Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket 3 3 2 = 18. Det er ltså 18 ulike kombinsjoner som kn serveres. Oppgve 4.3 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene i hvert ledd gir uttrykket 4 3 2 = 24. Menypkken kn ltså settes smmen på 24 ulike måter. 4.6 En ntrekksitusjon er en situsjon der det en vil finne ut v er hvor mnge ulike kombinsjoner som kn settes smmen ved et visst ntll lterntiver i et visst ntll vribler. Grunnen til t situsjonen hr fått nvnet ntrekkssitusjon, er t ntrekk er et eksempel på en slik situsjon: du kn h et visst ntll i hver ktegori v klesplgg, slik som sokker, sko, bukser og gensere. For å finne ut hvor mnge unike ntrekk du kn sette smmen, kn du dermed gnge smmen ntllet v hver ktegori v klesplgg, en metode som klles multipliksjonsprinsippet. Et nnet eksempel på en ntrekkssitusjon kn være spillet stein-sks-ppir. Her er det to «vribler», ltså personer som kn velge. Hver «vribel» hr tre lterntiver, stein, sks og ppir. Det er dermed 3 3 = 9 ulike utfll v spillet. 4.9 Forslg: Ol hr fått gvekort til å kjøpe seg ny dtmskin, printer og en stor skjerm. I butikken er det mye å velge mellom: 37 typer dtmskiner, 5 typer printere og 8 typer skjermer. Hvor mnge ulike kombinsjoner kn Ol sette smmen? Løsning For å finne ntllet kombinsjonsmuligheter kn en gnge smmen ntllet i hver ktegori. Her hr Ol ltså 37 5 8 = 1480 kombinsjoner å velge mellom! 4.11 Om rekkefølgen til resulttet v et kst med to mynter ikke spiller noen rolle, vil det være riktig å si t det er tre muligheter, KK, MM og KM/MK, slik som Cmill påstår. Her ser mn ltså på KM og MK som smme utfll én v hver. Om rekkefølgen til resulttet spiller en rolle, vil det derimot være riktigere å si t det er fire utfll, KK, MM, KM og MK. Her betrktes ltså utfllene KM og MK som forskjellige. H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1
4.15 Vlgtre som illustrerer utfll ved kst v to terninger Tbell over utfllene ved kst med to firesidete terninger. Hvit Blå 1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 1 3 2 3 3 3 4 3 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4.23 d 4.27 For å finne ut hvor mnge tll vi kn lge v et visst ntll sifre, kn vi multiplisere 1 2 3 n, når n representerer ntllet sifre. Forslg til bordpln i Inges konfirmsjon 4.28 Tbell over utfllene ved trekk v to kort fr en kortstokk Trekk 2 Trekk 1 Ruter Hjerter Spr Kløver Ruter R R H R S R K R Hjerter R H H H S H K H Spr R S H S S S K S Kløver R K H K S K K K H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 2
Tbell over utfllene ved trekk v tre kort fr en kortstokk. Den øverste linj representerer de 16 ulike utfllene en står igjen med etter trekk v de to første kortene. Som vi ser fins det 4 16 = 4 3 = 64 ulike symbolkombinsjoner v tre spillkort. RR RH RS RK HR HH HS HK SR SH SS SK KR KH KS KK Ruter RRR RHR RSR RKR HRR HHR HSR HKR SRR SHR SSR SKR KRR KHR KSR KKR Hjerter RRH RHH RSH RKH HRH HHH HSH HKH SRH SHH SSH SKH KRH KHH KSH KKH Spr RRS RHS RSS RKS HRS HHS HSS HKS SRS SHS SSS SKS KRS KHS KSS KKS Kløver RRK RHK RSK RKK HRK HHK HSK HKK SRK SHK SSK SKK KRK KHK KSK KKK c Du kster to terninger, en blå og en rød. Den blå terningen hr seks sider, mens den røde kun hr fire. Vis de ulike kombinsjonene i en tbell, og finn ut hvor mnge kombinsjoner som smmenlgt blir 7. Løsning Tbell som illustrerer utfllsrommet når en rød, fire-sidet terning og en blå, seks-sidet terning kstes. Som vi ser gir 4 kombinsjoner 7 når de legges smmen. Blå Rød 1 2 3 4 1 1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 2 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 3 1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 3 + 3 = 6 4 + 3 = 7 4 1 + 4 = 5 2 + 4 = 6 3 + 4 = 7 4 + 4 = 8 5 1 + 5 = 6 2 + 5 = 7 3 + 5 = 8 4 + 5 = 9 6 1 + 6 = 7 2 + 6 = 8 3 + 6 = 9 4 + 6 = 10 4.34 Det viser seg t snnsynligheten er størst for t spilleren som vlgte oddetll vinner. For hvert trekk er snnsynligheten 2 3 for t summen v tllene blir et oddetll, men snnsynligheten for t summen blir et prtll kun er 1. Dette kn forklres v følgende tbell over utfllsrommet. 3 Trekk 2 Trekk 1 2 3 4 5 2 X 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 5 + 2 = 7 3 2 + 3 = 5 X 4 + 3 = 7 5 + 3 = 8 4 2 + 4 = 6 3 + 4 = 7 X 5 + 4 = 9 5 2 + 5 = 7 3 + 5 = 8 4 + 5 = 9 X Som vi ser i tbellen er ikke mulighetene 2 + 2, 3 + 3 osv. med. Dette skyldes t hvert kort ikke kn trekkes to gnger. 2 v utfllene er dermed oddetll. 3 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 3
4.35 Snnsynligheten for å vinne (komme frem til osten) og tpe (komme frem til ktten) er like stor, det vil si 1 2 hver. 4.43 En klsse rrngerer et kkelotteri til inntekt for TV-ksjonen. I klssen er det 20 elever som kn bidr med én kke hver. Klssen bestemmer seg for t 5 % v loddene skl være vinnerlodd. Siden 5 % tilsvrer 1, må det være 20 lodd per kke, som betyr t det må være 20 20 lodd 20 kker = 400 lodd. For å gjøre det enkelt bestemmer de seg for t lle tll i 20-gngeren 1 kke (20, 40, 60 osv.) skl være vinnerlodd. Når de lger lodd fr 1 til 400 er det d 20 vinnerlodd, og vinnersjnsen per lodd er 20 = 1 = 5%. 400 20 De bestemmer seg for t hvert lodd skl koste 8 kr. Hver elev bruker 30 kr på ingrediensene til kk, og nettoinntekten for hele klssen kn dermed regnes ut som 400 8 20 30 = 3200 600 = 2600. Til smmen tjener klssen ltså 2600 kr om de følger plnen og får solgt lle loddene. 4.44 Excel-regnerk som simulerer 100 terningkst med én terning. Formelutskrift under. H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 4
4.47 Excel-regnerk som simulerer 100 kst v to terninger, summerer tllene i hvert tilfelle og finner ntllet v hver v summene. Til slutt finnes ntllet kst som gir en sum over fire når øynene på terningene dderes. Formelutskrift under. H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 5
Å teste ut i prksis er sjelden en god måte å finne snnsynligheten for noe, men det kn gi oss en pekepinn på om vi hr regnet riktig, eller det kn gi oss et hint om vi ikke kn regne ut snnsynligheten på vnlig måte. 4.48 Figur som psser til situsjonen beskrevet i oppgven b Figur som psser til situsjonen beskrevet i oppgven. Dette er én v flere riktige løsninger. c Figur som psser til situsjonen beskrevet i oppgven. Dette er én v flere riktige løsninger. H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 6
d Løs oppgvene på smme måte som, b, og c: 1: Totlt 4 brikker, 2 som er røde og runde og 2 som er blå og firkntede. 2: Totlt 7 brikker, 3 runde og 3 som er røde og firkntede. 3: 5 brikker som er røde og runde, 3 brikker som er røde og firkntede og 3 brikker som er blå og firkntede. Løsninger 1: Figur som psser til situsjonen beskrevet i oppgven 2: Figur som psser til situsjonen beskrevet i oppgven. Dette er én v flere riktige løsninger. 3: Figur som psser til situsjonen beskrevet i oppgven. Dette er én v flere riktige løsninger. 4.50 Venndigrm som illustrerer utfllsrommet ved trekk v kort fr en kortstokk, bsert på ktegoriene ruter/hjerter/spr/kløver og billedkort/ikke billedkort H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 7
4.61 Vlgtre som viser utfll ved trekk v to kort i sekvensen 2, 3, 4 og 5, når kortet 2 llerede er trukket. Blå ringer representerer oddetll, røde ringer representerer prtll. b Vlgtre som viser utfllene ved trekk v to kort i sekvensen 2, 3, 4 og 5. Blå ringer representerer oddetll, røde ringer representerer prtll. H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 8