1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og ndrekoordinten er 10. Koordintene til punktet A er ltså (15,10). B hr koordintene (0, 1,5). C hr koordintene ( 15, 10). D hr koordintene (15, 17,5). E hr koordintene ( 150, 10). Punktet ( 00, 15) ligger i 3. kvdrnt. Oppgve 3. Punktene som hr som ndrekoordint, hr y =. Punktene ligger ltså på linj y =. Punktene som hr 4 som ndrekoordint, hr y = 4. Punktene ligger ltså på linj y = 4. Punktene som hr 0 som førstekoordint, hr x = 0. Punktene ligger på linj x = 0, ltså på ndreksen. d Punktene som hr 0 som ndrekoordint, hr y = 0. Punktene ligger på linj y = 0, ltså på førsteksen. Oppgve 3.3 Px ( ) = 3x+ 4 P(4) = 3 4 + 4 = 16 P(10) = 3 10 + 4 = 34 P( ) = 3 ( ) + 4 = I oppgve regnet vi ut t x = 4 gir y = 16. Punktet (4,16) ligger ltså på grfen til P. To ndre punkter på grfen til P er f.eks. (10, 34) og (, ). Oppgve 3.4 Nt () = t t N(4) = 4 4 = 16 4 = 8 N(0) = 0 0 = 0 N = = + = ( ) ( ) ( ) 4 10 Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 56
Oppgve 3.5 Vi setter x = 0 og leser v ( ) Det gir f (0) = 40. Tilsvrende ser vi t (4) 60 f x fr grfen. f = og f (1) = 100. Vi ruker grfen og leser v den verdien v x som gir f( x ) = 80. Det gir x = 8. Oppgve 3.6 Vi ser t grfen skjærer førsteksen i punktene (1, 0) og (5, 0). Nullpunktene for funksjonen er ltså 1 og 5. Funksjonen hr et unnpunkt i (3, 1) og et toppunkt i (7,1, 3,9). Den minste verdien for funksjonen er ltså 1, og den største verdien er 3,9. Funksjonen kn h lle verdier mellom disse grensene. V = 1, 3,9. Verdimengden for funksjonen er ltså [ ] Oppgve 3.7 Funksjonen hr et unnpunkt i (0, 1). Dessuten er (3) 1 f f =, og x = 3 er med i definisjonsmengden for funksjonen. Minimlverdien for f er ltså 1. Funksjonen hr et toppunkt i (,5). Mksimlverdien for f er ltså 5. (Punktet ( 1, 5) ligger ikke på grfen til f, siden x = 1 er utenfor definisjonsmengden.) Verdimengden for funksjonen er [ 1,5] V =. Vi ser t f( x ) = 3 for x = 0, 7, x = 1 og x =,7. Vi ser t f( x ) = 1 for x = 0 og x = 3. d Vi ser t f( x ) = 5 for x =. Oppgve 3.8 Mksimlverdien til funksjonen er T (0) = 80 1,5 0 = 80. Punktet (0, 50) ligger kkurt ikke på grfen til T, siden 0 Men tllene som er større enn 50 er med i verdimengden. Verdimengden til T er ltså V T = 50, 80. Oppgve 3.9 Ar () =π r A(1) 1 A =π =π (4) 4 16 =π = π Vi ser t A (1) er minimlverdien og A (4) er mksimlverdien til funksjonen. Verdimengden er ltså [,16 ] V = π π. A f. DT Ashehoug www.lokus.no Side v 56
Oppgve 3.10 Vi ser t grfen skjærer førsteksen i punktene (1, 0) og (4, 0). Nullpunktene for funksjonen er ltså 1 og 4. Løsninger Funksjonen hr et unnpunkt i (,5,, 5). Minimlverdien er ltså, 5. Siden definisjonsmengden er lle de reelle tllene, kn funksjonsverdien li vilkårlig stor. Verdimengden til funksjonen er derfor V f =, 5,. Vi ser v figuren t f (0) = 4. d Vi ser v figuren t f( x ) = 4 for x = 0 og x = 5. Oppgve 3.11 Oppgve 3.1 f n n n ( ) = 3 + f n n n n n ( ) = ( ) 3 + = 4 6 + f n+ = n+ n+ + ( 1) ( 1) 3 ( 1) = n + n 1+ 1 3n 3+ = n + n+ 1 3n 3+ = n Oppgve 3.13 Av figuren ser vi t ( ) 1 og f( x ) = 18 for x = 5. n f x = for x = 0, Definisjonsmengden for funksjonen D = 0,5. er derfor [ ] f Ashehoug www.lokus.no Side 3 v 56
Oppgve 3.14 Vi setter inn x = 5, og løser likningen (5) 7 f(5) = 5 + 3 5 + 3= 7 5 = 7 3 5 = 10 5 10 = 5 5 = Oppgve 3.15 y = x 3 f = med hensyn på. Stigningstllet er fktoren forn x. Stigningstllet er ltså. Stigningstllet forteller t y øker med når x øker med 1. Konstntleddet 3 forteller hvor linj skjærer y-ksen. Skjæringspunktet mellom linj og y-ksen er ltså (0, 3). Se figuren til høyre. Oppgve 3.16 Linj skjærer ndreksen for y = 3. Konstntleddet er derfor 3. Når x øker med 1, øker y med. Stigningstllet er derfor. Linj skjærer førsteksen for x = 1, 5. Nullpunktet for funksjonen er derfor 1, 5. Linj skjærer førsteksen i punktet ( 1, 5, 0). d Linj skjærer ndreksen i punktet (0,3). e Stigningstllet er og konstntleddet er 3. Uttrykket for funksjonen er derfor f( x) = x+ 3. Oppgve 3.17 Stigningstllet 0,5 viser t funksjonsverdien øker med 0,5 når x øker med 1. Når x øker med 5 = 3 øker derfor funksjonsverdien med 3 0,5= 1,5. Stigningstllet er 0,5 og konstntleddet er 4. Funksjonsuttrykket for linj er derfor f( x) = 0,5x+ 4. Vi finner nullpunktet til funksjonen ved å løse likningen f( x ) = 0. 0,5x + 4 = 0 0,5x = 4 0,5x 4 = 0,5 0,5 x = 8 Nullpunktet til funksjonen er 8. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 56
Oppgve 3.18 Linj skjærer ndreksen for y =. Konstntleddet er derfor. Når x øker med 1, minker y med 1. Stigningstllet er derfor 1. Likningen for linj er y = x+. Linj skjærer ndreksen for y = 3. Konstntleddet er derfor 3. Når x øker med 1, minker y med. Stigningstllet er derfor. Likningen for linj er y = x+ 3. Oppgve 3.19 f( x) = x Stigningstllet er, og grfen skjærer ndreksen for y =. Dette stemmer med grf nummer 3. gx= ( ) Funksjonen er konstnt, og grfen er derfor prllell med førsteksen. Grfen skjærer ndreksen for y =. Dette stemmer med grf nummer. hx ( ) = x 3 Stigningstllet er 1, og grfen skjærer ndreksen for y = 3. Dette stemmer med grf nummer 1. d kx ( ) = x Stigningstllet er, og grfen skjærer ndreksen for y =. Dette stemmer med grf nummer 4. Oppgve 3.0 Når x øker med 4, øker y med 5. Stigningstllet er d økning i y 5 økning i x = 4. Når x øker med, minker y med 5. «Økningen» i y er ltså 5. Stigningstllet er økning i y = 5 = 5. økning i x Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 56
Oppgve 3.1 Vi finner skjæringspunktet mellom grfene ved å løse likningen f( x) = gx ( ). 0,5x+ 4 = x 1 0,5x x= 1 4,5x = 5,5x 5 =,5,5 x = Vi finner y ved å sette inn x = i ett v funksjonsuttrykkene, f.eks. f( x ). y = f() = 0,5 + 4 = 3 Skjæringspunktet mellom grfene er (,3). Vi skriver inn funksjonsuttrykkene i GeoGer, og velger «Skjæring mellom to ojekt» for å finne skjæringspunktet mellom grfene. Skjæringspunktet mellom grfene er (,3). Vi finner nullpunktet til g ved å eregne skjæringspunktet mellom g og x-ksen i GeoGer. Nullpunktet til g er 0,5. d Vi finner f ( 7,3) ved å skrive inn dette direkte i GeoGer. Det gir f ( 7,3) = 7,65. (På figuren over hr vi tegnet inn punktet ( 7,3, f ( 7,3) ).) Ashehoug www.lokus.no Side 6 v 56
Oppgve 3. Vi skriver inn funksjonsuttrykkene i GeoGer ved hjelp v kommndoene f(x) = Funksjon[1x+18.3, -3, 15] g(x) = Funksjon[8.5x+40, 1, 1] Dermed får vi inkludert definisjonsmengden. Vi finner skjæringspunktet med kommndoen «Skjæring mellom to ojekt». Skjæringspunktet mellom grfene er (6,, 9,7). Her er det flere mulige frmgngsmåter. På figuren over hr vi lgt inn linj y = 6, og så funnet skjæringspunktet mellom denne linj og grfen til f( x ). Det gir løsningen x = 3, 64. (Det er også mulig å ruke CAS-delen v GeoGer. D kn mn skrive inn likningen f( x ) = 6 direkte. Men det er ikke fullt så lett å få vist løsningen i figuren.) d Igjen ruker vi kommndoen «Skjæring mellom to ojekt», denne gngen mellom grfen til f og x-ksen. Skjæringspunktet mellom grfen til f og førsteksen er ( 1,55, 0). Oppgve 3.3 Stigningstllet er. Når x øker med 1, øker derfor y med. Konstntleddet 3 etyr t linj skjærer ndreksen for y = 3. Likningen for linj er y = x 3. Den ndre linj skjærer også ndreksen for y = 3. Stigningstllet er 3. Likningen for den ndre linj er derfor y = 3x 3. Ashehoug www.lokus.no Side 7 v 56
Oppgve 3.4 Når x øker med 1, minker y med. Stigningstllet er derfor. Linj skjærer ndreksen for y = 4. Konstntleddet er derfor 4. Funksjonsuttrykket for linj er dermed f( x) = x+ 4. Linj skjærer førsteksen for x =. Nullpunktet til funksjonen er derfor. Vi setter inn x = 1 i funksjonsuttrykket: f (1) = 1 + 4 = 0 Oppgve 3.5 Funksjonene ( ) f x, gx ( ) og ix ( ) hr positive stigningstll. Grfene til disse funksjonene stiger derfor mot høyre. Funksjonene f( x ) og ix ( ) hr smme stigningstll, nemlig. Disse funksjonene hr derfor prllelle grfer. Konstntleddet til funksjonene forteller hvor grfene skjærer y-ksen. Funksjonene gx ( ) og ix ( ) hr smme konstntledd, nemlig 6. Disse funksjonene hr derfor grfer som skjærer y-ksen i smme punkt. Oppgve 3.6 Grfen til funksjonen går gjennom punktene (, 0) og (0, 6). Vi trekker derfor en rett linje gjennom disse punktene. Når x øker med 1, øker y med 3. Stigningstllet er derfor 3. Linj skjærer ndreksen for y = 6. Konstntleddet er derfor 6. Funksjonsuttrykket for linj er f( x) = 3x+ 6. Oppgve 3.7 Linj går gjennom punktene (, ) og (8, 1). Stigningstllet er d y y y1 1 3 = = = = = 0,5 x x x1 8 6 Vi ruker ettpunktsformelen til å finne funksjonsuttrykket for linj: y y= x ( x) 1 1 y = 0,5 ( x ) y = 0,5x+ 0,5 + y = 0,5x+ 3 Funksjonen er gitt ved f( x) = 0,5x+ 3. Ashehoug www.lokus.no Side 8 v 56
Oppgve 3.8 Vi ruker ettpunktsformelen: y y= x ( x) 1 1 y = ( x 1) y = x+ + y = x+ 4 y y1 = x x1 ( ) y ( 4) = 3 ( x 0) y+ 4= 3x y = 3x 4 Oppgve 3.9 For hvert v de to punktene setter vi verdien v x inn i formelen y 1, 5x 3 stemmer med verdien v y i punktet. ( 3, 7,5) : y = 1,5 ( 3) + 3= 7,5 ( 1,1,5) : y = 1,5 ( 1) + 3= 4,5 1,5 Det er re punktet ( 3, 7,5) som ligger på linj y = 1, 5x+ 3. Oppgve 3.30 Vi tegner grfen til funksjonen, og ruker grfen til å svre på spørsmålene. A B Nullpunktet for en funksjon er førstekoordinten til skjæringspunktet mellom grfen og førsteksen. Nullpunktet for funksjonen er ltså,5, ikke 5. Påstnden er gl. Når x øker med 1, minker y med. Stigningstllet for linj er ltså. Påstnden er riktig. C Punktet (3, ) ligger ikke på linj. Påstnden er gl. D Skjæringspunktet mellom de to linjene er (,5, 0). Påstnden er riktig. Oppgve 3.31 Når x øker med 1, ser vi t y minker med. Stigningstllet er derfor. Vi finner funksjonsuttrykket fr ettpunktsformelen. y y1 = x ( x1) y 11 = ( x ( 4) ) y = x 8 + 11 y = x+ 3 Funksjonsuttrykket er f( x) = x+ 3. Vi setter x = 0 inn i funksjonsuttrykket. f (0) = 0 + 3 = 3 = +, og ser om dette Ashehoug www.lokus.no Side 9 v 56
d Vi løser likningen f( x ) = 0. x + 3= 0 x = 3 x 3 = 3 x = Oppgve 3.3 Linj l hr stigningstllet. Vi lr linj m h stigningstllet. Produktet v stigningstllene skl være 1. Det gir likningen = 1. Altså er = 0,5. Vi ruker ettpunktsformelen til å finne likningen for m. y y1 = x ( x1) y 4 = 0,5 ( x ) y = 0,5x+ 1+ 4 y = 0,5x+ 5 Oppgve 3.33 Vi leser v temperturen i fhrenheitgrder når C = 0. Det gir F 30. Frysepunktet for vnn er. 30 F. d Grfen går omtrent gjennom punktene (0, 30) og (10, 50). Stigningstllet er dermed y y y1 50 30 0 = = = = = x x x1 10 0 10 Grfen skjærer ndreksen for F = 30. Konstntleddet er derfor 30. Et tilnærmet funksjonsuttrykk for F er ltså F = C+ 30. Temperturen i grder fhrenheit er omtrent lik det doelte v temperturen i grder elsius pluss 30. Vi setter de to uttrykkene for F lik hverndre. 9 C+ 30 = C+ 3 5 9 C C = 3 30 5 0, C = 0, C = 0, 0, C = 10 Den tilnærmede og den ekskte formelen gir smme verdi for F når C = 10. Den tilnærmede formelen er lik den ekskte formelen når temperturen er 10 C. Den tilnærmede formelen hr større stigningstll enn den ekskte formelen. Altså vil den tilnærmede formelen gi for høy tempertur i F når C > 10, og for lv tempertur når C < 10. Når temperturen vrierer mellom 17 C og 6 C, gir derfor den tilnærmede formelen for høye verdier. Ashehoug www.lokus.no Side 10 v 56
Oppgve 3.34 Mri strter med 6000 kr, og ruker 300 kr hver dg i åtte dger. 6000 300 8 = 3600 Etter åtte dger vil Mri h igjen 3600 kr. Mri strter med 6000 kr. Hun ruker 300 kr hver dg i x dger. Beløpet hun hr igjen er dermed gitt ved K( x) = 6000 300x K( x) = 0 6000 300x = 0 300x = 6000 300x 6000 = 300 300 x = 0 Mri hr rukt opp lle pengene etter 0 dger. Oppgve 3.35 Med 0 personer er leien 00 kr. Grunnleien er ltså 00 kr. Når ntllet personer øker fr 0 til 100, øker leien fr 00 kr til 1000 kr. 1000 00 800 = = 8 100 0 100 Tillegget per person er på 8 kr. Grunnleien er 00 kr, og tillegget per person er 8 kr. 00 + 8 63 = 704 Med 63 personer lir leien 704 kr. d 00 + 8 115 = 110 Leien lir 110 kr hvis loklet er fullt. e Tillegget i pris per person er 8 kr. Stigningstllet er ltså 8. Konstntleddet er 00. Funksjonsuttrykket er dermed Px ( ) = 8x+ 00. Oppgve 3.36 Vi utvider tellen med en rd der vi regner ut forholdet mellom pris og vekt. Vekt i kg 1,5,5 10 Pris i kr 6,60 11,00 44,00 Pris i kr Vekt i kg 4,40 4,40 4,40 Siden forholdet er konstnt, er prisen og vekten proporsjonle størrelser. Proporsjonlitetskonstnten står for prisen per kg for potetene. Potetene koster 4,40 kr per kg. Prisen y kr for x kg poteter er derfor gitt ved y = 4, 40x. Ashehoug www.lokus.no Side 11 v 56
Oppgve 3.37 Løsningen v likningen er x = 4. Løsningen v likningen er x = 0,67. Oppgve 3.38 Hos ByTxi er stigningstllet 1 og konstntleddet 50. Dermed er Bx ( ) = 1x+ 50. Hos LndTxi er stigningstllet 16 og konstntleddet 40. Dermed er Lx ( ) = 16x+ 40. Prisen vr den smme hos ByTxi og LndTxi. Vi løser derfor likningen Bx ( ) = Lx ( ). 1x+ 50 = 16x+ 40 1x 16x= 40 50 4x = 10 4x 10 = 4 4 x =,5 Hns skulle t drosje,5 km. Oppgve 3.39 Se figuren til høyre. Av tellen ser vi t promillen vtr med like mye hver gng t øker med 1. Dette ser vi også v figuren, der punktene ligger lngs en rett linje. Promillen følger ltså en lineær modell. Vi ruker figuren og leser v promillen for t = 0. Mnnen hdde 1,40 i promille d hn sluttet å drikke. d Konstntleddet er 1,40. Når t øker med 1, minker Pt () med 0,15. Stigningstllet er derfor 0,15. Funksjonsuttrykket er dermed Pt ( ) = 1,40 0,15t e Vi leser v på grfen når Pt ( ) = 0,. Promillen er 0, etter 8 timer. Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 56
Oppgve 3.40 Grfen til funksjonen går gjennom punktene (50,10) og (400,150). Stigningstllet er d gitt ved y y y1 150 10 300 = = = = = x x x1 400 50 150 Vi finner konstntleddet ved hjelp v ettpunktsformelen. y y= x ( x) 1 1 y 10 = ( x 50) y = x 500 + 10 y = x+ 70 Konstntleddet er = 70. Strtprisen er 70 kr. I tillegg etler mn kr per kg søppel. Oppgve 3.41 Grfen går gjennom punktene (0, 00) og (5, 300). Stigningstllet er derfor y y y1 300 00 100 = = = = = 0 x x x1 5 0 5 Grfen skjærer ndreksen for y = 00. Konstntleddet er derfor 00. Grunnlønn til Solfrid er 00 kr. I tillegg tjener hun 0 kr for hver kurv med jordær hun selger. Oppgve 3.4 Grfene skjærer hverndre i punktet (4, 6). Løsningen på likningen er ltså x = 4. For linje 1 øker y med 1 hver gng x øker med 1. Stigningstllet er derfor 1. Grfen skjærer ndreksen for y =. Konstntleddet er derfor. Formelen for linje 1 er ltså y = x+. For linje minker y med 0,5 hver gng x øker med 1. Stigningstllet er derfor 0,5. Grfen skjærer ndreksen for y = 8. Konstntleddet er derfor 8. Formelen for linje er ltså y = 0,5x+ 8. Likningen Kine skulle løse, svrer til å sette de to uttrykkene lik hverndre. Kine hr ltså løst likningen x+ = 0,5x+ 8. Ashehoug www.lokus.no Side 13 v 56
Oppgve 3.43 Grfen skjærer ndreksen for y = 1. Juleesken koster 1 kr. Når x øker med 1, øker y med 10. Stigningstllet er derfor 10. Sjokoldekulene koster 10 kr per hektogrm. Vi leser v på grfen hvilken verdi v x som svrer til y = 60. Det gir x = 4,8. Sjokoldekulene veier 4,8 hg. Oppgve 3.44 Med x = 0 får vi y = 0,50 0 1 = 1. D strømmen le slått v, vr temperturen i fryseskpet 1 C. Stigningstllet er 0,50. Når x øker med 1, øker ltså y med 0,50. Det etyr t temperturen i fryseskpet stiger med 0,50 C hver time. Vi løser likningen y = 5,0. 0,50x 1 = 5, 0 0,50x = 16 x = 3 Strømmen kn være slått v i 3 timer uten t innholdet lir ødelgt. d Vi ser t y = k når x = 0. Konstnten k er ltså temperturen i fryseskpet når strømmen lir slått på igjen. e Temperturen er 8 C når strømmen lir slått på. Altså er k = 8. Vi løser likningen y = 1. 1, 5x 8 = 1 1, 5x = 13 1, 5x 13 = 1, 5 1, 5 x = 8,7 Det tr 8,7 timer før temperturen i fryseskpet igjen hr litt 1 C. f Formelen y = 0,50x 1 gjelder frm til y = 8. Det svrer til x = 6. Deretter er det formelen y = 1,5 ( x 6) 8 som gjelder, siden det llerede hr gått 6 timer når strømmen lir slått på igjen. Temperturen hr igjen litt 1 C etter totlt 34,7 timer. Ashehoug www.lokus.no Side 14 v 56
Oppgve 3.45 Grfen til funksjonen går gjennom punktene (0, 00) og (60,160). Det gir stigningstllet y y y1 160 00 40 = = = = = 1 x x x1 60 0 40 Vi finner funksjonsuttrykket fr ettpunktsformelen. y y1 = x ( x1) y 00 = 1 ( x 0) y = x+ 0 + 00 y = 0 x For hvert år mn lir eldre, synker mkspulsen med ett slg per minutt. Vi setter x = 35 inn i formelen. y = 0 x= 0 35 = 185 Ifølge modellen er mkspulsen til en 35-åring 185 slg per minutt. d Vi løser likningen y = 180. 0 x = 180 x = 0 180 x = 40 Den mksimle frekvensen er 180 når mn er 40 år. Oppgve 3.46 Folketllet øker fr 1 000 til 14 100 i løpet v 5 år. Stigningstllet er derfor 14 100 1 000 100 = = 40 5 5 Funksjonsuttrykket for folketllet må ltså h stigningstll 40. Konstntleddet derimot kn være nærmest hv som helst, vhengig v hvilket år vi velger t x = 0 skl tilsvre. Derfor kn funksjonene A, B og C eskrive folketllet i kommunen. (For funksjon A svrer x = 0 til 013, for B svrer det til 008, og for C svrer det til 010.) Oppgve 3.47 Linj går omtrent gjennom punktene (0,1,) og (10, 1,0). Det gir stigningstllet y y y1 1, 0 1, 8,8 = = = = = 0,88 x x x1 10 0 10 Linj skjærer ndreksen for y = 1,. Konstntleddet er derfor = 1, 1. Likningen for linj er dermed y = 0,88x+ 1. Ashehoug www.lokus.no Side 15 v 56
Oppgve 3.48 x står for ntll dger siden nyttår, der 1. jnur tilsvrer x = 1. Altså tilsvrer 1. jnur x = 1, og 9. jnur tilsvrer x = 9. Det er 31 dger i jnur, slik t 5. ferur tilsvrer x = 31+ 5 = 36. Dto 1.1 1.1 1.1 9.1 5. x 1 1 1 9 36 Vekt i kg (y) 107 105 103 103 10 Vi ruker lineær regresjon. Linj y = 0,140x+ 107 psser est til punktene. Vi kn for eksempel regne 1. juni som strten på sommeren. Det tilsvrer x = 31+ 8 + 31+ 30 + 31+ 1 = 15 Vi setter x = 15 inn i den lineære formelen. y = 0,140 15 + 107 = 85, 7 Dersom den lineære veksten fortsetter, vil Lrs veie. 86 kg rundt 1. juni. Det ser ltså ut til t Lrs kn nå målet sitt om å være nede i 85 kg til sommeren. Oppgve 3.49 x står for ntll år siden 003. F.eks. tilsvrer år 007 x = 4, og år 009 tilsvrer x = 6. År 003 004 006 007 009 011 013 x 0 1 3 4 6 8 10 Folketll, f( x ) 3010 3100 3180 3300 3400 3550 3650 Vi ruker lineær regresjon. Funksjonen f( x) = 64,3x+ 3019 psser est til dtene. År 01 svrer til x = 9. Vi setter x = 9 inn i formelen. f (9) = 64,3 9 + 3019 = 3598 I 01 vr folketllet. 3600. Oppgve 3.50 Vi ruker lineær regresjon og får linj y = 1, x+ 599. År 016 svrer til x = 7. Vi setter dette inn i formelen. y = 1, 7 + 599 = 747 Det vil være. 750 deltkere i 016 hvis utviklingen fortsetter på den smme måten. Oppgve 3.51 Vi ruker lineær regresjon og får funksjonen f( x) = 43x+ 9935. 015 svrer til x = 1. Vi setter inn i formelen og får f (1) = 43 1 + 9935 = 1 851. Etter modellen vil folketllet i 015 være. 1 900. Ashehoug www.lokus.no Side 16 v 56
Oppgve 3.5 Vi ruker lineær regresjon på dtene, og finner d linj y = 0,01x 10,9. Altså er 0,01 =. = og 10,9 Vi setter x = 500 inn i formelen: y = 0, 01 500 10,9 = 44,35 44, 4 En løpt distnse på 500 m svrer til kondisjonstllet 44,4. Løsninger En mnn i ldersgruppen 40 49 år er i middels god form hvis kondisjonstllet er minst 3. Vi finner distnsen dette tilsvrer ved å løse likningen y = 3. 0, 01x 10,9 = 3 0, 01x = 4,9 x = 1941 Mnnen må løpe. 1940 meter for å være i middels god form. For å være i svært r form må kondisjonstllet være minst 46. Vi løser likningen y = 46. 0, 01x 10,9 = 46 0, 01x = 56,9 x = 575 575 1941 = 634 Mnnen må løpe. 630 meter lengre for å være i svært r form. Oppgve 3.53 Vi ruker lineær regresjon, og finner linj y = 39 05 x+ 1864 574. 013 svrer til x = 1. Vi setter dette inn i formelen. y = 39 05 1 + 1864 574 = 33 874 Dette er en god del mindre enn det virkelige tllet på 500 65 personiler. Antll iler hr steget mer enn det modellen sier. Modellen psser gnske dårlig. Ifølge modellen vil ntllet personiler re fortsette å stige, med. 39 000 iler i året. I virkeligheten er ntllet personiler nødt til å egynne å flte ut før eller siden. Modellen kn derfor ikke være gyldig i det lnge løp. (I oppgve fnt vi riktignok t det virkelige ntllet iler vr høyere enn det modellen tils. Men dette må være en midlertidig trend. Etter lng tid vil det virkelige ntllet iler li lvere enn modellen.) Oppgve 3.54 Toppunktet til funksjonen er ( 1, 4). Grfen skjærer førsteksen i punktene ( 3, 0) og (1, 0). Funksjonen hr ltså nullpunktene 3 og 1. Grfen til f skjærer linj y = 3 i punktene (,3) og (0,3). Likningen f( x ) = 3 hr derfor løsningene x = og x = 0. Vi ser t linj y = 5 ikke skjærer grfen til f. Likningen f( x ) = 5 hr derfor ingen løsning. Ashehoug www.lokus.no Side 17 v 56
Oppgve 3.55 Vi ser t funksjonen hr minimlverdien f ( ) = 7. Funksjonen hr et toppunkt i (,9). Mksimlverdien er ltså 9. Verdimengden til funksjonen er [ 7,9] V =. Oppgve 3.57 Vi ser t grfen til f går gjennom punktene (0, 4) og (1, ). Dette kn vi ruke til å regne ut koeffisientene og. f ( x) = x + f(0) 0 = 4 f = + = + (1) 1 4 4 + 4= = + = = Funksjonsuttrykket er ltså Oppgve 3.58 f x ( ) x 4 f = +. En ndregrdsfunksjon er symmetrisk om den vertikle linj som går gjennom unnpunktet (eller toppunktet). Funksjonen f hr et unnpunkt i (, 1). Likningen for symmetrilinj er derfor x =. Funksjonen er symmetrisk om linj x =. Det etyr t funksjonen hr smme verdi for x = 0 og x = 4, og smme verdi for x = 1 og x = 5. Altså er f(4) = f(0) = 3 f(5) = f( 1) = 8 Se figuren til høyre. Ashehoug www.lokus.no Side 18 v 56
Oppgve 3.59 x + 13x+ 6 = 0 Likningen hr løsningene x= 6 x= 0,5. x + 4x+ 4= 0 Likningen hr løsningen x =. + = x x 6 0 Likningen hr løsningene x= x= 1, 5. Ashehoug www.lokus.no Side 19 v 56
d x 6x+ 10 = 0 Grfen skjærer ikke førsteksen. Likningen hr derfor ingen løsning, L =. Oppgve 3.60 Når plnten lir stt ned, er x = 0. Funksjonsuttrykket er gyldig i ti dger, ltså til x = 10. x 0,10. Vi skl derfor tegne grfen for [ ] Vi ser t h (0) = 4. Konstntleddet 4 etyr ltså t plnten vr 4 m høy d den le plntet. Se figuren til høyre. d Vi ser v figuren t hx ( ) = 6 når x = 3,. Plnten vr 6 m høy etter 3, dger. Oppgve 3.61 Vi tegner grfen til B for x [ 1, 31]. Bunnpunktet på grfen er (11,1801). Det vr færrest esøkende 11. mrs. Funksjonen hr mksimlverdien 3001 når x = 31. Den dgen det vr flest esøkende (nemlig 31. mrs) kom det 3001 personer til lpinnlegget. d Vi ser t grfen til B skjærer linj y = 1909 for x = 5 og x = 17. Det vr 1909 esøkende ved lpinnlegget 5. mrs og 17. mrs. Vi finner svret ved regning ved å løse likningen Bx ( ) = 1909. 3x 66x+ 164 = 1909 3x 66x+ 55 = 0 Her er = 3, = 66 og = 55. Vi setter inn i -formelen og får ± ± ± ± x = = = = 3 6 6 6 66 36 66 + 36 x = x = 6 6 x = 5 x = 17 ( 66) ( 66) 4 3 55 66 4356 3060 66 196 66 36 Ashehoug www.lokus.no Side 0 v 56
Oppgve 3.6 Vi løser likningen K( x) = I( x). 0,1 15 + 900 = 8 x x x 0,1x 3x+ 900 = 0 Her er = 0,1, = 3 og = 900. Vi setter inn i -formelen og får ( 3) ± ( 3) 4 0,1 900 3 ± 59 360 3± 169 3± 13 x = = = = 0,1 0, 0, 0, 3 13 3+ 13 x = x = 0, 0, x = 50 x = 180 Kostnden er lik inntekten når det lir produsert 50 eller 180 enheter. Dette stemmer med figuren i oppgve, der grfene til K( x ) og I( x ) skjærer hverndre for x = 50 og x = 180. Overskuddet er gitt ved differnsen mellom inntekter og utgifter. Altså er Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox ( ) = 8x 0,1x 15x+ 900 = + 8x 0,1x 15x 900 0,1x 3x 900 = + d Vi tegner grfen til Ox. ( ) Grfen hr et toppunkt i (115, 4,5). Den største verdien overskuddet kn h, er ltså 4,50 kr. (Dette skjer når det lir produsert 115 enheter.) Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 56
Oppgve 3.63 Vi tegner grfen i GeoGer. Vi finner vekten etter tre uker ved å skrive V (3) i inntstingsfeltet i GeoGer. Etter tre uker vr vekten v plnten,5 kg. Tilsvrende finner vi t vekten v plnten etter ni uker vr 5,4 kg. (Alterntivt kn vi finne skjæringspunktene mellom grfen til V og linjene x = 3 og x = 9, slik vi hr gjort i figuren i oppgve.) Vi finner skjæringspunktene mellom grfen til V og linjene y = 1,1 og y = 1, 3. Etter 0,00 uker vr vekten 1,1 kg, og etter 0,6015 uker vr vekten 1,3 kg. 0, 6015 0, 00 = 0, 4013 0, 4013 uker = 0, 4013 7 dger =,8091 dger Det gikk,8 dger fr vekten vr 1,1 kg til den le 1,3 kg. Ashehoug www.lokus.no Side v 56
Oppgve 3.64 Vi setter inn t = 0 i funksjonsuttrykket. 3 N (0) =,5 0 30 0 + 90 0 + 00 = 00 Det vr 00 elg i området 1. jnur 006. Funksjonsuttrykket gjelder fr og med 1. jnur 006, ltså for t 0. Uttrykket gjelder til og med 013. Det etyr t uttrykket gjelder frm til 1. jnur 014, ltså for t < 8. Definisjonsmengden er dermed D N = 0,8. Vi tegner grfen i GeoGer. d Vi tegner inn linj y = 0, og finner skjæringspunktene mellom linj og grfen til N. Likningen Nt ( ) = 0 hr løsningene t = 0,4 t = 4,69 t = 7,06 De tre tidspunktene svrer til hhv. en dg i 006, en dg i 010 og en dg i 013. Vi må regne ut hvilke dtoer desimltllene tilsvrer. 0,4 365 = 88 88 dger etter 1. jnur er 30. mrs. 0,69 365 = 5 5 dger etter 1. jnur er 10. septemer. 0,06 365 = dger etter 1. jnur er 3. jnur. Elgestnden vr på 0 dyr rundt 30. mrs 006, 10. septemer 010 og 3. jnur 013. e Grfen til N hr et toppunkt i (, 80), som svrer til 1. jnur 008. I tillegg er N (8) = 80. Dette punktet er ikke med i definisjonsmengden til funksjonen. Men det vr omtrent like mnge elg 31. desemer året før, ltså 31. desemer 013. (Hvis vi regner det ut nøyktig, finner vi t N(8 1 365) = 79,75 80.) Elgestnden vr på topp rundt 1. jnur 008 og 31. desemer 013, med 80 elg. f Grfen til N hr et unnpunkt i (6, 00), som svrer til 1. jnur 01. I tillegg er N (0) = 00, og t = 0 er med i definisjonsmengden til funksjonen. Elgestnden vr ltså minst rundt 1. jnur 006 og 1. jnur 01. Ashehoug www.lokus.no Side 3 v 56
Oppgve 3.65 Oppgve 3.66 Av figuren ser vi t funksjonen hr minimlverdien 4 og mksimlverdien 1. V = 4,1. Verdimengden til funksjonen er ltså [ ] Grfen hr et unnpunkt i (1, 4). Grfen til f skjærer førsteksen i punktene ( 1, 0) og (3, 0). Nullpunktene til funksjonen er derfor 1 og 3. d Vi ser t grfen til f skjærer linj y = 3 i punktene (0, 3) og (, 3). Likningen f( x ) = 3 hr ltså løsningene x= 0 x=. e f Oppgve 3.67 Funksjonen hr definisjonsmengden [ 0,8] D =. Kl. 1 svrer til x = 0, og kl. 17 svrer til x = 5. Vi leser v på grfen, og finner t T(0) = T(5) = 16. Temperturen vr 16 C åde kl. 1 og kl. 17. Funksjonen hr et toppunkt i (,5,17,5). Temperturen vr høyest kl. 14.30. Temperturen vr d 17,5 C. T Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 56
Oppgve 3.68 For eksempel finner vi t M (30) = 0, 04 30 5,9 30 + 395 = 54 Frt i km/h 30 60 90 100 Utslipp i grm/km 54 185 188 05 Vi tegner grfen til M for 30 v 100. Vi ser t grfen til M hr et unnpunkt i (73,75,177,44). CO -utslippet per km er minst når frten er 74 km/h. d En frt på 60 km/h gir et CO -utslipp på 185 grm/km. I løpet v en hlvtime kjører ilen 60 km/h 0,5 h = 30 km. CO -utslipp: 185 grm/km 30 km = 5550 grm = 5,55 kg Bilen slipper ut til smmen 5,55 kg CO. Oppgve 3.69 Vi tegner grfen til h i GeoGer for 4 x 17. Vi regner ut h (16) i GeoGer, enten ved å skrive inn denne kommndoen direkte, eller ved å finne skjæringspunktet mellom linj x = 16 og grfen til h. Det gir h (16) = 166,56. Ifølge modellen er gjennomsnittshøyden for 16 år gmle jenter 167 m. Vi finner skjæringspunktet mellom grfen til h og linj y = 150, som er (11,49,150). Gjennomsnittshøyden psserer 150 m etter 11,5 år. Oppgve 3.70 ( ) f x er positiv for x <, negtiv for < x < 1, positiv for 1< x < 3, og negtiv for x > 3. Nullpunktene til funksjonen er, 1 og 3. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 56
Oppgve 3.71 Løsninger Når en funksjon er symmetrisk om er vertikl linje, etyr det t det for hvert punkt på grfen til funksjonen, finnes et tilsvrende punkt med smme funksjonsverdi på den ndre siden v symmetrilinj. En prel hr nøyktig ett punkt hvor funksjonsverdien enten er mksiml (toppunkt) eller miniml (unnpunkt). Dette punktet må derfor ligge på symmetrilinj. f( x) = x 4x 5 Her er = 1, = 4 og = 5. Bunnpunktet hr dermed x-verdien 4 4 x = = = = 1 Det gir y = f() = 4 5 = 4 8 5 = 9. Bunnpunktet hr koordintene (, 9). Nullpunktene er løsningene v likningen f( x ) = 0. Vi setter inn i -formelen og får ± ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 5) ± + ± ± 4 4 16 0 4 36 4 6 x = = = = = 1 4 6 4+ 6 x = x = x = 1 x = 5 Nullpunktene til f er 1 og 5. Oppgve 3.7 Skjæringspunktet mellom grfen til f og y-ksen hr x-koordint 0. Vi setter x = 0 inn i funksjonsuttrykket, og får d likningen f (0) = 3. 0 30 + = 3 = 3 Nullpunktene til funksjonen er løsningene v likningen f( x ) = 0. Vi setter x =, og løser likningen f () = 0 med hensyn på. 3 + = 0 4 6+ = 0 = Oppgve 3.73 f x x f f Linj går gjennom punktene (,3) og (3, 8). Det gir stigningstllet y y y1 8 3 5 = = = = = 1 x x x1 3 ( ) 5 Vi finner likningen for linj fr ettpunktsformelen. y y1 = x ( x1) y 3 = 1 ( x ( ) ) y 3= x+ y = x+ 5 ( ) = 1 ( ) = ( ) 1 = 4 1 = 3 (3) = 3 1 = 9 1 = 8 Ashehoug www.lokus.no Side 6 v 56
Oppgve 3.74 Vi setter x = 90 inn i formelen f( x) 0,3x 0,014x = +. f (90) = 0,3 90 + 0, 014 90 = 140, 4 140 Stopplengden er 140 meter, mens elgen står re 130 meter forn ilen. Erik kjører derfor på elgen. Med x = 80 får vi f (80) = 0,3 80 + 0, 014 80 = 113, 6 114. Hvis frten er 80 km/h, lir stopplengden 114 meter. Det hdde derfor gått r hvis Erik hdde holdt frtsgrensen. Frtsøkningen er på 10 km/h. 10 0,15 1,5 % 80 = = Frtsøkningen er på 1,5 %. d Økningen i stopplengde er 140, 4 m 113, 6 m = 6,8 m. 6,8 0,36 3,6 % 113,6 = = Stopplengden øker med 3,6 %. Oppgve 3.75 Kl. 05.15 svrer til x = 5 + 15 60 = 5,5. Vi setter dette inn i formelen for hx ( ). h = + = Kl. 05.15 vr snødyden 4,5 m. 3 (5,5) 0,0075 5,5 0,000 03 5,5 1,055 5,5 4,5 Vi tegner grfen til hx ( ) smmen med linj y =,0 i GeoGer, og finner skjæringspunktene mellom linjene. Likningen hx ( ) =, 0 hr løsningene x= 1,95 x= 10,76. Dette svrer til kl. 1 h + 0,95 60 min = 01.57 og kl. 10 h + 0,76 60 min = 10.46. Snødyden vr,0 m. kl. 01.57 og. kl. 10.46. Grfen hr toppunktet (6,85, 4,81). Dette finner vi med kommndoen Mks[h,0,1]. Snødyden vr størst. kl. 06.51. D vr snødyden 4,8 m. d Snødyden vr størst for x = 6,85. Grfen til h skjærer x-ksen for x = 11,86. 11,86 6,85 = 5, 01 Det tok 5,0 timer fr snødyden vr størst til ll snøen vr orte igjen. Ashehoug www.lokus.no Side 7 v 56
Oppgve 3.76 Funksjonen hr nullpunktene og 1. Vi ser t f( x ) er negtiv åde for x < og for x >. Punktet (, 0) er ltså et toppunkt på grfen. I tillegg er punktet (0, 4) et unnpunkt. Grfen kommer nedenfr og går oppover. Oppgve 3.77 Funksjonen hr nullpunktene 1, og 3. f( x ) er positiv for x < 1 og negtiv for x > 3. Grfen kommer ltså ovenfr og går nedover. Dessuten går grfen gjennom punktet (0, ). Oppgve 3.78 Strtverdien v ilen er 345 000 kr. Altså er = 345 000. Verdien synker med 18 % hvert år, som svrer til vekstfktoren 0,8. Altså er = 0,8. Verdien v ilen etter t år er dermed gitt ved Vt ( ) = 345 000 0,8 t. Funksjonsuttrykket gjelder de neste sju årene. Altså er definisjonsmengden [ 0,7] d e D V =. Funksjonen vtr hele tiden. Altså er minimlverdien V (7) og mksimlverdien V (0). 7 V (7) = 345 000 0,8 = 86 003 86 000 0 V (0) = 345 000 0,8 = 345 000 V = 86 000, 345 000. Verdimengden for funksjonen er [ ] 3 V (3) = 345 000 0,8 = 190 190 00 Verdien v ilen etter tre år er. 190 00 kr. V V () = 345 000 0,8 = 31 978 V() V(3) = 31 978 190 = 41 756 41800 Verditpet det tredje året er. 41 800 kr. Bilen er mindre verdt i egynnelsen v det fjerde året enn i egynnelsen v det tredje året. Derfor lir også verditpet i kroner mindre det fjerde året enn det tredje året. Ashehoug www.lokus.no Side 8 v 56
f Når verdien v ilen er hlvert, er verdien 17 500 kr. Vi løser derfor likningen Vt ( ) = 17 500. t 345 000 0,8 = 17 500 t 17 500 0,8 = 345 000 t 0,8 = 0,5 lg 0,5 t = lg 0,8 t = 3, 49 Verdien v ilen er hlvert etter. 3,5 år. Oppgve 3.79 0 N (0) = 0 000 1,40 = 0 000 Det vr 0 000 kterier i kteriekulturen til å egynne med. Vekstfktoren er 1,40. Det svrer til en økning på 40 %. Antll kterier økte med 40 % hver time. Se figuren til høyre. d Vi ruker grfen og leser v funksjonsverdien for t = 3. Etter tre timer vr det. 54 900 kterier i kulturen. e Grfen til N skjærer linj y = 60 000 for x = 3, 7. Antll kterier er tredolet etter. 3,3 timer. Oppgve 3.80 Det opprinnelige eløpet vr 0 000 kr. Etter tre år hr eløpet vokst til 1 855 kr. 3 Tenk t vekstfktoren er x. Det gir likningen 0 000 x = 1855. 3 1855 x = 0 000 x = 3 1855 0 000 x = 1,030 Vekstfktoren er 1,030. En vekstfktor på 1,030 svrer til en økning på 3,0 %. Den årlige renten er 3,0 %. Strteløpet er 0 000 kr, og vekstfktoren er 1,030. Etter x år hr derfor spreeløpet i kroner vokst til ( ) 0 000 1,030 x K x =. Ashehoug www.lokus.no Side 9 v 56
Oppgve 3.81 x Verdien v ilen etter x år er gitt ved V( x) = 45 000, der er vekstfktoren. Etter fire år er verdien v ilen 45 000 kr 85 000 kr = 160 000 kr. Vi finner vekstfktoren ved å løse likningen V (4) = 160 000. 4 45 000 160 000 = 4 = = 160 000 45 000 4 160 000 45 000 = 0,899 Vekstfktoren er 0,899 = 89,9 %. Det svrer til en nedgng på 100 % 89,9 % = 10,1 %. Det gjennomsnittlige årlige verditpet på ilen vr på 10,1 %. Oppgve 3.8 Antll nstte i strten v 011: 500 6 Nedgng i ntll nstte i løpet v 011: 500 = 500 0, 06 = 30 100 Antll nstte i strten v 01: 500 30 = 470 6 Nedgng i ntll nstte i løpet v 01: 470 = 470 0, 06 = 8 100 Løsninger Det er flere nstte i strten v 011 enn i strten v 01. Derfor lir nedgngen i ntll nstte større i 011 enn i 01. År Antll nstte ved strten v året Nedgng i ntll nstte i løpet v året 011 500 30 01 470 8 013 470 8 = 44 44 0,06 = 7 014 44 7 = 415 415 0,06 = 5 015 415 5 = 390 390 0,06 = 3 d I 011 vr det 500 nstte i edriften. Strtverdien er ltså 500. Antll nstte lir redusert med 6 % hvert år. Det svrer til vekstfktoren 0,94. Antll nstte n år etter 011 er dermed gitt ved An ( ) = 500 0,94 n. Ashehoug www.lokus.no Side 30 v 56
Oppgve 3.83 0 V (0) = 3000 0,80 = 3000 Det vr 3000 liter vnn i tnken før lekksjen. Se figuren til høyre. 3 v vnnet hr lekket ut, ltså 3000 L 000 L 3 =. D er det igjen 3000 L 000 L = 1000 L vnn i tnken. Av figuren ser vi t V( x ) = 1000 for x = 4,9. Etter 4,9 timer hr to tredeler v vnnet i tnken lekket ut. Oppgve 3.84 Til å egynne med vr det 1 500 innyggere i kommunen. Folketllet minker med 4 % hvert år. Det svrer til vekstfktoren 0,96. Folketllet etter x år er derfor gitt ved F( x ) = 1 500 0,96 x. Vi setter x = 5 inn i formelen for F( x ). 5 F (5) = 1 500 0,96 = 10 19 10 00 Etter fem år er folketllet forventet å være. 10 00. Oppgve 3.85 0 V (0) = 340 000 0,8 = 340 000 Bilen kostet 340 000 kr d den le kjøpt. Vekstfktoren er 0,8 = 8 %. Det svrer til en nedgng på 100 % 8 % = 18 %. Det årlige verditpet er på 18 %. 340 000 Vi løser likningen V( x ) = = 170 000. x 340 000 0,8 = 170 000 x 170 000 0,8 = 340 000 x 0,8 = 0,5 lg 0,5 x = lg 0,8 x = 3, 49 Verdien v ilen er hlvert etter 3,5 år. d 3 V (3) = 340 000 0,8 = 187 465 4 V (4) = 340 000 0,8 = 153 71 V(3) V(4) = 187 465 153 71 = 33 744 33 700 Verditpet det fjerde året er på. 33 700 kr. Ashehoug www.lokus.no Side 31 v 56
Oppgve 3.86 0 K (0) =,3 0,98 =,3 Like etter t psienten får sprøyten, er konsentrsjonen i lodet,3 mg/ml. Vekstfktoren er 0,98, som svrer til en nedgng på %. Konsentrsjonen i lodet v medisinen vtr med % hver time. Vi løser likningen Kt ( ) = 1, 5. t,3 0,98 = 1,5 t 1, 5 0,98 =,3 t 0,98 = 0, 65 lg 0,65 t = lg 0,98 t = 1,16 Konsentrsjonen er nede i 1,5 mg/ml etter 1 timer. Oppgve 3.87 I 013 vr produksjonen 3000 enheter. Produksjonen øker med 10 % hvert år, som svrer til vekstfktoren 1,10. I 015 hr det gått to år, og i 016 hr det gått tre år. 3000 1,10 = 3630 3 3000 1,10 3993 = I 015 vil edriften produsere. 3630 enheter, og i 016. 3990 enheter. Strtverdien er 3000, og vekstfktoren er 1,10. Etter x år er dermed ntll produserte enheter gitt ved ( ) 3000 1,10 x Px =. 5 I 018 vil produksjonen være P (5) = 3000 1,10 = 483. Etter 018 vil produksjonen øke med 5 % hvert år, som svrer til vekstfktoren 1,05. x år etter 013 er det smme som ( x 5) år etter 018, forutstt t x > 5. Strtverdien i 018 er ltså 483 enheter, og vekstfktoren etter 018 er 1,05. 5 ( x 5) år etter 018 vil derfor produksjonen være Px ( ) 483 1,05 x =. d I 018 vil produksjonen være 483 enheter, som er mindre enn 7000. Produksjonen vil ltså pssere 7000 enheter etter 018. Vi ruker derfor uttrykket fr oppgve, og løser likningen Px ( ) = 7000. x 5 483 1, 05 7000 = 1, 05 x 5 7000 = 483 = x 5 1,05 1,4487 lg1, 4487 x 5 = lg1, 05 x = 1, 60 13 13 år etter 013 lir i 06. Produksjonen vil pssere 7000 enheter i 06. Ashehoug www.lokus.no Side 3 v 56
Oppgve 3.88 Løsninger I 00 vr folketllet 11 900. Den årlige økningen er %, som svrer til vekstfktoren 1,0. x år etter 00 er derfor folketllet gitt ved ( ) 11900 1,0 x f x =. 6 008 svrer til x = 6. Vi setter inn og får f (6) = 11900 1,0 = 13 401. I 008 vr folketllet i kommunen. 13 400. År 000 svrer til x =. Vi får f ( ) = 11900 1,0 = 11 438. I 000 vr folketllet i kommunen. 11 400. 4 1998 svrer til x = 4 : f ( 4) = 11900 1,0 = 10 994 Økning i ntll personer: 13 401 10 994 = 407 407 Økning i prosent: 0,19 1,9 % 10 994 = = Fr 1998 til 008 økte folketllet med 1,9 %. Oppgve 3.89 Fr 010 til 011 minket folketllet fr 7500 til 775. ny verdi Vekstfktor = gmmel verdi 775 V = = 0,97 7500 I 011 vr folketllet 775, og vekstfktoren er 0,97. 5 I 016, som er 5 år senere, er derfor folketllet 775 0,97 = 647. Folketllet vil være. 650 i 016. Oppgve 3.90 3 (3) 5000 0,977 4663 4660 f = = Etter 3 minutter er det. 4660 L sft i tnken. 6 f (6) = 5000 0,977 = 4348 Det er 4348 L sft i tnken etter 6 minutter. Til å egynne med vr det 5000 L i tnken. 5000 4348 = 65 650 Etter 6 minutter hr det lekket ut. 650 L sft fr tnken. Vi løser likningen f( t ) = 500. t 5000 0,977 = 500 t 0,977 = 0,5 lg 0,5 t = lg 0,977 t = 9,8 30 Innholdet i tnken er hlvert etter 30 minutter. d Skjæringspunktet hr koordintene (9,8, 500). Vi ser t g( t) = 5000 f( t) = f(0) f( t). gt () viser ltså hvor mye sft som hr lekket ut etter t minutter. Ashehoug www.lokus.no Side 33 v 56
Oppgve 3.91 Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 6x+ 3 6x f( x) = = 3 x 4 x Altså er linj y = 3 en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x =. Linj x = er en loddrett symptote. Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. 6x + 3 = 0 x x 4 6x + 3= 0 1 x = 1 Funksjonen hr nullpunktet. Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 4x 6 4x f( x) = = x x Altså er linj y = en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x = 1. Linj x = 1 er en loddrett symptote. Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. 4x 6 = 0 x 1 x 4x 6= 0 3 x = Funksjonen hr nullpunktet 3. Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 5x 5x 5 f( x) = 1 x x = 5 Altså er linj y = en vnnrett symptote. 1 Funksjonen er ikke definert for x =. 1 Linj x = er en loddrett symptote. Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. 5x 1 = 0 x 1 x 5x = 0 x = 0 Funksjonen hr nullpunktet 0. Ashehoug www.lokus.no Side 34 v 56
Oppgve 3.9 Vi tegner grfen i GeoGer, og finner symptotene med kommndoen Asymptote[f]. Løsninger y = 4 er vnnrett symptote, og x = 1 er loddrett symptote. y = er vnnrett symptote, og x = 0 er loddrett symptote. y = 5 er vnnrett symptote, og x = 1,5 er loddrett symptote. Ashehoug www.lokus.no Side 35 v 56
Oppgve 3.93 Vi tegner grfen til funksjonen f( x) = x + 4 x + med GeoGer. Vi finner symptotene til funksjonen med kommndoen Asymptote[f]. x = er en loddrett symptote. I tillegg hr funksjonen en skrå symptote y = x. Oppgve 3.94 Vi utvider tellen med en rd der vi regner ut produktet x Px ( ). x 4 6 8 10 16 Px ( ) 10 80 60 48 30 x Px ( ) 480 480 480 480 480 Produktet er konstnt. Prisen per trening er derfor omvendt proporsjonl med ntll treninger. x er ntll treninger per måned, og Px ( ) er prisen per trening. Produktet x Px ( ) er derfor den totle prisen per måned for treningen. I oppgve fnt vi t x Px ( ) = 480. Medlemskpet koster 480 kr per måned. Vi hr funnet t x Px ( ) = 480. Funksjonsuttrykket er ltså d Px ( ) 480 =. x Ashehoug www.lokus.no Side 36 v 56
Oppgve 3.95 Av figuren ser vi t timelønn er 90 kr når reidstiden er 8,9 timer, og timelønn er 110 kr når reidstiden er 7,3 timer. Diep må ltså ruke mellom 7,3 og 8,9 timer på joen for t timelønn skl være mellom 90 kr og 110 kr. Oppgve 3.96 Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. d 5x + 3 = 0 x x + 4 5x + 3= 0 3 x = 5 3 Funksjonen hr nullpunktet 5. Vi finner skjæringspunktet med ndreksen ved å sette x = 0. 50 + 3 3 f (0) = = 0 + 4 4 3 0,. Funksjonen skjærer ndreksen i punktet ( ) Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 5x+ 3 5x 5 f( x) = = x+ 4 x 5 Altså er linj y = en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x =. Linj x = er en loddrett symptote. Se figuren til høyre. Funksjonen er definert for lle reelle tll ortsett fr den loddrette symptoten. Definisjonsmengden er derfor D f = \{ }. Funksjonsverdien kn være ethvert reelt tll ortsett fr den vnnrette symptoten. V = \. Verdimengden er derfor { } f 5 4 Ashehoug www.lokus.no Side 37 v 56
Oppgve 3.97 Se figuren til høyre. Vi ruker grfen og leser v funksjonsverdien når x = 0. Når det kommer 0 personer, lir utgiftene per person 65 kr. Grfen til E skjærer linj y = 80 for x = 1,5. Det må komme minst 13 personer for t utgiftene per person skl li lvere enn 80 kr. d Utgiftene per person er gitt ved 500 + 40x 500 Ex ( ) = = + 40 x x Uttrykket er ikke på formen y = k x, siden vi hr et ekstr ledd 40. Utgiftene per deltker er ikke omvendt proporsjonlt med ntll deltkere. Oppgve 3.98 Den totle prisen på ussen er uvhengig v ntll deltkere. Skolen må etle for 35 deltkere unsett hvor mnge som kommer. Den totle prisen er ltså 35 60 kr = 9100 kr. 9100 Prisen per deltker er dermed gitt ved Px ( ) =. x 9100 F.eks. får vi P (1) = = 433. 1 Antll deltkere, x 1 8 36 40 Pris per deltker, Px ( ) 433 35 53 8 Se figuren til høyre. Prisen per deltker er på formen y = k x. Tiludet fr usselskpet er ltså et eksempel på omvendt proporsjonlitet. Oppgve 3.99 Den loddrette symptoten er x = 1. Funksjonen er ltså ikke definert for x = 1. Dette psser med lterntivene B, C og D. Den vnnrette symptoten er y = 1, som psser med lterntivene A, C og D. Funksjonen hr nullpunkt. Dette psser med lterntivene A og D. Til smmen ser vi t det re er lterntiv D som psser med lle disse tre opplysningene. x + Figuren kn ltså vise grfen til funksjonen f( x) =. x + 1 Ashehoug www.lokus.no Side 38 v 56
Oppgve 3.100 Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 3x 3x f( x) = 3 x 1 x = Altså er linj y = 3 en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x = 1. Linj x = 1 er en loddrett symptote. Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 4x 1 4x gx ( ) = = 4 x+ x Altså er linj y = 4 en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x =. Linj x = er en loddrett symptote. Oppgve 3.101 Vi tegner grfen til h i GeoGer. Vi ser t grfen til h hr unnpunktet (0, 3). Grfen til h skjærer førsteksen for x = 1, 73 og x = 1, 73. Funksjonen hr ltså nullpunktene 1, 73 og 1,73. d Funksjonen hr re én symptote, nemlig den vnnrette symptoten y = 1. e Funksjonen hr ingen loddrette symptoter, og er definert for lle reelle tll. Definisjonsmengden er derfor D h =. I unnpunktet hr funksjonen minimlverdien 3. Hele grfen til h ligger under den vnnrette symptoten y = 1. Verdimengden er derfor tllene fr og med 3 til 1, V h = 3,1. Ashehoug www.lokus.no Side 39 v 56
Oppgve 3.10 Løsninger Den loddrette symptoten er gitt ved x = 1. Funksjonen er ltså ikke definert for x = 1. Det etyr t nevneren må være null her: 1+ d = 0. Altså er d = 1. Grfen til f skjærer ndreksen i punktet (0, 4). Vi setter x = 0 og løser likningen f (0) = 4 : 0 + 0+ = 4 0+ 1 = 4 Vi ruker de to nullpunktene og til å finne to likninger for de to ukjente størrelsene og : ( ) + ( ) 4 + 4 = 0 = 0 + 1 + 1 4 4 4+ 4 = 0 = 0 1 3 4 4= 0 4+ 4= 0 (1) Vi legger smmen de to likningene: (4 4) + (4+ 4) = 0 8 8= 0 = 1 Til slutt setter vi inn i den første likningen i (1) for å finne : 41 4= 0 = 0 = 0 For å oppsummere hr vi ltså funnet løsningen = 1, = 0, = 4 og d = 1. Oppgve 3.103 Vi ser t grfen til V skjærer linj y = 500 for x = 34,7. Svret forteller oss t vekten v fosteret er 500 grm etter. 35 uker. Vi setter x = 40 og leser v funksjonsverdien på figuren. Det gir V (40) = 3895. Ifølge modellen er fødselsvekten for rn. 3900 grm. Ashehoug www.lokus.no Side 40 v 56
Oppgve 3.104 0,5 f( m) = 00 m Eksponenten i potensfunksjonen er negtiv, nemlig 0, 5. Det etyr t funksjonsverdien vtr når m øker. Hjertefrekvensen vtr ltså når vekten v dyret øker. Løsninger Vi setter m = 6000 inn i formelen. 0,5 f (6000) = 00 6000 =, 7 Elefnten hr i virkeligheten en hjertefrekvens på 5. Modellen psser derfor rukrt for elefnten. Spurven veier 40 g = 0, 040 kg. Vi setter m = 0,040 inn i formelen. 0,5 f (0, 040) = 00 0, 040 = 447 450 Etter denne modellen lir hjertefrekvensen til en spurv. 450 slg per minutt. d Vi kn for eksempel prøve med m = 75. 0,5 f (75) = 00 75 = 68 Mennesker hr typisk en hvilepuls på rundt 60 slg per minutt. Modellen psser derfor rukrt også for mennesker, i hvert fll for voksne mennesker med ikke lt for unorml kroppsvekt. Oppgve 3.106 f( x) = x 3 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 3 0 x 3 Definisjonsmengden er derfor D f = 3,. gx ( ) = x Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 0 x x Definisjonsmengden er D g =,. Oppgve 3.107 For egge funksjonene må tllet under rottegnet være positivt eller null. Altså er 9 x 0. x 9 x 9 3 x 3 Vi tegner derfor grfen til de to funksjonene for 3 x 3. Av figuren ser vi t de to grfene til smmen dnner en sirkel med sentrum i origo og rdius lik 3. Ashehoug www.lokus.no Side 41 v 56
Oppgve 3.108 Vi leser v f (15) på grfen, og får f (15) 3, 9. En tilnærmet verdi for 15 er ltså 3,9. Oppgve 3.109 f( x) = x+ 4 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x + 4 0 x 4 Definisjonsmengden er derfor D f = 4,. gx ( ) = 3x 9 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. 3x 9 0 3x 9 x 3 Definisjonsmengden er derfor D g = 3,. Funksjonen hx ( ) = 16 xer jevnt minkende. Vi finner derfor ytterpunktene for verdimengden ved å se på ytterpunktene for definisjonsmengden. h( 4) = 16 ( 4) = 0 4, 47 h() = 16 = 14 3, 74 Verdimengden er ltså [ 3,74, 4,47] V =. h d Funksjonen kx ( ) = x+ 4 er jevnt økende. Vi finner derfor ytterpunktene for verdimengden ved å se på ytterpunktene for definisjonsmengden. kx ( ) er ikke definert for x = 1. Men vi finner hvilken verdi funksjonen nærmer seg i grensen for definisjonsmengden ved å sette x = 1 inn i funksjonsuttrykket. 1 + 4 = 3 1, 73 k(1) = 1 + 4 = 16 = 4 Verdimengden er ltså V k = 1, 73, 4. Oppgve 3.110 Se figuren til høyre. Vi leser v h (1) på figuren, og får h (1) = 0,8. Etter ett år vr usken 80 m høy. Vi leser v h (6) på figuren, og får h (6) = 1,638 1,64. Etter seks år vr usken 1,64 m høy. d h(5) = 1,53 h(6) h(5) = 1, 638 1,53 = 0,115 0,1 Det sjette året vokste usken 1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 56
Oppgve 3.111 Se figuren til høyre. Vi leser v T (50) på figuren, og får T (50) = 49,8 50. 50 sek = (4 60 + 10) sek = 4 min 10 sek Den perfekte koketiden for et egg på 50 grm er 4 minutter og 10 sekunder. T (55) = 66,1 T(55) T(50) = 66,1 49,8 = 16,3 16 Egget på 55 grm må koke 16 sekunder lengre enn egget på 50 grm for t det skl li perfekt. Oppgve 3.11 f( x) = x 4 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 4 0 4 x x 4 Definisjonsmengden er D f =, 4. gx ( ) = x 4 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 4 0 x 4 x 4 x x Definisjonsmengden er D g =,,. hx ( ) = x 5x+ 6 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. Fr -formelen er tllet lik null når ( 5) ± ( 5) 4 1 6 5 ± 5 4 5 ± 1 5 ± 1 x = = = = 1 x= x= 3 Tllet under rottegnet i hx ( ) er positivt hvis x er et stort positivt eller stort negtivt tll. Det må ety t tllet er negtivt hvis < x < 3. Funksjonen er ikke definert for < x < 3. Altså er definisjonsmengden gitt ved D h =, 3,. Ashehoug www.lokus.no Side 43 v 56
Oppgve 3.113 Vi setter x = 90 inn i formelen for Sx. ( ) 0,85 Sx ( ) = 40 000 x 0,85 S(90) = 40 000 90 = 873 Når prisen er 90 kr, er slget på 873 enheter. 0,85 Slg når prisen er 100 kr: S(100) = 40 000 100 = 798 Nedgng i ntll enheter: 873 798 = 75 Nedgng i prosent: 75 0,086 8,6 % 873 = = Hvis prisen økes fr 90 kr til 100 kr, vil slget gå ned med 8,6 %. 0,85 Slg når prisen er 80 kr: S(80) = 40 000 80 = 965 Økning i ntll enheter: 965 873 = 9 Økning i prosent: 9 0,105 10,5 % 873 = = Hvis prisen senkes fr 90 kr til 80 kr, vil slget øke med 10,5 %. Oppgve 3.114 Vi setter x =,0 inn i formelen for f( x ). f f( x) = 11,56 x 1,78 1,78 (, 0) = 11,56, 0 = 39, 7 40 Når hullet hr en dimeter på,0 mm, renner det ut Vi løser likningen f( x ) = 00. 1,78 11,56 x = 00 x 1,78 00 = 11,56 x = 1,78 x = 4,96 00 11,56 Dimeteren på hullet er 4,96 mm når det renner ut 3 40 m vnn per uke. 3 00 m per uke. Vi vet ikke hv dimeteren på hullet er til å egynne med, og setter den lik x mm. 1,78 Vnnmengden som renner ut er d gitt ved f( x) = 11,56 x. Når dimeteren hr økt med 10 %, er dimeteren 1,10 x mm. D er vnnmengden gitt ved f(1,10 x) 11,56 (1,10 x) 11,56 1,10 x 1,78 1,78 1,78 = =. 1,78 1,78 f(1,10 x) 11,56 1,10 x 1,78 = = 1,10 = 1,185 1,78 f( x) 11,56 x Vekstfktoren er 1,185, som svrer til en økning på 18,5 %. Vnntpet øker med 18,5 % hvis dimeteren på hullet øker med 10 %. Ashehoug www.lokus.no Side 44 v 56
Oppgve 3.115 Vi setter x = 800 inn i formelen for f( x ). f( x) = 4600 x 0,63 0,63 f (800) = 4600 800 = 68 Når omdreiningsfrten er 800 omdreininger per minutt, lir restfuktigheten 68 %. Vi tegner grfen til f for 500 x 1500. Vi ser t grfen til f skjærer linj y = 50 for x = 1310. Omdreiningsfrten er. 1310 omdreininger per minutt når restfuktigheten er 50 %. d 0,63 Omdreiningsfrten er til å egynne med x. Restfuktigheten er d f( x) = 4600 x. Omdreiningsfrten øker med 0 % til 1, 0x. D lir restfuktigheten Løsninger 0,63 0,63 0,63 f(1,0 x) = 4600 (1,0 x) = 4600 1,0 x Det gir 0,63 0,63 f(1,0 x) 4600 1,0 x 0,63 = = 1, 0 = 0,891 0,63 f( x) 4600 x Vekstfktoren er 0,891 = 89,1 %. Det svrer til en nedgng på 100 % 89,1 % = 10,9 %. Når omdreiningsfrten øker med 0 %, synker restfuktigheten med 10,9 %. Oppgve 3.116 Vi setter t = 16 inn i formelen for dt. () dt ( ) = 7,0 t 1 d(16) = 7, 0 16 1 = 7, 0 4 = 7, 0 = 14 16 år etter t isen forsvnt er dimeteren til lvet 14 mm. Vi tegner grfen til d for t > 1. Vi ser t grfen til d skjærer linj y = 35 for x = 37. Det er 37 år siden isen forsvnt på dette stedet. Oppgve 3.117 f( x) = 4 x gx ( ) = 4 x Funksjonene er definert for 4 x 0. D = D =,. Definisjonsmengden er ltså [ ] Av figuren ser vi t sirkelen hr sentrum i origo (0, 0). Rdien i sirkelen er. f g Ashehoug www.lokus.no Side 45 v 56