Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer dette vgrensede området rundt x-ksen frmkommer et såklt omdreiningslegeme. Se figuren nedenfor. For å finne volumet v omdreiningslegemet tenker vi oss t vi deler omdreiningslegemet inn i mnge små vertikle segmenter med redde dx. Hvis vi roterer et segment plssert i x, rundt x-ksen, får vi en rett vkortet kjegle slik figuren nedenfor viser. Siden høyden dx er svært liten, kn vi med god tilnærming etrkte den tynne skiven som en sylinder med smme høyde som kjeglen og med en rdius som er gjennomsnittet v rdius i topp og unn v kjeglen. Rdius i sylinderen lir derfor f( x). Vi velger ltså å etrkte sylinderen som en svært tynn skive med tykkelse dx, og rdius f(x). Volumet v sylinderen finner vi ved å multiplisere grunnflten med høyden i sylinderen. Vi gjentr denne prosedyren for lle segmentene som vi hr delt x-ksen inn i. Omdreiningslegemet lir på denne måten delt inn i mnge svært tynne skiver med smme tykkelse. Se figuren nedenfor. Volumet v omdreiningslegemet som hr frmkommet ved t det skrverte området er rotert rundt x-ksen, kn vi finne ved å summere volumene v lle de tynne skivene. Denne summeringen utfører vi ved hjelp v integrsjon og vi får: 89
Klkulus Volume = π( rdius) dx = π ( f ( x)) dx Eksempel Et område er vgrenset v grfen til y = x der 0 x 4 og x-ksen. Vi roterer dette området rundt x-ksen. D får vi et omdreiningslegeme. Beregning v volumet til dette omdreiningslegemet er vist nedenfor. Dersom vi roterer området vgrenset v hlvsirkelen gitt ved en kule. Beregning v volumet v kul er vist nedenfor. y = r x og x-ksen, får vi Svret vi får her, ør vekke umiddelr gjenkjennelse. Prøv selv å tolke svrene som dukker opp på skjermen til ClssPd 300 på figuren nedenfor. 90
Klkulus Det kn være en god pedgogisk hndling å knytte gmmel og ny lærdom smmen på den måten vi her demonstrerer. Rugyllen 4x y Ellipsen gitt ved + = 1 eskriver profilen til en rugyll. Nedenfor hr vi eregnet 11 1 volumet v denne rugyllen åde nlytisk og i grf ppliksjonen til ClssPd 300. Områder mellom grfer L oss nå studere volumet v et omdreiningslegeme som frmkommer når et område mellom to grfer f og g roterer rundt x-ksen. Se figuren på neste side. 91
Klkulus Volumet v dette omdreiningslegemet finner vi ved først å finne volumet v omdreiningslegemet estemt v f og så trekke i fr volumet v hullet estemt v g. D får vi t ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) V = π f x dx π g x dx= π f x g x dx Eksempel Et område er vgrenset v grfen til y = x + 1 og den rette linjen y = x+ 3. Vi roterer dette området rundt x-ksen og vi får et omdreiningslegeme. Vi vil finne volumet til omdreiningslegemet. Grensene til det estemte integrlet er i dette tilfellet estemt v x-koordintene til skjæringspunktet mellom prelen og den rette linjen. Se figuren ovenfor. Overflterelet til omdreiningslegemer På figuren nedenfor ser vi omdreiningslegemet vi får etter t grfen til f i intervllet [ ], o hr rotert 360 rundt ksen gitt ved y = A der A < min( f ). Vi skl nå studere overflten til dette omdreiningslegemet. 9
Klkulus For å finne overflterelet deler vi først intervllet [ ], på x-ksen inn i småintervller med redde dx. For hvert småintervll ser vi så på de små delene vi får på grfen til f. Vi kn tilnærme hvert delintervll på grfen til å være rette linjer med stigning f ( x) Lengden l v linjestykket i hvert delintervll finner vi så ved hjelp v Pythgors læresetning. Altså l = dx + dy. Vi summerer disse relene og får Når vi roterer linjestykket på grfen rundt ksen får vi en rett vkortet kjegle. Vi finner overflterelet v denne vkortede kjeglen ved å multiplisere lengden v linjestykket på grfen med strekningen som midtpunktet på linjestykket tilkelegger under rotsjonen, nemlig π gnger rdius, Rdien er f ( x) A. Prosessen li gjenttt for lle de små delintervllene i intervllet [,]. Det etyr t vi tilnærmer overflterelet v omdreiningslegemet til å være en sum v overfltereler v lle kjeglene i intervllet [,]. x= x= S = dx + dy π( f( x) A) = π( f( x) A) 1 + ( f ( x)) x= x= π ( ( ) ) 1 + ( ( )) f x A f x dx Hvis funksjonen f er deriverr i hele intervllet x, er overflterelet til omdreiningslegemet vi får når kurven y = f( x) roterer rundt x-ksen, gitt ved S dy = π y 1+ dx dx 93
Klkulus Rotsjon rundt y-ksen Hvis x = f( y) hr en kontinuerlig derivert i hele intervllet y, er overflterelet til omdreiningslegemet som frmkommer når vi roterer kurven x = f( y) rundt y-ksen gitt ved S dx = π x 1+ dy dy Eksempler Området vgrenset v hlvsirkelen y = r x og x-ksen roterer rundt x-ksen. Omdreiningslegemet som d frmkommer, er en kule med rdius r. Vi vil finne overflterelet til denne kul. Se figuren nedenfor. ClssPd 300 ekrefter den velkjente formelen for overflterelet til en kule, 4π r. Hvis linjestykket x = 1 y, y [ 0,1] lir rotert rundt y-ksen, frmkommer en kjegle. Vi husker fr før t relet v sideflten til en kjegle er gitt ved formelen S = π rs. I vårt spesielle tilfelle får vi t S = π 1 = π. Når vi hr lært en ny frmgngsmåte for å esvre en prolemstilling er det som tidligere nevnt, god pedgogikk å vise t gmmel- og ny frmgngsmåte gir likelydende svr på prolemet. 94
Klkulus Svret på ClssPd 300 er funnet ved hjelp v formelen for overflterelet til et omdreiningslegeme, er selvfølgelig identisk med svret vi fikk ved hjelp v konvensjonell regning. Utforskning Bruk ClssPd 300 til å vise t overflten S til omdreiningslegemet som frmkommer når vi 1 π roterer kurven x = y 1 der y,1, rundt y-ksen, er S = ( 1). 3 Hvordn ser denne flten ut? Buelengder i plnet Figuren nedenfor viser grfen til funksjonen f i intervllet [,]. For Lengden å finne v lengden et kort linjestykke v grfen (uelengden), kn vi enkelt deler eregne vi intervllet ved hjelp [ v, Pyt ] hgors i segmenter læresetning med redde dx. dersom Kurven vi kjenner lir dermed lengden delt v inn egge i tilsvrende ktetene. Se figuren småstykker. til venstre. Hvert småstykke v grfen er svært kort og vi kn med god tilnærming etrkte Lengden småstykkene v den som horisontle rette linjestykker. kteten er dx. Siden linjestykket er lineært, finner vi lengden v den vertikle kteten ved å multiplisere lengden v den horisontle kteten med stigningen til linjestykket. Stigningen er gitt som den deriverte til f i x. Altså er dy = f ( x) dx. 95
Klkulus Vi summerer lengden v lle linjestykkene og får lengden L v grfen i intervllet [,]. Vi kller denne lengden for uelengden. x= x= L= dx + dy = dx + ( f ( x) dx) x= x= x= x= 1 + ( f ( x)) dx 1 + ( f ( x)) dx = Vi må forvisse oss om t integrlet eksisterer. Hvis funksjonen y = f ( x) hr en kontinuerlig derivert i hele intervllet dy ved L= 1+ d dx x. x, så er uelengden L til kurven y = f( x) fr til gitt Eksempler Vi ønsker å finne uelengden til kurven ( ) 3 4 y = f x = x 1 der 0 x 1. 3 Vi velger å løse prolemet lgerisk på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. Enklest er det å finne uelengden ved å ruke kommndoen rclen på ClssPd 300. Se skjermildet til høyre ovenfor. Lengden v en stroide Kurven gitt ved likningen x 3 + y 3 = 1 tilhører en fmilie v kurver som vi kller stroider, fordi formen minner om en slgs stjerne. Nå skl vi se nærmere på denne estemte kurven ved hjelp v ClssPd 300. Vi ønsker også å finne lengden v denne stroiden. Vi foretrekker å tegne stroiden på prmeterform. Se figuren på neste side. Litt senere i dette kpitlet vil vi lære mer om prmeterform. Som figuren viser, hr vi eregnet uelengden lgerisk på ClssPd 300. 96
Klkulus Hvordn finner vi nedre grenseverdi i det estemte integrlet på skjermildet nedenfor? Verifiser på din ClssPd 300 t uelengden til stroiden 3 3 x + y = er 6. Verifiser også t relet A vgrenset v denne kurven, er 3 gitt ved A = π. 8 Areid Når en gjenstnd påvirket v en konstnt krft F, eveger seg rettlinjet en strekning d, er reidet som lir utført på gjenstnden, definert som W = Fd. Hvis vi måler krft i Newton og strekning i meter, lir enheten til reid Newtonmeter (Nm), Vi definerer 1 Joule (J) som 1 Newtonmeter. Definisjon: Areidet W som lir utført v en vriel krft F(x) med retning lngs x-ksen fr x = til x =, er gitt ved W = F( x) dx Denne formelen omtles som integrsjonsformelen for reid. Merk. Hvis vi deler intervllet fr to inn i en smling v små intervller med redde dx, er reidet utført over ett v disse små intervllene plssert i x, gitt ved 97
Klkulus krft strekning = F( x) dx Integrsjon fr x= til x= gir integrsjonsformelen ovenfor. Dette er i smsvr med tolkningen v et estemt integrl som summen v dx-intervller fr x= til x=. Eksempel En fjellkltrer heiser opp et 100 meter lngt tu som henger loddrett ned. Hver meter tu hr en tyngde på 0.75N. Hvor stort reid utfører fjellkltreren dersom hn heiser opp hele tuet? Det estemte integrlet som representerer reidet i dette tilfellet, er regnet ut nedenfor. Forsøk selv å forklre nedre og øvre grenseverdi for integrlet. ClssPd 300 viser t reidet som fjellkltreren utfører, er 3750 Joule (Nm). Uekte (uegentlige) integrl Så lngt hr vi studert integrl v typen f ( xdx ) der f er en undet funksjon i det vgrensede intervllet [ ],. Nå skl vi studere hv som skjer dersom enten f eller intervllet [, ] er uundet. I egge tilfeller får vi et såklt uekte (uegentlig) integrl. Integrlene vi hr reidet med så lngt, hr vært ekte integrler. Som vi snrt vil få se, er ikke et uekte integrl definert lene ved hjelp v oppdeling og summering, men som grenseverdien til et ekte integrl. Vi velger å se på tilfellet der integrsjonsintervllet er [, >, dvs. en uundet øvre grense. I dette tilfellet får vi følgende definisjon: f ( xdx ) = lim f( xdx ) forutstt t grensen eksisterer. Hvis f er en positiv funksjon, kn grensen tolkes som det totle relet mellom grfen og x- ksen til høyre for. 98
Klkulus Griels horn på ClssPd 300 Dette vsnittet hndler om et uekte integrl der øvre grenseverdi vokser mot uendelig. 1 På ClssPd 300 skjermilde nedenfor hr vi tegnet kurven y = for x > 0. x Området vgrenset v kurven, x-ksen og de vertikle linjene x = 1 og x = 15, roterer vi rundt x-ksen. D frmkommer et omdreiningslegeme med form som kn minne om et låsehorn. Se figuren nedenfor. Prosedyren er: Anlysis > G-solve > π f( x) dx. Du må selv legge inn nedre og øvre grenseverdi på lommeregneren. ClssPd 300 viser t volumet til hornet er omtrent.93. Se figuren ovenfor. Volumet ekreftes v eregningen på ClssPd 300. Men hv vil skje dersom vi utvider omdreiningslegemet (hornet) mot høyre, slik t vi produserer et uendelig lngt horn? 99
Klkulus Vi regner ut det uekte integrlet 1 1 π dx x på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. Integrlet 1 π dx x 1 som representerer volumet til omdreiningslegemet, konvergerer. Det uendelig lnge hornet hr ltså et endelig volum. Nå er vi ClssPd 300 om å eregne overflterelet til dette uendelig lnge omdreiningslegemet, hvis det d eksisterer. Vi repeterer t formelen for overflterelet er S dy = π y 1+ dx dx. Altså: Hvis vi forsøker å klkulere integrlet med en uendelig øvre grense, vil ikke ClssPd 300 komme med et svr. På figuren ovenfor til venstre ser vi t derom vi skriver det uekte integrlet som et grenseuttrykk der øvre grenseverdi vokser mot uendelig, vil ClssPd 300 kun returnere et uttrykk skrevet i såklt nturl disply. Skjermildet til høyre ovenfor viser imidlertid t ClssPd 300 er i stnd til å eregne tilsvrende ekte integrl. Hv kn dette tyde på? 100
Klkulus 1 Vi vet t dx divergerer. Siden 1 1 1 1 1 π 1+ π, innser vi t 4 4 x x x x π 1+ dx også x 1 1 x må divergere. Omdreiningslegemet hr ltså et endelig volum, men overflterelet er uendelig stort. Hvis vi forestiller oss t omdreiningslegemet er hult med tynne vegger og fylt med mling, er denne endelige mengden v mling ikke tilstrekkelig til å mle utsiden v omdreiningslegemet. Omdreiningslegemet hr fått nvnet Griels horn. Snnsynlighetsfordeling Fr teorien om snnsynlighetsregning vet vi t summen v lle snnsynligheter for en hendelse må være lik 1. Den såklte normlfordelingsfunksjonen er definert som x 1 f ( x) = e der x,. Området under grfen til f er et ikke-vgrenset område π og integrlet som representerer summen v lle snnsynligheter, er derfor et uekte integrl. L oss undersøke verdien til dette uekte integrlet ved å utføre integrsjonen på ClssPd 300. Svret på ClssPd 300 er korrekt. Polrkoordinter Ant t l er en rettlinjet kse som strter i origo O, og t P er et punkt i plnet. Vi kn loklisere P i forhold til l og O ved å spesifisere åde vstnden r fr O til P og vinkelen θ som linjestykket OP dnner med l. 101
Klkulus Det ordnede tllpret (, r θ ) kller vi polrkoordintene til punktet P. Polrkoordintene til punktet P er ikke spesifikke. Siden vinkelen gjentr seg for hver π rdiner, er det opplgt t (, r θ ) = (, r θ + π). En negtiv verdi for r tilsvrer en dreining på 180. Det etyr t ( r, θ ) = ( r, θ + π). π π Prøv selv å loklisere punktene (, ) og ( 3, ) i koordintsystemet ved hjelp v 4 3 polrkoordinter. Polrkoordinter og krtesiske koordinter. Hvis vi lr ksen l være den positive x-ksen, kn punktet P i plnet h åde krtesiske koordinter ( x, y ) og polrkoordinter (, r θ ). Se figuren nedenfor. Ved å nvende definisjonen v sinus og cosinus får vi følgende smmenheng mellom de krtesiske koordintene ( x, y) og polrkoordintene (, r θ ): x= rcosθ, y = rsinθ. Vi kn også uttrykke r og θ ved x og y. Vi får t y r = x + y og tnθ =. x Altså r = x + y 1 y og θ = tn. x Eksempel π L oss omgjøre koordintene (4, ) fr polrkoordinter til krtesiske koordinter. Deretter 4 gjør vi om koordintene for punktet ( 3, 1) fr krtesiske koordinter til polrkoordinter. Se figuren neste side. 10
Klkulus Klkulus med polrkoordinter Arel Vi skl nå eregne relet v et område vgrenset v en kurve gitt på polrkoordintform, i.e. r = f( θ ) og to rdier r mellom α og β. Se figuren nedenfor. Vi strter med å regne ut relet v små sektorer med uelengde rdθ. Se figuren nedenfor. r = f(θ) 1 Arelet v en sektor med uelengde rdθ er d A v hele sirkelen med rdius r. Arelet v sirkelflten er som vi husker, gitt ved A = π r. α En sirkelsektor med sentrlvinkel α hr et rel som utgjør ( ) v hele sirkelflten. Det π 1 etyr t relet v sektoren er r α. Altså for d α = θ får vi t 1 da= r dθ. Arelet A v området vgrenset v kurven r = f( θ ) og r r( θ ) A β 1 = r dθ. α r θ. For å forstå dette strter vi med relet = der θ [ α, β ] er derfor 103
Klkulus Krdioiden Kurven r = (1+ cos θ ) hr form som et hjerte og lir derfor klt krdioiden. På skjermildet nedenfor hr vi åde tegnet kurven og eregnet relet til området vgrenset v denne kurven. ClssPd 300 viser t relet vgrenset v krdioiden r = (1+ cos θ ) er lik 6π. Generelt er likningen for en krdioide gitt ved r = (1+ cos θ ). Vis på ClssPd 300 t relet vgrenset v krdioiden er 6π. Stemmer dette med svrte vi fikk ovenfor? Nå skl vi ruke ClssPd 300 til og eregne relet v området som ligger innenfor sirkelen gitt ved polrfunksjonen r = 1 og utenfor krdioiden gitt ved r = 1 cosθ. Videre skl vi eregne relet v området som åde ligger innefor krdioiden og sirkelen. π Arelet innenfor sirkelen og utenfor krdioiden er ltså lik 1 8. Arelet v området som efinner seg åde innenfor sirkelen og krdioiden er Smmenlign de to relene og kommenter det du finner. 5π 1 8. 104
Klkulus Arelet v lemniskten I krtesiske koordinter er likningen for lemniskten uttrykt ved ( x + y ) = ( x y ). Vi velger prmeteren = og regner ut relet v området inne i lemniskten. Denne utregningen foregår lgerisk på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. Deretter studerer vi lemniskten gitt med polrkoordinter, i.e. r = cos θ. Vi ser på skjermildet nedenfor til høyre t integrlet i polrkoordinter ekrefter relet som vi eregnet lgerisk i krtesiske koordinter. Det er mulig å vise t relet inne i lemniskten generelt er. Prøv dette selv på ClssPd 300. Utforskning Roser På figuren nedenfor til venstre ser vi en rose med tre ld. Generelt gjelder t r = cos nθ eller r = sin nθ hr n ld hvis n er oddetll. Utforsk denne påstnden på ClssPd 300. På figuren nedenfor til høyre ser vi en rose med fire ld. Generelt gjelder t eller r = sin nθ hr n ld hvis n er et prtll. Utforsk også denne påstnden på ClssPd 300. Bruk ClssPd 300 til å estemme relet v ldene på ulike roser. r = cos nθ 105
Klkulus Buelengde Vi strter igjen med kurven gitt ved likningen r = f( θ ) i polrkoordinter. Se figuren nedenfor. Vi kn eregne lengden v differensilet (et uendelig lite stykke v kurven) ds ved hjelp v den differensile treknten (ds og rdθ er så korte t vi kn tilnærme kurvestykkene til å være rette linjer). Buelengden til sirkelsektoren med rdius r og sentrlvinkel dθ er lik rdθ. Den såklte differensile treknten er en rettvinklet treknt med kteter dr nd rdθ. Vi får ved hjelp v Pythgors læresetning t ds = dr + r dθ Dersom r f( θ ) = hr en kontinuerlig derivert for θ [ α, β ] og hvis punktet P( r, θ ) ligger på kurven r = f( θ ) kun en gng når θ går frα to β, er lengden v kurven (uelengden) gitt ved formelen β dr L= r + dθ dθ α Buelengden til krdioiden På skjermildet nedenfor hr ClssPd 300 eregnet uelengden til krdioiden gitt i polrkoordinter ved r = (1+ cos θ ). 106
Klkulus Buelengden er 16. Vi repeterer t den generelle likningen for krdioiden er uttrykt ved r = (1+ cos θ ). Bruk ClssPd 300 til å verifisere t uelengden til krdioiden generelt er gitt ved 16. Eksempel Finn uelengden til kurven r = θ fr 0 til π. Utforskning: Gjennomsnittsverdi Den såklte gjennomsnittsverdien til polrkoordintfunksjonen r r( θ ) hensyn på θ er gitt ved β 1 r( θ ) dθ β α. α =, θ [ α, β ] med Bruk ClssPd 300 til å eregne gjennomsnittsverdien til r i sirkelen r =. Finn også gjennomsnittsverdien til r i krdioiden r = (1+ cos θ ). Diskuter svrene. 107
Klkulus Prmeterfrmstilling Mnge svært interessnte grfer er ikke funksjonsgrfer v typen y = f( x), men kn eskrives ved t åde x nd y selv er funksjoner v en prmeter. Sirkelen x + y = 1 kn for eksempel eskrives prmetrisk ved x = cos t nd y = sin t. Her er ltså t prmeteren. Kurven som et evegelig punkt følger, kn på denne måten eskrives v en prmeter, der prmeteren t er tiden. Et evegelig punkt festet til et roterende hjul er et interessnt eksempel der prmeterfrmstilling kn nvendes. Sykloiden kn eskrives v et punkt som er festet på eiken til et hjul som triller ortover på et horisontlt underlg. Vi kommer tilke til denne spesielle kurven litt senere i dette kpitlet. På figuren til venstre ser vi et ilde v en såklt episykloide med krtesisk prmeterlikning: x = ( + )cos( t) cos(( + 1) t) y = ( + )sin( t) sin(( + 1) t) Klkulus med prmeterfrmstilling Buelengde V i ntr t y = f( x) hr kontinuerlig derivert for x [, ]. Vi hr sett tidligere t lengden L dy til grfen er gitt ved L= 1+ dx dx. Ant t grfen ovenfor kn eskrives v prmeterlikningene x = xt () og y = y() t der dx α t β og hvor x() t og yt () hr kontinuerlig derivert. Videre ntr vi t 0. D dt > et etyr t funksjonsgrfen tegnes ut fr venstre mot høyre. dy dy D er dt dx = og dx = dt dx dx dt dt Lengden L v grfen kn ltså uttrykkes ved formelen 108
Klkulus dy β β dx dx dy L 1 dt = + dt dx = dt + dt dt dt α α dt Formelen gjelder for de fleste prmetriske kurver. Det eneste foreholdet vi må t er t kurven ikke i noen områder legger seg oppå seg selv når t tr verdier fr α til β. Sykloiden Vi tenker oss t sirkelen med rdius ruller på x-ksen uten å gli. Et fst punkt P på sirkelen eskriver d en kurve som vi kller en sykloide. Prmeterfrmstillingen til sykloiden er x() t = ( t sin t) yt () = (1 cos) t Finn uelengden til en sykloide eskrevet v et fst punkt på en sirkel som roterer på x-ksen. Sirkelen hr rdius =. Tegn kurven på ClssPd 300. Forklr den øvre grenseverdien i det estemte integrlet. Forsøk til slutt å komme frm til uelengden v en ue v sykloiden uttrykt ved. Arkimedes spirl K urven med prmeterfrmstillingen x = tcost, y tsin t =, der t [ 0,6π ] er en type kurve som vi kller Arkimedes spirl. På figuren på neste side ser vi sp irlen slik den frmkommer på ClssPd 300. Vi eregner også lengden v denne delen v spirlen. 109
Klkulus Lengden v Arkimedes spirl er i dette tilfellet 179.7. Lengden v stroiden. En stroid er gitt ved prmeterlikningen x 3 3 = cos t, y sin t, = t [ 0, π ]. L oss tegne og eregne lengden v denne stroiden. ClssPd 300 viser t lengden v denne stroiden er 6. Sirkelen En sirkel med rdius 1 er gitt ved prmeterlikningen x() t = cost, yt () = sint. Vi regner ut omkretsen til denne sirkelen. Se figuren på neste side. 110
Klkulus Svret vi får på ClssPd 300 ør være velkjent. Utforskninger 1. Finn omkretsen til en ellipse gitt ved prmeterlikningen x() t = cost og yt () = sint.. Omkretsen L til en ellipse gitt ved prmeterlikningen x() t = cost, yt () = sint, [ 0, π ] t kn uttrykkes ved Vi hr t e = π L = 4 1 e cos t 0 dt der e er eksentrisiteten. Bruk ClssPd 300 til å verifisere det såklte elliptiske integrlet ovenfor. Det estemte integrlet ør være opplgt for e =1. Hvilken form hr ellipsen d? 3. Utforsk den såklte tricuspoiden gitt ved prmeterlikningen x = (cost+ cos t ) og y = (sint sin t) Figuren til venstre viser en tricuspoide tegnet på ClssPd 300. 111
Klkulus Tylorpolynom Polynomene er på mnge måter en tkknemmelig gruppe funksjoner å reide med ikke minst ved nummeriske eregninger. Vi kn nemlig estemme funksjonsverdien til et polynom ved et endelig ntll ddisjoner og multipliksjoner. I tillegg får vi et nytt polynom når vi deriverer eller integrerer en polynomfunksjon. På grunn v hendigheten til polynomer ersttter vi ofte i et intervll en funksjon med et polynom som er tilnærmet lik funksjonen i intervllet. Vi sier t vi pproksimerer funksjonen med et polynom. Dette kn gjøres på mnge måter. Vi vil her se nærmere på såklte Tylorpolynom. Definisjon: L f være en funksjon med derivert v grd k der k = 1,,3,..., N i et intervll som inneholder punktet. For lle hele tll n fr 0 til N, er Tylorpolynomet for f med grd n i punktet gitt ved ( k) ( n) f ( ) f ( ) k f ( ) Pn ( x) = f( ) + f ( )( x ) + ( x ) +... + ( x ) +... + ( x )! k! n! Som et eksempel vil vi finne Tylorpolynomet med grd som pproksimerer f ( x) = 1 x nær x = 0. 1 Polynomet er ifølge definisjonen ovenfor gitt ved f (0) + f (0) x+ f (0) x Så regner vi ut koeffisientene i tur og orden. Vi må huske å ruke kjerneregelen under derivsjonen. Vi får f (0) = 1 1 1 1 f ( x) = ( 1) (1 x) f (0) = n 3 1 1 1 f ( x) = ( 1) (1 x) f (0) = 4 D er vi i mål. Tylorpolynomet med grd nær 1 1 x = 0 for funksjonen 1 x er ltså 1 x x 8 Er dette en god pproksimsjon nær x = 0? Vi emerker t kvdrtroten i dette tilfellet ikke er definert for x-verdier større enn x = 1. Resulttet vi kom frm til lir ekreftet på ClssPd 300. Se figuren på neste side. 11
Klkulus x L oss fortsette med å finne Tylorpolynom for funksjonen f gitt ved f ( x) = e i = 0 med grdene n =, n = 3 nd n = 5. Videre tegner vi lle grfene på lommeregneren. Se figuren nedenfor. Vi legger merke til t tilnærmingen er spesiell god i nærheten v 0 x =. 113
Klkulus Hv vil skje dersom vi øker grden? Til slutt vil vi ved hjelp v lommeregneren finne Tylorpolynom med grd for funksjonen f gitt ved f( x) = cosx i punktet = 0. Opersjonen er støttet grfisk på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. n = 8 og n = 16 Undersøk på ClssPd 300 om Tylorpolynomene med grd n og n+1 er identiske. Tylor og Mclurin rekker Definisjon: L f være en kontinuerlig funksjon med derivert v lle grder i et intervll som inneholder punktet. Tylorrekken for funksjonen f i punkt er d gitt ved ( k ) f ( ) ( x ) k. k! k = 0 Mclurinrekken er et spesiltilfelle v Tylorrekken. I Mclurinrekken for funksjonen f er = 0. Derfor får vi ( k ) f (0) k x. k! k = 0 Eksempel Vi verifiserer på ClssPd 300 t Mclurinrekken for f( x) = ln( x+ 1) kn uttrykkes som n n x ln( x+ 1) = ( ( 1) ), 1 < x 1. Bruk grfppliksjonen på ClssPd 300 til å støtte n= 1 n opp under resulttet i Min. 114
Klkulus Utforskninger 1. Bruk ClssPd 300 til å vgjøre om hvorvidt vi kn kvdrere Tylorpolynomet for sin x for å oppnå polynomet for sin x. Hvilken konklusjon vil du trekke på kgrunn v resulttet på skjermildet ovenfor?. Vis på ClssPd 300 t vi kn få Mclurinrekken for 1 + sin( x ) 3 Mclurinrekken for sin( x) og deretter å dividere med 3. ved å ddere 1 til Forsøk ndre eksempler selv. Eulers formel Mclurinrekken for e x og ruk v ndre relsjoner, leder til følgende definisjon: 115
Klkulus For et vilkårlig reelt tllθ definerer vi iθ e = cosθ + i sinθ Hvordn er det mulig å underygge Eulers formel på ClssPd 300? En forløffende konsekvens v Eulers formel er likheten e iπ = 1. Denne likheten er verifisert på figuren nedenfor. Utforskning sin x cos x tn x Finn Mclurinrekkene for henholdsvis f ( x) = e, gx ( ) = e og hx ( ) = e. Underygg resulttene grfisk på ClssPd 300. Funksjoner med to vriler Når en størrelse er estemt v to eller flere ndre størrelser, sier vi t størrelsen er en funksjon v to eller flere frie vriler. Svært ofte får vi å gjøre med funksjoner v to frie vriler. En funksjon z = f ( x, y) eller zxy (, ) med to frie vriler og en vhengig vriel, tilordner på 116
Klkulus en entydig måte til hvert tllpr ( x, y ) med (reelle) tll fr en mengde D v tllpr i det todimensjonle plnet, et tll z = f ( x, y). Det todimensjonle plnet som estår v lle reelle tllpr ( x, y ), lir ofte skrevet Vi presiserer t x nd y er uvhengige (frie) vriler, mens z ltså er den vhengige vriel. Grfen til f er overflten i det 3-dimensjonle rommet som estår v lle punkter ( x, y, f ( x, y)) der ( x, y ) finnes i D. R. Det kuiske polynomet 3 z f( x, y) x 3x y = = er definert i hele plnet. Grfen (flten) er vist på ClssPd 300 på figuren til venstre. Den vertikle ksen er z-ksen. Det horisontle plnet er utspent v x-ksen og y-ksen. Funksjonsverdien er ltså vstnden mellom grfen (flten) og xy-plnet. Lysere grå frge illustrerer høyere funksjonsverdier på ClssPd 300 i 3D-mode. Vi emerker t f (0,0) = 0. Det etyr t origo (0,0,0) efinner seg på grfen. Hv mer forteller ClssPd 300 om origo i dette tilfellet? Den spesielle fltetypen som er vist her, klles en sdelflte. Grfen (flten) hr et sdelpunkt i ( xy=, ) (,0) hvor z 3 = f( x, y) = 3 0= 4. Kontroller dette på ClssPd 300. L oss nå tegne grfen til funksjonen f ( xy, ) = 1+ x+ y Men først spekulerer vi litt på hvordn denne grfen vil se ut. D må vi nlysere funksjonsuttrykket. Grfen inneholder ltså lle punkt (x, y, z) som tilfredsstiller t z x y = 1+ +. 1. Først konsentrerer vi oss om lle punkt som ligger i plnet x = 0. Funksjonsuttrykket kn d skrives som z = 1+ y. Dette er en prel.. I plnet z = c får vi c= 1+ x + y, i.e. x y c + = 1, som ltså er en sirkel. Ved å kominere disse to resulttene ør vi få en god ide om hvordn den tredimensjonle grfen ser ut. På figuren nedenfor ser vi hvordn resulttet frmstår på ClssPd 300. 117
Klkulus Til slutt i dette vsnittet tegner vi grfen til funksjonen f gitt ved f ( xy, ) cos x y = +. Skriv z = cos x + y som z = cos r der r = x + y representerer vstnden mellom (x, y, z) og z-ksen. Flten frmkommer ved t kurven z = cos y i yz-plnet roterer rundt z-ksen. Se skjermildet til ClssPd 300 på figuren til venstre. 118