3.9 Symmetri GEOMETRI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "3.9 Symmetri GEOMETRI"

Transkript

1 rektange der den ene siden er ik radius og den andre siden ik have omkretsen av sirkeen. Areaet kan da finnes ved å mutipisere sidekantene, noe som gir: A = r πr = πr 2. Oppgave 3.41 a) Konstruer en trekant ABC der AB = 8,0 cm, A = 30º og B = 120º. Normaen fra B på AC skjærer AC i O. Hvor ang er OB? Begrunn svaret. b) Regn ut areaet av trekanten ABC. c) Trekanten ABC er en de av en firkant ABCD. AD tangerer en sirke om O med radius OB, og D=90º. Konstruer firkanten ABCD og skriv forkaring ti hee konstruksjonen. d) Ka tangeringspunktet E. Vis at trekantene AOE og ACD er formike. e) Regn ut CD. f) Sirkeen skjærer AB i F. Trekk FO. I trekanten ABO igger noe av areaet utenfor sirkeen. Hvor stort er dette areaet? g) Hvike geometriske steder er benyttet i oppgaven? 3.9 Symmetri Ordet symmetri betyr «samme må» og forteer noe om forhodet meom deene i en hehet. Vi finner symmetri i naturen, både innen botanikken i f. eks. bader og innen zooogien der hee dyrekroppen kan være symmetrisk. Symmetri viser seg også i krystaer, som ae sater er bygget opp av og innen partikkefysikken med partiker og antipartiker. Det ser også ut ti at symmetri er noe som mennesket gjerne uttrykker, noe man kan se fra barnetegninger ti kunst og utsmykning. I matematikk brukes også symmetri i fere sammenhenger, men i forbindese med geometri ska vi se på symmetri som en kongruensavbidning. Vi ska se på tre enke symmetrier, nemig speisymmetri, rotasjonssymmetri og paraeforskyvning. I tiegg ska vi se på sammensatte symmetrier. Speisymmetri Speisymmetri eer speiing om en inje vi si at et punkt P bir avbidet sik at det bir fyttet vinkerett på injen og ike angt på den andre siden. Er det en figur som består av mange punkter, får vi et speibide av figuren. Et sikt speibide kan konstrueres eer tegnes. Konstruksjonen består i å nedfee P x x P' Figur GEOMETRI

2 normaer fra sentrae punkter på figuren på aksen (figur 3.59). Deretter måes avstanden fra hvert punkt ti speiet for så å avsette denne avstanden på den andre siden av speiingsaksen. Ved tegning kan man bruke en trekantinja med rett vinke for å tegne normaene og måe avstandene (se figurene under). En oppgave kan også være å betrakte en figur for å finne ut om det er speiingssymmetri i seve figuren. Dvs. om man Figur 3.58 P P' P x x P' Figur 3.59 Figur 3.60 kan tenke seg at man hoder et spei i figuren som viser figuren sik den er uten at speiet er der. Et eksempe kan være et kvadrat, som har 4 sike speiingsinjer (stipet). Figur 3.61 KAPITTEL 3 81

3 Oppgave 3.42 Finn tisvarende speiingsinjer i føgende figurer: Figur 3.62 Figur 3.63 Oppgave 3.43 Ved å betrakte omgivesene vi man finne mye speisymmetri. For å kunne bruke dette overfor eever på uike trinn i grunnskoen, bør man på forhånd ha tenkt gjennom dette sev. Lag oppgaver som kan brukes på uike trinn der eevene ska finne speisymmetri i omgivesene og tenk gjennom hvike svar dere kan forvente. 82 GEOMETRI

4 Rotasjon Vi ska rotere et punkt S om et rotasjonssenter P. Rotasjonsvinkeen er v. Vi finner «biedpunktet» S ike angt unna symmetrisenteret P som S. Vinkeen SPS er v. Positiv rotasjonsvinke er rettet mot urviserne. Er det en figur som består av mange v punkter, vi hvert punkt i figuren roteres om X rotasjonssenteret. En rotasjon kan tegnes eer konstrueres på tisvarende måte som speiing om inje. S' Siden det ikke er muig å konstruere ae Figur 3.64 vinker med passer og inja, vi det være en begrensning for hvike rotasjoner det er muig å konstruere. Når rotasjonssymmentri ska beskrives, må det oppyses om to ting: 1. Rotasjonssenteret 2. Rotasjonsvinkeen. På samme måte som for speiing om en inje, vi det være en oppgave å finne ut om det er rotasjonssymmetri i en figur. Dvs. hvis figuren roteres om et rotasjonssentrum et bestemt anta grader, vi den se uforandret ut. S P Eksempe: Kvadrat. Rotasjon 90º om rotasjonssenteret S vi gi en uforandret figur. Vi får det samme resutatet hvis rotasjonen er 180º, 270º eer 360º. Den vanigste måten å oppgi dette på er å oppgi rotasjonssenteret og å si at vi kan rotere 4 ganger, eer nevne den minste rotasjonsvinkeen, nemig 90º. x S Figur 3.65 Oppgave 3.44 a) Tegn en bokstav. Merk av et punkt på bokstaven eer utenfor denne. Roter bokstaven 90 grader om det avmerkede punktet. b) Noen bokstaver er rotasjonssymmetriske; dvs. de har et rotasjonssenter som gjør at en rotasjon om dette punktet fører ti at bokstaven ser uforandret ut. Finn 3 sike bokstaver. Rotasjonsvinkeen ska være større enn 0 og mindre enn 360 grader. KAPITTEL 3 83

5 Oppgave 3.45 Hvike symmetrier, speiing om inje og/eer rotasjon har føgende figurer? Tegn inn eventuee speiingsinjer og rotasjonssentrum og oppgi hvor stor rotasjonsvinkeen er. Figur 3.66 Figur GEOMETRI

6 Oppgave 3.46 Hvis man ser i æreverk for grunnskoen, står det i noen av dem om rotasjon om et punkt, eer punktspeiing. Dette er det samme som rotasjon 180º. Finn et æreverk som omtaer rotasjon om punkt og kontroer om det som står her er riktig. Hvordan bir en punktspeiing konstruert? Paraeforskyvning Paraeforskyvning kan konstrueres ved å C paraeforskyve ae punktene i en figur ike angt. Dette er forsøkt gjort i figur 3.68 ved at forskyvningen av B ti B er oppgitt og det er satt av tisvarende avstand fra A, markert ved en bue. Avstanden meom A og B bir også behodt, sik A' B' at avstanden AB bir satt av fra B med en bue. Buene treffer hverandre i A. C konstrueres på tisvarende måte. A Figur 3.68 B Å paraeforskyve et punkt en bestemt engde og retning, kan symboiseres ved en pi. En sik pi kan kaes en vektor. Ae punktene i figuren ska da forfyttes så angt som piens engde og føge piens retning. Når mange punkter som utgjør en figur bir paraeforskøvet sik, får vi et mønster som man ofte finner igjen på tapeter, gardiner, border eer annet. Figur 3.69 KAPITTEL 3 85

7 Oppgave 3.47 Se på mønstrene under. Hvike symmetrier finnes? Tegn inn symmetriinjer og symmetrisentrum og angi rotasjonsvinke. Tegn også inn pier som viser paraeforskyvning. Figur 3.70 Figur 3.71 Oppgave 3.48 Ta for deg en mønsterstrikket genser, en brodert duk e.. Beskriv mønsteret ved hjep av symmetriavbidningene. 86 GEOMETRI

8 Oppgave 3.49 Mange probemer i geometrien øses ved å bruke symmetri. Løsningen igger ofte i at en trekker nye injer på figuren som gjør at en får fram symmetrier i den. a) Trekk en rett inje. Merk av to punkter på samme side av, A og B. Finn punktet X på injen sik at avstanden AX+XB bir kortest muig. (konkretisering: tenk på injen som bidet av en bekk. Du står i A og hesten er tjoret i B. Du ska ned ti even (X) og hente vann ti hesten. b) Tegn et rektange. Det ska forestie et bijardbord. Tegn to kuer A og B. Merk dem av som to punkter på bordet. A ska treffe B etter å ha truffet to av veggene rundt bordet. Finn banen ti A. Vink: du bruker setningen om innfasvinke = utfasvinke. c) En ny ev. Tegn to paraee bredder. Et punkt A i terrenget på den ene siden av even, og et punkt B i terrenget på den andre siden. Over even ska det bygges en bro (oddrett på evebreddene) sik at den samede avstanden fra A ti B bir kortest muig. Hvor egger du broen? d) Hvordan konstruerer du et trapes med passer og inja dersom de fire sidene i trapeset er oppgitt? e) Hvordan konstruerer du et trapes når engden av de paraee sidene og de to diagonaene er oppgitt? f) Tegn to sirker som skjærer hverandre i to punkter A og B. Sirkene behøver ikke ha samme radius. Gjennom A ska du nå konstruere en rett inje som skjærer begge sirkene. Linjen ska videre ha den egenskapen at de to kordene som dannes, en i hver sirke, bir ike ange. Vink: Spei de to sirkene om punktet A. Ta et steg tibake og se på figuren du har fått. Oppgave 3.50 (oppgaven er gitt som tentamen grunneggende kvartårskurs matematikk Bergen Lærerhøgskoe 1991) 1. Tegn en reguær femkant med sider 5 cm. Den ska tegnes så nøyaktig som muig. Forkar og begrunn hvordan du gikk fram med å tegne den. 2. Beskriv femkantens symmetrier. Trekk diagonaene, og skriv opp størresen på de vinkene du finner. (Dette ska skrives opp utenfor figuren.) Har du sett femkanten bi brukt som mønsterenhet noe sted? 3. Beregn areaet av femkanten. Hvike informasjoner må en ha for å beregne fateinnhodet? Kan du kare å age en forme for fateinnhodet? KAPITTEL 3 87

9 4. Femkanten du har aget ska nå være mode for grunnrisset av et hus som er under bygging. Bestem en måestokk som passer ti tegningen du aerede har aget. Hvor stort area er nå husets grunnfate på? 5. Vi ska undersøke taket på huset. Dersom vi ser på taket i fugeperspektiv, atså rett ovenfra, ser vi at takets toppunkt igger i sentrum av grunnfaten. Videre består taket av fem kongruente trekanter. For enkehets skyd sier vi at taket ikke har takutstikk. Byggherren er kar over at takstein er dyrt og at takareaet bestemmes av takvinkeen han veger. Det er denne sammenhengen vi ber deg undersøke. Veg uike takvinker og beregn takareaet som vinkeen bestemmer. Tips: Det kan være urt å kippe ut en femkant og age en mode av et tak. Figur 3.72 Kombinasjoner av symmetrier: En kombinasjon av speiing og paraeforskyvning angs speiet har fått et eget navn, dette kaes: gidespeiing. Eksempe T Figur 3.73 Trekanten T speies om injen og paraeforskyves ti posisjonen T. Det har ingen betydning i hviken rekkeføge vi foretar speiingen og paraeforskyvningen. Kontroer sev at dette stemmer. oooooo T ' 88 GEOMETRI

10 To paraeforskyvninger kan erstattes av en paraeforskyvning som er vektorsummen av de to. Vektorsummen kan tegnes ved å tegne en pi som viser hver paraeforskyvning. Man vi få vektorsummen ved å tegne den andre pien fra der den første sutter som på figur Disse to paraeforskyvningene som er merket 1 og 2, kan erstattes av en ny vektor, merket 3, som starter der vektor 1 starter og sutter der vektor 2 sutter. T Figur T ' 2 Oppgave 3.51 To speiinger om paraee spei. Tegn en figur og to paraee speiingsinjer som på figuren. Tegn eer konstruer de trekantene du får ved å speie først om speiet og deretter speiet m. Sett bokstaver på hjørnene av figurene du får. Legg merke ti bokstavrekkeføgen etter speiingene. C A B m Figur 3.75 Hviken symmetrioperasjon kan resutatet av de to speiingene erstattes av? Prøv å gjøre det samme, men utfør speiingen i motsatt rekkeføge; dvs. spei om speiet m først og deretter om speiet. Lag en ny figur som du passerer meom speiene. Utfør speiingene som over. Hva bir resutatene nå? Kan de speiingene om to spei som er utført nå erstattes av en symmetrioperasjon? Hviken betydning har avstanden meom speiene? KAPITTEL 3 89

11 Oppgave 3.52 To speiinger om to spei som ikke er paraee. Tegn en figur med to spei som skjærer hverandre og en trekant som på figuren under. C A B m Figur 3.76 Konstruer eer tegn resutatet av først en speiing om speiet og deretter spei den trekanten du får om m. a) Hviken annen symmetrioperasjon kan denne dobbete speiingen erstattes av? b) Hva bir resutatet hvis du bytter om rekkeføgen av speiingene? c) Hvis figuren (trekanten) passeres meom speiene før speiingene bir foretatt. Hva bir resutatet da? d) Hviken betydning har vinkeen meom de to speiene? Hva bir bokstavrekkeføgen etter speiingene? Oppgave 3.53 Kan du se deg sev sik andre ser deg? Hvis du ser deg sev i et spei, vi du se deg «speivendt». Speibidet viser at høyre og venstre de av deg er byttet om, men opp og ned er behodt. Hvorfor er det sik? Hvis du hoder to spei ved siden av hverandre kan du se et bide av deg sev som ikke er speivendt i hvert av speiene. Hvis du hoder en angside av speiene sammen, og gjør vinkeen meom speiene stadig mindre, vi det dukke opp nye speibider av deg sev. Beskriv hva du ser. Hvordan går ysstråene fra øynene dine inn i speiene når du ser de nye speibidene? Lag tegning og forkar. Oppgave 3.54 To personer, A og B står midtveis angs hver sin vegg i et rom med med spei angs en av veggene som i figur Vi antar at rommet har en kvadratisk form. 90 GEOMETRI

12 a) Hvor vi A se speibidet av B? b) Hvis veggene er 4,0 m ange, hvor angt unna A er B i speibidet? c) Hvis det er spei angs fere vegger. Hvike speibider kan de se da? spei A oooooo B Figur 3.77 To rotasjoner med samme rotasjonssentrum kan erstattes av en rotasjon med summen av vinkene som rotasjonsvinke. På figuren ved siden av har trekanten bitt rotert en vinke u om P og deretter en vinke v også om det samme punktet P. Disse to rotasjonene kan erstattes av en rotasjon en vinke u+v. P v u Figur Trigonometri Ordet trigonometri kommer av trigonon som betyr trekant og metri som betyr måing. Trigonometri brukes i sammenheng med beregning av sider og vinker i trekanter. Sinus I figur 3.79 er trekantene ABC, ADE og AFG formike, siden vinke A er fees og BC, DE og FG er paraee. Lengden AB=BD=DF, da vi AD=2AB og AF=3AB. Pga. formikheten vi da tisvarende DE=2BC og FG=3BC; AE=2AC og AG=3AC. Hvis vi kaer BC=k og AC=h, vi tisvarende DE=2k og FG=3k; AE=2h og AG=3h. Med utgangspunkt i vinke A, vi motstående katet dividert med hypotenusen i trekanten hee tiden gi samme ta: Dvs.: BC AC = DE FG AE = AG fordi: k 2k 3k h = = 2h 3h KAPITTEL 3 91

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 0. september 04 Oppgave. Bruk forrige oppgave ti å vise at hvis m er orienteringsreverserende, så er m en transasjon. (merk: forrige oppgave sa at ae isometrier er på formen

Detaljer

Relativitet og matematikk

Relativitet og matematikk Reatiitet og matematikk Eementær agebra og igninger Beregning dersom rommet er absoutt og dersom det er reatit Horfor måingen i 887 ga det resutat man fant. At yset bruker ike ang tid ti å gå i ae retninger

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Geometri R1, Prøve 1 løsning

Geometri R1, Prøve 1 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med

Detaljer

Permanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske.

Permanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske. 1 5.1 GEERELL MAGETSME - MAGETFELT Det skies meom to typer magnetisme: Permanentmagneter - av stå med konstant magnetisme. Eektromagneter- består av en spoe som må tikopes en spenning for å bi magnetiske.

Detaljer

Papirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT)

Papirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT) Papirprototyping Oppegg for dagen 09:30-10:00: Om papirprototyping 10:00-10:15: Diskuter probemstiing 10:30-11:30: Lag PapirPT og tistandsdiagram for bruk i testen 12:00-13:30: Test PapirPT på andre (vi

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...

Detaljer

1 Geometri R2 Oppgaver

1 Geometri R2 Oppgaver 1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag / fasit

Kortfattet løsningsforslag / fasit Kortfattet øsningsforsag / fasit Konteeksamen i FYS-MEK 1110 - Mekanikk / FYS-MEF 1110 - Mekanikk for MEF / FY-ME 100 Eksamensdag torsdag 18. august 005 (Versjon 19. august k 0840. En fei i øsningen av

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det? Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som

Detaljer

Oppgave 1: Blanda drops

Oppgave 1: Blanda drops Fysikkprøve-0402-f.nb Oppgave : Banda drops a) En avgrenset mengde oksygen-gass HO 2 L ar temperaturen T = 300 K, trykket p = 0 kpa og voum V =0,00 m 3. Beregn massen ti den avgrensede gassen. Vi bruker

Detaljer

R l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket

R l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket R N G E R K S B A N E N Jernbaneverket Hovedpan. fase 1 har vi utredet prosjektet. Nå ska det ages en hovedpan for Ringeriksbanen. utgangspunket har vi kun fastpunktene Sandvika -Kroksund -Hønefoss for

Detaljer

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2009

Eksamen REA3022 R1, Våren 2009 Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

en forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon

en forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon TEMA: DYREHELSE REINE DYR en forutsetning for god dyreveferd og trygg matproduksjon Triveige dyr er reine og vestete. Hud og hårager er viktig i forsvaret mot skader og infeksjoner. Reint hårag er også

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger

Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 007 Løsninger 1a En konjugasjonskasse i SO(3 består av ae rotasjoner med en gitt rotasjonsvinke α og vikårig rotasjonsakse. En konjugasjonskasse i

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Hall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma).

Hall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma). FY1303 Eektrisitet og magnetisme nstitutt for fysikk, NTNU FY1303 Eektrisitet og magnetisme, høst 007 Laboratorieøvese 1 a effekt ensikt ensikten med øvesen er å gjøre seg kjent med a-effekten og måe denne

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7 til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her

Detaljer

JEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier

JEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT JEMISI(-TEKNISKE Anayser av fett og tørrstoff Sammenikning av anayseresutater ved 7 aboratorier ved Kåre Bakken og Gunnar Tertnes R.nr. 135/74 A. h. 44 BERGEN Anayser

Detaljer

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

5.4 Den estetiske dimensjonen

5.4 Den estetiske dimensjonen 5.4 Den estetiske dimensjonen I et brev til sin elskerinne, Sophie Volland, skriver redaktøren av Encyclopedi, Denis Diderot (1713 1774): «Michelangelo søker etter hvilken form han skal gi kuppelen i St.

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig

Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig Innedning 1 Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftig Sik bir du bedre ti å skrive Det å skrive en oppgave er utfordrende og meningsfut. Når du skriver, egger du a din reevante kunnskap og forståese

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2011

Eksamen REA3022 R1, Våren 2011 Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16

Detaljer

Snordrag i pendel. Carl Angell Øyvind Guldahl Ellen. K. Henriksen UNIVERSITETET I OSLO. Skolelaboratoriet Gruppen for fysikkdidaktikk Fysisk institutt

Snordrag i pendel. Carl Angell Øyvind Guldahl Ellen. K. Henriksen UNIVERSITETET I OSLO. Skolelaboratoriet Gruppen for fysikkdidaktikk Fysisk institutt 1 UNIVERSITETET I OSLO Skoeaboratoriet Gruppen for fysikkdidaktikk Fysisk institutt Boks 1048 Bindern N-0316 Oso Teefon: 85 64 43 / 85 78 86 Teefaks: 85 64 e-mai: skoeab@fys.uio.no Snordrag i pende Car

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen

Detaljer

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren: Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene

Detaljer

12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene,

12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene, 112 B12 SKIVESYSTEM Oppsummering av punkt 12.3 Enke, reguære bygg kan håndregnes etter former som er utedet. Føgende betingeser må være oppfyt. - Ae vertikae avstivende deer må ha hovedaksene i - og y-retning

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013

FYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013 Norsk Fysikkærerforening Norsk Fysisk Seskaps faggruppe for underisning FYSIKK-OLYMPIADEN 0 0 Andre runde: 7/ 0 Skri øers: Nan, fødsesdao, e-posadresse og skoens nan Varighe: kokkeimer Hjepemider: Tabe

Detaljer

Eksamen 1T våren 2015 løsning

Eksamen 1T våren 2015 løsning Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel?

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 En vinkel som

Detaljer

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? X

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? X Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? X 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 X En vinkel

Detaljer

5.4 Konstruksjon med passer og linjal

5.4 Konstruksjon med passer og linjal 5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

Geometri 1P, Prøve 2 løsning

Geometri 1P, Prøve 2 løsning Geometri 1P, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 a) Regn ut lengden AC. Vi bruker Pytagoras setning. AC AB BC AC 5 4 b) Regn ut arealet av ABC. Arealet er 1 4 6. c) Regn

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Oppgave 1 Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Hva er omkretsen til den nye figuren? A 32 cm B 40 cm C 48 cm D 56 cm

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Oppgaver Innhold 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 2 2.2.Mangekanter og sirkler... 6 2.3 Formlikhet... 8 2.4 Pytagoras setning... 12 2.5 Areal... 15 2.6 Trigonometri 1... 18 Navn på hjørner

Detaljer

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1 Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke.

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2

Detaljer

DTL og universell utforming ikke godta diskriminering

DTL og universell utforming ikke godta diskriminering DISKRIMINERINGS- OG TILGJENGELIGHETSLOVEN UNIVERSELL UTFORMING ikke godta diskriminering DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Eksamen 30.11.2010. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 30.11.2010. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Eksamen 1T våren 2016 løsning

Eksamen 1T våren 2016 løsning Eksamen T våren 06 løsning Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 7, 5 10 4 7,5 4,0 10 0 10, 1 4 1 ( 4) 8 9,0 10 0 10 Oppgave (4 poeng) Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet.

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Valg 2011. Hurdal Arbeiderparti

Valg 2011. Hurdal Arbeiderparti Vag 2011 Hurda Arbeiderparti Les dette før du bestemmer deg: Hurda Arbeiderparti har som overordnet føring at ae har ikt menneskeverd. Ae har ik rett ti utdanning, arbeid, boig og sosia trygghet. Derfor

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet NIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige akutet Eksamen i: FYS 13 - Svingninger og bøger Eksamensdag: 4. mars 6 Tid or eksamen: K. 9-1 Godkjente hjepemider: Øgrim og Lian (eer Ange og Lian):

Detaljer

MEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse)

MEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse) EK 50 tabiitet og knekning a konstruksjoner Høst 005 Prosjektoppgae: Forsag ti øsning (skisse). Hayman 0..005 - - Innedning Dette er kun en skisse ikke en fustendig rapport. Inndeingen i asnitt er bare

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA NOTAT Postboks 133, 6851 SOGNDAL telefon 57676000 telefaks 57676100 TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA 4.05.0 PROSJEKTTITTEL TILGJENGE TAL

Detaljer