MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012.

Transkript

1 Stvnger, 16. jnur 2012 Det teknisknturvitenskpelige fkultet MIK 200 Anvendt signlbehndling, Lb. 2, boxcr FIR-filter. Hoveddelen i denne lbøving er om FIR-filter. I del 2 repeteres noe v teorien, inkludert z-trnsform og frekvensrespons, dette skl en også øve noe på i denne øving. På lben skl vi her implementere et helt enkelt FIR-filter, og vi skl se på responsen. I tillegg til sinussignl skl vi også sende inn firkntpulser, og for å forstå resulttet en får d er det viktig å forstå t firkntpuls kn ses på som en sum v noen få sinussignl. Før dere begynner på denne oppgven kn det være greitt å friske opp kunnskpen om FIR-filter, z-trnsform og frekvensrespons. Les og forstå del 2 her. Les litt om z-trnsformen gjerne fr deres fvorittbok i signlbehndling, og eventuelt også fr Wikipedi. Les litt om frekvensrespons for filter, gjerne fr deres fvorittbok i signlbehndling. Les om hvordn FIR-filter kn implementeres ved å bruke ulike strukturer for FIR-filter, gjerne fr deres fvorittbok i signlbehndling. Siste side i oppgven her er et skjem for egenevluering v rbeidet. Den siste sid her skl være første side i deres innlevering. Krl Skretting, Institutt for dt- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stvnger (UiS), 4036 Stvnger. Sentrlbord Direkte E-post: krl.skretting@uis.no.

2 1 Selve oppgven. De tre første spørsmål her er mest øving i å bruke Mtlb, mens spørsmål fire er meste teori. 1. Lg et plot i Mtlb der du viser Fourier-serie representsjon v en firkntbølge, f(x) fr ligning 19. Lg fire ulike kurver, med henholdsvis 1, 2, 3 og 20 ledd fr Fourier-serie rekk. L x gå fr 0 til 10 i steg på Her skl dere finne nullpunkt for trnsferfunksjonene for boxcr-filter med ulik lengde, ligning 21. Det å finne nullpunkt for et polynom er egentlig det smme som å fktorisere polynomet. Bruk gjerne Mtlbfunksjonen roots. Her er det best å skrive (de komplekse) røttene, det vil si nullpunkt, med polre koordinter, z = x + jy = re jθ, der siste representsjon er polr. () Boxcr-filter med lengde N = 2. (b) Boxcr-filter med lengde N = 4. (c) Boxcr-filter med lengde N = 5. (d) Boxcr-filter med lengde N = 8. (e) Hv er mønsteret for plssering v nullpunkt i disse tilfellene? 3. Her skl en se på frekvensresponsen for boxcr-filteret. Bruk gjerne Mtlb-funksjonen freqz for å finne verdiene som skl plottes, figuren som denne funksjonen kn lge kn ikke brukes for kkurt disse oppgvene, dere må d bruke plot. En Mtlb-GUI (grphic user interfce), boxcr gui.m, kn brukes for å vise, på noen ulike måter, frekvensresponsen for ulike boxcr-filter. Bruk gjerne dette for å sjekke t dere får riktige resultt, men bruk plot for å lge plottene en spør etter i denne oppgven. () Lg et plott v frekvensresponsen for boxcr-filter med lengde N = 4 og sklert med 1 N. Smplingsfrekvensen er F s = 1 MHz. L x- ksen være lineær og gå fr 0 til 500 khz, og y-ksen være lineær fr 0 til 1. (b) Desibelsklen er logritmisk og sklert, det vil si t y-verdier overføres til 20 log 10 y, en tidel mplitude (som er en prosent energi/effekt) blir d -20 desibel (db). Hvor mnge db er d en hlvering v mplitude? Hvor mnge db er en hlvering v energien? (c) Lg et plott v frekvensresponsen for boxcr-filteret med lengde N = 4 og sklert med 1 N. Smplingsfrekvensen er F s = 50 MHz. L x-ksen være lineær og gå fr 0 til 25 MHz, og y-ksen være i desibel. 2

3 (d) I Mtlb ngir en ofte knekkfrekvens (cut-off frequency) som den frekvensen der mplituden blir hlvert, se for eksempel hjelp for fir1. Alterntivet, og det som er vnlig bruk i elektronikk og som vi skl bruke her, er t knekkfrekvensen er den frekvensen der energien/effekten blir hlvert i forhold til pssbndet. Hv er knekkfrekvensen for lvpssfilteret i punktet over, presiser hv forsterkningen v filteret er. (e) Lg et plott v frekvensresponsen for boxcr-filter med lengde N = 8 og sklert med 1 N. Smplingsfrekvensen er F s = 1 MHz. L x-ksen være lineær og gå fr 0 til 500 khz, og y-ksen være i db. I neste spørsmål får dere bruk for formelen for endelig sum v ei geometrisk rekke, den er n 1 { 1 n k når 1 = 1 (1) n når = 1 k=0 4. Dere skl her fktorisere trnsferfunksjonen H(z) for boxcr-filter med generell lengde N. Dette er ikke helt enkelt, men med å bruke ligningene 22 og 1 bør det gå greitt. Bruk gjerne det komplekse tllet w N = e j2π/n når svret skrives. De følgende oppgvene kn løses på lben. 5. Med Simulink og System Genertor skl dere implementere et boxcrfilteret med N = 4 og sklert med 1 på direkte form, se figur 1. Det N er mnge måter å tegne dette på, forslget i figur 3 er et lterntiv. 3

4 Alle filterkoeffisientene er implementert med en skleringsblokk, dette er svært enkelt å implementere i hrdwre. Legg merke til Convert blokk, verdier skl være som vist i figuren nedenfor. Hvorvidt en bør h Wrp eller Sturte for overflow behvior kn diskuteres, wrp gjør det enklere å oppdge overflyt, mens sturte vil behlde signlet mest rimelig ved overflyt. Hensikt med convert-blokk er t en skl sikre seg t signlet som sendes til DA-konverteren er gyldig. () Lg modellen og lgre den som lb02. T utskrift v modellen og t figuren med i rpporten. Mtlb print kommndo kn gjerne brukes, eller det kn gjøres fr menyen i Simulink. (b) Bruk Simulink System Period = 1/100, og generer bit-fil og kjør denne på FPGA-kretsen. Mål frekvensresponsen for et sinussignl med frekvens fr 50 til 450 khz i steg på 50 khz, plott mplitude mot frekvens på et ruterk. Merk t mplitude kn måles på skopet. (c) Hvordn psser denne figuren med figuren dere lget i spørsmål 3.? (d) T nå en firkntbølge som inngngssignl, frekvens c 50 khz, og se på resulttet på skopet. Hvorfor får en nå tre punkt mellom topp og bunnivåene? (e) Bruk nå Simulink System Period = 1/2, modellen kn fortstt lgres som lb02. Generer bit-fil på ny og kjør denne på FPGA-kretsen. Mål frekvensresponsen for et sinussignl med frekvens fr 1 til 9 MHz i steg på 1 MHz, plott mplitude mot frekvens på et ruterk. (f) Hvordn psser denne figuren med figuren dere lget i spørsmål 3.? En smmenligning med 3.c er mindre hensiktsmessig siden 3.c skl være i desibel. 6. Med Simulink og System Genertor skl dere implementere et boxcrfilteret med N = 8 og sklert med 1 på trnsponert direkte form, se N figur 2. Fordelen med trnsponert form er t en d unngår flere ddisjonsblokker i sekvens uten forsinkelsesblokk mellom. Det er mnge måter å tegne dette på, forslget i figur 5 er et lterntiv. Her hr en smlet noen få blokker i et subsystem som gjents flere gnger. Selve subsystemet viser i figur 6. () Lg modellen og lgre den som lb02b. T utskrift v modellen og t figuren med i rpporten. Mtlb print kommndo kn gjerne brukes, eller det kn gjøres fr menyen i Simulink. (b) Bruk Simulink System Period = 1/100, og generer bit-fil og kjør denne på FPGA-kretsen. Mål frekvensresponsen for et sinussignl med frekvens fr 50 til 450 khz i steg på 50 khz, plott mplitude mot frekvens på et ruterk. (c) Hvordn er frekvensresponsen endret nå når N = 8 i forhold til når vi hdde N = 4. 4

5 z 1 z 1 z 1 z 1 b 0 b 1 b 2 b 3 b N 2 b N Figur 1: Direkte form, generell implementering v et FIR-filter med lengde N, trnsferfunksjonen er H(z) = N 1 k=0 b kz k. Symbolet betyr en mutipliksjon med en fktor, fktorens nvn står like til høyre for symbolet. b N 1 b N 2 b 2 b 1 b 0 z z 1 + z 1 + Figur 2: Trnsponert direkte form, generell implementering v et FIR-filter med lengde N. MIK200 lb2 (lb02), Boxcr filter med lengde N=4. Direkte form implementering, summeringsblokkene er direkte etter hverndre. SSP = 1/100 Fix_12_12 z 1 Fix_12_12 z 1 Fix_12_12 z 1 Fix_12_12 Digitl Dely Dely1 Dely2 ADC1 LC System Genertor + b b AddSub Fix_13_12 + b b AddSub1 Fix_14_12 + b b AddSub2 Fix_15_ Scle Fix_15_14 Fix_12_12 cst Convert DAC1 LC Figur 3: Simulink relissjon v et boxcr filter med N = 4. En bruker her blokker fr Xilinx blokkset for System Genertor. MIK200 lb2 (lb02b), Boxcr filter med lengde N=8. Direkte trnsponert form implementering, summeringsblokkene skilt fr hverndre med forsinkelsesblokker. SSP = 1/100 System Genertor Digitl ADC1 LC z 1 b + b z 1 b + b z 1 b + b z 1 b + b z 1 b + b z 1 b + b z 1 b + b 2 3 Scle cst Convert DAC1 LC Figur 4: Simulink relissjon v et boxcr filter med N = 8. Dette er lterntiv uten subsystem. 5

6 MIK200 lb2 (lb02bsub), Boxcr filter med lengde N=8. Direkte trnsponert form implementering, summeringsblokkene skilt fr hverndre med forsinkelsesblokker. Her med subsystem. SSP = 1/100 Digitl ADC1 LC System Genertor Ut1 Ut1 Ut1 Ut1 In2 In2 In2 In2 DelyAdd1 DelyAdd2 DelyAdd3 DelyAdd4 Ut1 In2 DelyAdd5 Ut1 In2 DelyAdd6 Ut1 In2 DelyAdd7 2 3 Scle cst Convert DAC1 LC Figur 5: Simulink relissjon v et boxcr filter med N = 8 med subsystem. 1 2 In2 z 1 b + b 1 Ut1 Figur 6: Subsystemet DelyAdd. 6

7 2 FIR-filter teori med mer. Dette er et noe stikkordspreget og klddepreget nott over noe v teorien fr signlbehndlingen. En bør kunne dette for å få utbytte v lbøvingene i fget MIK200 nvendt signlbehndling. Det står her kort om LTI-system og FIR-filter z-trnsform og fktorisering v denne Frekvensrespons Nullpunkt for ndreordens FIR-filter Eksempel med FIR lvpssfilter Fourier-serie representsjon Boxcr-filter og tllet w N Mer detljert og fullstendig informsjon om disse emner kn dere gjerne finne i deres fvorittbok i signlbehndling. 2.1 FIR-filter Et lineært tidsinvrint system (LTI) med endelig impulsrespons kn betrktes som et filter. Er det diskret hr vi et diskret filter. Et LTI-filter er entydig gitt ut fr impulsresponsen, det vil si t når inngngen er u(k) = δ(k) får en på utgngen y δ (k) = h(k) der h(k) er impulsresponsen. h(k) er en representsjon v filteret. Lineær: Et system er lineært hvis inngngssignlet u 1 (k) gir utgngssignlet y 1 (k) og inngngssignlet u 2 (k) gir utgngssignlet y 2 (k) medfører t en lineær kombinsjon v inngngssignlene, u(k) = u 1 (k)+bu 2 (k), gir som resultt smme lineær kombinsjon v de tilsvrende utgngssignlene, y(k) = y 1 (k) + by 2 (k). Tidsinvrint: En tidsforskyvning v inngngssignlet gir smme tidsforskyvning v utgngssignlet. Kuslt: Et kuslt filter hr ingen respons før inngngssignlet. Når impuls gis på inngngen får en impulsresponsen y δ (k) = h(k), og for et kuslt system hr en h(k) = 0 for k < 0. 7

8 Finite Impulse Response (FIR): Et FIR-filter hr en impulsrespons med endelig lengde, h(k) = 0 for k N. For et kuslt FIR-filter er N filterets lengde, en kn også si t ntll tpper eller koeffisienter er N. FIR-filteret er ltså { h(k) for 0 k < N h(k) = (2) 0 ellers Ut fr impulsresponsen for et lineært og tidsinvrint (og her også kuslt) system kn en finne responsen for et hvilket som helst inngngssignl u(k) med en konvolusjon. y(k) = N 1 n=0 h(n)u(k n). (3) Et FIR-filter kn implementers på direkte form, figur 1. Filterkoeffisientene er elementene b k direkte fr impulsresponsen. Addisjonen i første blokk må være ferdig før ddisjonen i ndre blokk hr riktige verdier på inngngene sine, og så videre til de ndre blokkene. Det betyr t vstnden (i tid) mellom to fortløpende smpler må være så stor t hele rekk med ddisjoner blir ferdig før neste smple kommer. Dette kn en unngå med å bruke trnsponert form, figur 2. For FIR-filter (med høy smplingsfrekvens) som skl implementeres på FPGA er trnsponert form best. 2.2 z-trnsform z-trnsformen v et (kuslt) FIR-filter er definert som H(z) = N 1 k=0 h(k)z k, (4) der h(k) er filterkoeffisientene (impulsresponsen). H(z) klles trnsferfunksjonen og er et polynom i z 1. Ved å multiplisere H(z) med z N 1 får en et polynom i z, dermed kn H(z) skrives som et produkt v en fktor, z 1 N, og et polynom i z. En ren tidsforskyvning, frmflytting eller forsinkelse, z k eller z k, hr i de fleste smmenhenger liten betydning. En kskdeimplementsjon v et filter er hvis filteret er implementert som en kskde (sekvens) v to elller flere filter. Hr en flere (for eksempel h 1 og h 2 ) filter i sekvens, det vil si etter hverndre, så kn det totle filteret representeres som en konvolusjon i koeffisientdomenet, h(k) = h 1 (k) h 2 (k) = N 1 1 n=0 h 1 (n)h 2 (k n) = N 2 1 n=0 h 1 (k n)h 2 (n). (5) 8

9 Lengden v filteret h blir N = N 1 +N 2 1, der N 1 og N 2 er lengdene v h 1 og h 2 henholdsvis. I z-domenet blir det en multipliksjon mellom de to polynomene H(z) = H 1 (z)h 2 (z) (6) I en polynomrepresentsjon (trnsferfunksjon) må en lltid være oppmerksom på hvilken rekkefølge koeffisientene kommer i og hvilken grd hvert tilhørende ledd hr. h(0) er den koeffisienten som hører til leddet med høyeste grd. Polynomene H(z) og H(z 1 ) hr koeffisientene i omvent rekkefølge. For et symmetrisk FIR-filter, h(k) = h(n 1 k), hr en t polynomene for H(z 1 ) og H(z) er de smme, ellers ikke! Symmetriske FIR-filter kn reliseres med færre mulitpliksjoner. 2.3 Fktorisering Et polynom med N koeffisienter, grd (N 1), hr N 1 nullpunkt, disse er generelt komplekse og kn være multiple. Finner en røttene for H(z), eller om mn vil polynomet h(z) = z N 1 H(z) = h(0)z N 1 + h(1)z N h(n 2)z + h(n 1) (7) og kller disse z i så hr en t N 1 h(z) = h(0) (z z i ). (8) Hvis filterkoeffisientene, h(k), er reelle vil røttene i polynomet h(z) komme som kompekskonjungerte pr, det vil si t hvis z i = x i + jy i er ei rot så er også zi = x i jy i ei rot i polynomet h(z). D kn en fktorisere h(z) i ndregrdspolynom med reelle koeffisienter. Filteret kn implementeres som en sekvens (kskde) v ndreordens FIR-filter. Hr en i tillegg et symmetrisk FIR-filter så vil en h t hvis z i er ei rot i polynomet så er både zi, 1/z i og 1/zi røtter i polynomet. D kn en gjerne fktorisere h(z), i symmetriske fjerdegrdspolynom med relle koeffisienter. Filteret kn implementeres som en sekvens (kskde) v fjerdeordens FIR-filter. En kn skrive et FIR filter, representert ved polynomet H(z) som i ligning 4, som et produkt v ndreordens FIR-filter H(z) = i=1 K H k (z), der H k (z) = h k0 + h k1 z 1 + h k2 z 2 (9) k=1 En fordel med denne form er t hver fktor gir nøyktig kontroll med et pr med nullpunkter. Dessuten kn filteret nå implementeres som en sekvens v korte ndreordens FIR-filter, det vil si på kskdeform om det er ønskelig. 9

10 2.4 Nullpunkt for ndreordens FIR-filter. Vi hr en ndreordensfktor gitt som H(z) = 1 0 ( b0 + b 1 z 1 + b 2 z 2). (10) Dette kn gnske direkte implementeres med heltllsritmetikk når b i koeffisientene er heltll og 0 = 2 k der k er et heltll, divisjon med 0 er d bre å flytte desimlkomm, siden tll er representert med det binære tllsystem. For nullpunkt betyr ikke skleringsfktoren 1/ 0 noe. L oss forskyve 2 smpler frm og eliminere 0, og ut fr ligning 10 får vi h(z) = 0 z 2 H(z) = b 0 z 2 + b 1 z + b 2 (11) Formelen for løsning v ndregrdsligningen gir de to nullpunkt for polynomet h(z) som z 1 = b 1 + b 2 1 4b 0 b 2, z 2 = b 1 b 2 1 4b 0 b 2. (12) 2b 0 2b 0 L oss se på tilfellene der vi hr komplekse røtter, eller de to reelle røttene er de smme, ltså b 2 1 4b 0 b 2. Rdius for røttene er d r = ( b1 ) 2 ( 4b0 b 2 b 2 ) = b b 0 b 2 b 2 1 = 2b 0 2b 0 2b 0 Vi hr selvsgt t b 0 b 2 0 siden b 2 1 4b 0 b 2. Vinkelen for de komplekskonjungerte røttene er gitt ved cos θ = b 1 2b 0 b0 b 2 b 0. (13) / b0 b 2 b 0 = b 1 2 b 0 b 2. (14) Ofte ønskes nullpunkt på eller nær enhetssirkelen, dette gir d god demping v frekvensene nær nullpunktene. Vi ser t for å få røttene nøyktig på enhetssirkelen så må vi h b 0 = b 2 som videre gir r = 1 og cos θ = b 1 2b 0. Siden vi fortstt ntr b 2 1 4b 0 b 2 hr vi ltså 2b 0 b 1 2b 0. Altså r = 1 b 0 = b 2, cos θ = b 1 2b 0 der 2b 0 b 1 2b 0. (15) Når b 0, b 1 (og b 2 = b 0 ) velges som heltll v modert størrelse, kn vi få nullpunktene omtrent der vi vil på enhetssirkelen. For en gitt b 0 -verdi vil mulige nullpunkt ikke fordeles jevnt på enhetssirkelen, men de tilhørende cosinus verdiene vil fordeles jevnt på den reelle ksen. Det betyr t det er vnskelig å 10

11 plssere et nullpunkt med en liten vinkel (bre litt større enn 0) eller en stor vinkel (bre litt mindre enn π), men gnske greitt å velge en vinkel nær π/2. Et helt enkelt lvpssfilter kn fås med å plssere et (eller flere) nullpunkt i -1, h(z) = (z + 1) q der q er ntll nullpunkt i -1. Med dobbelt nullpunkt i -1, q = 2 får vi h(z) = (z + 1) 2 = z 2 + 2z + 1, ltså b 0 = b 2 = 1 og b 1 = 2b 0 = 2, og cos θ = b 1 2b 0 = 1. Dette filteret kn implementeres på en enkel måte, som en kskde v filterblokker med form (1 + z 1 ). Et helt enkelt høypssfilter kn fås med å plssere et (eller flere) nullpunkt i +1, h(z) = (z 1) q der q er ntll nullpunkt i +1. Med dobbelt nullpunkt i +1, q = 2 får vi h(z) = (z 1) 2 = z 2 2z +1, ltså b 0 = b 2 = 1 og b 1 = 2b 0 = 2, og cos θ = b 1 2b 0 = 1. Også dette filteret kn implementeres på en enkel måte. Enkle båndstoppfilter kn være h(z) = z 2 + z + 1, h(z) = z og h(z) = z 2 z + 1, med cos θ = b 1 2b 0, ltså -0.5, 0 og 0.5 henholdsvis, θ = 2π/3, θ = π/2 og θ = π/3 henholdsvis. Ofte er det ikke så vesentlig hv forsterkningen eller dempningen til filteret blir, det kn gjerne justeres til slutt med en enkel multipliksjon, eller end enklere ved å flytte desimlkomm. Men en kn h gitt t en skl h verken dempning eller forsterkning ved en bestemt frekvens, θ 0, ltså H(e jθ 0 ) = 1. Hvis θ 0 = 0 så får en d for filteret i ligning 10 t b 0 + b 1 + b 2 = 0. Hvis θ 0 = π så får en d for filteret i ligning 10 t b 0 b 1 + b 2 = Frekvensrespons Frekvensresponsen er den responsen systemet gir når inngngen er et sinussignl med en gitt frekvens. En hr et system med fst trnsferfunksjon H(z), ltså et tidsinvrint filter, ikke nødvendigvis kuslt eller FIR men stbilt (BIBO). Når inngngen her er et sinussignl så vil også utgngen være et sinussignl med smme frekvens. Merk t høyeste mulige frekvens for et diskret signl er Nyquist-frekvensen, f N = f s /2. Amplituden kn være forsterket eller dempet, og fsen kn være forskjøvet. En kn finne både mplitudeforsterkningen og fsen ved å beregne verdien v H(z) på enhetssirkelen. H(ω) = H(z) z=e jω = n= h(n)e jωn (16) der ω er normlisert frekvens der ω = 2π svrer til smplefrekvensen. Amplitudeforsterkningen er bsoluttverdien v H(ω) mens fseforskyvningen er vinkelen til H(ω). Inngngssignl med frekvens f 1 gir d respons med forsterkning og fse gitt v H(z) z=e j2πf 1 /fs (17) Lineær fse vil si t fseforskyvningen øker lineært med frekvensen, i prksis 11

12 0 20 Mgnitude (db) Normlized Frequency ( π rd/smple) Phse (degrees) Normlized Frequency ( π rd/smple) Figur 7: Frekvensrespons for et kort FIR-filter, se del 2.6 betyr det t lle frekvenser forsinkes like mye gjennom filteret. Periodiske signl som for eksempel en firkntpuls kn dermed få forvrengt form når signlet går gjennom et filter som ikke hr lineær fse. Det blir selvsgt også noe forvrengt form fordi ulike frekvenskomponenter blir ulikt forsterk. Et filter med lineær fse vil likevel lltid beholde symmetrien i form når inngngssignlet er en firkntpuls. Et FIR-filter hr lineær fse hvis det er symmetrisk. 2.6 Eksempel med FIR lvpssfilter Mtlb-kommdoen b=fir1(8,0.4); lger et symmetrisk lvpss FIR-filter med orden 8, lengde er d 9, og knekkfrekvensen f 6dB = 0.4, det vil si mplitudeforsterkningen, her demping, blir 0.5 ved f = f 6dB f N = 0.4 f N. Filterkoeffisienten kn plottes med stem(b) og en kn lge eps-fil v figuren med print( -f1, -depsc2, firfig1 ); som vises i figuren til høyre Koeffisientene for et kort FIR-filter. Figuren er lget som forklrt i splt til venstre. 12

13 Figur 8: Amplituderesponsen for FIR-filteret med f s 0.4f N = 72, del 2.6 = 360, og d hr en Frekvensresponsen kn enklest finnes med freqz(b) som lger et plot som i figur 7. En ser t fsen i nederste hlvdel er lineær, t det er mye demping ved frekvens 0.85, det betyr 0.85f N. Siden y-ksen for mplitudeforsterkningen (Mgnitude) er i desibel er det egentlig mye demping for lle høye frekvenser, en hr mer en 20 desibel demping over c 0.6. Sett t en hr gitt smplerten, f s = 360 Hz, og ønsker et plott v frekvensresponsen med lineær skl også på y-ksen. D kn en bruke freqz funksjonen med flere innrgument og to utrgument, [H,W]=freqz(b,1,512,360); Innrgumentene er tellerpolynomet, nevnerpolynomet (som er 1 for et FIRfilter), ntll punkt jevnt fordelt på enhetssirkelen der en vil beregne H(z), og til slutt f s. Utrgumentene er først de komplekse verdiene for H(z) beregnet for så mnge punkt en ønsket, ndre utrgument gir frekvensene der en hr beregnet H(z), der z = e j2πw/f s. Resulttet kn så plottes med plot(w,bs(h)); grid on; som vises i figur 8. En kn også ngi bestemte frekvenser der en vil beregne frekvensresponsen, for eksempel som her [H,W]=freqz(b,1,0:10:100,360); Nå vil en bre få beregnet H(z) for 11 punkt, en kn nå plotte med for eksempel plot(w,bs(h), b-* ); grid on; 13

14 Figur 9: Amplituderesponsen for FIR-filteret med f s = 360. Her hr en vlgt å vise kun en del v frekvensområdet, se del 2.6 og resulttet viser i figur Fourier-serie representsjon En periodisk funksjon kn ofte skrives som en sum v sinus- og kosinusfunksjoner, det vil si representeres med en Fourier-serie. Fr mtemtikken hr en t en firkntbølge, her med periode 2π, kn tilnærmes med f(x) = 4 π sin x sin 3x + sin 5x + sin 7x + (18) 3π 5π 7π f(x) = k=1,3,5,... 4 sin kx (19) kπ Hvorvidt en funksjon kn representeres med en Fourier-serie kn formuleres som dette: Hvis en periodisk funksjon f(x) med periode 2π er stykkevis kontinuerlig i intervllet π x π og hr en venstrederivert og en høyrederivert i hvert punkt i intervllet, så konvergerer Fourierserien, med de riktige koeffisientene, mot f(x). Summen for Fourierserien for en hvilken som helst x verdi er f(x), unnttt i punkt 14

15 der f(x) ikke er kontinuerlig, der er summen lik middelverdien v grenseverdiene for f(x) fr venstre og høyre side. 2.8 Boxcr-filter og tllet w N Et såklt boxcr-filter er et enkelt lvpssfilter, det hr N filterkoeffisienter lik 1 og de ndre lik 0, ltså h(n) = 1 for n = 0, 1,..., (N 1) og h(n) = 0 ellers. Eventuelt kn filteret være sklert med 1. En hr d N y(k) = 1 N N 1 n=0 h(n)x(k n) = 1 N H(z) = 1 N N 1 n=0 N 1 n=0 x(k n). (20) z n. (21) Dere får bruk for tllet w N = e j2π/n som hr en del fine egenskper. Det er et komplekst tll som ligger på enhetssirkelen w N = 1, vinkelen (i forhold til den reelle ksen) er 1 v hele sirkelen, ltså 2π [rdiner]. Når en multipliserer N N et tll med w N så økes vinkelen med 2π og bsoluttverdien er uendret. De N N punkt jevnt fordelt på enhetssirkelen kn d skrives som wn k der k = 0, 1,..., N 1. Ved å velge ndre (heltlls) verdier for k får en bre gjenttt de smme tllene en lt hr med k = 0, 1,..., N 1. Legg merke til t vi hr wn 0 = wn N = 1. Vi hr også 1/wk N = w k N. En viktig formel er N 1 k=0 w k N = 0 og N 1 k=1 w k N = 1 der w N = e j2π/n. (22) I siste sum er det kun første ledd (=1) som er uteltt. En nnen egenskp ved w N er t lle løsningene for ligningen z N = 1 er wn k der k = 0, 1,..., N 1. 15

16 MIK 200 Anvendt signlbehndling. Lb. 2, boxcr FIR-filter. Student 1 Student 2 Resultt: (fylles ut v fglærer) godkjent / ikke godkjent Egenvurdering: Mål for læringsutbytte er: Forstå teorien som er presentert som bkgrunn for oppgven. Bruke og forstå de relevnte Mtlb-kommndoer. Lge, lste ned, kjøre og teste de systemene som skl lges i oppgven. Dere skl også selv vurdere resulttet v det rbeidet dere hr gjort i denne øving, ved selv å gi krkter på deres besvrelse. Krkterskl er den vnlige fr A (best) til E (dårligst) og F (stryk). Egenvurderingstbell Student 1 Student 2 Læringsutbytte for Mtlb-del, spørsmål 1-3. Læringsutbytte for oppfrisking v teori og spørsmål 4. Læringsutbytte for FPGA-del, spørsmål 5-6. Resultt Mtlb-del, spørsmål 1-3. Resultt teoridel, spørsmål 4. Resultt FPGA-del, spørsmål 5. Resultt FPGA-del, spørsmål 6. Kommentrer: