Masteroppgave for 5-årig masterprogram i samfunnsøkonomi. Sigve Stabrun. August 07

Transkript

1 Masrogav or 5-årig masrrogram i samnnsøkonomi Oimal konroll l i diskoninrlig roblmr Sigv Sabrn Ags 7 Darmn o Economic cs Univrsiy o Oslo i

2 Forord Dnn masrogavn r bidrag il kommnd mmorandm ra økonomisk insi vd Univrsi i Oslo Disconinos conrol sysms av A.Sirsad og S. Sabrn 7. Jg vil bny dnn anldningn il å akk Al Sirsad. Allid ilgjnglig og md n nik vn il å rld og ovrør knnska r jg mg akknmmlig or a han har bidra som vildr or dnn ogavn. Jg vil også r n akk il Pr Asskild or god hjl md arbidls av grar Frdrik Dhlin or god innsill og konsrkiv disksjonr og il Jannick Hornvd or vrdrlig sø gjnnom hl rosssn. Evnll il llr manglr r n og aln ndrgnds ansvar. Oslo ags 7 Sigv Sabrn ii

3 Innholdsorgnls Forord ii Innholdsorgnls iii Figrovrsik iv. Innldning. Oimal konrollori. Sandardroblm. Diskoninrlig roblmr 5. Diskoninrlig roblmr 7. Økonomisk vks: 7.. Modllbskrivls 7.. Løsningsorslag konsan vksra 8.. Løsningsorslag diskonini i dirnsiallikningn.. Osmmring 7..5 Invsringssragi. Oljvinning.. Modllbskrivls.. Løsningsorslag.. Osmmring 8.. Uvinningssragi. Vksmodll md ngaiv ksrn virkning.. Modllbskrivls.. Løsningsorslag.. Osmmring.. Invsringssragi 5. Økonomisk vks md innksska 6.. Modllbskrivls 6.. Løsningsorslag n innksska 6.. Løsningsorslag md innksska 9.. Osmmring 6..5 Invsringssragi 6. Osmmring og konklsjon Lirarlis 67 iii

4 Figrovrsik Figr : Oimal ban or koninrlig vs. diskoninrlig. 9 Figr : Oimal ban or koninrlig 9 Figr : Oimal ban or diskoninrlig Figr : Endring i oljmngdn 9 Figr 5: Oimal vinningsra Figr 6: Oimal ban or Figr 7: Oimal ban or 5 Figr 8: Oimal ban or diskoninrlig vs. koninrlig 6 Figr 9: Oimal ban or når 65 6 iv

5 . Innldning Oimal konrollori r n mamaisk mod som o anvnds i økonomisk analysr. Hovdrsla i dnn orin r maksimmsrinsi som gir d nødvndig binglsn or oimali i gnrll dynamisk oimringsroblmr. D nødvndig binglsn byggr å n anakls om a ilsandsvariabln og drmd også dn adjngr nksjonn r koninrlig. I mang av d roblmn og sammnhngn økonomr r oa av hndr d likvl a sysm ndrr sg drsom ilsandsvariabln kryssr n grns. Mamaisk kan n slik ndring mdør diskonini i d akll roblm. D inns mang ksmlr å økonomisk sysmr som har dnn karakrisikkn. onsmnr og bdrir kan ålggs ska drsom innkn llr ormn ovrsigr n gi grns. Prodksjonnrodknksjonn kan ndr sg hvis knologin når viss nivå. E irma som orringr miljø md ngaiv sli må nn lgg om rodksjonn llr bal avgir drsom slin ovrsigr n bsm grns. Økonomisk oliikk kan ndr rammbinglsn i båd mikro og makroøkonomisk roblmr som igjn kan mdør srang i dn obsrvr ilsandn llr srang i dynamikkn. Avagnd ilgang å innsasakorr kan bgrns rodksjonn or slska drsom ilgangn il rssrsn kryssr n kriisk grns. Grnnlag or vidr rodksjon av god kan også orsvinn hl drsom ilgangn kryssr minimmsnivå. En ndring i sysm som ørr il diskonini i konrollroblm bryr md d anaklsn maksimmsrinsi byggr å. For å knn analysr økonomisk sysmr som ramms av diskonini må vi dror vid orin og ilør maksimmsrinsi non illggsbinglsr. I kommnd mmorandm ra økonomisk insi vd Univrsi i OsloSirsad og Sabrn 7 r d arbid non binglsr som skal a høyd or srang i ilsandsvariabln når dnn kryssr n grns llr når vi olvr diskonini i dirnsiallikningn og/llr kriri. Diss binglsn r mn å vær slmn il d binglsn vi allrd kjnnr ra oimal konrollori og ikk n rsaning or ksisrnd rslar. Dnn ogavn ar gangsnk i dn orin som omhandlr konrollroblmr md diskonini i dirnsiallikningn og/llr kriri. Ogavns ormål r å blys dn ny orin og ndrsøk om dn gjør d rakisk mlig å løs diskoninrlig konrollroblmr. I kail o rsnrs d nødvndig binglsn or oimali i d vi bgnr som sandardroblm ør jg rsnrr d illggsbinglsn som r nødvndig vd diskonini. I roblmr som ramms av diskonini i dirnsiallikningn og/llr kriri vil ilsandsvariabln rmdls vær koninrlig mn dn adjngr nksjonn kan gjør srang å d idsnk ilsandn kryssr n grns. E av d vikigs lmnn i d ny orin r dror srang binglsn som bskrivr ndringn il dn adjngr nksjonn å d idsnk sysm ndrr sg. I kail r sr vi å ir økonomisk roblmr som ramms av diskonini i dirnsiallikningn llr kririnksjonn. For hvr av ksmln rsnrr jg kor dn økonomisk modlln ør jg rsnrr løsningsorslag og drmd anvndlsn av d ny binglsn. Løsningsorslagn som rsnrs r mn å vær llsndig og gnrll. I ar av ksmln rsnrs d også løsningsorslag av modlln n diskonini. D or å knn blys d ndringn diskoninin mdørr sammnlign md sandardroblm. Hvr ksml avsls md n osmmring og n kor konklsjon å dn mamaisk analysn. Sidn modlln r orisk har d ikk vær bhov or daas llr mamaisk rogramvar i orbindls md brgningn ør i ogavn.

6 I kail ir osmmrs n dl av d rslan som har komm rm i analysn. D vikigs rsla i dnn ogavn r a d ir ksmln som rsnrs visr a illggsbinglsn i dn ny orin r ilsrkklig slmn or å løs konrollroblmr som ramms av diskonini. Løsningss blir gjrn mr omand og d bringr ny askr il dn oimal løsningn sammnlign md sandardroblm. Flr av diss ndringn kommnrs avslningsvis og i ilknyning il hvr nkl ksml.

7 . Oimal konrollori Hovdrsla i oimal konrollori r maksimmsrinsi. Maksimmsrinsi gir d nødvndig binglsn or oimali i gnrll dynamisk oimringsroblmr. orin r dror my brk blan økonomr ordi dn kan anvnds innnor mang av d roblmsillingn vi økonomr r oa av. I d kail vil jg kor rsnr d nødvndig binglsn or oimali i d vi ansr som sandardroblm innn konrollori. Drr rsnrr jg d illggsbinglsn vi rngr or å løs roblmr som ramms av diskonini i dirnsiallikningn og/llr kriri.. Sandardroblm Vi brakr roblm: maks d gi U R i... n. i i md ølgnd rminalbinglsr ålag i ii iii i i i... l i i i l... m i ri i m... n... n... n... n Hr r... og... as all og U r konrollrgionn. n n For d sandardroblm holdr d nødvndig binglsn or oimali som r gi vd maksimmsrinsi. Vi lar... n vær d adjngr nksjonn ilordn dirnsiallikningn i og lar vær n konsan. Hamilon nksjonn H dinrr vi vd: H Sydsær. A. Sirsad og A. Srøm

8 Maksimmsrinsi : Lar vær oimal ar som løsr roblm. Da ksisrr d n konsan og n koninrlig og sykkvis drivrbar nksjon... som or all oyllr: 5 6 H H or all U ' 7 i H i... n 8 llr i Svarnd il rminalbinglsn i r d n ilhørnd ransvrsalisbingls: i i ingn bingls i... l n [ ] 9 ii iii i md hvis > i l... m i i m... n Mrknad n vd dgnrr roblmr r. Dror r d vanlig a økonomr bnyr. Mrknad En økonomisk olkning d kan vær vrd og mrk sg r olkningn av dn adjngr nksjonn i. Vrdin av i r nmlig ilnærm lik dn ndringn n vill å i dn oimal vrdinksjonn vd å øk i md n nh. Hr r dn oimal vrdinksjonn gi vd: V d I mang økonomisk roblmr år dror dn adjngr nksjonn n risolkning som or ksml i roblmr md roimaksimring dr kan olks som n skyggris å kaialbholdningn. Vd diskonini kan dnn olkningn orholds. Dn vil rmdls gjld i all nkr dr V r drivrbar. i Sydsær. A. Sirsad og A. Srøm

9 . Diskoninrlig roblmr Diskonini i dirnsiallikningn og/llr kriri I økonomisk roblmr hndr d a sysm llr modlln man sdrr ndrr sg drsom ilsandsvariabln kryssr n grns. I konrollroblmr vil n slik ndring mdør diskonini som bryr md d anaklsn vi så lang kjnnr ra orin. { : } La φ φ... φ k vær gi rll nksjonr i lan og la Γ j φ j dr Γ Γ s Mrknad s.6 or ksml. U j j Ana så a og r koninrlig nksjonr av bors ra or Γ. For mr rsis dirnsirbarhsbinglsr s vdlgg. Diss binglsn visr a grnsn i og inns. Ana vidr a d maksimal r n nksjon φ j lik or nhvr Γ. Hvis Γ j da skjærr virklig gjnnom grnsn Γ j rsisrs i binglsn N ndr. N innbærr a n oimal løsning kn skjærr igjnnom grnsn Γ j ndlig anall. gangr å inrvall [ ] Gi a Γ så gjldr d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi også hr mn vi kan risikr a dn adjngr nksjonn gjør srang dr φ j. E slik krysningsnk bgnr vi vd. Vi har a srang il dr Γ j { : φ j dr j... k} r gi vd ølgnd bingls: [ ] [ ] Hr r n vkorn... bsm ra ølgnd sammnhng: n [ φ φ ] φ j j... k j og i... n i ji Binglsn som sir a hvis Γ så skjærr virklig igjnnom Γ r gi vd: j j N φ φ φ ± ± > j j som gjldr båd or og. Binglsn N sis å hold slv om likhsgn > rsas av <. j Sirsad A. og S. Sabrn 7 5

10 En løsning av roblm som ilrdssillr oyllr d nødvndig binglsn or oimali 5. Mrknad La oss ana a vi brakr ndimnsjonal roblm. Hvis sysm ndrr sg når ilsandsvariabln kryssr grnsn vil φ nksjonn vær gi vd φ -. Mrknad I ilsrkklighsargmn or oimali vil jg i sandardroblm hnvis il d ilsrkklig binglsn gi vd Mangasarian llr Arrow 5. Vd diskonini holdr ikk diss binglsn i ilsrkklighsargmn. Enkl ksisnssningr vil i mang illlr likvl sikr a d inns n oimal løsning av roblm. Hr vil jg hnvis il Sirsad og Sabrn7. Sning.. s. Sydsær. A. Sirsad og A. Srøm 5 Sning.. s. Sydsær. A. Sirsad og A. Srøm 6

11 . Diskoninrlig roblmr I d kail ar jg or mg ir roblmr md diskonini i dirnsiallikningn llr kririnksjonn. For hvr av ksmln rsnrr jg kor dn økonomisk modlln ør jg rsnrr løsningsorslag og drmd anvndlsn av d ny binglsn. Løsningsorslagn r mn å vær llsndig og gnrll. Hvr ksml avsls md n osmmring og n kor konklsjon å dn mamaisk analysn. I ar av ksmln rsnrr jg også løsningsorslag or d koninrlig illl av roblm. D or å blys hvor sor ndringn i d diskoninrlig roblm blir sammnlign md sandardroblm. I d roblmn dr ri v vi a. Jg har ikk rsnr n løsning or i d rsrnd illln. Grnnn il d r a ikk hadd gi n ornig løsning av roblmn.. Økonomisk vks: I d ksml brakr vi n nkl modll innn økonomisk vksori... Modllbskrivls Vi brakr n bond som rodsrr korn. Bondns rodksjon r gi vd k og r drmd roorsjonal md kaialbholdningn som ilsvarr dyrk aral. For hvr idsnk må bondn avgjør hvor my av d han rodsrr som skal konsmrs og hvor my som skal rinvsrs. onsm r. idsnh r gi vd dr r invsringsran. Invsringn går il å or hsr som igjn blir brk il å bry ny land il kornrodksjon. Bondn ir o landområdr som kan gjørs om il dyrkbar mark. D n r rlaiv nkl å bry or hsn d andr r sin og krvr n sørr innsas. Pr. nh korn som hsn ors md bryr d områd som gir o nhr korn å d bs l og n nh å d sin. Md andr ord vil n nh korn som invsrs øk d dyrkd aral md o nhr å d bs områd og n nh å d sin. Vi anar dror a bondn vil bry hl d bs landområd il dyrk mark ør han invsrr i d mindr lkraiv l. Dn maksimal rodksjonn bondn kan komm o i ør han må bgynn å bry d sin l r onn md korn. Da vil vksn i bondns rodksjon og kaialbholdning vær gi vd: maks d a > ri hvis < a hvis For n gi riod ønskr bondn å inn dn invsringssragin som maksimrr hans oalkonsm. Da må han løs ølgnd konrollroblm md diskonini i dirnsiallikningn: hvis a φ - hvis < [ ] Hr r d iniial aral av d bs områd som r dyrk. Vi anar i dnn ogavn a. 7

12 .. Løsningsorslag konsan vksra Skal innldningsvis s om vi innr n oimal løsning av roblm hvis vi anar a bondn sår ovnor n konsan vksra gi vd. Hamilon nksjonn blir da: H i ii iii U ra hamilon nksjonn sr vi a hvis > hvis < ' hvis H hvis allid ngaiv srng avagnd hvis hvis Alrnaiv : Vrdrr ørs illl dr > [ Umlig ordi Alrnaiv : Sr drr å mlighn md < [ ] sidn sidn D innbærr a < [ ]. Md har vi n mlig løsning å roblm gi vd: og. 8

13 Alrnaiv : Md > må d dror inns n ar or mg d o inrvalln: [ : A B ] : A D D > dr < - [ ] V a r koninrlig og kryssr / i når vi ikk har diskonini og vi kan drmd løs or og B: B Md B og > har vi ølgnd mlig løsning å roblm: [ ] H [ [ ] < > [ [ ] Løsningsorslag og oyllr all d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi or å vær n oimal løsning. Løsningn r nydig sidn d ikk sammnallr å inrvall og d dkkr hl løsningsinrvall. For å ndrsøk d ilsrkklig binglsn or oimali r oyl sr jg å hamilon nksjonn or d o løsningsorslagn: som r linær og drmd konkav. H som også r linær og konkav D ilsrkklig binglsn r drmd også oyl og vi kan konkldr md a vi har nn dn oimal løsningn av roblm. 9

14 .. Løsningsorslag diskonini i dirnsiallikningn Brakr nå d orinnlig roblm. Hamilon nksjonn blir hr: H a Hr r ordi ri og ransvrsalisbinglsn sir da a H a i U ra hamilon nksjonn sr vi a hvis > a hvis < a ii iii ' a hvis H a hvis allid ngaiv a hvis a hvis r srng avagnd å all inrvallr dr r koninrlig iv Hvis virklig kryssr grnsn vil N vær oyl. idsnk dr grnsn krysss dinrr vi vd. Alrnaiv : Vrdrr ørs om vi innr n løsning md > [ ] Umlig ordi a Alrnaiv : a Sr drr å mlighn md < [ ] a sidn < sidn sidn. < < [ ]. a

15 En løsning dr < [ ] r dror kn mlig md og gi vd: a a - Alrnaiv : For > anar jg dror a d inns n ar or mg d o inrvalln: [ : a a A a a B > a dr < a [ ] ] : D D - Sa sammn år vi: a B [ A [ > a ] ] < a [ a hvis kryssr grnsn llrs a [ ] a [ ].A Anar ørs a <. a Da må: A < a [ V a r koninrlig å hl inrvall og a : A A

16 < a å hl inrvall. Vidr innr jg a rsriksjonn å blir: < < < ln < ln < Sidn ikk kryssr grnsn vil dn adjngr nksjonn også vær koninrlig å hl inrvall. Når vi i illgg v a kryssr grnsn i kan vi nå inn rykk or B og : B B [ Vd å s or d lik rsriksjonn som r ålag nksjonn innr jg ølgnd løsning å roblm dr < : - a [ ] < - > -.B ar så or mg alrnaiv dr > > Hr vil binglsn N vær oyl. ilsandsvariabln kryssr virklig grnsn idsnk. Da har vi: a [ [ ] [ ] A A [ [ ] B > B > < [ [ ] vd

17 r koninrlig å hl inrvall så vi kan løs or : og A A [ A A [ A A ln ] og : B [ B B r koninrlig og lik i så vi kan løs or B Har orløig ikk nn rykk or og jg ønskr også å inn srang gjør i. : Finnr ørs φ φ [ ] φ ] [ [ ] Så kan jg løs or : B ] [ [ ] [ ] [ B B B B r da gi vd: Srang il i

18 Vd å s or d lik rsriksjonn ålag nksjonn innr jg a n mlig løsning å roblm dr > vil vær gi vd: > a [ ] ] ]. Så vrdrr jg illl dr V a A A Md < or < a or all < Hvis innbærr d a ordi vi v a D gir oss: a [ Sr hr a ikk kryssr grnsn å inrvall [ ] og da gjldr ikk nkiv. Binglsn N orllr oss drmd a ikk gir n mlig løsning å roblm or ri. Forsøkr dror å ndr ndbinglsn i roblm il or å s om roblm har mlig løsningr or all. Alrnaiv : maks d a og [ > [ ] hvis a φ - hvis <

19 Sidn vi v a ikk vil kryss grnsn vil a or all. Hamilon nksjonn og rykkn or og vil vær lik d rsnr ndr bors ra a ransvrsalisbinglsn nå sir a ikk r ålag non bingls..a Forsøkr ørs å inn n løsning av roblm dr </ or all. sidn E mlig alrnaiv sidn.b Forsøkr drr md >/ or all : A B > B A Når ndbinglsn r gi vd og < vær gi vd: B > og B > or all B [ ] > B > vil n mlig løsning å roblm. Skal il sl s om d ksisrr n løsning hvis vi anar a d inns n > dr < ar or mg d o inrvalln [ : A B [ ] sidn 5

20 ] D : Båd og r koninrlig nksjonr sidn ikk kryssr : ] [ B B D D V a < or ] > < En mlig løsning å roblm r drmd gi vd: 6 > [ ] [ [ ] ] [ ] < > a

21 .. Osmmring Jg har nå nn lr alrnaivr som løsr maksimringsroblm il kornbondn. Undr ølgr n kor ovrsik gi ra idshorisonn å lanriodn: idshorison Løsningsorslag Alrnaiv Alrnaiv:.A og.b Alrnaiv.A og. Alrnaiv. Alrnaiv.B og. Ovr r d rsnr løsningsalrnaivr som dkkr all mlig osiiv vrdir or. Diss løsningn oyllr d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi og kan dror rsnrs som mlig løsningr av roblm. Når i illgg liggr å lkk inrvall [ ] sikrr sandard ksisnssningr or a vi har n oimal løsning av roblm s vdlgg. For r vrdir/inrvallr or osår d likvl sikkrh om hva som gir oimal løsning da lr løsningsorslag hr r rrsnr. Vi må dror s nærmr å diss inrvalln or å avgjør hvilk av orslagn som r oimal. Sr ørs å inrvall. Hr gir båd.a og. løsningsorslag. Hvis vi nå sr å ksml md konsan vksradvs. dn gnsigs rodksjonsnksjonn ans sørrlsn å kaialbholdningn sr vi a løsningsorslag hr r lik løsningsorslag.a or /. Da kan vi konkldr md a løsningsorslag.a vil vær orrkk rmor. å inrvall. For r d.b og. som rrsnrr d o mlig løsningn. Hr vlgr jg å bny mg av vrdinksjonn or å avgjør hvilk av d o løsningn som r oimal: V d V d som hr rdsrr sg ilv i og md a d å d inrvall. i bgg illln ordi.b V d d 7

22 . V d d Sidn > or all >/ vil.b vær dn oimal løsningn or >/. Bnyr også vrdinksjonn or å avgjør dn oimal løsningn or /: V d d -.A V d d d d.b V d sidn å hl inrvall. Sr hr a og.a ovrlar hvrandr i / og a bgg diss løsningsorslagn r bdr nn.b. Vi kan dror konkldr md a dn oimal løsningn av roblm r gi vd: idshorison : Løsningsorslag: Alrnaiv : dr og Alrnaiv.A: < og a Alrnaiv.: og a Alrnaiv.B: > a [ md [ ] Figr ndr visr dn oimal bann il i d diskoninrlig og d koninrlig scnario. Vi sr a bann r idnisk inill dvs innill idshorisonn å lanriodn r så lang a d vil vær oimal å kryss grnsn i d koninrlig illl mn ikk d diskoninrlig. Når 5 sr vi a grnsn også krysss i d diskoninrlig illl mn a vksn å lang nær r så sor som i d koninrlig. Har i dnn gran ana a og. 8

23 5 Oimal ban or X Diskoninrlig vs. koninrlig 5 5 koninrlig diskoninrlig Figr : Oimal ban or koninrlig vs. diskoninrlig. Figr og rmsillr dn oimal bann or or r lik idshorisonr i d koninrlig og d diskoninrlig illl. For / r dn oimal bann lik i d o gran mn allrd vd 5/ bgynnr orskjlln å bli markan. For r d ydlig a d koninrlig illl gir n lang kraigr vks i rodksjonn n d vi år i d diskoninrlig illl. Vi sr også a konsm riodn r bydlig lngr i or 5/ og i igr. D r alså ikk lik lkraiv å invsrr i d sin landområd. Har også i igr og ana a og Oimal ban or i d koninrlig illl Alrnaiv X / 5 / Alrnaiv Alrnaiv Figr : Oimal ban or koninrlig 9

24 5 Oimal ban or i d diskoninrlig illl Alrnaiv.B X 5 5/ Alrnaiv. / Alrnaiv.A Figr : Oimal ban or diskoninrlig..5 Invsringssragi På kor sik sr vi a d ikk vil vær oimal or bondn og invsr i d ny landområdn. Har vi drimo n mllomlang llr lang horison å lanriodn sr vi a dn oimal løsningn r i råd md d vi skll ana i ølg økonomisk vksori. D vil vær lønnsom å invsr my i bgynnlsn av riodn or å å høy konsm mo sln. Likvl sr vi a ndringn i vksran som osår hvis rodksjonn ovrsigr vd bgrnsr dnn sragin hvis idshorisonn r gi. Hr vil d vær oimal å bgrns invsringn il kn å gjld d bs l. D sr vi a ikk vill vær illl drsom vksran hadd vær konsan lik.

25 . Oljvinning 6.. Modllbskrivls I dnn ogavn brakr vi oljslska som lanlggr rodksjon ra oljl. Fl bsår av o lik sor rsrvoarr som har saml volm å onn olj. Slska ønskr å maksimr ovrskdd ra rodksjonn. D r dror inrssr i å brgn dn vinningsran som vil maksimr dn oal roin ovr rodksjonsriodn. Dn momnan roiran vd idsnk r gi vd: a. Hr bgnr mngdn olj i l vd idsnk dr r d iniial volm. Md n vinningsra gi vd vil ndringn i oljmngdn vær gi vd. Oljrisn som slska må orhold sg il r konsan gi å vrdnsmarkd. D o rsrvoarn r som nvn lik sor i volm mn ilgjnglighn r ikk dn samm. D n rsrvoar liggr i rrng som krvr mr avansr syr i vinningsrosssn. D vil dror kos mr å rodsr hr nn ra d mindr krvnd rsrvoar. Fra roinksjonn sr vi a rodksjonskosnadn r gi vd a. Hvis vi anar a slska vil sar rodksjonn ra d mins krvnd rsrvoar vil kosnadsnksjonn bli som ølgr hvis > a hvis Hvis vi vidr anar a diskonringsran r r konsan lik nll vil maksimringsroblm slska sår ovnor vær gi vd ølgnd konrollroblm md diskonini i kririnksjonn: maks a d gi dr og r kjn osiiv konsanr. > a φ 6 Dnn modlln r n varian av ksml.. Sydsær Sirsad og Srøm

26 .. Løsningsorslag Vi ønskr nå å inn d oimal ar som maksimrr dn oal roin il slska. D koninrlig scnario Skal il å bgynn md s om vi innr n løsning å roblm når vi anar a slska bar har ilgang il d mins kosnadskrvnd rsrvoar. Da sår slska ovnor n konsan kosnadsgrad a og dn iniial oljmngdn vil vær gi vd. Hamilon nksjonn r da gi vd: H i Hvis skal vær n oimal løsning må H i H H ii og ransvrsalisbinglsn sir a hvis > iii På bakgrnn av ndbinglsn il som sir a vil d vær o mlig viklingsbanr or. Førs alrnaiv r dr hvor > og og andr alrnaiv r dr og >. Alrnaiv : Sr ørs å alrnaiv dr > og Da år vi: [ ] A A B B > > < [ ] En mlig løsning å roblm r drmd gi vd: og

27 Alrnaiv : Sr drr å alrnaiv md og > Da år vi: D - > > > D Md år vi drmd n mlig løsning å roblm gi vd: - D diskoninrlig scnario ar så or mg illl dr slska vinnr ra bgg rsrvoarn. Da v vi a binglsn N r oyl ordi virklig skjærr igjnnom grnsn vd idsnk. Hamilon nksjonn blir nå: H a i Hvis skal vær n oimal løsning så må H i H a a H ii Hr sir ransvrsalisbinglsn a hvis > iii a I illgg il a dn iniial oljmngdn r gi vd v vi a d vil inns idsnk dr når slska bgynnr vinningn ra d mr krvnd rsrvoar. Da har vi < a. >

28 Fra ransvrsalisbinglsn sr vi a vi sår ovnor o lik viklingsbanr or. I d ørs alrnaiv vil i d andr vil >. Alrnaiv : Sr ørs å illl dr > md ilhørnd Da år vi: [ dr ] [ [ [ ] ] ] E D V a r koninrlig og a : [ D [ E E [ ] D gir oss: [ ] [ ] [ ] a Brkr nå diskoninisbinglsn il å inn : φ φ φ ] [

29 [ ] 6 ] [ Md binglsn om a og > år vi ølgnd mlig løsning å roblm: og [ ] [ ] [ ] [ ] a Alrnaiv : ar nå or mg illl dr og > D alrnaiv gir oss: [ ] dr [ ] [ [ ] ] E D 5

30 Løsr så or d kjn: [ D ] E E [ ] og Sr inn or i og og år: [ [ 6 ] ] [ ] [ ] a Bnyr nok n gang diskoninisbinglsn il å inn : φ φ φ ] [

31 [ ] ] [ Md binglsn om a > og år vi ølgnd mlig løsning å roblm: og [ ] [ ] [ ] [ ] a 7

32 .. Osmmring Løsningsalrnaivn ovr visr a oljslska sår ovnor ir lik vinningssragir som ilrdssillr d nødvndig binglsn or oimali: idshorison Løsningsalrnaiv Alrnaiv. Alrnaiv. Alrnaiv. og. Alrnaiv. og. Sr nå o vrdinksjonn or d lik alrnaivn: V d d d V d d V a d d 8 d 6 8 V a d d d 8 Vd å sammnlign vrdinksjonn å d o inrvalln dr o løsningsalrnaivr r akll kandidar innr jg a alrnaiv. kn r oimal or inrvall. D vil si a. ikk r n oimal sragi hvis slska har n lngr idshorison or rodksjonn. 8

33 En oimal vinningssragi or slska vil dror vær gi vd: idshorison: Løsningsalrnaiv: Alrnaiv. n vinn ra d mins kosnadskrvnd rsrvoar. > Alrnaiv. n vinn ra d mins kosnadskrvnd rsrvoar. Alrnaiv. Uvinn ra bgg rsrvoarn mn md > Alrnaiv. ømm bgg rsrvoarn. Sr vi å hamilon nksjonn or roblm dr d kn vinns ra d mins kosnadskrvnd rsrvoar løsningsalrnaiv. og. sr vi a dnn r konkav i og og i ølg d ilsrkklig binglsn har vi drmd nn dn oimal løsningn av d roblm. I ilsrkklighs argmn or oimali i roblm md diskonini vil d vær mlig å bny HJB likningn s vdlgg. I igr sr vi dn oimal bann or or ir lik idshorisonr or rodksjonn. Har i dnn gran ana a og. 5 Endring i oljmngdn 5 5 Alrnaiv : 5 Alrnaiv : 5 Alrnaiv : 5 Alrnaiv : Figr : Endring i oljmngdn 9

34 Figr 5 visr dn oimal vinningsran når idhorisonn å rodksjonn r 5 og.hr sr vi a r diskoninrlig slv om hamilon nksjonn r srng konkav md hnsyn å. D vill ikk vær illl i sandardroblm. Også i dnn gran har jg ana a og. Oimal vinningsra Alrnaiv : 5 Alrnaiv : Figr 5: Oimal vinningsra.. Uvinningssragi Hvilk sragi som r dn oimal or slska avhngr som vi sr ovr av slskas idshorison or rodksjonn. Er idshorisonn ilsrkklig kor vil d lønn sg or slska å hold rodksjonn il d rsrvoar dr kosnadn r lavs. På lang sik vil vinning ra bgg rsrvoarn vær lønnsom mn vi sr a dn oimal vinningsran vil ndr sggå nd i d slska bgynnr vinningn ra d mr krvnd rsrvoar. Hva vinningsran avhngr av varirr no mllom d lik alrnaivn. D sragin dr d lønnr d sg å rodsr il rsrvoar/l r om sr vi a vinningsran avhngr av ls oal oljmngd og av slskas idshorison. Hvis idshorisonn r gi slik a > r d oimal vil ikk vinningsran vær avhngig av ls sørrls llr slskas idshorison mn gi som n konsan ra av oljrisn å vrdnsmarkd. En økonomisk olkning av d rsla kan vær som ølgr Eir slska rsrvoar/l vil d vær lønnsom å vinn all oljn. Da vil dn oimal vinningsran vær gi ra mål om å minimr kosnadn ovr hl lanriodn. Jo lngr idshorison slska har dso lavr vinningsra vil vær oimal. Hvis slska bar har disnsasjon il å vinn ra rsrvoar/l i n korr riod r ikk slska nødvndigvis r å ømm all rsrvn. Da vil d vlg n vinningsra som maksimrr roin ovr riodn d har disnsasjon il å rodsr og vlgr dror n ra ra risn å vrdnsmarkd.

35 . Vksmodll md ngaiv ksrn virkning 7 I d ksml ar jg or mg n nkl vksmodll md ngaiv ksrn virkning... Modllbskrivls Vi sr hr å slska som rodsrr minralvann. Slskas rodknksjon r gi vd ka. For kommnd lanriod ønskr slska å inn dn invsringssragin som maksimrr by. Uby r idsnh r gi vd nksjonn dr ilsandsvariabln bgnr kaialbholdningn og konrollvariabln r invsringsran. Prodksjonn orrnsr og orringr kvalin å vann i dn kildn slska bnyr sg av. Forrnsingn r gi vd nksjonn og vksn i orrnsingn r roorsjonal md kaialbholdningn. Slska r mg oa av å orhold kvalin å rodk d lvrr. Hvis orrnsingn ovrsigr gi nivå r d dror avhngig av å rns vann ør d kan brk d. Dnn rnslssrosssn vil åvirk rodksjonn og mdør n ndring i rodknksjonn. Dnn hvis < ndringn r gi vd k a. hvis maks d gi a Når vksn i slskas kaialbholdning r gi vd k sår vi drmd ovnor konrollroblm md diskonini i dirnsialligningn. Uordringn slska sår ovnor blir å inn dn oimal kombinasjonn som maksimrr by når d må a høyd or a orrnsingn har n ngaiv innvirkning å rodksjonn. onrollroblm slska skal løs r drmd gi vd: ri > ri hvis a φ - hvis < [ ] r dn iniial kaialbholdningn i slska. Vi anar a > : s Mrknad 5 s.5 7 Dnn modlln r n varian av ksml s. 9 i Sirsad A. og. Sydsær 987

36 .. Løsningsorslag Hamilon nksjonn blir: H a Hr r i og md a og H k a U ra hamilon nksjonn sr vi a Vidr har vi: ' H A når ri og ri hvis > a hvis < a a hvis ' H a hvis a A - hvis hvis B > a A a a A hvis A G < hvis a allid ngaiv srng avagnd å all inrvallr dr r koninrlig a a hvis hvis D a hvis hvis D a a hvis E hvis a hvis D F hvis Alrnaiv : sr ørs om d inns n løsning å roblm md or all [ ] mlig sidn > a Alrnaiv : sr så om d inns n løsning md < or all a [ ]

37 [ ] D I og md a < sidn < sidn kryssr ikk grnsn sidn Vi har drmd nn n mlig løsning av roblm dr < gi vd: For > må vi dror ana a d inns n > a slik a < a [ ] Alrnaiv : Skal ørs ndrsøk om d inns n løsning md > dr or all. Hvis så r illl vil ikk N vær oyl og vi orholdr oss il d nødvndig binglsn i sandardroblm. Vi har da: [ a [ ] ] D [ ] [ ] E < D F B > < [ ] [ ] Når roblm ikk ramms av diskonini har vi og i og md a og I d illl r båd ilsandsvariabln og d adjngr nksjonn koninrlig. Vi kan dror løs or d kjn i nksjonn ovr: [ D ]

38 [ E ] F F r koninrlig og kryssr grnsn ½ i : [ B B E krav om a or all innbærr a: ln ln Md > og or all har jg drmd nn n løsning å roblm gi vd: ln [ ] a - - [ ] < < > - -

39 Md > ln vil virklig kryss grnsn og N vil vær oyl. På grnn av a r koninrlig og osiiv å hl inrvall avhngig av idshorisonn vil vær osiiv og voksnd or all. Drmd kan kn kryss grnsn or llr når [ ] n gang mn å r lik inrvallr Sidn diskoninin r ilkny nksjonn r d dn adjngr nksjonn som vil olv srang i mns vil vær koninrlig å hl inrvall. D visr jg snr i ogavn. Alrnaiv : Undrsøkr nå illl dr < < Da har vi: [ ] D [ ] a [ [ ] E < D F < D F A B > [ A- G < < [ ] Løsr ørs or d kjn i og : [ D E ] A [ [ ] ] [ F F [ [ ] 5

40 Finnr også når jg v a : I d illl r koninrlig i og nksjonn kryssr grnsn ½ å d idsnk: [ A A G G A A A A B A B og Finnr så A og vd hjl av diskoninisbinglsn:. Løsr ørs or 6 : [ ] ] [ φ φ φ : [ ] φ φ φ ] [[ [ ] Så innr jg srangn il d adjngr nksjonn: ] [

41 [ ] [ ] A A A A Sr hr a vrkn llr gjør srang dr - φ. D innbærr a nksjonn r koninrlig å hl inrvall og a A. Md koninrlig innr vi : 7 En mlig løsning å roblm når vi har s or d lik rsriksjonn ålag nksjonn r: ln ln [ [ ] - a - [ ] < - - < - - [ [ ] - < > [ ] <

42 Alrnaiv 5: ar så or mg illl md Da har vi: [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A A B F D E D a < > > < Sidn og r koninrlig år vi: [ ] D [ E ] F F Finnr også når vi v a : 8 ln Bnyr nå diskoninisbinglsn or å inn A og B: : [ ] ] [ φ φ φ

43 : [ ] ] [ φ φ φ 9 [ ] ] [ [ ] [ ] A A B A A B Som visr a ikk gjør srang i diskoninisnk mns srang il r gi vd A. B : Da innr vi [ B B B

44 En mlig løsning å roblm md r drmd gi vd: ln ln ln [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] < > > < a Alrnaiv 6: < il sl sr vi om d inns n løsning dr I d illl har vi: [ ] [ [ ] a [ [ ] [ < E [ ] F D E D [ [ [ B > A A ] ] B < > Når og r koninrlig har jg mligh or å løs or d kjn konsann i diss nksjonn: [ [ ] D

45 [ E [ E E ] F F Finnr også når jg v a : ln [ B B B V a må vær koninrlig i og a dn kryssr grnsn å d idsnk og innr drmd og : B D vi manglr or å inn n mlig løsning å roblm r rykk or A og i illgg il srangn og gjør når - φ og : Finnr ørs : [ ] ] [ φ φ φ

46 : [ ] φ φ φ ] [[ Så innr jg srangn il d adjngr nksjonn og A og : B [ ] [ ] [ ] A A B A A B ] [ Som visr a ikk gjør srang i diskoninisnk mns srang il r gi vd A. B Da innr vi : [ B B B

47 Vd å s or d lik rsriksjonn ålag nksjonn innr jg ølgnd mlig løsning å roblm dr < : ln [ ] [ [ ] > [ < ] > ln [ [ ] a < [ [ > [ ] [ ].. Osmmring Løsningsorslag r nydig og dkkr all mlig vrdir or. I illgg ilrdssillr d all d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi or å vær n oimal løsning av roblm. or osmmr r d mlig løsningn jg har nn gi vd: idshorison : Løsningsorslag: </ Alrnaiv. dr ln ln ln Alrnaiv : dr or all. Alrnaiv : < < Alrnaiv 5: ln ln ln > ln Alrnaiv 6: < ln

48 Når i illgg liggr å lkk inrvall [ ] sikrr sandard ksisnssningr or a d i d roblm inns n oimal løsning av roblm s vdlgg. Vi kan dror konkldr md a løsningss ovr r dn oimal løsningn av roblm. I igr 6 ndr visr jg dn oimal bann il. For gi inrvall sr vi a dn oimal sragin vil vær å so invsringn i d d ngaiv slin når d kriisk nivå. Er idshorisonn ilsrkklig lang vil slska invsr mn vksn r lavr nn d vi hadd å drsom d ngaiv slin ikk hadd ha non innvirkning å rodksjonn. I dnn gran har jg ana a og 5. Oimal ban or Figr 6: Oimal ban or Figr 7 visr dn oimal bann il or o lik idshorisonr å lanriodn 65 og. I løsningsalrnaivn som r oimal or diss idshorisonn sr vi a gjør srang. Har også i dnn gran gjor n anakls om a og 5.

49 Oimal ban or Alrnaiv 6: Alrnaiv 5: 65 Figr 7: Oimal ban or.. Invsringssragi Også i dnn ogavn sr dn oimal invsringssragin il å vær i råd md d n kan orvn ra økonomisk vksori. Bors ra når idshorisonn å lanriodn r ilsrkklig kor lønnr d sg å akkmlr kaial i bgynnlsn av riodn or å a sørr by mo sln. For n idshorison å lanriodn lik ln ln gjldr d i no bgrns grad. Hr vil dn oimal sragin vær å so invsringn id vi når dn kriisk orrnsingsgrnsn. D vill ikk vær illl om rodksjonn knn ha orsa n å må a hnsyn il d ngaiv ksrn virkningn. Mrknad 5 > knn vær n rimlig anagls drsom vil illo a. I og md a vi sr å n lanriod or slska sr jg ikk å d som roblm da slik lanriodr ikk har ovrsklig horison. 5

50 . Økonomisk vks md innksska.. Modllbskrivls I dnn modlln brakr vi n konsmn som drivr nklmannsorak. Enklmannsoraks rodknksjon r rrsnr vd k som r n nksjon av kaialn i slska ilsandsvariabln. il nhvr id må konsmnn a n avgjørls å hvor my som skal konsmrs og hvor my som skal rinvsrs/sars. I dnn invsringssragin må han a i brakning a d ålør n innksska hvis kaialn i slska ovrskridr n hvis grns i dnn modlln gi vd. Sarran r hr gi vd konrollvariabln og skaran vd - α. onsmnn ønskr å maksimr gn ny dvs. å maksimr oalkonsm ovr riodn han drivr slska. Fra økonomisk vksori r d my som ydr å a n oimal sragi vil vær å akkmlr my kaial i ørs dl av riodn or drr å konsmr mr mo sln. Fordi han r sikkr å hvor lng han kommr il å dri slska r han inrssr i å inn n sragi d arn som maksimrr hans oalkonsm ans idshorisonn å slska. Md konsm r idsnh gi vd nksjonn maks d gi α hvis > hvis sår konsmnn ovnor ølgnd konrollroblm md diskonini i kririnksjonn: [ ] ri φ Hr r dm iniial kaialbholdningn i slska ri : s Mrknad 6 sid 6.. Løsningsorslag n innksska Skal innldningsvis løs roblm dr vi anar a d ikk vil ålø innksska dvs. a vi anar a α. D ordi jg ønskr å blys dn oimal løsningn n diskonini. Da har vi Hamilon nksjonn blir da: or all. H U ra H sr vi a konrollvariabln ar randvrdin og avhngig av vrdin il dn adjngr nksjonn. 6

51 hvis > i hvis < ii H som gir oss hvis iii som gir oss hvis Fra ii sr vi a hvis hvis r ngaiv or all no som mdørr a r srng avagndor []. Fra ransvrsalisbinglsn v vi a sidn ri Alrnaiv : Anar ørs a d inns n løsning md > or all mlig sidn Alrnaiv : Anar drr a d inns n løsning md < or all [ ] A D A A D D V a < or all < > < ln Vi sr drmd a n mlig løsning å roblm md <ln vil vær gi vd: Alrnaiv : Md > ln sr vi ra gnskan il og d akm a r n koninrlig nksjon a må kryss grnsn or n gi dr. Da år vi : [ [ [ ] ] ] ar ørs or mg inrvall [ dr : A B A A 7

52 Sr så å inrvall ] dr : D D D V a båd og r koninrlig å Da løsr vi or B og å ølgnd må : hl inrvall []. som gir or ] B B som gir or [ V a og kan brk dnn binglsn il å løs or ln ln : Md >ln vil n mlig løsning å d roblm vær gi vd: ln [ ln [ ln -ln ] -ln ] [ ln -ln ] Bgg løsningn og oyllr hr d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi og kan dror sis å vær mlig løsningr av roblm. Sr vi inn or d lik nksjonn i Hamilon nksjonn sr vi a: H H som r linær og drmd konkav. som også r linær og konkav. For all r drmd dn maksimr Hamilon nksjonn konkav og i ølg d ilsrkklig binglsn or oimali kan vi konkldr md a løsningn vi har nn r oimal. 8

53 .. Løsningsorslag md innksska Løsr nå d orinlig roblm og anar a α Omormlrr slik a vi skal løs ølgnd maksimringsroblm: α maks α d gi [ ] ri Fra ransvrsalisbinglsn v vi a sidn ri hvis α hvis > φ Hamilon nksjonn blir nå: H α α α U ra H sr vi a konrollvariabln ar vrdin og ra vrdin il nksjonn. hvis > α i hvis < α ii iii H α α som gir oss ii mdørr a allid r ngaiv hvis hvis hvis α hvis som gir oss r avagnd å all inrvallr dr r koninrlig. Alrnaiv : Anar ørs a α or all [ ]. D r mlig ordi ransvrsalisbinglsn sir a. Alrnaiv : Anar så a α or all Da har vi: [ ]. [ ]. A A A [ ]. B [ ]. B B 9

54 vil ikk kryss grnsn α or [ ]. Vi sr drmd a < å hl inrvall som gir oss: < < ln < ln < Md <ln har vi n mlig løsning å roblm gi vd: og > > ln Alrnaiv : Md > ln anar vi dror a d inns n som gir oss > α or all < < α or all > s Mrknad 7 sid 6 [ Bgynnr md å ndrsøk roblm å inrvall dr : A Sr drr å inrvall B α A ] dr α D α A Sidn r n koninrlig nksjon å hl inrvall [ ] kan vi løs or : og vi år [ ] U ra d vi nå v om kan vi asslå ølgnd om når nksjonn vil kryss linjn :.A Hvis vil ikk kryss grnsn or [ ]. Da vil ikk N vær oyl og vi bnyr oss ikk av d nødvndig binglsn or diskonini. 5

55 Når > kryssr ilsandn grnsn å inrvall [ grnsn or andr gang å inrvall ].B. > innr vi vd å s å dr. D som avgjør om vil kryss vil kryss grnsn/havn å grnsn or andr gang kryssr ikk grnsn or andr gang I alrnaiv.b og. kryssr virklig grnsn og N r oyl. Da må vi bny d nødvndig binglsn or diskonini il å løs roblm. Skal nå inn løsningn av r illln.a.:.a Anar. Da vil or all [ ] somrslrri α or [ ] D mdørr a vi ikk år no diskonini i sysm vår og vil vær n koninrlig nksjon å hl inrvall. Md har vi: α [ ] < [ < ] [ ] B > [ D < ] Vi v a og kan drmd løs or D: D D Sidn r koninrlig og kryssr grnsn i har vi: B B ln ln Vi v a ln. 5

56 Md og [ ] ln ln] [ - ln - ln] α < [ ln < ln ] år vi ølgnd mlig løsning å roblm: > [ ln < ln ].B Sr nå å alrnaiv dr < <. Da v vi a kryssr grnsn or i illgg il a kryssr/havnr å grnsn or andr gang or n gi. D vi da kan si om α og å inrvall [ ] r som ølgr: α I og md a [ [ ] ] [ [ ] [ ] ] - B - B D D > [ > < < α [ ] også a kryssr grnsn [ ] ] ] å hl inrvall vil vær koninrlig å d inrvall. Vi v B D D or og a. an drmd løs or og : [ B B D D D D D ] ] Finnr også rykk or : I illl. ndr visr jg a løsning å roblm. B B og drmd manglr vi bar or å inn n mlig 5

57 Vil nå bny diskoninisbinglsn il å inn og srang gjør dr : [ ] ] [ φ φ φ : [ ] [ ] 8 ln 8 ln ln ln ] [ 5 Og srang il r: Da har jg løs or all kjn i roblm. Vd å s or all rsriksjonn ålag d lik variabln og nksjonn innr jg ølgnd mlig løsning å roblm: 8 ln ln 8 ln ln 8 ln 9 ln 8 ln 8 ln [ [ ] ] < < > > ] [ ] α ] α [ α [ α α ] [

58 . Anar nå a >. Da v vi a kryssr grnsn or. Har da: [ < [ ] < ] B > [ [ α B > [ [ ] D < ] Vi v a og kan drmd løs or D: D D V også a r koninrlig i og a nksjonn kryssr grnsn an drmd løs or B B og : B ] å d idsnk. [ ln ln Er sikkr å om gjør srang or. Bnyr dror diskoninisbinglsn og il å inn og srang il. B Brkr ørs il å inn og drr il å inn B : [ φ φ ] φ [ ] [ ] [ ] 5

59 B B [ ] B gjør ikk srang i dvs. a r koninrlig å hl inrvall [ ]. D visr sg dror a B B. V a >. Md ln innbærr d a > ln > ln En mlig løsning å roblm når vi orsr a > > blir da: ln >ln [ [ ] [ ln α - ln ] > α [ 8 > α [ - ln] 8 < α - ln ] [ ln - ln] D r illln.a. oyllr d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi. Før jg kan konkldr md a d r oimal må jg karlgg om d inns lr mlig løsningr av roblm. ar ørs or mg illl dr vi krvr a skal vær lik grnsn vd sln av lanriodn. Alrnaiv : Problm jg da skal løs ndrr sg il: α ma α d gi hvis < [ ] α φ hvis Nå sir ransvrsalisbinglsn a ikk r ålag non bingls. Hamilon nksjonn og dirnsiallikningn or og sam konrollnksjonn blir lik som vd roblm dr ri. 55

60 .A Anar ørs n løsning md >α or all [ ] Da v vi a: [ ]. A A A [ ]. B Sidn ikk kryssr grnsn or [ ] vil α å hl inrvall. D innbærr a: B > B B > B > Md har vi drmd nn n mlig løsning gi vd: - B dr B >.B Anar så a <α or all Da har vi a [ ]. [ ]. A A A [ ]. < som bryr md ndbinglsn sidn [ ].. Anar vid r a d inns n > α or all < som gir oss < α or all [ Bgynnr md å ndrsøk roblm å inrvall dr : A A A B > Sr drr å inrvall dr α α D α ] - 56

61 V a r koninrlig å hl inrvall og vi innr : [ Md > år vi >. Da har vi nn ørs skjæringsnk md linjn å inrvall dr. ] Sr a ilsandsvariabln ikk vil kryss grnsn or andr gang å inrvall. Da har vi: α [ ] [ [ ] [ ] B > [ B > [ D < ] V a kryssr linjn og a dn r koninrlig i : B B [ D D ] Er sikkr å om gjør srang or. Brkr dror binglsn og or å inn srang il. B og [ ] [ φ φ ] φ [ ] [ ] B B [ ] B 57

62 D visr sg a hllr ikk gjør srang or i illl dr. D innbærr a r koninrlig å hl inrvall [ ] og vi år dror B B. Vd å s or rsriksjonn ålag nksjonn innr jg ølgnd løsning: > ln/ α [ ] [ [ ] [ ] > [ > [ < ] Alrnaiv 5: Grnsløsning il sl må vi a or oss ssialilll n såkal bondry soliongrnsløsning som kan vis sg å vær oimal hvis idshorisonn å lanriodn r ilsrkklig lang. På bakgrnn av skan som blir ålag drsom kryssr kan vi olv å å sørr oalkonsm hvis vi ålggr n rsriksjon mo å kryss dnn grnsn. Skal nå s om vi innr n løsning av roblm drsom vi krvr a or all. Sr vi o roblm md nvn rsriksjon år vi: ma α d gi [ ] ri α sidn aldri kryssr grnsn. Hamilon nksjonn blir da: H hvis > og vi sr hr a n oimal konroll r gi vd hvis < Løsningsorslag og. rsnr idligr i ogavn gir oss løsningn å d roblm or ln. For ln i løsning. år vi og. La oss nå ana a >ln når vi krvr a. I og md a ikk kan kryss grnsn og r n voksnd nksjon or > og avagnd or < må d or n >ln inns o idsnkr la oss kall d og dr. Hvis så r illl må ' ' ' ordi dn oimal bann il mllom o nkr å grnsn ikk kan ligg ndr. 58

63 Md ' ' ' år vi Dn ns vrdin kan a å d inrvall r drmd. Er sørr llr mindr nn vil ikk vær oimal mn som vis ovr llr. Md >ln må vi dror ana a n løsning å roblm vil gi oss å n dl av inrvall ar vi gangsnk i ldningr jg har vis idligr i ogavn vil vi or >ln ha: [ ' ' ' ' ' ' ] ' A < [ '' < ] B ' ' ' ' ' ' D > [ ' < ' ' ] Båd og r koninrlig nksjonr i og md a aldri kryssr grnsn. A sidn ' '' ' ' '' '' ' '' ' B '' ' ' '' D [ ' B '' '' ' '' D '' ' '' '' ] '' '' ln '' ln [ ' '' ] Md og >ln vil n mlig løsning å roblm vær gi vd: ' og ' ' ln [ ln - ln ] < [ ln < ] ln > [ ln < ln ] 59

64 .. Osmmring Har nå rsnr lr løsningr som oyllr d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi or å vær n oimal løsning av roblm. I illgg dkkr løsningn all osiiv sørrlsr or. Hr ølgr n ovrsik ovr d løsningsalrnaivn jg har nn: idshorisonn å lanriodn Løsningsorslag [ ln] Alrnaiv ln Alrnaiv.A Alrnaiv.A og.a ln ln ln ln ln 9 ln ln 9 8 ln ln 8 ln Alrnaiv.A Alrnaiv.A og. Alrnaiv. og 5 Alrnaiv.B. og 5 Alrnaiv.B.. og 5 Alrnaiv.. og 5 Vi sr a d å sks av inrvalln r lr løsningsorslag som gir n mlig løsning av roblm. Jg r oa av dn oimal løsningn av roblm og må dror s nærmr å diss illln. For å avgjør hvilk av løsningsorslagn som r oimal bnyr jg mg av vrdinksjonn or å sammnlign d alrnaiv løsningn. Sr o vrdinksjonn or d illln som r akll or sammnligning:.a V α d som hr rdsrr sg ilv α d ordi V α d i og md a å d inrvall. V d ln ln.b V ln α d d d ln ln 6 9 6

65 .: V - α d d 8 8 ln.a V α d sidn or all.. V - α d d ln 5 V d d d ln ' ln For : Løsningsorslag.A r å orrkk rmor.a i og md a > For ln ln : Også hr r løsningsorslag.a å orrkk d ordi: > or all ln ln For ln ln 9 : Hr r 5 n bdr løsning nn. ordi ln > å d akll inrvall. For ln ln 9 : Sammnlignr vi d r alrnaivn.b. og 5 å d inrvall sr vi a 9 > ln d inrvall. > som orllr a 5 r d oimal alrnaiv også å 6

66 8 For ln ln : Hr sr vi a d inns hl ir lik løsningsorslag. Vd å sammnlign dm å d inrvall innr jg ølgnd: ] 5 oimal or ln.67.b oimal or.67 ln 6 sørrlsn å d inrvall r ca oimal or ln ln 8 For ln På d inrvall r. d orrkn alrnaiv ordi 8 > 8 > ln or all > ln. Som nvn idligr oyllr løsningn rsnr ovr d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi or å vær n oimal løsningr av roblm. Når vi i illgg v a liggr å lkk inrvall [ ] sikrr sandard ksisnssningr or a vi har n oimal løsning av roblm s vdlgg. U ra sammnligningn ovr kan jg drmd konkldr md a dn oimal løsningn av roblm vil vær gi vd: idshorison Løsningsorslag Alrnaiv : Ingn invsring. [ ln] ln ln ln.67] Alrnaiv.A: og α Alrnaiv 5: Grnsløsning 6 ln.67 Alrnaiv.B: o skjæringsnkr: ln 8 6 ln Alrnaiv.: E skjæringsnk or I igr 8 ndnor sr vi dn oimal bann il or roblm md og n innksska. I roblm md innksska sr vi a dn oimal bann r diskoninrlig å o idsnkr og a dn r konsan å d inrvall dr d ikk r oimal å kryss grnsn. I roblm n innksska sr vi drimo a dn oimal bann r koninrlig å hl inrvall. 6

67 Oimal ban or diskoninrlig vrss koninrlig 8 6 n innksska md innksska Figr 8: Oimal ban or diskoninrlig vs. koninrlig Figr 9 visr dn oimal bann il i roblm md innksska når idshorisonn r gi vd 65. Dn oimal løsningn r da gi vd d alrnaiv hvor kryssr grnsn o gangr alrnaiv.b. Da sr vi a gjør srang i d grnsn krysss or andr gang. På d idsnk gjør srang r >. 5 Oimal ban or i roblm md innksska or Figr 9: Oimal ban or når 65 6

68 ..5 Invsringssragi Invsringssragin i nklmannsorak avhngr som vi sr ovr av idshorisonn il orak. På kor sik sr vi a dn bs sragin vil vær å s hl bor ra invsringr og hllr konsmr jvn d som rodsrs il nhvr id. På mllom lang sik sr vi a d vil lønn sg å akkmlr my i sarn or å å rodksjonn o å høyr nivå ør n bgynnr å konsmr. D vil likvl ikk lønn sg å ølg dnn sragin ll mn bgrns kaialn il å ligg ndr skagrnsn slik a n slir nna d ksra kosnadn skan mdørr. Ikk ør å lang sik vil sragin som vis sg å vær oimal i roblm n ska vær lønnsom. Førs når idshorisonn blir ilsrkklig sor vil oalkonsm bli maksimr vd å invsr al n rodsrr il d gjnsår n kor riod dr n rdsrr invsringn il og drr konsmrr riodn. Mrknad 6 Har i d orinnlig roblm sa n ri ndbingls å. Fordi vi o krvr a konsmnn vi brakr i n slik modll ikk skal knn avsl lanriodn md gjld skll i gangsnk ndbinglsn vær gi vd. I og md a samlig av d mlig løsningn jg har nn og dror også d jg har konkldr md a r oimal gir > vil d hr ikk vær nødvndig å vrdr llr rsnr d løsningsorslagn vi vill ha å md. ri r n rir ndbingls og sidn løsningn vi har nn ikk bryr md kan vi konkldr md a d vil vær oimal. Mrknad 7 D r i ørs omgang n anakls som snr i ogavn blir bvis a holdr. Vi knn i orin nk oss a dnn anaklsn ikk vill hold or all > i og md a kan gjør srang hvis kryssr grnsn or idsnk il høyr or. D srang knn mdør a ho ovr α or n > som sridr mo anaklsn ovr. Sidn r n srng avagnd nksjon å all inrvallr dr dn r koninrlig vill kryss grnsn α å ny or n >. > α > α Md vill d mdør a < α < α ' ' ' ' ' ' ''. Mn d vill ikk vær oimal ordi dn oimal '' > > '' bann il å inrvall '' kan ikk vær å v orm. Fordi d ikk vill vær n oimal ban or kan n slik løsning hllr ikk inngå i dn oimal løsningn av roblm. 6

69 . Osmmring og konklsjon I dnn ogavn har jg a gangsnk i dn orin som omhandlr diskoninrlig konrollroblmrsirsad og Sabrn 7. Mål har vær å blys dlr av dn ny orin og å s om dn holdr i raksis. Innldningsvis har jg rsnr d ny binglsn som må vær oyl hvis vi har diskonini i dirnsialligningn og/llr kriri. Maksimmsrinsi holdr rmdls i d roblmn som ramms av diskonini mn dn adjngr nksjonn vil ikk nødvndigvis vær koninrlig or all. E av d vikigs rslan r dror srang binglsn som bskrivr srang il å d idsnk sysm ndrr sg. Vidr r d vikig å mrk sg a så lng diskoninin liggr i dirnsiallikningn og/llr kriri vil ilsandsvariabln rmdls vær koninrlig. D ir ksmln jg har s å i dnn ogavn o md diskonini i dirnsiallikningn og o md diskonini i kriri visr a d ny binglsn ngrr i raksis. Løsningsorslagn blir likvl mr omand n d vi sr i sandardroblm og d kan vær ordrnd å inn oimal løsningss. Analysn som r gjor i dnn ogavn gir non rslar d r vrd å mrk sg. I sandardroblm vil dn oimal konrolln vær koninrlig i d illln dr Hamilonnksjonn r srng konkav md hnsyn å. I modlln md oljvinning sr vi a d ikk vil vær illl drsom ilsandvariabln kryssr grnsn. Hr r diskoninrlig å d idsnk kosnadsnksjonn ndrr sg il ross or a Hamilon nksjonn r srng konkav i. I d r ksmln vi r r oimal invsringssragir sr vi a d or viss idshorisonr å lanriodn vil vær oimal å bgrns invsringn slik a ilsandsvariabln ikk kryssr grnsn. D or horisonr d i koninrlig roblmr vill vær oimal å orhold invsringn. Hvis d må bal ska drsom ormn din ovrsigr n gi grns blir d mindr arakiv å sar. Rslan i dnn ogavn visr a orin nå r i sand il å a høyd or d. I d ls økonomisk roblmr som r koninrlig vil hamilon nksjonn vær konkav i og. I diss illln år vi o n nydig løsning som oyllr d ilsrkklig binglsn or oimali. I diskoninrlig roblmr inns ikk så nkl ilsrkklig binglsr og vi r i sørr grad avhngig av å sammnlign vrdinksjonn or å inn oimal løsningss. I lr av ksmln i dnn ogavn sr vi a d or non idshorisonr r lr løsningsorslag som oyllr d nødvndig binglsn og dror kan braks som mlig løsningr av roblm. Vd å sammnlign vrdinksjonn il d lik løsningsorslagn har d vær mlig å inn d oimal løsningss. Grnnn il a d rmkommr lr løsningsorslag or samm horison r a roblmn ikk lngr kan sis å vær konkav. Slv om diskoninrlig roblmr ikk oyllr d ilsrkklig binglsn or oimali vil dn oimal løsningn allid vær å inn blan d konrolln som oyllr d nødvndig binglsn or oimali. I mang diskoninrlig roblmr vil dror ksisnssningr hold som ilsrkklighsargmn or oimali. Bors ra i ksml md oljvinning vil d vær mlig å bny ksisnssningr or å bkr a vi har nn n oimal løsning. D ny binglsn har vis sg å vær ilsrkklig slmn il d nødvndig binglsn i maksimmsrinsi or å knn løs diskoninrlig roblmr. D kan imidlrid vær ordrnd å analysr mr krvnd modllr nn d som r bhandl i dnn ogavn. D r lr lmnr å a hnsyn il og løsningss blir mr osykk n d vi r van md ra sandardroblm. 65

70 Jg vil likvl konkldr md a orin r osiiv ilskdd or økonomr og andr som bnyr sg av konrollori i drs rskiv arbid. orin ånr or a mr komlisr roblmr kan analysrs vd hjl av konrollori. 66

71 5. Lirarlis Sirsad A. og. Sydsær 987: Oimal conrol hory wih conomic alicaion Norh Holland Amsrdam. Sydsær. A. Sirsad og A. Srøm : Mamaisk analys bind Gyldndal Akadmisk Oslo. Sirsad A. og S. Sabrn 7: Disconinos conrol sysms kommnd mmorandm ra økonomisk insi vd Univrsi i Oslo. 67