Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem, mens den ndre kn oppfttes som et fundmentlteorem for kurveintegrler. Identitetene er relsjoner mellom den totle endring v en kvntitet, over et intervll eller en kurve, og en kkumulsjonintegrsjon) v endringsrter. Tilsvrene relsjoner eksisterer i flere dimensjoner. Et flteintegrl v spesielle kombinsjoner v endringsrter deriverte) v et felt kn relteres til feltets verdier på rnd. Det siste er d et linjeintegrl rundt rnd. Tilsvrene vil kombinsjoner v endringsrter i et volum kunne relteres til flteintegrler over volumets rnd. Generelt kller vi disse relsjonene for integrlstser og de kn betrktes som generliseringer v fundmentlstsene skrevet ovenfor. De fsiske spektene ved integrlstsene er end viktigere i MEK1100. Når vi beskriver feks. en væske ved hjelp v fsiske begreper og lover vil noen størrelse nturlig frmkomme som volumintegrler, mens ndre vil frmkomme som trnsport v kvntiteter msse, energi et.) gjennom flter. For å reltere størrelsene til hverndre, slik t lle uttrkkes ved feks. volumintegrler, må vi d bruke integrlstser. Dette gjøres i kp. 10 i kompendiet. Merknd: seksjoner merket med * er orienteringsstoff og vektlegges mindre enn resten. 7.2 Greens sts Tidligere hr vi vist t for et todimensjonlt hstighetsfelt og et rektngel, med rel A, i plnet gjelder 1 1 lim v dr = k v lim v n ds = v. 0 A 0 A 26
7.2. GREENS SATS 27 d 2 3 1 4 b Figur 7.1: Rektngulært integrsjonsområde. Disse relsjonene oppfttet vi som definisjoner v hhv. virvling og divergens for todimensjonle strømninger. I kompendiet brukes disse direkte i et diskretiseringsrgument for Greens sts der en bruker en oppdeling i rektngler og tilnærmede relsjoner som v dr Ak v. Når diskretiseringen forfines vil en d trenge en ekstr nlse v kkumuleringen v feilene i denne tilnærmelsen. I tillegg tilnærmes rnd med trppefunksjoner tilsvrende sidekntene i rektnglene. Det er mulig å inkludere disse forholdene i utledningen, men den blir d me mer omfttende og komplisert. Her skl vi skissere en modifisert frmgngsmåte. Greens sts for rektngler og tringler Her skl vi t for oss noen vnlige mellomsteg som kn lette tilegnelsen og som også hr en egenverdi. Strten er gnske lik frmstillingen i MAT1110. Vi studerer rektnglet,, frmstilt i figur 7.1 og går motstt vei i forhold til grenseovergngene ovenfor; vi integrerer virvlingen over flten. Når vi deler opp integrnden og velger pssende rekkefølge på integrsjon mhp. og kn dette dobbeltintegrlet overføres til enkeltintegrler som kn tolkes som kurveintegrler lngs de fire sidekn-
28 Tillegg om integrlstser d 2 1 3 b Figur 7.2: Tringulært integrsjonsområde. tene 1, 2, 3 og 4. v v d b d d = d d = v b )d v )d v d d b v d)d + = v d + v d + v d + v d 1 3 2 4 = v dr + v dr + v dr + v dr 1 3 2 4 = v dr b b d v d d v )d 7.1) der = 1 + 2 + 3 + 4 er den totle rnd til. For et rektngel hr vi d vist v v d d = v d + v d 7.2) som klles Greens sts. I utledningen merker vi oss t de vgjørende mellomstegene bgger på nlsens fundmentlteorem. Likning 7.2) kn derfor betrktes som en direkte utvidelse v dette teoremet. Greens sts kn tilsvrende utvides til områder med ndre geometrier, feks. geometrier med enkle krumme render. Dette overlter vi til MAT1110 og nøer oss med å demonstrere Greens sts for en treknt. En tringelgeometri er frmstilt i figur 7.2. Den skrå delen v rnd, 1, er gitt ved /b + / = 1 og kn prmetriseres ved hjelp v r) = i + )j = i + b j
7.2. GREENS SATS 29 6 5 2 2 2 3 1 1 4 Figur 7.3: Smmenstt integrsjonsområde. eller ved hjelp v r) = )i + j = b b i + j. Dobbeltintegrlet v virvlingen blir nå v v d ) v b d d = d d d d b = v ) )d v )d v ))d + = v d + v d + v d + v d 1 2 1 3 = v dr + v dr + v dr 1 2 3 = v dr ) b v d d v )d 7.3) der = 1 + 2 + 3 er den totle rnd til. Vi legger merke til t vi fktisk ikke hr brukt t 3 er en rett linje. Regningen i 7.3) forutsetter bre t 3 er slik t den kn prmetriseres både med og med. Vi kn gjøre en tilsvrende utledning v Greens sts for lle rettvinklede treknter.
30 Tillegg om integrlstser Greens sts for smmenstte områder Når Greens sts er etblert for rektngler og rettvinklede tringler kn vi sette smmen slike elementer og vise Greens sts for mer kompliserte områder. I figur 7.3 er et rektngel kombinert med et tringel. Greens sts for områdene gir v v d d = v dr + v dr + v dr + v dr 1 3 2 4 1 v v d d = v dr + v dr v dr. 5 6 2 2 Legger vi smmen disse relsjonene knsellerer bidrgene lngs det felles rndelementet 2 og vi får v v d d = v dr + v dr + +v dr +v dr + v dr 1 5 6 3 4 1 2 = v dr der nå er rnd til området smmenstt v 1 og 2. Slik kn vi umiddelbrt vise Greens lov for lle firkntede og trekntede områder. Vi kn også gå ut fr t et generelt område,, kn tilnærmes med et prtisjonering v tringler, eller firknter kombinert med tringler. Setter vi d opp Greens lov for hver enkelt tringel/rektngel og summerer vil lle bidrg fr interne render knsellere. Vi står d igjen med t et dobbeltintegrl over et område som tilnærmer er lik et kurveintegrl over en tilnærmelse til rnd tpen gitt i figur 4.2) i tillegg til kp. 4. Når oppdelingen gjøres uendelig fin vil d Greens sts for det generelle området frmkomme i grensen. Kommentr: Oppdeling v områder i tringler tringulering) eller firknter er brukt i representsjon v geometrier i en rekke smmenhenger. Bl.. brukes det i en numerisk metode, klt elementmetoden, der oppdelingen v geometrien i elementer tringler/firknter) kombineres med ntgelsen om en enkel fsisk eller mtemtisk ntgelse om vrisjon og kobling mellom de fsiske feltene på hvert element. Eksempler på tringuleringer er gitt i figur 7.4. 7.3 Guss og Stokes sts i plnet Greens sts på formen v v d d = v d + v d 7.4) er ekvivlent med komponentlikningene P d d = P d Q d d = Q d 7.5)
7.3. GAUSS OG STOKES SATS I PLANET 31 0.3 ) 0.2 0.1 0 0 1 b) 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 384.4 8.0 10 3 1.0 10 4 1.2 10 4 1.4 10 4 Figur 7.4: ) Tringulering i elementmodell for brudd i bjelke. Oppdelingen er forfinet nær det området som er forventet å være kritisk. Koordintene er normilserte. b) Tringulering v Tfjord i Møre og Romsdl, brukt i forbindelse med tsunmien i 1934 der 41 mennesker ble drept. Akser er i m.
32 Tillegg om integrlstser der P tilsvrer v og Q tilsvrer v i 7.4). Likning 7.4) kn også skrives k v d d = v dr som er et spesiltilfelle v Stokes sts, som kommer i generell utgve siden. Setter vi P = v og Q = v i 7.5) følger v + v d d = v d d = v d v d 7.6) 7.7) som er en utvidelse v vår definisjon v divergens og er en pln utgve v Guss sts. I plnet er Stokes og Guss sts mtemtisk ekvivlente, og tilsvrer Greens sts, selv om de kn gis ulikt fsisk innhold. 7.4 Guss sts i 3D I 3D kn vi utvikle en generlisering v den plne Guss sts ved å integrere v i bokser, prmider ol. Deretter kn slike volumelementer brukes til å prtisjonere et generelt volum. I grensen når oppdelingen blir uendelig fin får vi d den generelle Guss sts v d d dz = v d = v nd 7.8) der er flten som omgir. Likning 7.8) sier t summen v divergens i er lik volumstrømmen ut v. Også 7.8) kn deles i komponenter når vi setter n = n i + n j + n z k. v d = v n d v d = v z z d = v n d v z n z d. 7.9) Disse relsjonene kn vi enkelt bruke for å utlede ndre former v Guss sts. Trkkintegrlet kn behndle på følgende vis pn d = i pn d + j pn d + k pn z d = i = p d + j p d + k p d. Vi kn d sette opp en vrt v Guss sts pn d = p d. p z d 7.10) 7.11)
7.5. STOKES SATS 33 På tilsvrende måte kn vi vise n v d = v d. 7.12) 7.5 Stokes sts Stokes sts kn generelt skrives v dr = v n d 7.13) der lmbd er rnd til flt. Retningen på n må være slik t når vi lr fingrene på høre hånd følge omløpsretning for peker tommelen i smme retning som n. Det er klrt t 7.6) er et spesiltilfelle v 7.13) der flten er pln og ligger i -plnet slik t n = k. 7.5.1 Stokes sts begrunnet vh. diskretisering I kompendiet utvikles Stokes sts fr den plne utgven 7.6) vi en prtisjonering v der flten tilnærmes med en kombinsjon v plne fltelementer. Argumentsjonen kn her gå i tre trinn 1. 7.6) er demonstrert for todimensjonle hstighetsfelt v = v )i + v )j. Det gjør ingen forskjell om vi putter inn et tredimensjonlt felt; v z gir ikke bidrg til k komponenten v virvlingen og z er konstnt i lle integrler. 2. Koordintsstem og tilhørende dekomponering v v kn velges fritt. Hr vi en generell pln flte i R 3 kn vi d velge et koordintsstem slik t flten ligger i det ne -plnet. Derfor gjelder Stokes sts for lle plne flter. 3. Til slutt tr vi for oss en generell flte og diskretiserer denne med tringler eller ndre plne flte-elementer). Stokes sts gjelder d for hvert tringel, lle kurveintegrler lngs interne tringelgrenser nulles ut når vi summerer Stokes sts over lle tringlene. Vi står d igjen med t en tilnærmelse til flteintegrlet v d er lik en tilnærmelse til kurveintegrlet v dr. Når oppdelingen gjøres uendelig fin frmkommer så 7.13). 7.5.2 Stokes sts utledet fr Greens vh. prmetrisering. Også Stokes sts kn deles i komponentlikninger v v d = z j v k n d v d = v z i + v k n d vz v z dz = i v z j n d. 7.14)
34 Tillegg om integrlstser Disse tre delstsene kn vises hver for seg og vi skl se på den første. Vi ntr t det finnes en prmetrisering for slik t rt s) er definert over et område i t s plnet. Videre nts det t vbildningen er entdig slik t rnd v i t s plnet, C, vbildes på i z-rommet. En utledning v øverste likning i 7.14) kn gå i tre trinn i Dersom C, rnd i ts-plnet, prmetriseres ved t = tq), s = sq) hr vi smtidig en prmetrisering v : r = rtq) sq)). Kurveintegrlet kn d skrives dt v d = v rtq) sq))) t dq + ds dq. s dq Denne kn uttrkkes på formen v d = C C P t s) dt + Qt s) ds der P = v / t og Q = v / s Vi overfører ltså kurveintegrlet i R 3 til et kurveintegrl i t s plnet. ii Flteintegrlet i øverste likning i 7.14) overføres til et dobbeltintegrl over ved å bentte nd = r/ t r/ s dt ds v z j v k n d = It s) dt ds der I = v z z s t t z s v t s s t iii Greens sts gjelder enten de fri vrible heter eller t s. Derfor gjelder Q P dt + Q ds = t P dt ds. s C Dersom I slik den frmkommer i ii) og P, Q, slik de frmkommer i i) oppfller Q t P s = I hr vi vist øverste likning i 7.14). Direkte regning gir Q t P = v v s t s s t = = = I v t s v s t v t + v t + v z z t s v s + v s + v z z s t der vi merker oss t en del ledd knsellerer i overgngene.