Fylogeni. Eksempel på trær. Hvorfor fylogeni. Definisjoner
|
|
|
- Lukas Bråten
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fylogen sempel på trær INF 435 brontosaurus nja råthen Krstoffersen onformat Insttutt for nformat hun rev bjørn tger løve mennese hun 8. ot. 6 nja råthen Krstoffersen 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen Hvorfor fylogen For å stuere en evolusjonære hstoren tl en art, tl en gruppe arter som lner hveranre, tl moleyler osv. For å pretere hstoren tl et vrus. Hva er opphavet, hvor ommer et fra? For esempel sammenhengen mellom HIV-, HIV- og SIV. Kan også brues tl å preere et gens funsjon. rues ve multppel sammenstllng. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 3 efnsjoner sterne noer: et atasettet v ønser å sammenlne. For esempel nåværene levene arter. Interne noer: Hypotetse forfere tl nåværene levene nver. Tre me rot: roten treet er en hypotetse felles forfaren tl alle nvene treet. volusjonær ve: veen fra roten tl en noe, efnerer noens (for esempel artens) evolusjons mønster. Tre uten rot: Ser noe om relasjonene mellom nvene stue, men ser ngentng om en evolusjonære veen. Utgruppe: Hjelper oss å fnne roten tl treet, nvet som tlhører utgruppen er et nvet som først har evolvert bort fra e anre nvene. Topolog: grenenes mønster treet. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 4
2 furasjonstre (bnærttre) efnsjon: lle noene unntatt roten er tlnyttet en eller tre anre noer, mens en eventuelle roten tl treet er tlnyttet to anre noer. V vl her un fousere på bfurasjonstrær tltross for at et an være nyttg og anta at flere evolusjoner har sje samtg. vs. en ntern noe er tlnyttet mer en tre anre noer. s s 4 s 5 Hvoran fnne treets rot? en mest brute metoen tl å fnne roten tl treet er å ta me en gruppe man vet at e er nært besletet me resten av atasettet, enne gruppen alles utgruppe. Utgruppen har evolvert først fra rota, erme an rota bestemmes. s s 4 s 5 s s 3 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 5 s s 3 utgruppe s 3 s 4 s 5 s s 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 6 Fylogenets nformasjon c c c c t c t t Kolonne gr nformasjon om at art og tlhører en gren et fylogenetse treet mens og tlhører en annen gren. Kolonne gr ngen fylogenets nformasjon. Kun at er en blanoe (som v også vste fra efnsjonen av fylogenetse trær). Δ ct Δ ct Grenens lenge Kan uttrye: antall foranrnger som har sje. genets stanse mellom noene. antall år sen foranrngen(e) sjee. Som regel sulle en gjerne brut antall år sen foranrng som lengen på grenen, men antall år er oftest ujent. erfor brues e anre målene, e blr ofte alt for surrogat stanser. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 7 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 8
3 rts eller gen tre et er lett å forvesle gen og arts tre. Ofte har v un ata fra et gen på forsjellge arter. V vl a onstruere et gen tre, e et arts tre. Gen tre vl oftest ha lengre grener enn arts treet. et er heller e sert at topologen tl gen treet og arts treet er e samme. For å fnne et arts tre må man brue sevensene tl mange gener. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 9 Hvle ata Karaterata: le ofte brut tlgere, før en unne sevensere. Karaterata er ata som araterserer ytre tre, som for esempel antall ben, fravær/esstens av vnger, osv. Hvs en vl onstruere et sletstre (tre me nver fra samme art) an for esempel øyefarge, hårfarge, høye, osv. være typse araterata. atatyper som nå er mest brues tl sletstrær: Mrosatelttata: lengen på noen repeterte områer N sevensen. (sempel på repetert områer: TTTTT ) atatyper som nå er mest brues tl art eller gen trær: N-sevenser: sevens av nuleoter. RN-sevenser: sevens av nuleoter. Protensevenser: sevens av amnosyrer. - ata som nerer om en art har et proten eller e 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen ntall mulge trær n Gtt n arter/gener, a er et ( 5) bfurasjonstrær uten røtter. Illustrasjon: et an også vses at antall mulge trær me rot for n arter/gener er l antall mulge trær uten rot for n+ arter/gener. 7 sevenser gr 945 trær uten røtter, sevenser gr 75 trær og 53 sevenser gr.75* 8 trær nov. 6 nja råthen Krstoffersen Konstrusjon av tre V vl se på tre forsjellge typer metoer: stanse metoer: basert på evolusjonære stanser. Masmum Parsmony metoer: treet blr valgt sl at et mnmerer antall foranrnger som trengs for å onstruere treet. Masmum lelhoo metoer: en lelhoo moell for hvoran sevensene har evolvert blr optmalsert for å fnne en masmale lelhooen. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen
4 stanse metoer et optmale målet på stanse hae vært år. ntall år sen evolusjon har sje er sjelen jent. Surrogate stanser som for esempel antall enrnger mellom noene an også brues. For stansemål er et stanar rav at: ( x, y ) ( x, y ) hvs og bare hvs ( x, y ) ( y, x ) ( x, y ) ( x, z ) + ( z, y ) x La M være en n n matrse me stansemålene. Målet er å onstruere et tre hvor grenene er vetet og orresponerer esat tl verene M. Hvs et slt tre an onstrueres alles ette atvt. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 3 y stanse metoer (fort.) Som regel vl stanse matrsen e være atve. et vl erme heller e esstere et tre me lenge på noene som nøyatg stemmer overens me matrsen. n an a prøve å fnne en best mulg tlpassng. To mål på best : avall-sforza og wars rteret: Ftch og Margolash rteret: mn mn 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 4, j, j ( M ( M M ) ) stanse matrse Heurstse stansemetoer UPMG: Unweghte Par Group Metho wth rthmetrc Mean Neghbor Jonng nov. 6 nja råthen Krstoffersen 5 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 6
5 UPMG lgortmen lustrer sevenser. For hvert steg sammensmeltes to lustre og samtg lages en ny noe treet. Treet blr på enne måten annet oppover. Lengen på grenene blr beregnet samtg. Start me å fnn en mnste stansen matrsen. Velg sse noene som nabonoer. eregn en ny stansematrse hvor nabonoene er lustret. Fortsett tl alle noene treet er lustret og satt nn et felles tre. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 7 sempel (UPMG) stansen mellom og er mnst, sse lustres. eregn nye stansematrse hvor lustret mellom og nngår ut fra formelen: x + x ( ) x, ( ) Hvor er antall sevenser luster. Her er 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 8 sempel sempel et foreløpge treet må også lages. For å beregne grenlengen brues formelen l,.9 ( ) ( ) l.46 l, l ( ).37 ( ) nov. 6 nja råthen Krstoffersen 9 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen
6 sempel l ( )( ).33 ( )( ) ( )( ) l nov. 6 nja råthen Krstoffersen UPMG Fungerer bra hvs evolusjonsraten er approsmatvt l mellom artene treet. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen Neghbor jonng Start me en noe: H G F Fjern to og to sevenser fra stjernen, lag ny ntern noe, aluler total grenlenge for et nye tre ve hjelp av stansematrsen: G F Velg en ombnasjonen av sevenser som gr ortest grenlenge, sse sevensene vl bl naboer slutt treet. Fortsett så å entfser et anre 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 3 settet me nabonoer osv. H Formler NJ r L, summen er en sum av stanser mellom noe og alle anre noer. r brues tl å plassere en ny ntern noe rtg avstan fra to esterne noer. Regn ut r j. x + r r j x er avstanen mellom ntern noe x og en estern noe. jx x jx er avstanen mellom en nye nterne noe x og en esterne noe j. xm m + jm xm er avstanen mellom en nye nterne noen x og alle noer m en gjenværene stjernen. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 4
7 efnsjoner brut NJ r orrgerene fator, sørger for å plassere x orret forhol tl og j.,j neser tl e to noene me mnst stanse. L antall sevenser gjen stjernen. x en nye nterne noen avstan (stance) m e noene som fortsatt er gjen stjernen. alle noer stjernen. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 5 lgortme Intalserng : efner treet T me en ntern noe og e gtte sevensene som esterne noer. Sett hjelpetreet L T. Iterer : Velg et paret,j L som mnmerer efner en ny noe og sett m ( m + Plasser T me grener av lenge ( forbn tl og j. Fjern og j fra L, legg tl L. Slutt : Når L un består av to esterne noer og j, plasser en sste grenen mellom og j, me lenge. ( r + rj ) hvor r L jm ) for alle m L. + r r ), 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 6 j j, L. NJ, steg for steg. efner alle ytre noer og beregn alle parvse stanser. Lag stanse matrse.. Velg e noene og j stjernen som har mnst stanse. 3. efner en ny noe x, aluler r og r j. 4. Kaluler x og jx, forbn x tl henholsvs og j. 5. Fjern og j fra stjernen, sett nn x steen. 6. Regn ut xm for alle m stjernen sempel (NJ). Fnn første noe HHIV-, HHIV-, SSIV 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 7 Mnste ver er stansen mellom 5 og 6, sse slåss sammen tl noe 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 8
8 eregn grenlenger Ny stansematrse stansen fra en nye noen tl e anre noene stjernen er her beregnet: Kaluler grenlengen mellom noe 5 og og mellom noe 6 og. Nå er L 9, x. r r 5 Σ 5 /(L-) 3.46/(9-).4658 Matrse : Her er noene 5 og 6 fjernet, mens noe er satt nn. r j r 6 Σ 6 /(L-) 3.758/(9-).4683 x 5 ( r 5 -r 6 )/ ( )/.3886 jx nov. 6 nja råthen Krstoffersen 9 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 3 eregn grenlenger Ny stansematrse L 8, x r r 3 Σ 3 /(L-).75455/(8-) r j r 4 Σ 4 /(L-).596/(8-).4687 x 3 ( r 3 -r 4 )/ ( )/.8375 jx nov. 6 nja råthen Krstoffersen 3 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 3
9 eregn grenlenger L 7, x Ny stansematrse r r Σ /(L-).565/(7-) r j r Σ /(L-).88/(7-).4645 x ( + r -r )/ ( )/.6958 jx nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 34 eregn grenlenger Ny stansematrse L 6, x 3 r.595 r nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 36
10 eregn grenlenge Ny stansematrse L 5, x 4 r r nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 38 eregn grenlenge Ny stansematrse L 4, x 5 r r nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 4
11 eregn grenlenger Konlusjon L 3, x 6 r r nov. 6 nja råthen Krstoffersen 4 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 4 Neghbor jonng Parsmony Foreler ette er en lett metoe å mplementere, erfor blr en også mye brut. Hvs et atvt tre essterer vl neghbor jonng fnne ette treet som et optmale. Ulemper Noe av nformasjonen blr borte, speselt entfserng av forferes nuleoter. Sller seg fra stansemetoer ve at sevensen tl alle nre noer besrves. Hver plass sevensene behanles uavhengg. For hvert topologs tre, beregnes antall enrnger sevensene som må tl for å onstruere treet. et treet me lavest ost velges som et optmale treet. Man er altså un nteressert topolog, e grenenes lenge. To typer problemer: Lst opp alle mulg topologer (noe som fort blr velg mange, heurstse metoer blr også brut for å søe mellom mulge trær, v vl e se på ette.) eregn ostnaen for hvert av trærne (her vl v un se på en av mange algortmer, Ftch). 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 44
12 sempel sempel 4 sevenser gr 8 mulge trær, 3 av sse er: G 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 46 sempel sempel G GG G GG 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 48
13 sempel sempel 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen nov. 6 nja råthen Krstoffersen 5 sempel lgortme (Ftch) For hver plass u sevensen: Intalserng : Sett ostnaen og n-, nummeret tl rot noen. To av trærne trenger 4 enrnger mens et ene trenger un 3 enrnger, erme blr treet me 3 enrnger valgt av sse trærne. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 5 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 5
14 lgortme (Ftch) For hver plass u sevensen: Intalserng : Sett ostnaen Iterer : For å fnne Hvs er en estern noe : Sett R Hvs e er en estern noe : eregn R, R x u R R R j j. j og n-, R. nummeret tl rot noen. for atternoene, j av, og sett hvs snttet e er tomt, ellers settes R R R, og ostnaen øes. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 53 lgortme (Ftch) For hver plass u sevensen: Intalserng : Sett ostnaen Iterer : For å fnne Hvs er en estern noe : Sett R Hvs e er en estern noe : eregn R, R Slutt : x. u R R R j j j R. for atternoene, j av, og sett hvs snttet e er tomt, ellers settes Mnmal ostna tl treet er. og n-, nummeret tl rot noen. R R R, og ostnaen øes. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 54 Parsmony Foreler Gr hypotetse sevenser for forferene. Ulemper eregner e lengen på grenene. ygger e på noen evolusjonær moell (ette blr av noen sett på som en forel, a fel evolusjonær moell mulgens vlle g ena galere resultat). 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 55 volusjonære moeller/overgangsmatrser Jues og antor antar at alle overganger er le sannsynlg T G -3α α α α T α -3α α α α α -3α α G α α α -3α Kmura s to parameter moell antar at overgangen -G og T- er mest sannsynlg T 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 56 G α β β β α T β α β α β β α α β β G α β β α β α>β
15 Masmum lelhoo ygger på en evolusjonær moell, båe for topolog (trestrutur) og grenlenge. Optmerer sannsynlgheten for et tre gtt ata og moell. P ( T, M ) To forenlene antaelser: Forsjellge araterer evolverer uavhengg. Når to arter har elt seg, evolverer e uavhengg. PTM (, ) P ( TM, ) hvor er ataene olonne. ataene og moellen er gtt, mens topologen og grenlengen må optmeres. ette gjøres ve å beregne sannsynlgheten for alle mulge trær. et blr fort mange trær. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 57 Hvlen metoe er best? ffetvtet: Ten et tar å fnne en løsnng et speselt tlfelle. en metoen som tar ortest t er mest effetv. Kraft: Hvor mye ata trengs for å tree en onlusjon? n raftg metoe vl trenge mnre ata for å tree en onlusjon enn en mnre raftg metoe. Konsstens: en onsstent metoe vl g orret svar hvs bare no ata er gtt. n e onsstens metoe an g fel svar uansett hvor store menger ata u har. Robusthet: en robust metoe gr orret resultat selv om noen av antagelsene som er brut metoen er gal. Falsfablty : evnen tl å s at antagelser gjort metoen er brutt, erfor bør e metoen brues. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 58 Verfserng av treet Httl har v sett på hvoran man estmerer trær. Hvor mye an man tro på et treet en har ommet fram tl? I 985 foreslo Felsensten å brue bootstrapng for å estmere sannsynlgheten tl hver av oppelngene (splttngene) et estmerte treet. erme an en fnne hvor sannsynlg en clae (en gruppe arter treet som ommer fra samme forfar) er. ootstrappng: Lag nytt atasett ve å tree olonner fra ete atasett me tlbaeleggng. rut ette atasettet tl å estmere et nytt tre. Gjenta et vst antall ganger (typs ). eregn sannsynlgheten tl hver clae ut fra e estmerte trærne. 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 59 ootstrap llustrasjon 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 6
16 sempel 4. nov. 6 nja råthen Krstoffersen 6
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v
STK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen:
STK00 våren 05 etnget sannsynlghet Svarer tl avsntt.4 læreboa Esempel V vl først ved help av et esempel se ntutvt på hva betnget sannsynlghet betyr V legger fre røde ort og to svarte ort en bune Ørnulf
Notasjoner, gjennomsnitt og kvadratsummer. Enveis ANOVA, modell. Flere enn to grupper. Enveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model)
Enves varansanalyse (One-way ANOVA, fxed effects model Reaptulerng av t-testen for uavhengge utvalg fra to grupper, G og G : Observasjoner fra G : Y N(, σ j, j=,,...,n Observasjoner fra G : Y N(, σ, j=,,...,n
TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y
Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).
Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +
Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode
Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters
14 Systemer av differensiallikninger TMA4110 høsten 2018
Systemer v fferensllknnger TMA høsten 8 I ette kptlet skl v ruke et v hr lært om lneær lger tl å løse fferensllknnger Det fnnes fferensllknnger for nesten lt, men et er kun e ller enkleste som er mulg
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp
Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering
Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng
TMA4265 Stokastiske prosesser
orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.
TMA4300 Mod. stat. metoder
TMA4300 Mod stat metoder Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Løsnngsforslag - Eksamen jun 2007 Oppgave Pseudokode for å evaluere θ: Generer uavhengge realsasjoner x,,x
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs
Løsningsforslag ST2301 Øving 8
Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de
Løsning til seminar 3
Løsnng tl semnar 3 Oppgave ) Investerngsfunksjonen Investerngene påvrkes hovesaklg av renta og av aktvtetsnvået økonomen. Når renta går opp øker kostnaen ve å fnansere nvesternger. V kan s at et lr relatvt
ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver
ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1
STK desember 2007
Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at
Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018
Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)
A = og e = Del (b) Løs likningssystemene Ax = b og Ay = b +e. P n A,1 = 1 = ,41 97
IN227 Esamen 989 Are MagnusBruaset. august 995 Dette er et løsnngsforslag tl esamenssettet for IN227 som ble gtt 989. Forslaget går e nn på alle detaljer,men sulle være tlstreelg tl å llustrere framgangsmåtene.
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2
Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt
Forelesning Punktestimering
STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,
2005/11 Notater Anna-Karin Mevik. Notater. Usikkerhet i ordrestatistikken. Seksjon for statistiske metoder og standarder
005/ Notater 005 Anna-arn Mev Notater Userhet ordrestatsten Sesjon for statstse metoder og standarder Innlednng Populasjon Ordretlgang 3 Omsetnng 3 3 Utvalg 3 4 Estmerng av ordretlgangen 4 5 Modellbasert
(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:
A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:
MAT1030 Forelesning 16
MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og
EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:
NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.
NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La
Rekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel
Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:
Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer
Statistikk og økonomi, våren 2017
Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9
Alternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund
Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,
Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS
Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73
MA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................
X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG
Konstruksjon av digital heltallsaritmetikk
Konstrusjon av dgtal eltallsartmet Multplatv dvsjon Karl Marus Stafto Master eletron Oppgaven levert: Jun 8 Hovedveleder: Kjetl Svarstad, IET Bveleder(e): Smen Gmle Hansen, Kongsberg Defence & Aerospace
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.
STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for
i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2
Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :
IT1105 Algoritmer og datastrukturer
Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle
Løsning heimeøving 7 Sanntid
D:\Per\Fag\Styresys\SANNOV\12LØSØV7.wpd Fag SO507E Styresystemer Løsnng hemeøvng 7 Sanntd HIST-AFT Aprl 2012 PHv Utleveres: Oppgave 1 PI-regulator med P-foroveroplng a) P-regulator med P-foroveroplng.
Enveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model) (Notat til Kap. 12 i Rosner)
Eves varasaalyse (Oe-way ANOVA, fxed effects model) (Notat tl Kap. Roser) V reaptulerer først t-teste for to uavhegge utvalg. Stuasjoe var at v hadde to grupper, f.es. G og G og et sett uavhegge og dets
Oppgaven dekker ideell opamp, bodeplot og resonans.
Lønngfrlg fr ktvt flter gve FYS3 H9 Uke 4 H.Blk Aktvt flter Ogven ekker eell m, elt g renn. Dette flteret er ert å en relerng v et Sllen ey flter. Ref : Sllen, R. P.; E. L. ey 955-3. "A Prtl Meth f Degnng
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
Geometriske operasjoner
Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl
De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe.
STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave I et tlfeldg utvalg på normalvektge personer, og overvektge personer, måles konsentrasjonen av 2 ulke protener blodet.
Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)
alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,
Flerpartikkelsystemer Rotasjonsbevegelser
lerpartkkelsystemer otasjonsbevegelser 8.03.05 YS-EK 0 8.03.05 Program vere reag 0.3.: ngen ata-verkste este uke: ngen unervsnng ngen forelesnng ngen gruppetme ngen ata-verkste Torsag 6.3: veseksamen este
Kraftelektronikk (Elkraft 2 høst), Løsningsforslag til øvingssett 2, høst 2005
Krfelekronkk Elkrf hø, Lønngforlg l øvnge, hø 5 Ole-Moren Mgår HA 5 Oppgve 4 3 v voe vol - - -3-4 p p 3p 4p V v 3 3 n V [ co ] 3 3. 5 b Derom nvenelen krever ørre røm enn lgjengelge hlvleerkomponener åler,
Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt
Geometriske operasjoner
Geometrske operasjoner INF 23 29..28 Kap. 2.4.4 og 2.6.5 DIP Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,)
Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet
Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk
STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Tirsdag 12. desember 2017
Eksamen : STK000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 2. desember 207 Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Lkke tl! Dette er et løsnngsforslag. Studenter som har kommet frem
Eksamensoppgave. Fag: Tverrfaglig eksamen i vg2 brønnteknikk. Fagkode: BRT 2004. Eksamensdato: 2.12.2013. Eksamensdato: Eksamenstype: Skriftlig
Eksaensogave Fag Tvrfaglg eksaen vg brønnteknkk Fagkoe BRT 004 Eksaensato..03 Eksaensato Eksaenstye Skrftlg Utannngsrogra Teknkk og nustrell rouksjon Prograoråe Brønnteknkk Eksaensnforasjon Eksaenst Hjeleel
Oblig1.nb 1. Et glassfiberlaminat består av følgende materialer og oppbygging:
Oblg1.nb 1 Oblg1 Data Et glassfberlamnat består av følgende materaler og oppbggng: Glassfber: Vnlester: E-modul: E=72MPa Posson s tall: n=.25 Denstet: 2.54 g/cm3 E=37 MPa Posson s tall: n=.3 Denstet; 1.19
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer
ynask prograerng Metoden ble foralsert av Rchard Bellann (RAN Corporaton på -tallet. Prograerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe ed kode eller å skrve kode å gøre. ynask for å ndkere
Eksamensoppgave i SØK Statistikk for økonomer
Insttutt for samfunnsøkonom Eksamensoppgave SØK004 - Statstkk for økonomer Faglg kontakt under eksamen: Hldegunn E. Stokke, tlf 7359665 Bjarne Strøm, tlf 7359933 Eksamensdato: 0..04 Eksamenstd (fra-tl):
Determinanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer:
Kapittel 6 Determinanter En matrise inneholer mange tall og erme mye informasjon så mye at et kan være litt overvelene Vi kan konensere ne all informasjonen i en kvaratisk matrise til ett enkelt tall som
SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:
Forelesning nr.3 INF 1410
Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009
OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005
OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov
Forelenng nr.3 INF 4 Elektronke ytemer Parallelle og parallell-erelle kreter Krchhoff trømlo Dagen temaer Krchhoff trømlo Parallelle kreter Kreter med parallelle og erelle ter Effekt parallelle kreter
Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1
ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom , Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere
DEN NORSKE AKTUARFORENING
DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske
Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?
Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller
Forelesning nr.3 IN 1080 Mekatronikk. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov
Forelenng nr.3 IN 080 Mekatronkk Parallelle og parallell-erelle kreter Krchhoff trømlo Dagen temaer Krchhoff trømlo Parallelle kreter Kreter med parallelle og erelle ter Effekt parallelle kreter Temaene
Oppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok:
Oppgaver i apittel - Løsningssisser og ommentarer Lærebo:.6 Vitig oppgave, viser hvordan ree-summer an tilnærmes med integraler. Atuelt hvis vi har formelen for n te ledd, men ie har noen summeformel.
MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00
MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober
Forelesning 17 torsdag den 16. oktober
Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom
Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom
TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden
Kraftelektronikk (Elkraft 2 høst), Løsningsforslag til øvingssett 3, høst 2005
Kraftelektronikk (Elkraft høst), Løsningsforslag til øvingssett 3, høst 005 Ole-Morten Mitgår HiA 005 Oppgave Dioelikeretter: a) Dioene er snu, strømmen går i motsatt retning. (Husk at strømmen kan bare
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg:
Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.
De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n
TMA4265 Stokastiske prosesser
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel,
Arbeid og potensiell energi
Arbed og potensell energ 4.3.5 Mdtveseksamen: 6.3. Pensum: Kap. boken flere lærer på data-lab YS-MEK 4.3.5 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg
EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Torsdag 11. august, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling
NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Professor Asle Sudbø, tlf 93403 EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Torsdag 11. august, 2005 09.00-13.00
Arbeid og potensiell energi
Arbed og potensell energ.3.7 YS- MEK.3.7 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d energbevarng vertkal kast: mg d mg fjær: k k d atom krstall: b π cos π b b d π sn b YS- MEK.3.7 kraft
EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag
. jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er
system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING
16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING Sdoprofl Monterngsprofl Murprofl (tllval) (A) (B) 1000 mm 20 mm mn. 50 mm Klck! Før du starter monterngen av dtt nye tak, bør du kontrollere at du har motatt
Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt
Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,
Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)
HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene
Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse
Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets
Flerpartikkelsystemer Rotasjonsbevegelser
lerparkkelsysemer Roasjonsbevegelser.4.6 Resulaer fra mveseksamen på semesersen: hp://www.uo.no/suer/emner/mana/fys/ys-mek/v6/beskjeer/fysmekmev6resula.pf YS-MEK.4.6 lerparkkelsysemer j y k neokraf på
Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet
Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse
Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.
Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,
Frank Helén Pedersen
Noen metoder for nlyse v lder-erode-ohort-modeller Frn Helén Pedersen Msterogve mtemts sttst Mtemts nsttutt Unverstetet Bergen M 008 T Jeg vl te velederen mn, rofessor Ivr Heuch, for hjel og støtte under
MAT1030 Forelesning 21
MAT00 Forelesning Mer ombinatori Roger Antonsen - 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-0-5 00:05) Kapittel 9: Mer ombinatori Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ) Mer om ombinasjoner n velg
Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid
Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg
FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO
FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"
EKSAMEN Løsningsforslag
. desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg
Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250
FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250
EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Mandag 23. mai, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling
NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Martn Grønsleth, tlf 93772 EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Mandag 23. ma, 2005 09.00-13.00 Tllatte
bedre læring Handlingsplan for bærumsskolen mot 2020 Relasjons- og ledelseskompetanse/vurdering for læring/digital didaktikk
bee læng Hanlngsplan fo bæumsskolen mo 2020 Relasjons- og leelseskompeanse/vueng fo læng/gal akkk fe uvklngsomåe skolemelngen pesenee fe uvklngsomåe Længsoppage Den ykge læe bee læng Skolemelng fo bæumsskolen
TMA4240 Statistikk H2010
TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en
Studieprogramundersøkelsen 2013
1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta
Stivt legemers dynamikk. Spinn
Stvt legees nakk Spnn 9.4.14 ngen ata-vekste enne uke FYS-MEK 111 9.4.14 1 Eksepel R Et legee av asse M, aus R, og teghetsoent ulle ne et skåplan. koonatsste e aksen langs planet ogo assesenteet otasjon
FFI/RAPPORT-2003/00084
FFI RAORT etoer for effektberegnng av smart artllerammunson HALSØR arus, KVIFT Lars FFI/RAORT-3/84 FFIB/798/39 okent Keller 3. aprl 3 Sten rnaker Forsknngssef etoer for effektberegnng av smart artllerammunson