HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510
|
|
- Benedikte Andresen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 BJØRN JAHREN Euklids Elementer introduserte den aksiomatiske metode i geometrien, og i mer enn 2000 år var den omtrent enerådende som lærebok i geometri. Men den revolusjonen som skjedde på 1800-tallet både i geometrien og i forståelsen av aksiomatisk metode og logikk ble det etterhvert klart at Euklids fremstilling var mangelfull. Den som i første rekke ryddet opp i dette var den store tyske matematikeren David Hilbert, som publiserte et nytt aksiomsystem i boken Grundlagen der Geometrie i Vi skal her gi en kortfattet gjennomgang av Hilberts aksiomer med noen eksempler og kommentarer, men uten beviser. For flere detaljer henvises f. eks. til bøkene Euclidean and non-euclidean geometies av M. J. Greenberg og Geometry: Euclid and beyond av R. Hartshorne. Hilbert behandler også romgeometrien, men vi skal konsentrere oss om geometri i planet. Planet er da en mengde S hvor elementene kalles punkter. De geometriske figurene vi vil studere er bygd opp ved hjelp av linjer og sirkler. Linjene vil vi postulere, mens sirklene blir definert ved hjelp av de andre begrepene. Den fundamentale relasjonen er insidensrelasjonen P l som kan gjelde eller ikke gjelde mellom et punkt P og en linje l. Men i tillegg innfører vi to nye relasjoner: mellomhet, som gjør det mulig å snakke om de punktene som ligger mellom to gitte punkter, og kongruens, som vi trenger for å sammenligne konfigurasjoner forskjellige steder i planet. Egenskapene til disse relasjonene formulerer Hilbert i tre grupper av aksiomer: insidensaksiomer, mellomhetsaksiomer og kongruensaksiomer. I tillegg trenger vi et kontinuitetsaksiom for å sikre at linjene har nok punkter, og naturligvis Euklids parallellitetsaksiom. Tilsammen karakteriserer disse aksiomene de delmengdene av S som skal kalles linjer, og dermed hvilke geometriske figurer som kan forekomme i geometrien. Hilbert viste at disse aksiomene karakteriserer Euklidsk plangeometri fullstendig, og dessuten at aksiomene er uavhengige av hverandre, i den forstand at for hvert aksiom finnes en modell som tilfredsstiller alle de andre men ikke detruth Allewelt Assistant to Dr. Peters Mathematics Editorial IV Phone: Springer Fax: Tiergartenstr Heidelberg Germany te. Vi begynner med insidensaksiomene: I1: For alle par av distinkte punkter A og B fins en entydig bestemt linje l som inneholder A og B. I2: Hver linje har minst to punkter. I3: Det fins minst tre punkter som ikke ligger på samme linje. Vi lar AB være den entydig bestemte linjen gjennom A og B. Allerede disse aksiomene gir opphav til mye interessant geometri, såkalt insidensgeometri. Det euklidske planet R 2, der linjene er løsningsmengdene 1
2 2 BJØRN JAHREN til lineære ligninger ax + by = c, er et opplagt eksempel, og også de delmengdene vi får om vi f. eks. restrikterer til det tilfellet at a, b, c, x og y er rasjonale tall (Q 2 ) eller hele tall (Z 2 ). Sfærisk geometri (der S er en kuleflate og linjene er storsirkler) er derimot ikke et eksempel, siden et par av antipodale punkter ligger på uendelig mange storsirkler, og derfor er ikke entydigheten i I1 tilfredsstilt. Dette problemet kan vi løse ved å identifisere alle par av antipodale punkter på sfæren. Da får vi en insidensgeometri som kalles det (reelle) projektive planet P 2. En måte å tenke på punktene i P 2 på er som rette linjer gjennom origo i R 3. Hvis kulen har sentrum i origo, så bestemmer en slik rett linje (og er bestemt av) et par av antipodale punkter på kulen, nemlig snittpunktene mellom kulen og linjen. En linje i P 2 kan vi da tenke på som et plan gjennom origo i R 3, siden et slikt plan skjærer kulen nettopp i en storsirkel. Legg merke til at med denne tolkningen blir insidensrelasjonen inklusjon av linjer i plan. Vi har også endelige insidensgeometrier den minste består av tre punkter der linjene er de tre delmengdene med to elementer. (Prøv å finne alle mulige insidensgeometrier med 4 og 5 punkter!) Den neste gruppen av aksiomer gjelder relasjonen B ligger mellom A og C, som i Euklidsk geometri kan være sann eller ikke sann for tre distinkte punkter A, B og C som ligger på en rett linje. Trepunktsgeometrien ovenfor viser også at det ikke er mulig å gi denne relasjonen noen fornuftig mening i enhver insidensgeometri, så vi trenger å postulere de egenskapene vi trenger. Vi vil her bruke notasjonen A B C for B ligger mellom A og C. Hilberts mellomhetsaksiomer er da: B1: Hvis A B C, så er A, B og C distinkte punkter på en linje, og vi har også C B A. B2: Gitt to distinkte punkter A og B, så fins et punkt C slik at A B C. B3: Hvis A, B og C er distinkte punkter på en linje, så gjelder en og bare en av relasjonene A B C, B C A og C A B. B4: Anta at A, B og C ikke ligger på samme linje og anta at l er en linje som ikke inneholder noen av dem. Hvis D l og A D B, så fins E på l slik at B E C eller F på l slik at A F C, men ikke begge deler. (Hvis vi tenker på A, B og C som hjørnene i en trekant, så sier B4 at hvis l er en linje som går gjennom en side i trekantene men ingen av hjørnene, så må den også gå gjennom nøyaktig en av de andre sidene. Dette aksiomet kalles ofte Pasch s aksiom.) I et standard Euklidsk plan (og i andre eksempler som vi skal studere senere) kan vi bruke avstandsbegrepet til å definere mellomhet. Vi lar da A B C bety at A, B og C er distinkte og d(a, C) = d(a, B) + d(b, C), der d(x, Y ) er avstanden mellom X og Y. (Sjekk at B1-4 da blir oppfylt!) På denne måten blir også Q 2 et eksempel, men ikke Z 2, siden B4 ikke blir oppfylt. (Finn et moteksempel!) Bemerk også at enhver åpen, konveks delmengde K av R 2 (f. eks. det indre av en sirkelskive) tilfredsstiller alle aksiomene så langt, hvis vi lar linjer være (ikke-tomme) snitt mellom linjer i R 2 og K, og mellomhet defineres som i R 2. (Dette eksemplet vi spille en viktig rolle senere.) Derimot kan
3 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/ det projektive planet ikke gis noen naturlig slik relasjon. I den sfæriske modellen for P 2 er linjene storsirkler der antipodale punkter er identifisert med hverandre, og disse kan igjen på naturlig måte identifiseres med sirkler. Men hvis vi har tre punkter på en sirkel, er alle like mye mellom de to andre. Derfor kan ikke B3 være oppfylt. Mellomhetsrelasjonen kan brukes til å definere segmentet AB som punktmengden som består av A, B og alle punkter mellom A og B. På lignende måte kan vi definere strålen AB som mengden AB {C A B C}. Hvis A, B og C er tre punkter som ikke ligger på samme linje, så kan vi definere vinkelen BAC som paret bestående av de to strålene AB og AC Mellomhetsbegrepet gir oss også mulighet til å skille mellom de to sidene av en linje l. Vi sier at to punkter A og B er på samme side av l dersom AB l =. Det er ikke så vanskelig å vise ut fra aksiomene at dette er en ekvivalensrelasjon på komplementet til l, og at det er nøyaktig to ekvivalensklasser - de to sidene av l. På lignende vis sier vi at et punkt D er innenfor vinkelen BAC, dersom B og D er på samme side av AC og C og D er på samme side av AB. Dermed kan vi f. eks. skille mellom punkter innenfor og utenfor en trekant. Vi sier også at vinklene BAC og BAD er på samme (resp. motsatt) side av strålen AB, dersom C og D er på samme (resp. motsatt) side av linjen AB. Nå har vi bygd opp noe av geometriens begrepsapparat, men en viktig ingrediens mangler: vi kan ennå ikke sammenligne konfigurasjoner på forskjellige steder i planet. For å kunne gjøre dette introduserer vi begrepet kongruens. Intuitivt vil vi tenke på to konfigurasjoner som kongruente dersom alle deres bestanddeler er like store, eller at de kan flyttes over i hverandre ved en rigid bevegelse. Selvfølgelig har ingenting av dette mening ut fra de definisjonene vi har gitt så langt, så kongruens må være en ny struktur, en relasjon hvis egenskaper må bestemmes av ytterligere aksiomer. Siden de figurene vi er interessert i å studere består av segmenter og vinkler, må kongruensrelasjonen i utgangspunktet være definert for disse. Vi skriver AB = CD for segmentet AB er kongruent med segmentet CD, og tilsvarende for vinkler. Hilberts aksiomer for kongruens av segmenter er: C1: Gitt et segment AB og en stråle r fra C, så fins et entydig bestemt punkt D på r slik at CD = AB. C2: = er en ekvivalensrelasjon på mengden av segmenter. C3: Hvis A B C og A B C og vi har både AB = A B og BC = B C, så er også AC = A C. Hvis mellomhet er definert ved et avstandsbegrep (som i det Euklidske planet, se ovenfor), så kan vi definere AB = CD som d(a, B) = d(c, D). C2 og C3 er da automatisk oppfylt, mens C1 blir en sterkere versjon av B2. Selv uten et avstandsbegrep kan vi nå bruke kongruens til å sammenligne vilkårlige segmenter: vi sier at AB er mindre enn CD (AB < CD) dersom det fins E slik at C E D og AB = CE. Aksiomene for kongruens av vinkler er: C4: Gitt stråle AB og vinkel B A C, så fins vinkler BAE og BAF på motsatte sider av AB slik at BAE = BAF = B A C.
4 4 BJØRN JAHREN C5: = er en ekvivalensrelasjon på mengden av vinkler. C6: Gitt trekanter ABC og A B C. Hvis AB = A B, AC = A C og BAC = B A C, så er de to trekantene kongruente dvs. BC = B C, ABC = A B C og BCA = B C A. C4 og C5 er analoge til C1 og C2, men bemerk at C4 sier at vi kan avsette en vilkårlig vinkel på begge sider av en gitt stråle. C6 sier at en trekant er bestemt av to sider og deres mellomliggende vinkel. Dette utsagnet refereres ofte til som SAS (side-angle-side). Disse tre gruppene av aksiomer er de mest grunnleggende, og ut fra dem kan man f. eks. vise alle unntatt én av de første 27 proposisjonene i bok I av Euklids Elementer. Men en viktig ingrediens mangler: Euklid gjør etter hvert utstrakt bruk av sirkler, og for at argumentene skal være gyldige må vi vite noe om når sirkler skjærer hverandre, eller når de skjærer gitte linjer. ( Konstruksjon med passer og linjal.) La oss se litt nøyere på hva vi trenger (vi forutsetter at vi har en geometri som tilfredsstiller alle aksiomene så langt): Først definerer vi sirkelen med sentrum i O og radius AB som mengden {C S OC = AB}. En slik sirkel vil alltid ha punkter; f. eks følger det av C1 at enhver linje gjennom O vil skjære sirkelen i nøyaktig to punkter. (Oppgave: Vis at sentrum er entydig bestemt av sirkelen!) Definisjon: La Γ være en sirkel med sentrum O og radius OA. Vi sier at et punkt B er innenfor Γ hvis OB < OA og utenfor hvis OA < OB. Vi sier også at en linje eller sirkel tangerer Γ hvis de har nøyaktig ett punkt felles med Γ. Vi kan nå formulere Hilberts aksiom E: Gitt to sirkler Γ og slik at inneholder punkter både innefor og utenfor Γ. Da har Γ og felles punkter. (De skjærer hverandre.) (En konsekvens av de andre aksiomene er at de skjærer hverandre i nøyaktig to punkter.) Dette er et eksempel på det vi kaller et kontinuitetsaksiom. En konsekvens av aksiom E er en annen variant: E : Hvis en linje l inneholder punkter både innenfor og utenfor sirkelen Γ, så vil l og Γ skjære hverandre. (Igjen i nøyaktig to punkter.) Parallellaksiomet gir Hilbert denne formuleringen ofte kalt Playfairs aksiom (etter John Playfair i 1795, selv om den går tilbake til Proclus på 400-tallet): P: (Playfairs aksiom) Gitt en linje l og et punkt P utenfor linjen, så fins høyst en linje m gjennom P som ikke skjærer l. (Hvis m ikke skjærer l sier vi at m og l er parallelle og skriver m l. Eksistensen av en slik m kan man vise følger av de andre aksiomene.) Med disse aksiomene har vi nok til å vise alle resultatene i Euklids Elementer I IV, men de bestemmer ikke det Euklidske planet entydig. Standardplanet (R 2 med strukturen ovenfor) er et eksempel, og det er en instruktiv oppgave å vise dette i detalj, men vi får andre eksempler ved å erstatte de reelle tall i definisjonen med en ordnet kropp der vi kan ta kvadratroten av alle positive elementer! For å få entydighet trenger vi et sterkere kontinuitetsaksiom, f. eks. Dedekinds aksiom:
5 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/ D: Hvis en linje l er en disjunkt union av to delmengder T 1 og T 2 slik at alle punktene i T 1 er på samme side av T 2 og omvendt, så fins entydig punkt A l slik at hvis B 1 T 1 og B 2 T 2 så er enten A = B 1, A = B 2 eller B 1 A B 2. Dette er et kompletthetsaksiom som har sin bakgrunn i Dedekinds definisjon av de reelle tall, og en konsekvens er at geometrien på enhver linje kan identifiseres med geometrien på R. Man kan vise at det impliserer aksiom E, og sammen med aksiomgruppene I*, B*, C* og parallellaksiomet bestemmer det den plane Euklidske geometrien fullstendig. Vi nevner tilslutt at aksiom D også impliserer et annet kontinuitetsaksiom, Arkimedes aksiom: A: Gitt to segmenter AB og CD, så finnes punkter C = C 0, C 1,... C n på CD, slik at alle C i C i+1 = AB og Cn 1 D C n. ( Gitt A B, så så kan ethvert annet segment dekkes av et endelig antall kongruente kopier av AB.) Med dette aksiomet kan vi vise at vi kan innføre et lengdemål med enhet AB, og en geometri med aksiomene I*, B*, C* P, E og A kan identifiseres med en delmengde av det standard Euklidske planet.
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 3.5 2 La l være ei linje, A et punkt på l og B et annet punkt på l. Vi skal vise at det finnes nøyaktig
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 8 5.1 9 La l og m være to parallelle linjer. Vi skal vise at det finnes ei linje
DetaljerEksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerHyperbolsk geometri. Aksiomatikk og modeller
Hyperbolsk geometri Aksiomatikk og modeller Eivind R. Hillesund Masteroppgave for graden Lektorprogrammet med masterspesialisering i matematikk, MAT5930L, Mai 2016 Innhold 1 Introduksjon 1 2 Aksiomatisk
DetaljerEksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri: LF
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri: LF Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 979 65 057 Eksamensdato: 14. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerMorleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Morleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen til MA2401 Geometri: Morleys teorem, Eulerlinja og nipunktsirkelen I dette notatet
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 1 2.4 7 I Fanos geometri (se side 18 i læreboka) er punktene gitt ved symbolene
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 8.1 5 Vi skal vise følgende: hvis γ 1 = C(O 1, r 1 ) og γ 2 = C(O 2, r 2 ) er to sirkler som skjærer
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4.1 1 Dette resultatet følger fra ytre vinkel-teoremet og lineært par-teoremet.
DetaljerObligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer
Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle
DetaljerMAT1030 Forelesning 10
MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret
DetaljerBevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.
DetaljerMAT1030 Forelesning 12
MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerLøsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerR1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerLitt topologi. Harald Hanche-Olsen
MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere
Detaljer1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren.
Geometri før Euklid og Euklids Elementene Mye av material ned er fra matematikk.no Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 11. oktober 2014 Oppgave 1. La ABCD og A BC D være to parallellogrammer med felles vinkel ABC = A BC. Vis at linjene gjennom DD, A C og AC er konkurrente. Løsning 1. Det
Detaljer( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerProblemløsning og utforsking i geometri
Universitetet i Agder Fakultet for realfag og teknologi Institutt for matematiske fag MA-13 Geometri Problemløsning og utforsking i geometri Hva er et matematisk problem? Ikke alle matematiske oppgaver
Detaljer5.4 Konstruksjon med passer og linjal
5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen
DetaljerLøsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.
Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at
Detaljer3.4 Geometriske steder
3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere
DetaljerPolare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo
Universitetet i Oslo 27. oktober 2011 Pol og polare Enhetssirkelen har likningen q(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 For hvert punkt a = (a 1, a 2 ) på sirkelen er tangentlinja til sirkelen definert av likningen
DetaljerLøsningsforslag kapittel 3
Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave
DetaljerMellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet
Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper
DetaljerNotat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
DetaljerMAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerGeometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
DetaljerMAT1030 Forelesning 11
MAT1030 Forelesning 11 Relasjoner Roger Antonsen - 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner Binære relasjoner Definisjon. La A være en mengde. En binær relasjon på A er
DetaljerAksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.
Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.
DetaljerGeometri R1, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet
DetaljerMer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner
MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) MAT1030 Diskret
DetaljerEuklids Elementer En sammenligning av geometri og geometrisk algebra i Euklids Elementer og i et nyere læreverk. Preben Lie Masteroppgave, våren 2016
Euklids Elementer En sammenligning av geometri og geometrisk algebra i Euklids Elementer og i et nyere læreverk Preben Lie Masteroppgave, våren 2016 Forsidedesign av Martin Helsø Forsiden viser et utsnitt
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
Detaljer11 Nye geometriske figurer
11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTrekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.
Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan
DetaljerR2 eksamen våren ( )
R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerPartielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 5.6 5 La ABC være en trekant, og la m A,m B og m C være midtnormalene på de
DetaljerForelesning 1 mandag den 18. august
Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige
DetaljerKjeglesnitt. Harald Hanche-Olsen. Versjon
Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Innledning Kjeglesnittene sirkler, ellipser, parabler og hyperbler er klassiske kurver som har vært studert siden antikken. Kjeglesnittene
DetaljerUtvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma
Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerMA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
DetaljerTest, 1 Geometri. 1.2 Regning med vektorer. X Riktig. X Galt. R2, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen. 1) En vektor har lengde.
Test, 1 Geometri Innhold 1.2 Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 6 1.4 Vektorproduktet... 11 1.5 Linjer i rommet... 16 1.6 Plan i rommet... 18 1.7 Kuleflater... 22 Grete Larsen 1.2
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerAvdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge
Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde
Detaljer1.7 Digitale hjelpemidler i geometri
1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DetaljerR1 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1
Oppgave 1 R1 - Eksamen V10-7.05.010 Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x 3x lnx x 3 1 x 3x lnx x x 3lnx 1 ) Kjerneregel: f x 4e u, u x 3x f x 4e u x 3 4 x 3 e x 3x 1) P 3 4 4 16 0 P 0 P x x Q x x
DetaljerGEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante
Detaljer1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
DetaljerTemaer fra vitenskapen i antikken
Temaer fra vitenskapen i antikken Matematikkens utvikling i det gamle Hellas. Etablering av begrepet om aksiomatisk system. Utvikling av astronomien som et geosentrisk matematisk system. 1 Nøkkelmomenter
Detaljer5.A Digitale hjelpemidler i geometri
5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DetaljerForelesning 11. Relasjoner. Dag Normann februar Oppsummering. Relasjoner. Relasjoner. Relasjoner
Forelesning 11 Dag Normann - 18. februar 2008 Oppsummering Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære. Bruk av Venn-diagrammer er et av læringsmålene i dette emnet. Vi så kort på digital
DetaljerR1 Eksamen høsten 2009 Løsning
R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
DetaljerGeometri R1, Prøve 1 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med
DetaljerNORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2011
Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen
DetaljerHeldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1
Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem
DetaljerFagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven
Innledning Fagdag 1 - R1 Torsdag 26.08.09 Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Den første fagdagen skal fokusere på vektorregning (kapittel 1), geometri (kapittel 6) og bruk av GeoGebra Jeg starter
DetaljerHint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.
Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere
Detaljerb) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene.
Oppgave I Likninger og ulikheter a) Løs likningen: x + 2 a. + (3x + 4) 3 6 2 ( x + 2)6 6 6 + (3x + 4) 3 6 2 2x + 4 + 9x + 2 2x 9x 2 5 x b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig),
DetaljerR1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for
Detaljer1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
DetaljerFinn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering i FORK1100 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 19. oktober 2018 kl. 14:30 Antall oppgaver: 15 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende
Detaljer28.1 Beskrivelse Bildet under viser hvordan modellen tar seg ut i utstillingen.
28 T-pussel (Rev 1.0, 10.09.99) 28.1 Beskrivelse Bildet under viser hvordan modellen tar seg ut i utstillingen. Figur 28.1 T-pusselet slik vi finner det i utstillingen 28.2 Oppgaver i utstillingen Kan
Detaljer