Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr förfttren vikten tt h en mtemtisk teori och frmhåller etydelsen v de mtemtisk idéer som ligger kom teorin. Hn vrnr för tt ensidigt fokuser mtemtikundervisningen på prolemlösning. Regning eller mtemtikk? Først vil jeg frmheve t, med den nuværende skolepolitikken, skulle det knskje være mer interessnt å dettere om vi skl h mtemtikk i skolen i det hele ttt, eller om vi re skl h regning. Utviklingen v mtemtikkundervisningen hr gått mot å gjøre teorien miniml, definisjonene lir mer og mer upresise, ksiomtikken forsvinner og lir erstttet v heuristiske rgumenter, intuitive figurer ersttter klre rgumenter og prolemløsning lir erstttet med regning. et de fleste kller mtemtikk i dg er i virkeligheten meknisk mnipulsjon med tll, geometriske ojekter eller funksjoner, hvis opprinnelse er uklr og hvis mål er å nå et uttrykk som finnes i fsit. Først når mn estemmer om denne utviklingen skl vendes lir det menigsfullt å diskutere forholdet mellom prolemløsning og teori. Ordet prolem i denne rtikkelen får ikke noe sted forveksles med regning. et er ingen med noe innsikt i mtemtikk som i dg vil rgumentere for mer regning. n Lksov är professor i mtemtik vid KTH i Stockholm. Hn hr vrit föreståndre för Mittg - Lefflerinstitutet. Nämnren nr 4, 1993 Mer prolemløsning? rgumentene for å h mer prolemløsning er klre. Prolemer vekker elevenes interesse og motiverer dem til å legge ned reid, energi og oppfinnsomhet for å finne en løsning. På veien lærer de seg mtemtikk på en skpende måte. e som lykkes får også styrket selvtillit og høy prestisje i skolemiljøet. e lir etrktet som egvete og lir oppmuntret til å gå videre, lndt nnet ved å delt i ulike mtemtikkkonkurrnser og der måle seg mot ndre. Prolemløsningen oppøver også elevenes nlyserende og logiske evner. ette hr de nytte v på lle områder, åde ved teoretiske studier i ndre emner og ved prktiske nvendelser. et siste er viktig ettersom et v de sterkeste rgumentene for å h mer mtemtikk i skolen er t mtemtikken trener elevene i å tenke logisk og skjerper deres nlytiske evner. et er imidlertid feil å forveksle evnen til prolemløsning med intelligens og mtemtisk egvelse. yktighet til å løse mtemtiske prolemer er en ferdighet som kn læres. et er kjent t med riktig trening og hårdt reide kn forusende foredringer oppnåes v denne ferdigheten. ette hr 43
mnge nsjoner innsett og før mtemtiske konkurrnser sender de sine deltgere til stenhårde treningsleire, som kn vre i ukesvis. Like sikkert som suksess leder til øket motivsjon for mtemtikk vil mislykkende i å løse oppgver medføre tvil på den egne mtemtiske egvelsen og på mulighet til å lære mtemtikk. ette til tross for t mnge elever som mislykkes hr etydelige teoretiske evner. ermed kn en overdrevet stsning på prolemsløsning skremme ort like mnge fr mtemtikken, som den lokker dit. et er ikke like lett å vekke elevenes interesse for mtemtikk ved å forklre mtemtiske idéer og de teoriene disse hr gitt opphv til. reidsinnstsen er større og det tr lengre tid og krever mer motivsjon å lære seg teori. For mnge er imidlertid elønningen større og innsikten i mtemtikk, og mtemtisk tenkemåte kn få en helt ny dimensjon. I mtemtikken går teori og prolemløsning hånd i hånd. Ofte er det vnskelig å skille mellom dem. Prolemer gir opphv til idéer og idéene leder ofte til teorier som hjelper til å løse prolemer, ofte på en så nturlig måte t det ikke er lett å oppdge t resulttene vr prolemer. Ingen vil fornekte prolemenes store etydning for mtemtikken, åde ved t de peker på viktige spørsmål og ved t de virker inspirerende på mtemtikere. Hvem kjenner ikke til firefrgeprolemet, Riemnns hypotese 1) eller Fermts store sts og vet hvilken etydning disse hr htt for mtemtikkens utvikling? en lngt største delen v mtemtikken estår imidlertid v teori og det er innlæring v mtemtiske ideer og utvikling v teoriene som er grunnlgt på disse, som tr den største delen v mtemtikernes reidstid. Svrende til denne, knskje noe kunstige, oppdeling v mtemtikken kn også mtemtikerne klssifiseres som prolemløsere eller systemyggere. Selvsgt kominerer de fleste mtemtikere egge evnene, men det finnes ekstremer i egge retninger. 1) Se fktrut i slutet v rtikeln. Med mtemtisk forskning som forilde skulle pensum i skolen h en overvekt mot teori og oppgvene skulle på en nturlig måte være knyttet til de mtemtiske ideene som ligger til grunn for teoriene. Vi skl selvsgt ikke overvurdere likhetene mellom forskningen og skolemtemtikken. Imidlertid er det viktig å påpeke den store forskjellen mellom proemene som oppstår i forskningen og de som konstrueres for skolen. e første oppstår nturlig fr en stor mengde erfring og løsningsmetodene er ukjente. Ofte kn det vere vnskelig å formulere prolemene riktig og ennu vnskeligere å forutse utseendet v svret. Typiske skoleprolemer er derimot sterile og kunstige. Løsningen er kjent og løsningsmetodene kn være stndrd eller være opplgte for en som kn litt teori. Svrene leder som regel heller ikke noe sted. et er re et fåtll skoleprolemer som virkelig utvikler elevenes innsikt i mtemtikkens ntur. Nturligvis er forklringen til dette t slike prolemer er lettest å konstruere og t det re er slike prolemer elever, med en egrenset teoretisk kgrunn, umiddelrt kn forstå. Tre prolem For å illustrere påstndene ovenfor skl jeg gi 3 eksempler på typiske prolem som forekommer i skolen og ved konkurrnser: For mnge virker det spennende å vgjøre om tllet 7 deler tllet 2 63 1. e fleste klrer også, etter en tids reide, å vise t 7 deler dette tllet. For en person som kjenner til modulregning er imidlertid prolemet helt uten interesse. e vet t det rekker med å regne med tllene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og skulle umiddelrt utføre regningen som 2 63 (2 3 ) 21 1 21 1 (mod 7), i klssisk notsjon. En tilhenger v prolemsløsning skulle rgumentere med t, ved å løse tilstrekkelig mnge prolemer v typen ovenfor så skulle elevene selv oppdge modulregningen, mens en tilhenger v teori skulle synes det vr unødig å kste ort så mye tid med å oppdge noe som hr vert kjent i flere hundre år og som står i lle elementære læreøker. 44 Nämnren nr 4, 1993
Neste eksempel er et lndt en stor klsse liknende prolemer. Vis t det i et en forsmling mennesker lltid finnes to personer som kjenner nøyktig like mnge v de tilstedeværende. Igjen er dette et prolem som de fleste lett klrer. For en person som kjenner til irichlet s skuffeprinsipp, som sier t om vi legger n ojekter i n 1 skuffer så kommer lltid 2 ojekter i smme skuff, skulle imidlertid prolemet ikke være noen utfordring. e skulle lge en skuff for hvert tll som svrer til ntllet personer som en gitt person kjenner. et er d høyst n 1 skuffer fordi det er umulig t en person i selskpet kjenner lle ndre og en nnen person i selskpet re kjenner seg selv. Plsserer vi nu personene i den oksen som svrer til det ntllet personer de kjenner må to personer hvne i smme oks. Selvsgt er irichlets prinsipp ikke mye å skryte v som teori, men kjenner mn til det kn mn uten vnskeligheter løse en lng rekke prolemer. For å redde Peter Gustv Lejeune- irichlet s (1805-59) ære vil jeg nevne t hn vr en v de mest etydningsfulle mtemtikerne i forrige århundredet. Selvsgt ærer ikke prinsippet hns nvn fordi hn oppdget det, prinsippet er selvklrt, men fordi hn rukte det effektivt i mnge situsjoner. I dette eksempelet ville igjen en tilhenger v prolemer si t, ved å tenke på prolemer v denne typen, vil elevene lære seg logisk og nlytisk tnkemåte og t elevene også ville oppdge irichlets prinsipp. En tilhenger v teori vil påstå t kjennskpen til irichlets prinsipp leder til logisk og nlytisk tenkning og t det ikke på noen måte er sikkert t elevene ville være i stnd til å formulere prinsippet så klrt t de ville h nytte v det i frmtidig oppgveløsning. Elevene er jo i smme situsjon som lle mtemtikere før irichlet, som ikke fikk sitt nvn på prinsippet. et tredje, og siste, eksempelet er: En person skl gå fr en plss P til en plss Q og på veien skl personen gå nedom en elv for å hente vnn. I hvilket punkt R på elveredden skl personen hente vnn for å gå så kort strekning som mulig? d R P Forsøk på å løse dette prolemet kn lede eleven til den vkre idéen å speile punktet Q i elve-redden og dermed få punktet R som snittet mellom linjen gjennom P og det speilete punktet Q. Q d + R Q P Q Nämnren nr 4, 1993 45
ermed følger v elementær geometri t = d d så = +. En person med elementære kunnskper i nlyse vil derimot ikke finne oppgven inspirerende. Personen vil derivere summen 2 + 2 + (d ) 2 + 2 v distnsene PR og RQ og sette den deriverte lik null for å estemme. Resulttet vil li det smme, men sjnsene for t personen ser det vkre ildet er liten. Eksemplene ovenfor ntyder t det er edre for en lærer å nvende tiden til å forklre mtemtiske idéer enn å konstruere oppgver. I den enorme litterturen v mtemtiske prolemsmlinger 2) finnes det re noen få eksempler på prolemer som gir innlikk i mtemtikkens vesen. Resten får mtemtikken til å fremstå som en fruktløs og isolert lek. En ideell situsjon skulle være t lærerne kn nvende en stor del v tiden til å forklre mtemtiske idéer og illustrere teorien og inspirere elevene til selvstendig reide ved vel vlgte prolemer, nær knyttet til- og motivert v teorien. 2) En liste over prolemsmlinger, og nnen mtemtisk littertur for gymnset, finnes i Lksov,., Nämnren nr 3, s 41-48. Et utmerket dettinnlegg, med en kommentert litterturliste, finnes i Prolem solving in the Mthemtics curriculum. report, recommendtions, nd n nnotted iliogrphy, smmenstt v ln H. Schoenfeld. M notes numer 1, The Mthemticl ssocition of meric ommittee on the undergrdute progrm in mthemtics. Firefrge stsen Firefrge stsen sier t med fire frger kn mn frgelegge ethvert krt på en slik måte t to lnd med en felles grenseit hr ulike frger. Fig 1 Fig 2 v fig 1 ser vi t det er umulig med færre en 4 frger. et vr F. Gutrie som i 1852 oserverte t hn med 4 frger kunne frgelegge lle krt som hn vr istnd til å konstruere og som derfor formodet t stsen vr snn... Kempe g i 1879 et feilktig evis for stsen. Til tross for feilen idro eviset vesentlig til den endelige løsningen v prolemet. lndt nnet idro det til t P. J. Hewood, som vr den første som påpeket feilen (i 1890) kunne vise t det rekker med 5 frger for å frgelegge ethvert krt. Firefrge stsen le evist v K. ppel og W. Hken i 1976. et er interessnt t eviset ruker dtorkjøringer for å verifisere t endel v det store ntllet spesiltilfeller. På grunn v dette vr det mnge mtemtikere som stilte seg skeptiske til eviset. ette viser hvor uvnte mtemtikere er ved ruken v dtorer og t dtorene spiller en helt nnen og mindre rolle for mtemtikken enn legmnn tror. 46 Nämnren nr 4, 1993
Riemnn s hypotese Riemnn s hypotese etrktes v de fleste mtemtikere som det viktigste uløste prolemet i mtemtikken. et le opprinnelig formulert som t lle ikke trivielle nullpunkter for Riemnn s zet funkskjon hr reell del lik 1/2. ette er ikke spesielt intuitivt, eller lettforståelig, men henger smmen med fordelingen v primtllene på en fundmentl måte. et hr vært kjent, minst siden Euklid, t det finnes et uendelig ntll primtll. Imidlertid kn mn få mer presis informsjon om primtllene..f. Guss (1777-1855), lndt ndre, oserverte (15 år gmmel) t i et intervll omkring et tll finnes det omkring log primtll. Om π() er ntllet primtll mindre enn et gitt tll så følger det t π() er symptotisk lik funksjonen li ( ) = 1 π( ) dt, det vil si lim logt li ( ) 2 = 1. ette le vist i 1896 v J. Hdmrd (1865-1963) nd.-j. de l Vllé Poussin (1866-1962). Ettersom det følger v l Hospitls regel t π() er symptotisk lik log, finnes det, for store tll, omtrent Riemnn s hypotese kn formuleres som: log et finnes en konstnt c slik t vi for lle hr π( ) li ( ) < c log. primtll mindre enn tllet. ette gir en meget presis oppsktning v π() for store verdier v. Fermts store sts Knskje det mest kjente v lle mtemtiske prolemer er Fermts store sts, det vil si Om n er et positivt tll større eller lik 3 så finnes det ikke tre positive heltll, y og z slik t n + y n = z n. Påstnden er så enkel t lle kn forstå den. Spesielt fscinerende er den fordi Fermt skrev i sin kopi v iophntus verk t hn hdde funnet et emerkelseverdig evis som mrginlen vr for sml til å romme. Til tross for dette, og til tross for t mengder v profesjonelle mtemtikere og mtører hr prøvd å evise stsen, er den fremledes uløst. et finnes imidlertid en oppsjø v feilktige evis. et mest erømte le gitt v E.E. Kummer (1810-1893). Til tross for feilen hr Kummers idéer ledet til store frmsteg i mtemtikken. e siste månedene hr det sirkulert et rykte i pressen om t. Wiles hr evist stsen. et er nu mye som tyder på t også dette eviset inneholder en feil. ette viser hvor komplisert mtemtikken hr litt. Til tross for t en rekke v de fremste mtemtikerne hr reidet måneder på å forstå et evis er det fremdeles uklrt om det finnes hull i eviset. Nämnren nr 4, 1993 47