MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012.

Transkript

1 Stavanger, 25. januar 202 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet MIK 200 Anvendt signalbehandling, 202. Lab. 6, CIC-filter. Dette er første del av øvinger om CIC-filter. Andre del kommer i øving 7. Før dere svarer på oppgavene bør dere gå gjennom del 2 her, der er noe teori om CIC-filter. Det kan også være nyttig å se på noe mer teori om CIC-filteret, dokumentet Xilinx SG CIC-filter (20 sider), det er også tilgjengelig fra It s learning. Dette kan gjerne leses parallelt med del 2 siden disse delene tildels utfyller hverandre. Jeg prøver i del 2 her å forklare CIC-filter på en enkel måte, mens dokumentet Xilinx SG CIC-filter (20 sider) gir en mer fullstendig forklaring, spesielt bra med dokumentet fra Xilinx om CIC-filter er de mange figurene med frekvensresponser, ellers er det nok litt vanskelig for dere å forstå alle detaljene i dette dokumentet. MER HER. Siste side i oppgaven her er et skjema for egenevaluering av arbeidet. Den siste sida her skal være første side i deres innlevering. Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 Selve oppgaven.. I del 2 her er det detaljert vist hvordan struktur a) kan implementeres som CIC-filter, struktur h). Nå skal dere gjøre tilsvarende utledning for struktur d) og vise hvordan den kan implementeres som CIC-filter. 2. For å nyttiggjøre seg anti-aliasing-filteret som er på P60 kortet må en sample med f s =50 MHz. I System Generator (SG) skal en da sette SSP=/2. Har en et lydsignal inn er informasjonen i området 0-20 khz, og en klarer seg altså bra med en samplerate på 50 khz, høykvalitetsmusikk (CD) er samplet med frekvens 44. khz. Følgelig kan vi her trygt nedsample inngangssignalet, hvis vi antar det er lyd, med en faktor på 000. I figur 4 er frekvensresponsen for et boxcar-filter med lengde N=000, skaler filteret med for å få enhets forsterkning for DC. Samplingsraten er f s = 50 MHz. I figuren viser frekvensområdet opp til 250 khz i N desibelskala. (a) Lag en ny figur med frekvensresponsen for samme filter. Vis her kun frekvensene 0-50 khz i steg på 250 Hz og bruk lineær skala. I figur 5 er frekvensresponsen for to boxcar-filter i sekvens, hvert med lengde N=000 og skalert med for å få enhets forsterkning for DC. N Samplingsraten er fortsatt f s = 50 MHz. I figuren viser frekvensområdet opp til 250 khz i desibelskala. (b) Lag en ny figur med frekvensresponsen for samme filter. Vis her kun frekvensene 0-50 khz i steg på 250 Hz og bruk lineær skala. I figur 6 er frekvensresponsen for tre boxcar-filter i sekvens, hvert med lengde N=000 og skalert med for å få enhets forsterkning for DC. N Samplingsraten er fortsatt f s = 50 MHz. I figuren viser frekvensområdet opp til 250 khz i desibelskala. (c) Lag en ny figur med frekvensresponsen for samme filter. Vis her kun frekvensene 0-50 khz i steg på 250 Hz og bruk lineær skala. En nedsampler resultatet etter filtrene i de tre foregående punkt med en faktor på 000. (d) Hva blir da samlingsrate etter nedsampling? (e) Hva blir Nyquist-frekvensen etter nedsampling? (f) Hvilken frekvens speiles frekvensspekeret omkring? 2

3 MIK200 lab6 (lab06a) PUSH_SW Bool Out not Bool In Out Reset FinnMax In Out Reset V V2 Trykknapp for nullstilling av FinnMax Inverter FinnMax V3 0 V4 SSP = /2 Constant LCD Controller System Generator Digital ADC LC 2 0 Scale Fix_22_22 cast Convert In DAC LC a b a + b AddSub Fix_22_2 000 z Fix_22_2 Fix_22_2 z Integrator: /( z ) Delay Down Sample a Fix_22_2 a b b z Fix_22_2 AddSub Differanseblokk Figur : lab06a for oppgave 3. Merk at for å unngå overflyt i første summeringsblokk så er formatet den skal ha på utgangen satt fast, og at det her skal være wrap når det blir overflyt. Det er også satt fast format på utgang av andre summeringsblokk. En kan på denne måten betrakte summeringsblokka som om en convertblokk er med på utgangen. In 2 Reset Bool FinnMax, Reset sender inngang til utgang uansett, ellers sendes max av inngang og utgang til utgang a a>b b z 0 Bool or z 0 Bool sel d0 z Out d Figur 2: Systemet FinnMax. 3

4 3. En har her et system som skissert nedenfor, N = 000. Merk at SC boksen representerer både en skalering og en cast. AD boxcarn N SC DA (a) Implementer systemet. Bruk den effektive CIC-filter implementasjonen, og kall systemet lab06a. Et eksempel for hvordan det kan gjøres viser i figur. Dere gjør det på deres måte. (b) Generer og kjør bitfil på FPGA. (c) Mål amplituderesponsen og fyll ut i en tabell som i figur 3. En kan måle på skopet, eller en kan bruke LED-displayet på FPGA utviklingskortet, husk trykknapp for å nullstille før hver avlesing. Uansett kan det være greitt å normalisere slik at responsen ved 0.25 khz settes til en. For eksempel hvis en leser hextallene 4CCC for 0.25 khz og 4BB3 for 4 khz kan en i Matlab finne verdien som skal inn i ei rute i tabellen med: v = hex2dec( 4bb3 )/hex2dec( 4ccc ) (d) Sammenlign med teorien, det vil si figuren dere lagtet i spørsmål 2.a. (e) Se også på amplituderesponsen for noen frekvenser over 50 khz. (f) Forklar hvorfor at en ikke trenger noen oppsampler på utgangen. 4. En har her et system som skissert nedenfor, N = 000. AD boxcarn boxcarn N SC DA (a) Implementer systemet. Bruk den effektive CIC-filter implementasjonen, og kall systemet lab06b. (b) Generer og kjør bitfil på FPGA. (c) Mål amplituderesponsen på skopet og fyll ut i en tabell som i figur 3. (d) Sammenlign med teorien, det vil si figuren dere laget i spørsmål 2.b. (e) Se også på amplituderesponsen for noen frekvenser over 50 khz. (f) Se på fryst bilde på scopet for noen av frekvensene. 5. En har her et system som skissert nedenfor, N = 000. AD boxcarn N SC N boxcarn SC DA 4

5 Amplitude på utgangen når inngang er sinus med passend amplitude, f.eks. 000 mv (peak-to-peak). khz lab06a lab06b lab06c lab06d Figur 3: Tabell som skal fylles ut for spørsmål 3-6. Her er første linje i figuren en desimator der et boxcar-filter utgjør antialiasing-filteret, etter første linje er da signalet med samplingsrate på 50 khz og en har redusert aliasing noe. Andre linje i figuren er interpolatoren med et boxcar-filter som glattefilter, hvis en lar oppsampleren holde utgangsverdien (noe en bør gjøre) så har en effekt av to boxcar-filter som glattefilter. Et boxcar-filter som glattefilter gir trappetrinnkurve ut, to boxcar-filter som glattefilter gir lineær interpolasjon mellom punkta ut. (a) Implementer systemet. Bruk den effektive CIC-filter implementasjonen, og kall systemet lab06c. (b) Generer og kjør bitfil på FPGA. (c) Mål amplituderesponsen på skopet og fyll ut i en tabell som i figur 3. (d) Sammenlign med teorien, det vil si figuren dere lagtet i spørsmål 2.a. (e) Se også på amplituderesponsen for noen frekvenser over 50 khz. (f) Se på fryst bilde på scopet for noen av frekvensene. 6. En har her et system som skissert nedenfor, N = 000. AD boxcarn boxcarn N SC N boxcarn boxcarn SC DA Her er første linje i figuren en desimator der to boxcar-filter utgjør antialiasing-filteret, etter første linje er da signalet med samplingsrate på 50 khz og en har redusert aliasing en god del mer enn i forrige punkt. Andre linje i figuren er interpolatoren med to boxcar-filter som glattefilter, hvis en lar oppsampleren holde utgangsverdien (noe en bør gjøre) så har en effekt av tre boxcar-filter som glattefilter. Tre boxcar-filter som glattefilter gir kvadratisk interpolasjon, det vil si glattere (rundere) enn rette linjer mellom punkta ut, se effekten på skopet. 5

6 0 Frekvensresponsen for et boxcar filter med lengde Amplitudeforsterkning i desibel Frekvens i khz, samplingsrate er f s = 50 MHz. Figur 4: Frekvensrespons, eksempel til oppgave 2.a. (a) Implementer systemet. Bruk den effektive CIC-filter implementasjonen, og kall systemet lab06d. (b) Generer og kjør bitfil på FPGA. (c) Mål amplituderesponsen på skopet og fyll ut i en tabell som i figur 3. (d) Sammenlign med teorien, det vil si figuren dere lagtet i spørsmål 2.a. (e) Se også på amplituderesponsen for noen frekvenser over 50 khz. (f) Se på fryst bilde på scopet for noen av frekvensene. 6

7 0 Frekvensresponsen for 2 boxcar filter hvert med lengde Amplitudeforsterkning i desibel Frekvens i khz, samplingsrate er f s = 50 MHz. Figur 5: Frekvensrespons, eksempel til oppgave 2.b. 0 Frekvensresponsen for 3 boxcar filter hvert med lengde Amplitudeforsterkning i desibel Frekvens i khz, samplingsrate er f s = 50 MHz. Figur 6: Frekvensrespons, eksempel til oppgave 2.c. 7

8 2 Litt teori om CIC-filter Et Cascaded Integrator-Comb (CIC) filter er en effektiv implementering av et, eller flere i sekvens, boxcar-filter og en oppsamler eller nedsampler. Boxcarfilter er på høy-rate siden av oppsampler eller nedsampler. Altså implemeteres følgende strukturer a) boxcarn N b) boxcarn boxcarn N c) boxcarn boxcarn N d) N boxcarn e) N boxcarn boxcarn f) N boxcarn boxcarn Fra øving 4 husker dere gjerne at struktur d, N boxcarn, kan implementeres svært enkelt med Xilinx si oppsamplerblokk. La oss se litt mer på boxcar-filteret, her uten skalering. Transferfunksjonen er H(z) = ( + z + z z () ) = z k. () Vi skal nå trekke forsinkelsefaktoren z () ut fra H(z). Da får en et polynom i z, i stedet for z. Fordelen med polynom i z er at de kan greitt implementeres ved å gjøre de om til differanselingninger (til tidsdomentet), et forsinkelsesledd kan implemeteres enkelt fysisk mens et neste sample -ledd ikke kan implementeres (i sanntid). Fordelen med polynom i z er at disse er greiere å regne på, for eksempel faktorisere. Vi får H(z) = z () (z + z N z + ) = z () z k. (2) Vi ser videre på summen fra ligning 2 og multipliserer denne med (z ) (z ) z k = z z k z k = N z k k= z k = z N. (3) 8

9 Altså får vi formelen for sum av ei endelig geometrisk rekke z k = zn z. (4) Når vi setter resultatet fra ligning 4 inn i ligning 2 får vi H(z) = z () zn z = z z () z = z N. (5) z En liten digresjon, nå kan vi enkelt faktorisere H(z) i ligning og 2. Fra algebraen om polynomer har vi at ploynomet (z N ) har røtter jevnt fordelt på enhetssirkelen. Dere kan lett kontrollere at dette er riktig, selv om jeg ikke tar noe formelt bevis her men bare skriver resultatet. z N = (z wn), k der w N = e j2π/n. (6) Ved å sette dette inn i ligning 5, og husker at (z wn 0 ) = (z ), får vi H(z) = z () (z w k z N) = z () (z wn) k (7) k= H(z) = ( wnz k ) (8) k= Med dette er digresjonen slutt og vi forstsetter i retning mot CIC-filteret. Siden filteret i ligning og 2 alternativt kan skrives som i ligning 5 så kan boxcar-filteret implementeres som boxcarn z z N Det er altså en integrator etterfulgt av et filter som tar nåværende sample og trekker fra samplet for N tidsteg siden. En rett fram implementering av boxcar-filteret, som vi gjorde i øving 2 og øving 4 krever (N ) forsinkelser og like mange addisjoner. Implementeringen på høyre side over trenger kun 2 addisjonsblokker men en forsinkelse mer, altså N forsinkelser. Det er likevel tilsynelatende et problem, resultatet av integratoren kan vokse til uendelig og gi overflyt samme hvor mange bit en bruker. Imidlertid er det slik at når resultatet ut fra integratoren brukes for å ta differansen mellom to sampler med en gitt avstand seg imellom så kan en med en 2-er komplement representasjon av Vi kunne selvsagt brukt denne formelen direkte. Utledning her er enkel og gjelder for alle z unntatt z =. 9

10 tallene likevel ha et begrenset antall bit og få riktige resultater for differansen selv om en har overflyt etter integratoren. Se gjerne på oppgave 2 i lab.. Antall bit en trenger er log 2 N + B, der B er antall bit inn. Et resultat som vi trenger videre er polyfaseidentitene, de kalles ofte de noble identitetene. Disse gjelder for et hvilket som helst filter H(z), ikke bare for boxcar-filter. P: H(z) N N H(z N ) P2: N H(z) H(z N ) N La oss nå se på implementering av struktur a). Denne implementeringen kalles Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filter eller Hogenauer filter. a) boxcarn N som blir lik g) z z N N og videre h) z N z I g) er boxcar-filteret implementert ut fra ligning 5. Her ser vi at filteret H (z) = z N kan skrives som H 2 (z N ) der H 2 (z) = z. Med å bruke polyfaseidentiteten P2 kan vi da gå fra g) til h). Strukturen i a) kan altså implementeres som strukturen i h). Denne strukturen kalles CIC-filter og implementeres med en forsinkelse og en addisjon (integrator), en nedsampler og så en forsinkelse og en addisjon (differansen), totalt kun to forsinkelser og to addisjoner i tillegg til nedsampleren. Legg også merke til at kompleksiteten ikke øker selv om N øker, unntatt at en kanskje trenger flere bit for å representere resultatet. En variant kan en oppnå ved å nedsample med D = N/2 i stedet for N, dette forutsetter at lengden av boxcar-filteret N er et partall. Da får en Når N = 2D er a) boxcarn D ekvivalent med i) z D z 2 0

11 Generelt har vi at Når N = MD er a) boxcarn D ekvivalent med j) z D z M Videre kan vi se på strukturen i b) og får da på samme måte b) boxcarn boxcarn N ( som kan skrives boxcarn ) 2 N j) z z N z z N N k) z z N z z ( k) ) 2 ( z N z ) 2 En kan merke seg at rekkefølgen for filter i kaskade (etter hverandre) ikke betyr noe for det endelige resultatet. Men merk at en ikke kan flytte noen filter over på andre siden av en oppsampler eller nedsampler, hvis en skal gjøre det nå en bruke polyfaseidentitetene P og P2. På tilsvarende måte som over kan alle strukturene a) til f) på side implementeres, og en kan også om en vil nedsample (eller oppsample) med D = N/2 og få tilsvarende implementering. Antall bit en trenger for representasjon av mellomliggende tall vil øke når en gjentar boxcar-filteret flere ganger, har en filteret totalt K ganger og B er antall bit inn trenger en B max bit, der 2 B max = K log 2 N + B. (9) 2 Ut fra ligning 7 i dokumentet fra Xilinx om CIC-filter står det et bit mindre, men ut fra erfaring ser det ut som formelen i ligning 9 er riktig.

12 MIK 200 Anvendt signalbehandling. Lab. 6, CIC-filter. Student Student 2 Resultat: (fylles ut av faglærer) godkjent / ikke godkjent Egenvurdering: Mål for læringsutbytte er: Forstå teorien som er presentert som bakgrunn for oppgaven. Bruke og forstå de relevante Matlab-kommandoer. Lage, laste ned, kjøre og teste de systemene som skal lages i oppgaven. Dere skal også selv vurdere resultatet av det arbeidet dere har gjort i denne øvinga, ved selv å gi karakter på deres besvarelse. Karakterskala er den vanlige fra A (best) til E (dårligst) og F (stryk). Egenvurderingstabell Student Student 2 Læringsutbytte for teoridel, spørsmål. Læringsutbytte for Matlab-del, spørsmål 2. Læringsutbytte for FPGA-del, spørsmål 3-6. Resultat teoridel, spørsmål. Resultat Matlab-del, spørsmål 2. Resultat FPGA-del, spørsmål 3-4. Resultat FPGA-del, spørsmål 5-6. Kommentarer: