TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 1 - Tilstandsestimering

Transkript

1 Institutt for tenis yberneti Norges tenis-naturvitensapelige universitet EWR TTK4180 Stoastise og adaptive systemer Datamasinøving 1 - Tilstandsestimering Tid og sted: -Utdeling av oppgave: 3. februar Innlevering av oppgave: 3. april 2006 (i bos på D238) Øvingen an gjøres på alle masiner med innlagt Matlab. Forslag til matlab-ode finnes i filer som ligger på hjemmesida til faget. Koden an lastes ned herfra og legges i din egen arbeidsatalog for videre editering og jøring. Veldig mye av den oden som er nødvendig for å jøre øvingen, er lagt ut på nettet. Dette gjør ansje arbeidsmengden (for?) liten. Det vesentlige er at studenten får en faglig forståelse av de forsjellige delene av almanfilteret og hvordan disse påvirer estimatet. Det vil bli satt pris på tilbaemelding både mht. tryfeil og generelt faglig inntry. Hvis det sulle være store ularheter eller linende, så vil det bli sendt ut melding om det på distribusjonslista. Meldingene an også leses under oppslagstavle på nettsidene. Øvingen er obligatoris. Studenter som ie får øvingen godjent, får ie adgang til esamen. Det er tillatt å jobbe sammen to og to. 1

2 1. Prosessmodell- Tilstandsestimering q, c Af, T f Q V, c A, c B, T Figur 1: Reator q, c A, c B, T I denne oppgava sal vi studere tilstandsestimering ved hjelp av almanfilter på en prosess som vist i figur 1. Det foregår en irreversibel, endoterm jemis reasjon A B besrevet ved modellen: c A = q V c Af c A r (1) Ṫ = q V T f T 1 C [ ΔH r rv Q ] (2) r= C c A e 1/T 1 /T C E /R (3) der c A Konsentrasjon av omponent A i reator c Af Konsentrasjon av omponent A ved innløpet til reatoren T Temperatur i reator T f Temperatur ved innløp av reator Q Energitilførsel pr. tidsenhet H r Molar varme i reatoren E Ativeringsenergi C Varme apasitet av reator R, C, T C, V, q Konstanter Vi lineariserer modellen (1)-(3) omring settpuntet T 0 = 400 K, og stasjonærverdien c A0 = 0.5 mol/l. Den stasjonære energitilførselen blir Q 0 = J/min. Dessuten antas temperatur og onsentrasjon av omponent A i fødevannet å være onstante: c Af = 0.5 mol/l og T f = 350 K. Reatoren er utstyrt med et rørver som, ideelt sett, sal sørge for en homogen blanding i reatortanen. Reelt sett er omrøringen så dårlig at onsentrasjon og temperatur i reatoren an antas stoastis fordelte omring de virelige verdiene. I tillegg må vi forvente en viss variasjon i onsentrasjon og temperatur av fødevannet. Avviene modelleres som to hvitstøyilder v 1 og v 2, med ovariansmatrise V 0, som virer rent additivt inn på prosessen. 2

3 Vi har tilgjengelig un en måling fra prosessen, nemlig temperaturen. Målingen tas inn til en datamasin som styrer og overvåer prosessen. Temperaturføleren og signallinjen genererer en målestøy som modelleres som en hvitstøy w med ovarians W 0. Den lineariserte modellen an nå settes opp: ẋ=a x Bu v y=d x w (4) (5) der, med atuelle tallverdier innsatt: x=[ c A c A0 T T 0 ] u=q Q A=[ ] 0 B=[ 7] 10 D=[0 1 ] En første ordens disretisering (Euler forovermetode) av (4) gir: hvor x 1 =Φ x Δu v y =D x w Φ=I AT Δ=BT V =V 0 T W = W 0 T der T er samplingsintervallet. V =[ ] W =4 3

4 2. Program strutur Prosessen sal simuleres og estimeres. Programmet for dette følger iterasjonssjemaet under: 1. Beregn prosessens virelige verdier: x 1 og y 2. y = g x, u, w, x = x 0 første gang ( y = D x i denne oppgaven, bortsett fra i punt 9) 3. X =Φ T 1 X 1 Φ 1 V 1, X = X 0 første gang 4. K = X D T D 5. X D T W 1 X = I K D X I K D T T K W K x = x K y y x 1 = f x, u, v ( x 1 =Φ x Δu i denne oppgaven, bortsett fra i punt 9) 8. Hvis ie ferdig, inrementer og gå til 1 I uttryet for ovariansmatrisa X har man brut en lining som garanterer en symmetris matrise, noe man unne fått problemer med ved utrening i en datamasin pga. avrundingsfeil hvis man hadde brut lininga: Notasjonen i programmet: X = I K D Notasjon Besrivelse Notasjon i programmet y Preditert måling yp x Apriori estimat xp x Aposteriori estimat xe D Måle matrise D Φ Disret transisjonsmatrise FI Δ Disret pådragsmatrise DELTA V Kovariansmatrise for prosess-støyen VV W Kovariansmatrise for måle-støyen WW K Filter forsterning K X Apriori ovariansmatrise XP X Aposteriori ovariansmatrise XE y Målevetor y u Pådragsvetor u x Tilstandsvetor x e Innovasjonsprosessen ep X 4

5 3. Oppgaver Last ned matlab-filene fra hjemmesida til faget: Lagre disse på din egen arbeidsatalog, og sett deg inn i oden. Legg mere til at noen av verdiene som står i oden, er gitt i oppgavene nedenfor. 1. a) Verifiser at det virelig er mulig å estimere alle tilstandene i prosessen (teoretis). b) Finn prosessens egenverdier for både den ontinuerlige og disrete representasjonen av modellen.(med T=0.025) 2. Vi antar at estimatoren obles inn mens prosessen går stabilt i arbeidspuntet (ved t=0/=0). Starttilstanden til estimatoren er feilatig anslått å være xp(0) = [0.1 50] T, mens x(0) = [0 0] T. Styringsstrategien er primitiv, dvs. pådraget Q beregnes off-line for det atuelle setpuntet - uten noen tilbaeoblinger. Det blir dermed ingen ativ undertrying av forstyrrelser utover prosessens egen lavpassfilter-arater. a) Kjør fila alm1.m. Denne simulerer systemet ballistis (dvs. uten støy). Stemmer innsvingningsforløpet overens med egenverdiene fra 1? b) Kjør med almanfilteret (editer matlab-fila). Se på estimatene xe og yp. Er det noen bedring? c) Vis at dynamien for estimeringsavviet Δ ẋ t =ẋ t ẋ t for det ontinuerlige almanfilteret er Δ ẋ=ẋ ẋ= A K t D Δ x v K w. (Se ligning (2.117) i ompendiet, som er ligning for ẋ t ) d) Les av stasjonærverdien til filterforsterningen K og beregn egenverdiene til A K t D. (hus K(t) = K()/T). e) Har egenverdiene rimelig overensstemmelse med estimatenes innsvingning? f) Hva er betydningen av ovariansmatrisene V og W som brues i filterberegningen når den virelige prosess er uten støy? 3. Etter =200 tidssritt foretas det en endring i settpuntet T 0 som et sprang på +10 K. Har dette noen virning på almanfilteret (sje K, ep)? Forlar. 4. Kjør nå med fullt almanfilter og støy i prosessen (editer matlab-fila). Initielt er støyovariansmatrisene V og W gitt verdier i overensstemmelse med den virelige støyen. a) V = diag( , 1) og W = 4. Ser dette fornuftig ut? b) Forsø å variere V og W: -ø W med en fator på 100 -reduser W med en fator på 100 1) Hvordan virer dette inn på estimatene og filterforsterningen K? Forlar. 2) Varier V på tilsvarende måte, an dere si noe om størrelsen på forholdet mellom V og W har noe å si for estimatoren. 3) Hvilet valg av V og W synes dere vil være det beste? 5

6 5. Vi sal se ort på onsevensen av modellfeil i estimatoren. Forandre på et eller flere av elementene i estimatorens A-matrise (dvs. at du må lage en ny, egen A-matrise/φ-matrise for estimatoren. Den opprinnelige brues fortsatt til å beregne tilstandene i den virelige modellen.) Se på estimatene og innovasjonsprosessen (ep). Hva sjer? (Sett A-matrisen tilbae til opprinnelige verdier før dere går videre.) 6. Se på startverdien til estimatets apriori ovariansmatrise (XP), er denne rimelig? Forsø å endre den (reduser eller ø raftig), ommenter. 7. Vi ønser at estimeringsavviet sal gis spesifiserte egenverdier. Vis at egenverdiene λ 1 = og λ 2 = (tidsplan) fås ved å velge K 1() = og K 2() = 0.5, dvs. onstant filterforsterning. Kjør programmet med onstant K-matrise. Observer innsvingningsforløpet av estimatene. Langsomt varierende og onstant forstyrrelse La oss se på hva som sjer når prosesstøyen ie lenger an regnes som hvit. Anta at støyen på temperaturtilstanden x 2 i reatoren nå er befengt med en støy som består av en hvitstøy v 21 som varierer om en tilnærmet onstant forstyrrelse v 20. Dette an forlares med at temperaturen i fødevannet har fått en onstant endring, som ie er detetert av estimatoren og som inntrer i tidspuntet t=0. 8. Hent fila alm7.m. Kjør almanfiltrering med denne onstante forstyrrelsen innsatt. (I denne fila er settpuntsendringen ved =200 slått av.) Feilen i estimatet som oppstår pga. forstyrrelsen, an til en viss grad motvires ved å justere verdien av ovariansen for v 2 (i VV). Forlart ort hvorfor? Hvilen ulempe medfører dette? 9. Hvis vi vet at støyen ie er hvit, an estimatoren forbedres ved å innføre en enel modell av støyen. Vi modellerer det langsomt varierende støybidraget som en Wiener-prosess (integrert hvitstøy). Vi an nå utvide estimatoren med en ny tilstand, nemlig en integrator som esiteres av hvit-støy. Se på fila alm8.m. Tilstandsligningene for Kalmanfilteret blir nå: [ x 1 x 3]=[ a11 a12 0 ][ x1 2 a 22 a 23 1 x 3] [ 0 1] [ uw c 10 7 ]u= A 1 x B 1 uw c B 2 u x x 0 der x 3 representerer wiener-prosessen. uw c er hvit støy som vi genererer wienerprosessen fra ved å integrere opp uw c. Dette svarer til v 2 = x 3 v 21 der x 3 er en sate varierende støy som an modelleres som en wiener-prosess i almanfilteret. På disretisert form får vi [ [ x1, 1 x1, x 2, I T A 1 x 2, x 3, 1]= ] B 1 uw TB 2 u x 3, Der uw =T uw c er disret hvit støy. 10. Forsø nå å jøre programmet med modellering av v 20. Vi vet tilfeldigvis at v 20 = 20. Se på følgende situasjoner for initialverdiene, og ommenter: a) x 3 = xp 3 liten 6

7 b) x 3 =xp 3 nær v 20 c) XP 33 liten verdi d) XP 33 stor verdi og for de onstante verdiene: e) VV 33 liten verdi f) VV 33 stor verdi (I alm8 er støyen w og v 1 ommentert bort, men dere an gjerne esperimentere med å ha med denne støyen i tillegg og også med å for esempel legge inn et sprang i v 20 ) 4. Kommentar Angi omtrentlig tidsforbru. Kriti av oppgaven: - Utbytte - Tryfeil - Forslag til endringer 7