Modell for befolkningsprojeksjoner for norske regioner. av Eivind Giij e x )

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Modell for befolkningsprojeksjoner for norske regioner. av Eivind Giij e x )"

Transkript

1 IO 68/15 Oslo, 23. juli 1968 Modell for befolningsprojesjoner for norse regioner av Eivind Giij e ) Arbeidsdoument til Nordis demografis symposium i Mattby, Finland, august INNHOLD I. Innledning 2 II. Modellbesrivelse 2 1. Konvensjoner og definisjoner 2 2. Prognosemodellen 3 3. En oppsummering av relasjonene i modellen 7 III. Estimering av døds- og flyttesannsynligheter og forventet antall fødte 7 IV. Litt om dataene 9 V. Om modellens anvendbarhet og planlagte forbedringer 10 VI. Litteraturhenvisninger 11 Side ) Jeg vil tae Jan M. Hoem for råd og veiledning og Fridjof Wiese for at han har lest manusriptorretur. Ie for offentliggjøring. Dette notat er et arbeidsdoument og an siteres eller refereres bare etter spesiell tillatelse i hvert enelt tilfelle. Synspunter og onlusjoner an ie uten videre tas som uttry for Statistis Sentralbyrås oppfatning.

2 2 2;. Innledning Statistis Sentralbyrå har i en tidarbeidetmed opplegget til en større personmodell som er tent brut til ulie analyseformål. Tanen er at den sal være en slags parallell til øonomise modeller. Som et første sritt på veien har vi utarbeidet en prognosemodell som er brut til å produsere regionale befolningsprojesjoner. Det er denne jeg sal presentere her. Vi har bygd opp en modell som gir fatorprognoser,og den er ie vesensforsjellig fra lassise prognosemodeller av denne art. Det vitigste nye ligger i at vi har brut mer spesifiserte data, og i at vi an gi langt mer detaljerte resultater enn noen annen modell jeg har sett. Vi har foreløpig aystått fra videre raffinementer. Hovedformålet har i første omgang vert å lage en operabel modell som an gi oss noenlunde brubare resultater for vi begynner med statistise og tenise forbedringer. Selv om moderne EDB-teni har gjort det mulig å gå svært detaljert til vers, er metodene Då mange punter fremdeles lite tilfredsstillende. Dette vil vi prove å hjelpe på i den nystartede "Gruppe for personmodeller." Her utviles for tiden en del demografise modeller av mindre omfang, og analyser utføres på det datamaterialet som finnes i Byrået. Med tiden håper vi A unne nytte resultatene av dette arbeid til å forbedre projesjonsmodellen. Dette vil jeg ommentere nærmere i siste apittel av denne fremstillingen. I apittel II sal jeg gi en besrivelse av den modellen vi har laget, og her har jeg lagt vet på å gi en ritig sannsynlighetsteoretis begrunnelse for formlene i modellen. Kapittel III omhandler estimeringen av struturoeffisientene. I nest siste apittel sal vi se litt på datagrunnlaget, og de restrisjoner dette har lagt på modellen. II. Modellbesrivelse 1. Konvensdoner og definisdoner Jeg vil brue følgende symboler som topp- og fotsrifter: Venstre toppsrift: Kjønn: M for menn, F for vinner. Høyre toppsrift: Kommunenr.: hvor 7: 1,2,...,K. Venstre fotsrift: Varighet: t. Høyre fotsrift: Alder: hvor 0,l,...,w. (w er høyeste levealder.)

3 3 Videre vil n i en parentes etter symbolene stå for datoen 1/1 år n ved tilstandsbegreper og for gret n ved strømningsbegreper. For å belyse symbolbruen vil jeg gi følgende esempler: F (i) (n) betyr fatise antall -årige vinner i ommune pr. 1/1 år n. F (ii) D (n) betegner fatis antall dødsfall i ommune i året n blant vinner som var år gamle pr. 1/1 år n. (iii) q(n) er sannsynligheten for at en vinne som pr. 1/1 år n bor i t ommune og er ar gammel, sal do i ommunen innen hun blir +t år gammel. Andre tilstandsbegreper defineres analogt med F (n), og andre strømnings F begreper defineres analogt med D (n). Videre vil vi innføre den onvensjonen at hvis X er stoastis variabel, sal X betegne en preditor for X. (Amundsen, 1962, bind 2, side 198, og bind Fq, F 3, side 252.) Sål edes blir f.es. L (n) en preditor for L (n). FA F Et symbol som tq(n) betegner en estimator for tq(n). Mange av de relasjoner vi ommer fram til er analoge for menn og vinner. Derfor innfører vi den typografise forenling at symboler uten jønnsangivelse representerer ett enelt, uspesifisert jønn. 2. Prosnosemodellen I dette aysnittet sal jeg gå igjennom alle relasjonene som er brut i modellen og begrunnelsen for disse. I aysnitt 11.3 vil jeg foreta en oppsummering av modellrelasjonene. Forst sal vi sette opp en helt enel regnsapslining som vi vil arbeide videre på. La L betegne den fatise folemengden, D antall døde,u antall utflyttere og I antall innflyttere. Vi har da for (2.1) L (n+1) = L(n) D(n) - U (n) + I (n). +1 Nar n refererer seg til framtidige år vil imidlertid størrelsene på høyre side i (2.1) vare ujente. I en prognosemodell vil man da erstatte dem med predierte verdier. I overensstemmelse med (2.1) an vi så stille opp folgende første relasjon i prognosemodellen: qa A, q, r, qi (2.2) L +1 (1+1) = L (n) - D(n) - 13 (n) + I (n) for n = 0,1,... ; = 1,2,...,K og Of,-co. Her betegner n = 0 et utgangstidspunt fv < < med jent bestand, sli at L (0) --: L (0) for 0==w og = 1,2,...,K. Det er nærliggende a gå ut fra estimatorer for forventningsverdiene til D(n), U(n) og I < (n) for a finne preditorer for disse. Preditorer for L (n) beregnes så reursivt av (2.2).

4 4 I det følgende sal vi se på disse estimatorene. La oss da først betrate D (0) og U (0). Disse stoastise variable er begge binomis fordelt, og vi innfører q(0) og 0(0) som henholdsvis ettårige influerte døds- og utflyttingssannsynligheter. (Sverdrup, 1961, side 23.) De som dør i en ommune an deles i to ategorier. Den ene omfatter de som bodde i ommunen ved årets begynnelse og så har dødd. I den andre er de som har flyttet inn i ommunen etter 1/1 og dødd pa et senere tidspunt i amt. Dødsfallene blant innflytterne i løpet av aret har vi antatt har neglisjerbar betydning og derfor blir: (2.3) E D(0) = q(0). L(0). I analogi med den tilnærmelse som er gjort for de døde, antar vi også at flere flyttinger av samme person i løpet av ett år har neglisjerbar betydning, og dette fører til: (2.4) E u(o) = u(0). L (0). Denne siste antaelse vil forøvrig bli ommentert nærmere til slutt i dette avsnittet. Så sal vi finne et uttry for innflytterne. Forst har vi: (2.5) E U (0) r. E E U (0). =1 La sa. (0) vare sannsynligheten for at en utflytter i alder 1/1 år 0 sal flytte inn i ommune i løpet av samme år. Da blir: (2.6) E fi/;(0) lu(0)} = U(0) og dermed: (2.7) E I (0). (0) E U (0). Ba denne flytteprosedyre ligger en teori som an formuleres på følgende måte: En persons tendens til å flytte ut fra den ommune ban bor i er bare avhengig av egensaper ved denne ommunen. Dette fører til (2.4). Hvor personen bestemmer seg til å flytte hen, avhenger derimot ie av utflyttingsommunen i det hele tatt, men av egensaper ved de mulige innflyttingsommunene. Gitt at en -årig person bestemmer seg for å flytte, vil den betingede sannsynligheten for at han sal flytte til ommune unne srives som en funsjon. som er uavhengig av hvor han bodde ved årets begynnelse. Dette gir en formel som (2.7). (Hoem, 1968, side 14.)

5 5 Som preditorer for D (0), U (0) og I (0) vil vi brue estimatorer for forventningsverdiene og får si liningene (28) (2.9), (2.10) og (2.11) for n = 0. Disse ombineres med (2.2) og dermed an vi la liningssettene gjelde for alle n. (2.8) b (n) ("l e(n). ", ^ f, (2.9) U (n) = u X L (n). K (2.10) id (n) =.Z 0-1 (n). 3=1 rt, (2.11) I (n) = : U (n). der = 1,2,..,K; Ou) og n = 0,1,... Vi har ie datert estimatorene for struturoeffisientene q(n), U(n). og (n). Grunnen er at vi i modellenlar dødeligheten og flyttetendensen være den samme som i utgangspret gjennom hele prognoseperioden. Vi vil nedenfor gjøre samme antaelse for forventet antall fødte. Av (2.2),(2.8), (2.9), (2.10) og (2.11) an vi nå gi prognoser for alle aldersgrupper unntatt de som fødes i prognoseåret. så sal vi se litt på disse nyfødte. La f være det forventede antall levende barn som fødes i året n av en vinne som pr. 1/1 år n er år gammel og bor i ommune (Hoem, 1967, side 57), og la B(n) være det antall barn disse F (n) vinnene fatis får i dét året. Da er som gir E fe(b(n) I Il(n)} = E{f (n) FL (n)} E B <(n) = f(n). E FL(n) og dermed blir forventet totalt antall fødte i bestanden i år 0 44 (2.12) E B(0) = E f(0). FL (0) =15 hvor vi har summert over det vi har regnet som vinnenes fødedytige aldre. I tråd med tidligere utledninger finner vi følgende preditorer: 44 (2.13) W (n)e ib FrA 6'1) =15 for = 1,2,...,K; 0:-"l7.w og n = 0,1,.... Her ma vi være oppmersomme på at også (2.12) og (2.13) er tilnarmelsesformler. Analogt med tidligere har vi neglisjert fødsler av vinner som flytter inn i ommune ogføderi samme ommune og samme år.

6 La F cbetegne andelen av pier i et fødselsull. Når vi regner med at fødslene"i gjennomsnitt finner sted midt i året", an vi stille opp formelen: 1.4N, - F", F fti F: (2.14) L (n+1) = fl-( 2 n + lu )/. c. B (n) + U (n); =1,2,...K; n=0,1, rli Her er F(+1) preditor for antallet nyfødte pier som lever og bor i ommune ved slutten av det alenderår de er født i. Tilsvarende preditorformel gjelder for gutter. I det siste leddet her sulle vi hatt med en orresjonsfator for dødsfall og utflytting etter innflytting. Da den gjennomsnittlige tid de fødte er under risio for a do eller flytte ut igjen etter innflytting er liten, regner vi imidlertid med at orresjonsfatoren vil ha uvesentlig betydning. Flere steder i modellen har vi gjort linende forutsetninger om at flere "begivenheter" ie an inntreffe for en og samme person i ett og samme år. ("Begivenheter" må her toles som noe vi tar hensyn til i modellen.) Vi sal ort oppsummere og ommentere disse. Vi regner ie med at en person både an flytte og do i ett alenderår. Et enelt regneesempel gir et bilde av hvor mye dette an bety. Tallene er relevante for situasjonen i Norge i dag. Av flyttere regner vi med at de aller fleste har alder mellom 20 og 40 år. Den ettårige dødssannsynligheten er masimalt ca. 0,002 for disse aldersgrupper. Regner vi med at flyttingene "i gjennomsnitt" sjer midt i året, vil altså masimalt ca. 200 av de flyttere do i resten av aret. I modellen tar vi heller ie hensyn til at personer an flytte flere ganger i løpet av et år. Nå er vi egentlig bare interessert i hvor en person befinner seg i slutten av hvert alenderår. Vi an derfor omgå dette problem ved å se bort fra alle 'mellomlandinger" under estimeringen av flyttesannsynligheten. Som et spesialtilfelle av dette vil vi ie registrere noen flytting for en person som til slutt havner i samme ommune som han først flyttet ut fra. En vinne som har født, an enten do eller flytte etter fødselen, men i modellen tar vi ie hensyn til at hun an fode etter flytting. Etter innflytting vil den gjenstående tid vinnene er under risio for å fødefli gjennomsnitt" vane så vidt lang som et halvt år. Derfor an vi ie regne med at denne utelatelse har neglisjerbar betydning. Ved estimeringen av forventet antall fødte har det imidlertid ie vært mulig 1 folge den enelte vinne fra årets begynnelse til årets slutt. Alle de fødsler som blir registrert i en ommune er derfor tilsrevet de vinnene som var tilstede i begynnelsen av aret. Dette gjelder også fødsler av vinner som har flyttet inn i løpet av året. Denne feilestimering virer i motsatt retning av den ovennevnte utelatelse og sulle derfor ompensere helt eller delvis for denne.

7 De fleste av de her omtalte forenlinger er gjort av programmeringstenise årsaer. Problemene unne ansje teoretis vart lost på en tilfredsstillende måte, men jøretiden på datamasinen ville i så tilfelle blitt en god del lengre. Faren ligger ie i de feilene som gjøres for det enelte prognoseår, men i at feilene aumulerer seg opp. Derfor an de no få betydning hvis vi lager prognoser for mange år framover. 3. En ousummerina av relasionene i modellen Prognosemodellen inneholder altså følgende relasjoner: rs (1 en) (2.2) L (n+1) = L (n)d (n) - U.4( +1 (n) 1( + I (i). (2.8) (2.9) (2.10) I : (2.11) ( n) = U (n). q, 44. Fq, (2.13) B (n) = E f. L (n). =15 1 Ai -lc ^ q,, t (2.14 ) Lo (n+1) = {1 - ( 1 q +, U )}. c. B (n) + 1. Ú (n) for = 1,2,...,K, 0-*..--:w og n = 0,1,. III. Estimerin av døds o fl ttesanns ligheter og forventet antall fødte analogt. Vi sal først se på døds- og utflyttingssannsynlighetene som estimeres La den gjenstående levetid for en person i alder ware T. Vi innfører nå fordelingsfunsjonen F ved (3..1) F(t) = P(T = t) = tq, og dødsintensitetsfunsjonen (Hoem, 1967, side 97): d (3.2) = ---F (t) dt - F(t) Så antar vi at p (t) er uavhengig av t innenfor et tidsintervall av ett Az,. Da er åpenbart: (3.4) F = 1 for 0=t<1 som er den esponentielle fordelingsfunsjon.

8 8 La oss så betrate en person i tiden [t,1], dvs. i en periode av lengde 1-t (t er fremdeles mindre enn 1). Antall ganger personen dor i perioden er tm, og antall ganger han flytter er tn. Vi har ( tm,tn) E {(0,0), (0,1), (1,0)1. Videre er GT utflyttingsintensiteten og definert analogt med u. Vi an foreløpig anta at p og a er onstanter uavhengig av jønn, alder, ommune og år. Da er 1-t, = E M = PC M=1) = f t t e p+a)t -61+0(1-t) - 1-tq+t dt = TTI T (1-e ), og spesielt for t=0 (3.5) q 11+a Etter Sverdrup (1961) lønner det seg å gå ut fra estimatorer for ii og a når vi sal estimere q og u. La oss si at vi har data for hvert av årene m til (m+t-l). Estimatorer for gjennomsnittlige døds- og flytteintensiteter i perioden finnes da av: t E D (m+j-l) (3,6) 17-1 (m X t)- j=1 X E M (m+j-1) j=1 og t. E U (m+]-1) (3.7) (73,f miel t. E M (m+3-1) j=1. M (m+]-1) er den observerte, aggregerte levetid i ommune og alenderår (mi-j-l) av personer i alder ved begynnelsen av amt. Etter Sverdrup (1961) an denne størrelsen approsimeres ved.... (3.8) M (m+]-1) (m+3-1) i(d (m+]-1) + U (m+3-1) - I (m+j-l)). Av (3.5) følger: ^ (3.9) q(m,t) = og A (m,t) p (m,t) + a (m,t) ^ ^ (l-ep(-p (m,t) + a (m,t)) - - a (m,t) A ^, (3.10) u (m,t) = (1-ep(-p (m,t) - tm,t)). p (m,t) + a (m,t) - - q (m,t) og u(m,t) i (3.9) og (3.10) er estimatorer for gjennomsnittlige døds og utflyttingssannsynligheter i årene m til (m+t-1). For detaljer angående estimatorenes sannsynlighetsteoretise egensaper henvises til annen litteratur (f.es. Sverdrup (1961)).

9 9 Som estimator for. (m,t) har ví brut: E I (m+j-1) (3.11) i (m,t) j=1 E U (m+j-1) j=1 At denne er forventningsrett sees av: t t t 1 Efi (m,t)i E U_(m+j -1)}:. 'El E r(, m+j-1) 1 E U_Cm+j-3)}:i(m,t) t jr j1= E U_(m+ j-1) -- j=1 '' t ^ og. dermed er E (m,t) (m,t). Liningen gjelder bare for E U (m+j-1)>o, men j=1 : for E U (m+j-1) 7: 0 blir selvsagt (m,t) :7 0 for alle. j=1 f (m,t) estimeres ved: B (m+j-1) (3.12) i(m,t) = j="/ t F E L (m+j-1) j=1 og på samme måte som ovenfor finner vi at f(m,t) or forventningsrett. IV. Litt om dataene Under utarbeidelsen av modellen har vi selvsagt måttet ta hensyn til den datamasse vi har til disposisjon. Dataene sulle oppfylle to rav: De sulle være detaljerte og forholdsvis lette g bearbeide. Pa grunn av disse rav har vi fes. vært nødt til foreløpig å se bort fra en oppdeling etter etesapelig status. Lieledes har vi ie sett oss i stand til a ta hensyn til emigrasjon og immigrasjon. Både oppdeling i sivilstandsgrupper og emigrasjon/immigrasjon håper vi å få med i nye utgaver av modellen. andre land. Som vi sal se har vi lievel mer data til disposisjon enn de fleste Initialbestanden er den vi hadde pr. 1/ Denne har vi fått fra det nyopprettede personregister for Norge. Hovedoppdelingen er på ommuner. Innen hver ommune har vi antall personer innen hver ett-årig aldersgruppe fordelt på jønn. Samme detaljoppdeling finnes for alt det datamaterial som er brut. Til grunn for beregning av estimater for døds-, flyttesannsynligheter og forventet antall fodte ligger statisti for det ene år (t i formlene (3.6) - (3d2)er altså li 1). Vi unne her ha tent oss å brue tall for flere år, men på grunn av ommunesammenslåinger har tall for de enelte ar fram til 1966 ie vært direte sammenlignbare. Derfor har det ie wart mulig å finne en tilfredsstillende måte å lose dette problemet pa.

10 10 Meningen er i det løpende prognosearbeid å gjøre bru av ny statisti så snart denne foreligger.. Om modellens anvendbarhet og 'lanlagte forbedringer Under utarbeidingen av denne modellen har vi hele tiden vært lar over at vi ville være interessert i forbedringer så snart den første utgaven forela. Dette har vi tatt hensyn til under system- og programmeringsarbeidet, og resultatet er blitt et, etter vår mening, ganse flesibelt system. I stedet for store programmer som utfører mange operasjoner pa én gang, har vi brut en teni med en oppdeling i bloer hvor forandringer i en blo får liten eller ingen betydning for resten av systemet. Vi har ie bare hatt forbedringer i tanene ved utformingen av systemet. Erfaringsmessig vil det alltid være interesse for alternative projesjoner på nye sett av data. Na holder vi f.es. på a produsere projesjoner hvor regner som om flyttingene mellom ommunene er opphørt. Flytterelasjonene i modellen har da ingen interesse. For å spare arbeid og masintid an vi lett ta de bloene som beregner flytting mellom ommunene ut av programmet, uten at dette får innvirning på resten av systemet. Ved de første testjøringene viste det seg at estimatene for de regional dødssannsynligheter var ubruelige for små ommuner. Selv Oslo med et datagrunnlag på ca menneser viste store svingninger i de eldste alderslasser. Dette har fort til at vi foreløpig har brut den dødeligheten som gjaldt for hele landet i årene (Folemengdens Bevegelse 1965; Tab. XXII) som estimator for dødssannsynligheten i de enelte ommuner. Da vi i Norge har liten emigrasjon, vil disse estimatene vare estimater for noe som tilnærmet er partielle dødssannsynligheter. Når vi så predierer dødsfall i en ommune får vi egentlig også med dødsfall blant de som har flyttet ut av ommunen. Vi har ie tillagt denne inonsistens noen særlig vet. De første forbedringer vi har på programmet bunner nettopp i lite datagrunnlag for estimering av clods-, og flyttesannsynligheter og forventet antall fødte i hver ommune. Selv om vi hadde hatt data for, la oss si 5 år, ville variansen på et gjennomsnitt over årene være svært stor for små ommuner. Var tane er nå å sla ommunene sammen i grupper, for på denne måten å saffe et større datagrunnlag pr. region. Hvordan vi sal danne disse ommunegruppene har vi ennå ie tatt standpunt til, men det er satt i gang en undersøelse angående avhengighet mellom flyttinger og variable av bade demografis og iedemografis natur.

11 11 De fremtidige fødselstall er også et stort usierhetsmoment i befolningsprojesjoner. Det ser ut til at fødselsullene vil stige mer enn det er rimelig å tro i de projesjonene vi na har produsert. Vi har visse teorier om årsaene til dette, men også her vil vi foreta undersøelser for vi griper inn i modellen med forbedringer. VI. Litteraturhenvisninger Amundsen, H.T. (1962): 'Innføring i teoretis statisti Bind 1-3." Memorandum _ av 28/ fra Sosialoon.inst., Univ. i Oslo, og Universitetsforlaget, Oslo. Hoem, Jan M. (1967): "GrEalngE) Elliocningslere." Memorandum_ av 7/ fra Sosialoon.inst., Univ. i Oslo. Hoem, Jan M. (1968): "Befolninpprognosemodellens flyttingsrelasjoner. I. Upublisert arbeidsnotat IO 68/11 fra Statistis Sentralbyrå, Oslo. Norges Offisielle Statisti XII 220 (1967): "Folemengdens Bevegelse 1965.' Statistis Sentralbyrå. Sverdrup, Erling (1961): "Statistise metoder ved dødelighetsundersøelser. Inst. for matem.fag, Univ. i Oslo.

Normalfordeling. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 7

Normalfordeling. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 7 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. 1 Høgsolen i Gjøvi Avdeling for tenologi, øonomi og ledelse. Statisti Ueoppgaver ue 7 Normalfordeling. Oppgave 1 Anta Z N(0, 1), dvs. Z er standard

Detaljer

MAT1030 Forelesning 16

MAT1030 Forelesning 16 MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og

Detaljer

Rekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel

Rekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive

Detaljer

Oppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok:

Oppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok: Oppgaver i apittel - Løsningssisser og ommentarer Lærebo:.6 Vitig oppgave, viser hvordan ree-summer an tilnærmes med integraler. Atuelt hvis vi har formelen for n te ledd, men ie har noen summeformel.

Detaljer

Førsteordens lineære differensiallikninger

Førsteordens lineære differensiallikninger Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Løsningsforslag til øving 10

Løsningsforslag til øving 10 FY11/TFY4145 Meanis fysi. Institutt for fysi, NTNU. Høsten 211. Løsningsforslag til øving 1 Vi utleder aller først ligningen som fastlegger vinelen φ r, dvs overgangen fra ren rulling til sluring. N2 for

Detaljer

R Differensialligninger

R Differensialligninger R - 6.0.05 - Differensialligninger Løsningssisser Oppgave Løs differensialligningene y x y b) y y x c) y 8y 7y 0 Separabel: y y x y dy xdx y x C y x 4 C y C x 4 Da ligningen er ulineær, bør vi også se

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1 STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.

Detaljer

KONGSVINGER: Postboks 510, Stasjonssida, 2201 Kongsvinger Tlf. (02) *41 38 20 Tlf. (066) *14 988

KONGSVINGER: Postboks 510, Stasjonssida, 2201 Kongsvinger Tlf. (02) *41 38 20 Tlf. (066) *14 988 OSLO: Postbos 8131 Dep, Oslo 1 KONGSVINGER: Postbos 510, Stasjonssida, 2201 Kongsvinger Tlf. (02) *41 38 20 Tlf. (066) *14 988 IO 78/26 9. otober 1978 STTISTISK SENTRLBYRÅS BEFOLKNINGSPROGNOSEMODELL: TEKNISK

Detaljer

ARBEIDSKRAV 2A: Tekstanalyse. Simon Ryghseter 02.10.2014

ARBEIDSKRAV 2A: Tekstanalyse. Simon Ryghseter 02.10.2014 ARBEIDSKRAV 2A: Tekstanalyse Simon Ryghseter 02.10.2014 Innledning Hva oppgaven handler om I denne oppgaven skal jeg ta for meg en tekstanalyse av en Netcom reklame, hvor du får en gratis billett til å

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

NORSK TEKSTARKIV J o s t e in H. Hauge

NORSK TEKSTARKIV J o s t e in H. Hauge NAVF'S EDB-SENTER FOR HUMANISTISK FORSKNING V IL L A V E I 1 0, POSTBOKS 53 50 1 4 BERG EN-UNIVERSITETET 7 O k to b e r 1979 NORSK TEKSTARKIV J o s t e in H. Hauge 1. FO RHISTORIE D a ta m a s k in e ll

Detaljer

Elevundersøkelsen Bergen kommune, vår 09: Et nærmere blikk på mobbing, uro, motivasjon, bruk av PC

Elevundersøkelsen Bergen kommune, vår 09: Et nærmere blikk på mobbing, uro, motivasjon, bruk av PC Elevundersøkelsen Bergen kommune, vår 09: Et nærmere blikk på mobbing, uro, motivasjon, bruk av PC Dette notatet er en sammenstilling av et utvalg av spørsmålene i Elevundersøkelsen. Mobbing Spørsmål:

Detaljer

Mer om hypotesetesting

Mer om hypotesetesting Mer om hypotesetesting I underkapittel 36 i læreboka gir vi en kort innføring i tankegangen ved hypotesetesting Vi gir her en grundigere framstilling av temaet Problemstilling Vi forklarer problemstillingen

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser ÅS 0214 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser ÅS 0214 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser - ÅS 014 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

3. Arbeidsvilkår, stress og mestring

3. Arbeidsvilkår, stress og mestring 3. Arbeidsvilkår, stress og mestring Barometerverdien for arbeidsvilkår, stress og mestring har steget jevnt de tre siste årene. Hovedårsaken til dette er at flere har selvstendig arbeid og flere oppgir

Detaljer

MAT1030 Forelesning 21

MAT1030 Forelesning 21 MAT00 Forelesning Mer ombinatori Roger Antonsen - 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-0-5 00:05) Kapittel 9: Mer ombinatori Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ) Mer om ombinasjoner n velg

Detaljer

Sentralmål og spredningsmål

Sentralmål og spredningsmål Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir

Detaljer

Forelesning 20. Kombinatorikk. Roger Antonsen - 7. april 2008

Forelesning 20. Kombinatorikk. Roger Antonsen - 7. april 2008 orelesning Kombinatori Roger Antonsen - 7. april 8 Kombinatori Kombinatori er studiet av opptellinger, ombinasjoner og permutasjoner. Vi finner svar på spørsmål Hvor mange måter...? uten å telle. Vitig

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser HURUM STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser HURUM STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser HURUM 0628 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ME ÅDER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 8 dag 1 1. Tidlig en morgen starter en snegle på bakken og klatrer oppover en 12 meter høy stolpe. Hver dag kryper den 2 meter oppover, men om natten sklir den

Detaljer

Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn

Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Løsningsord for kalenderen er RAKETTBASE PRESIS KLOKKA TO A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

IN105-javaNelson-2. array, evt. flere dimensjoner. Institutt for informatikk Jens Kaasbøll sept. 1999. En funksjon om gangen En klasse om gangen

IN105-javaNelson-2. array, evt. flere dimensjoner. Institutt for informatikk Jens Kaasbøll sept. 1999. En funksjon om gangen En klasse om gangen "Nelsons affebuti" et esempel på systemutviling med objeter Originale lysar av Jens Kaasbøll - mindre endringer av G. Sagestein og Knut Hegna IN5-javaNelson- Analyse Lageradministrasjon (inventory) Mange

Detaljer

3rd Nordic Conference of Computational Linguistics NODALIDA 1981 137

3rd Nordic Conference of Computational Linguistics NODALIDA 1981 137 137 Anne G olden N orsk u n d erv i sn in ijen fo r u te n la n d s k e s t u d e n te r U n i v e r s i t e t e t i O slo PRESENTASJON AV PROSJEKTET LÆREBOKSPRM N å r d e f r e n u nedspråkliye e l e

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser RAKKESTAD 0128 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser RAKKESTAD 0128 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser RAESTAD 0128 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER I rien Tellingsresultater - Tilbake&ende tall - Prer,

Detaljer

3 Sannsynlighet, Quiz

3 Sannsynlighet, Quiz 3 Sannsynlighet, Quiz Innhold 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 1 3.2 Addisjon av sannsynligheter... 3.3 Produtsetningen for sannsynlighet... 11 3. Binomis sannsynlighet... 17 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning

Detaljer

Helsetjenesten - del IV: Prioritering. Jon Magnussen IIIC: Høst 2014

Helsetjenesten - del IV: Prioritering. Jon Magnussen IIIC: Høst 2014 Helsetjenesten - del IV: Prioritering Jon Magnussen IIIC: Høst 2014 Prioritering Spml 1: Må vi prioritere? Spml 2: Etter hvilke kriterier skal vi prioritere? Spml 3: Hvordan skal kriteriene operasjonaliseres?

Detaljer

Tallinjen FRA A TIL Å

Tallinjen FRA A TIL Å Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen

Detaljer

Tall fra Grunnskolens informasjonssystem (GSI) 2012/13

Tall fra Grunnskolens informasjonssystem (GSI) 2012/13 Tall fra Grunnskolens informasjonssystem (GSI) 2012/13 Innholdsfortegnelse Sammendrag 2 Innledning 2 Elevtall, grunnskoler og lærertetthet 2 Årsverk til undervisningspersonale og elevtimer 2 Spesialundervisning

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST0 Statistise etoder Norges tenis-naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag Løsningsforslag - Esaen deseber 008 Oppgave a l(θ = lnl(θ = L(θ = n n f(x i [ θ e ] x i θ [ ln lnθ x ] i = nln

Detaljer

Homogenitet av grad 1; makro og lang sikt, rollen til frikonkurranse

Homogenitet av grad 1; makro og lang sikt, rollen til frikonkurranse Chapter 3 Solow-modellen Forsjell mellom land i apital per arbeider Kapitalens rolle i) Er produtiv ii) Blir produsert; avveining forbru investering iii) Gir avastning iv) Bærer av tenologi v) Blir slitt

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser ASKØY 1247 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser ASKØY 1247 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser ASØY 147 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser MO 1803 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser MO 1803 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEMBER 60 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser MO 80 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser" legger

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK

EKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72

Detaljer

Undervisningsressurser på Filosofi og Exphil 2016-2025

Undervisningsressurser på Filosofi og Exphil 2016-2025 Undervisningsressurser på Filosofi og Exphil 2016-2025 12.04.2016/ACL Beregning av behov for undervisningsressurser Kilder for dette er i all hovedsak arbeidspliktregnskapet og de kostnadsberegningene

Detaljer

Sannsynligheten for det usannsynlige kan vi bestemme sannsynligheten for usannsynlige hendelser?

Sannsynligheten for det usannsynlige kan vi bestemme sannsynligheten for usannsynlige hendelser? Sannsynligheten for det usannsynlige an vi bestemme sannsynligheten for usannsynlige hendelser? Ørnulf Borgan Landsurs i matemati Gardermoen 6. mars 2017 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser FREDRIKSTAD 0103 STATISTISK SENTRALBYRÅ- OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser FREDRIKSTAD 0103 STATISTISK SENTRALBYRÅ- OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser FREDRISTAD 0103 STATISTIS SENTRALBYRÅ- OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER I serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall -

Detaljer

ET FORSØK PA EN ENKEL, TEORETISK VURDERING AV DE ESTIMERINGSMETODER SOM BRUKES I FORBINDELSE MED DE POLITISKE MENINGSMÅLINGER. lb Thomsen INNHOLD

ET FORSØK PA EN ENKEL, TEORETISK VURDERING AV DE ESTIMERINGSMETODER SOM BRUKES I FORBINDELSE MED DE POLITISKE MENINGSMÅLINGER. lb Thomsen INNHOLD I0 77/30 26. august 1977 ET FOSØK PA EN ENKEL, TEOETISK VUDEING AV DE ESTIMEINGSMETODE SOM BUKES I FOBINDELSE Av MED DE POLITISKE MENINGSMÅLINGE. lb Thomsen INNHOLD Side 1. Innledning... 2 2. Noen definisjoner

Detaljer

Temanotat 2006/8: Pensjonering i skoleverket etter år 2000

Temanotat 2006/8: Pensjonering i skoleverket etter år 2000 Temanotat 2006/8: Utarbeidet av Bjarne Wik for Utdanningsforbundet Temanotat 2006/8 Utarbeidet i avdeling for utredning Utdanningsforbundet Postboks 9191 Grønland 0134 OSLO www.utdanningsforbundet.no Innholdsfortegnelse

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser LEVANGER 1701 STATISTJSK SENTRALBYRA - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser LEVANGER 1701 STATISTJSK SENTRALBYRA - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEMBER 960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser LEVANGER 70 STATISTJS SENTRALBYRA - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

Velkommen til Kjøkkengaarden

Velkommen til Kjøkkengaarden ti u b en jø es d le er En ann Velommen til Kjøengaarden EN ANNERLEDES KJØKKENBUTIKK Kjøengaarden holder til i et vaert bygg fra 1812, med moderne design og gamle tømmervegger om hverandre. Her har vi

Detaljer

Ordenes makt. Første kapittel

Ordenes makt. Første kapittel Første kapittel Ordenes makt De sier et ord i fjernsynet, et ord jeg ikke forstår. Det er en kvinne som sier det, langsomt og tydelig, sånn at alle skal være med. Det gjør det bare verre, for det hun sier,

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser OPPEGÅRD 0217 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser OPPEGÅRD 0217 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEMBER 960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser OPPEGÅRD 07 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP

Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Av Alf Inge Wang 1. Utførelse av programmer Et dataprogram består oftest av en rekke programlinjer som gir instruksjoner til datamaskinen

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

d) Poenget er å regne ut terskeltrykket til kappebergarten og omgjøre dette til en tilsvarende høyde av en oljekolonne i vann.

d) Poenget er å regne ut terskeltrykket til kappebergarten og omgjøre dette til en tilsvarende høyde av en oljekolonne i vann. Sisse til løsning Esamen i Reservoarteni 3. juni, 999 Oppgave a) Kapillartry er differansen i try mellom to faser på hver side av den infinitesimale overflaten som siller fasene. Det følger av en minimalisering

Detaljer

Vann i rør Ford Fulkerson method

Vann i rør Ford Fulkerson method Vann i rør Ford Fulkerson method Problemet Forestill deg at du har et nettverk av rør som kan transportere vann, og hvor rørene møtes i sammensveisede knytepunkter. Vannet pumpes inn i nettverket ved hjelp

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) der

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) der MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2010 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) Oppgave 13.1 Modell: Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ 2 ) Boka opererer her med spesialtilfellet der man har like

Detaljer

SENSORVEILEDNING FOR EKSAMENSOPPGAVEN I SVSOS107 VÅREN 2002

SENSORVEILEDNING FOR EKSAMENSOPPGAVEN I SVSOS107 VÅREN 2002 SENSORVEILEDNING FOR EKSAMENSOPPGAVEN I SVSOS107 VÅREN 2002 Generell informasjon Dette er den siste eksamensoppgaven under overgangsordningen mellom gammelt og nytt pensum i SVSOS107. Eksamensoppgaven

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser STEINKJER 1702 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser STEINKJER 1702 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEMBER 60 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser STEINJER 70 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser SØR-AUKRA 1545 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser SØR-AUKRA 1545 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEMBER 90 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser SØR-AURA 545 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER I serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

Kjære alle sammen - Det er en glede for meg å ønske velkommen til konferanse i hjembygda mi - VELKOMMEN TIL OPPDAL og VELKOMMEN TIL KOMMUNEKONFERANSE.

Kjære alle sammen - Det er en glede for meg å ønske velkommen til konferanse i hjembygda mi - VELKOMMEN TIL OPPDAL og VELKOMMEN TIL KOMMUNEKONFERANSE. Kjære alle sammen - Det er en glede for meg å ønske velkommen til konferanse i hjembygda mi - VELKOMMEN TIL OPPDAL og VELKOMMEN TIL KOMMUNEKONFERANSE. Mange av oss har nettopp møttes på nok et vellykka

Detaljer

Obligatorisk oppgave 4 i INF4400 for Jan Erik Ramstad

Obligatorisk oppgave 4 i INF4400 for Jan Erik Ramstad Obligatoris oppgave i INF for Jan Eri Ramstad Jan Eri Ramstad Institutt for Informati Universitetet i Oslo janera@fys.uio.no. Mars6 6. april Bagrunn Worst case transient simulering NAND port Oppgave I

Detaljer

Risikokurs for ungdom mellom 18-25 år med tilhørighet i Agder Gratis kurs med varighet 4,5 timer Ingen teori, kun praktiske øvelser Kursbeviset gir

Risikokurs for ungdom mellom 18-25 år med tilhørighet i Agder Gratis kurs med varighet 4,5 timer Ingen teori, kun praktiske øvelser Kursbeviset gir Risikokurs for ungdom mellom 18-25 år med tilhørighet i Agder Gratis kurs med varighet 4,5 timer Ingen teori, kun praktiske øvelser Kursbeviset gir deg billigere forsikring Målsetningen er å øke forståelsen

Detaljer

Permitteringsperiodens varighet og tilbakekalling til permitterende bedrift

Permitteringsperiodens varighet og tilbakekalling til permitterende bedrift Permitteringsperiodens varighet og tilbakekalling til permitterende bedrift Utarbeidet for Arbeids- og sosialdepartementet Notat 2015-01 Proba-notat nr. 1, 2015 Prosjekt nr. 15071 KAL/HB, 7. desember,

Detaljer

BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL

BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL Labratorieøvelse i FYSIKK Høst 1994 Institutt for fysisk, NTH BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL av Ola Olsen En lett revidert og anonymisert versjon til eksempel for skriving av lab.-rapport

Detaljer

Samspill i Sørkedalsveien 6 år etter Konflikter bil/sykkel i krysset Sørkedalsveien/Morgedalsvegen

Samspill i Sørkedalsveien 6 år etter Konflikter bil/sykkel i krysset Sørkedalsveien/Morgedalsvegen TØI-rapport 934/2007 Forfattere: Ross Phillips; Torkel Bjørnskau; Rolf Hagmann Oslo 2007, 19 sider Sammendrag: Samspill i Sørkedalsveien 6 år etter Konflikter bil/sykkel i krysset Sørkedalsveien/Morgedalsvegen

Detaljer

R2 - Kapittel 2 - Algebra. I a) Hvilken av disse tallfølgene er aritmetiske, geometriske eller ingen av delene?

R2 - Kapittel 2 - Algebra. I a) Hvilken av disse tallfølgene er aritmetiske, geometriske eller ingen av delene? R2 - Kapittel 2 - Algebra I Hvilen av disse tallfølgene er aritmetise, geometrise eller ingen av delene?.,,,,... 2 4 2. 2,6,8,54,.... 2,6,0,4,... 4.,, 2, 4,... 2 9 5., 5, 7, 9,... 4 9 6 Sriv opp uttryet

Detaljer

En eksplosjon av følelser Del 3 Av Ole Johannes Ferkingstad

En eksplosjon av følelser Del 3 Av Ole Johannes Ferkingstad En eksplosjon av følelser Del 3 Av Ole Johannes Ferkingstad MAIL: ole_johannes123@hotmail.com TLF: 90695609 INT. SOVEROM EVEN MORGEN Even sitter å gråter. Han har mye på tankene sine. Han har mye å tenke

Detaljer

: subs x = 2, f n x end do

: subs x = 2, f n x end do Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x

Detaljer

SOS3003 Eksamensoppgåver

SOS3003 Eksamensoppgåver SOS33 Eksamensoppgåver Gjennomgang våren 24 Erling Berge Vår 24 Gjennomgang av Oppgåve 2 gitt hausten 2 Vår 24 2 Haust 2 OPPGÅVE 2I tabellvedlegget til oppgåve 2 er det estimert 6 modellar av eiga inntekt

Detaljer

lunsj. Helt til slutt fikk vi lov å komme inn i huset igjen og smake på brød som de spiste i Jernalderen.

lunsj. Helt til slutt fikk vi lov å komme inn i huset igjen og smake på brød som de spiste i Jernalderen. Da var vi kommet i gang med høsten, og vi har vært utrolig heldige med det flotte været som vi har hatt. Vi har kost oss både inne og ute i barnehagen. Hadde vært utrolig fint om vi kunne fått dette været

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn

Detaljer

SNAPCHAT. SAMMENDRAG En undersøkelse angående hvem og hva Snapchat brukes til.

SNAPCHAT. SAMMENDRAG En undersøkelse angående hvem og hva Snapchat brukes til. SAMMENDRAG En undersøkelse angående hvem og hva Snapchat brukes til. Ane Birgitte Berg, Alida Tobiassen, Karoline Nilsen, Iselin Meisler og Charlotte Omreit. SNAPCHAT Snapchat et verktøy for alle? Bakgrunnen

Detaljer

Straffespark Introduksjon Scratch Lærerveiledning

Straffespark Introduksjon Scratch Lærerveiledning Straffespark Introduksjon Scratch Lærerveiledning Introduksjon Vi skal lage et enkelt fotballspill, hvor du skal prøve å score på så mange straffespark som mulig. Steg 1: Katten og fotballbanen Vi begynner

Detaljer

Matematikk S2 kapittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Matematikk S2 kapittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Matemati S2 apittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 508 a Utfall: 1 og 2, 1 og 3, 1 og 4, 2 og 3, 2 og 4, 3 og 4. De ses utfallene er lie sannsynlige, så de har hver sannsynlighet 1

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser KRAGERØ 0815 STATISTISK SENTRALBYRA - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser KRAGERØ 0815 STATISTISK SENTRALBYRA - OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 160 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser RAGERØ 0815 STATISTIS SENTRALBYRA - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER I serien "Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser

Detaljer

Miljø og kjemi i et IT-perspektiv

Miljø og kjemi i et IT-perspektiv Miljø og kjemi i et IT-perspektiv Prosjektrapporten av Kåre Sorteberg Halden mars 2008 Side 1 av 5 Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... 2 Prosjektrapporten... 3 Rapportstruktur... 3 Forside... 3

Detaljer

Vurdering av kvaliteten på undersøkelser om virkninger av trafikksikkerhetstiltak

Vurdering av kvaliteten på undersøkelser om virkninger av trafikksikkerhetstiltak Sammendrag: Vurdering av kvaliteten på undersøkelser om virkninger av trafikksikkerhetstiltak TØI-rapport 984/2008 Forfatter(e): Rune Elvik Oslo 2008, 140 sider Denne rapporten presenterer en undersøkelse

Detaljer

lære å anvende økonomisk teori, snarere enn å lære ny teori seminarer løsning av eksamenslignende oppgaver

lære å anvende økonomisk teori, snarere enn å lære ny teori seminarer løsning av eksamenslignende oppgaver ECON 3010 Anvendt økonomisk analyse Forelesningsnotater 22.01.13 Nils-Henrik von der Fehr ØKONOMISK ANALYSE Innledning Hensikt med kurset lære å anvende økonomisk teori, snarere enn å lære ny teori lære

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

Handout 12. forelesning ECON 1500 - Monopol og Arbeidsmarked

Handout 12. forelesning ECON 1500 - Monopol og Arbeidsmarked Handout 2. forelesning ECON 500 - Monopol og Arbeidsmarked April 202 Monopol Pensum: SN Kap 4 fram til SECOND-DEGREE... s. 465 og unntatt: "A formal treatment of quality", (p 459). (466-47 er altså ikke

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser VANG (0.) 0545 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser VANG (0.) 0545 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEMBER 960 Tellingsresultater Tilbakegående tall Prognoser VANG (0.) 0545 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "Tellinf=esultater Tilbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

Den kritiske lasten for at den skal begynne å bøye ut kalles knekklasten. Den avhenger av stavens elastiske egenskap og er gitt ved: 2 = (0.

Den kritiske lasten for at den skal begynne å bøye ut kalles knekklasten. Den avhenger av stavens elastiske egenskap og er gitt ved: 2 = (0. HIN Industriteni RA 5.11.03 Side 1 av 7 Kneing Staver Kneing er en elastis eller plastis ustabilitet som forårsaes av trspenninger. For å forstå fenomenet er det vanlig å starte med det enleste tilfelle,

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 7. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 7. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG Side av 7 NTNU Norges tenis-naturvitensapelige universitet Faultet for fysi, inforati og ateati Institutt for datateni og inforasjonsvitensap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TT23 VISUALISERING TIRSAG 7. AUGUST

Detaljer

Løsningsforslag Til Statlab 5

Løsningsforslag Til Statlab 5 Løsningsforslag Til Statlab 5 Jimmy Paul September 6, 007 Oppgave 8.1 Vi skal se på ukentlige forbruk av søtsaker blant barn i et visst område. En pilotstudie gir at standardavviket til det ukentige forbruket

Detaljer

Oppgave 6 (4 poeng) La X være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang. a) Forklar at. b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

Oppgave 6 (4 poeng) La X være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang. a) Forklar at. b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. Oppgave 6 (4 poeng) I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir 2 eller 12, får spilleren 200 kroner. Blir

Detaljer

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling: Normat 55:, 3 7 (7) 3 Bøker på bøker En bokorms øvelse i stabling Ivar Farup Høgskolen i Gjøvik Postboks 9 N 8 Gjøvik ivar.farup@hig.no Innledning For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

Detaljer

Bibelstudie over 1. Johannesbrev Kapitel 4. Af Nils Dybdal-Holthe. Februar 2008

Bibelstudie over 1. Johannesbrev Kapitel 4. Af Nils Dybdal-Holthe. Februar 2008 Bibelstudie over 1. Johannesbrev Kapitel 4. Af Nils Dybdal-Holthe. Februar 2008 Side 1. I. Vers 1-6. Tro og vranglære. 1 Mine kjære! Tro ikke enhver ånd, men prøv åndene om de er av Gud! For mange falske

Detaljer

Algoritmer - definisjon

Algoritmer - definisjon Algoritmeanalyse Algoritmer - definisjon En algoritme er en beskrivelse av hvordan man løser et veldefinert problem med en presist formulert sekvens av et endelig antall enkle, utvetydige og tidsbegrensede

Detaljer

Sensorveiledning eksamen ECON 3610/4610 Høst 2004

Sensorveiledning eksamen ECON 3610/4610 Høst 2004 1 Jon Vislie; november 2004 Sensorveiledning esamen ECO 3610/4610 Høst 2004 Modellen har fem lininger og sju variable (,n,m,,k,x og c); med to frihetsgrader i utgangspuntet og som an brues til å masimere

Detaljer

Matematikk i Bård Breiviks kunst

Matematikk i Bård Breiviks kunst Christoph Kirfel Matematikk i Bård Breiviks kunst Christoph Kirfel, Universitetet i Bergen christoph.kirfel@math.uib.no Avansert matematikk er til de grader til stede og nødvendig når mange av Bård Breiviks

Detaljer

Tall fra Grunnskolens informasjonssystem (GSI) 2011-12

Tall fra Grunnskolens informasjonssystem (GSI) 2011-12 Tall fra Grunnskolens informasjonssystem (GSI) 2011-12 Innhold Sammendrag... 2 Tabeller, figurer og kommentarer... 4 Elevtall... 4 Utvikling i elevtall... 4 Antall skoler og skolestørrelse... 5 Gruppestørrelse...

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet INF 4130 8. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Uavgjørbarhet Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Se Dinos forelesninger fra i fjor. I år: Vi tenker mer i programmer enn i Turing-maskiner

Detaljer

Newtons (og hele universets...) lover

Newtons (og hele universets...) lover Newtons (og hele universets...) lover Kommentarer og referanseoppgaver (2.25, 2.126, 2.136, 2.140, 2.141, B2.7) Newtons 4 lover: (Gravitasjonsloven og Newtons første, andre og tredje lov.) GL: N I: N III:

Detaljer

8. Tidsbruk på ulike steder

8. Tidsbruk på ulike steder Til alle døgnets tider Tidsbruk på ulike steder 8. Tidsbruk på ulike steder 49 minutter mindre hjemme I tidsbruksundersøkelsene blir det registrert hvor man utfører de ulike aktivitetene man gjør i løpet

Detaljer

PEDAGOGISK TILBAKEBLIKK

PEDAGOGISK TILBAKEBLIKK PEDAGOGISK TILBAKEBLIKK AUGUST 2012 Hei, og velkommen til alle nye og erfarne foreldre Nå har barnehageåret startet opp, og allerede er tilvenningen av de nye barna unnagjort. Vi har nå fått in 6 nye barn;

Detaljer

Etterarbeid til forestillingen «stor og LITEN»

Etterarbeid til forestillingen «stor og LITEN» Etterarbeid til forestillingen «stor og LITEN» Beate Børresen har laget dette opplegget til filosofisk samtale og aktivitet i klasserommet i samarbeid med utøverne. Det er en fordel at klassen arbeider

Detaljer

Livet til det lykkelige paret Howie og Becca blir snudd på hodet når deres fire år gamle sønn dør i en ulykke.

Livet til det lykkelige paret Howie og Becca blir snudd på hodet når deres fire år gamle sønn dør i en ulykke. RABBIT HOLE av David Lyndsay-Abaire Scene for mann og kvinne. Rabbit hole er skrevet både for scenen og senere for film, manuset til filmen ligger på nettsidene til NSKI. Det andre manuset kan du få kjøpt

Detaljer

FORSIKRINGSSKADENEMNDAS UTTALELSE 7389 26.9.2008 TrygVesta Forsikring AS KOMBINERT

FORSIKRINGSSKADENEMNDAS UTTALELSE 7389 26.9.2008 TrygVesta Forsikring AS KOMBINERT FORSIKRINGSSKADENEMNDAS UTTALELSE 7389 26.9.2008 TrygVesta Forsikring AS KOMBINERT TILLEGG TIL UT. 7209 Bindende avtale om oppgjør? Den 23.1.06 ble det begått innbrudd i sikredes leilighet. I telefaks

Detaljer

8. Tidsbruk på ulike steder

8. Tidsbruk på ulike steder Tidene skifter. Tidsbruk 1971-2010 Tidsbruk på ulike steder 8. Tidsbruk på ulike steder 49 minutter mindre hjemme I tidsbruksundersøkelsene blir det registrert hvor man utfører de ulike aktivitetene man

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegåendd tall Prognoser STORFJORD 1939 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegåendd tall Prognoser STORFJORD 1939 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN 1. NOVEMBER 190 Tellingsresultater Tilbakegåendd tall Prognoser STORFJORD 1939 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO MERNADER TIL ART OG TABELLER serien "T llingsresultater - Tilbake ende tall - Prognoser"

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 Delkapittel 1.8 Algoritmeanalyse Side 1 av 12 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 1.8 Algoritmeanalyse 1.8.1 En algoritmes arbeidsmengde I Delkapittel 1.1 ble det definert og diskutert

Detaljer

Spørreundersøkelse om informasjon fra Arkitektbedriftene

Spørreundersøkelse om informasjon fra Arkitektbedriftene Spørreundersøkelse om informasjon fra Arkitektbedriftene Arkitektbedriftene opprettet i februar 2014 en undersøkelse med 13 spørsmål i verktøyet SnapQuest. Undersøkelsen ble sendt til alle de omtrent 560

Detaljer