Systemer av differensialligninger

Transkript

1 Kapil 3 Sysmr av diffrnsialligningr I d kapil skal vi bruk d vi har lær om linær algbra il å sudr sysmr av diffrnsialligningr Vkorfunksjonr gnr dn r linjn uspn av vkorn i R En vkorfunksjon r n funksjon y : R R n, y () y () y(), y n () dr all komponnn r funksjonr fra R il R D r vanlig å nk på n vkorfunksjon som n kurv i R n ; n ban som n parikkl bvgr sg langs når idn økr Du oppfordrs il å skissér ksmpln ndnfor Eksmpl 3 Vkorfunksjonn cos y() sin gnr nhssirkln undlig mang gangr i R Dn fysisk olkningn r n parikkl som bvgr sg rund origo langs nhssirkln i d undlig Eksmpl 3 Vkorfunksjonn y() cos sin gnr n spiralfjær langs z aksn Dn r undlig lang Eksmpl 33 Vkorfunksjonn f() r konsan lik Dn fysisk olkningn hr r a n parikkl i ikk bvgr sg når idn økr Eksmpl 34 Vkorfunksjonn y() Eksmpl 35 Vkorfunksjonn y() gnr dn dln av linjn i forrig ksmpl som liggr i førs kvadran Forskjlln r a ar på sg vrdir i (, ) mns går fra il + For å kunn bruk språk vi har lær i løp av smsr språk som r linær algbra må vi jobb md vkorrom Husk a R n funksjonr fra rll all il rll all r vkorrom En vkorfunksjon r jo bar n kombinasjon av diss Drfor kan vi dfinr vkorrom md addisjon y () x () y () + x () y () x () y () + x () y() + x() y n () + x n () skalarmuliplikasjon y () cy () y () cf() c cy () y n () cy n () Oppsummring: Vkorfunksjonr ugjør vkorrom y n () + x n (), Mrk I praksis fungrr addisjon skalarmuliplikasjon som i R n, mn nå r d n variabl i hvr komponn Eksmpl 36 cos cos + cos + + sin sin sin + sin Eksmpl 37 Man kan ksmplvis skriv cos sin

2 i sd for cos sin Dfinisjon Vi dfinrr dn drivr av y som y () y y () () y n() Eksmpl 38 ( ) cos (cos ) sin Sysmr av diffrnsialligningr I d kapil skal a a a n a a a n A a n a n a nn allid vær n rll maris D blir mr nn komplisr nok E førsordns linær homn sysm av diffrnsialligningr md konsan koffisinr r s md n ligningr n ukjn y () a y () + a y () + + a n y n () y () a y () + a y () + + a n y n () y n() a n y () + a n y () + + a nn y n () D kan alrnaiv skrivs y () a a a n y () y () a a a n y () y n() a n a n a nn y n () På korform skrivr vi nkl gri Du huskr kanskj a dn førs har løsning y () c hvor c r n konsan; dn andr har løsning c c hvor c r n konsan Drfor løsr i all fall c sysm for all valg av c c Hvordan kan vi sjkk d? S inn, sjkk a vnsr sid r lik høyr sid: c c c c c Vi kan så sjkk om vkorfunksjonr ikk løsr sysm på dnn mån Eksmplvis løsr ikk sysm fordi ( ) Sidn marismuliplikasjon drivasjon r linær oprasjonr får vi rsula som of kalls suprposisjonsprinsipp av fysikr ingniørr Torm 3 (suprposisjonsprinsipp) Løsningn il y Ay ugjør vkorrom D vil si a drsom y y r løsningr av sysm, så r c y y n løsning for all rll all c c Bvis Vi visr a løsningn ugjør undrrom av all vkorfunksjonr La y y vær o løsningr Ønsk r a n vilkårlig linærkombinasjon c y + c y r n løsning igjn: (c y y ) c y y drivasjon r linær c Ay Ay y y r løsningr A(c y y ) marismul r linær y Ay Dn lang iln forkors il sysm Vi kan allrd rgn på nkl ksmpl Eksmpl 39 La A, md ilhørnd sysm y () y () A y () y () D r jo bar o diffrnsialligningr á la mamaikk : y () y () y () Eksmpl 3 I forrig ksmpl så vi på d ilhørnd sysm il A c Vi fan mang løsningr: hvor c c c r valgfri rll all Torm 3 forllr oss a dnn informasjonn r lagr i d fakum a vkorfunksjonn løsr sysm, fordi c c c

3 Eksmpl 3 S på sysm assosir md marisn Jg v hvordan man løsr d sysm, mn du v ikk d nda Drfor gir jg dg o løsningr: 3 Du kan sjkk a diss fakisk løsr sysm: ( 3 ) 3 3 3, ilsvarnd for Torm 3 gir auomaisk undlig mang løsningr: c 3 Vi skal s a d fakisk r all løsningn il sysm Mrk Løsningn i ksmpln ovnfor r på formn v λ dr v r n gnvkor il A md ilhørnd gnvrdi λ D r ikk ilfldig! å finn dn nydig løsningn c c En løsning på iniialvrdiproblm r y() 3 + Vi skal s a dnn løsningn r nydig/unik Før ns orm skal vi nk li på n fysisk olkning av iniialvrdiproblmr Du oppfordrs il å allid ha R i bakhod når du lsr R n Vi v a n n n maris avbildr vkorr i R n il vkorr i R n, T (x) Ax Dnn informasjonn kan innbyggs i R n vd å nk på A som vkorfl no du har lær om i mamaikk : Ehvr punk x ilordns piln Ax md sarpunk i x x Ax Vi nkr på Ax som n pil md x som sarpunk Eksmpl 34 Hr r n skiss av vkorfl assosir il sysm md A Dfinisjon E iniialvrdiproblm r sysm sammn md krav y( ) y hvor r spsifik rl all y r n fiksr vkor i R n Dn fysisk olkningn r a n parikkl som bvgr sg i hnhold il y() bfinnr sg i y når Eksmpl 33 Lgg il krav y() il sysm md A D r kjn fra forrig ksmpl a vkorfunksjonr på formn y() c 3 løsr sysm Vi søkr n løsning på iniialvrdiproblm blan diss Kombinr urgningn y() c 3 c c c md krav y() for å få marisligningn c c Dnn bsmmr konsann Du r god på å løs slik ligningr på d idspunk Radrdusr for Aksn av f yp r linjn uspn av gnvkorn som svarr il gnvrdin 3 Lgg mrk il hvordan piln bvgr sg mo undlig langs som svarr il posiiv gnvrdi; mo origo langs som svarr il ngaiv gnvrdi D r ikk mningn a du skal skjønn daljn hr, ksmpl r førs frms n illusrasjon Vi skal s hvordan al d hngr sammn snr i kapil Hvordan hjlpr vkorfl oss md å forså løsningn il sysmr? En løsning y av y Ay r n kurv som ilfrdsillr a dn drivr i idspunk r gi som y ( ) Ay( ) Dn drivr r md andr ord piln i y( ) fra vkorfl assosir md A 3

4 y y( ) Ay( ) Piln Ay( ) r dn drivr il y i Drfor angrr piln løsningskurvn Eksmpl 35 La oss gn løsningn y() 3 + i figurn fra forrig ksmpl: Eksmpl 38 Vi så a løsningr av y y Er d linær uavhngig? D vil si, har c 3 3 r kun rivill løsning? Vi rgnr li for å svar på spørsmål Førs komponn i dnn vkorligningn gir c 3 Fly-by gir c 3 c Muliplisr md for å få c 4 c S hvor fin dn følgr flyn fra piln Fra ksmpl ovnfor sr vi klar a n løsning som r n kurv i R n må følg piln i vkorfl Rn fysisk kan vi nk på n parikkl som sarr i punk y når for så å bvg sg langs for ksmpl kraffl Basr på d virkr d ikk urimlig a d allid finns n nydig løsning på iniialvrdiproblm D moivrr ns rsula D formll bvis hørr drimo hllr hjmm i kalkulus Torm 36 (Eksisns nydigh) E iniialvrdiproblm y Ay, y( ) y har n nydig/unik løsning Iniialvrdin bor i R n, løsningn bsmms nydig av diss Drfor kan vi slå fas a dimnsjonn på løsningsromm il y Ay r lik n: Løsningskurvn r dfinr for all valg av, så d holdr for ksmpl å s på D byr bar a n løsningskurv r nydig bsm av hvilk punk dn går gjnnom når, for ksmpl, Vi skrivr nd dnn obsrvasjonn som orm Torm 37 Løsningsromm il y Ay r n dimnsjonal Mrk Linær algbra forllr oss a d holdr å finn n linær uavhngig løsningr av y Ay, all andr løsningr vil vær n linærkombinasjon av diss Sikkord hr r basis: n linær uavhngig vkorr i n dimnsjonal vkorrom r auomaisk n basis Mn c 4 r sls ikk n konsan funksjon hvis c, så c må vær null Alså må c så vær null Svar r ja, vkorfunksjonn r linær uavhngig Drmd ugjør d n basis for løsningsromm (Torm 37) Sidn d r n basis, så vil all løsningr vær på formn c 3 Mrk En vilkårlig linærkombinasjon av basisvkorr kalls of n gnrll løsning, fordi all løsningr r på dnn formn Todimnsjonal sysm Vi bgrnsr oss il odimnsjonal sysm i dnn sksjonn D byr a A r n maris E fasdiagram il y Ay r n skiss av all mulig løsningr, inkludr orinring hvilkn rning vi bvgr oss langs kurvn Du kan lag n slik skiss vd å førs skissér vkorfl fra A, for så å gn kurvr langs piln Evnul kan du finn n basis gnrll løsning plo ulik linærkombinasjonr av diss Vi skal s a gnvrdin il A gjør d lr å lag fasdiagrammr Eksmpl 39 Vi forsr md favoriksmpl vår; A Tgn non kurvr som angrr piln i vkorfl il A for å få fasdiagram (rød): 4

5 n diagonalmaris i d ny koordinan d r nøyakig hva ligningn A P DP byr, hvor λ D λ Nå r bra idspunk for å a n lin i i kapil om diagonalisring, hvis du rngr n oppfriskning La oss argumnr for hva løsningn må vær fra inuiiv såsd I gnvkor koordianan r basisn for løsningsromm gi av λ λ Lgg igjn mrk il hvordan løsningn bvgr sg inn mo origo langs gnvkorn som svarr il ngaiv gnvrdi; u ifra origo langs gnvkorn som svarr il posiiv gnvrdi Tilfll : diagonalisrbar Nå r A n rll diagonalisrbar maris, vi sudrr sysm y Ay Mål r å uld n basis for løsningsromm gnrll løsning Husk: En kvadraisk maris r diagonalisrbar hvis bar hvis d finns n basis av gnvkorr (ikk nødvndigvis oronal) I d allr førs ksmpl Eksmpl 39 klar vi å løs sysm fordi d gnlig bar var snakk om o diffrnsialligningr á la mamaikk D samm skjr hvis A r n diagonalmaris Av pdagisk grunnr som vil bli klar rhvr skrivr vi λ A D λ I d spsialilfll kan vi skriv u y Dy som y λ y y λ y Diss r nkl å løs hvis du huskr li mamaikk Funksjonn y λ, y λ r løsningr Drmd løsr c y λ c λ c λ λ sysm for all valg av c c To linær uavhngig løsningr r nok (Torm 37) Vi lsr av n basis dirk: λ, λ D r førs dl av uldningn Oppsummr: Vi klarr å løs sysmr md diagonalmarisr Idén bak sis dl av uldningn r ikk komplisr, mn mamaikkn blir li gris Hvis vi ndrr il koordinar gi av n gnvkorbasis, så r A hvor λ λ r gnvrdir ilhørnd o linær uavhngig gnvkorr v v Mn i diss koordinan svarr jo bar il gnvkorn i dn opprinnlig basisn Ovrslsn i d opprinnlig koordinan burd alså vær v λ v λ Vi formulrr forslag vår som orm Dn inrssr sudnn kan ls bvis hvor all knikalir r fyl inn Torm 3 La A vær n diagonalisrbar maris Hvis v v r o linær uavhngig gnvkorr, så r v λ v λ, hvor λ λ r ilhørnd gnvrdir, n basis for løsningsromm il y Ay Md andr ord r c v λ v λ n gnrll løsning av y Ay Bvis La v v vær o linær uavhngig gnvkorr il A, md ilhørnd gnvrdir λ λ Vi ønskr å løs y Ay Diagonalisring gir A P DP, hvor P v v λ D λ Sysm kan skrivs om il y P DP y Nå byr vi forml koordinar vd å muliplisr md P : P y DP y Vkorfunksjonn x() P y() r y() i d ny koordinasysm, ligningn r bar x () Dx() Vi har s a n basis for løsningsromm il x Dx() r λ λ Konvrr ilbak il d gaml koordinan vd å muliplisr md P vi har x P y, slik a y P x for å s a P λ P λ 5

6 r n basis for løsningsromm il y Ay Sidn P v v rgnr vi u a P P λ v v λ v λ, λ v v λ v λ Eksmpl 3 Nå v så du hvordan jg fan løsningn i Eksmpl 3 Du kan sjkk a r o linær uavhngig gnvkorr il A md ilhørnd gnvrdir hnholdsvis 3 Torm 3 forllr oss a 3 r n basis for løsningsromm; all løsningr r på formn c 3 Tilfll : ikk diagonalisrbar D r o mulig grunnr il a n maris ikk r rll diagonalisrbar Husk a gnvrdin r røn il d karakrisisk polynom d(a λi) Fra dn kjn kjær abc formln har vi r mulighr: To rør Én ro 3 Ingn (rll) rør D o sis skapr røbbl La oss s på par ksmplr Eksmpl 3 Marisn har ingn (rll) gnvrdir; d finns ingn (rll) gnvkorr Eksmpl 33 Marisn har n dobbl gnvrdi λ λ Egnromm il r ndimnsjonal Drmd r d umulig å finn o linær uavhngig gnvkorr il A; umulig å finn n gnvkorbasis Mrk Vi skal kun s på ilfll ingn rll rør Du kan lær om hva som skjr hvis gnvkorn spnnr u ndimnsjonal undrrom i fag TMA445 Linær modr Ingn rll rør I d ilfll brakr vi A som n komplks maris md rll lmnr Mrk D r forvirrnd å by mllom rll- komplks all Vi må vær spsil obsrvan på om vi mnr rll llr komplks fra nå av Marisn r komplks diagonalisrbar sidn røn il d karakrisisk polynom kommr i konjugapar; vi har o ulik komplks gnvrdir Hvis du ikk hngr md: Skriv nd abc formln fundr li ovr når dn gir komplks rør Nå r idén forvirrnd nok å jobb md komplks vkorrom for å finn rll løsningr En mr llr mindr lik prosdyr som i d rll ilfll lar oss løs y Ay som komplks sysm du rngr ikk å bkymr dg for hva d byr Hrfra finnr vi rll løsningr vd å a ral- imaginærdln il komplks løsningr Grunnn il a sinus cosinus dukkr opp r a d komplks løsningn r på formn v (α+iβ) v α (cos β + i sin β), akkura som i d rll ilfll (β ) Hr r rsula man kommr frm il, un bvis: Torm 34 Ana a α + iβ, β, r n komplks gnvrdi il A Hvis v r n ilhørnd komplks gnvkor, så r α (R(v) cos(β) Im(v) sin(β)) α (R(v) sin(β) + Im(v) cos(β)) n basis for d rll løsningsromm il y Ay Eksmpl 35 Vi finnr løsningn il sysm md A i Egnvrdin r ±i Du kan sjkk a v r n gnvkor md gnvrdi i Rgn u i R i R v R R Im v Im i Torm 34 gir basisvkorr Im i Im α (R(v) cos(β) Im(v) sin(β)) ( cos( ) sin( )) sin cos α (R(v) sin(β) + Im(v) cos(β)) ( sin( ) os( )) cos sin 6

7 Gnrll løsning: cos sin c sin cos cos sin c sin cos c Vi gjnkjnnr marisn som roasjon radianr mo klokkn For n li mr komplisr maris kan du finn orinringn vd å plo vkorfl il A for par punkr i plan for å s om piln pkr md llr mo klokkn Fasdiagramm bsår av sirklr snrr i origo orinr mo klokkn y Mrk Eksmpl illusrrr hvordan fakorn som innholdr cosinus sinus bidrar il sirkulær bvgls x Eksmpl 36 I Eksmpl 39 kommr løsningn inn mo origo langs Sp( ), bvgr sg drr bor fra origo langs Sp( ) Grunnn il d r a ldd c dominrr for ngaiv (ngaiv gnvrdi), mns c 3 dominrr for posiiv (posiiv gnvrdi) Eksmpl 37 Sysm md A har o linær uavhngig gnvkorr md gnvrdir hnholdsvis 3 Fra diskusjonn ovnfor v vi a løsningn bvgr sg bor fra origo langs bgg gnvkorn Lgg mrk il a basislmn 3 dominrr for sor løsningr mllom gnvkor aksn vil drfor hll mo ± når blir sor Fasdiagram: y Mr fasdiagram Vi forsr å sudr rll odimnsjonal sysm y Ay i dnn sksjonn Mål r å klassifisr all mulig fasdiagrammr basr på gnvrdir gnvkorr Husk fra forrig sksjon a vi kun sr på rll sysmr dr A nn r rll- llr komplks diagonalisrbar Rll diagonalisrbar I d ilfll rngr vi ikk å nk på komplks all i d hl a Torm 3 sir a basislmnn allid r på formn v λ, hvor v r n gnvkor md ilhørnd gnvrdi λ Fakorn λ forllr oss hvordan løsningn bvgr sg langs spnn il v når ndrs Kunnskapn vår fra mamaikk gjør oss i sand il å fyll u: λ λ v λ > økr bor fra origo konsan sår i ro < minkr mo origo Hva skjr når økr? Vær obs på a λ < dominrr når < ; λ > dominrr når > For gi sysm har vi o slik basislmnr Hr r n frmgangsmå for å skissér fasdiagramm il y Ay når A r rl diagonalisrbar Tgn o linær uavhngig gnvkorr i koordinasysm Avgjør bvglsn il løsningn langs uspnn il hvr gnvkor 3 Tgn kurvr som bvgr sg i hnhold il d Komplks diagonalisrbar Torm 34 sir a basisvkorn r på formn α (R(v) cos(β) Im(v) sin(β)) α (R(v) sin(β) + Im(v) cos(β)), hvor v r n komplks gnvkor md gnvrdi λ α + iβ Fakorn md cosinus sinus bidrar il n sirkulær bvgls som illusrr i Eksmpl 35 Hvis så α får vi i illgg n innad- llr uadgånd bvgls avhngig av forgn il α akkura som i d rll ilfll Kombinasjonn av diss bvglsn r spiralr som nn bvgr sg inn mo- llr bor fra origo Eksmpl 38 La A x 7

8 α bvgls > uadgånd spiralr sirkulær > innadgånd spiralr Hva skjr når økr? Dn ns forskjlln fra ksmpl 35 r a vi har n fakor Dn gnrll løsningn r cos sin c sin cos c Fakorn bidrar il n uadgånd bvgls, mns marisn bidrar il n sirkulær bvgls mo klokkn Drfor bsår fasdiagramm av uadgånd spiralr orinr mo klokkn y D r nkl å løs problm for diagonal marisr Rdusr problm il vd å by il gnvkor-koordinar D førs punk r forsa san Nå har vi n diffrnsialligningr á la mamaikk, i sd for o Hvis vi klarr å løs o, klarr vi vl så å løs n Sg o handlr bar om å by u md,,, n ; λ λ λ D md D λ ; λ n P v v md P v v v n Prøv å gå gjnnom bvis for Torm 3 md diss rsaningn hvis du ikk kjøpr forklaringn Torm 39 La A vær n diagonalisrbar n n maris Hvis v, v,, v n r n linær uavhngig gnvkorr, så r v λ, v λ,, v n λn, hvor λ, λ,, λ n r ilhørnd gnvrdir, n basis for løsningsromm il y Ay Md andr ord r x c v λ v λ + n v n λn n gnrll løsning av y Ay D komplks gnvrdin r ± i Du kan sjkk i a r n gnvkor Torm 34 gir basisvkorr cos sin sin cos Vi fan u av a bvglsn skjr mo klokkn fordi vi kjn igjn roasjonsmarisn En mr modisk frmgangsmå hadd vær å plo vkorfl fra A i punk, llr o D r of lur å vlg llr sidn diss r nkl å plo Eksmpålvis har vi A så vkorfl pkr skrå opp i førs kvadran fra punk Drmd må spiraln som angrr piln fra vkorfl gå mo klokkn Rll diagonalisrbar sysmr Fra nå av rngr du ikk å nk på komplks all, al r rl i rsn av kapil Mål r å inns a vi allrd har løs gnrll n dimnsjonal sysm y Ay undr anaglsn om a A r (rll) diagonalisrbar D r så prakksmplar på dn gnrll filosofin om a d holdr å s for sg R for så å absrahr il høyr dimnsjonr Dn gnrll uldningn for diagonalisrbar marisr bso hovdsaklig av o sg: Eksmpl 33 S på sysm y Ay md Sidn marisn r på rappform sr vi a gnvrdin r, 4 Du kan sjkk a,,, 3 3 r linær uavhngig gnvkorr md gnvrdir hnholdsvis,, 4 Torm 39 gir oss dn gnrll løsningn c Inhomn sysm Før vi sarr md såkal inhomn sysm skal vi s på hva homn inhomn byr for linær ligningr i R n En marisligning Ax, 8

9 kalls gjrn for n homn ligning Løsningn il ligningn r vkorrom, nmlig nullromm il A, llr kjrnn il linærransformasjonn T (x) Ax Eksmplvis r nullromm il A d linær spnn il Hvis vi lggr il n ikk-null vkor b på høyr sid, Ax b, kalls hllr ligningn inhomn Løsningn ugjør ikk vkorrom Eksmplvis løsr Mn summn x 3 + løsr ikk ikk ligningn: 3 Diffransn drimo løsr dn homn ligningn: D holdr gnrl Obsrvasjonn r a all løsningr på Ax b r på formn x h + x p hvor x h r n vilkårlig vkor i nullromm il A x p r n spsifikk løsning av Ax b Gomrin r illusrr som følgr Null A y løsningr av Ax b Vkorrom sr kanskj ulik u, mn d oppførr sg rlaiv lik Mrk a x p T (y()) y () Ay() x r n linærransformasjon rsom drivasjon marismuliplikasjon r linær oprasjonr Kjrnn il dnn linærransformasjonn r nøyakig løsningn av sysm y Ay Drfor blir d korrk å kall dnn ligningn homn Dn inhomn ligningn svarr il å lgg il n vkor b f() på høyr sid: T (y()) f() Ellr kvivaln: y () Ay() + f() En spsifikk løsning av y () Ay() + f() kalls n vkorfunksjonr homn Ax y () Ay() inhomn Ax b y () Ay() + f() R n Ligningr som oppførr sg lik parikulær løsning En bskrivls av all løsningr kalls forsa n gnrll løsning Analin il R n lar oss formulr orm Torm 33 Hvis y p () r n parikulær løsning av y () Ay() + f(), så r n gnrll løsning gi av y() y h () + y p (), hvor y h () r n vilkårlig løsning av dn ilhørnd homn ligningn Mrk D forvns ikk a du kan finn parikulær løsningr av gnrll sysm Du vil allid få dm srvr Eksmpl 33 La oss s på d inhomn sysm md A f() 4 En diffrnsialligningskspr har gi oss xp () y p () y p (), mn vi sjkkr a d r n løsning for sikkrhs skyld: y p + ( ) + (4 4 ) xp () + y p () + x p () + y p () + 4 Ay p + f() Vi har allrd funn dn gnrll homn løsningn Torm 33 sir a n gnrll løsning r y() c 3 + 9

10 Andr ordns linær diffrnsialligningr I ma har du løs o ypr diffrnsialligningr Dn n r dn førs ordns linær ligningn y + f()y g() dn andr r dn sparabl ligningn y f(y)g() Som spsialilfll av sysmr skal vi bhandl linær andrordns diffrnsialligningr md konsan koffisinr: y + a y + a y D r vanlig å krv a y C, alså a y har o koninurlig drivr På dnn mån kan man sikr a ligningn fakisk gir mning D finns mang siuasjonr dr d krav kan slakks no, mn d r pnsum i ma 4 Dr du skal lær å løs ligningr av ypn y + a y + a y f() dr f ikk n gang r n koninurlig funksjon Løsningsknikkn kalls laplacransform, r mr avansr nn dn vi ar for oss hr dr b r n proporsjonaliskonsan som sir no om lufmosandn Dn oal krafn blir F (y, y ) ky + b(y ), slik a Nwons andr lov gir my b(y ) + ky Dnn ligningn har problmaisk ldd, b(y ) Mn vi kan gjør n fornkling Drsom klossn liggr i n ykflynd væsk, blir mosandn proporsjonal md farn isd for kvadra av farn, vi får ligningn my cy + ky, som r my nklr å løs Vi komplisrr d nda mr La klossn hng fra ak I illgg il fjærkrafn lufmosandn, vil Hvor kommr andr ordns diffrnsialligningr fra? En kloss sklir friksjonsfri på undrlag, r fs il vggn md n fjær Hooks fjærlov sir a F (y) ky, dr y r hvor lang fjærn r srukk llr komprimr, k r n konsan som avhngr av fjærns sivh, F (y) r krafn fra fjærn på klossn Drsom y() r klossns posisjon, r klossns akslrasjon gi vd y (), Nwons andr lov blir ky my, dr m r klossns mass D r n diffrnsialligning Vi skrivr vanligvis my + ky nå så graviasjonn påvirk bvglsn Graviasjonskrafn r n konsan kraf mg ndovr Dn oal krafn r F (y, y ) ky + by mg, Nwons andr lov gir diffrnsialligningn my by + ky mg Løsningsknikk Vi skal bhandl andr ordns diffrnsialligningr md konsan koffisinr: a y () + a y () + a y() Vi kan komplisr d li il La oss innfør lufmosand Lufmosand avhngr kvadraisk av farn: F (y ) b(y ) ; D r vanlig å s a, for å fornkl analysn Vi slippr å ha md a i all formlr uldningr, vi slippr å luk u a hvr gang vi skal s opp orm Drsom a skull slump il å vær no ann nn, kan du dl dn u av ligningn før du sr igang Dnn ligningn lar sg l skriv om il førsordns sysm Drsom vi innførr d ny variabln v y v y, kan vi skriv v v v a a v

11 vi v a vi kan forvn o linær uavhngig løsningr D karakrisisk polynom il marisn r λ + a λ + a md gnvkorr x λ Dn karakrisisk ligningn kjnnr du forhåpnligvis igjn fra gymnas, dr du lær å løs diss ligningn Dn gang sa d no sån som a all løsningr var på formn A λ, så sa d d urykk inn i diffrnsialligningn for å uld dn karakrisisk ligningn Vi kan bruk analysn fra sysmr il å lis opp løsningn il dn homn ligningn for forskjllig ypr gnvrdir Mrk a vi r i ugangspunk kun inrssr i v, drfor ikk har bruk for gnvkorn når vi skal skriv opp løsningr Drsom λ λ r rll, kan vi plukk u førskomponnn av dn gnrll løsningn, få y h () c λ λ dr koffisinn har absorbr førs komponn il z gnvkorn Drsom λ α ± βi v får z vi y h () c α (R(z ) cos β R(z ) sin β) α (R(z ) sin β + R(z ) cos β) Diss liggr i d linær uspnn il α cos β α sin β som så spnnr u odimnsjonal rom Drfor kan vi by basis hllr skriv dn gnrll løsningn som y h () c α cos β α sin β Drsom λ λ λ, vil vi vær ilfll som ikk r pnsum i mamaikk 3 for gnrll odimnsjonal sysm gnvkorn spnnr kun u ndimnsjonal undrrom Mn vi gir dg all løsningn i d spsialilfll: y h () c λ λ Dn inrssr sudnn kan ls daljn i ns sksjon Eksmpl 333 Løsningn il r y y y() c Eksmpl 334 Løsningn il r y + y y() c cos sin Eksmpl 335 Løsningn il Kun n ro, daljr (frivillig) Vi sr på daljn når a a si karakrisisk polynom λ + a λ + a kun har n rll ro Fra abc formln finnr vi Én ro skjr nøyakig hvis Nå r ligningn gnvrdin r λ a ± a 4a a 4a y + a y + a 4 y λ a Førs av al, gnromm r ndimnsjonal marisn r ikk diagonalisrbar: a λi a a a a a a a a a + a 4 a + a D r n fri variabl, alså r dimnsjonn il gnromm lik n Drmd r ikk marisn diagonalisrbar Følgnd riks lar oss finn all løsningn: ( a y) ((y + a y) a ) (y + a y + a 4 ) a Så hvis y løsr y + a y + a 4 y, må Ingrr opp o gangr: Muliplisr md a : ( a y) a y c y c a a D byr a løsningn r på formn oppgi i forrig sksjon r y y + y y() c