Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr vi dermed t den lengste siden kn uttrykkes som 4 3 x. Arelet kn d uttrykkes ved formelen 4 4 A x x x 3 3 2 = =. 1.12 g På ildet ser vi t steinflisene er kvdrtiske. Formelen for rel v et kvdrt er A = s2. Sidene v flisene kn dermed uttrykkes som s= A = 0,25 = 0,5. 1.14 Formelen for relet v et rektngel er A = g h. På figuren kn vi tenke oss to måter å regne ut relet: 1 Ved å multiplisere høyden med hele grunnlinj. Dette svrer til uttrykket ( + ). 2 Ved å uttrykke relet v de to rektnglene skilt v den stiplede linjen hver for seg, og å legge dem smmen. Dette svrer til uttrykket ( ) + ( ). Begge de to metodene gir smme rel v figuren. Vi kn dermed si t ( + ) = ( ) + ( ). Denne figuren illustrerer t 2 (3 + 5) = (2 3) + (2 5). 1.16 Forslg: Syv venner hr 90 kr hver. Så kjøper de seg en is til 27 kr hver. Hvor mye penger hr de igjen til smmen? Løsning Svret kn uttrykkes som 7 (90 27) = 7 63 = 441, vi regner først ut hvor mye én person hr igjen og deretter multipliserer vi med 7. (7 90) (7 27) = 630 189 = 441, vi regner først ut hvor mye de hr til smmen, deretter hvor mye de etler til smmen, og til slutt trekker vi fr. Vi får smme svr, 441. Forslg: H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 1
Løsninger til oppgver i ok Eksempel 3 viser t vi får smme svr enten stykket uttrykkes som 4 (50 35) eller (4 50) (4 35). Vi kn derfor si t 4 (50 35) = (4 50) (4 35). De to regnemåtene må gi smme svr unsett hvilke tll vi velger. Det er dette lov 3 uttrykker. 1.18 g 1.19 Forslg: Når vi skl multiplisere et tll med en differnse kn vi enten først regne ut differnsen og så multiplisere, eller vi kn multiplisere tllet med hver v fktorene og sutrhere til slutt. Forslg: Rekkefølgen fktorene multipliseres i, spiller ingen rolle for svret. Eksempel: En klsse med 29 elever skl på tur. Hver v elevene hr fått med seg tre små rosinesker som tursnks. Hver eske koster 7 kr. Hvor mye koster lle rosineskene til smmen? Løsning Svret kn uttrykkes som (29 3) 7 = 87 3 = 609. Vi finner d først ut hvor mnge rosinesker de hr, deretter regner vi ut hv de koster til smmen. Alterntivt kn vi regne slik: 29 (3 7) = 29 21 = 609. Vi regner d først ut hv en elevs rosiner koster, deretter hv lle rosinene koster til smmen. De to måtene å regne på må gi smme svr. Dermed er (19 2) 10 det smmen som 19 (2 10). Dette må gjelde unsett hvilke tll vi velger for ntll rosiner, rosinesker og elever. d 1.22 g 1.23 Forslg: Rekkefølgen fktorene multipliseres i, spiller ingen rolle for svret. Forslg: Når vi skl sutrhere summen v to tll fr noe, kn vi enten først finne summen og så sutrhere, eller vi kn sutrhere ett og ett ledd. Forslg: Du går i utikken med en 500-lpp. Du kjøper et rød til 28 kr og 1 liter melk til 11 kr. Hvor mye penger hr du igjen? Løsning Svret kn uttrykkes som 500 (28 + 11) = 500 39 = 461. D finner vi først summen v vrene vi kjøper, og deretter sutrherer vi. 500 28 11 = 472 11 = 461. Her sutrherer vi først den første vren, deretter den ndre. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 2
Løsninger til oppgver i ok d 1.25 g 1.26 Eksempel 5 viser t mn får smme svr enten vi legger smmen prisen på vrene før vi sutrherer, eller om vi sutrherer prisene en etter en. Unsett hvilke eløp vi ruker, vil dette gjelde. Forslg: Når en sum skl sutrheres, kn vi enten først summere, og deretter sutrhere summen, eller vi kn sutrhere leddene hver for seg. Forslg: Når vi skl sutrhere en differnse fr et tll kn vi enten først regne ut differnsen og deretter sutrhere den fr tllet, eller vi kn trekke fr første ledd i differnsen og deretter legge til det leddet som trekkes fr. Forslg: Du går i utikken med en 50-lpp. Du kjøper en is som opprinnelig kostet 31 kr, men som lir nedstt med 5 kr fordi du kjenner hn i kss. Hvor mye penger hr du igjen etter t du hr kjøpt isen? Løsning Svret kn uttrykkes som 50 (31 5) = 50 26 = 24. Vi regner først ut utslgsprisen for isen, og trekker det fr eløpet vi hr. 50 31 + 5 = 19 + 5 = 24. Vi trekker først fr den opprinnelige prisen på isen, og deretter legger vi til rtten din, som om du får tilke de pengene. d 1.28 g 1.29 Eksempel 6 viser t mn får smme svr enten vi først regner ut den nedstte prisen, og deretter sutrherer, eller om vi regner ut hv vi hr igjen ved å etle ordinær pris og deretter legger til det som er rtten. Slik vil det være unsett hvilke tll vi velger. Forslg: Når vi skl sutrhere en differnse fr et tll kn vi enten først regne ut differnsen og deretter sutrhere den fr tllet, eller vi kn trekke fr første ledd i differnsen og deretter legge til det leddet som trekkes fr. Forslg: Summen v to røker med smme nevner er det smme som en røk der nevneren er den smme som i de to røkene vi summerer og der telleren er summen v de to tellerne. Forslg: Du hr 180 kr, og venninnen din hr 70 kr. Siden du er så snill, går du med på t dere skl dele pengene likt. Hvor mye får hver? Løsning H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 3
Løsninger til oppgver i ok Svret kn uttrykkes som 180 + 70 = 90 + 35 = 125. D deler vi hver sum på to først, deretter 2 2 summerer vi. 180 + 70 250 = = 125. Her legger vi smmen eløpene først og deler på to etterpå. 2 2 d 1.31 g 1.32 Vi ser t vi får smme svr enten vi først regner ut hlvprten v eløpene eller om vi legger smmen eløpene først og deretter deler på to. De to måtene å regne på må gi smme svr unsett hvilke tll vi ruker. Forslg: Summen v to røker med smme nevner er det smme som en røk der nevneren er den smme som i de to røkene vi summerer og der telleren er summen v de to tellerne. Forslg: Når to røker med smme nevner sutrheres er dette det smme som en røk der telleren er differnsen mellom de to tellerne og med en uendret nevner. Forslg: Du og venninnen din hr plukket 5,3 kg låær. Dere skl gi ort 2,3 kg til moren din. Blåærene dere hr igjen, deler dere likt. Hvor mye låær får du? Løsning Svret kn uttrykkes som 5,3 2,3 = 2,65 1,15 = 1,5. Dette tilsvrer t vi først regner ut 2 2 hvor mye låær hver v dere hr i utgngspunktet, og hvor mye hver v dere gir til moren din. Til slutt sutrherer vi for å finne ut hv hver v dere sitter igjen med. 5,3 2,3 3 = = 1,5. Her finner vi først ut hvor mye ær dere til smmen hr igjen når dere 2 2 hr gitt ort de mor skl få, deretter deler dere denne resten på to. d 1.34 g 1.35 De to måtene å regne på gir smme svr unsett hvilke tll vi velger. Forslg: Når to røker med smme nevner sutrheres er dette det smme som en røk der telleren er differnsen mellom de to tellerne og med en uendret nevner. Verdien v en røk endres ikke om vi multipliserer teller og nevner med smme tll. Forslg: Klsse 9A skl på tur, og elevene i klssen er delt inn i ni grupper på tre elever. Hver gruppe får med seg en pkke med 15 kjeks på deling. Hvor mnge kjeks får hver elev? H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 4
Løsninger til oppgver i ok Løsning Svret kn uttrykkes som 15 = 5. Her ser vi på en gruppe, de hr 15 kjeks som skl deles på 3 3 elever. 15 9 135 = = 5. Her regner vi først ut totlt ntll kjeks og totlt ntll elever, og deretter 3 9 27 deler vi ntll kjeks på ntll elever. d 1.37 g 1.38 De to måtene å regne ut svret på må gi smme svr unsett hvilke tll vi ruker. Verdien v en røk endres ikke om vi multipliserer teller og nevner med smme tll. Å multiplisere to røker er det smme som å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. Forslg: Du hr kveldsjo i et pinoflyttefirm der de nstte er delt inn i åtte flyttegjenger på tre personer hver. Firmet tr 1200 kr per pinoflytting, og oppdrgene fordeles likt på flyttegjengene. De 1200 kr som hvert oppdrg gir, deles likt mellom de tre i gjengen som tildeles oppdrget. En måned får firmet 48 oppdrg. Hvor mye tjener du denne måneden? Løsning Svret kn uttrykkes som 1200 48 = 400 6 = 2400. Her fordeler vi først eløpet de får for 3 8 ett oppdrg på de tre personene i flyttegjengen. Deretter regner vi ut hvor mnge oppdrg det lir på hver gjeng. Til slutt multipliserer vi etlingen for ett oppdrg med ntll oppdrg. 1200 48 = 57600 = 2400. Her finner vi først hvor mye lle tjener til smmen, og 3 8 24 hvor mnge de er til smmen. Deretter finner vi hv hver person tjener ved å dividere. Unsett hvilke tll vi ruker vil de to måtene å regne på gi oss smme svr. 1.39 = = = 1 1 1.41 De ti lgeriske lovene er her skrevet med lle mulige prenteser og multipliksjonstegn gjort usynlige. Lov 1 = Lov 2 ( + ) = + H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 5
Løsninger til oppgver i ok Lov 3 ( ) = Lov 4 () = () Lov 5 ( + ) = Lov 6 ( ) = + + Lov 7 + = = Lov 8 Lov 9 = Lov 10 = d d 1.42 Lov 1 ( ) = ( ) Lov 2 ( + ) = ( ) + ( ) Lov 3 ( ) = ( ) ( ) Lov 4 ( ) = ( ) Lov 5 ( + ) = Lov 6 ( ) = + ( + ) Lov 7 + = ( ) Lov 8 = Lov 9 = ( ) = Lov 10 d ( d ) 1.43 Regnestykket 3,7 5 2 = 20 kn for eksempel eskrive volumet v prismet under. Regnestykket 2 5 3,7 = 20 kn for eksempel ety prisen fem venner må etle når hver v dem kjøper to sukkertøy til 3,70 kr per stykk. Regnestykkene 3,7 5 2 og 2 5 3,7 inneholder de smme fktorene og hr derfor smme svr. Som lov 1, eller den kommuttive lov, slår fst, spiller ikke fktorenes rekkefølge noen rolle. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 6
Løsninger til oppgver i ok 1.52 Om vi kller fktoren (x + y) for, kn vi skrive (x + y) (z + w) som (z + w). Ifølge lov 2 kn dette uttrykkes som z + w. Setter vi inn igjen for, (x + y) z + (x + y) w, og ruker lov 2. Vi får d xz + yz + xw + yw. 1.53 Om vi kller fktoren (x + y) for, kn vi skrive (x + y) (z w) som (z w). Ifølge lov 3 kn dette uttrykkes som z w. Setter vi inn igjen for, (x + y) z (x + y) w, gir lov 2 oss videre uttrykket (xz + yz) (xw + yw). Vi ruker nå lov 5 og får xz + yz xw yw. Om vi kller fktoren (x y) for, kn vi skrive (x y) (z w) som (z w). Ifølge lov 3 kn dette uttrykkes som z w. Vi setter inn for og får: (x - y) z (x - y) w. Nå ruker vi lov 3 en gng til: xz yz (xw yw). Vi ruker lov 6 og får: xz yz xw + yw 1.54 Kller (z + w) for, og kn d uttrykke x (y + z + w) som x (y + ). Lov 2 gir d uttrykket xy + x. Setter vi inn igjen for, hr vi d xy + x (z + w), som igjen gir xy + xz + xw. 1.55 Oppgvene 1.52, 1.53 og 1.54 ntyder for eksempel disse to prinsippene for multipliksjon v prenteser: Når et tll multipliseres med en prentes, må det multipliseres med hvert enkelt ledd inne i prentesen Når to prenteser multipliseres smmen, må hvert ledd i den ene prentesen multipliseres smmen med hvert ledd i den ndre prentesen 1.56 1.57 Uttrykket n kn leses som «gnget med seg selv n gnger». Å gnge smmen n og m svrer dermed til å gnge smmen flere gnger, tilsvrende tllet n + m. Siden dette svret kn skrives som opphøyet i ntllet gnger er gnget med seg selv, må svret li n + m. Uttrykket n m kn tolkes som gnget med seg selv n gnger over røkstreken, og gnget med seg selv m gnger under røkstreken. Uttrykket er 1, og dermed kn m -er i teller og nevner erstttes med 1. Vi står d igjen med n m -er. Dermed er svret n m. 1.58 Alle tll, med null som eneste unntk, gir tllet 1 når det deles på seg selv. Uttrykket derfor li 1, så lenge ikke er null. n n m Hvis det er slik t loven = stemmer for lle n og m, så må 0 = 1, siden f.eks. m situsjonen 3 3 må H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 7
Løsninger til oppgver i ok 3 3 3 0 n = m = 3 gir = =. 3 deles her på seg selv, og må dermed gi 1 til svr, så lenge er 3 ulik null. 3 1 1 1 Vi kn regne slik: = = 111 = 5 2 2 2 n 3 n m 3 5 2 = = = m 5 d Resulttet fr oppgve 1.56,, gir 1 2 Det vi hr funnet i og d må ety t -2 etyr. 1.60 1.61 Når vi skl finne kvdrtroten v et produkt kn vi enten multiplisere først og deretter t kvdrtroten v produktet, eller vi kn t kvdrtroten v hver v fktorene først og multiplisere til slutt. Svret lir det smme unsett hvilken rekkefølge vi velger. Når vi skl finne kvdrtroten v en røk kn vi enten dividere først og deretter t kvdrtroten v svret, eller vi kn t kvdrtroten v teller og nevner først og dividere til slutt. Svret lir det smme unsett hvilken rekkefølge vi velger 1.64 Skisse v edet med tre runder heller rundt, ltså n = 3. 1.66 1.67 Trfikkvdelingen kn her h tenkt t de ville uttrykke «høyden» og «grunnlinj» til rektngelet med én helle som måleenhet. Dette hr de uttrykt som henholdsvis (2n + 1) og (2n + 3). Ved å multiplisere smmen disse fås ntllet kvdrtenheter, ltså heller, som hele plssen tilsvrer. Til slutt trekkes det fr tre, som er det ntll heller som ikke trengs for å gjøre plss til edet. Formelen oppgitt i oppgve kn gjøres om slik: (2n + 1) (2n + 3) 3 = (2n + 1) 2n + (2n + 1) 3) 3 = 4n 2 + 6n + 2n + 3 3 = 4n 2 + 8n. Figuren viser hvordn tllfølgen kn illustreres v et rektngel som får én rd ekstr i redden og én ekstr i høyden for hver n-verdi. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 8
Løsninger til oppgver i ok 1.68 Figuren under representerer det femte og sjette treknttllet. d Første tll er 1, ltså T n = 1. For å få ndre tll, T 2, legger vi til 2 prikker i kolonnen til høyre for den vi hdde. For å få T 3 legger vi til en ny kolonne med 3 prikker. Vi får ltså neste tll ved å legge til n til det vi llerede hr. 1.69 I denne oppgven skl du se på eksempel 19, ikke oppgve 1.68. Regnerk som viser kvdrttllene. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 9
Løsninger til oppgver i ok d Regnerk som viser kvdrttllene, treknttllene og rektngeltllene vh. formelen som le funnet i oppgve 1.67, n(n + 1). H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 10
Løsninger til oppgver i ok 1.70 Figur nummer 4 og 5. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 11
Løsninger til oppgver i ok 1.77 Kller mn tllet mn tenker på for x, kn prosedyren uttrykkes som 2 x + 8 x. Dette kn skrives 2 om til 2( x + 4) x= ( x+ 4) x= x x+ 4 = 4. De lgeriske lovene viser ltså t vi vil sitte igjen med 2 tllet 4 unsett, helt uvhengig v hvilken x som velges. 1.78 Eksempel: Tenk på et hvilket som helst tll. Multipliser tllet med seg selv, og gng det deretter med 2. Adder deretter 6 gnger tllet, og divider hele uttrykket på tllet. Sutrher deretter to gnger tllet. Uttrykk tlltrikset mtemtisk og finn ut hvilket tll du vil sitte igjen med. Løsning 2 2 + 6 Om en uttrykker det ukjente tllet som, fås uttrykket 2. Dette kn forenkles til 2 ( + 3) 2= 2( + 3) 2= 2+ 6 2= 6. Dette tlltrikset gir ltså tllet 6 til svr, uvhengig v hvilket tll du velger som. 1.79 x 2 x Kller vi tllet du tenker på for x, kn tlltrikset uttrykkes som x + 7. Dette uttrykket kn x xx ( 1) forenkles slik: x + 7 = x 1 x + 7 = 7 1 = 6. Dette tlltrikset gir ltså tllet 6 til svr, x uvhengig v hvilket tll du velger som x. 1.80 Likning 2 må være den riktige. Det første leddet viser hvor mye to håndller til 750 kr per stykk koster til smmen. 250 må dermed være prisen for en pkke med kneeskyttere, mens x uttrykker hvor mnge pkker med kneeskyttere lget kn kjøpe. Prisen skl totlt li 6000 kr, som dermed er tllet på høyre side v likhetstegnet. 1.84 x 2 + 2 = 34 2x + 2 2 = 34 2 2x = 32 x = 16 H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 12
Løsninger til oppgver i ok 1.85 g h 1.86 Likningen i oppgve kn løses ved hjelp v lgerisk metode. En kn d egynne med å sutrhere 1 på egge sider. På smme måte kn vi trekke fr x på egge sider. Når høyreog venstresiden så er lgt smmen, hr mn t 5x = 10. Om egge sider deles på 5, får mn t x = 2. Likningen i oppgve kn løses ved hjelp v «hold over»-metoden. Holder en over 5x, virker det innlysende t nevneren må h verdien 10, slik t venstresiden får verdien 10 1 10 =. Uttrykket 5x må dermed h verdien 10, ltså 5x = 10. Holder en over x-en i denne likningen, ser en t x må h verdien 2. Setter inn løsningen x = 2 på høyre og venstre side v likhetstegnet i likningen fr eksempel 23, og sjekker svret. Venstre side: 2 1 1 = 10 10 2 2 2 5 2 4 10 8 2 1 = = = = Høyre side: 4 5 4 5 5 4 20 20 10 Innsetting v x = 2 gir t venstre side er lik som høyre side, som etyr t løsningen er riktig. Setter inn løsningen x = 1 på høyre og venstre side v likhetstegnet i likningen fr eksempel 23, og sjekker svret. 1 1 = 0 Venstre side: 10 1 1 15 14 5 4 1 Høyre side: = = = 4 5 4 5 5 4 20 20 Innsetting v x = 1 gir t venstre side ikke er lik som høyre side, som etyr t løsningen ikke er riktig. 1.87 Går her gjennom omformingene v likningen som gjøres i eksempel 23 og krkteriserer dem etter kriteriene fr viktigoksen «Algerisk løsning v likninger»: Å multiplisere egge sidene v likningen med minste felles multiplum, som er 20, er en omforming v type A. Å dividere 10 på 20, slik som gjøres på venstre side er en omforming v type B. Å multiplisere 2-tllet på venstre side inn i prentesen er en omforming v type B. Å multiplisere 20 med hver v røkene på høyre side er en omforming v type B. Å dividere 20 på 4 og 5 i de to røkene på høyre side er en omforming v type B. Å sutrhere 4x fr 5x på høyre side er en omforming v type B. Å ddere 2 på egge sider v likhetstegnet er en omforming v type A. Å sutrhere x på egge sider v likhetstegnet er en omforming v type A. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 13
Løsninger til oppgver i ok 1.100 d Setter inn løsningen x = 3 i likningen x 2 + x = 6, og sjekker svret: Venstre side: 3 2 + 3 = 9 + 3 = 12 Høyre side: 6 Innsetting v x = 3 gir t venstre side ikke er lik som høyre side, som etyr t løsningen ikke er riktig. e f Setter inn løsningen x = 2 i likningen x 2 + x = 6, og sjekker svret: Venstre side: 2 2 + 2 = 4 + 2 = 6 Høyre side: 6 Innsetting v x = 2 gir t venstre side er lik som høyre side, som etyr t løsningen er riktig. Setter inn løsningen x = 3 i likningen x 2 + x = 6, og sjekker svret: Venstre side: ( 3) 2 + ( 3) = 9 3 = 6 Høyre side: 6 Innsetting v x = 3 gir t venstre side er lik som høyre side, som etyr t løsningen er riktig. 1.101 g Likningen x 2 + 4 = 0 hr ingen løsning. Omformes den, gir den t x 2 = 4, som ikke gir mening i og med t kvdrttll lltid er positive. Oppgvesmling 1 Alger 105 Prøver ulike fktoriseringsrekkefølger: 420 = 2 210 = 2 2 105 = 2 2 5 21 = 2 2 5 3 7 420 = 21 20 = 21 4 5 = 21 2 2 5 = 3 7 2 2 5 420 = 5 84 = 5 3 28 = 5 3 7 4 = 5 3 7 2 2 Som vi ser, sitter vi lltid igjen med 2, 2, 3, 5 og 7 når vi fktoriserer, uvhengig v rekkefølgen. I oppgve stt vi igjen med fktorene i forskjellig rekkefølge, men i lle tilfellene gir de 420 til svr om de gnges smmen. Vi kn dermed si t rekkefølgen tllene gnges smmen i, er likegyldig. Det smme gjeler når en dividerer: om et tll skl deles på flere ndre, slik som under fktoriseringen, er divisorenes rekkefølge likegyldig. Dette kn forklres med t multipliksjon og divisjon i prinsippet er det smme; 20 : 10 kn like gjerne skrives som 20 1 10. 106 Se godt over denne: den er ikke spesielt godt forklrt fr min side. Tllet som fås når,,, d og e gnges smmen, er delrt på lle de fem tllene (eller rettere sgt: hr dem som fktorer). Når tllet 1 legges til, og vi får tllet som i oppgven klles t, kn t nturlig nok ikke leger deles på noen v tllene,,, d eller e. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 14
Løsninger til oppgver i ok Tllet t kn ikke være delelig på noe nnet enn 1 og seg selv; dette strider mot oppftningen v t lle ikke-primtll estår v fktorer som er primtll, og ntgelsen om t det kun finnes fem primtll. t må være et primtll, ettersom det ikke er delelig med noe nnet enn seg selv og 1 (og ikke inneholder noen v fktorene,,, d eller e). Dette flsifiserer påstnden (viser t den er feil) t det kun finnes fem primtll. På smme måte viser den t det finnes uendelig mnge primtll; for å finne et nytt primtll trenger en kun å multiplisere dem en llerede kjenner til (som etter hvert er enormt mnge), og deretter legge til 1. 107 Formelutskrift for regnerket som tester ut lov 2 Setter inn ulike tll i rutene i regnerket i oppgve Høyre og venstre side (rute B6 og B7) viser lltid smme tll, uvhengig v hv som settes inn for, og. Dette viser t lov 2 stemmer. 108 H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 15
Løsninger til oppgver i ok Setter inn nye tll og kontrollerer t de to metodene fortstt gir smme svr (formlene i rute C5 og C6 er uendret fr oppgve Metode 1 (2 (C2 + C3)) og metode 2 (2 C2 + 2 C3) gir smme svr. Dette viser t lov 2 stemmer. 109 Formelutskrift for regnerket som tester ut lov 3 Setter inn ulike tll i rutene i regnerket H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 16
Løsninger til oppgver i ok Høyre og venstre side (rute B6 og B7) viser lltid smme tll, uvhengig v hv som settes inn for, og. Dette viser t lov 3 stemmer. Setter opp et regnerk som vist på figuren, som ruker to ulike metoder for å regne ut hvor mye vennene hr igjen til smmen. Her er regnerket og formelutskriften. Setter inn nye verdier, men lr formlene forli uendret Metode 1 og metode 2 (rute C7 og C11) får lltid smme tll til svr, uvhengig v hv som settes inn i rutene C2, C3 og C4. Dette viser t lov 3 stemmer. 110 De to måtene å komme frm til svret (metode 1 og metode 2) er egge riktige, uvhengig inn-dtene i regnerket. Endres ntllet elever til 10 gir metode 1 d (2 40) 10 = 800, H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 17
Løsninger til oppgver i ok mens metode 2 kn skrives som (10 2) 40 = 800. Begge kommer ltså frm til t det er 800 rosiner totlt. Endrer inn-dtene i regnerket til vilkårlige nye verdier. Metode 1 og metode 2 gir lltid smme svr, uvhengig v inn-dtene. d De to regnemåtene, metode 1 og metode 2, representerer de to sidene i lov 4. Det t smme svr oppnås hver gng, uvhengig v vrilene, viser t lov 4 stemmer. 111 Regnerk for å teste t lov 5, ( + ) =, stemmer. Celle B7 representerer venstre side v likhetstegnet, mens elle B8 representerer høyre side. Setter inn tilfeldige tll for, og. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 18
Løsninger til oppgver i ok Som vi ser gir elle B7 og B8 lltid smme svr. Dette viser t lov 5 stemmer. 112 Metode 1 og metode to gir fortstt smme svr, og stemmer med en kn regne ut i hodet. Metode 1 og metode 2 gir smme svr, uvhengig v inn-dtene. d Metode 1 og metode 2 tilsvrer venstre og høyre side i lov 7: + + =. Det t metode 1 og metode 2 lltid gir smme svr, viser t lov 7 stemmer. 113 Lov 7 H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 19
Løsninger til oppgver i ok I denne og de to neste oppgvene ønsker vi knskje ikke t svrene vises som desimltll. D kn vi formtere med røkformt de ellene der det kn dukke opp røker. Lov 8 H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 20
Løsninger til oppgver i ok Lov 9 114 Regnerk som svrer til eksempel 10 Pris per pinoflytting er her endret til 3000, i regnerket fr forrige oppgve. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 21
Løsninger til oppgver i ok Som vi ser, gir metode 1 og metode 2 fortstt smme svr, og stemmer med det vi kn regne ut i hodet eller for hånd. Endrer inn-dtene til tilfeldige verdier d Metode 1 og metode 2 svrer til venstre og høyre side v lov 10, =. Metode 1 d d serer seg på først å regne ut lønnen per oppdrg, og deretter multiplisere denne med ntll oppdrg, mens metode 2 slår hele stykket smmen over smme røkstrek. Det t metodene lltid kommer frm til smme svr, viser t lov 10 stemmer. 118 Skriver full utregning for 1. kvdrtsetning: ( + ) 2 = ( + )( + ) = + + + = 2 + 2 + 2 Skriver full utregning for 2. kvdrtsetning: ( ) 2 = ( )( ) = + 2 = 2 2 + 2 Skriver full utregning for 3. kvdrtsetning: ( + )( ) = 2 + 2 = 2 2 124 Alle slike stykker, sert på kvdrtiske felt med fire tll fr tellen, gir 8 til svr når de regnes ut. 125 Vi kn evise t resulttet fr forrige oppgve lltid vil gjelde, på følgende måte: et generelt kvdrt fr tellen kn noteres som x x + 1 x + 8 x + 9 Skriver vi d opp stykket, får vi (x + 1)(x + 8) x(x + 9) = x 2 + x + 8x + 8 x 2 9x = 8. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 22
Løsninger til oppgver i ok Hdde tellen vært skrevet med sju tll per linje, kunne et generelt kvdrt h litt notert som x x + 1 x + 7 x + 8 Skriver vi d opp stykket, får vi (x + 1)(x + 7) x(x + 8) = x 2 + x + 7x + 7 x 2 8x = 7. Svret vil ltså lltid li 7. 133 Forslg til mønster med egendefinerte mønsterrpporter 134 135 Hver mønsterrpport estår v 4 prikker. Et mønster som estår v n mønsterrpporter hr dermed 4n prikker. Mønsteret på figuren hr mønsterrpporter som estår v 6 kryss. Fire v kryssene ligger på en vertikl rekke, og to v dem ligger på skrå nedover mot høyre. Rekke 1 får to nye ruter per enhet η stiger, og dnner en rett vinkel med stdig lengre vinkelein. Rekke 2 er oppygd v to kvdrter med sideflter på η ruter. De to kvdrtene lir ltså større ettersom η-verdien stiger. Rekke 3 er oppygd v rektngler som lir én rute redere og én rute høyere per enhet η stiger. Til å egynne med er rektngelet én gnger tre ruter stort. Forslg til de tre neste figurene (η = 4) i rekkene 1, 2 og 3 Rekke 1 lir to ruter større per figurnummer. På figur nummer 7 lir det dermed 15 ruter, og på figur nummer 10 lir det 21 ruter. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 23
Løsninger til oppgver i ok Rekke 2 estår v to kvdrter med sideflter som hr en lengde på «figurnummerets ntll ruter». Figur nummer 7 vil dermed estå v 7 2 + 7 2 ruter, ltså 49 + 49 = 98 ruter. Figur nummer 10 vil estå v 10 2 + 10 2 ruter, ltså 100 + 100 = 200 ruter. Rekke tre er et rektngel med en høyde på «figurnummerets ntll ruter», mens redden tilsvrer «figurnummerets ntll pluss to ruter». Figur nummer 7 vil dermed estå v 7 (7 + 2) ruter, ltså 7 9 = 63 ruter. Figur nummer 10 vil estå v 10 (10 + 2) ruter, ltså 120 ruter. 138 Vi gjør her formelen mer generell ved å ruke en refernse til det første tllet i tllfølgen. Her må vi ruke en solutt ellerefernse eller gi B2 nvn for t den ikke skl endres når vi kopierer formelen. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 24
Løsninger til oppgver i ok 139 145 Likning 1: x + 2 = 4 Likning 2: x 2x + = 3 4 Likning 3: 4x 7 = 3 Likning 4: x 16 20 2 + = Likning 5: x x + = x + 2 3 2 Forslg: Likning 1 gir t x = 6. H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 25
Løsninger til oppgver i ok Likning 2 gir t 8 x x 12 x + =, som igjen kn omformes til x = 0. 4 4 4 Likning 3 gir t 4x = 4, og vi hr dermed t x = 1. x Likning 4 gir t = 4, som kn omformes til x = 8. 2 Likning 5 gir t 2 x 3 x 6 x x + = 2, som kn omformes til = 2, og vi hr t x = 12. 6 6 6 6 146 Følgende tre likninger hr x = 7 som svr: Likning 1: 2x 3 = 18 x x 3 Likning 2: + = 2 14 2 Likning 3: x 2 + 8 = 57 (denne likningen hr også x = 7 som svr) H. Ashehoug & Co. www.lokus.no Side 26