Variansestimering for sesongjusterte tall med X-12-ARIMA

Transkript

1 Noaer Documens 2017/44 Dinh Quang Pham Variansesimering for sesongjusere all med X-12-ARIMA

2

3 Noaer 2017/44 Dinh Quang Pham Variansesimering for sesongjusere all med X-12-ARIMA Saisisk senralbyrå Saisics Norway Oslo Kongsvinger

4 I serien Noaer publiseres dokumenasjon, meodebeskrivelser, modellbeskrivelser og sandarder. Saisisk senralbyrå Ved bruk av maeriale fra denne publikasjonen skal Saisisk senralbyrå oppgis som kilde. Publiser 14. desember 2017 ISBN (elekronisk) Sandardegn i abeller Symbol Tall kan ikke forekomme. Oppgave mangler.. Oppgave mangler foreløpig Tall kan ikke offenliggjøres : Null - Mindre enn 0,5 av den bruke enheen 0 Mindre enn 0,05 av den bruke enheen 0,0 Foreløpig all * Brudd i den loddree serien Brudd i den vannree serien Desimalegn,

5 Forord Hensiken med dee noae er å presenere variansesimering av sesongjusere all fra X-12- ARIMA. For en modellbaser sesongjusering er de ekplisie formler for varianser. Men for X-12- ARIMA blir variansene esimer fra en lineær ilnærming av esimaorene. Bakgrunnen for noae er a vi kan få beskreve kvalie for sesongjusere all med usikkeheer. Jeg vil akke Øyvind Langsrud, Magnar Lillegård, Ane Seiersad, Terje Skjerpen og Andres Holmberg for gode kommenarer. Jeg akker også Jørn Ivar Hamre som har gi meg illaelsen for il å bruke AKU-all i eksempler. Saisisk senralbyrå, 2. november 2017 Jørn Leonardsen 3

6 Sammendrag X-12-ARIMA har vær bruk i Saisisk senralbyrå i mange år som e verkøy for sesongjusering. De er en ikke paramerisk meode, der rend- og sesongkomponen blir esimer ved glidende gjennomsniseknikk, ikke modeller. Vi får dermed esimere verdier for rend-, sesongkomponen og sesongjusere all uen usikkerheer. Pfeffermann har lage en meode for å anslå disse usikkerheene. Vi anvender denne meoden for å beregne usikkerheer av rend og sesongjusere all for prosen arbeidsledige oal. Vi beregner også usikkerheene for 3-måneders glidende gjennomsni og 3-månedersendring av sesongjusere all. Variansesimeringen ar hensyn il korrelasjonen il uvalgsfeil som kommer fra en roerende panelundersøkelse. 4

7 Innhold 1 Innledning 6 2 Beskrivelse av meoden En lineær ilnærming (LT) med X-11-meoden Beregning av variansen il sesongjusere all for en addiiv dekomponering Beregning av variansen il sesongjusere all for en muliplikaiv dekomponering Eksempler Beregning av Var (i) (Â), for i = 1, Addiiv dekomponering med X-11 meoden Addiiv dekomponering med X-12-ARIMA Muliplikaiv dekomponering med X-12-ARIMA Trend og usikkerheer Variansen il re måneders glidende gjennomsni av sesongjusere all med muliplikaiv modell og X-12-ARIMA Variansen il 3-månedersendringen av A (3m), Var(A (3m) A (3m) 3 ) Variansen il 12-månedersendringen av A (3m), Var(A (3m) A (3m) 12 ) Oppsummering 17 5

8 1 Innledning Vi sesongjuserer idsserier i SSB (Saisisk senralbyrå) med X-11-ARIMA, X-12-ARIMA og X- 13ARIMA-SEATS. Disse programmene er baser på den empiriske ikke-parameriske X-11-meoden (Shiskin, Young and Musgrave 1967). Meoden er baser på en glidende gjennomsniseknikk, ikke modeller. Dermed ve vi ikke hvordan man skal beregne varianser il de esimere komponenene. Pfeffermann (1994) har lage en meode for å beregne variansen il sesongjusere all, som kan også brukes for rend og sesongkomponen. Hovedrekkene ved meoden er: Den ar hensyn il både uvalgsfeil og variasjoner av komponener ved sesongjusering. La y, = 1,...,N være den observere idsserien. y kan være en esimer verdi av Y i populasjonen fra en uvalgsundersøkelse. Ana a Y kan spales opp i rend T, sesongkomponen S og irregulærkomponen I. Vi kan skrive slik: der ǫ er uvalgsfeil. y = Y +ǫ og Y = T +S +I (1) Den krever a esimaoren il renden og sesongkomponenen er ilnærme forvenningsre E(ˆT T ) 0 og E(Ŝ S ) 0 (2) og a uvalgsfeil og irregulærkomponen er sasjonære prosesser. Den krever ikke sokasiske modeller av rend og sesongkomponen, Meoden ar hensyn il korrelasjonen i uvalgsfeil som kommer fra en roerende panelundersøkelse. Den krever ingen esimeringer for kovarianser av ujusere all fra uvalge. Meoden er veldig enkel, og beregningen krever ikke mye id. Pfeffermanns meode er opprinnelig beskreve for en addiiv dekomponering. Meoden er senere bli uvide for X-11-ARIMA (Dagum, 1980) og for muliplikaiv dekomponering (der Y = T S I ). La A være sesongjusere all i måned. I dee noae vil vi presenere meoden il Pfeffermann for å beregne variansen il Â. Vi anvender også meoden for å beregne variansen il: endring over en måned i sesongjusere all, Â Â 1, A (3m) som er re måneders glidende gjennomsni, A (3m) endring over re måneder og olv måneder av A (3m) henholdsvis. Meoden og eksempler blir beskreve i de nese avsniene. 2 Beskrivelse av meoden Vi skriver likning (1) mer dealjer her, dvs (A (3m) = (Â 1 +Â +Â+1)/3, A (3m) 3 ) og (A(3m) A (3m) 12 ) y = Y +ǫ, E D (ǫ ) = 0, og E D (ǫ ǫ k ) = λ k, k = 0,1,... (3) der D sår for sampling design. Merk a uvalgsfeil kan være korreler med hverandre når undersøkelsene er delvis overlappende, slik som i roerende panel hvor primær- og endelige uvalgsenheer beholdes i uvalge over flere idsperioder. Vi beskriver Y slik: Y = T +S +I, der E ξ (I ) = 0, og E ξ (I I k ) = v k, for k = 0,1,... (4) Vi anar også a I og ǫ er ukorreler med hverandre, dvs. E(I ǫ k ) = 0, for alle k. 6

9 Vi får fra likningene (3) og (4) y = T +S +I +ǫ = T +S +e, (5) der E c (e ) = 0, E c (e e k ) = V k = λ k +v k, k = 0,1,..., og fordelingen c er sammensa av de o fordelingene D og ξ. Sørrelsen e er å berake som irregulærkomponenen il y. 2.1 En lineær ilnærming (LT) med X-11-meoden Trend- og sesongkomponen blir esimer i re rinn med mange forskjellige filre. Førse rinn med de senrere 12-måneders glidende gjennomsnie for rend og (3 3)-sesongfiler for sesongkomponenen. Andre rinn med 9-, 13 eller 23-ledd Hendersons filer og (3 5)-sesongfiler. Tredje rinn også med Hendersons filer. Disse filrene kan slås sammen il e se av filre (under anagelsen a de ikke er ufør korrigering for eksremverdier og idsserien er lang nok slik a de ikke er nødvendig å legge il ilbakeskrivinger og framskrivinger (Ghysels, Osborn, 2001). Dermed kan vi beregne rend, sesongjusere all, sesongkomponen og irregulærkomponen slik: S = ω S (B)Y = k A = ω A (B)Y = k T = ω T (B)Y = k I = ω I (B)Y = k wk S Y k wk A Y k wky T k wk I Y k (6a) (6b) (6c) (6d) Den eksplisie formelen for ω S (B) (Bell og Monsell, 1992) er gi ved ( ( ω S (B) = [(1 µ(b)]λ 2 (B) 1 H(B) 1 [1 µ(b)]λ 1 (B)[1 µ(b)]) ) (7) La U(B) = 1+B +...+B 11 og F = B 1. Filrene i likning (7) er µ(b) = 2 12 glidende gjennomsni for å esimere rend = (1/24)(F 6 +F 5 )U(B) λ 1 (B) = glidende gjennomsni med 3 3-filere for sesongkomponen = (1/9)(F B 12 )(F B 12 ) λ 2 (B) = glidende gjennomsni med 3 5-filere for sesongkomponen = (1/15)(F B 12 )(F 24 +F B 12 +B 24 ) H(B) = Hendersons filer for rend med 9-, 13- eller 23-ledd ω A (B), ω T (B) og ω I (B) er beregne fra ω S (B) ved de følgende likningene ω A (B) = 1 ω S (B) ω T (B) = H(B)ω A (B) ω I (B) = [1 H(B)]ω A (B) (8a) (8b) (8c) Merk a ω S (B), ω A (B), ω T (B) og ω I (B) er (N N)-mariser, der N er lengden av idsserien. De er enkel å beregne w k av ω(b) i likning (6). BLS (Bureau of Labor Saisics) har lage e program for å beregne wk S, wa k, wt k og wi k. Ved å ana a de ikke er noen korrigering for kalendereffeker og eksremverdier, er rend, sesongkomponen, sesongjusere all fra X-11 og den lineære ilnærming meoden (ved likningene (6a)-(6d)) ganske like. 7

10 I avsniene nedenfor presenerer vi meoden for å beregne variansene il sesongjusere all når vi sesongjuserer idsserien med en addiiv eller muliplikaiv dekomponering og ved X-11 eller X-12-ARIMA. 2.2 Beregning av variansen il sesongjusere all for en addiiv dekomponering La  være en esimaor for sesongjusere all A. Vi skriver  = y Ŝ, der Ŝ er en esimaor for sesongkomponenen S. Pfeffermann skiller mellom o ilfeller av variansesimering: Tilfelle 1.  blir bruk il å esimere sesongjusere all A i populasjonen. Feilen blir D 1 = ˆN (Y S ) = ǫ (Ŝ S ). Var (1) ( ˆN ) = Var(D 1 ) = Var((Ŝ S ) ǫ ) (9) hvis ǫ = 0 (de er ingen uvalgsfeil) blir Var (1) ( ˆN ) = Var(Ŝ S ), som er variansen il sesongkomponenen. Tilfelle 2.  blir bruk il å esimere rend som vi ser i redje rinn i X-11 defaul calculaions. Feilen blir D 2 = ˆN T = e (Ŝ S ). Variansen blir Var (2) ( ˆN ) = Var(D 2 ) = Var((Ŝ S ) e ) (10) Merk a E c (D i ) 0, for i = 1,2, der fordelingen c er sammensa av de o fordelingene D og ξ. Lemma. Var (i) (Â) Var c (D i ), i = 1,2 Bevis. Var (i) (Â) kan skrives slik: Var (i) (Â) = E T,S (Var c (D i )) + Var T,S (E c (D i )), der E T,S og Var T,S er forvenning og varians over alle mulige realisasjoner av render og sesongkomponener. Likningen (2) gir E c (D i ) 0 og Var c er bare avhengig av fordelingene D il uvalgsfeil og ξ il irregulærkomponen. Vi skriver Ŝ slik (se likning (6a)) Ŝ = k w S ky +k = k w S k(t +k +S +k )+ k w S ke +k (11) Da er Var(Ŝ S ) = Var c ( k w S ke +k ) (12) Likningene (9) og (12) gir Var (1) (Â) = Var((Ŝ S ) ǫ ( ) = Var c wk S e +k +λ 0 (1 2w0 S ) 2 wk S λ k (13) k k, k 0 der λ k = E D (ǫ ǫ k ) (se likningen (3)). Vi ser a Var (1) (Â) er avhengig av variansen λ 0 og auokovariansene λ k av uvalgsfeilen. Men i praksis er wk S veldig små for 0 < k < 11. Dermed kan man se bor de sise ledde fra likningen. Fra likningene (10) og (12) får vi Var (2) (Â) = Var(e (Ŝ S )) = Var c ( k w A k e +k ) (14) En alernaiv måe å beskrive Var (1) (Â) på, er Var (1) (Â) = Var (2) (Â)+v 0 (1 2w0 A ) 2 v k wk A (15) k, k 0 8

11 der v k = E ξ (I I k ). Merk a veken w A 0 er sørre enn 0.5. Når v k = 0 for k 0, blir Var (1) (Â) < Var (2) (Â). Dee gjelder også for v 1 v De ser inuiiv rikig u, siden D 2 = D 1 +I. Pfeffermann viser a sørrelsene V k = E(e e k ) kan beregnes fra residualene R = y ˆT Ŝ, eer å ha fjerne de 24 førse og 24 sise observasjonene av R. 2.3 Beregning av variansen il sesongjusere all for en muliplikaiv dekomponering Vi spaler opp Y slik a Y = T S I. Vi skriver y = Y e. Sesongjusere all blir A = Y /S. Ved å a logarimen får vi log(y ) = log(t )+log(s )+log(e ). Dee kalles en log-addiiv dekomponering. Modellen blir bruk for nesen alle idsserier i SSB. La ỹ = log(y ), = log(t ), s = log(s ), a = log(a ) og ẽ = log(e ). Vi får ỹ = + s + ẽ, en addiiv modell for ỹ. Vi beregner variansen il sesongjusere all a på samme måe som beskreve i avsni 2.2. Variansen il sesongjusere all, A, beregnes ved følgende likning (Pfeffermann e al., 1995) 3 Eksempler Var(Â) = ( ) 2 ( ) exp(ˆ ) exp(2 Var(â )) exp(var(â )) Tidsserien i eksemple er arbeidsledige oal i prosen i Norge f.o.m. januar 2006.o.m. desember I al er de 132 observasjoner. Tallene er esimer fra arbeidskrafundersøkelsen (AKU). I dee avsnie skal vi anvende Pfeffermanns meode for å beregne variansene for 1. sesongjusere Â, 2. senrer remåneders glidende gjennomsnie av sesongjusere all, A (3m) = ( 1 +  +  +1 )/3, 3. endring av sesongjusere all fra idspunk ( 1) il, dvs   1, (16) 4. endring av A (3m) henholdsvis. over re måneder og olv måneder, dvs (A (3m) A (3m) 3 ) og (A(3m) A (3m) 12 ), 3.1 Beregning av Var (i) (Â), for i = 1,2 Beregningen blir beskreve for både addiiv og muliplikaiv dekomponering og for X-11 og X-12- ARIMA Addiiv dekomponering med X-11 meoden Nå er y = T + S + e. Trenden blir esimer med 13-ledd Hendersons filer og sesongkomponenen med 3 5-filer. Disse filrene blir bruk il å beregne vekene ˆω (T) (B), ˆω (S) (B), ˆω A (B) og ˆω (I) (B). Trend, sesongjusere all, sesong- og irregulærkomponenen esimer ved den lineære ilnærmingsmeoden, blir ˆT = ˆω (T) (B)y,  = ˆω (A) (B)y, Ŝ = ˆω (S) (B)y og Î = ˆω (I) (B)y. De blir ploe med de samme sørrelsene fra X-11 i figurene 1-4. Vi ser a kurvene semmer god overens med hverandre. I ilfelle vi må uføre korrigering for kalendereffeker og eksremverdier for sesongjusering, kan dee medføre a de er sore avvik mellom kurvene. I beregningen av Var (1) (Â), har vi ersae ˆλ 0, som er variansen il uvalgfeil ǫ, med ˆV 0 = Var(e ), som er irregulærkomponenen av y, siden vi ikke har verdier av ˆǫ for hver måned, men for hver kvaral. Vi får dermed en li sørre varians for Var (1) (Â) i likningen (13), siden V 0 = λ 0 +v 0. Sandardfeilene sd (1) (Â) = Var (1) (Â) og sd (2) (Â) = Var (2) (Â) blir beregne. Vi ploer disse o sandardfeilene i figur 5. Vi ser a sd (1) (Â) er li lavere enn sd (2) (Â). Dee ser rimelig u siden D 2 = D 1 +I. 9

12 5.0 X 12 ARIMA ilnærme lineær filer Figur 1: Addiiv dekomponering. X-11 meoden. Trend ved o meoder X 12 ARIMA ilnærme lineær filer Figur 2: Addiiv dekomponering. X-11 meoden. Sesongkomponen mønsrene av sd (1) (Â) og sd (2) (Â) er ypiske for sandardfeil il sesongjusere all med Pfeffermannsmeoden. De er mye høyere i saren og sluen av idserien enn i miden. De er en dupp på grafen i de førse og sise årene. De ser unaurlig u. Dee skyldes vekene som blir bruk i esimeringen for rend og sesongkomponen. 5.0 X 12 ARIMA ilnærme lineær filer Figur 3: Addiiv dekomponering med X-11. Sesongjusere all De blir 4,50% arbeidsledige i desember 2016 med en sandardfeil på 0,29 (sd (1) (Â) = og sd (2) (Â) = ). Talle er li sørre enn sandardfeilen for uvalgsfeil 0.19 for sise kvaral

13 Merk a de bare er sandardfeil il uvalgsfeil for kvaraler som lises u i saisikkbanken X 12 ARIMA ilnærme lineær filer Figur 4: Addiiv dekomponering med X-11. Irregulærkomponen 0.29 sd (1) (A^ ) sd (2) (A^ ) Figur 5: Addiiv dekomponering med X-11. Sandardfeiler ved o ilfeller Addiiv dekomponering med X-12-ARIMA Modellen er y = T + S + I. Sesongjuseringen blir ufør med X-12-ARIMA. Tidsserien blir forlenge i begge ender med ilbakeskrivinger og framskrivinger ved hjelp av en ARIMA-modell (Box og Jenkins, 1970). Formåle er a hele idsserien kan glaes med symmeriske veker, mens ilbakeskrivinger og framskrivinger glaes med asymmeriske veker. Dermed blir revisjoner av rend og sesongjusere all i sluen av idsserien reduser. Dee er formåle med X-11-ARIMA (Dagum 1975, 1980). ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1) blir valg for å forlenge daa. Framskrivingene og 95% konfidensinervallene for olv måneder, januar-desember 2017, blir lise u i abell 1. Vi presenerer nedenfor noen eksra beregninger for vekene i de førse og sise observasjonene når idsserien blir forlenge med ilbake- og framskrivinger. Eksrapolering og glaing av filre il X-11-ARIMA. Filere F som vi bruker for observasjonene i sluen av idsserien, er konvolusjon av o filre: f 1 for eksrapolering med ARIMA-modell, og f 2 ensidig filer for glaing i X-11 meoden. Vi skriver F = f 1 f 2. Eksrapoleringsfiler f 1. Filere blir bruk for framskrivingene ŷ (1),...,ŷ (τ), der ŷ (τ) = E(y +τ y,y 1,...) er beinge forvenning av y gi daa. Vi kan beskrive ŷ (τ) som en lineær funksjon av idligere og nåværende observasjoner med veker (Box og Jenkins, 1970, side 142), 11

14 Tabell 1: Framskrivinger for 2017 måned nedre 95% es. verdi øvre 95% januar 4,24 4,86 5,48 februar 4,16 4,84 5,51 mars 4,07 4,80 5,53 april 4,03 4,80 5,58 mai 4,01 4,83 5,65 juni 4,13 5,00 5,86 juli 3,86 4,77 5,68 augus 3,87 4,82 5,77 sepember 3,89 4,88 5,86 okober 3,71 4,73 5,75 november 3,40 4,46 5,52 desember 3,31 4,40 5,49 der La f 1 være ŷ (τ) = π (τ) j=1 π (τ) j y j+1 = j=1 π (τ) j B j y +1, (17) τ 1 j = π j+τ 1 + π h π (τ h) j, j = 1,2,... (18) f 1 = h=1 j=1 π (τ) j B j (19) f 1 er filere for eksrapolering av idsserien med framskrivinger. π j olkes som memory av idligere observasjoner som finnes i ŷ (τ). Vi får fra likning (17), ŷ (1) = π 1 y +π 2 y 1 +π 3 y ŷ (2) = π 1 ŷ (1)+π 2 y +π 3 y Siden y j kan gå lang ilbake il uendelige idspunker, og summen av uendelig π j er lik 1, kan y j ignoreres eer e anall idspunker. En generell likning for en ARIMA-modell er φ p (B)Φ P (B s ) d D Sy = θ q (B)Θ Q (B s )a (20) der s er sesongperioden, a er hvi søy prosess med forvenning 0 og varians σ 2 a, φ(b), Φ(BS ), θ(b), Θ(B s ) er polynomer med ordene p, P s, q og Q s, henholdsvis. = 1 B og s = 1 B s, d og D er anall ganger differansen skal as for y slik a d D S y er en sasjonær prosess. ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1) med s = 12, er med eksklusiv form (1 B)(1 B 12 )y = (1 θb)(1 ΘB 12 )a y = y 1 +y 12 y 13 +a θa 1 Θa 12 +θθa 13 Vi ser a verdien i idspunk er avhengig av forrige verdi ( 1) og verdiene i åre før ( 12) og ( 13). π j -ene beregnes ved å idenfisere koeffisienene il B, B 2,... på begge sider av likningen nedenfor θ q (B)Θ Q (B s )(1 π 1 B π 2 B 2...) = φ p (B)Φ P (B s ) d D S (21) 12

15 Dereer beregner vi π (τ) j ved likning (18). Merk a π (1) j = π j. Glaing med F-filer for X-11-ARIMA. Filere F brukes for den nye idsserien (som er den opprinnelige idsserien med ilbake- og framskrivinger). Vi får Fy = f 2 y +τ = 0 w j l y +j + j=n l w τ l ŷ (τ) (22) der ŷ (τ) beskrives i likning (17), l er anall idspunk som man har forlenge idsserien med. Likning (22) blir Fy = = j=0 j=0 τ=1 N l w j l y j + y j w τ l π (τ) j+1 (w j l + j=0 l τ=1 τ=1 w τ l π (τ) j+1 )y j = W (B)y (23) der w j l = 0 for all j > N (Dagum 1983, side 77), der N er anall observere verdier. Vekene π j knye il framskrivinger og observasjoner i de sise idspunkene er høye. π j -ene for observasjoner som er lang fra de sise idspunke går rask mo null. Merk a F endrer seg over id. Vi forlenger den opprinnelige idsseriens N observasjoner med l framskrivinger. Den nye idsserien har N 1 = N + l elemener. Sesongkomponenen il den nye idsserien beregne ved den lineære ilnærmingsmeoden, blir S N1 1 = W N1 N 1 y N 1 1, (24) Vi beregner W N1 N 1 på samme måe som ω(b) i likningene (9), (8)a-(8)c. og ŷ l 1 er beregne ved der Π er marisen il π (τ) j der y N 1 1 = ( yn 1 ŷ l 1 ), (25) ŷ l 1 = Π l N y N 1, (26) i likning (18). Likningene (24) og (25) gir S N1 1 = W N 1 Ny N 1, (27) ( ) WN = W IN N 1 N N 1 N 1 Π l N N 1 N der I er en ideniesmarise (N N). Hver linje av W er sesongfiler med lengden N 1. Vi ser a W N1 N 1 eller W N 1 N er veker for å beregne sesongkomponenen når vi bruker y N 1 1 eller y N 1 som daainpu. Vi beregner usikkerheen il sesongjusere all med Var (2) (Â) siden: (a) i praksis blir forskjellen mellom Var (1) (Â) og Var (2) (Â) ikke sor, (b) Var (1) (Â) < Var (2) (Â) og (c) de er mye enklere å beregne Var (2) (Â) enn Var (1) (Â). I figur 6 ploer vi sandardfeilene for sesongjusere all med X-11 og X-12-ARIMA. Vi ser a sd (2) (Â) med X-12-ARIMA blir reduser krafig i endene av idsserien i forhold il X-11. For de andre idspunkene er de omren de samme Muliplikaiv dekomponering med X-12-ARIMA Vi bruker denne modellen for nesen alle idsserier i SSB, dvs. vi sesongjuserer med en addiiv modell log(y ) = l + s + i, der l er rend og s og i er sesong- og irregulærkomponen på logarimisk skala. ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1) blir valg. Vi får ˆθ = 0,6445 med sandardfeil 0,0662 og (28) 13

16 0.29 sd (2) (A^ ) med X 11 sd (2) (A^ ) med X 12 ARIMA Figur 6: Addiiv dekomponering. Sandardfeil med X-11 og X-12-ARIMA ˆΘ = 0,8339 med sandardfeil 0,0638. Disse o esimere verdiene blir bruk for å beregne π j og π (τ) j med likningene (21) og (18). Dereer blir vekene for sesongkomponenen W N1 N 1 og W N 1 N i likningene (24) og (28) beregne. Eer å ha esimer Var(â ), kan vi beregne variansen il sesongjusere all på opprinnelig skala ved likning (16). Figur 7 viser sandardfeilen il sesongjusere all. Vi får e lignende mønser for rend. Økningen i renden i de sise årene medfører sørre usikkerheer i disse idspunkene. Sesongjusere all og 95%-konfidensinervalle er ploe i figur 8. Vi får sesongjusere all i desember 2016, Â des.16 = 4,56, med sandardfeil 0, sandardfeil mønsere av rend Figur 7: Muliplikaiv dekomponering. Sandardfeil il sesongjusere all med X-12-ARIMA Figur 8: Sesongjusere all og 95% konfidensinervall 14

17 3.2 Trend og usikkerheer Meoden il Pfeffermann fungerer også bra for rend. Figur 9 viser rend og 95%-konfidensinervall. Vi får ˆT des.16 = 4.68 med sandardfeilen 0.23 sammenlikne med 0.36 for sesongjusere all Figur 9: Trend og 95% konfidensinervall 3.3 Variansen il re måneders glidende gjennomsni av sesongjusere all med muliplikaiv modell og X-12-ARIMA La A (3m) = ( 1 + +Â+1)/3, som er re måneders glidende gjennomsnie av sesongjusere all. Vi skriver A (3m) på mariseform for a beregningen av variansen il A (3m) skal bli enklere, A (3m) = Φ = j φ j  j, der =,...,N. (29) der Φ er en marise som er gi i likning (30), Siden A (3m) 1 og A (3m) N ikke er definer blir den førse og sise linjen av Φ uoppgi (beegne med symbole. i marisen). Den andre linjen er vekene il A (3m) 2, osv. Da er hvor Φ er ransponer av Φ N /3 1/3 1/ /3 1/3 1/ Φ = 0 0 1/3 1/3 1/ /3 1/3 1/3 N (30) Var(A (3m) ) = ΦVar(Â)Φ (31) Sesongjusere all for okober, november og desember 2016 er Âok.16 = 4.67,  nov.16 = 4.81 og  des.16 = 4.56 med sandardfeilene 0.35, 0.35 og 0.36, henholdsvis. Vi får A (3m) nov.16 = 4.68 med sandardfeilen Ved å glae sesongjusere all med 3 måneders glidende gjennomsni får vi en glaere idsserie og lavere usikkerheer. Figur 10 viser sandardfeilene il sesongjusere all og sesongjusere all med re måneders glidende gjennomsnie, henholdsvis, sd(â) og sd(a (3m) ). Vi ser a sd(a (3m) ) er lavere enn sd(â) i alle idspunker. Figur 11 viser 95%-konfidensinervalle il A (3m). 15

18 0.35 ^ (3m) sd(a ) sd(a ) Figur 10: Sandardfeilen il sesongjusere all og sesongjusere all med 3 måneders glidende gjennomsni Figur 11: Sesongjusere all med 3 måneders glidende gjennomsni og 95%-konfidensinervall 3.4 Variansen il 3-månedersendringen av A (3m), Var(A (3m) A (3m) 3 ) La 3 A (3m) = A (3m) Vi får fra likningene (29) og (32), A (3m) 3. Vi skriver A(3m) 3 slik 3 A (3m) = A (3m) A (3m) 3 = ΘA(3m) (32) A (3m) 3 = (I Θ)A(3m) = (I Θ)ΦÂ (33) Variansen blir Marisen Θ er gi ved ( ) ( Var( 3 A (3m) ) = (I Θ)Φ Var(Â) (I Θ)Φ) (34) 1 2 N Θ = N (35) 16

19 3.5 Variansen il 12-månedersendringen av A (3m), Var(A (3m) A (3m) 12 ) La 12 A (3m) = A (3m) A (3m) 12. Vi skriver A(3m) 12 slik A (3m) 12 = ΓA (3m) (36) der Vi får fra likningene (29) og (36), Γ = N (37) 12 A (3m) = A (3m) A (3m) 12 = (I Γ)A (3m) = (I Γ)ΦÂ (38) Variansen blir ( ) ( Var( 12 A (3m) ) = (I Γ)Φ Var(Â) (I Γ)Φ) (39) De er enkel å beregne Var( 3 A (3m) ) og Var( 12 A (3m) ). Sandardfeilene il disse o sørrelsene er ploe i figur 12. Deres verdier ligger ikke lang fra hverandre sd( 3 A (3m) ) sd( 12 A (3m) ) Figur 12: Sandardfeilene sd( 3 A (3m) ) og sd( 12 A (3m) ) I figur 13 ploer vi sandardfeilene il uvalgsfeil fra AKU for arbeidsledige fra førse kvaral 2006 il sise kvaral 2016 sammen med sandardfeilene il sesongjusere all av ledige fra januar 2006 il desember Vi ser a de o kurvene ligger nær hverandre. 4 Oppsummering Bell og Kramer (1999) har lage en annen meode for variansesimering il sesongjusere all. Den er modellbaser (MB). Sco og Svechkov (2010) har sammenlikne MB-meoden og meoden fra Pfeffermann, og har følgende kommenarer: begge meoder gir rimelige varianser il sesongjusere all, en fordel med MB-meoden er a den fanger opp mer usikkerhe i sluen av idsserien, som er de vikigse idspunke. 17

20 0.20 uvalgfeil jusere all Figur 13: Sandardfeilene il uvalgfeil og sesongjusere all de er en dupp på grafen i de førse og sise idspunkene. De ser unaurlig u. Dee er knye il egenskaper av filre i sesongjusering med X-11. Duppen synes ydelig når uvalgsfeilen er dominerende. Den modellbasere (MB)-meoden vil sannsynligvis gi ilfredssillende variasjoner, inkluder å ha endeverdier som er sørre enn senrale verdier. beregningene med meoden fra Pfeffermann er mye enklere enn den modellbasere meoden som er uvikle av Bell og Kramer. 18

21 Tabell 2: Framskrivinger for 2017 (se forklaringer for variablene under abellen) år mn ujus jus sd(j) j3m sd(j3m) ej3m sd(ej3m) ej12m sd(ej12m) ,90 3,73 0,29 NA NA NA NA NA NA ,14 3,87 0,29 3,78 0,16 NA NA NA NA ,71 3,74 0,28 3,81 0,16 NA NA NA NA ,90 3,82 0,27 3,78 0,16 NA NA NA NA ,89 3,76 0,26 3,75 0,15-0,03 0,22 NA NA ,22 3,66 0,26 3,60 0,15-0,22 0,22 NA NA ,15 3,36 0,25 3,48 0,14-0,30 0,21 NA NA ,60 3,42 0,25 3,41 0,14-0,34 0,21 NA NA ,35 3,46 0,25 3,14 0,13-0,46 0,20 NA NA ,53 2,53 0,19 2,96 0,12-0,52 0,19 NA NA ,59 2,88 0,19 2,71 0,11-0,70 0,18 NA NA ,27 2,73 0,19 2,74 0,11-0,39 0,17 NA NA ,90 4,60 0,33 4,72 0,19 0,11 0,28 0,83 0, ,90 4,63 0,33 4,63 0,19 0,05 0,28 0,55 0, ,84 4,66 0,33 4,66 0,19 0,16 0,28 0,50 0, ,74 4,70 0,33 4,68 0,19-0,04 0,27 0,39 0, ,63 4,68 0,34 4,78 0,20 0,15 0,27 0,43 0, ,07 4,95 0,34 4,85 0,20 0,19 0,28 0,37 0, ,00 4,92 0,35 4,99 0,20 0,31 0,28 0,66 0, ,07 5,08 0,35 4,89 0,20 0,12 0,28 0,36 0, ,71 4,67 0,35 4,81 0,20-0,04 0,28 0,18 0, ,57 4,67 0,35 4,72 0,20-0,27 0,29 0,11 0, ,46 4,81 0,35 4,68 0,20-0,21 0,29 0,10 0, ,05 4,56 0,36 NA NA NA NA NA NA Forklaringer år mn ujus jus sd(jus) j3m sd(j3m) ej3m sd(ej3m) ej12m sd(ej12m) : årsall : månedsall : ujusere all y : sesongjusere all A : sandardfeilen il sesongjusere all sd(â) : 3 måneders glidende gjennomsni av sesongjusere all A (3m) : sandardfeilen sd(a (3m) ) : endringen A (3m) A (3m) 3 : sandardfeilen il ej3m, dvs sd(a (3m) : endringen A (3m) A (3m) 12 : sandardfeilen il ej12m, dvs sd(a (3m) A (3m) 3 ) A (3m) 12 ) 19

22 Referanser [1] Bell W. R. and Monsell Brian C. (1992): X-11 Symmeric Linear Filers and heir Transfer Funcions, Bureau of The Census Saisical Research Division Research Repor Series No. RR- 92/15 [2] Bell W. R. and Mahew Kramer (1999): Toward variances for X-11 seasonal adjusmens, Survey Mehodology, June 1999, Vol. 25., No. 1, pp [3] Bell, William R. (2004): On RegComponen Time Series Models and Their Applicaions, in Sae Space and Unobserved Componen Models: Theory and Applicaions, eds. Andrew C. Harvey, Siem Jan Koopman, and Neil Shephard, Cambridge, UK: Cambridge Universiy Press, forhcoming. [4] Burridge Peer and Wallis Kenneh F. (1984): Unobserved-Componens Models for Seasonal Adjusmen Filers, Journal of Business and Economic Saisics, Vol. 2, No. 4(Oc., 1984), pp [5] Burridge Peer and Wallis Kenneh F. (1985): Calculaing he Variance of Seasonal Adjusmen Series, Journal of he American Saisical Associaion, Vol. 80, No. 391 (Sep., 1985), pp [6] Bureau of he Census: X-12 ARIMA Reference Manual, Version , July 26, [7] Dagum Esela Bee (1983): Specral Properies of he Concurren and Forecasing Seasonal Linear Filers of he X-11 ARIMA Mehod, The Canadian Journal of Saisics, Vol. 11, No. 1 (Mar., 1983), pp [8] Durbin, J. og Koopman, S. J. (2000): Time series snalysis of non-gaussian observaions based on sae space models from boh classical and Bayesian perspecives, J. R. Sais. Soc. B 62, Par 1, pp [9] Findley, D. F. Monsell, B. C., Bell, W. R., Oo, M. C. og Chen B. C. (1998): New Capabiliies and Mehods of he X-12-ARIMA Seasonal Adjusmen Program. Journal of Business and Economic Saisics, 16, [10] Harvey A. C. (1989); Forecasing, Srucural Time Series Models and he Kalman Filer, Cambridge, U. K.: Cambridge Universiy Press. [11] Pfeffermann D. and Morry M and Wong P. (1995): Esimaion of he variances of X-11 ARIMA seasonally adjused esimaors for a muliplicaive decomposiion and heeroscedasic variances, Inernaional Journal of Forecasing 11 (1995) [12] Pfeffermann (1994): A General Mehod for Esimaing he Variances of X-11 Seasonal Adjused Esimaors, Journal of Time Series Analysis, Vol. 15, No. 1, pp [13] Sco Suar and Sverchkov Michail (2010): Characerisics of a Model-based Variance Measure for X-11 Seasonal Adjusmen, Business and Economic Saisics Secion-JSM

23 Tabeller 1 Framskrivinger for Framskrivinger for 2017 (se forklaringer for variablene under abellen)

24 Figurer 1 Addiiv dekomponering. X-11 meoden. Trend ved o meoder Addiiv dekomponering. X-11 meoden. Sesongkomponen Addiiv dekomponering med X-11. Sesongjusere all Addiiv dekomponering med X-11. Irregulærkomponen Addiiv dekomponering med X-11. Sandardfeiler ved o ilfeller Addiiv dekomponering. Sandardfeil med X-11 og X-12-ARIMA Muliplikaiv dekomponering. Sandardfeil il sesongjusere all med X-12-ARIMA Sesongjusere all og 95% konfidensinervall Trend og 95% konfidensinervall Sandardfeilen il sesongjusere all og sesongjusere all med 3 måneders glidende gjennomsni Sesongjusere all med 3 måneders glidende gjennomsni og 95%-konfidensinervall Sandardfeilene sd( 3 A (3m) ) og sd( 12 A (3m) ) Sandardfeilene il uvalgfeil og sesongjusere all

25

26 Saisisk senralbyrå Posadresse: Posboks 8131 Dep NO-0033 Oslo Besøksadresse: Akersveien 26, Oslo Oerveien 23, Kongsvinger E-pos: Inerne: Telefon: ISBN (elekronisk) Design: Siri Boquis