dt for hvert enkelt selskp: Produksjon i: I) vognkm, 2) plsskm Totlkostnd i kroner Fktorpriser pr. fktormengdeenhet Def.vende Vognkm (plsskm) på konsesjonerte ruter pluss vognkm (plsskm) utenfor rute for person- og inntil 20 prosent godstrfikk. Kjøring med leide vogner er inkludert. Nå kn det innvendes t kjøring utenfor rute ikke er eksogen, men denne del v produktmengden er ikke særlig stor. Dessuten utgjør turbilkjøring den største ndel, og denne virksomheten vr sterkt offentlig regulert. 22:Ljj5.22..tlLZE222.t: I) Utgifter til produksjonsfktoren rbeid: Lønn til dministrsjon, ekspedisjon, sjåfører, bilmnnskp, verksted og grsje smt sosile utgifter. 2) Utgifter til produksjonsfktoren drivstoff: Utgifter til bensin, dieselolje og smøreolje. 3) Utgifter til produksjonsfktoren relkpitl: Reprsjoner og vedlikehold, gummi, vskrivninger på vognprk og ndre relkpitlgjenstnder (bygninger og fste nlegg er ikke inkludert fordi disse
12 12 ikke kn tilpsses i en så kort periode), renter (her fores de renter som er påløpet i året. De rentekostnder som oppgis i primærsttistikken omftter lle rentekostnder og ikke bre de som hr tilknytning til vognprken), leie v vogn og ssurnse. 2Is Estti_Yltrit hvilken grd oppftter selskpene fktorprisene som gitte størrelser som de ikke kn påvirke? Lønnen kn mn sikkert gå ut ifr t selskpene betrkter som gitt fordi sysselsettingen i næringen bre utgjør en liten del v den totle sysselsetting. 1 hvilken grd prisen på drivstoff vhenger v forbruket til det enkelte selskp er svært vnskelig å få rede p. Jeg hr henvendt meg både til rutebilselskper og oljeselskper og hr fått en del generelle opplysninger. Rutebilselskpene kn oppnå til dels betydelige kvntumsrbtter, men det er ikke mulig å finne frem til noen funksjonssmmenheng mellom pris og kvntum. Rbtten vhenger også v hvordn leveringene psser inn i oljeselskpenes trnsportnett og hvilket oljeselskp som er leverndør. Hensynet til lokle forhndlere blir også nevnt som en medvirkende fktor. Den blir gitt i forskjellige former og ikke bre som vslg i pris pr. 1; men f.eks. ved t oljeselskpene investerer i fste nlegg hos rutebilselskpene. Ved hjelp v opplysninger fr brnsjehold hr jeg dnnet meg et tilnærmet bilde v den direkte rbtt som gis. Disse opplysningene tyder på t et selskp som bruker mindre enn liter pr. år betler listepris. Selskper som bruker liter eller mer får oppstt pumper og oppnår forhndlerpris. Med forhndlerpris menes den nullsonepris forhndlerne betler til oljeselskpet. I dette tilfellet blir omsetningsvgiften inkludert i prisen og innkrevd fr oljeselskpet. Nullsonepris er definert ved den pris som Prisdirektortet hr fststt skl gjelde i det gmle byområdet i Oslo. Selskper som bruker mer enn liter pr. år oppnår også rbtt på forhndlerpris etter en glideskl som foruten mengde vhenger v en rekke ndre fktorer. Denne rbtten blir bestemt ved forhndlinger mellom det enkelte rutebilselskp og oljeselskp, dessverre er det ikke mulig å få oppgitt hvor stor den er, men på brnsjehold betegnes 2 ore pr. liter for dieselolje å were et godt tips. Selskper som befinner seg tett opp til disse to kvntumsgrensene hr d muligheter til å påvirke prisen. mitt observsjonsmterile er det c. 8 prosent som er i en slik posisjon, så noen stor betydning hr ikke dette forholdet. Jeg vil derfor forutsette t hvert enkelt selskp oppftter drivstoffprisen som en eksogen vribel.
13 13 Det er også spredning i drivstoffprisen på grunn v geogrfisk betingede frkttlegg. Dette tillegget er begrenset oppover til 4 ore pr. liter på forhndlerpris minus omsetningsvgift. For større frkttillegg hr Prisdirektortet en nedskrivningsordning slik t mksimlt tillegg som brukerne m betle er 4 ore pr. liter. Produksjonsfktoren relkpitl består hovedskelig v vognprken, og også her er det visse muligheter for selskpene til å påvirke prisen. Men å finne noen funksjonssmmenheng mellom pris og mengde er like vnskelig her som for drivstoff. Jeg må bre forutsette t som en brukbr tilnærmelse oppftter hvert enkelt selskp prisen på relkpitl som en eksogen vribel. 12 FktopriL2fLisloner: Prisen på rbeid, ql, defineres som utgift til produksjonsfktoren rbeid dividert med totlt ntll dgsverk. Jeg ser bort fr t smmensetningen v forskjellig slgs rbeidskrft kn bety noe for den utregnede pris. Prisen på drivstoff, q2 Jeg benytter bre priser på dieselolje fordi en smmenveining v pris på diesel og pris på bensin vil vre vnskelig å få til på en god mte, d det er tvilsomt om det finnes noen særlig god ekvivlent målefktor. I 1967 vr 92,7 prosent v rutebilselskpenes vognprk dieseldrevne (Bil- og veisttistikk 1968), slik t feilen ved se bort ifr prisforskjellen mellom bensin og diesel ikke er v betydning. Jeg vil benytte følgende nullsonepriser eksklusiv omsetningsvgift: Selskp med mindre enn liter pr. år: 31,5 ore pr. liter med eller mellom og liter pr. år: 22,5 ore pr. 1 med mer enn liter pr. år: 20,5 ore pr. liter Dette er priser fr 1. hlvår 1967 (som er et år som kjennetegnes med stor prisøkning siste hlvår på grunn v Suez-krigen). Prisen på bruk v ketpitl, q3, er meget vnskelig fstlegge på en meningsfull måte. Ut fr den tilgjengelige sttistikk hr Terje Ruud foresltt en mulig metode som jeg vil benytte. Metoden gr ut på t mn oppftter et motorkjøretøy som kpitlenhet uvhengig v størrelsen, og t mn så beregner en gjennomsnittlig verdi pr. buss for hvert enkelt selskp. Denne beregnes på grunnlg v vognprkens innkjøpsverdi, og en ser d bort ifr problemer som oppstår ved summering v beløp med forskjellig prisbsis. Jeg synes det er rimelig tro t den pris selskpene tilpsser seg er den de fktisk betler. For selskp som
14 11+ mottr subsidier til innkjøp v vognmteriell, er det innkjøpspris minus subsidier som er den relevnte pris. Innkjøpsverdien reduseres med en fktor som skl dekke den såklte klkulerte vskrivning som skl tilsvre verireduksjon på grunn v fysisk slitsje. Denne reduksjonsfktoren er vhengig v vognprkens gjennomsnittlige lder og er beregnet på grunnlg v forutsetninger om årlig utkjørt distnde pr. år, vedlikehold m.v. En tbell med reduksjonsfktorer er utrbeidet v Norges Rutebileieres Forbund (N.R.F.). Det er klrt t en felles reduksjonstbell for lle vogner betyr en svært "grov" måling v prisen på bruk v kpitl, men jeg vil nt t den er en brukbr tilnærmelse. N.R.F. hr nå utrbeidet en betydelig mer "rffinert" metode for beregning v klkultorisk vskrivning, der de tr hensyn til en rekke kjennetegn ved den enkelte vogn. Denne metoden hr jeg imidlertid ikke benyttet meg v fordi regnerbeidet ville blitt uforholdsmessig stort. Prisindeks for busser Det er viktig å kunne smmenligne selskpenes priser på relkpitl, og for t det skl være mulig smmenligne to selskper med forskjellig gjennomsnittslder på vognprken er det nødvendig å justere kpitlprisen opp ti.t en felles prisbsis. På grunn v t det ikke foreligger noen prisindeks for busser, hr jeg beregnet en indeksserie for buss-chssiser for perioden med bsisår i Jeg forutsetter t prisutviklingen på busschssiser er en tilfredsstillende indiktor for prisutviklingen på busser. Vlget v bsis cir er bestemt ut fr mulighetene for å finne vekter for smmen veining v priser på ulike bilmerker og størrelser. Vektene er beregnet ut ifr opplysninger i Bil- og Veisttistikk 1966 og består v vognprkens fordeling mellom to bilmerker som til smmen hr 67 prosent v bussprken i 1965, smt to typiske størrelsesklsser (målt ved ntll plsser) som det er mulig å få prisdt for i hele perioden. Prisene hr jeg fått oppgitt i Opplysningsrådet for biltrfikken. Indeksen hr selvsgt de smme svkheter som de fleste ndre prisindekser i og med t jeg ikke får ttt hensyn til tekniske forndringer på bussene. Den ville snnsynligvis blitt bedre med et bsisår mer midt i perioden, men jeg hr ikke funnet dekvte vekter for tidligere år enn Et lterntiv er importprisindeksen for motorkjøretøyer hvor også personbiler inngår. Men på grunn v t vi hr progressive vgiftsstser, smt t det ikke er usnnsynlig t personbilene hr htt en litt nnen prisutvikling, tror jeg t den beregnede indeks gir et riktigere bilde v prisutviklingen.
15 15 Prisindeks for buss-chssiser : t Prisen på bruk v relkpitl, q 3, defineres som: q3 e P3, 3 = 41- p 6 h r V ntll vogner i selskpet vskrivninger på vognprk m.v. i 1967 (unnttt bygninger og fst nlegg) p vognprkens innkjøpspris frtrukket offentlige tilskudd o fktor for verdireduksjon r r. rentests, stt konvensjonelt til 5 prosent pro nno I r. prisindeks for buss-chssiser Utslg i fktorprisene som skyldes geogrfisk loklisering, dårligere veistndrd og vnskeligere rutestruktur er ttt vre på i disse definisjonene. Spesielt er (11 og q2 godt dekket i og med t (11 er beregnet ut ifr de opplysninger selskpet gir om sine utgifter til produksjonsfktoren rbeid, og frkttilleggene tr vre på effekten v ugunstig loklisering på drivstoffprisen. Relkpitlprisen q.3 hr imidlertid svkheter på grunn v den tvilsomme posten vskrivninger (som jeg skl kommentere nærmere i neste kpittel). Det er imidlertid smme vskrivningsbeløp som er inkludert i kpitlkostndene og i kpitlprisen, så selv om ikke ci 3 er den "riktige" pris på grunn v "fei.1" i vskrivningene, så vil ikke det innbyrdes forhold mellom kostnder og pris på bruk v kpitl påvirkes. En felles reduksjonstbell er som nevnt en svkhet, men noen store konsekvenser for nlyseresulttet vil den neppe få i og med t begge ktegorier v selskp er representert i hvert fylke. Et selskp som på grunn v dårligere veistndrd får økte kpitlkostnder på grunn v reltivt høyere vedlikeholdsutgifrer og reprsjonsutgifter og derv kortere teknisk levetid på den enkelte buss, vil også få en høyere kpitlpris på grunn v lvere gjennomsnittlig lder på vognprken som fører til en lvere verdireduksjon ut fr den felles reduksjonstbell. Et selskp med kortere teknisk levetid på bussene, vil ved t de må skiftes ut oftere, oppnå den fordel t de oftere kn korrigere vognprkens størrelse til den optimle. I og med t den
16 16 gjennomsnittlige lder er nesten ett år lvere i de subsidierte selskper (6,3 år og 7,2 r)m, er ette en fordel som går i de subsidierte selskpers fvor. Noen stor betydning hr det imidlertid ikke, fordi den optimle størrelse på vognprken vil forndres svært lite i løpet v ett år. Reduksjonstbell: vedlikehold m.v. Kilde : Norges Rutebileieres Forbund. Vognprkens verdi i prosent v innkjøpsverdi Tbellen bygger på forutsetninger om kjørelengde (c km pr. år) KOMMENTARER TIL KOSTNADSBEGREPET Definisjoner og oppsplitting v kostndsbegrepet er bestemt ut fr de opplysninger primærsttistikken gir og hr en del svkheter, spesielt kpitl kostndskomponenten som jeg vil kommentere litt nærmere. Ifølge vnlige prinsipper defineres relkpitlen som et selskps beholdning v fste relobjekter som hr lengre levetid enn ett år. Hvis levetiden er ett år eller mindre,defineres relobjektene som vreinnsts. Ved klssifiseringen v de spesifiserte kpitlkostnder oppstår et problem ved plssering v bilgummi, hvis levetid vil være vhengig v årlig kjørelengde m.v. I smsvr med tidligere prksis vil jeg betrkte bilgummi som kpitl. H S. Blindheim bl s. 106.
17 17 Den største svkheten knytter seg til vskrivningene som ideelt sett skulle gi et bilde v den økonomisk vurderte slitsje på den fste relkpitl. Det er med ndre ord de klkulerte vskrivninger som inngår i kpitlkostnds - begrepet. De som oppgis i primærsttistikken er imidlertid bokførte vskrivfinger. Diskrepnsen vil være vhengig v vskrivningenet målsetting, vskrivningsregler ved sktteligningen og Ý konvens5one11 vskrivningsprksis som snnsynligvis vrierer fr selskp til selskp. De vnligste målsettingene for vskrivninger er følgende: I) At selskpet ski få dekket innkjøpsverdien ved eh lineær vskrivning i v historisk 2) At vskrivningene hvert år skl gi uttrykk for den fktiske bruk v relkpitlen vurdert til mrkedsverdi. 3) A kkumulere en så stor vskrivning t denne dekker innkjøpet v en ny vogn. Denne vskrivningen vil være vhengig v det enkelte selskps finnsieringspolitikk og finnsieringsmuligheter. Ved selvfinnsiering m selskpet hvert år vskrive et så stort beløp t de kkumulerte vskrivninger er tilstrekkelige ifølge vognens lder0 I en tid med prisstbilitet vil dette prinsipp fore til smme resultter som i pkt. I ovenfor. I en tid med stigende priser vil vskrivningene derimot bli storm, og også større enn etter prinsipp nr. 2. Avskrivningsprinsipp nr. 2 vil være smmenfllende med den klkulerte vskrivning. Diskrepnsen ved bruk v prinsipp nr. l vil vhenge v prisbevegelser og v vrisjoner i bruksintensiteten fordi vognen nedskrives med et like stort beløp hvert år uvhengig v slitsjefordelingen over dens tekniske levetid. De smme momenter kommer også inn ved vurdering v prinsipp nr. 3. Det er imidlertid mest snnsynlig t ligningsvesenets vskrivningsregler blir benyttet ved de bokførte vskrivninger. Etter disse reglene beregnes vskrivningene på grunnlg v kostpris med tillegg for senere påkostninger, som fordeles over den tid vognen kn brukes. Det forutsettes jevn slitsje, men ved unorml bruk kn et selskp oppnå en økning eller minskning v den ellers nvendte sts. Subsidier til innkjøp skl frtrekkes kostprisen ved beregning v vskrivningene. Riksskttestyret hr gitt ut veiledende vskrivningsstser, og for busser som er i drift hele året er de veiledende stser stt til prosent. For vogner som ikke er i helårsdrift er stsene prosent. Det benyttes lineær vskrivning med mulighet for en viss justering. Slitsjen i det enkelte år vil derfor ikke reflekteres fullt ut i vskrivningene.
18 18 Som en generell konklusjon må mn nt t det er tvilsomt om de bokforte vskrivninger viser den økonomisk vurderte slitsje på relkpitlen. Utgift til ssurnse består v et pr komponenter som ikke er relevnte i denne smmenheng. Assurnsen for vognmteriell blir fststt etter tre kriterier: kpitlverdien. I) Kjøretøyets mrkedsverdi 2) Kjørelengde pr. år 3) Bonus etter nærmere regler for kjøring uten uhell Det er dermed bre en del v ssurnseutgiftene som blir bestemt ved Det kostndsbegrepet som benyttes i nlysen vil Være en del for-. i skjellig fr primærsttistikkets kostndsbegrep og v det som brnsjen selv bruker. Dette kommer v t kilometervgiften på dieselvogner og ndre offentlige vgifter smt posten fergeutgifter, bomutgifter m.v. oppfttes som sktt p produktmengden i nlysen. Dette begrunnes med t det er lite snnsynlig t en slik sktt vil påvirke substitumlens forløp i fktordigrmmet. Det vil derfor ikke være korrekt å oppftte disse utgiftspostene som kostnder. Begrunnelsen for t de ikke er gjenstnd for tilpsning fr selskpenes side ligger i konsesjonsbestemmelsenes fstsettelse v rutenett og rutefrekvens. 9. ANALYSEMODELLER Jeg vil bsere nlysen på to typer v produktfunksjoner. En homogen produktfunksjon og en med optimumsforlop. Forskjellen mellom disse to typene kn vises ved hjelp v pssuskoeffisienten, som litt upresist uttrykt viser hvordn produktmengden vriere med proporsjonl fktorvrisjon. Den er lik forholdet mellom den brøkdel produktmengden hr okt med, og den brøkdel som lle fktorene hr okt med. Det er en smmenheng mellom pssiskoeffi ienten og de reltive prtielle tilvekstgrder r. 1,2 og 3) som viser den prosentvise endring i produktmengden ved en prtiell endring på 1 prosent v produksjonsfktormengden v.. v. (Sf 1 i 1,2 og 3 (Sv x Symbolene f, v. og x er definert i kp. 3. Smmenhengen mellom pssuskoeffisienten e og de prtielle grenseelstisiteter er følgende: 3 L =E e. i=1 )4 R. Frisch ril s. 89.
19 3 19 En homogen produktfunksjon krkteriseres ved t pssuskoeffisienten er konstnt uvhengig v produktmengden. I en produktfunksjon med optimumsforlop vil den derimot vriere systemtisk med produktmengden. Terje Ruud [4] hr i sin undersøkelse funnet resultter som typer på t selskpene i rutebilnæringen følger en prodüktfunksjon med optimumsfor1øp4 Pssuskoeffisienten synker monotont fr verdier storre ehn 1 til verdier mindre enn 1 når produktmengden øker. Den homogene produktfunksjonen jeg vil benytte er den velkjente Cobb Dougls produktfunksjonen (9.1) X ::: 1 A v 2 v v 2 3 u 1 A> 0,. >0 i :1,2 og 3 UIeretikke-observerbrtstokstiskrestledd.PrmetreneAogssmmen med 1 funksjonens mtemtiske form krkteriserer produksjonsenhetenes teknologiske struktur. Funksjonens fremste fordeler sett fr et nlysesynspunkt er: 1)Grenseprodukt ivitetene kn vriere med fktorinnstsene. Dersom i < 1, vil grenseproduktiviteten til fktor nr.i være fllende med okt innsts v fktoren, og når i > 1 vil den være stigende. Den er lineær i logritmene til de vrible som er en god egenskp for estimering v prmetrene. 3) Den hr gode ftyningsegenskper. (Hoy multippel korrelsjonskoeffisient.) Dette blir ttt som en indiktor på t funksjonen er en god tilnærmelse til den produksjonslov som ligger til grunn for produksjonen. En vesentlig svkhet sett fr et produksjonsteoretisk synspunkt er t substitusjonselstisiteten er identisk lik I for en hver fktorkombinsjon. " Dette innebærer t isokvntene er bundet til å h følgende form: v 2 I N N N X Se f.eks. V. Ringstd r 1 s. 1 og 2. MK Se f.eks. A.A. Wlters 9 J.
20 20 Jeg vil dele observsjonsmterilet i tre like store grupper etter størrelsen på produktmengden, så jeg får ttt vre på eventuelle nivåendringer pssuskoeffisienten ved overgng fr små selskper til større mlt ved produktmengden. Det kn også tenkes t forskjeller mellom subsidierte og ikke-subsidierte er vhengig v størrelsen på selskpet, Det hdde wrt en fordel om størrelseskriteriet ikke hdde inngått i modellen, men det er problemtisk d finne et entydig kriterium söm mål for størrelsen. 3 Pssuskoeffisienten e.7: E. Den ndre produktfunksjonen, som hr optimumsforløp, er foreslått v Mrc Nerlove og den kn bre nvendes når produksjonsenhetenes tilps- XX ningstferd erlsetiilimiliṣig_tilitt_reiliel. Jeg hr tidligere i besvrelsen rgumentert for t produktmengden er utenfr gitt og t en med rimelighet kn nt t fktorprisene er eksogene. Det er derfor god grunn til å forutsette t selsk enes til snin sformål er kostminimliserin til itt produktmengde. Denne produktfunksjonen er skrevet på implisitt form. l 1 3N v - 3 -i-nx 3 og er konstnter og E. 2' 1' 2 3 i=1 1 (9.2.) X r: (A 2 v 1 v 2 2 Koeffisientene A,, = 1 Pssuskoeffisienten: c(x) 1 +2ßlnX XXX (9.3.) Kostndene defineres ved: 3 C.7. E q.v. i=1 Ved minimlisering v (9.3.) med den spesifiserte produktfunksjon som bibetingelse, får mn utledet den substitumle kostndsfunksjon. Terje Ruud 041Bilg 1) hr utledet de substitumle kostndsfunksjoner for disse to produktfunksjonene og hn fikk følgende resultt: (Produktfunksjon nr. 1) (9.4.) hie ink lnxing1 lnci2 e ln(13 e e e C = E. og denne betingelsen kn bygges inn i modellen l (9.5,) (1nC ing2 ) = lnk + lflq2) 3 lnq2) +n1 x V. Ringstd 1-61 s. 2.MM V. Ringstd s. 3. KNN Se f.eks. Tore Thonstd
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.
DetaljerSensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)
Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
DetaljerBioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode
Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerSem 1 ECON 1410 Halvor Teslo
Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
Detaljergir g 0 (x) = 2x + x 2 (x + 3) x x 2 x 1 (x + 3) 2 x 5 + 2x 4 + 6x 3 + x 2 + x + 3 x 2 (x + 3) 2 g(x; y) h(x) F (x; y) =
Oppgve ) gir b) c) d) e) f() = 5 4 3 gir f () = 3 6 + 3 g() = + 3 f)når så blir Merk her t = Tilsvrende er gir g () = + ( + 3) ( + 3) 5 + 4 + 6 3 + + + 3 ( + 3) h() = f() gir h () = f () + f() f() = g(;
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerNøtterøy videregående skole
Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk
DetaljerFlekkefjord kommune Teknisk forvaltning og Plan 2011 Vedtatt av Flekkefjord bystyre den 16.12.2010
Flekkefjord kommune Teknisk forvltning og Pln 2011 Vedttt v Flekkefjord bystyre den 16.12.2010 Gebyr for rbeid etter pln- og bygningsloven Betlingsregultiv for byggesker og privte regulerings- og bebyggelsesplner
DetaljerDel 5 Måleusikkerhet 5.2 Type A og type B usikkerhetsbidrag
Del 5 Måleusikkerhet 5. Type A og type B usikkerhetsbidrg Utdrg fr VIM:.8 Type A evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty by sttisticl nlysis of mesured quntity
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
DetaljerOppgave N2.1. Kontantstrømmer
1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner
DetaljerVår 2004 Ordinær eksamen
år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
DetaljerTema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)
Tem 2: Stokstiske vribler og snnsynlighetsfordelinger Kpittel 3 ST1101 2019-01-13 12:44 (Gunnr Trldsen) Det nts i nottet t S er et utfllsrom utstyrt med en snnsynlighet P (A) for enhver hendelse A F. F
DetaljerEffektivitet og fordeling
Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerMED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO
Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
DetaljerSynspunkter på arbeidsforhold før og etter innføring av fastlønn med per capita avlønning
V ITENSKAPELIG ARTIKKEL Nor Tnnlegeforen Tid. 2012; 122: 866 71 Dorthe Holst, Jostein Grytten, Irene Sku, Knut Berge Synspunkter på rbeidsforhold før og etter innføring v fstlønn med per cpit vlønning
DetaljerLøsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015
Løsningsforslg til eksmensogver i ECON 00 våren 05 Ogve (7 oeng) Deriver følgende funskjoner 3 ) f ( ) gir f ( ) 3 ) f ( ) e e( ) gir f ( ) e c) f ( ) ln gir f ( ) 3 3 (3 ) 3 lterntivt f ( ) ln ln 3 gir
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
DetaljerHva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak
Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014
Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerSaknsnr Utvalg 23114 3M14
LOPPA KOMMUNE Sentrldministrsj onen Sksfrmlegg Dto: Arkivref: 22.08.2014 20141419-01 Solbjørg Irene Jensen solbj org j ensen@lopp.kommune.no Sknsnr Utvlg 23114 3M14 Levekårsutvlget Kommunestyre Søknd om
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerKAP. 5 Kopling, rekombinasjon og kartlegging av gener på kromosomenen. Kobling: To gener på samme kromosom segregerer sammen
KP. 5 Kopling, rekominsjon og krtlegging v gener på kromosomenen OVERSIKT Koling og meiotisk rekominsjon Gener som er kolet på smme kromosom skilles vnligvis ut smmen. Kolede gener kn li seprert gjennom
DetaljerSammenhengen mellom takst og avstand i regulerte- uregulerte markeder. Teori og empiri. av Terje Andreas Mathisen
Smmenhengen mellom tkst og vstnd i regulerte- uregulerte mrkeder. Teori og empiri. v Terje ndres Mthisen Våren 3 Logistikk og trnsport strt It is ommon presumption tht pssenger should py higher fre for
DetaljerTerminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014
Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2
Detaljera 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.
MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerNORSK SCHNAUZER BOUVIER KLUBB S HELSE- OG GEMYTTUNDERSØKELSE 2004
NORSK SCHNAUZER BOUVIER KLUBB S HELSE- OG GEMYTTUNDERSØKELSE 2004 Utført v vlsrådet 2003/2004 INNLEDNING NSBK s Gemytt og Helseundersøkelse ble sendt ut i jnur 2004, med svrfrist i februr 2004. Lister
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerS2 kapittel 6 Sannsynlighet
S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksmen : ECON00 Mtemtkk /Mkro (MM) Eksmensdg: 7.05.05 Sensur kunngjøres: 7.06.05 Td for eksmen: kl. 09:00 5:00 Oppgvesettet er på 4 sder Tlltte hjelpemdler: Det
DetaljerNytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!
Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en
DetaljerNumerisk Integrasjon
Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske
DetaljerFakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007
Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
DetaljerALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL
Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt
Detaljer1 Mandag 18. januar 2010
Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
Detaljer9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler
96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2
Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
DetaljerLøsningsforslag, Midtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl Oppgavene med kort løsningsskisse
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit side 12. Oppgvene med kort løsningsskisse
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerRAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015
RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 015 Utdnningsrogrm: Yrkesfg Fgkoder: MAT1, MAT6 Årstrinn: Vg1 Ogveroduksjon: En lokl ogvenemnd lger ogver til ordinær eleveksmen og sommerskolen.
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =
DetaljerS1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
DetaljerRapport nr. 309/45 ENSILASJEKONSENTRAT I TØRRFÔR TIL OPPDRETTSFISK Fôringsforsøk
Rpport nr. 309/45 ENSILASJEKONSENTRAT I TØRRFÔR TIL OPPDRETTSFISK Fôringsforsøk RAPPORT-TITTEL ENSILASJEKONSENTRAT I TØRRFÔR TIL OPPDRETTSFISK Fôringsforsøk RAPPORTNUMMER 309/45 PROSJEKTNUMMER 309 UTGIVER
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
DetaljerINNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD
INNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD Foto: Mistfjorden og Steigtind, 5.pril 2010, Tor-Arne Hug Vurdering og nbefling til fornyelse v innkjøpsfunksjonen i Helse Nord. Rpport fr prosjektgruppen Postdresse: Helse
DetaljerObligatorisk øvelsesoppgave ECON1310 Våren 2009
Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,, oppgve 2 vekt 0,5, og oppgve 3 vekt 0,4. Obligtorisk øvelsesoppgve ECON30 Våren 2009 Oppgve (i) (ii) Beskriv
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
Detaljer1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerIntegrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016
Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
DetaljerSensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011
Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligtorisk øvelsesoppgve høsten 2 Ved sensuren tillegges oppgve vekt,3, oppgve 2 vekt,4, og oppgve 3 vekt,3. For å bestå eksmen, må besvrelsen
DetaljerPraktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen
Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen
DetaljerDen foreliggende oppfinnelsen gjelder en tank for lagring av kryogenisk fluid, f.eks. kondensert naturgass (LNG).
(12) Oversettelse v eurpeisk ptentskrift (11) NO/EP 227 B1 (19) NO NORGE (1) nt Cl. F17C 13/00 (06.01) Ptentstyret (21) Oversettelse publisert 14.03.17 (80) Dt fr Den Eurpeiske Ptentmyndighets publisering
DetaljerTKP4100 og TMT4206 Løsningsforslag til øving 9
TKP4 og TMT46 Løsningsforslg til øving 9 Oppgve ) Entlpi ved utløpet (5 br, C), kj/kg Entlpi ved innløpet (5 br, x =,95), 7 kj/kg overført: kj/kg Dvs. 4*/6 =,7 kw b) I området med overhetet dmp (T >4C
DetaljerNumerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres.
Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/15 I(f) = hvor f : R R kn Riemnn-integreres. b f(x)dx. Newton-Cotes kvdrtur Newton-Cotes kvdrtur erbsert på ekvidistnte noder i [, b]: For en n-noder åpen
DetaljerVurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007
Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 007 Mtemtikk sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Vurderingsveiledning til sentrlt gitt eksmen i Kunnsksløftet
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerJuleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1
Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest
DetaljerHØRINGSNOTAT. Forskrift om særskilte delingstall i pensjonsordning for stortingsrepresentanter og regjeringsmedlemmer
HØRINGSNOTAT Forskrift om særskilte delingstll i pensjonsordning for stortingsrepresentnter og regjeringsmedlemmer Innledning Pensjonsordningen for stortingsrepresentnter og regjeringsmedlemmer frmgår
DetaljerEksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerFYLKESMANNEN I AUST.AGDER Sosial- og helseavdelingen
FYLKESMANNEN I AUST.AGDER Sosil- og helsevdelingen Grimstd kommune Postboks 123 4891 Grimstd Deres ref. Vår ref. (bes oppgitt ved svr) Sk nr. 201 1/5968 / AST Dto 28.02.2012 OVERSENDELSE AV ENDELIG RAPPORT
DetaljerOPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer
OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk
DetaljerKAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner
KAPITTEL 9 Approksimsjon v funksjoner En grunnleggende teknikk som ofte brukes i ulike deler v mtemtikk og nvendelser er å tilnærme eller pproksimere et objekt med et nnet. Som regel er objektet som skl
DetaljerTKP4100 Strømning og varmetransport Løsningsforslag til øving 10
TKP4 Strømning og vrmetrnsport Løsningsforslg til øving Oppgve ) Entlpi ved utløpet (5 br, ), kj/kg Entlpi ved innløpet (5 br, x,95), 7 kj/kg overført: kj/kg Dvs. 4*/6,7 kw b) I området med overhetet dmp
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Alle trykte og skrevne Kalkulator. Rute. Ola Løvsletten
Fkultet for nturvitenskp og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksmen i: Brukerkurs i sttistikk STA-0001 Dto: 28.05.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: TEO H1, PLAN 3 Tilltte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne
DetaljerOSLO TINGRETT. Avsagt: Saksnr.: mot. 24.09.2015 i Oslo tingrett, Dommer: Tingrettsdommer. Torild Margrethe Brende. Saken gjelder:
OSLO TINGRETT DOM Avsgt: Sksnr.: 24.09.2015 i Oslo tingrett, 14-182338TVt-OTtR/05 Dommer: Tingrettsdommer Torild Mrgrethe Brende Sken gjelder: Gyldigheten v vedtk fr Klgenemnd for industrielle rettigheter.
DetaljerSENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005
SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede
DetaljerImplementering av miljøinformasjon i en BIM modell Forprosjektrapport
Implementering v miljøinformsjon i en BIM modell Forprosjektrpport 02.04.2009 Høgskolen i Østfold H09B12 Chrlotte Dngstorp Ove-Eirik Krogstd Ain Josefine Stene Lrs-Christin Thowsen HØGSKOLEN I ØSTFOLD
DetaljerLøsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003
Oppgve 1 Løsningsforslg SIE4010 Elektromgnetisme 5. mi 2003 ) Av symmetrigrunner må det elektriske feltet være rdielt rettet og uvhengig v φ, E = E(r)u r.vilrs være overflten til en sylinder med rdius
Detaljer