lknincger og modeller eksistens

Transkript

1 Opp summering peanuts erm Kohli Hua Zo Aksiomatisk oppbygging ceo plan gcometri Et aksiomatisk system be star aw : To udefineate begrep 20 aksiomerl postulates 3 o definisjoner 4 teacher bevis 50 to lknincger modeller eksistens aw Tho is en modell gjor det aksiomatislee er aksiomene " rihticge " system et Leonsis tent to Ilan ingen i : Ekseempel insiders geometrid To punht bigger pie linie I 2 61 Giennom to distinbtepunhtgareksaht en linie 162 Hoer linie got giennom mint to punht 163 Det finals Ere ihke neceoepunkt 3 l on er paralleled der som l Am 0 4 Huis lin ihke er parallelle sao F et un int pun ht P sa { P } So Tre geometries leant esiske planet

2 hi Enver Det En side men ihke sfaren Noytralgeometru definite begrep : peanut linie custard halo plan uinkelmal P mengden ao alle punkt i planet Aksiomer NG I Eksistenspostulatet finaesminst No 2 Insiders post to puhllt Giennom to Iistinkk punht gear eksaht No 3 brinjal post en linie linie uoordinatfunksjon hat en N 64 Plan separations post hoer linie deter planet i to N 65 Grad Skive post Ui Kan mile cinder N 66 SUS k side uongruente trek center oinked gir N 63 hinialpostulabet Gilt P QE IP see fines et melt tall PQ halt au standees Mellon P Q For hoer linie sat eksisteaer Iet en

3 I post f f uoordinatfunk en l : l IR Sa leorvespondanse PQ I f ( P ) f ( Q ) ) for P er Q El Kan normalised : P QE IP F f : IR sa f ( P ) O f ( Q ) > O Nao han ui definer konstruere A * BAC AB + BC AC ABT EA BYU { Pl Aap B } ABT ABT U { PIA * B * p } APTE CI betyr AB CD midtpunkbetpaat ATI i gilt P pi custard fra A NGU Plansep D H Hit Ulu Mz huo r 0 Hz 7/0 Huis PEH Qetfz sci POT nd 't H H2 er Cle to silene ao l begge konvelase + ikke homely

4 Trek Kan nie defined Winkel B 7 < BAC AB u AT # Def Det indie ceo en winked : Hgh Hsg Def Motsatte Strater : B * A C C # ABI EE er mots cette Strieter Def ant : Def SABC ABT OBI UCF ( A B C ihke holding Mdlomliggenhet au Strater : Bo 7 Person D er i Iet indre at a BAC Pasch 's aksiom ( tectum ) A B C indie pie l

5 E "LESSEN liaryensseaoensiaene e de andre Tverrliggerteoremet ' " " ae?ng5gradskivepost To 0 EM ( C ABC ) C 1800 Lo MCC ABC ) FB AT 3 VE lean honstrueoe winkler med gilt moat ro OE re 1808 For hier OE re 180 halo plan H ( begensetao FB ) sat F en Strate A see Mfc BAE ) ro E H Yo Vi uan adder uihkler : entydig uk BAD ) tuk DAL ) noir FB melt om FB u ( L BAC ) AI

6 nine konstruksion Kongruente winkler ( def ) < BAC E < DEF Konsekuenser : cat Hornet par it 1800 betyr UKBAC ) uk DEF ) n ± C x B B et lineal par ceo midtnormalpa AT uinkelhalveringsstraler uongruente a kontinuitetsaksiomet motsatle winkler er f :[ 0 I ] [ o eefccab )) D CB f G) MKCADX ) OB er kontinuerlig Det er soa den inverse A C

7 to Silene N 66 SVS postulated Kongruenke trekanter ( def ) SABLES DEF Svs Desson SABC DDEF er see FB ZDF L ABC E CDEF 0cg SI SABC DDEF BIZET Hush : Winkel en me ligge Mellon de hikebeint trekant ( FB EAT )a 1 ( wed sus ) t t ( ABC E < ACB B C Har VVS VSV SSS Vss er feet men RSS er rihtig

8 oinked Kunene by Het at SVS med : linie finals en oinked beuarencle isometru som bytterom For hoer de to Silene went fits ever punht put linen ( Reffgkesionen Delkap 105 Ytre teoremet Teorem V s d ( Funner ink pie sfceoen ) Gilt PEM Poy l SE F! m sa mtl m t P

9 Skalene C Ts ulikheten AB s BC D IT is a A B Trekantulikheken B A C L AB t BC A C A tlengselteooemet C 6y 6 FE l B D E l F Huis S CB so T pe Eatin DCP EE ) D FEB ) ' :# rain Kontinuitet an custard D AB x ADX

10 Alternerencle e f : Cold ] [ oooo ) B f ( x ) CDX c er hontinuerlig ANT indre oinked Koren jet Fm a ell m Kosovar : horvesponderende vintner like store elim Eksisbens Ceo paralleller : Gilt PEL sie eksisheoer m Sa PEM mill µpt m mill free ANT

11 O O Sacc here Legendre OLD ABC ) E 1800 teoremet Firkanter konoeks konueks fir hunt DAB CD Of ABCD ) E 360 noir D ABCD honueks Aihke parallelram paralldle sider ( disse er alltid leonuekse ) Rektangel alle winkler mailer 900 horrocks Defekt ( def O ( SABC ) ) 180 ( SABC ) d ABCD ) 360 ( DABCD ) saccharin D A d fir Kant B C Egensuaper Lteonem ) o AI E BIT : Gift Isegmenteternormalt

12 PE FB DT er et parallelram o Kon vets X B S 900 Lambert firkant parallelram a Isen shaper : Cteorem) a Uonoeks A E 900 A B BC E AD Utsagn som er ekuiualente til EPP EPP p F! Linie m Sa PEM m Ill MAIVT this mile see a p me

13 Huis Transit iuitet aw Il vinkdsumspostulabet mlln n Hl sie m Ill f f / O ABC ) 1800 for M n e alle trek center O ( SABC ) 1800 for en trek cent Euklids V At Ps L 1800 : s : sicken noor ell m the { P } so thin # 0 aqissae?fa7zetno#d Det eksisteoerrekl A angel Hoer trek ant lean om strives B D E ( det eksi steerer en omsirkel til hoer trekant ) Teorem 8 23

14 a Pem N Hpp ( hyper bolshie ) sisteoet mins to C a # linger Pen m n s mill B n Ill P Det universal hyper Person F lo Po bolshie Rorem minst to tinier giennom Po som er parallelletil do sci giebler det for alle l P HPP 7 Epp Den ene eller den andre holder 8 noytralgeometru Euklidsk geo metro Aksiomene NG l 66 t EPP Parallellprojeksionsteoremet

15 m A A ' m my n gir n Fundamental teoremet for form like trekanter SABC n DDEF Ned andre ord : SABC ~ SDEF F r O Sa DE ro AB DF to EF r AC BC sus for form likhet :

16 ta i DABCRDDEF c F DS 0 eii ' II A B D E SE SABC nddef Pytacgoras Korean a : : toe form line trekanter SABC~DCBDrs ACD a2tb2 a < BCA matter 900 "

17 N " Elmer insistent O G H er hotline are Video H 6*0 HG 260 Huis toekanten er likes idek er H 60 Teorem 564 ( Cena 's teoreem ) hi f elles punkt D nuiss Afp ZI I Hyper bolsk geometrid NG l 66 t MPP up Det ehsisteoer mins to tinier som er paralleled l

18 f DCP til l gcir giennom P HPP 7 EPP so 0 ( SABC ) L 1800 OL d ( SABC ) C 1800 OLD ABCD ) L 3600 Det eksisterer indie rektangler ' Fieri :hymiaarya :O Teorem 6111 VVV SABC ~ SDEF SABC I DDEF Q # m # Gilt Pee PEM sie fines Iet hoyst et punht Q # P l g a e) d( Qd ) Def elles normal FB er en feller normal # µ ye m

19 as FN ( punhhet M ) FN { DCP Person F P l m er parallelle tinier Q E M P # Q Sa e) d( All sie har m e en fellers normal MAIVT Kim i spesielle til feller * t m mill auiegnuenedinwdoe kongruente dorsum F en feltes normal ( FN ) Sa skjcerer E E midterm Parallellitetsuinkel %;\ e K rt NAITO } Den smitten de menschen

20 UK cekencle K [ o ro ) roerdet Kriti she tallet for P AB ( A ) Det Kriti she tallit ro aohenger bare cw auslander d ( Re ) e KG KH ) µ ( LAPD ) } a ache ) ) er en A B ihke funk gon Kcb ) Z K (a) 9) APD Sa APD ) ro halles parallellitetsuihkelen Hoer parallels itetsuinkelmaler 2900 Seckler ( i naytralgeometru ) N GI NG 6 ( ( O r ) { PI opr ]

21 Tangent liniefeoremet t t er tangent wed P noises top > It f4 % sink TW#onEineuitetjsa + A er pal utsiden se l B er poi innsiclen air se SE moi l wore en sekantlinie 1 P 0 Tangents irkler omsirkelteoremet Eisen :' man til Silene notes T O er ( som sie sent rum i omsirkelen ) Eksistensenaeomsirkel for alle trek center er ekuioalent EPP

22 F taekanter som ihre har en omsirkd i hyperbole geometru Men en innsirkel eksisteoer for alle trek center i noytral geometrid * Sirk ler i Euklidsk geometrid ' " B 900 A AM MC ; i Tis#s3iceneaiTmear r so < ACB 900 Periferiuinkel CPQR Q r Sentral oinked < pop

23 Sentral uinkelen til R matter 2 ganger mcilet Eel periferiuinkelen 24 Koro Har i " " " spa Kap 10 sided ve u er det SE wort Eid giennomgihk SE de ble ihke Galt med i oppsummeringen