KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner

Transkript

1 KAPITTEL 9 Approksimsjon v funksjoner En grunnleggende teknikk som ofte brukes i ulike deler v mtemtikk og nvendelser er å tilnærme eller pproksimere et objekt med et nnet. Som regel er objektet som skl tilnærmes mer komplisert enn objektet som det tilnærmes med. På denne måten får vi et enklere objekt å håndtere på bekostning v t vi må kseptere en, vnligvis liten, feil. I dette kpitlet skl vi se litt på pproksimsjon v funksjoner, for det meste med polynomer. Polynomer er populære som pproksimsjoner siden verdien v et polynom i et punkt kn bestemmes ekskt (hvis vi ser bort fr vrundingsfeil) ved hjelp v de elementære opersjonene ddisjon og multipliksjon v tll. Dette gjør t polynomer er godt tilpsset beregninger på dtmskin. Mot slutten v kpitlet skl vi også se litt på pproksimsjon med stykkevise polynomer. Dette er funksjoner som består v polynombiter som er lenket smmen til mer kompliserte funksjoner. Stykkevise polynomer egner seg også godt til beregninger på dtmskin siden den eneste opersjonen vi trenger i tillegg til polynomopersjonene er å vgjøre hvilket polynombit vi er på. Dette gjør vi med en test som dtmskiner også håndterer effektivt og greit. Vi skl først se litt rskt på Tylor polynomer og noen spekter ved dem som ikke vnligvis dekkes i trdisjonelle mtemtikkbøker. Deretter skl vi så vidt t for oss en nnen tilnærmingsmetode, nemlig interpolsjon. Et viktig poeng i dette kpitlet er t det er viktig hvordn vi skriver polynomene våre, og vi skl se t det kn være spesielt hendig å skrive polynomer ved hjelp v de såklte Bernstein-polynomene. Dette leder oss over i såklte Bezier-kurver som er mye brukt i grfikk. Mot slutten skl vi se mer på stykkevise polynomer som egner seg svært godt til å splte opp en funksjon i komponenter med forskjellig oppløsning eller skl, såklt flerskloppløsning. Som vi skl se egner dette seg godt for representsjon og kompresjon v lyd. 9. Tylor polynomer Tylor -polynomer er polynomer som tilnærmer en gitt funksjon godt i nærheten v et punkt x =. Vi oppnår dette ved å kreve t Tylor-polynomet skl reprodusere så mnge som mulig v funksjonens deriverte i. Etter Brooke Tylor (685 73), engelsk mtemtiker. 39

2 40 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER 9.. Konstruksjon v Tylor-polynomer Funksjonen vi skl tilnærme kller vi f, og vi ntr t f kn deriveres så mnge gnger vi ønsker; en kort og vnlig måte å beskrive denne ntgelsen på er å si t f skl være gltt. For å kunne bestemme Tylor-polynomer trenger vi et tll i definisjonsområdet til f. Det enkleste Tylor-polynomet er v grd 0, det er ltså konstnt, og frmkommer ved t vi konstruerer det enklest mulige polynomet som reproduserer verdien til f i. Hvis vi betegner dette polynomet med p 0 så hr vi ltså p 0 (x) = f(). Dette er en svært god tilnærming til f i x =, men for de fleste funksjoner blir kvliteten fort dårlig når vi fjerner oss fr dette punktet. Neste steg er å forsøke å finne en enkel tilnærming til f som tr med seg både verdien til f og dens førstederiverte f i. Siden vi hr to betingelser, er det rimelig å tro t vi trenger et polynom med to frie koeffisienter for å få til dette. Vi prøver derfor med et førstegrdspolynom p (x) = b 0 + b x. De to betingelsene gir oss to ligninger i de to ukjente b 0 og b, f() = p () = b 0 + b, f () = p () = b. Dette gir b = f () og b 0 = f() f () så p kn skrives som p (x) = b 0 + b x = f() f () + xf () = f() + (x )f (). Siden p er en rett linje som hr smme verdi og derivert som f i er p tngenten til f i dette punktet. L oss også t bryderiet med å konstruere p = b 0 +b x+b x, et ndregrdspolynom som tilnærmer f best mulig i. Siden vi hr tre frie koeffisienter er det rimelig å tvinge p til å h smme verdi, førstederivert og ndrederivert som f i. Dette gir betingelsene f() = p () = b 0 + b + b, (9.) f () = p () = b + b, (9.) f () = p () = b. (9.3) Vi legger merke til t dette ligningssystemet hr en spesiell struktur som gjør det lett å løse. Fr (9.3) kn vi finne b, setter vi resulttet inn i (9.) kn vi finne b og setter vi begge disse resulttene inn i (9.) kn vi finne b 0. Løsningen vi finner er b = f (), b = f () f (), b 0 = f() f () + f ().

3 9.. TAYLOR POLYNOMER 4 Setter vi dette inn i uttrykket for p og forenkler så får vi p (x) = f() + (x )f () + (x ) f (). (9.4) Fr dette er det ikke så vnskelig å gjette den generelle formen på Tylor-polynomet v grd n. Men før vi skriver opp dette, l oss reflektere litt over utledningene våre. Hvis vi ser på ndregrdstilfellet så begynte vi med å skrive opp det generelle polynomet v grd p (x) = b 0 + b x + b x. (9.5) Vi skrev deretter opp betingelsene våre som g oss et ligningssystem som vr lett å løse. Etter noen forenklinger kom vi så frm til (9.5). Legg merke til t om vi til å begynne med hdde nttt t p vr på formen så ville ligningssystemet vårt blitt p (x) = c 0 + c (x ) + c (x ) (9.6) f() = p() = c 0, f () = p () = c, f () = p () = c som hr løsningen c 0 = f(), c = f () og c = f ()/. Dette gir oss kjpt og greit (9.5) uten behov for noen forenklinger. Dette illustrerer et viktig poeng: Et polynom kn skrives på mnge ekvivlente måter, og ved å velge en form tilpsset problemet vi skl løse kn vi ofte forenkle beregingene våre. Et nnet spekt v dette er t ulike polynomformer kn være mer eller mindre følsomme for vrundingsfeil. Dessverre er det slik t (9.5), som er den vnligste måten å skrive polynomer på, kn være svært følsom for vrundingsfeil om ikke x ligger nær 0, særlig når grden er høy. Vi skl se nærmere på dette i seksjon 9.3 under. Når vi nå hr funnet en måte å skrive polynomer på som er godt tilpsset problemet vi skl løse, er det på tide å ngripe det generelle tilfellet. Vi ønsker å dnne et Tylorpolynom p n v grd n som er en best mulig tilnærming til f i punktet x =. Vi hr lært v erfringene over og skriver p n på formen p n (x) = c 0 + c (x ) + c n (x ) n. Siden p n hr n + frie koeffisienter så forventer vi å kunne legge n + betingelser på f, nemlig betingelsene f() = p(), f () = p n(),..., f (n) () = p n n(n)(). Setter vi inn uttrykket for p n får vi ligningssystemet f() = c 0, f () = c, f () = c, f () = 6 c 3,..., f (n) () = n! c n som hr løsningen c 0 = f(), c = f (), c = f () Tylor-polynomet v grd n er dermed, c 3 = f () 6,..., c n = f (n) (). n! p n (x) = f() + (x )f (x ) () + f (x )n () + + f (n) (), n! og for å understreke vhengigheten v f skriver vi ofte p n (x) = T n f(x) eventuelt p n (x) = T n f(x; ) hvis vi også trenger å t med vhengigheten v.

4 4 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER n n 5 n 9 n 3n n 3 n 7 n n 5 Figur 9.. Funksjonen sin x og dens 9 første Tylor-polynomer. 9.. Feilleddet Det er viktig å huske på t Tylor-polynomet T n f(x) er en tilnærming til f, og skl vi bruke denne tilnærmingen er det som regel viktig å h en formening om hvor stor feilen er. Dette kn vi lese ut fr restleddet R n f(x) = f(x) T n f(x) som kn skrives på formen R n f(x) = (n + )! (x )n+ f (n+) (c) der c er et tll i intervllet (, x) (intervllet (x, ) hvis x < ). Vi legger merke til t når x nærmer seg så vil feilen R n f(x) gå mot null. Dette er ikke så overskende siden vi vet t feilen er 0 i x =. Det er også interessnt å se hv som skjer når n går mot uendelig og x holdes fst. Uttrykket /(n + )! vil gnske rskt bli svært lite mens (x ) n+ vil gå mot null, en eller uendelig, vhengig v om x er mindre enn en, lik en eller større enn en. Den siste fktoren f (n+) (c) kn essensielt oppføre seg på to måter. De peneste funksjonene er de som er slik t lle de deriverte kn begrenses v en konstnt som er uvhengig v derivsjonsordenen. For eksempel vet vi t tllverdien til lle de deriverte til både sin x og cos x kn begrenses v konstnten. Siden uttrykket (x ) n+ /(n+)! går mot null når n går mot uendelig, unsett hv x og er, så ser vi t for slike funksjoner vil verdien v Tylor-polynomet i x konvergere pent mot f(x). De ikke så pene funksjonene er de som hr deriverte som ikke kn begrenses v en konstnt uvhengig v derivsjonsordenen. Slike funksjoner skl vi ikke beskjeftige oss med her. Figurene 9. og 9. viser noen kjente funksjoner med noen tilhørende Tylor-polynomer. I figur 9. ser vi hvordn Tylor-polynomene får med seg flere og flere v svingningene til sin x når grden øker. Det viser seg t når n går mot uendelig så vil Tylor-polynomene konvergere mot sin x for lle verdier v x. Det smme gjelder for eksponensilfunksjonen e x som er vist i figur 9. (). For logritmefunksjonen log x er situsjonen imidlertid nnerledes. Som vi ser i figur 9. (b) så tilnærmes log x godt v sitt Tylor-polynom v grd 0 på intervllet (0, ], men når x blir større enn bli vviket fort stort. Det viser

5 9.. TAYLOR POLYNOMER () (b) Figur 9.. Funksjonen e x og dens Tylor-polynom v grd 4 () og funksjonen log x og dens Tylor-polynom v grd 0. seg t dette gjelder unsett hvor høy grd Tylor-polynomet hr. Studiet v når følger v polynomer som disse konvergerer mot en fst funksjon er en viktig del v mtemtikken som du vil møte i senere mtemtikkurs Beregning v verdier på polynomer Til slutt i denne delen skl vi t for oss noe som ikke hr spesielt med Tylor-polynomer å gjøre, men som vi trenger om vi skl bruke Tylor-polynomer på en dtmskin. Vi skl utlede en effektiv lgoritme for å beregne verdien i x v polynomet p(x) = c 0 + c x + + c n x. (9.7) Legg merke til t om vi hr en slik lgoritme kn vi også beregne verdier på polynomer på formen q(x) = c 0 + c (x ) + + c n (x ) n. For hvis vi setter u = x kn vi skrive q som c 0 + c u + + c n u n, ltså formen i (9.7), men med u som vribel. Den opplgte måten å beregne p(x) på er å regne ut de forskjellige produktene på formen x x x, multiplisere med koeffisientene og ddere smmen. En enklere måte er lettest å vise ved et eksempel. Ant t n = 3; d kn vi skrive p som p(x) = c 0 + c x + c x + c 3 x 3 = c 0 + x ( c + x(c + xc 3 ) ). Dette kn vi gjøre for generell grd, p(x) = n i=0 ( c i x i = c 0 + x c + x ( c + + x(c n + xc n ) )). For å regne ut dette begynner vi innerst og rbeider oss utover og bruker (r i ) n i=0 for å t vre på delresulttene. Vi setter først r n = c n og regner deretter ut r i = c i + x r i+, for i = n, n,..., 0. Etter dette hr vi multiplisert ut lle prentesene slik t r 0 vil h verdien p(x). Siden vi ikke trenger å t vre på verdien v lle r i ene kn vi klre oss med en r. Dette gir oss følgende lgoritme.

6 44 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER Algoritme 9. (Nestet multipliksjon). L polynomet p(x) = c 0 + c x + c n x n være gitt ved t koeffisientene er lgret i rryen c og x i vribelen x. Etter beregningene r = c[n]; for (i=n-; i>=0; i--) { r = c[i] + x*r; } vil vribelen r inneholde verdien p(x). 9. Interpolsjon og ndre pproksimsjonsmetoder Når vi nå er kjent med Tylor-polynomer er det nturlig å se seg om etter ndre metoder for å tilnærme funksjoner. Før vi tr for oss interpolsjon kn det være på sin plss med noen overordnede betrktninger omkring pproksimsjon v funksjoner. L oss ller først minne om t mtemtiske metoder og teknikker generelt kn brukes på minst to måter. Tylor-polynomer er et eksempel på en teknikk som ofte brukes for å få dypere innsikt i en funksjon, og ofte trenger vi bre ppir og blynt for å gjøre beregningene. Det er derfor viktig å øve seg i bruk v Tylor-polynomer ved å regne oppgver (med ppir og blynt). Tylor-polynomer er også et nyttig verktøy for å utlede ndre metoder som Newtons metode for å finne nullpunkter og Eulers metode for å løse differensilligninger. Tylor-polynomer brukes sjeldnere på dtmskin som en prktisk pproksimsjonsmetode fordi vi som regel trenger en pproksimsjon som ikke bre gir liten feil i nærheten v et punkt, men over et intervll. De ndre pproksimsjonsmetodene vi skl se på her er for det meste prktiske metoder som brukes på dtmskiner for å tilpsse måledt med gltte kurver. Dette betyr t det ikke er så viktig å kunne bruke metodene på ppiret. Derimot er det viktig å vite om det er noen begrensninger på når metoden kn brukes, hvor komplisert er lgoritmen som implementerer metoden, hvilke egenskper vil tilnærmingen h, hvor nøyktig er tilnærmingen, hvor følsom er metoden for vrundingsfeil også videre. Dette betyr t det er viktigere med en god forståelse v metodene mer enn fingerferdighet med å bruke dem på mindre problemer med ppir og blynt (selv om det også kn være nyttig i blnt). En slik grundig forståelse får du neppe v å lese det som står her, men forhåpentligvis får du en liten smkebit på hvordn metodene frmkommer og hv de kn brukes til. Når vi skl velge oss en pproksimsjonsmetode er det to hovedvlg vi må gjøre. Det første er å bestemme oss for hvilken form pproksimsjonen skl h. Skl den være et polynom, en trigonometrisk funksjon, en rsjonl funksjon, en eksponensilfunksjon eller noe nnet? Det fins gode metoder bsert på lle disse funksjonsklssene, men det vnligste er å bruke pproksimsjonsmetoder bsert på polynomer eller trigonometriske funksjoner. Og v disse to klssene er nok polynomer det vnligste. Dette hr smmenheng med det vi før hr vært inne på, t polynomer egner seg særdeles godt til beregninger på dtmskin. Det ndre vlget dreier seg om hvilken metode vi velger for å bestemme pproksimsjonen når klssen v funksjoner vi skl bruke er vlgt. Vi skl se litt nærmere på dette når vi først hr ttt for oss et lterntiv til Tylor-polynomer.

7 9.. INTERPOLASJON OG ANDRE APPROKSIMASJONSMETODER Interpolsjon med polynomer Når vi tilnærmer en funksjon f med Tylor-polynomer må vi kunne beregne deriverte v f. Det er mnge situsjoner der dette ikke er mulig, den vnligste er knskje når f bre er kjent ved måleverdier, slik som når vi måler temperturen ved ulike tidspunkter eller når vi smpler et lydsignl. I kpittel 6 så vi litt på hvordn den deriverte kn tilnærmes ut fr kjente funksjonsverdier, men det er som regel vel så br å beregne pproksimsjonen direkte fr funksjonsverdiene uten å gå veien om deriverte. Nturlig nok er tilnærmingene våre polynomer når vi bruker polynominterpolsjon, og tilnærmingen bestemmes ved t vi krever t feilen skl være null i noen isolerte punkter. Et velkjent eksempel er seknten til en funksjon f. D velger vi to forskjellige punkter x 0 og x og lr tilnærmingen p være den rette linj (det polynomet v grd ) som hr smme verdi som f i disse punktene. Med ndre ord så krever vi t f(x 0 ) = p (x 0 ), f(x ) = p (x ). Hvis vi skriver p på stndrdformen p (x) = b 0 +b x får vi et ligningssystem som består v to ligninger med de to ukjente b 0 og b som hr løsningen b 0 = f(x 0)x f(x )x 0 x x 0, b = f(x ) f(x 0 ) x x 0. Siden vi hr nttt t x 0 x gir disse formlene lltid mening. Dette betyr t p er gitt ved p (x) = f(x )x 0 f(x 0 )x + f(x ) f(x 0 ) x. (9.8) x x 0 x x 0 Dette polynomet kn også skrives som p (x) = f(x 0 ) x x x x 0 + f(x ) x x 0 x x 0. (9.9) At dette er riktig ser vi ved t høyresiden er et førstegrdspolynom som hr verdien f(x 0 ) når x = x 0 og verdien f(x ) når x = x. Dette illustrerer igjen fenomenet med t et polynom kn skrives på flere måter. Formen (9.9) er spesielt hendig siden vi der kn bruke de to funksjonsverdiene f(x 0 ) og f(x ) som koeffisienter. Dette kommer v t polynomet l 0 (x) = (x x)/(x x 0 ) tilfredstiller betingelsene l 0 (x 0 ) = og l 0 (x ) = 0 mens l (x) = (x x 0 )/(x x 0 ) tilfredstiller betingelsene l (x 0 ) = 0 og l (x ) =. Dette skriver vi ofte som l i (x j ) = δ i,j for i, j = 0, der symbolet δ i,j er definert som {, hvis i = j; δ i,j = 0, ellers. L oss nå forsøke å øke grden. Siden et ndregrdspolynom hr tre frie koeffisienter er det rimelig å håpe på t vi kn tvinge et slikt polynom gjennom tre gitte punkter x 0, x og x med tilhørende funksjonsverdier f(x 0 ), f(x ) og f(x ). Hvis vi skriver polynomet som p (x) = b 0 + b x + b x så vil de tre interpolsjonsbetingelsene gi tre ligninger for de tre ukjente b 0, b og b. Dette ligningssystemet hr ingen spesiell struktur som vi

8 46 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER () (b) Figur 9.3. Funksjonen e x og med seknten som interpolerer i x = 0 og x = i (), og prbelen som interpolerer i x = 0, x = og x = i (b). kn utnytte for å forenkle løsningsprosedyren. L oss derfor se om det lr seg gjøre å generlisere den spesielle formen for seknten som vi fnt i (9.9). Trikset består i finne ndregrdspolynomer som er 0 i lle punkter unnttt ett, der de hr verdien. Det er lett å finne et polynom som er 0 i x og x. Polynomet q(x) = c(x x )(x x ) hr åpenbrt denne egenskpen unsett hv konstnten c er. Det vil vnligvis ikke h verdien i x 0, men det kn vi fort ordne ved å velge c på riktig måte. Betingelsen q(x 0 ) = c(x 0 x )(x 0 x ) = gir c = / ( (x 0 x )(x 0 x ) ). Vi ser derfor t polynomet l 0, (x) = (x x )(x x ) (x 0 x )(x 0 x ) tr verdien i x 0 og verdien 0 i x og x. Denne konstruksjonen kn vi gjent med de ndre punktene. Dette gir oss de to polynomene l, og l,, l, (x) = (x x 0)(x x ) (x x 0 )(x x ), l, (x) = (x x 0)(x x ) (x x 0 )(x x ). Vi ser t l, hr verdien i x og 0 i x 0 og x, mens l, hr verdien i x og verdien 0 i x 0 og x. Men dette betyr t polynomet p (x) = f(x 0 )l 0,0 (x) + f(x )l, (x) + f(x )l, (x) er v grd og hr smme verdi som f i punktene x 0, x og x siden hvert v de tre leddene bre er ulik 0 i ett punkt, og i dette punktet hr de riktig funksjonsverdi. Når vi dderer de tre leddene smmen ødelegger de derfor ikke for hverndre. Figur 9.3 viser eksempler på interpolsjon v eksponensilfunksjonen med en rett linje og med en prbel (polynomene er stiplet). Vi ser t prbelen er en så god tilnærming t det er vnskelig å skille den fr funksjonen den tilnærmer. Hvis vi øker grden og interpolerer e x i flere uniformt spredte punkter kn vi få feilen så liten vi måtte ønske. Konstruksjonen v interpolerende polynomer kn generliseres til vilkårlig grd.

9 9.. INTERPOLASJON OG ANDRE APPROKSIMASJONSMETODER () (b) Figur 9.4. Funksjonen /( + 5x ) med polynomet v grd som interpolerer uniformt spredte punkter i intervllet [ 5, 5] () og interpolnten v grd 9 som interpolerer 0 uniformt spredte punkter i det smme intervllet (b) (polynomene er stiplet). Setning 9.. L funksjonen f være gitt smmen med de n + punktene x 0, x,..., x n, og definer de n + polynomene {l i,n } n i=0 ved l i,n (x) = n k=0 k i (x x k ) (x i x k ). D er polynomet p n (x) = n i=0 f(x i)l i,n (x) det eneste polynomet v grd n som tilfredstiller interpolsjonsbetingelsene p n (x j ) = f(x j ) for j = 0,,..., n. Som i det kvdrtiske tilfellet er det ikke så vnskelig å sjekke t l i,n er i x i og 0 i lle de ndre gitte punktene. Ved å multiplisere med f(x i ) får vi derfor et polynom som hr verdien f(x i ) i x i og verdien 0 i lle de ndre punktene. Når vi så dderer opp lle leddene får vi polynomet v grd d som tilfredstiller interpolsjonsbetingelsene. Det som gjenstår er å vise t det bre fins ett polynom som tilfredstiller interpolsjonsbetingelsene. Vi skl nt t det fins et polynom r som også hr denne egenskpen og vise t d må r være lik p n. L oss se på differnsen e = p n r mellom de to polynomene. Siden både p n og r hr verdien f(x i ) i x i for i = 0,..., n ser vi t e er 0 i lle de n + punktene. Dette polynomet v grd n hr ltså n + nullpunkter. Men fr lgebrens fundmentlteorem vet vi t dette er umulig for et polynom v grd n så d er eneste mulighet t e er identisk null (lle koeffisientene er null). Men hvis e = p n r = 0 må vi h r = p n. Altså hr vi bre ett polynom som tilfredstiller interpolsjonsbetingelsene. Figur 9.4 viser polynomer v forholdsvis høy grd ( og 9) som interpolerer funksjonen /( + 5x ). Noe overskende så ser vi t feilen er forholdsvis stor, særlig nær endene v intervllet, og den blir større ettersom grden øker (plottene er klippet i y-retningen). I midten v intervllet er imidlertid tilnærmingen br og ser ut til å bedres med økende grd. Forøvrig er knskje det mest iøynefllende de voldsomme svingningene i de interpolerende polynomene. Selv når feilen er liten vil et interpolerende polynom vnligvis svinge rundt funksjonen det interpolerer, det ligger i interpolsjonens ntur. Du vil se det smme om du plsserer en bøyelig linjl på et bord og forsøker å tvinge den til å gå gjennom noen fste punkter. Selv om figur 9.4 kn virke litt deprimerende med tnke på om interpolsjon er en god pproksimsjonsmetode så fins det en del positive resultter. Resulttene forutsetter

10 48 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER t funksjonen f som vi interpolerer er gltt (en funksjon som kn deriveres mnge gnger uten problemer). Dersom vi lr interpolsjonspunktene bevege seg mot hverndre og bli konsentrert i et stdig mindre intervll vil feilen på dette intervllet gå mot null når intervllbredden går mot null. I grensen, når lle punktene blir like, vil det interpolerende polynomet flle smmen med Tylor-polynomet v smme grd. Det går også n å vise t for en gltt funksjon definert på et intervll [, b] så går det for hvert heltll n 0 n å finne en smling v n + interpolsjonspunkter slik t hvis vi interpolerer i disse punktene med et polynom v grd n vil feilen gå mot null når grden n går mot uendelig. 9.. Andre metoder De to pproksimsjonsmetodene vi hr sett på så lngt er begge bsert på å konstruere polynomer som reproduserer informsjon om f i diskrete punkter. Tylor-polynomer reproduserer verdien og de første deriverte til f i ett punkt, mens vi ved interpolsjon reproduserer funksjonsverdiene til f i flere punkter. Det er imidlertid ndre måter å finne tilnærminger på. En vnlig metode er å finne det polynomet som gjør t feilen i pproksimsjonen blir minst mulig. Dette kn høres greit ut, men innebærer noen uventede utfordringer. Spørsmålet er nemlig hvordn vi kn måle feilen når vi tilnærmer f med et polynom p. Feilfunksjonen e = f p er jo en funksjon, og det er dermed ikke uten videre så lett å se hv det vil si å gjøre denne feilen minst mulig. Nøkkelen ligger i hvordn vi kn måle størrelsen på en funksjon. L oss nt t funksjonen f vi skl tilnærme er definert på et intervl [, b]. Et mål for størrelsen til feilen hr vi ved uttrykket mx f(x) p(x). (9.0) x [,b] Dette svrer til t vi benytter verdien v feilfunksjonen i det punktet der den er størst som et mål på feilen. Det å minimere feilen betyr d å finne et polynom p slik t dette mksimle vviket blir minst mulig. Hvis vi bruker polynomer v grd n og for enkelhets skyld skriver dem på formen p(x) = c 0 + c x + c n x n så ser vi t feilen i (9.0) kn skrives som ɛ (c 0,..., c n ) = mx f(x) (c 0 + c x + + c n x n ). x [,b] Å finne polynomet v grd n som gjør feilen minst mulig innebærer derfor å minimere funksjonen ɛ med hensyn på vriblene c 0, c,..., c n. En nnen måte å måle feilen på er ved integrlet b f(x) p(x) dx, ltså relet v forskjellen mellom de to funksjonene. I dette tilfellet blir funksjonen vi skl minimere ɛ (c 0,..., c n ) = b f(x) (c0 + c x + + c n x n ) dx.

11 9.3. VALG AV BASIS ER VIKTIG, BERNSTEIN-BASISEN 49 Igjen kn vi bestemme en tilnærming til f ved å gjøre dette uttrykket minst mulig. Vi ser d t det er viktig å h med tllverditegnet, for hvis ikke kn vi få feilen til å bli veldig liten ved å velge p slik t relet mellom funksjonene er stort, men med negtivt fortegn, noe som ikke svrer til t p er nær f. Ulempen med disse to metodene er t det for begge er forholdsvis vnskelig å bestemme polynomene som gjør feilen minst mulig. Fr teorien for funksjoner v flere vrible vet vi t vi kn finne ekstremlpunktene til en deriverbr funksjon ved å løse ligningene vi får ved å sette grdienten (de prtielle deriverte) til null. Dessverre inneholder uttrykkene for ɛ og ɛ tllverdifunksjonen som ikke er deriverbr overlt ( x hr en knekk i x = 0). Det er fremdeles mulig å bestemme minimumspunktene til ɛ og ɛ, men den eneste muligheten er å gjøre det ved itertive lgoritmer som først gjetter på en løsning og så stdig forsøker å forbedre denne i håp om t prosessen vil konvergere mot polynomet som gjør feilen minst mulig. Et tredje feilmål er populært fordi en med det kn finne polynomet som gjør feilen minst mulig uten å gjøre slike itersjoner. Vi måler d feilen ved b ( f(x) p(x) ) dx. Siden vi kvdrerer feilfunksjonen vil uttrykket under integrltegnet ldri bli negtivt så vi slipper unn tllverditegnet. Setter vi inn for p får vi ɛ 3 (c 0,..., c n ) = b ( f(x) (c0 + c x + + c n x n ) ) dx. Dette uttrykket kn vi derivere med hensyn på hver v de n + koeffisientene c 0,..., c n. Setter vi disse deriverte lik null får vi et lineært ligningssystem med n + lineære ligninger i de n + ukjente koeffisientene c 0, c,..., c n. Det er ikke så vnskelig å vise t dette ligningssystemet hr nøyktig en løsning og t denne løsningen gir det eneste minimumspunktet til ɛ Vlg v bsis er viktig, Bernstein-bsisen Så lngt i dette kpitlet hr vi sett flere eksempler på t det kn være fordelktig å ikke lltid skrive et polynom v grd n på stndrdformen c 0 + c x + + c n x n. Ved å bruke ndre former så vi t det ble mye enklere å finne både Tylor-polynomer og interpolerende polynomer. Ikke overskende hr de ulike måtene å skrive polynomer på ulik følsomhet for vrundingsfeil også. I denne seksjonen skl vi presentere en spesielt gunstig måte å skrive polynomer på, ikke minst med tnke på å gjøre vrundingsfeilen liten. Men hvorfor trenger vi å velge oss en måte å skrive polynomer på, kn vi ikke bruke den formen som til en hver tid er mest hendig? Hvis vi rbeider med ppir og blynt er det selvsgt riktig, d er det ingen som legger noen begrensninger på hvordn vi representerer polynomer. Arbeider vi på en dtmskin derimot blir det fort tungvint å bruke flere forskjellige polynomformer. Skl vi lgre et polynom er det mest nturlig å lgre koeffisientene i forhold til en eller nnen polynomform. Hvis vi d skl bruke ulike polynomformer må vi si fr hvilken polynomform som er brukt hver gng vi lgrer et

12 50 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER Figur 9.5. Wilkinson-polynomet w(x) (noe klipping i y-retningen). polynom og vi må h progrmvre for å oversette mellom de forskjellige formene. En ting er t det tr tid å skrive slik progrmvre, en nnen t hver gng vi gjør en slik konvertering gjør vi en vrundingsfeil som dermed ødelegger noe v nøyktigheten i vår representsjon. Det er derfor flere fordeler med å velge seg en fst representsjon når vi skl lge et progrmsystem Et problemtisk polynom Aller først trenger vil litt terminologi omkring ulike skrivemåter for polynomer. Når vi skriver polynomer på formen c 0 + c x + + c n x n så er polynomet dnnet ved lineære kombinsjoner v polynomene, x,..., x n. Disse enkle polynomene som vi bruker som byggeklosser klles bsis-polynomer og smlingen v lle disse bsis-polynomene klles potens-bsisen. Som vi hr sett fins det ndre måter å skrive polynomer på, og dette svrer til å bruke ndre bsiser. Skriver vi polynomer som c 0 +c (x )+ +c n (x ) n bruker vi den skiftede potensbsisen, x,..., (x ) n, mens bsisen {l i,n } n i=0 som vi brukte i forbindelse med interpolsjon klles Lgrnge-bsisen. Med tnke på vrundingsfeil er potensbsisen spesielt problemtisk, særlig når vi beveger oss lngt bort fr x = 0. Som et eksempel skl vi se på polynomet w(x) = 4 i=0 (x i) som ofte klles Wilkinson-polynomet 3, se figur 9.5. Hvis vi multipliserer ut prentesene Etter den frnske mtemtikeren Joseph-Louis Lgrnge (736 83). 3 Etter Jmes Wilkinson (99 986), engelsk mtemtiker. Wilkinson vr innvolvert i rbeidet med den første engelske dtmskinen ACE og vr en v pionerene innen nlyse v vrundingsfeil.

13 9.3. VALG AV BASIS ER VIKTIG, BERNSTEIN-BASISEN 5 og skriver polynomet på potensform finner vi t polynomet også kn skrives w(x) = x x x x x x x x x x x 4335 x x 3 05 x 4 + x 5. Hvis vi representerer koeffisientene som 64-bits flyttll forteller Mthemtic oss t w(3) = 64. Dette er selvsgt helt feil siden vi hr konstruert polynomet slik t det er 0 i lle heltllene mellom 0 og 4. Spørsmålet er hv som er årsken til problemet. Er det bre rutinene i Mthemtic for å beregne verdien v et polynom på potensform som er dårlige, er det potensformen som skper problemene eller er polynomet i seg selv så problemtisk t vi ikke kn forvente et mer nøyktig svr? Polynomet er helt klrt problemtisk i seg selv, men det viser seg t potensformen forsterker problemet. For å vise dette skl vi representere polynomet i en nnen bsis og se t om vi d regner ut w(3) så får vi et bedre resultt. Vår nye bsis er spesielt tilpsset et intervll [, b] og klles Bernstein-bsisen 4. Den er gitt ved b i,n (x) = ( n i ) (x b ) i ( b x ) n i, i = 0,,..., n. b Hvis vi setter [, b] = [0, ] forenkler høyresiden seg og bsisen blir b i,n (x) = ( ) n x i ( x) n i, i = 0,,..., n. i De ulike polynomene i Bernstein-bsisen v grd 4 på intervllet [0, ] er vist i figur 9.6. Når det er klrt fr smmenhengen hvilken grd vi bruker vil vi ofte utelte den ndre indeksen n i b i,n. Bernstein-bsisen på et generelt intervll [, b] frmkommer ved å flytte venstre ende til og så strekke eller krympe funksjonene til høyre ende fller i b. Plott v bsisen for et vilkårlig intervll ser derfor kkurt ut som plottene i figur 9.6 bortsett fr t tllene på x-ksen vil være nnerledes. Wilkinson-polynomet w(x) kn også skrives som w(x) = 5 i=0 c ib i,5 (x) for pssende koeffisienter (c i ). Gjør vi det og representerer koeffisientene som 64-bits flyttll kn vi regne ut w(3) i denne representsjonen. Resulttet vi d får er w(3) = Selv om dette også er glt er det lngt fr så glt som svret vi fikk med potensbsisen. Det viser seg t Bernstein-bsisen generelt oppfører seg bedre numerisk enn potensbsisen. Bernstein-bsisen hr også mnge ndre gode egenskper som gjør t den ofte brukes ved representsjon v polynomer på dtmskiner. Ikke minst er Bernstein-bsisen utgngspunktet for de såklte Bezier-kurvene. 4 Sergi Ntnovich Bernstein ( ) vr født i Ukrin, men rbeidet i Russlnd (Sovjetunionen)

14 5 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER b 0 b b 0 b b () (b) b 0 b 3 b 0 b b b b b b (c) (d) Figur 9.6. Polynomene i Bernsteinbsisen v grd (), (b), 3 (c) og 4 (d) Noen egenskper ved Bernstein-bsisen Når polynombsisen er bestemt er ll informsjon om et polynom gitt ved koeffisientene. Det burde derfor være mulig å lese polynomets oppførsel ut fr koeffisientene. For de fleste polynombsiser er dette ikke så enkelt, men den viktigste egenskpen til Bernsteinbsisen er t koeffisientene modellerer polynomet på en intuitiv og nturlig måte. Før vi ser hv dette innebærer må vi t for oss noen viktige egenskper ved Bernstein-bsisen. Disse egenskpene er stort sett gnske enkle å utlede, så vi overlter bevisene til oppgver. Lemm 9.3. Bernstein-bsisen hr blnt nnet følgende egenskper:. Alle polynomene i Bernstein-bsisen er lltid større enn eller lik null på intervllet [, b], b i,n (x) 0 for lle x [, b].. Polynomene i Bernsteinbsisen summerer seg opp til, n b i,n (x) =, for lle x R. i=0 3. Bsispolynomet b i,n (x) hr sitt mksimum på intervllet [, b] i punktet x i = + i(b )/n. 4. I x = er b 0,n () = mens lle de ndre bsispolynomene er 0. I x = b er b n,n (b) = mens lle de ndre bsispolynomene er 0.

15 9.3. VALG AV BASIS ER VIKTIG, BERNSTEIN-BASISEN Den deriverte v b i,n er gitt ved n b 0,n (x), når i = 0; b i,n(x) = n ( b i,n (x) b i,n (x) ), når i n ; n b n,n (x), når i = n. 6. Med u = (x )/(b ) så er u = (b x)/(b ) slik t ( ) n (x ) i ( b x ) ( ) n i n b i,n (x) = = u i ( u) n i. i b b i Egenskp 6 er svært nyttig ved progrmmering v polynomer på Bernstein-form i og med t polynomer på et generelt intervll kn omskrives til polynomer på intervllet [0, ]. Ved hjelp v denne trnsformsjonen kn vi også oversette egenskper som gjelder på intervllet [0, ] til det mer generelle intervllet [, b] Egenskper ved polynomer på Bernstein-form Fr egenskpene over kn vi nå utlede egenskper for polynomer uttrykt i Bernsteinbsisen. For enkelhets skyld gjør vi dette i det kubiske tilfellet (n = 3). For å forenkle terminologien skl vi heretter klle et polynom som er skrevet i Bernsteinbsisen et Bernstein-polynom. L p(x) = c 0 b 0 (x) + c b (x) + c b (x) + c 3 b 3 (x) være et kubisk Bernstein-polynom på intervllet [, b] = [0, ]. Hvis x ligger i intervllet [, b] så vet vi fr egenskpene og t de fire bsispolynomene er større enn eller lik null og summerer seg til. Dette betyr t p(x) er et veiet gjennomsnitt v de fire koeffisientene c 0,..., c 3. Siden et gjennomsnitt v en smling med tll lltid må være større enn det minste tllet og mindre enn det største tllet, gjelder det smme her tllet p(x) må ligge mellom min i c i og mx i c i (hvis lle fire c ene er like vil p(x) være lik denne felles verdien). Hvis vi tr en titt på figur 9.6 (c) så ser vi t når vi beveger oss fr x = 0 til x = så vrierer størrelsen på bsispolynomene. Spesielt så hr lle bsispolynomene et entydig mksimum i [, b], og fr egenskp 3 over vet vi t b i hr sitt mksimum i x = i/3. Dette betyr t koeffisienten c i bidrr mest til p(x) i x = i/3. Hvis vi skl tegne ut koffisienten c i bør vi derfor tegne den med x-koordint i/3, mens y-koordinten er c i. Punktet i plnet gitt ved (i/3, c i ) klles det i te kontrollpunktet til p slik t p til smmen hr de fire kontrollpunktene { (i/3, c i )} 3 i=0. Hvis vi forbinder kontrollpunktene med rette linjer får vi kontrollpolygonet til p. Dette er motivsjonen bk den generelle definisjonen v kontrollpunkter og kontrollpolygon. Definisjon 9.4. L Bernstein-polynomet p(x) = n i=0 c ib i,n (x), definert på intervllet [, b], være gitt. De n + punktene i plnet gitt ved c p i = ( ) + i(b )/n, c i for i = 0,,..., n, klles kontrollpunktene til p mens den brudne linj som frmkommer ved å forbinde kontrollpunktene med rette linjer klles kontrollpolygonet til p.

16 54 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figur 9.7. Åtte eksempler på kubiske Bernstein-polynomer med tilhørende kontrollpolygoner. Koeffisientene er (0,,, 0) i (), (, 0,, 0)i (b), (,,, ) i (c), (,,, ) i (d), (,,, ) i (e), (,,, ) i (f), (, /3, /, ) i (g) og (, /3, /3, ) i (h).

17 9.3. VALG AV BASIS ER VIKTIG, BERNSTEIN-BASISEN () (b) (c) (d) Figur 9.8. Eksempler på kvdrtiske Bernstein-polynomer med tilhørende kontrollpolygoner (() og (b)) og Bernstein-polynomer v grd 4 ((c) og (d)). Tolv eksempler på kubiske Bernstein-polynomer med tilhørende kontrollpunkter og kontrollpolygon er vist i figur 9.7 og 9.8. I lle tilfellene ser vi hvordn Bernsteinpolynomet er en utglttet versjon v sitt kontrollpolygon. Det smlede visuelle inntrykket v smmenhengen mellom funksjon og kontrollpolygon hr flere ingredienser. Lemm 9.5. Et Bernstein-polynom p(x) definert på intervllet [, b] hr blnt nnet følgende egenskper:. Verdien v polynomet i x = fller smmen med det første kontrollpunktet, og verdien v polynomet i x = b fller smmen med det siste kontrollpunktet.. Tngenten til polynomet i x = hr smme retning som linj fr det første til det ndre kontrollpunktet og tngenten i x = b hr smme retning som linj fr det nest siste til det siste kontrollpunktet. 3. Verdien v polynomet ligger lltid mellom verdien til minste og største koeffisient. Disse egenskpene følger direkte fr egenskper ved bsispolynomene b i,n. For eksempel så følger egenskp fr egenskp 4 i lemm 9.3 og egenskp 3 fr egenskp og i lemm 9.3, se oppgvene. Egenskp følger fr egenskp 5 i lemm 9.3, men dette krever litt regning så vi tr med denne utledningen her. Bevis for egenskp. L oss igjen holde oss til kubiske Bernstein-polynomer på in-

18 56 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER tervllet [0, ]. Den deriverte ser vi d er gitt ved p (x) = 3 c i b i,3(x) i=0 ( ( = 3 c 0 b 0, (x) + c b0, (x) b, (x) ) ( + c b, (x) b, (x) ) ) + c 3 b, (x) = 3(c c 0 )b 0, (x) + 3(c c )b, (x) + 3(c 3 c )b, (x). Med ndre ord ser vi t den deriverte er et kvdrtisk Bernstein-polynom med koeffisienter som er gitt ved differnsen mellom to nbokoeffisienter til det opprinnelige polynomet, multiplisert med 3. Spesielt så får vi t p (0) = 3(c c 0 ), p () = 3(c 3 c ), siden b 0, (x) = mens b, (0) = b, (0) = 0, og tilsvrende så er b, () = mens b 0, () = b, () = 0. Siden vi også hr p(0) = c 0 fr egenskp så vet vi dermed t tngenten til p i x = 0 hr ligningen h(x) = c 0 + 3(c c 0 )x. Vi hr dessuten h(/3) = c så tngenten går gjennom de to første kontrollpunktene til p og fller dermed smmen med det første segmentet v kontrollpolygonet. Vi hr skissert end en egenskp ved Bernstein-polynomer i figurene: vi ser t Bernsteinpolynomet i hvert tilfelle holder seg innenfor det grå området definert v kontrollpunktene. Før vi kn formulere dette mer presist må vi vite hvordn dette området frmkommer. Det grå området G er gitt ved den konvekse innhylningen til kontrollpunktene. Det t området er konvekst betyr t om to punkter ligger i G så vil også lle punktene på linjesegmentet som forbinder punktene ligge i G. Nå går det n å vise t den konvekse innhylningen til en smling punkter er den minste konvekse mengden som inneholder lle punktene i smlingen. Det grå området i figurene er dermed den minste mengden i plnet som inneholder lle kontrollpunktene til det ktuelle Bernstein-polynomet. Med denne bkgrunnen kn vi formulere den siste egenskpen. Lemm 9.6. L p = n i=0 c ib i,n (x) være et Bernstein-polynom. For enhver x i intervllet [, b] så ligger punktet ( x, p(x) ) i den konvekse innhylningen til kontrollpunktene til p. Beviset for dette vil det føre for lngt å t med her, men det hele bunner i t den konvekse innhylningen v en smling punkter kn tolkes som smlingen v lle veide gjennomsnitt v punkter i smlingen. Vi ser derved smmenhengen med Bernstein-polynomer som jo er et veiet gjennomsnitt v sine koeffisienter. Bernstein-polynomer hr en mengde ndre elegnte egenskper som vi ikke kn gå innpå her, men kjernen i de ller fleste v disse egenskpene er den nære smmenhengen mellom polynomet selv og dets kontrollpolygon. Det typiske er t en egenskp ved et Bernstein-polynom som regel kn krkteriseres ved en tilsvrende egenskp ved polynomets kontrollpolygon. Dette er særlig hendig ved beregninger siden vi istedenfor å gjøre beregninger direkte med polynomet d kn gjøre tilsvrende beregninger med kontrollpolygonet. Fordelen med dette er t kontrollpolygonet mtemtisk sett er enkelt siden det bre består v n rette linjesegmenter.

19 9.3. VALG AV BASIS ER VIKTIG, BERNSTEIN-BASISEN () (b) Figur 9.9. Smmenlenking v to kubiske Bernstein-polynomer i x =. I () er resulttet kontinuerlig i skjøten, men den deriverte er diskontinuerlig, mens i (b) er både funksjonsverdi og derivert kontinuerlige i skjøten Smmenlenking v Bernstein-polynomer De mnge fine egenskpene ved Bernstein-bsisen gjør t den ofte er å foretrekke når vi skl rbeide med polynomer på en dtmskin. Men hvor nvendelige er egentlige polynomer som pproksimsjonsredskp? For å lge en tilnærming som skl være nøyktig i nærheten v ett punkt fungerer Tylor-polynomer svært godt, men hv om vi skl tilnærme en komplisert funksjon over et lngt intervll? Vi så jo fktisk i seksjon 9.. t det ikke nødvendigvis er så lurt å interpolere i mnge punkter med et polynom v høy grd. Og selv om polynomer v lv grd egner seg godt for dtmskinberegninger, øker både kompleksiteten og vrundingsfeilen rskt når grden øker, selv om vi bruker Bernstein-bsisen. For å kunne pproksimere kompliserte funksjoner trenger vi mnge frie prmetre som kn justeres slik t tilnærmingen blir god. For polynomer er de frie prmetrene koeffisientene, og polynomer med mnge koeffisienter må derfor nødvendigvis h høy grd, noe som ltså ikke er så ttrktivt fr et beregningsteknisk synspunkt. Heldigvis fins det en nnen mulighet. Det er ikke bre ved å øke grden vi kn få tilgng på mnge koeffisienter, vi kn også få det til med lv grd om vi bruker mnge polynomer. Med en slik frmgngsmåte kn vi dele opp det totle definisjonsintervllet til funksjonen vi skl pproksimere i mindre delintervller og så bruke et polynom på hvert delintervl. Det eneste vi må psse på er t vi hekter polynombitene pent smmen i skjøtene. Figur 9.9 viser to eksempler på funksjoner som begge er smmenstt v to Bernsteinpolynomer. I begge tilfellene er polynomene lenket smmen i x =. Siden Bernsteinpolynomer interpolerer første og siste koeffisient er det lett å sikre t to smmenlenkede polynomer er kontinuerlige i skjøten. Dette vil være tilfelle om den siste koeffisienten i polynomet til venstre er lik den første koeffisienten i polynomet til høyre, slik som i figur 9.9. Når det smmenlenkede polynomet bre er kontinuerlig i en skjøt vil det som regel h en iøynefllende knekk, slik som i figuren. For å få en glttere overgng trenger vi t også den deriverte er kontinuerlig i skjøten. Vi vet t tngenten i det venstre endepunktet til et Bernstein-polynom fller smmen med det første linjesegmentet i kontrollpolygonet mens tngenten i det høyre endepunktet fller smmen med kontrollpolygonets siste linjesegment. Fr dette ser vi t både funksjonsverdi og derivert blir kontinuerlig i skjøten om det siste linjesegmentet i det første kontrollpolyognet ligger på smme rette linje som

20 58 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER 3 4 Figur 9.0. En funksjon med kontinuerlig derivert stt smmen v 4 Bernstein-polynomer. det første linjesegmentet i det ndre kontrollpolyognet, slik som i figur 9.9 (b). L oss oppsummere dette i en setning. Setning 9.7. L p(x) = n i=0 c ib i (x) være et Bernstein-polynom v grd n på intervllet [, b], l q(x) = n i=0 d ib i (x) være et Bernstein-polynom v smme grd på intervllet [b, c] og l f betegne den smmenstt funksjonen gitt ved f(x) = { p(x), q(x), for x [, b); for x [b, c]. D er f kontinuerlig i x = b hvis og bre hvis c n = d 0, mens f er kontinuerlig med kontiuerlig derivert i x = b hvis og bre hvis c n = d 0 og de tre kontrollpunktene (b h, c n ), (b, c n ) og (b + h, d ) ligger på en rett linje. Her er h = (b )/n og h = (c b)/n. Ved å lenke smmen Bernstein-polynomer får vi en svært fleksibel klsse v funksjoner med gode pproksimsjonsegenskper. Et enkelt eksempel er vist i figur 9.0. For å beregne tilnærmingene kn vi bruke interpolsjon eller minimering v et pssende feilmål, kkurt som for polynomer. I en del smmenhenger kn det være ønskelig t både den ndrederiverte og end høyere deriverte skl være kontinuerlige over skjøtene mellom polynombitene. Dette kn vi få til ved å legge pssende betingelser på koeffisientene, slik som i setning 9.7, men etterhvert blir disse betingelsene kompliserte å holde styr på. Det viser seg t det er mulig å konstruere enkle bsisfunksjoner bestående v ulike polynomsegmenter som hr denne kontinuiteten innebygd. Ved å multiplisere disse bsisfunksjonene med koffisienter og så ddere smmen kn vi dnne generelle stykkevise polynomer. Bygger vi stykkevise polynomer på denne måten klles de ofte splinefunksjoner 5. 5 Ordet spline brukes på engelsk om en bøyelig linjl som kn tvinges til å gå gjennom noen fste punkter.

21 9.3. VALG AV BASIS ER VIKTIG, BERNSTEIN-BASISEN Beregning v verdier på Bernstein-polynomer Vi hr så lngt ikke nevnt noen metode for å beregne verdien v et Bernstein-polynom. En mulighet er selvsgt å beregne verdien v hvert bsispolynom, multiplisere med koeffisientene og så summere. Det fins flere ndre (og bedre) metoder. Den mest brukte er bsert på å beregne en sekvens v veide gjennomsnitt mellom to og to tll og er svært motstndsdyktig overfor vrundingsfeil. En enklere metode er å omskrive Bernstein-polynomet til en slgs potensform, noe som i det kubiske tilfellet kn gjøres ved p(x) = c 0 ( x) 3 + 3c x( x) + 3c x ( x) + c 3 x 3 ( = ( x) 3 x ( x ) ( x ) ) 3 c 0 + 3c x + 3c + c3 x x = ( x) 3 (c 0 + 3c v + 3c v + v 3, der vi hr stt v = x/( x) og ntr t x. Istedenfor å sette ( x) 3 utenfor som fktor kn vi sette x 3 utenfor og få et polynom på potensform i w = ( x)/x, p(x) = x 3 (c 0 w 3 + 3c w + 3c w + c 3 ). Potensbsisen gir større vrundingsfeil jo lenger bort fr x = 0 vi kommer. Fr et beregningssynspunkt er det derfor best å bruke det første lterntivet når x [0, /] og det ndre når x [/, ]. Ordner vi oss på denne måten vil vi lltid h v eller w, og på intervllet [0, ] oppfører potensbsisen seg rimelig pent med tnke på vrundingsfeil. For generell grd får vi t p(x) kn skrives på de to ekvivlente måtene n ( ) n p(x) = ( x) n c i v i = x n n i=0 ( n i i (9.) )c n i w i der v = x/( x) og w = ( x)/x som før (den første formelen gjelder ikke når x = og den siste ikke når x = 0). På denne måten hr vi dermed redusert det å beregne en funksjonsverdi for et Bernstein-polynom til det å beregne en verdi for et polynom skrevet på potensform. Hvis vi rbeider på et generelt intervll [, b] husker vi fr egenskp 6 i lemm 9.3 t det er lurt å sette u = (x )/(b ). D er også u = (b x)/(b ) slik t b i,n (x) = ( n i ) (x b i=0 ) i ( b x b ) n i = ( n i ) u i ( u) n i. Dermed kn vi beregne verdier på Bernstein-polynomer på et vilkårlig intervll [, b] dersom vi kn gjøre slike beregninger på intervllet [0, ]. Vi er nå nesten klr til å gi en lgoritme for å beregne p(x), det eneste som mngler er beregning v binomilkoeffisientene. Ved å sette inn definisjonen v ( n i ) er det ikke så vnskelig å se t relsjonen (n ) i = n i + ( ) n i i

22 60 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER holder for i =,..., n. Når vi dessuten vet t ( n 0) = gir dette oss en grei lgoritme for å beregne binomilkoeffisientene. Dermed hr vi lle ingrediensene for å beregne verdien v et Bernstein-polynom. Algoritme 9.8. L Bernstein-polynomet p(x) = n i=0 c ib i,n (x) på intervllet [, b] være gitt. Etter t koden under er utført vil vribelen r inneholde verdien p(x). binom = ; d[0] = c[0]; for (i=; i<n+; i++) { binom = binom*(n-i+)/i; d[i] = c[i]*binom; } u = (x-)/(b-); if (u < ) { v = u/(-u); r = d[n]; for (i=n-; i>=0; i--) { r = d[i] + v*r; } r = Mth.pow(-u,n)*r; } else { w = (-u)/u; r = d[0]; for (i=; i<=n; i++) { r = d[i] + w*r; } r = Mth.pow(u,n)*r; } I den første delen v lgoritmen multipliserer vi koeffisientene med binomilkoeffisienter og lgrer resulttet i en ny rry d. Mtemtisk svrer dette til å utføre d i = ( n i) ci for i = 0,..., n. Legg merke til t dette kn gjøres på smme måte unsett hvilken v de to formlene i (9.) vi bruker siden en linje i Pscls treknt er symmetrisk om midten (mer presist så hr vi ( ) ( n i = n n i) ). Med tilordningen u = (b x)/(b ) trnsformerer vi oss fr intervllet [, b] til intervllet [0, ]. Den nye vribelen er dermed u, og vhengig v hvilken hlvdel v [0, ] denne ligger i velger vi den vrinten i (9.) som gjør t den endelige vribelen (v eller

23 9.4. PARAMETRISKE KURVER 6 t Π 3 t Π () t 5 Π 3 (b) Figur 9.. De to prmetriske kurvene r(t) = (cos t, sin t) (i ()) og r(t) = ( cos t, sin t) (i (b). w) ligger i intervllet [0, ]. Hvis u < setter vi derfor v = u/( u) og beregner p(x) som p(x) = ( u) n n i=0 d iu i, hvis u bruker vi p(x) = u n n i=0 d n iw n. 9.4 Prmetriske kurver En grunnleggende egenskp ved funksjonsbegrepet er t til hver verdi v rgumentet så svrer det nøyktig en funksjonsverdi. Geometrisk betyr dette t en vertikl linje ikke kn skjære grfen til funksjonen mer enn en gng. Ved hjelp v prmetriske kurver kn vi representere mer generelle, en-dimensjonle, geometriske former Definisjon v prmetriske kurver Fr skolemtemtikken vet vi t ligningen for en sirkel med rdius er gitt ved x +y =. Hvis vi løser denne med hensyn på y er vi vnt til å skrive y = ± x. Dette siste uttrykket gir ikke y som én funksjon v x, men som to funksjoner v x, en verdi på den øvre hlvsirkelen og en på den nedre. Det er ltså umulig å representere hele sirkelen ved hjelp v en funksjon. Ved hjelp v prmetriske representsjoner kommer vi unn denne begrensningen. En prmetrisk representsjon v sirkelen er gitt ved uttrykket r(t) = (cos t, sin t), t [0, π]. Vi ser t som funksjoner v en vribel så trenger r et rgument som er et reelt tll, men forskjellen er t r for hver slik t i definisjonsområdet [0, π] produserer to reelle tll. Disse kn vi tenke på som et punkt i plnet (eller ekvivlent, som en vektor i plnet), og vi ngir dette ved å skrive r : [0, π] R. Legg merke til t om vi setter x = cos t og y = sin t så kommer vi tilbke til den vnlige sirkelligningen vi en velkjent identitet for trigonometriske funksjoner, x + y = cos t + sin t =. Et plott v r er vist i figur 9. () med verdien v t ngitt for noen typiske punkter, og figur 9. (b) viser den relterte prmetriske representsjonen r(t) = ( cos t, sin t).

24 6 KAPITTEL 9. APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER Hvis vi nå setter x = cos t og y = sin t så ser vi t x 4 + y = cos t + sin t = som vi kjenner igjen som en typisk ellipseligning. Noen flere eksempler på prmetriske representsjoner er gitt i figur 9.. Legg spesielt merke til t den prmetriske representsjonen r(t) = + t(b ) gir den rette linj gjennom de to punktene i plnet gitt ved og b. Med funksjoner hr vi problemer med å representere vertikle linjer, men på prmetrisk form skiller slike linjer seg ikke ut. Hvis og b hr smme x-koordint får vi en vertikl linje uten problemer, se (b). I (c) ser vi t funksjoner kn representeres som prmetriske kurver. I (d) hr vi rotert kurven i (c) slik t den hvner lngs y-ksen i steden, noe som selvsgt er umulig med funksjoner. Funksjonene i (e) (h) hr det til felles t de lle er på formen r(t) = h(t)(cos t, sin t) for ulike vlg v funksjonen h. Siden (cos t, sin t) gir enhetssirkelen så ser vi t lle kurvene oppstår ved å trykke smmen eller trekke ut sirkelen på ulike måter. Ut fr disse innledende eksemplene kn vi sette opp en generell definisjon v prmetriske representsjoner. Definisjon 9.9. En pln, prmetrisk representsjon eller prmetrisk kurve definert på intervllet [, b], er et uttrykk på formen r(t) = ( f(t), g(t) ) der f og g er to funksjoner definert på intervllet [, b]. En viktig observsjon er t ulike prmetriske representsjoner kn gi opphv til smme geometriske bilde. For eksempel kn vi også få frm sirkelen ved representsjonen r(t) = (cos πt, sin πt), men nå holder det om t vrierer i intervllet [0, ]. En litt mer overskende sirkelrepresentsjon er gitt ved ( ) t r(t) =,, t R, + t + t men merk t denne bre gir hlve sirkelen. Generelt er det lltid mnge prmetriske representsjoner som gir det smme, geometriske bildet, og i mer formelle frmstillinger er en prmetrisk kurve definert som smlingen v lle prmetriske representsjoner som gir opphv til det smme geometriske bildet. Vi skl ikke være så formelle og vil bruke begrepene om hverndre. Vi skl holde oss til prmetriske kurver i plnet, men de kn enkelt generliseres til høyere dimensjoner ved å legge til flere komponenter. For eksempel representerer den prmetriske representsjonen r(t) = (cos t, sin t, t) en spirl i rommet som hever seg over xy-plnet. Dette ser vi siden de to første koordintene gir en sirkel i xy-plnet, mens z-komponenten vokser med t slik t vi beveger oss oppover i rommet når t øker. Ved å legge på flere komponenter får vi prmetriske representsjoner som kn representere kurver med så mnge romdimensjoner som vi måtte trenge. Prmetriske kurver hr en fysisk tolkning som ofte kn være nyttig. Representsjonen r definert på intervllet [, b] gir et geometrisk bilde som vi kn tenke på som en måte å kjøre bil fr r() til r(b) lngs veien definert v r. Uttrykket r(t) gir dermed posisjonen lngs veien ved tidspunkt t. Ulike prmetriske representsjoner svrer d til