M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved å snkke om en biltur. Tenk om vi kjører tre timer, og vi vil vite hvor lngt vi hr kjørt under turen. Vi betrkter i utgngspunktet det enkleste tilfellet, der frten er jevn under hele turen, l oss si 50km/time. D kn vi lett beregne strekningen til enhver tid ved hjelp v formelen strekning = hstighet tid. (1) (Egentlig skulle det stå gjennomsnittshstighet her, men siden frten er jevn, spiller det ingen rolle.) I vårt tilfelle vil dette se ut som strekning etter t timer = (50km/time) (t timer). Her vil en grf v frten mot tiden se ut som i figur 1. Det noen interessnt å hente: grfen er ei vnnrett linje med vstnd 50 fr x-ksen. Se for eksempel på rektngelet vstengt v x- og y-ksene, grfen og linj x = 1, 5 timer. Dette hr rel 1, 5 50 = 75, eller, med de riktige enhetene, 1, 5 timer 50km/time = 75km. Derfor er relet v dette rektngelet lik strekningen tilbkelgt etter hlvnnen timers kjøring. På kkurt smme måte finner vi ut t strekningen etter t timer er like relet vstengt v ksene, grfen og linj x = t timer (fig. ). Slik ser vi en interessnt smmenheng mellom geometrien på grfen og den fysiske situsjonen som grfen fremstiller. Akkurt som vi måtte gjøre når vi begynte med derivsjon, må vi likevel innrømme t denne er en såpss spesiell situsjon; i virkelighet vil frten 1
under turen vriere. I fig. 3 trekker vi en (litt!) mer relistisk grf v frten som funksjon v tiden. Her vil ikke strekningen til enhver tid kunne beregnes så enkelt. L oss derfor tenke tilbke til når vi begynte å bygge ut derivsjonsbegrepet. Der delte vi opp grfen til en funksjon i små biter, og ltet som om hver bit vr lineær, og d kunne vi bruke de spesielle egenskpene v lineære funksjoner. Kn vi gjøre noe slikt her? Jo, vi kunne for eksempel dele opp grfen i tre intervll, og d nslå funksjonen i hvert intervll med det vnnrette linjestykket tilsvrende funksjonens verdi i midten v intervllet (fig. 4A). Ved å beregne relet v rektnglene vi så får, får vi et nslg til strekningen tilbkelgt i den timen som vi gjorde ovenfor. Vi legger relene smmen for å nslå strekningen tilbkelgt under hele turen. Her blir det 1 time 9km/time + 1 time 70km/time + 1 time 40km/time = 139km. Vi kn forbedre dette nslg ved å betrkte mindre intervll. Deler vi opp i hlvtimer istedenfor hele timer (fig. 4B), så får vi 1 67km time (0 + 30 + 60 + 80 + 60 + 17) km/time = = 133, 5km. Idéen med integrsjon er å dele opp intervllet i mindre og mindre stykker for å få til bedre og bedre nslg. Vi håper t disse nslgene vil gå mot en bestemt verdi, som blir den riktige strekningen, som er gitt v det riktige relet under grfen. For å oppsummere: relet under en grf kn være noe som det er hensiktsmessig å studere, og dessuten kn vi tilnærme oss det ved å nslå funksjonen med små lineære biter, på en måte som minner om derivsjon. Slik er vi ført til en definisjon. Definisjon 1.1 L f være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. Det bestemte integrlet b f(x)dx () er det relet som er vstengt v x-ksen, funksjonens grf og de loddrette linjene gjennom (, 0) og (b, 0). Se fig. 5. L oss begrunne denne notsjon litt. Tegnet kommer fr en S, som står for summe. Symbolet dx kommer fr x, som står for en liten endring i x. Som sgt, nslår vi relet ved å dele det opp i mnge små stykker
som lle er nesten rektngulære. Hvert stykke hr rel omtrent lik x f(x) for en verdi v x. Til slutt legger vi smmen ( summerer vi) lle disse relene for å nslå relet v det hele, og slik kn notsjonen forklres. Er vi heldige, dersom x blir mindre og mindre, så går nslgene mot en bestemt verdi (en grenseverdi), som er det riktige relet. Denne prosedyren v å beregne relet under en (kontinuerlig) grf klles for integrsjon. Det viser seg t det å beregne den ovennevnte grenseverdien direkte kn være vnskelig. Det vi skl gjøre istedenfor, er å bruke en overrskende og vkker forbindelse mellom derivsjon og integrsjon, som vi nå skl studere. Et interessnt eksempel L f(x) være den lineære funksjonen 4x + 1. Definisjon.1 Vi skriver F (x) for relfunksjonen til f, hvis verdien i et punkt x er relet vstengt v x- og y-ksene, grfen til f og den loddrette linj gjennom (x, 0). Se fig. 6. Obs: Her teller rel som ligger under x-ksen negtivt. L oss beregne en formel for F (x). Arelet vi undersøker er i formen v en trpes. De to prllelle sidene hr vstnd x fr hverndre, og de to ndre sidene hr lengde f(0) = 1 og f(x) = 4x + 1. Arelet til trpesen er derfor ( ) 1 + 4x + 1 F (x) = x = x + x. Nå skjer det noe uforventet og spennende. Hvis vi deriverer F (x), d får vi ikke noe nnet enn den opprinnelige funksjonen f(x) = 4x +1! Kn det være tilfeldig? Rskt ersttter vi f(x) med en vilkårlig lineær funksjon x + b, og d sjekker vi på smme måte t relfunksjonen er gitt v x + bx, hvis den deriverte er nok igjen lik den opprinnelige funksjonen x + b. Dr meg bklengs inn i fuglekss! Hv kn dette bety? Dette er et eksempel på et generelt fenomen: t integrsjon er det motstte til derivsjon, på en måte som vi skl presisere i det som følger. 3
3 Integrsjon og derivsjon L f være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. Her skl vi beskrive en metode for å beregne det bestemte integrlet (). Som i Defn..1, definerer vi relfunksjonen til f på [, b] som F (x) := x f(s)ds. Bemerkning 3.1 Her ser vi ut til å h rotet med x og s. Vribelen s er en slgs hjelpevribel, som forsvinner når vi beregner relet. Vi hr sett hjelpevribler som forsvinner til slutt før: tenk på t-en i definisjonen v den deriverte. Arelet F (x) er vhengig bre v x (den smme x-en som f(x) er vhengig v), kkurt som det skl være. Se fig. 7. Nå er vi i stnd til å beskrive den viktige forbindelsen mellom integrsjon og derivsjon: Setning 3. Arelfunksjonen F (x) er deriverbr på (, b), og tilfredsstiller F (x) = f(x). Bevis L x (, b). Vi må bevise t grenseverdien ( ) F (x + t) F (x) lim t 0 eksisterer og er lik f(x). Først ser vi t F (x + t) F (x) er per definisjon t (relet under grfen mellom og x + t) (relet under grfen mellom og x), som er ikke nnet enn Nå skriver vi og Nå legger vi merke til t (relet under grfen mellom x og x + t). M t := den største verdien v f på [x, x + t] m t := den minste verdien v f på [x, x + t]. m t t (rel under grfen på [x, x + t]) M t t 4
(se fig. 8). Siden t ldri blir null, får vi lov å dele på t, og vi får m t (rel under grfen på [x, x + t]) t M t, ltså F (x + t) F (x) m t M t. (3) t Men f er kontinuerlig på [, b], og derfor hr vi Derfor ser vi fr (3) t 1 som er det vi trenger. lim t 0 lim M t = f(x) = lim m t. t 0 t 0 Å beregne bestemte integrl ( ) F (x + t) F (x) = f(x), t Siden den deriverte v relfunksjonen er den opprinnelige funksjonen, kunne det tenkes t for å beregne b f(x)dx, ville det holde med å finne en funksjon hvis den deriverte er lik f(x) på [, b], og beregne dens verdi i endpunktet b. Men det er et problem: det kn være mnge funksjoner som lle hr derivert lik f(x). For eksempel, 6x+3 er den deriverte til både 3x +3x og 3x +3x+1. Fktisk, dersom vi hr én funksjon G(x) hvis den deriverte er lik f(x), d er det smme for G(x) + c for lle tll c. For å løse dette problem, må vi først bli kjent med de ntideriverte til en funksjon. Definisjon 3.3 L f(x) være en funksjon. En ntiderivert for f(x) med hensyn til x er en funksjon hvis den deriverte er lik f(x). Vi skriver f(x)dx. Den klles også for det ubestemte integrlet til f(x) m.h.t. x. Obs: Når vi er gitt en funksjon f(x) og vi hr beregnet en ntiderivert G(x) til den, så er det vnlig å skrive f(x)dx = G(x) + c 1 Egentlig må dette bevises, men det virker trolig nok. 5
der c er en såklt integrsjonskonstnt. For eksempel, hvis f(x) = x og vi finner ut t G(x) = x er en ntiderivert, d er også x +c for enhver konstnt c. Vi trenger ekstr betingelser for å bestemme entydig en ntiderivert til x. Dette skl vi se et eksempel på i 7. Nå kn vi uttle en viktig resultt: Setning 3.4 L f(x) være en kontinuerlig funksjon på et intervll [, b]. L G(x) være en funksjon på [, b] hvis den deriverte er f(x). D hr vi b f(x)dx = G(b) G(). Bevis (skisse) Husk t vi definerte relfunksjonen F (x) på [, b] som relet under grfen mellom og x. Derfor er det F (b) vi er ute etter. Vi vet fr Setning 3. t F (x) er en ntiderivert til f(x) på [, b]. Det kn bevises t enhver ntiderivert for f er lik F (x) + c, der c er en konstnt. Derfor hr vi G(b) G() = (F (b) + c) (F () c) = F (b) F () Men F () = 0, fordi t det er ingen rel under et punkt. Derfor er G(b) G() = F (b), slik vi trenger. Nå er vi nesten i stnd til å beregne rel. Vi må bre bli kjent med hvordn vi skl ntiderivere. 4 Antiderivsjon I denne delen skl vi utvikle regler for ntiderivsjon v noen funksjoner. De skl stort sett følge lett fr reglene vi llerede kn for derivsjon. Monomer: D hr vi Nå tenker vi på monomfunksjonen x n der n er et nturlig tll. x n dx = xn+1 n + 1 + c. Dette kn vi lett sjekke ved å derivere. Fktisk, så fungerer denne regelen hvis n er et vilkårlig réelt tll forskjellig fr 1. 6
Summer og differenser: Vi så t dersom f(x) er en summe g(x)+h(x) der både g(x) og h(x) er deriverbre, d er f(x) også deriverbr, og den deriverte er lik g (x)+h (x). Videre, for hvert reelt tll α hdde vi (α f) (x) = α f (x). På smme måte hr vi følgende: Er f(x) en summe g(x) + h(x) der g(x) og h(x) er kontinuerlige, gjelder f(x)dx = g(x)dx + h(x)dx. Videre, for hvert réelt tll α hr vi α f(x)dx = α b f(x)dx. Polynomer: Ved hjelp v denne og de ovennevnte reglene for monomer og summer, så kn vi integrere noen polynomfunksjon. Eksempel 4.1 Hv er det ubestemte integrlet (9x + 15x + 13 ) dx? Jo, vi kn integrere hvert ledd for seg og d legge smmen resulttene. Vi får 9 x3 3 + 15 x + 13x + c = 3x3 + 15 x + 13x + c. Sinus- og cosinusfunksjoner: Vi hr sett t den deriverte til sin(x) er cos(x) og den deriverte til cos(x) er sin(x). Derfor hr vi sin(x)dx = cos(x) + c og cos(x)dx = sin(x) + c. 5 Å beregne rel Nå skl vi bruke det vi hr byggd opp for å beregne noen rel. Eksempel 5.1 Hvor stort er relet under grfen til f(x) = x + på intervllet [, ]? Løsning Arelet er lik det bestemte integrlet ( x + ) dx. 7
Ifølge Setning 3.4 må vi finne en ntideriverte G(x) til f(x) på [, ], og d beregne G() G( ). Den enkleste G(x) å bruke er 1 3 x3 + x. D hr vi ( ) ( ) 1 1 G() G( ) = 3 3 + 3 ( )3 + ( ) = 8 3 = 91 3. Eksempel 5. Hvor stort er relet under grfen til x 3 4x på intervllet [, ]? Løsning Arelet er lik det bestemte integrlet ( x 3 4x ) dx. En ntideriverte G(x) til f(x) på [, ] kn være 1 x4 x. D hr vi ( ) ( ) 1 1 G() G( ) = 4 ( )4 ( ) = 0. Bemerkning 5.3 Vi påpeker noen spesielle egenskper v disse eksemplene. Funksjonen f(x) = x + tilfredsstiller identiteten f(x) f( x), ltså f( x) = f(x) for lle x. Derfor er relet mellom og 0 er smme som det mellom 0 og. Til gjengjeld, så tilfredsstiller funksjonen f(x) = x 3 4x identiteten f( x) f(x). Derfor er relet og 0 er minus relet mellom 0 og, og det er slik vi får null for det hele relet. Nå ser vi på en nnen type eksempel: Eksempel 5.4 Hvor stort er relet mellom grfene til sin(x) og 3x + 1 på intervllet [0, π ]? Løsning Svret blir differensen mellom de bestemte integrlene som vi kn skrive som π 0 (3x + 1)dx og π 0 sin(x)dx, π 0 (3x + 1 sin(x)) dx. En ntiderivert G(x) til 3x + 1 sin(x) kn være 3 x + x + cos(x). D hr vi 8
( π ) G G(0) = 3π 8 + π 1. Nå skl vi uttle et pr konsekvenser v Setning 3.4. L f(x) være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. L G(x) være en ntideriverte til f(x) på [, b]. Hv skjer om vi bytter på rekkefølgen v endpunktene til intervllet? Jo, ifølge Setning 3.4 får vi b f(x)dx = G() G(b) = (G(b) G()) = b f(x)dx. Hv skjer hvis endpunktene fller smmen, ltså, b =? D hr vi f(x)dx = G() G() = 0. Vi vslutter kpitlet med et eksempel som spiller litt mer på geometrien til grfen: Eksempel 5.5 Beregn hvor mye rel er vstengt mellom grfen til f(x) = x x 3 og x-ksen på intervllet [, 4]. Her skl lle rel telle positivt, t.o.m. det som ligger under x-ksen. Løsning Først må vi finne ut kkurt hvor mye rel ligger nedenfor og ovenfor x- ksen, slik t vi kn få lt til å telle positivt. Derfor undersøker vi hvor grfen krysser x-ksen. Dette gjør vi ved å løse nnengrdslikningen f(x) = x x 3 = 0. Funksjonsuttrykket kn fktoriseres som (x 3)(x + 1), så er skjæringspunktene mellom grfen og x-ksen ( 1, 0) og (3, 0). Videre er grfen en blid prbel, så vet vi t relet mellom skjæringspunktene blir negtivt og resten positivt. Derfor vil lle rel telle positivt dersom vi beregner slik: 1 f(x)dx 3 1 f(x)dx + 4 3 f(x)dx. (Integrlet i midten ville i utgngspunkt gi et negtivt tll, og ved å sette et minustegn forn det hr vi gjort det til å telle positivt.) Utregningen v de enkelte integrlene vil d foregå på smme vis som i eksemplene ovenfor. 9
6 Volumer med integrsjon Nå skl vi skissere på en prktisk nvendelse for integrsjon: Den kn brukes til å beregne noen volumer. Hr vi en kontinuerlig funksjon f(x) på et intervll [, b], d kn vi lge en solid ved å dreie funksjonens grf om x-ksen på et bestemt (helst endelig!) intervl. For eksempel, hvis funksjonen er konstnt, d dreier vi ei rett linje om x-ksen, og vi får en sylinder. Er funksjonen lineær men ikke konstnt, får vi en bit v en kjegle eller to kjegler, osv. Formelen er slik: Volumet generert ved å dreie grfen til f(x) om x-ksen mellom x = og x = b er π b f(x) dx. (4) Eksempel: Hvor stort er volumet generert ved å dreie grfen til f(x) = 3x x om x-ksen mellom 1 og? Løsning Vi hr f(x) = 9x 6x 3 + x 4. Så putter vi lt inn i formelen (4), og får π 1 ( (9x 6x 3 + x 4 )dx = π 9x 6x 3 + x 4) 1 = π (3x 3 3 x4 + 15 ) x5 = π = 111π 10 (( 4 4 + 3 ) 5 34, 87. 1 ( 3 3 1 5 Vi kn også bruke dette til å finne den kjente formelen for volumet v en sylinder med rdius r og høyde h. Denne sylinder kn lges ved å dreie den vnnrette linj y = r om x-ksen mellom x = 0 og x = h. D blir sylinderens volum lik π h 0 r dx = π(r x) h x=0 = πr h som er formelen vi kjenner til. Metoden kn også brukes til å finne volumet til kjegler, stykker v kjegler mm. 7 Bevegelse Her skl vi skissere en måte (v mnge) som integrsjon og derivsjon kn brukes i fysikk på. )) 10
Tenk om vi hr et objekt (en bil, et fly, et menneske som går) som beveger seg med konstnt kselersjon. Det tilbkelegger en strekning s i en tid t, med frten u i begynnelsen og frten v på slutten. Vi hr en relsjon mellom u, v, og t: endring i frt kselersjon =. tid I symboler blir dette = v u, eller v = u + t. (5) t Vi betrkter s og v som funksjoner v t, og derfor skriver vi s(t) og v(t). De ndre størrelsene og u endrer ikke i verdi. Vi beregner s ved hjelp v formelen strekning = gjennomsnittshstigheten tid Siden kselersjonen er konstnt, er gjennomsnittshstigheten lik gjennomsnittet v u og v(t), ltså u+v(t), så får vi ( ) u + v(t) s(t) = t. Vi kn uttrykke denne på en nnen måte ved å sette inn verdien for v(t) i (5): s(t) = u + u + t t = ut + 1 t. (6) Nå skl vi bruke det vi kn om derivsjon og integrsjon for å finne frem til disse formlene på en nnen måte. Først legger vi merke til følgende: Den deriverte til s(t) m.h.t. t er lik v(t). Den deriverte til v(t) m.h.t. t er lik. Derfor er v(t) en ntiderivert for og s(t) en ntiderivert for v(t), og vi vet først t v(t) = dt = t + c 1 der c 1 er en konstnt. For å finne ut hv c 1 er, bruker vi en verdi v v som vi kjenner: v(0) er hstigheten i utgngspunktet, som er lik u. Derfor er v(0) = 0 + c 1 = c 1 = u, og v(t) = t + u, som vi ønsker. Til gjengjeld, siden s(t) er en ntiderivert for v(t), hr vi s(t) = (u + t) dt = ut + 1 t + c 11
der c er en nnen konstnt. For å beregne c, bruker vi det t s(0) = 0, og smtidig hr vi s(0) = u 0 + 1 0 + c = c, så er c = 0 og s(t) = ut + 1 t, som vi ønsker. Når er konstnt, er denne metoden ikke så mye kortere enn den første vi brukte, men dersom også kn vriere, blir integrsjon en nturlig måte å finne hstighet og tilbkelgt strekning til enhver tid på. Refernser [A] F. Ayres: Clculus,. utgve, Schum s Outline Series, McGrw Hill, UK, 197. [BV] T. Breiteig, R. Venheim: Mtemtikk for Lærere, 4. utgve, Universitetsforlget, Oslo, 005. [SH] S. L. Sls, E. Hille: Clculus, 7th edition, John Wiley & Sons Inc., USA, 1995. [SRH] B. K. Selvik, R. Rinvold, M. Johnsen Høines: Algebr og funksjonslære, Mtemtiske smmenhenger, Cspr Forlg, Bergen, 1999. Avdeling for Lærerutdnning Høgskolen i Vestfold Grenderveien 11 3103 Tønsberg Emil: george.h.hitching@hive.no 1