VEKST OG VEKSTVARIASJONER I OG MELLOM MAKRELLBESTANDER

Transkript

1 8fit,M;idi'te1i to~ci,ff{); a.bi-&,.fi,t;;/ru>t! VEKST OG VEKSTVARIASJONER I OG MELLOM MAKRELLBESTANDER Statistiske metder ti kvantitativ g strukture undersøkese av vekstparametre, anvend t på makre, Scmber scmbrus L. Hvedppgave i fiskeribigi av - Knut Sunnanå Institutt fr Fiskeribigi Universitetet i Bergen )( HØsten 1981

2 i ; '! i '! -1! i _j ~ i! i i ' :

3 3 INNHOLD. 1. FORORD 2. INNLEDNING 2.1. Definisjner Teretisk utgangspunkt Oppspitting av data Frhdet mem bservert g egentig vekst Sammenheng mem fiskeengde g tittengde Testing av parametrene T g LT Bruk av beregnede data ,12,13,1T g LT sm vekstparametre. 3. ALGORITMER FOR BEREGNINGER OG TESTER 3.1. Måeenheter Test fr nrmafrdeing av T g LT Test fr sammenigning av binrmafrdeinger Sammensåing av data Test av fees binrmafrdeing Isinjer i binrmafrdeinger % eipser av en binrmafrdeing Lineære reasjner i binrmafrdeingen Variasjnen av 11,12 g 13 innen en årskasse Undersøkese g tegning av 11, 12 g Kreasjn mem 11, 12 g 13 innen årskasser Likhet av 11, 12 g 13 mem grupper Test av fees frdeing fr 11, 12 g Beregninger av standardavvik. 4. VURDERINGER OG KONKLUSJONER 4.1. LT g T innen kjønn,adersgrupper g årskasse LT g T mem årskasser ved gitt ader Samenigning av LT g T mem mråder ,12 g 13 fr adersgrupper i en årskasse , 12 g 13 innen g mem bestander Lineære frhd mem vekstparametrene DISKUSJON OG OPPSUMERING 5.1. Hvedresutat Vurdering av metden Frambragte data Vekst hs makre. 6. SAMMENDRAG

4

5 5 1. FORORD 1 Utgangspunktet fr denne ppgaven var spørsmået m eventuee vekstfrskjeer i nrdsjøbestanden g den vestige bestand av makre kunne brukes ti å identifisere enketmakre eer grupper av makre fra de t bestandene i de mrådene der disse bestandene går i banding. Det var ikke vanskeig å finne at dette var muig hvis man kjente disse vekstfrskjeene g de var stre nk. Data på vekst hs makre viste stre, men usystematiske variasjner g de metder sm bei brukt ti vekstanayse syntes ikke å være veegnet ti å undersøke prbemstiingen. Dette førte ti at jeg vagte metder sm har vært ite brukt bigiske arbeider, metder sm kan synes ve teretiske. Det var gså uvisst hvike parametre sm best kunne vise vekstfrskjeer. Den tidige vurderingen av parametrene g den statistiske teri ga gså frventninger ti parametrene sm ikke er ppfyt. Jeg vagte å satse på en frhdsvis grundig gjennmgang av den teretiske bakgrunn frdi jeg trr metden g de prinsippene sm igger ti grunn fr den vi være nyttig ti andre studier av vekst, spesiet med tanke på sammenhenger mem vekstparametre. i Det er ikke brukt statistiske eer matematiske prgrampakker ti beregninger i dette arbeidet. Min vurdering er at fere av de beregninger jeg var interessert i ikke bei utført av de freiggende prgrampakkene. - De ager dessuten uhensiktsmessige utskrifter g gir svært ite anvendeige figurer. Jeg vagte derfr å skrive prgrammene sjø. Dette har tatt tid g det meste av arbeidet har gått med ti skriving g testing av prgrammer. Tabeer g figurer i TILLEGG A er skrevet g tegnet av de samme prgrammene sm har utført beregningene. Den saming prgrammer sm er skrevet under arbeidet med ppgaven framstår derfr sm en prgrampakke g vi med få endringer kunne ha en genere anvendese innen ignende prbemstiinger. Ttat består prgrammene av ca prgramsteg skrevet i prgrammeringsspråket FORTRAN. Det har vært vanskeig å vite hvr mye av arbeidet med

6 6 matematikk, statistikk g prgrammering sm skue tas med i ppgaven. Jeg har frsøkt å begrense det fr ikke å gå utenfr rammene ti en ppgave i fiskeribigi. Jeg vi takke de sm har virket ti å bringe ppgaven ve i havn, veiedere g ansatte ved Havfrskningsinstituttet, HI, g Institutt fr Fiskeribigi, IFB. Utmerket fagig veiedning er gitt av frsker Ering Bakken ved HI g prfessr Oav Dragesund ved IFB har vært ansvarig fr gjennmføringen av studiet. En spesie takk ti mine medstudenter. Deres fagige kvaifikasjner har vært ti str hjep g deres tmdige ytting har virket ti å kare mange fkete tanker. Nrdnes 24/

7 INNLEDNING j 1 Makreen, Scmber scmbrus L., er utbredt i stre deer av det nrdøstige Atanterhav g har sin hvedutbredese ver kntinentaskkeen fra Biskaya ti Trøndeag. Fr en gd versikt ver bigi g frskning på makre vises ti HAMRE ( 1978 g 1980). Makreen har i de seinere årene vært det inn i t grupper, nrdsjømakre g vestig makre. Seperate bestandsestimater har vært gitt fr de t gruppene (ANON. 1981a) g inndeingen har vært bestemmende fr fangstregueringer. Det har hersket en viss uenighet innen frsknings g fiskerimijøene m denne inndeingen er riktig g nødvendig. Er gruppenes bigi g adferd så frskjeig at den genetiske transprt mem dem er iten eer ingen? Oppgaven vi ikke besvare dette spørsmået i sin hehet, men ta pp en de av prbemet: Er vekstmønsteret i de t gruppene statistisk signifikant frskjeig? Kan sike vekstfrskjeer i så fa brukes ti å øke kjennskapet ti de t gruppenes gegrafiske frdeing ver året? Kartegging av gruppenes utbredesesmønster har vært frsøkt gjennm merking i frskjeige kaiteter (ANON. 1977). Dette har ikke gitt tifredsstiende resutater (ANON. 1981b) g aktuaiserer andre måter å "identifisere" makre fra disse gruppene i mråder der gruppene går bandet. Gdt kjennskap ti frekvensfrdeingene ti vekstparametre sm viser signifikante frskjeer mem disse gruppene kan være et veegnet midde i så måte. Frskjeige matematiske g statistiske teknikker er frsøkt brukt ti dette fr en de fiskesag, b.a. "shad" (Asa ~) (CARSCADDEN g LEGGET 1975), dde (SHARP et a. 1978) g hestemakre (SHABONEYEV g RYAZAITSEVA 1977). En har gså frsøkt å finne meristiske frskjeer hs makre utenfr Canada's g U.S.A.'s østkyst (MAC KAY g GARSIDE 1969). Hva er så "statistisk signifikante frskjeer" g hva kan de frtee ss? Sike frskjeer kan skydes mye, b.a. skjute g uønskede variasjner i datamateriaet sm ikke skydes fiskens vekst men dårig eer systematisk skeiv samping. Videre kan

8 8 sike frskjeer skydes at antageser m datamateriaets statistiske frdeing ikke er riktig g at de tester vi gjør dermed ikke har nen verdi. (Men de gir ss atid et resutat, samme hvr gat det er). ~, ( Hvis vi kan eiminere uønskede g utenfriggende variasjner i datagrunnaget g ikeve finner vekstfrskjeer, hva frteer de ss? Det er vanskeig å si! Det avhenger av hvr stre frskjeene er, hvr systematiske de er g hvrdan de varierer med aderen ti fisken sv. Oppgaven vi derfr strt sett nøye seg med å frsøke g påvise vekstfrskjeer g verate ti andre å trekke de videre knkusjner Definisjner. Oppgaven veger å ta sm utgangspunkt at materiaet ar seg dee inn i de t gruppene. Det antas ikke at det eksisterer vekstfrskjeer mem de t gruppene, men en vi søke å rganisere materiaet sik at eventuee vekstfrskjeer kmmer kart fram. Samtidig vi en dkumentere ved tester g på annen måte at uønskede variasjner i materiaet ikke er tistede. Med frskjeig vekstmønster menes her at måbare parametre sm gjenspeier størrese hs fisken, danner et frskjeig mønster hs de t gruppene. Man kan gså tenke seg å bruke parametre sm gjenspeier utviking utenm størrese. ' Fr å ette begrepsbruken defineres i frtsettesen den gruppen makre sm gyter i Nrdsjøen sm Nrdsjøbestanden g de gruppene sm gyter vest av De britiske øyer sm Vestbestanden. Det presiseres at bestand ikke er brukt i andre betydninger enn den venfr definerte, dvs. genetiske g fiskeriregueringsmessige begreper er ikke inkudert. I tiegg vi begrepet vekstgruppe eer gruppe bi nyttet. Begrepet antyder bare muigheten fr at de t bestandene kan være inndet i grupper med frskjeig vekst, uten at dette er vist. Sm nevnt tidigere er arbeidet basert på hyptesen m at bestandene kan ha frskjeig vekstmønster. Oppgavens hvedmå er å i

9 -j 1 teste hyptesen ved statistiske metder. Det er vanig ved testing av kmpiserte hypteser å se m negasjnen ti hyptesen er ettere å teste. Negasjnen ti hyptesen m frskjeig vekst er hyptesen m ik vekst. Denne hyptesen er ettere å teste g vi derfr være hvedhyptese, eer nu-hyptese, i de feste testene sm vi bi gjennmført. Får vi så frkastning av denne hyptesen sm gjennmgående resutat, må vi være viig ti å akseptere negasjnen ti hyptesen, sm atså er at vi har frskjeig vekst i de t gruppene. Det er derfr viktig at det er frnuftig begrunnet at metden kan vise vekstfrskjeer før testingen tar ti, sik at vekstfrskjeer aksepteres dersm test av hyptesen m ikhet gir frkastning. 9 Resten av dette kapitet vi bi viet denne begrunnesen, sm vi bi gitt sm en beskrivese av testenes ppbygging g de betingeser sm bir satt fr å unngå eventuee uønskede variasjner i datamateriaet Teretisk utgangspunkt. Det er hvert år bitt samet inn prøver av makre fra kmmersiee fangster g fra tkt i regi av frskningsinstitusjner (i første rekke Fiskeridirektratets Havfrskningsinstitutt, HI). Disse prøvene bei før 1977 ført på eget skjema fr makre (makreskjema). Fra g med 1977 er prøvene ført på HI sitt standard skjema fr peagisk fisk (peagisk skjema). Det er stit ti dispsisjn det kmpette materiaet fra g med 1960 ti g med Fr 1979 freigger et materiae sm ikke er kmpett. Materiaet freigger på magnetbånd. En nødvendig betingese fr å finne vekstfrskjeer er at en har et presist verktøy ti å beskrive veksten. Ved at en samper fra bestandene må en i utgangspunktet dee vekstbegrepet inn i t deer bservert vekst g bestandenes egentige vekst. Fere frhd kan virke ti en frskje mem bservert g egentig vekst. En vi i det freiggende materiaet søke å finne parametre sm er absutte må fr fiskens størrese g parametre sm er en indeks fr størrese, med tanke på å beyse frhdet mem bservert g egentig vekst.

10 10 En gjennmgåing av prøveskjemaene viser at visse parametre er måt fte g andre skjedent. I det føgende vi det bi gitt en versikt ver de parametre en kan vente å finne måt hs mange fisk. En vurdering av parametrene vi gi et teretisk utgangspunkt. Framsatte påstander m parametrenes statistiske.egenskaper vi bi testet hvis parametrene bir brukt. Måte parametre sm kan bestemme egenskaper ved veksten i en bestand: 11,12,13 er avstandene fra sentrum av titten g ut ti hhv. 1., 2. g 3. vinterring. Disse kan være måt på en standardisert måte angs en fast stråe fra sentrum (kjernen) g ut ti periferien av titten fr ae fisk, eer angs en tifedig stråe fr hver fisk. Dersm måene er angs en standard stråe fr ae fisk g bare titter sm ppfyer visse egenskaper ved sin frm g utseende er est vi vi anta at 11, 12 g 13 er nrmafrdet rundt et midde ved gitt årskasse, ader g kjønn. T er avstanden fra sentrum (kjernen) av titten g ut ti randen angs den samme stråe sm 11, 12 g 13 er måt. Denne er nrmafrdet gitt årskasse, ader, kjønn g tidspunkt fr samping. LT er fiskens ttae engde fra snute ti engste haespiss i naturig stiing. Denne er nrmafrdet ved gitt årskasse, ader, kjønn g tid fr samping. Vekt Måte parametre sm kan brukes sm hjepeparametre under beregninger g tester: er fiskens vekt i fersk tistand. Denne er nrmafrdet ved gitt årskasse, ader, kjønn g tid fr samping. Dette gjeder ikke fr gyteperiden da vekten vi variere sterkt i takt med den enkete fisks gyting.

11 Mdningsgrad er bestemt ved visue bservasjn g rangeringsverdi fra 1 ti 8. Kjønn bestemmes visuet ved å vurdere gnadenes utseende. Ader gitt en frm bestemmes ved teing av vinterringer på titten. g Vekstparametrene er definert innenfr en enket bestand. Det er vagt å antyde at engde- g vekt-parametrene er nrmafrdet frdi nrmafrdeingen er vanig brukt i statistisk teri.(lindgren 1968 g KENDALL g STUART 1976). Det er heer ingen ting sm tyder på at andre frdeinger er aktuee. Figur 3 hs CASTELLO g HAMRE ( 1969) gir gd antydning m nrmafrdeinger. Det kan tenkes at de t kjønn g de frskjeige adersgruppene har et ne uikt vandringsmønster. Men det er rimeig å anta at en gitt adersgruppe av et gitt kjønn har samme engde- g vekt-parametre innen en bestemt bestand fr et gitt tidspunkt. Derfr er frdeingene av engde g vekt ikke avhengig av sted fr samping under de gitte betingesene (med untak, sm nevnt, fr vekten i gyteperiden). Ved samtae med Hega Gi, HI, sm har est tittene i mesteparten av det materiaet sm er ti dispsisjn, gdtas at 11, 12 g 13 er måt så standardisert at kravene er ppfyt fr testing av tihørighet ti nrmafrdeing. Det samme gjeder fr T. Grunnet strenge krav ti tittens utseende g esbarhet er bare ca. havparten av fiskene måt fr 11, 12 g 13. Dersm sik testing eder ti at det aksepteres at 11, 12, 13 g T er nrmafrdet med midde g varians sm er knstante fr prøver fra samme tidspunkt, så framstår tittmå sm vekstparametre uavhengig av fiskeengden. Dette betyr at frhdet mem tittvekst g fiskevekst kan undersøkes. Matriaet strekker seg ver så mange år at dette frhdet kan undersøkes fra tidig ader g ut ti 9-10 års ader fr fere årskasser. 11, 12 g 13 vi i denne sammenhengen være sike indeksparametre sm tidigere nevnt.

12 12 Fiskeengde, LT, varierer med tiden på året, men det antas at den ikke avtar med tiden fr en g samme fisk. Vekten derimt kan gdt avta med tiden fr en 'g samme fisk, f.eks. under gyting. Dette gir str variasjn i vekt, sm ikke skydes vekst, innenfr sampingsperiden. Vekten tas derfr ikke med i den videre behanding av data fr kartegging av vekstmønster fr makre. 1 Parametrene mdningsgrad, kjønn g ader er nevnt, g vi bi brukt under beregning~r, men ikke sm sevstendige parametre. Vi står da igjen med 11,12,13,1T g LT. De t siste varierer sm nevnt med tiden g det må derfr veges et tidsinterva fr måing av parametrene Oppspitting av data. Grunnkriteriet fr samping må være at de sampede fisk ska være representative fr hhv. Nrdsjøbestanden g Vestbestanden. Det naturige vie derfr være å sampe fisk sm er i ferd med å gyte i de respektive mrådene. Det er imidertid praktiske prbemer med å fange makre mens den gyter. Den går ite på krk, den synes å unnvike garn ved at den står dypt m natten g høgt m dagen g den går fr spredt ti å fanges med snurpent. Disse vurderingene er gjrt i frhd ti kmersie fangsting sm er den vanigste måten å skaffe makreprøver på. gytemrådene finnes heer ikke i materiaet. Prøver fra I Nrdsjøen f~egår det imidertid et drivgarnsfiske etter makre fra sutten av apri. ti ut august. Dette fisket fregår fram ti sutten av juni angs Vestandskysten g et stykke ti havs. Det er rimeig å anta at dette er makre på veg fr å gyte i de sentrae deer av Nrdsjøen. Det er ite trig at makre sm har gytt i de vestige mrådene er bandet inn. Hvis så er tifeet fr fisket i juni kan disse ett ukes ut ved å teste på parameteren fr mdningsgrad. I FIGUR B-1.2 er det gitt en versikt ver de mrådene de utvagte prøvene er fra. Fr det vestige mrådet gir prbemet bare en øsning ved at det i materiaet bare er nrske prøver fra merketktet ti HI i midten av mai. Om det er naturig å anta at disse prøvene

13 13 ~~J j 1 representerer bare en gruppe, er vanskeig å si. trig at de innehder makre sm tihører Nrdsjøen. Det er dg ite bestanden i Det er derfr vagt et tidsrm bestående av apri,mai g juni ti samping. Områdene er vagt sm de statistiske mrådene 07,08 g 09 i Nrdsjøen g st.mr. 44,45 g 46 i det vestige mrådet (se FIGUR B-1.2). Samping i denne sammenhenheng refererer seg ti utpukking av aerede sampede prøver fra materiaet. Det er ønskeig å få verifisert m de innsamede data kan sies å være sampet fra nrmafrdeinger. Oppspitting av data vi derfr bi gjrt sik at eventuee variasjner mem årskasser, adersgrupper g kjønn ppdages. Videre bør tester fr nrmafrdeing utføres fr hver prøve fr seg da middeverdien av LT g T vi frandre seg fra prøve ti prøve, siden prøvene er frskjeige i tid. Det vi gså være ønskeig å undersøke m nen av disse nrmafrdeingene kan sies å være identiske. Dette fr å kunne så sammen data fr prøver innen et år g fr kjønn. Grunnaget fr dette kan undersøkes ved en test. Det er ønskeig med denne testingen frdi en str de av det teretiske grunnaget fr statistiske beregninger er basert på at datagrunnaget er nrmafrdet. De frskjeige testene sm antydes nå g framver vi bi gjennmgått samet i et seinere kapitte Frhdet mem bservert g egentig vekst. Det kan være nyttig å undersøke hvike frhd sm kan virke frskje mem faktisk g bservert vekst. ti Sik data er samet inn i denne ppgaven kmmer fisken inn i prøvene prprsjnat med at den rekrutterer ti fiskbar bestand. Dersm denne rekrutteringen baserer seg på at fisken er ang nk gir dette en verestimering av engde fr yngre individer ved at de engste individene rekrutterer først. En sik rekruttering er beskrevet av RICKER (1969) ved at den i prinsippet er en seeksjn av ange individer. I fangstsammenheng representerer den dermed en

14 14 engdeseektiv fiskedødighet, dvs. dødighet sm føge av fiske, F, i mtsetning ti naturig dødighet, M. F+M=Z er den ttae dødigheten. RICKER (1969) refererer ti JONES (1958) sm viser hvrdan en sik seeksjn, sm fruts,ttes prprsjna med engden ver et gitt interva, bare frskyver middeverdien i en frekvensfrdeing sm er nrmafrdet. Frdeingen behder sitt standardavvik Seektiv dødighet, ved at den fisken sm vkser hurtigst dør først, gir seg gså utsag i at det er den saktevksende fisken sm ever engst. Dette kan, sm nevnt, frkares ved seektiv fiskedødighet, men gså ved at vekst er knyttet ti ivsfrøp sik at det er en sammenheng mem fiskens vekst g dens fysigiske ader. Den fisken sm vkser frtest dør dermed tidigere av "aderdmsvakhet". Det bserverte resutat av disse frhd finner en fte beskrevet i frbindese med tibakeregning av engde basert på tittdata (g fiskeskje). Man bserverer da at de edste fiskene har gjennmsnittig avere tibakeregnet engde fr de første eveår enn yngre individer. De bservasjner sm her er nevnt fnkuderes fte i begrepet "Lee's fenmen" etter Rsa Lee sm beskrev dem i Disse bservasjnene er knyttet sammen med bruk av f.eks. tittmå sm indeks fr fiskeengde. Denne indeksen framkmmer ved å undersøke sammenhengen mem vekst av titten g fiskens engdevekst. Sm tidigere nevnt kan en ved tester undersøke m veksten av titten kan studeres direkte, dvs. at tittens vekst ver tid kan studeres uavhengig av fiskens engdevekst. Dette kan gi muighet ti å finne edre fisk sin engde i ung ader uten å gå veien m tibakeregning. Dette skjer ved at en først etaberer sammenhengen mem tittstørrese g fiskeengde fr en årskasse i ung ader. Ved så å måe vinterringradier direkte på edre fisk av samme årskasse kan en ut fra den etaberte reasjn si ne m denne fiskens engde i ung ader. En kan gså ut fra en sik reasjn mem tittvekst g fiskeengde, si ne m de frandringene i engde ved tidig ader sm bserveres ved samping på suksesivt edre individer. Dette

15 15 ved at en bserverer endringer i middeverdiene fr 11, 12 g 13. Denne ppgaven vi frsøke å beyse disse aspektene ved vag av metde ti å undersøke materiaet g under den endeige diskusjn av vekstparametrene. Det er derfr ønskeig å dee undersøkesen inn i t faser. Det synes naturig å begynne med å undersøke sammenhengen mem tittengde g fiskeengde. Dernest vi en undersøke sammenheng g struktur i gjentatte måinger av de tre første tittradiene, 11, 12 g 13. Resutatene fra disse t fasene kan så nyttes ti å diskutere de venfr nevnte frhd g ti å vurdere m en ska bruke tibakeregnede fiskeengder eer tittmå g fiskeengder hver fr seg sm vekstparametre Sammenheng mem fiskeengde g tittengde. Med tittens engde menes T, sm er definert tidigere. frhd vi bi beyst i denne fasen:.sammenhengen mem tittengde g fiskeengde hs av samme ader fra samme årskasse. Tre fisk 2.Sammenhengen mem hver adersgruppes midde g varians fr tittengde g fiskeengde innen en årskasse. 3.0m sike sammenhenger er ike fr ae årskasser. 1. Fr tibakeregning av engder er det interessant å vite m en kan frvente at en fisk med tittengde ver gjennmsnittet gså har en fiskeengde ver gjennmsnittet g m tisvarende fr engder under midde. Dette kan undersøkes ved å ptte den tdimensjnae frdeing fr T g LT i en adersgruppe. Det er f.eks. fiskeengde, LT, angs X-aksen g tittengde, T, angs Y-aksen. Denne frdeingen vi være t-dimensjnat nrmafrdet - binrma - hvis LT g T hver fr seg er nrmafrdete. Dersm en finner en sik psitiv kreasjn mem LT g T vi en kunne bruke dette ti å beskrive rekruttering ti fiskbar bestand hvis denne skjer på basis av engde. Det er m ang fisk

16 16 rekrutterer før krt fisk av samme ader. En kan, sm nevnt, beyse dette fenmenet ved å se på frandringene i middeverdier fr 11, 12 g 13 fr frskjeige aderstrinn, f.eks. 2, 3, 4 g 5 år. Middeverdiene fr 11, 12 g 13 bør avta med ader dersm engdeavhengig rekruttering g sterk kreasjn mem LT g T frekmmer. ~ 1 2. Fr å kunne bruke ineær tibakeregning er det kart at sammenhengen mem middeverdiene av LT g T må kunne uttrykkes ineært. Det er ved en frme av typen LT=a*T+b. Dette gjeder imidertid fr middeverdien av en str gruppe fisk. Dersm det viser seg at kreasjnen mem LT g T under frrige punkt er i nærheten av O, kan det vanskeig sies m det samme ineære frhdet gjeder fr hver enket fisk. Det kan f.eks. tenkes at en fisk sm har av engde i frhd ti middeet et år, har høy engde i frhd ti middeet et annet år g vise versa, mens tittstørresen kan være knstant i frhd ti middeet. Eer det kan være mvendt, tittstørresen varierer g engden er knstant i frhd ti middeet. Ae disse variasjnene kan summeres ti en ineær sammenheng fr midene. I et sikt tifee kan vi utføre en test sm ser på kreasjnene mem 11, 12, 13 g T hs fisk måt på frskjeige aderstrinn. En sik test vi kunne frtee m en fisk sm har tittengde ver gjennmsnittet i av ader gså har dette i høy ader g tisvarende fr titter under gjennmsnittet. Vi vi ikke kunne s~ ne m fiskeengde i frhd ti gjennmsnittet, da fere engdemåinger på samme fisk av naturige grunner er umuig. En vi ikeve av de t nevnte sammenhenger kunne danne seg et bide av sammenhengen mem tittstørrese g fiskeengde fr en årskasse. Det kreves dg et rimig anta individer fra årskassen i prøvene. 3. Det vi gjennm tester g figurer bi beyst m veksten kan sies å være ik, både i struktur g mengde, mem de frskjeige årskassene. De samme testene vi gså bi brukt fr å undersøke ikhet, både i struktur g mengde, av veksten mem tisvarende årskasser i Nrdsjøen g de vestige mrådene. Med vekstens mengde menes her middeverdier fr vekstparametrene. '

17 17 j Vekstens struktur beskrives gjennm beregning av varians rundt g kvarians mem de samme vekstparametrene. Denne struktur gis i frm av en kvariansmatrise. Midde g kvariansmatrise innen en gruppe testes mt midde g kvariansmatrise i en eer fere 1 andre grupper. Dersm frskjeer mem Nrdsjøbestanden g Vest bestanden påvises, sm j er arbeidets må, vi en måtte vurdere hvike parametre sm best beskriver frskjeen. Disse begrepene, vekstens mengde g vekstens struktur, er avedet av t begreper sm er diskutert i KENDALL g STUART ( 1973) kapitte 29; Functina and structura reatinship. Det framgår her at regresjn av parameterverdier mt tiden er innehdt i det de kaer "funksjne sammenheng". Kenda g Stuart diskuterer en ineær sammenheng, men disse vurderingene gjeder gså generet fr ikke-ineære sammenhenger. Middeverdiene av frskjeige parametre fr bestemte tidspunkt vi gi en sik "funksjne sammenheng" mem parametrene da tiden er en fees variabe. Det er ikke nødvendig å gi sike funksjner ekspisitt ved frmer, det er tistrekkeig å gi beregnede verdier. beregnede verdiene er det jeg kaer vekstens mengde. Den kvariansmatrisen vi får ved å sampe t eer metre i samme tidspunkt er uavhengig av Disse fere parade estimerte middeverdiene. Kvariansmatrisen vi gi en indre sammenheng mem vekstparametrene i et bestemt tidspunkt g denne sammenhengen er uavhengig av sammenhengen mem middeverdiene av vekstparametrene ver tid. Denne indre sammenhengen kan, hvis vekstparametrene ae er nrmafrdet rundt middeverdiene, gis sm en ineær sammenheng g dette er den "strukturee sammenheng" (inear naturig å knytte kvariansmatrisen. struktura reatinship). Det er derfr begrepet strukture sammenheng ti denne Se frøvrig kapitte Testing av parametrene T g LT. Materiaet er i grve trekk rganisert sik: Hver prøve består av en serie enketfisk. Prøven har en identifikasjn sm angir dat, mråde g redskap fr samping. Prøven er antatt å være

18 18 representativ mhp. de måte parametre. Utvegese av data vi fregå sik: Det veges først hviken årskasse sm ska behandes ved fødsesår g mråde. Det søkes så gjennm indeksen fr prøvene fr å finne hvike prøver sm er fra de aktuee mrådene i de årene denne årskassen kan finnes. Fisk fra denne årskassen innen prøven dees i hannkjønn g hunnkjønn. Det beregnes midde g varians fr g kvarians mem tittengde g fiskeengde fr hvert kjønn. Det testes m de måte verdiene er hentet fra den nrmafrdeing sm estimeres ved funnet midde g varians. Dette gjøres fr hver av de aktuee prøvene innen et år. Innen et år sår en så sammen hankjønn g hunkjønn i hver prøve ti en prøvetta, ae hankjønn fra ae prøvene sås sammen ti en hankjønn-årstta g tisvarende fr hunkjønn. De t kjønnsttaene sås så sammmen ti en årstta. Fr hver sammensåing testes det m midde g varians fr de sammensåtte grupper er den samme. T tester utføres. Den ene tester m både midde g varians er ik, det er m frdeingene er identiske. Den andre tester m variansene er ike, det er at det tiates avvik i~midde. Med midde menes under sammensåing g testing det t-dimmensjnae midde MT,MLT g med varians menes den generee varians sm er determinanten ti kvariansmatrisen sm innehder VT,VLT g KOV(T,LT). MT g MLT er midene g VT g VLT er variansene ti T g LT. KOV(T,LT) er kvariansen mem T g LT. 1 ' ' Denne rutinen gjentas så fr hvert år årskassen er representert i prøvene. En tabe sm innehder de beregnede verdiene g testverdiene vi bi gitt. De funne verdiene fr VT,VLT g KOV(T,LT) beskriver en binrma spredning av de måte fiskene på en fate med fiskeengde angs X-aksen g tittengde angs Y-aksen. En 95%-eipse, sm er et eiptisk mråde rundt middeet g er estimert ti å innehde 95% av en adersgruppe, vi bi tegnet rundt middeverdien MT,MLT fr adersgruppen. Dette vi bi gjrt fr hver adersgruppe i årskassen. Dette vi gi et bide av sammenhengen innen adersgruppene g mem adersgrupper innen en årskasse.

19 19 ~ i Den frmee beskrivese av testene, agritmer fr EDB, restriksjner på materiaet sv. vi bi beskrevet seinere Bruk av beregnede data. Etter at ae årskassene er ferdigbehandet vi middeverdiene fr fiskeengde g tittengde bi tegnet, i hver sin tegning, mt tiden. Ae årskassene i et mråde vi bi tegnet i samme figur. Videre vi verdiene fr fiskeengde i en årskasse i nrdsjøbestanden bi tegnet i samme figur sm engder fr samme årskasse i vestbestanden, med ader angs X-aksen. Sammenigning av figurene fr nrdsjøbestanden med figurene fr vestbestanden vi gi en gd indikasjn m vekstfrskjeer. En vi søke å dra knkusjner fra disse figurene. Det vi kanskje bi nødvendig å utføre nen fere tester fr å støtte knkusjnene ,12,13,1T g LT sm vekstparametre. 11, 12 g 13 måt på fisk av ader tr ti ader tg, det er fra g med adersg~upper der fisken synes fut rekruttert ti aders sm er så game at titten er vanskeig å ese, vi gi grupper parametre sm karakteriserer hee årskassen. Derfr vi en undersøke den tre-dimensjnae nrmafrdeingen sm gis av 11,12,13-måinger. Denne frdeingen vi være karakterisert av M1,M2,M3, V1,V2,V3, KOV(1,12), KOV(,3) g KOV(2,13). M1,M2,M3, sm er middeet, vi gi et kvantitativt må fr vekst. Kvariansmatrisen vi gi et bide av vekstens struktur da 11, 12 g 13 er måt på samme fisk. Det vi her bi testet m det er frskjeer i disse frdeingene fra hver ader ver adersgruppene tr ti tg. Hvike adre sm ska veges fr tr g tg vi bi vurdert fra figurer der midde-, verdier g standardavvik fr hhv. 11, 12 g 13 bir tegnet g tabuert fr adersgruppene 1 år ti 9 år. Disse figurene vi gså bi brukt under den tidigere nevnte vurdering av "Lee's fenmen".

20 20 Videre vi det bi testet m disse trinrmafrdeingene av 11,12,13 viser vekstfrskjeer mem g innen bestandene. Ti dette kan det brukes tisvarende tester sm under frrige punkts binrmatester, men nå med trinrmae frdeinger. Vi kan da teste m årskassene innen et mråde kan sies å ha samme kvantum g struktur i veksten eer m bare strukturen er ik eer ingen av deene. Videre kan vi se m eventuee frskjeer i vekst mem mrådene er både kvantitativ g strukture eer bare kvantitativ. -j '--i T g LT måinger kan bare gjøres en gang fr hver fisk. Dette betyr at det ikke kan gjøres en strukture anayse av tittens ttamå g fiskens engdevekst. Verdiene kan anayseres kvantitativt ver tid ved midde g varians. Hvis ønskeig kan en teste m verdiene er ike fr hver årskasse innnen et mråde g m verdiene er frskjeige mem mrådene. Den videre vurdering av, 12, 13, T g LT vi bi fretatt under diskusjn g vurdering av resutatene fra beregninger g tester. Fr en representativ årskasse vi ineær tibakeregning bi iustrert grafisk fr å beyse feikider g avvik fra bserverte verdier ved ineær tibakeregning. En vi på bakgrunn av dette frsøke å trekke knkusjner m tibakeregnede engder gir et riktigere bide av årskassens vekst enn direkte tittmå.

21 21 3. ALGORITMER FOR BEREGNINGER OG TESTER - I denne ppgaven er ae beregninger knyttet ti bruk av eektrnisk databehanding (EDB). De frmer sm er brukt er hentet g bearbeidet fra de refererte pubikasjner, eer de tør være så kjent at de ikke refereres. Derfr har det vesentige av arbeidet i denne fasen bestått i å knstruere agritmer ti bruk under skriving av prgrammer fr EDB. Disse agritmene erstatter derfr det vanige matematiske frmeverket idet disse agritmene gså gir uttrykk fr den framgangsmåte sm er agt ti grunn under beregningene. Prgrammeringspråket FORTRAN er brukt ti å mfrme agritmene ti EDB-prgrammer (EKMAN g ERIKSSON 1979). Det synes derfr naturig å gi en beskrivese av de brukte agritmene g henvise ti de refererte pubikasjner fr et nøyere studium av den matematiske teqri sm igger bak agritmene. I dette kapitet vi derfr FORTRAN-ntasjn brukes ti matematiske frmer. I tiegg vi det bi brukt et symb sm frenker skriving av indeksert summasjn g nen FORTRANsymber vi bi frenket. Bruk av FORTRAN-ntasjn innebærer gså bruk av frkrtede navn på parametre istedet fr å referere dem med indekserte greske eer atinske bkstaver. Symber sm kmmer i tiegg ti FORTRAN-symber: QV(uttrykk) betegner kvadratet av uttryket SUM(uttrykk med indeks; indeks = startverdi, suttverdi, stegengde, betingese fr variaber i uttrykket) betegner summen av uttrykket summert ver indeksene under de gitte betingeser på variabene. Hvis fere indekser indeks. inngår i uttrykket, gjentas kden fr SQ(uttrykk) betegner kvadratrten av uttrykket.

22 22 LN(uttrykk) betegner den naturige garitmen ti uttrykket Måeenheter. I denne ppgaven er det brukt ferdimmensjnae nrmafrdeinger ti å beskrive variasjnen av måte data. Det synes å være en viss enighet innen itteraturen m at måtaene fr de frskjeige data bør være av samme størresesrden. Spesiet synes dette å være tifeet dersm en ønsker å iustrere disse frdeingene grafisk.(ricker 1973, JOLICOEUR 1975 g RICKER 1975) Grunnen ti dette kravet er at begrepene kreasjn, varians, regresjn sv. synes å samsvare best med hverandre dersm måtaene i hver dimmensjn er så ike sm muig. Fiskeengder er måt i hee centimeter fr makre g dette måtaet er behdt. Ae må fr fiskeengde er i ppgaven gitt i centimeter (cm). Otitter er måt i et binkuar ved_ca. 25 ganger frstørrese. Ti å angi måta fr størrese er det brukt et måekuar sm er kaibrert ved å tee anta måestreker sm går på 2.0 miimeter ved den aktuee frstørresen. Vanigvis går det 50 streker på 2.0 mm, dvs. 25 ganger frstørrese. Otittmå bir gitt i anta hee streker. Ved å regne disse måene m ti enheter der det går 25 enheter på 2.0 mm, får vi måta av samme størrese sm fiskeengdemåtaene. Otittmå er derfr gitt i intervaer sm er 2/25 av en miimeter (0.08 mm), g måtaet har nevning miimeter*12.5 (mm*12.5). Dette fører ti at fiskeengdemå går fra 0.0 ti 45.0 g tittmå går fra 0.0 ti Test fr nrmafrdeing av T g LT. Føgende agritme er brukt fr å teste m et sampe er nrmafrdet ikt den teretiske nrmafrdeingen sm er estimert av sampeets midde g varians.

23 j j 4 i 23 1.En prøve gjennmgås fisk fr fisk. Det registreres m fisken er hankjønn eer hunkjønn g en teer fr dette økes med 1. Dersm det er punchefei i variabeen fr kjønn, eer kjønn ikke er bestemt, hppes det ver denne fisken. 2.Det registreres m fisken er måt fr både T g LT. Teer fr dette økes med 1. Hvis ikke hppes det ti neste fisk. 3.Det registreres m fisken er av rett årskasse. Teer fr dette økes med 1. Hvis ikke hppes det ti neste fisk. 4.Det er pprettet t vektrer, en fr tittengde g fr fiskeengde. Disse er på 100 variaber hver. T g LT registreres. Måene fr tittengde er i skjemaene angitt sm avstanden fra 1~vinterrings ene kant ti den aktuee rings andre kant. Det krrigeres fr dette ved at have. 1. vinterring trekkes fra ae måene fr ringradier. Med ringradier menes her må fr 11, 12, 13 g T. I de peagiske skjemaene er ae tittmå angitt med 2 siffer. Enkete må kan imidertid verskride 100. Disse er angitt med t siffer fr verdi ver 100. Det undersøkes m prøven er fra 1977 eer seinere g m nen må er mindre enn 1.vinterrings må. Hvis så er tifee økes dette med 100. Videre er agt inn nen tester sm tester at måene hder seg innenfr rimeige størreser fr å uke ut eventuee punchefei. Etter dette mregnes T ti enheter ik mm*12.5 g dette er ny verdi fr T. Den variabe i hver vektr sm har nummer ik hetasdeen av h.h.v. T g LT økes med 1. Det hdes greie på hvr i vektren minste g største verdi befinner seg g hvr mange individ sm er i vektren. 5.Etter at en prøve er ferdig søkes det gjennm vektren g midde (MT g MLT) g varians (VT g VLT) beregnes. Verdiene av 11, 12, 13, T g LT under beregninger er nedre intervagrense puss 0.5, dvs. midtpunktet av intervaet. Dernest går prgrammet gjennm vektren g en

24 24 beregner avvik fra det frventede anta bservasjner i hvert interva ut fra den teretiske nrmafrdeing sm er estimert fra sampeets midde g varians. Testvariabeen beregnes så i henhd ti Kmgrv Smirnv's en-sampe test(lindgren 1968 s.329, 486) =i 6.Etter ende videre beregninger starter en på neste prøve Test fr sammenigning av binrmafrdeinger. Under pkt 6 i frrige agritme utføres føgende agritme fr å teste m de t kjønn kan sås sammen. Agritmen innehder sammensåing g test sm beskrives i egne agritmer. Agritmen er sm føger: 1.Under pkt 4 i frrige agritme beregnes gså KRP=Ti*LTi+KRP, KRP=O fr i=o der KRP er kryssprduktet av tittengde g fiskeengde. Ti g LTi er T g LT fr i-te fisk sm er av rett årskasse i prøven. Av dette beregnes kvariansen, KOV(T,LT), fr hvert sampe. KOV( T,LT) =KRP/N - -MT*MLT der N er anta fisk av rette årskasse i prøven sm har måt T g LT. 2.Midde(MT,MLT),varians(VT,VLT) g kvarians(kov(t,lt)) sås sammen fr de t kjønn ved å bruke en egen agritme.. i 3.Det testes ved en tinærmet chi-kvadrat test m de t kjønn kan sies å være sampet fra frdeingen ti de sammensåtte data. Dette utføres av en egen agritme.

25 25 3.].1. Sammensåing av data. Data fr denne agritmen er anta individer, t midde, t varianser g en kvarians fra hvert sampe sm ska inkuderes i det sammensåtte sampe. 1.Sammensått anta, SN er summen av antaet fra hvert sampe. SN=SUM(Ni;i=1,n), n er anta sampe, Ni er anta i sampe nr i. 2.Sammensått midde, SMT g SMLT er summen av prduktet av anta g midde fra hvert sampe dividert med sammensått anta. SM1T=(SUM(M1Ti*Ni;i=1,n))/SN g SMLT:(SUM(MLTi*Ni;i=1,n))/SN 3.Sammensått varians, SVT g SVLT er summen av varians puss kvadratet av midde mutipisert med anta fr hver sampe dividert med sammensått anta g fratrukket kvadratet av sammensått midde. SV1T:((SUM(V1Ti+QV(M1Ti))*Ni;i=1,n)/SN)-QV(SM1T)) g SVLT=((SUM(VLTi+QV(MLTi))*Ni;i=1,n)/SN)-QV(SMLT)) 4.Sammensått kvarians, SKOV(T,LT) er summen av kvarians puss prduktet av de t midde mu~ipisert med anta fra hvert sampe dividert med sammensått anta g fratrukket prduktet av de t midde. SKOV(T,LT):(SUM((KOV(T,LT)i+MLTi*MTi)*Ni;i=1,n)/SN) -SMLT*SMT 5.Testanta, TN er sammensått anta fratrukket summen av individanta i de sampe sm innehder 2 eer ferre individer.

26 26 T N = SN- SU M ( Ni ; i=, n, N i~2 ) = SU M ( Ni ; i= 1, n, N i> 2) Test av fees binrmafrdeing. Denne agritmen tester føgende hypteser: i 4 HO: NK sampe er hentet fra samme ppuasjn med fees midde g varians (jfr. frrige agritme) H1: NK sampe er hentet fra ppuasjner med samme varians. Under denne agritmen er frdeingene 2-dimmensjnae nrmafrdeinger - binrmafrdeinger ~ g variansen er dermed determinanten ti kvariansmatrisen. Denne kaes den generee varians GV. GV=VT*VLT-QV(KOV(T,LT)) fr binrmafrdeingen av T g LT. Testene mfatter sampe med fer enn sammensiåtte data er fra ae sampene. 2 individer, mens Agritmen er sm føger: 1.Genere varians fr det sammensåtte sampe,gvs beregnes. GVS=SVT*SVLT-QV(SKOV(T,LT)). 2.Den sammensåtte generee varians, SGV fte kat 11 ped varians 11 beregnes sm determinanten ti matrisen sm består av summene av variansene g kvariansene mutipisert med anta individer i hvert sampe dividert med sammensått anta. SGV=( (SUM(VTi*Ni;i=,n) +(SUM(VLTi*Ni;i=,n) -QV(SUM(KOV(T,LT) ij(.ni,i=,n) )/QV(SN). 3.Fr hvert sampe med fere enn 2 individer beregnes så den generee varians GVi. GVi=VTi*VLTi-QV(KOV(T,LT)i) fr sampe nr i.

27 27 4.Fr hvert sampe med fere enn 2 individer beregnes så føgende verdier: RHOi=GVi/GVS g RH1i=GVi/SGV fr sampe nr i. H1=(RH1i**(Ni/2))*H1, H1=1 før første sampe g HO=(RHOi**(Ni/2))*HO, H0=1 før første sampe, Ni er anta individ i sampe nr i. 5.1 tiegg beregnes verdien TP=(1/Ni)+TP, TP=O før første sampe. 6.Når ae sampene med fere enn 2 individ er NK sampe gjennmgått. Da har testen 1)*5 frihetsgrader g testen under H1 frihetsgrader~ Dersm NK i 1 utføres testen ikke. er gjennmgått under HO FO=(NKhar F1=(NK-1)*4 7.H0=-2*ROO*LN(HO) beregnes. HO er testvariabe fr hyptesen under HO g er asympttisk chi-kvadrat frdet, med avvik prprsjnat med 1/QV(TN) g med FO frihetsgrader. R00=1-((TP-(1/TN)*6)/(5*(NK-1)). 8.H1=-2*R01*LN(H1) beregnes. H1 er testvariabe f~ hyptesen under H1 g er asympttisk chi-kvadratfrdet, med avvik prprsjnat med 1/QV(TN) g med F1 frihetsgrader. R01=1-((TP-(1/TN)*12)/(6*(NK-1)))+(NK+7)/(8*TN). 9.Verdiene fr HO g H1, FO g F1 bir skrevet ut g fra en chi-kvadrattabe finnes så m HO eer H1 frkastes eer ikke. En bør være ppmerksm på at innen den brukte ntasjn vi samme symb kunne skifte betydning at etter i hviken sammenheng det er brukt. F.eks. vi symbet HO bety både en variabe g representere teksten i hyptesen. Frmer g teri ti avsnitt 3.3 er hentet fra KENDALL g STUART

28 28 (1976), v 3, kapitte 42. -j 3.4. Isinjer i binrmafrdeinger. Symbet GV nyttes fr determinanten ti kvariansmatrisen. Tetthetsfunksjnen df ti binrmafrdeingen kan da skrives sik: 9! df=( 1/SQ(GV*2pi))*EXP(-( 1/2)*QV(CHI))*dLT*dT, der QV(CHI)=(1/(VLT*(VT-VLT)))*(VT*QV(LT-MLT)- 2*KOV(T,LT)*(LT-MLT)*(T-MT)+ VLT*QV(T-MT)) Ved en krdinattransfrmasjn ti rig g derpå dreiing av krdinatsystemet en vinke VINK framkmmer: føgende QV(CHI)=(2*QV(XL)/(VT+VLT+ROT))+(2*QV(YK)/(VT+VLT-ROT)) der ROT=SQ(QV(VT-VLT)+4*QV(KOV(T,LT))). Dette kan skrives sm QV(CHI)=QV(XL/SIGL)+QV(YK/SIGK). der XL g YK er variaber i det nye krdinatsystemet. SIGL:SQ( 2/(VT+VLT+ROT)) -g SIGK=SQ(2/(VT+VLT-ROT)). Dette gir gså en binrmafrdeing i det nye systemet. Frdeingen i dette krdinatsystemet har KOV(XL,YK)=O g denne betingesen estimerer VINK. Denne frdeingen representerer den såkate uavhengige variasjn g XL g YK er de uavhengige variabe med standardavvik SIGL g SIGK. De game variabene kan nå gis sm en ineærkmbinasjn av de nye. Lineærkmbinasjnen er: A1*XL+A3*YK=LT-MLT g A2*XL+A4*YK=T-MT. Kefisientene A1, A2, A3 g A4 estimeres ved

29 29 A1/A2=BE g A3/A4=DE der -~ BE=(QV(SIGL)-VLT)/KOV(T,LT) g DE=(QV(SIGK)-VLT)/KOV(T,LT) g ved kravet m at A, A2, A3 g A4 ska være en rtgna transfrmasjn. Sannsynigheten P(QV(CHI) < X2) er gitt ved en chikvadratfrdeing med 2 frihetsgrader. Dette gir et 95% knfidensinterva fr QV(CHI) ved QV(CHI) < 5.99=QV(2.46). Dette gir ss grensene fr et 95% knfidensinterva ved uttrykket QV(XL/(2.46*SIGL))+QV(YK/(2.46*SIGK))=1 sm er en eipse med krtaksen av engde 2.46*SIGK angs Y-aksen g angaksen av engde 2.46*SIGL angs X-aksen i det nye krdinatsystemet. Vi vi nå transfrmere eipsen tibake ti sin pprinneige psisjn i det game krdinatsystemet. Vi dreier den da en vinke VINK=TAN(A2,A1)=Tangens(A2/A1) der A1=SQ(((-BE)/(DE+(1/DE))) g A2=A1/BE der DE g BE er sm venfr. A1 g A2 øses ut ekspisitt fr å gi VINK reativt ti 1. eer 4. kvadrant, dvs. -90' < VINK~ 90'. VINK=O.O gir en inje paraet med x-aksen. Deretter frskyves eipsen en distanse MLT angs X-aksen g en distanse MT angs Y-aksen. Ved bruk av GPGS-F sm er grafiske tegnerutiner skrevet sm subrutiner ti ASCII-FORTRAN versjnen på UNIVAC 1100/82- anegget ti UiB, kan disse eipsene iustreres grafisk. Agritmen fr tegning av 95%-eipser av binrmafrdeing bir da sik:

30 % eipser av en binrmafrdeing..fra kvariansmatrisen beregnes SIGL, SIGK g VINK. Deretter bestemmes hviket midde, m det er et enket prøvemidde eer årsmiddeet, gitt ved MT g MT, sm ska være eipsens sentrum. 2.Eipsen defineres rundt 2.46*SIGL angs X-aksen angs Y-aksen. rig med angakse av engde g krtakse av engde 2.46*SIGK 3.Etter at eipsen er definert dreies den vinkeen VINK g fyttes MLT i X-retningen g MT i Y-retningen. Den tegnes så fysisk på skjerm eer papir i et tidigere fysisk tegnet krdinatsystem med LT på X-aksen g T på Y-aksen. 4.I tiegg skrives så årsta, anta fisk, VINK, SIGL g SIGK ut fr hver frdeing. 5.Dette gjentas fr hver ade~sgruppe der årskassen er representert i prøvene. Vi får dermed en grafisk representasjn av variansen ti LT g T innen en årskasse fr et bestemt tidspunkt hvert år. Frmer g teri i avsnitt 3.4. er hentet fra KENDALL g STUART (1976) v 3, kapitte 41 g Lineære reasjner i binrmafrdeingen. Den ineære transfrmasjnen A1, A2, A3, A4 sm bei utedet i frrige avsnitt gir igningen fr det sm fte kaes "majr axis" i nrmafrdeinger (RICKER 1973, JOLICOEUR 1975 g RICKER 1975). Denne injen er bestemt ved at den går gjennm punktet fr middeverdiene g har heingsvinkeen VINK, eer vinkekeffisienten A2/A. JOLICOEUR ( 1975) diskuterer bruken av "ineær strukture sammenheng" istedet fr "hved akse" ti å beskrive sammenhenger i binrmafrdeinger. Fra KENDALL g STUART (1973) kap.29 framgår det imidertid at "ineær strukture sammenheng" reduseres ti "hved akse" dersm måefeien

31 31 ved måing av de t størresene i binrmafrdeingen er numerisk ik. Måefei kan være f.eks. variasjner mem persner sm måer, variasjner i måeinstrumentenes nøyaktighet sv. Måefei er gitt en frme definisjn i KENDALL g STUART (1973) kap.29. De viktigste egenskapene er at måefei er ukrrert ti hverandre, ukrrert ti seg sev ved gjenntatte måinger g ukrrert ti de størresene sm måes. RICKER (1973 g 1975) bruker "Gemetrisk Midde-regresjn" (GM-regressin) g hevder at denne gir best beskrivese av den ineære sammenhengen i binrmafrdeinger. "GM-regresjn" framkmmer gså fra "ineær strukture sammenheng" dersm det viser seg at måefeiene fr de måte størresene er prprsjna med de måte størresenes egentige variasjn i frdeingen, dvs. at frhdet mem måefeienes standardavvik er ikt frhdet mem de måte størresenes standardavvik. Vi har gså fra KENDALL g STUART (1973) kap.29 at variasjnen heingsvinkeen ti "ineær strukture sammenheng" er begrenset av de t injene fr den vanige ineære regresjn av den ene variabe på den andre. Disse t injene er gså gitt ved eipsene ti binrmafrdeingen ved at injen fr regresjn av Y på X går gjennm punktene der nrmaene fra X-aksen tangerer eipsen g injen fr regresjn av X på Y går gjennm punktene der nrmaer fra Y-aksen tangerer eipsen.(ricker 1975 g KENDALL g STUART 1973) i ~ Spørsmået m måefeienes inbyrdes frhd er ikke undersøkt i denne ppgaven g rent generet synes det å være vanskeig å undersøke. Dette frhdet vi gså bare ha betydning dersm man ønsker å beskrive den egentig,e ineære sammenhengen i binrmafrdeingen, dvs. krrigert fr eventuee virkninger av måefei. Den bserverte sammenhengen beskrives derfr fugdt ved "hved akser" g dette er vagt her Variasjnen av 11,12 g 13 innen en årskasse. Middeverdier av 11,12 g 13 vi kunne variere etter hviken ader den måte fisken har. Dette frdi kreasjn mem LT g T _g engdeavhengig rekruttering vi kunne føre ti at de

32 32 bserverte middeverdiene av 11, 12 g 13 innen adersgruppen avtar med aderen. Dette vi vi undersøke ved grafisk framstiing av M1,M2,M3 g V1,V2,V3 sm er middeverdier g varianser f.r hver adersgruppe innen en årskasse. Det vi gså bi skrevet ut tabeer fr dette g testet m de funne verdier fr 11, 12 g 13 tifredstier nrmafrdeinger estimert av de respektive midde g varianser Undersøkese g tegning av 11, 12 g Prøvene der fisk av en adersgruppe befinner seg gjennmgås fisk fr fisk. Det undersøkes m 11, 12 g 13 ae er måt g m fisken er av rett årskasse. En teer økes med 1. 2.Det undersøkes så m fisken er hankjønn eer hunkjønn g verdier fr 11, 12 g 13 passeres så i hver sin vektr sm er spesifikk fr kjønn g ader. Hver vektr er på 100 eementer g 11, 12 g 13 måene krrigeres g reateres ti enheter ik mm*12.5 sm beskrevet tidigere. (Avsnitt 3.2. pkt. 4) De ee~mentene sm i den rette vektrene har nummer ik hetasdeen av de krrigerte verdiene fr 11, 12 g 13 økes med 1. Det hdes videre rden på anta individ i hver vektr samt passeringen av største g minste verdi. 3.Etter at hee årskassen er ferdig behandet går en gjennm ae vektrene g det beregnes midde g varians. Deretter testes m verdiene i vektren kan sies å være sampet fra en ppuasjn med midde g varians ik det estimerte fra sampeet. Ti dette brukes en Kmgrv Smirnv en-sampe test. (LINDGREN 1968 s.329, 486) 4.Deretter pttes verdiene ut i 3 krdinatsystemer fr 1 ' 12 g 13 h.h.v. Langs X-aksen er angitt ader i år. Verdiene pttes sm midde med en strek ppver g nedver ik 1.96*standardavviket sm gir et interva 95% av frdeingen. pa ca. 5.Ved siden av det grafiske bidet skrives en tabe sm

33 33 test innehder anta individ, midde, standardavvik g variabeen fr nrmatihørighetstesten Kreasjn mem 11, 12 g 13 innen årskasser. Det er av interesse å vite itt m veksten ti den enkete fisk. Det vi ønsker å vite er m det er en sammenheng mem størrese av titten i frhd ti middeet fra år ti år. Sagt med andre rd ønsker vi å finne ut m en fisk med str titt i tidig ader gså har str titt seinere i ivet g tisvarende fr iten titt. En agritme fr dette er sm føger:.en 4-dimmensjna vektr ages sm innehder et 3- dimmensjnat mråde fr hver årskasse g et ekstra. Hvert sikt mråde er det i 3 2-dimmensjnae mråder, et fr hvert mråde Nrdsjøen g det vestige, g et ekstra. Hvert sikt 2-dimmensjnae mråde innehder 6 -dimensjnae vektrer. De 5 første innehder midde, standardavvik fr g kryssprdukter mem 11, 12, 13 g T fr adersgruppene 4-8 år. Den 6. er edig. 2.Datamateriaet gjennmgås fr fisk sm har 11, 12 g 13 måt. Fr disse beregnes midde varians g kvarianser fr 11,12,13 g T. Disse egges så i vektren fr rett årskasse,ader g gegrafisk mråde. 3.En de andre beregninger utføres (se andre agritmer). 4.Tabeer skrives ut. En tabe fr hver årskasse i hvert mråde. Tabeene innehder 5 injer hver med midde, standardavvik g kreasjnskeffisienter fr 11,12,13 g T fr hver adersgruppe fra 4 ti 8 år (TABELL A-5 ) Likhet av 11, 12 g 13 mem grupper. Fr å kunne så sammen data fr 11, 12 g 13 fr fere adersgrupper i en årskasse må vi vite at frdeingene fr disse adersgruppene er identiske. Dette gjøres med en tisvarende

34 34 test sm fr binrmafrdeinger, men nå med trinrmafrdeinger. Fr å gjennmføre denne testen trenger vi en agritme fr sammensåing av data fra en trinrmafrdeing g en agritme fr test av sike sammensåinger.. Agritmen fr sammensåing av data er en enke utvidese av den fr binrmafrdeinger g refereres ikke på nytt. Agritmen fr testing av sammensåingene, sm er test av sammenhørighet ti fees trinrmafrdeing, er i prinsippet den samme sm fr binrmafrdeinger. Nen frandringer må ikeve gjøres. I stedet fr frmeen fr determinanten ti en 2*2 matrise setter en frmeen fr determinanten ti en 3*3 matrise. Under punktene 6, 7 g 8 er frmene fr føgende parametre frandret. Pkt 6: FO=(NK-1)*9 g Ft=(NK-1)*8 Pkt 7: R00=1-((TP-(1/TN))*5)/(3*(NR-1)) Pkt 8: R01=1-((TP-(1/TN)*15)/(8*(NK-1))+(NK+13)/(16*TN) I tiegg erstattes ae referanser bi binrmafrdeinger med tisvarende referanser ti trinrmafrdeinger. Eers er agritmen den samme. Vi kan da gi føgende agritme: Test av fees fpdeing fr 11, 12 g Under pkt 3 i agritmen fra avsnitt 3.7. sås data fra adersgruppene 4-8 år sammen i den edige 6.vektr sm tihører hver årskasse i hvert mråde. 2.Etter dette sås data fra 6.vektr i de vestige årskasser sammen med data fra de tisvarende årskasser fra Nrdsjøen g paseres i den edige vektr fr hver årskasse. 3.Etter dette sås sammensåtte data fra ae årskassene i et mråde sammen g passeres i den edige vektr fr hvert mråde.

35 35 4.Så sås disse dataene fra de t mrådene sammen g paseres i den siste edige vektr. 5.Tisutt testes m de sammensåtte data er fra en frdeing under de enkete sammensåingene. 6.Resutatene skrives ut. (TABELL A-4. ) fees 3.9. Beregninger av standardavvik. Varianser er i denne ppgaven beregnet ved føgende frme VAR(X)= (SUM(QV(Xi);i=1,N)/N) -N*QV(MI(X)) der VAR(X) er variansen MI(X) er middeet av de bserverte verdier Xi er den i-te bserverte verdi av X N er anta bservasjner av X. Denne variansen er brukt i ae beregninger g tester der varians er benyttet. Standardavviket beregnes ved føgende frme SDV(X)= SQ((N*VAR(X))/N-1) der SDV(X) er standardavviket g N er anta bserverte verdier av X. Lengder g tittmå er i denne ppgaven gitt i intervaer. Størresen av disse intervaene er t.ocm fr fiskeengder g t.omm/12.5 fr tittmå. Dette fører ti at nen sampe med få bserverte verdier har fått ae sine verdier i ett interva. Frmene venfr vi beregne en verdi ik 0.0 fr variansen i disse tifeene. Det er ikeve kart at dsse verdiene har en variasjn innenfr intervaet. Av beregningstekniske årsaker er det ønskeig å gi sike sampe en varians. Arsaken ti dette er at det er ønskeig å behde disse sampenes middeverdier i beregningene uten at variansene får en uhedig innvirkning på variansestimatene ved sammensåing, ved at de har verdi ik 0.0. Føgende mer fisfiske betraktning er brukt ti å tidee sike