R2 2011/12 - Kapittel 6: 6. februar 27. februar 2012

Transkript

1 R 0/ - Kittl :. frur. frur 0 Tommy & Tigr id sid ø ølgr og rr: ølgr og rr r mtmtis mr som sillr sg dl fr dr. Egtlig u dt vært udrvist i dt llrd tidlig i grusol sjøl om mt li gs vidløftig. r følg vi hr jt fr vi vr gs små. Lid.. og I solsmmhg lærr vi også tidlig og og J sj til og md M hv md? Ellr 0? Ellr? Ellr? Ellr 00? Når vi lggr smm ldd får vi rr. D rømt forml står Liiz og d rommr lutslig o lgt mr sml ovfor: l dr fi r dt r å multilisr md ovrlt. M dtt r trig forml drsom m r å jt ttr stor øytight å. Prøv! Dt idis mtmtigit Rmuj lrt å fi mgd mystis smmhgr. Hr r o utvlgt: Hr r o v hs formlr som omirr og : Vi sl ru t r tis hjlmidlr og dt vær grit å itrodusr dm md gg: sio lultor lrr å ru summforml. Dr må h t uttry for dt grll lddt som dr hr som forml for r. D hrmois r sr sli ut: dr ldd ummr r /. l vi summr d 00 først ldd md sio lir dt sli: OPTN AL og drttr sriv sli: X X 00 EXE og få svrt. Altså: ørst forml for drttr d vril x så strtvrdi så sluttvrdi for x og til slutt srg. Hus omm som r t 00

2 ommdotg for sio. rgt til slutt utlts og sio vlgr d dt mst turlig:. M lultor også rus til å t dr srg! vrt å urt d r sl vær litt høyr og grs år vi går mot udlig vil vær Excl r t morsomt hjlmiddl for rr: Ldd r. Lddvrdi Aumulrt summr Kolo A: Vi trgr tllolo for å vit lddummrt. riv i i A og i A og oir/tr diss to cll dovr. Excl fir d st vrdi. Kolo : riv i =/A i cll. Koir/tr d cll dovr. Dtt r sjølv r. Kolo : riv i = i cll. Dt r d først summ ltså v r ldd. riv i =+ i cll. D hr vi lg systmt dr forrig sum øs md st ldd. Tr/oir dovr og du hr summ ttr hvrt ldd. Prøv å lg diss tr olo lg for å s hvord dt går llr sj lultor i smlt ovfor. E god tst v Excl og sio: Hvis dr vil h i r til å gå mot π dr røv å gg d md : llr: Dr må fi t grlt ldd uttryt vd lddr. og uttryr gg oddtll r rtll og siftr fortg md hvr gg mius og luss: Ly til! TI-sir hr også summforml. Hr r smlr å r som lir l x og å d som lir π: E svært morsom ttsid r htts://ois.org/! Hr dr slå i rfølg v hl tll itgrs og få svr å v slgs systm dr hr slått i: : A0000 Th turl umrs. Also clld th whol umrs th coutig umrs or th ositiv itgrs. : A000 trl olygol umrs th Lzy trr's squc: +/ + ; or mximl umr of ics formd wh slicig c with cuts. ør dr å mitt m dur dt i ll fll o hvisigr til rr som lt hr du o udr udrvisig å NV

3 Kldd Ihold Dto U. Tllfølgr: Tll som står ttr hvrdr i stmt rfølg r tllfølg. r dlig tllfølg. r udlig tllfølg. Hvrt tll r t ldd. M {}={ } r mgd. Grr rut ssilt følg som u ytts til gomtris figurr: Trttll 0 firttll og yrmidtll 0 Vi turligvis også t oss fmttll ssttll trigtll m. fl. Dt grll lddt dt -t lddt i følg lls og vi trgr oft forml for dtt lddt uttryt vd hvilt ummr lddt r i følg: Rr: Når vi sttr luss mllom ldd i tllfølg får vi i r. Drvd lir også summ v ldd itrsst for sml: = = =. Aritmtis følgr og rr: Dt fis mg slgs følgr og rr. Vi sl ostrr oss om tyr ritmtis og gomtris. Aritmtis hgr øy smm md ddisjo. Dfiisjo: Ei ritmtis r r i r dr hvrt ldd r li lddt for luss t fst tll. Dt fst tllt vær gtivt. = + d og = - + d Dt fst tllt lls diffrs og srivs grlt md ostv d. orml: Dt -t lddt i i ritmtis r r gitt vd = + - d vis: I o står dt i vis r i utrgig for t visst tll ldd. d d d d d d d d d d Rs diffrs r lltid l å fi: T to ldd som ommr ttr hvrdr og rg ut diffrs. Dtt r også vist for å vis t i r r ritmtis: Hvis diffrs r ostt. udd forml: d = = - Hvis dr for sml jr ldd og ldd i i ritmtis r må dt vær d r mllom diss to ldd: d =. umm v d først ldd i ritmtis r:.. Guss sitt fr tidlig solldr gi ut å å summr først og sist ldd dr og stsist ldd osv. Diss summ lir li. å trgt h til slutt å gg diss summ md hlvrt v tll ldd. Vr dt t uli tll ldd l h til rs midtrst ldd. Dtt stts o i l forml. Vi rur litt tgg. orml: umm v d først ldd i i ritmtis r r orml r ltt å forstå år vi hllr sir d sli: umm r gjomsittt v ll ldd multilisrt md tll ldd. vis: I o står dt i vis r i utrgig for t visst tll ldd. Dt r ltt å s t ll ldd i rts r li stor og srivs som + : Ellrs vi sriv d summ md summtg. Og vi ru lultor til å rg summ-uttryt: Hvis dt grll lddt uttrys for sml som = uttrys summ v d først ldd md d grs ostv sigm stor s sli: Rtisjo v sio: Vi rur smm tg m litt srivmåt. Tst i: <OPTN> <AL> <> 00+X - 00 X <EXE> / /

4 Kldd Ihold Dto ist frist for iførig ittl :...00 / Kort tst ut hjlmidlr! / Morsomm tll: Mtmtir Pul Erdös dfirt Erdös-tll sli: Erdös slv hr Erdös-tll 0. E mtmtir som hr srvt rtil smm md Erdős hr Erdős-tll. E mtmtir som hr srvt rtil smm md som hr Erdős-tll hr Erdős-tll såfrmt h i også hr srvt rtil smm md Erdős slv. li dfirs også Erdős-tll og så vidr. Ovr 00 msr hr Erdős-tll ms tllt som hr Erdős-tll r rudt 000. Ig ordm hr srvt rtil smm md Erdős m dt r flr som hr Erdős-tll lt dm jt v som Atl lrg og Thorlf olm. D først ulisjo som vr Erdős-tll r rtil v sr Goffm fr lt «Ad wht is your Erdös umr?». htt://o.wiidi.org/wii/erd%%s-tll Id r ført vidr v Kvi co susillr og morsommr md Elvis Prsly: Hr du silt smm md Elvis hr du lvisftor llr lvis-tll. Hr du silt md som hr silt md Elvis hr du lvis-tll. Hr du silt md v diss r lvis-tllt. Osv. Hvis dr vil h dr t lvt lvis-tll sl dr jmm md Olv Ro Erichs: H hr t lvt lvis-tll. Mtmtilærr drs hr r limrt ltt å Triggr d trofst gitr til Willi Nlso m dt gir vl o Willi Nlso-tll....0.U. Gomtris følgr og rr: Gomtis hgr øy smm md multilisjo. Dfiisjo: Ei gomtris r r i r dr hvrt ldd r li lddt for multilisrt md t fst tll. Dt fst tllt vær gtivt. = og = - Dt fst tllt lls votit og srivs grlt md ostv. orml: Dt -t lddt i i gomtis r r gitt vd = - vis: I o står dt i vis r i utrgig for t visst tll ldd. Rs votit r lltid l å fi: T to ldd som ommr ttr hvrdr og rg ut votit. Dtt r også vist for å vis t i r r gomtris: Hvis votit r ostt. / udd forml: = : = : - Hvis dr for sml jr ldd og ldd i i gomtris r må dt vær r mllom diss to ldd: = :. Mr dr tilsvrd ru v lultor for gomtris rr! umm v ldd i gomtris r: orml: umm v d først ldd i i gomtris r r D forml r vrr hus Elvo! og dt r i lt å s t d r ritig. M: vis: I o står dt i vis r i utrgig for t visst tll ldd. / N: orml virr i år = m d r sr sli ut: og r ig ssilt sd r!

5 Kldd Ihold Dto - Hltllsrr: Et lit sml fr htts://ois.org/: Prøv i ittl! / Prøv å slå i o rr dr jr og dr vil få forml for dt grll lddt for sml d: Lius d lly squcs A00 d A00: Ths squcs wr ivtd y Nthil Hllrsti rsol commuictio ftr sig this Lius crtoo. I A00 + is chos so s to void rtig th logst ossil sustrig of. This diffrs slightly from Lius's squc i th crtoo. Th lly squc A00 givs th lgth of th ru tht ws voidd U Dts fir juilum md d sid: htt:// rig og lå. Gomtris rr i øoomi: Dr husr forrtigsforml for tt lø i. Hvis vi hr vtlr om å sr t fst lø md jm mllomrom lir summ v itlt lø mdrg rtr og rts rt i gomtris r. Tilsvrd hvis vi tlr d t lå og øsr å tl fst vdrg. Lgg mr til d sjmtis ostilig i læro. Mr ssilt hv som r i dg og hv som r om år. Og hus å t drsom dr rur høyr dl v sjmt må dt ggs. Å rg ovr dvs. mot vstr i dg må dt dls. N: Udrsø vtl drs md diss rgrgl! 0/

6 Kldd Ihold Dto... Kovrgt gomtris rr: Ei r som ør mot udlig luss llr mius divrgrr. Ei r som går mot i grs ovrgrr. usttiv r divrgs og ovrgt djtiv divrgt og ovrgt! Når vi sr om summ v i ovrgt r mr vi summ v ll ldd. M vi også godt vær itrssrt i summ v ldd. Aritmtis rr r i ovrgt. orml: umm v i ovrgt gomtris r r Oft srivr vi r som lltid vil ty først ldd. vis: Hvis llr vil ldd r li størr og størr i soluttvrdi og r r ødt til å vos mot. Vi tr drfor t soluttvrdi v r midr : lim lim 0... Kovrgsområdt for gomtris rr: Vi sl s å gomtris rr dr votit iholdr x llr ujt. Rgl gjldr og vi r siftr ut md x-uttryt og rgr hvil x-r som gir ovrgs. Vligvis r dtt l ulihtr å løs sjøl om d r dol dvs. gtlig to ulihtr. 0/ / Kort tst ut hjlmidlr! /.0.. Mtmtis idusjo: Vi strtr md mist llr tls om t o r ritig. Ksj som rsultt v forsø. Og vi sttr o hyots forml vi vit r ritig i tt tilfll llr for tllt. å rur vi d forml for å vis t d også gjldr for tllt +. Kolusjo r d t forml gjldr for ll hl tll fr og md dt tllt vi to utggsut i..... Rursiv tllfølgr: D rursiv følg r gitt vd t t ldd r dfirt v tidligr ldd i følg. D gomtris og ritmtis vi lltid uttryt vd hjl v dt først lddt. M dt går i lltid. I tosl vår r for sml svigfrvs for lyd dfirt v strø A md 0 Hz dvs. 0 svigigr i sudt og ll d dr to r stmt som rør v diss 0. Esml sid r i fi iførig i ioccir t ldd r summ v d to forgåd. Oft rur vi idusjosvis i smd md diss r og følg. Lgg mr til iocci-r og ir og smmhg md dt gyl sitt!... mmstt sml: Hr møtr dr - som i forrig ittl - i størr ogv som tr for sg mg v ti dr hr lært i itlt. Dt r vitig å s smmhgr år dr lærr o sj ssilt i mtmti dr lt yggr å o dr hr lært tidligr! Prøv dr å ogv! mmdrg v itlt - sid o R: Dtt r stoff som ssr å husl for ittl. Tst dg slv - sid o R: Utfør tst å g hd still ttrmiddg. Drttr rttr du utfr løsig å sid -. Klrr du hlvrt hr du så vidt lrt r! E trdl gir dg stårtr og fir fmdlr r r! Øvigsogv til itlt - sid - o R: sit sid -. Iførig til itlt: / / / Prøv i itlt timr md hjlmidlr: Og så forltr vi sum : Av og til r dt i lt å fi summformlr. Hr r vis for o l rr md vri formlr: umm v d først hltll md utrgigr: 0

7 umm v d først vdrttll går å smm måt: Og summ v d først uitll: Og hr r i list ovr o formlr v smm ty: Er i smmhg mllom d først og d trdj forml gs udrlig? Dt fis ftis grll forml som smmfttr ll diss m d ivolvrr mgt ssill og vslig forml for tll som står for hvrt v -uttry. dfor! ] [ ] [ ] [ ] [

8 Polyomdivisjo og rutvilig: Avsrt om rr: Dr hr lært om udlig ovrgt gomtris rr t summ v udlig mg ldd lir rø: Hvis vi å røvr å dividr tllr å vr hr ttr mtod ovfor får vi: : osv Og drvd sr vi smmhg mllom rø og t v og til udlig lgt uttry. Hv md tilfldig rø? x x x x x x x x x x x Hr to vi i utggsut i o rforml. Livl sr vi t rsulttt vårt lir i r. Og sr vi å uttryt sr vi t dtt også r i gomtris r. roo Tylor ft grll forml Tylors forml ulisrt som omdr fusjor til rr. Dt r i ovrrsd t vi som vlig drivr og itgrr gg sidr v lihtstgt og få y rr. Prøv å d ovfor l x vær d vril oli Mcluri rut Tylors forml for å lg mcluriutviligr v jt fusjor ulisrt. No smlr: Lgg mr til t d sist ostår vd å drivr d st sist. Prøv drttr å drivr llr itgrr d øvrst: Hv sr du? Prøv dt smm md ummr to. x : x x x x x x x x x x!!! x x x l x x x [ ] x x x si x x x!!! x x x cos x x!!!

9 Uli rtyr: Aritmtis-gomtris rr: Hv sjr år i r sl vær åd ritmtis og gomtris? d d dr. Dtt r i r som åd r ritmtis hvrt ldd ør md d og gomtris hvrt ldd multilisrs md. Drsom r r ovrgt og summ lir: d d Hyrgomtris rr: d d 0 x x x x x dr forholdt d srivs som fusjo. Guss studrt sli rr. Aritmtis gomtris og hrmois: Hv liggr i gr? Vi sr om ritmtis gomtris og hrmois rr og følgr. Og vi rur d smm gr om gjomsitt om middltll: Aritmtis middltll: Dtt r dt vi vligvis omtlr som gjomsitt v mgd målt tll gjomsittsldr gjomsittvt. Gjomsittsfrt gjomsittsrtr. Gjomsittt v lir:. Dt ritmtis hr md summrig å gjør. Gomtris middltll: Vi tr oss t gomtris middltll for G som d ositiv t-rot v rodutt v dm:. Vi for sml t oss dt som gjomsittssid i t rtgl md sid og ltså sidlgd i t vdrt md smm rl. Dtt fugrr turligvis også for trigr og for høgr grdr. Hrmois middltll: D middlvrdi gir oss tor vår og hr smmhg md ivrs dvs. å stt t tll i vr i rø. Gjomsittt v lir H ttr forml: H A Hvis m sl ru d å tosl vår sr m itrsst tig. Vi tr utggsut i tohøyd som tll svigigr r. sud ltså i hrtz: Hz. To D E G A H Tohøyd Hz Dt hrmois gjomsittt v og r: H H H lir: ltså. Ellrs r smmhg mllom to rør: D 0 ud: E D E G A G H A H D osv. Otv: D D H osv. tim:

10 0 st: A Kvit: G D A E H Kvrt: osv. Trs: E Vi sr to urglmssightr i otv: På iot mglr dt svrt tgtr. Dr lir forholdstllt i stdt for. Hrmois r: Ei hrmois r ds vd t t ldd r dt hrmois gjomsitt v lddt for og lddt ttr. Dtt tilsvrr d ritmtis r dr t ldd r dt ritmtis gjomsitt v lddt for og lddt ttr; dvs. t lddt liggr midt mllom dt for og dt ttr. Dt visr sg t d hrmois r r ritmtis drsom vi siftr ut thvrt ldd md dt ivrs: Lddt sifts ut md. Lddt sifts ut md osv. Drfor r hrmois: r jo ritmtis. iocci-r: R r ssill! is dt formlr? Hr r sitt fr itrttsid: Is thr formul tht c usd to clcult th th iocci umr? or xml if w wt to ow th 00th iocci umr do w hv to cout o y o? Th swr to th first qustio is "Ys ut " Th swr to th scod qustio is "No." Now for th xltios! orry thy r so log. Th stdrd formul for th iocci umrs is du to rch mthmtici md it. If rrsts th th iocci umr th: whr d r th two roots of th qudrtic qutio It is ot ovious how to driv this formul ut it is sy to rov tht it stisfis 0 = 0 = d stisfis th sm rcursio s th iocci umrs do. W c us th qudrtic formul to s tht og sli t. Accordig to this formul: You might ot guss tht th formul lwys roducs itgr for ch vlu of ut such is th cs. 0 x x

11 M hv gjør m for å fi ummr 00? Hr sr dr t dtt gjør m o i! Dtt r mr tugvit å stt o r ldd for ldd. I rgrrogrmmt Excl r dt lt å rg iocci-tll. Prøv! Klultor drs ør også lr dt. Udr tll fir dr é måt å rogrmmr sj d rus. 00 Dt gyld sitt dvs +/

12 Ett dtrogrm som fir iocci-tll til off Rm To ru strt VPlc.Ex. At ommd: romt tr: Rm ----->>>>> Ru"IPT <<<<<-----; Rm Etr [ if you l to ru this gi soo. gi: AutoDisly0 m; t; 0 g; td ; WritL WritL"Tl of iocci umrs" WritL = sqrt; = + / ; N = ; WritN; Writ" : "; WritN; WritL; Loo: N = N + ; i = 0. + ^N / ; WritN; Writ" : "; + Writ i; WritL; if N < 00 GoUTo Loo; d: Hv md otsr som dr møtt tidligr? r roullitll ulisrt olt ttr Jcqus roulli 0 og i list ovr d først sr sli ut: 0 0 -/ / 0 -/0 0 / 0 -/0 0 / 0 /0 0 / 0 /0 D sist forml r jo gs forfrdlig i si grll form. Og sl m også få t å hv roullitll gtlig r for o lir dt d vrr. D r for øvrig dfirt ttr rursjosforml: dr rsttts md! D må rgs ut tll for tll: Histori d mrlig smlig md tll må dr fi t t std!

13 rå strt v d l: Liiz forml for i dvs. i/ lir sli i Excl: No utvlgt cllr. Exclvrdi for i r: Ldd r. Ldd A. sum Pi mius sum Dr sr t dtt i r o god r for å fi t godt tll for i: Dt r først ttr hlv millio ldd t i r rtt md dsimlr! Tommy og Tigr lvi d Hos: Odtrt osdg. frur 0. Hs Isdhl id sid ø