år i alder x i tid y i i=1 (x i x) 2 = 60, 9

Transkript

1 TMA424 Statistikk Vår 214 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II Oppgave 1 Matlabkoden linearreg.m, tilgjengelig fra emnets hjemmeside, utfører lineær regresjon basert på definisjonen i kapittel 11. De tre datasettene gir resultater fra tre andre mosjonister. Prøv gjerne å bruke programmet for å se på resultatene til mosjonisten i forrige oppgave også. 1. Spesifiser modellantagelsene for lineær regresjon. 2. Last ned de tilgjengelige filene og kjør koden. Eventuelt kan du se på plottene som er lagt ved denne øvingen. Figur 1 viser resultatet for datasett 1. Forklar hva de tre plottene viser. Hva er tolkningen av et residualplot? Hva kan du si om datasettet basert på plottene? Hvordan stemmer dette med modellantagelsene? 3. Figur 2 viser resultatet for datasett 2. Hvordan er dette datasettet forskjellig fra det forrige? Kommenter resultatet i forhold til modellantagelsene. Er det passende med lineær regresjon for dette datasettet? Forklar. 4. Figur 3 viser resultatet for datasett 3. Hva kan du si om datasettet basert på de tre plottene? Sammenlign residualplottene for datasett 1 og 3. Hva er den største forskjellen mellom dette datasettet og datasett 1? Oppgave 2 En 4-åring startet med løpetrening for 9 år siden, og har hvert år siden deltatt i samme mosjonsløp. Anvendt tid, i minutter, er gitt i tabellen nedenfor. år i alder x i tid y i Det oppgis at 9 i=1 x i = 369, 9 i=1 y i = 36.37, 9 i=1 (x i x) 2 = 6, 9 i=1 (y i ȳ) 2 = og 9 i=1 (x i x)(y i ȳ) = 9 i=1 (x i x)y i = 2.7. Vi skal anta at observasjonene kan ses på som realisasjoner av uavhengige normalfordelte variable Y 1,..., Y 9, hvor E(Y i ) = α + βx i og Var(Y i ) = σ 2. ov11-oppg-b 19. mars 214 Side 1

2 a) Skriv opp de vanlige forventningsrette estimatorene ˆα, ˆβ og ˆσ 2 for α, β og σ 2. Regn ut estimatene for α og β for de gitte dataene. Plott datasettet og den estimerte regresjonslinjen. Det oppgis at estimatet for σ 2 er b) Regn ut et uttrykk for variansen til estimatoren ˆβ. Gjennomfør en test av H : β = mot H 1 : β, på signifikansnivå 1%. Hva blir den praktiske fortolkningen av testen over? Løperen ønsker å predikere anvendt tid på mosjonsløpet neste gang (alder x = 46 år). c) Regn ut predikert tid. Det oppgis at Var(ˆα + ˆβx ) = σ 2 ( 1 n + (x x) 2 i=1 (x i x) 2 ). Utled et 9% prediksjonsintervall for Y ved x = 46 år. Hva blir intervallet med de oppgitte data? Hvis løperen ber deg predikere anvendt tid om 1 år (alder 6 år), hva vil du svare da? Oppgave 3 Kari har nylig kjøpt seg en ny bil. Nå ønsker hun å undersøke bilens bensinforbruk ved landeveiskjøring. La x være lengden av en tur (i mil) og Y tilhørende bensinforbruk (i liter). Kari forutsetter at hun selv velger lengden på turene og betrakter derfor ikke x som en stokastisk variabel, mens hun antar at Y er en normalfordelt stokastisk variabel med E(Y ) = βx og Var(Y ) = xσ 2. Dessuten antar hun at bensinforbruk på forskjellig turer er uavhengige stokastiske variable. Du skal i hele oppgaven forutsette det kjent at σ 2 =.1 2. a) Hvilken tolkning har parameteren β i modellen? Som et alternativ til antagelsen om E(Y ) gitt over, kunne en satt E(Y ) = α + βx. Hvorfor er det, slik Kari har gjort, mest rimelig å velge α =. Hvorfor er det rimelig å anta at variansen til Y er proporsjonal med x? b) Anta i dette punktet at β =.7. Hva er sannsynligheten for at Kari på en mil lang tur vil bruke mer enn 4 liter bensin? Betrakt to kjøreturer på henholdsvis x 1 = og x 2 = 1 mil. Hva er sannsynligheten for at totalt bensinforbruk på de to turene er mindre enn 12 liter? Betrakt igjen to kjøreturer på henholdsvis x 1 = og x 2 = 1 mil og la Y 1 og Y 2 være tilhørende bensinforbruk på de to turene. Hva er sannsynligheten for at bensinforbruket på turen på 1 mil er mer enn dobbelt så stor som bensinforbruket på turen på mil? (dvs. finn P(Y 2 2Y 1 > )) For å undersøke bilens bensinforbruk, kjører Kari n = 6 turer av forskjellig lengde og måler bensinforbruket for hver tur. Målingene hennes gir følgende resultat Lengde (mil) Bensinforbruk (liter)

3 For å estimere β, betrakter Kari to estimatorer, β = i=1 Y i i=1 x i og β = 1 n n i=1 Y i x i, der x i og Y i er henholdsvis lengde av og bensinforbruk på tur nr i. c) Vis at E( β) = β og Var( β) = σ 2 i=1 x i Finn også forventningsverdi og varians for estimatoren β. Hvilken av de to estimatorene vil du foretrekke? (Begrunn svaret) Selgeren som solgte bilen til Kari opplyste at bilens bensinforbruk ved landeveiskjøring var.6 liter/mil. Kari ønsker å benytte sine observasjoner til å sjekke om det er grunnlag for å påstå at bilens bensinforbruk er høyere enn hva selgeren opplyste. d) Formuler dette som et hypotesetestingsproblem. Ta utgangspunkt i estimatoren β og lag en test med signifikansnivå %. Hva blir konklusjonen på testen med observasjonene gitt over? e) Ta utgangspunkt i estimatoren β og utled et 9%-konfidensintervall for β. Hva blir intervallet med observasjoner som gitt over? Oppgave 4 En viktig vitenskapelig oppdagelse fant sted i 1929 da Edwin Hubble oppdaget at universet er ekspanderende. Hubble s tallmateriale bestod blant annet av; x i = avstanden til galakse i (målt i millioner lysår), og y i = hastigheten til galakse i (målt i 1 km/s). Verdiene Hubble benyttet i en av sine analyser er som følger: Navn Avstand, x i Hastighet, y i Virgo Pegasus Perseus 18.1 Coma Berenices Ursa Major Leo Corona Borealis Gemini Bootes Ursa Major Hydra Det oppgis her at 11 i=1 x i = 418, 11 i=1 y i = 237.7, 11 i=1 x2 i = og 11 i=1 x iy i =

4 Hubble foreslo en modell for hastighet som funksjon av avstand på formen y = βx, der β senere har blitt kalt Hubble s konstant. En statistisk versjon av ligningen kan gis ved: Y i = βx i + ε i, i = 1,..., 11, (4.1) der ε i, i = 1,..., 11, er uavhengige og normalfordelte stokastiske variabler med forventning og varians σ 2. a) Vi vil i første omgang finne en estimator for β. Bruk minste kvadraters metode (method of least squares) til å estimere β med utgangspunkt i ligning (4.1), og vis at estimatoren for β da blir gitt ved ˆβ = estimatet for β basert på dataene over. Finn også forventning og varians til ˆβ. 11 i=1 x iy i 11 i=1 x2 i b) Anta at en annen galakse befinner seg en avstand x = 9 millioner lysår borte. Finn predikert hastighet, ŷ, til denne galaksen.. Regn ut Utled et 9% prediksjonsintervall for en måling av hastigheten til denne galaksen. Det oppgis at 11 i=1 (y i ŷ i ) 2 = 9.87, der ŷ i = ˆβx i. Fasit 2. a) α = 7.96, β =.876 b) Var( β) = σ 2 / i=1 (x i x) 2, Forkast H c) 3.66, [31.9, 4.23] 3. b).131,.974,. c) E( β) = β, Var( β) = (σ 2 /n) i=1 (1/x i), foretrekker β d) H : β =.6 mot H 1 : β >.6, Forkast H e) [.73,.9] 4. a).67 b) 1.3, (48.,3.)

5 % prediction interval Residual plot.98 Normal Probability Plot Probability

6 % prediction interval Residual plot.98 Normal Probability Plot Probability

7 % prediction interval Residual plot.98 Normal Probability Plot Probability