Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger

Transkript

1 Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 007 Løsninger 1a En konjugasjonskasse i SO(3 består av ae rotasjoner med en gitt rotasjonsvinke α og vikårig rotasjonsakse. En konjugasjonskasse i O(3 er enten identisk med en konjugasjonskasse i SO(3, eer den er het utenfor SO(3 og består av ae matriser S = R der R tihører en gitt konjugasjonskasse i SO(3. Når vi utvider gruppen fra SO(3 ti O(3, er det i prinsippet muig at noen konjugasjonskasser bir større, men det skjer atså ikke, fordi hee O(3 genereres av SO(3 med tiegg av ett nytt eement I, som kommuterer med hee SO(3. De nye gruppeeementene utenfor SO(3 må finne sin pass i nye konjugasjonskasser som igger het og hodent utenfor SO(3. En konjugasjonskasse i SU( består av ae SU(-matriser med en gitt rotasjonsvinke α og vikårig rotasjonsakse. 1b En SU(-matrise U som tihører sentret i SU(, må være et mutipum av identitetsmatrisen, i føge Schurs emma. Atså U = ai der a er et kompekst ta. At U SU( impiserer at detu = a = 1, atså a = ±1. Da er a = a 1, og U = ai er unitær, U = a I = U 1. Tisvarende gjeder for en SU(3-matrise U som tihører sentret i SU(3, at U = ai og detu = a 3 = 1, atså a = 1, a = ω eer a = ω der ω = e i π 3 = 1 + i 3. Også i dette tifeet er a = a 1, og føgeig er U unitær, U = a I = U 1. 1c Med U = cos I i sin er U = cos = cos I + isin I isin n σ = cos I isin (n 1 σ 1 + n σ + n 3 σ 3 ( ( α α n σ = cos I + i sin (n 1 σ 1 n σ + n 3 σ 3 m σ, der m 1 = n 1, m = n, m 3 = n 3. Atså m = R n, der R er en rotasjon med vinkeen π om y-aksen. Det gir at U = VUV 1 med ( V = exp i π ( 0 1 σ = iσ =. 1 0 V = σ fungerer nøyaktig ike bra. Riktignok er ikke σ SU(, men det er heer ikke noe krav at vi ska ha V SU(. 1

2 Det er et vesentig poeng her at V må kunne veges uavhengig av U. Vi kan kontroere svaret. Hvis vi foranger at en kompeks -matrise ( a c U = b d ska være unitær og ha determinant 1, finner vi at den mest generee øsningen er ( a b U = b a, der a og b er kompekse ta med a + b = 1. Da er ( U a b = b = VUV 1 a med V = V 1 = ( Av reasjonen U = VUV 1 føger at (TrU = Tr(U = Tr(VUV 1 = TrU. Det vi si at TrU er ree. Det ser vi forøvrig av den oppgitte formeen ( ( α α U = cos I isin n σ, som gir at TrU = cos. 1d Vi kan bruke karakterene χ 1 (U = Tr ρ 1 (U = TrU, χ (U = Tr ρ (U = Tr(U = (TrU = (χ 1 (U ti å vise at de to representasjonene er inekvivaente. Det er nok å finne en SU(3-matrise U sik at TrU ikke er ree, for da er χ 1 (U χ (U. Et eksempe er sentereementet U = ωi fra punkt b ovenfor, som har TrU = 3ω = 3(1 + i 3. 1e 1 og 1 utgjør sentret av kvaterniongruppen, de er sine egne konjugasjonskasser. Eers er f.eks. jij 1 = ijj 1 = i, sik at konjugasjonskassene er {i, i}, {j, j} og {k, k}. Karaktertabe:

3 1 1 i, i j, j k, k Her er noen hodepunkter for å konstruere karaktertabeen. Det er fem konjugasjonskasser og ike mange irredusibe representasjoner. Ae karakterene er reee, fordi, som vi ser, g og g 1 atid tihører samme konjugasjonskasse. Karakteren ti enhetseementet, χ(1, er dimensjonen ti representasjonen. Ortogonaitetsreasjon nr. gir at kvadratsummen av dimensjonene er N = 8, og det gir entydig dimensjonene 1, 1, 1, 1 og. En todimensjona representasjon var gitt i oppgaveteksten, nemig 1 I, i iσ 1, j iσ, k iσ 3. Den er irredusibe og gir siste inje i karaktertabeen. Irredusibiitet beviser vi ved hjep av ortogonaitetsreasjon nr. 1. En genere representasjon er en direkte sum av irredusibe representasjoner, med mutipisitet m µ av den irredusibe representasjonen µ, da har den karakter χ = m µ χ (µ, µ og ortogonaitetsreasjonen gir at N i χ i = m µ m ν N i (χ (µ i χ (ν i = N i µ,ν i µ m µ. Derfor vet vi at representasjonen er irredusibe (en m µ = 1, ae andre m µ = 0 når i N i χ i = N. For en endimensjona representasjon er det karakteren som er representasjonen, sik at χ(gh = χ(gχ(h. Og dimensjonen ti represntasjonen er χ(1 = 1. Siden ( 1 = 1, må (χ( 1 = χ(( 1 = χ(1 = 1, atså χ( 1 = ±1. Siden i = 1 og i 4 = 1, må (χ(i = χ(i = χ( 1 = ±1 og (χ(i 4 = χ(i 4 = χ(1 = 1, atså χ(i = ±1 eer χ(i = ±i. Videre er χ(i = χ( i, fordi i og i er konjugerte. Når samtidig χ( i = χ( 1χ(i, og χ(i 0, må vi ha χ( 1 = 1 og χ(i = ±1. Og så videre. Karakteren ti den todimensjonae irredusibe representasjonen kon vi forøvrig finne entydig ved hjep av ortogonaitetsreasjonene, etter at vi har funnet ae de endimensjonae. Her er enda et knep som viser at noen av karakterverdiene må være nu. Når χ 1 og χ er karakterene ti to representasjoner ρ 1 og ρ, av dimensjoner n 1 og n, så er χ 3 = χ 1 χ karakteren ti produktrepresentasjonen ρ 3 = ρ 1 ρ, av dimensjon n 3 = n 1 n. Hvis f.eks. ρ 1 er endimensjona og ρ er irredusibe, så er ρ 3 irredusibe (det kan vi bevise f.eks. ved hjep av ortogonaitetsreasjonen: vi har at χ 1 (g = 1 for ae g, og 3

4 derfor g χ 3 (g = g χ 1 (gχ (g = g χ (g = N. Videre, hvis det finnes et gruppeeement g sik at χ 1 (g 1, så er det to muigheter: enten er χ (g = 0, eer så har representasjonene ρ og ρ 3 samme dimensjon, men er inekvivaente. Kvaterniongruppen har bare en todimensjona irredusibe representasjon. Denne representasjonen må ha karakterverdi 0 for enhver konjugasjonskasse som har karakterverdi forskjeig fra 1 i en av de endimensjonae representasjonene. a Den fue tredimensjonae punktgruppen innehoder føgende transformasjoner. 6 rotasjoner om en akse vinkerett på panet, inkudert identitetstransformasjonen E (av noen kat I. Rotasjonsvinkene er kπ/6 med k = 0,1,,3,4,5. 6 såkate vertikae refeksjoner σ vj, j = 1,,3,4,5,6, om 6 pan som innehoder rotasjonsaksen. De 6 rotasjonene og 6 refeksjonene utgjør tisammen gruppen C 6v, som atså har orden 1. De 1 transformasjonene i C 6v er todimensjonae, de virker i det vi kaer horisontapanet og forandrer ikke den tredje koordinaten, angs rotasjonsaken. Derfor kommuterer de med refeksjonen om horisontapanet, σ h, som ikke gjør annnet enn å invertere den tredje koordinaten. At i at gir det 4 gruppeeementer, dette er den dihedrae gruppen D 6h, som er et direkte produkt, D 6h = C 6v {E,σ h } = C 6v {I,σ h }. Den er forøvrig et direkte produkt også på en annen måte: D 6h = D 6 {I, I}, der I er identitstransformasjonen r r og I er inversjonen r r. b Schurs emma sier at enhver operator som kommuterer med ae transformasjonene i en irredusibe representasjon, må være et mutipum av identitetsoperatoren. Transasjonsgruppen er kommutativ, og hvis vi har en irredusibe unitær representasjon av den, må enhver transasjonen være representert som et mutipum av identitetsoperatoren, atså som en fasefaktor. Men da må representasjonen være endimensjona, for eers vie den være redusibe. c Rotasjonen R (som mer generet også kan være en refeksjon transformerer r R r, mens transasjonen a transformerer r a + r. Hvis vi først roterer med R og etterpå transaterer med a, gir det at r R r a + R r = R(R 1 a + r. Samme resutat som om vi først transaterer med R 1 a og etterpå roterer med R. Vi har atså at U( aψ = U( au(rψ = U(RU(R 1 aψ = U(R(e i k (R 1 a ψ = e i(r k a U(Rψ = e i k a ψ. Fordi rotasjonen R bevarer skaarprodukt, har vi at k (R 1 a = (R k (RR 1 a = (R k a = k a. Atså er ψ og ψ egentistander for U( a med egenverdiene λ = e i k a og λ = e i k a. 4

5 Når U er unitær og har ψ og ψ som egenfunksjoner, Uψ = λψ og Uψ = λ ψ, så er egenverdiene λ og λ kompekse ta med absouttverdi 1, λ = λ = 1. Og hvis λ λ, så må ψ og ψ være ortogonae, (ψ,ψ = d 3 r (ψ( r ψ ( r = 0, fordi λ (ψ,ψ = (ψ,λ ψ = (ψ,uψ = (U ψ,ψ = (U 1 ψ,ψ = (λ 1 ψ,ψ = (λ 1 (ψ,ψ = λ(ψ,ψ. d Transformasjonene i punktgruppen permuterer de 1 bøgefunksjonene ψ 1 ti ψ 1, og kan representeres som 1 1-matriser der ae matriseeementene er enten 0 eer 1. Trasen ti en sik matrise er antaet enere på diagonaen, atså antaet bøgefunksjoner som transformeres over i seg sev. Karakteren ti identitetstransformasjonen er 1, nemig dimensjonen av matriserepresentasjonen. Ae andre transformasjoner har karakter 0, de transformerer ingen bøgefunksjon over i seg sev. Vi har atså en representasjon med føgende karakter: E C C 3 C 6 3σ d 3σ v χ Den er en ineærkombinasjon av de irredusibe karakterene, χ = m 1 A 1 + m A + m 3 B 1 + m 4 B + m 5 E 1 + m 6 E, med foreøpig ukjente mutipisiteter m 1,...,m 6. Vi har at 6 χ(g = 144 = 1 mi. g i=1 Det er nok ti å vise at representasjonen er redusibe, nemig i m i = 1. Hvis χ (µ er en irredusibe representasjon, så er (χ(g χ (µ (g = 1χ (µ (E. g Vår representasjon innehoder derfor den irredusibe representasjonen µ med mutipisitet χ (µ (E, som er dimensjonen ti den irredusibe representasjonen µ. Atså er de endimensjonae representasjonene A 1,A,B 1,B innehodt med mutipisitet 1, og de todimensjonae representasjonene E 1,E er innehodt med mutipisitet. e Den 1-dimensjonae matrisen T( a som representerer transasjonen r a + r har matriseeementene T m ( a = δ m e i k a. Hvis A er en 1-dimensjona matrise som kommuterer med T, så er A j T m ( a = A jm e i k m a = 5 T j ( aa m = A jm e i k j a.

6 Hvis j m her, så er k m k j (se Figur, og da finnes det en transasjonsvektor a sik at e i k m a e i k j a. Ligningen ovenfor kan da bare være oppfyt hvis A jm = 0. Det viser at A må være diagona. Anta nå at A er diagona, A jm = δ jm α j, og kommuterer med ae rotasjonene og refeksjonene. Se på to vikårige indekser j m. Hvis A kommuterer med en matrise B, så er A j B m = B jm α j = B j A m = B jm α m. Det finnes (minst en rotasjon eer refeksjon B i symmetrigruppen C 6v sik at Bψ m = ψ j. Da er B jm = 1, og fordi A og B kommuterer, må α j = α m. Konkusjon: α 1 = α =... = α 1 = α, og A er et mutipum av enhetsmatrisen, A = αi. Her har vi en gruppe som er uendeig og ikke-kompakt, fordi det ikke finnes noen begrensning på engden av en transasjonsvektor a. Men vi har en unitær representasjon av denne gruppen, og en unitær representasjon er atid enten irredusibe eer en direkte sum av irredusibe representasjoner. Da gjeder det omvendte Schurs emma, at representasjonen er irredusibe dersom bare matriser av formen αi kommuterer med ae transformasjonsmatrisene. Vi trekker den konkusjon at vår representasjon av romgruppen, med både transasjoner og rotasjoner (og refeksjoner, er irredusibe. f Transasjonen a 0 = M a 1 + N a i panet er identitetstransformasjonen på nanorøret. Transasjonene k a 0 i panet, med k = 0, ±1, ±,... er da også identitetstransformasjonen på nanorøret. For at en rotasjon eer refeksjon R C 6v ska tihøre punktgruppen ti nanorøret, er det nødvendig og tistrekkeig at enten R a 0 = a 0 eer R a 0 = a 0. Den triviee øsningen er identitetstransformasjonen R = E. En nesten ike trivie øsning er rotasjonen på 180, R = C. Disse to rotasjonene er atid symmetrier. Andre rotasjoner kan ikke være symmetrier. Om det finnes refeksjonssymmetrier, avhenger av hetaene M og N. Enten finnes det to refeksjonssymmetrier, refeksjon angs a 0 og refeksjon vinkerett på a 0, eer det finnes ingen. Vi ser av Figur 1 at det finnes refeksjonssymmetri i føgende tifeer: (i N = 0, (ii M = N, (iii M = 0, (iv M = N/, (v M = N, (vi M = N. g Bøgevektoren k ti en transasjon som er en symmetri på nanorøret, må oppfye betingesen e i k (M a 1 +N a = 1. Med k = k 1 b1 + k b gir det betingesen Mk 1 + Nk = nπ, n = 0, ±1, ±,.... Den definerer Briouin-sonen ti nanorøret som en mengde av paraee rette injer i Briouin-sonen ti det heksagonae gitteret. 6