C2 BJELKER. Fra figuren kan man utlede at fagverksmodellen kan bare benyttes når Ø (h h u 1,41 y 1 y 2 y 3 ) / 1,71

Transkript

1 32 C2 BJELKER Dimensjonering for skjærkraft For å sikre bestandigheten bør spenningen f yd i armeringen ved ut - sparinger begrenses i henhold til tabell C 6.5. Små utsparinger Når utsparingen Ø er mindre enn senteravstanden s for vertikale bøyler funnet ved vanlig dimensjonering for skjærkraft og utspar - ingen kan plasseres som vist på figur C 2.3 er det normalt unødvendig å gjøre spesielle kontroller eller bruke tilleggsarmering. Det bør imidlertid vurderes om det ikke bør anbringes ekstra lengdearmering over og under utsparingen som sikkerhet mot rissdannelser. Fagverksmodell I fagverksmodellen er det forutsatt at trykkfeltene danner 45 med lengdeaksen. Strekkspenningen tas opp med ekstra armering rundt utsparingen. Forutsetningen for at fagverksmodellen skal kunne anvendes er at de geometriske betingelser vist i figur C 2.4 kan tilfredsstilles. Fra figuren kan man utlede at fagverksmodellen kan bare benyttes når Ø (h h u 1,41 y 1 y 2 y 3 ) / 1,71 Figur C 2.3. Armering ved små utsparinger. Figur C 2.4. Fagverksmodellens geometri. a) Vertikalarmering b) Skrå armering c) Kombinert armering For å kunne bestemme plasseringen av trykkfeltene kan man anta at trykkfeltets bredde er det dobbelte av stegbredden b w. Det vil også begrense trykkraftens størrelse. Med henvisning til figur C 2.5 kan følgende enkle sammenhenger settes opp: Vertikal opphengsarmering: T v = V 2 2 f cd b 2 w og A sv = V / f yd Skrå opphengsarmering: T α = V 2 2 f cd b 2 w og A sα = V (2) / f yd Kombinert armering: V v + V α = V Minst halvparten av skjærkraften bør bæres av V v, det vil si: V α V v (2) f cd b 2 w T v = V v 2 og T α = V α 2 A sv = V v / f yd A sα = V α (2) / f yd Dimensjonering etter denne enkle modellen kan gi så mye armering at den praktiske utførelsen blir vanskelig. Det kan da velges en ar - meringsføring som vist i figur C 2.6. Denne armeringsføringen har vist seg å fungere bra i praksis, og er basert på at bjelken over utsparingen fortsatt bærer en andel av skjærkraften som er proporsjonal med gjenværende høyde av betongen. Skjærkraften som må løftes opp forbi utsparingen blir således V (h h o ) / h. Det vil si: A sv = V (h h o ) / h f yd Figur C 2.5. Fagverksmodeller. Figur C 2.6. Alternativ armeringsføring.

2 C2 BJELKER 33 Omsnøring av utsparingen med minimum 1 Ø12 har den effekt at riss stoppes eller begrenses i størrelse. Ellers kunne det lett bli en del riss i det uarmerte området mellom utsparingen og den omkringliggende vertikale og horisontale armeringen. Forenklet Vierendeelteori Utsparinger som ikke kan armeres som anvist i figur C 2.6 bør alltid dimensjoneres etter Vierendeelteori. Det er mange dataprogrammer tilgjengelig på markedet. Forutsetninger: Utsparingens lengde er liten i forhold til bjelkespennvidden. Bjelkestegene på begge sider av utsparingen regnes å ha uendelig bøyestivhet i forhold til gurtene. Moment og skjærkraft bestemmes fra ytre laster ved utsparingens senter og regnes konstant over utsparingens lengde. Infleksjonspunktet ligger ved utsparingens senter. Fordeling av skjærkraften V på overgurt og undergurt: Fra bruddmomentkontrollen finnes spennkraftresultanten F o i overgurt og F u i undergurt se figur C 2.7. Spennkreftene må være korrigert for langtidstap og tøyningstilstand. Skjærkraften vil fordele seg til overgurt og undergurt avhengig av gurtens stivhetsforhold. Dersom bjelken er slakkarmert, vil de ytre laster føre til trykk i overgurten og strekk i undergurten. Strekk i undergurten vil føre til opprissing og redusere stivheten av undergurten betraktelig. I en forspent bjelke vil imidlertid spennkraften i undergurten motvirke opprissingen og dermed øke undergurtens stivhet. For å fordele stivheten må derfor gurtenes strekk- og trykkrefter først beregnes se figur C 2.8. Momentlikevekt gir: S d = M + F o e o F u (d + e u ) S = M / d + F o e o / d F u (1 + e u / d ) Aksialkraftlikevekt gir: T = S + F o + F u Figur C 2.7. Forenklet Vierendeel modell. Figur C 2.8. Fordeling av krefter. Siden kreftene i undergurten vil variere fra bruksgrensetilstanden til bruddgrensetilstanden, vil også skjærkraftfordelingen variere. Bruksgrensetilstanden vil gi størst skjærkraft til undergurten (V u ) og bruddgrensetilstanden vil gi størst skjærkraft til overgurten (V o ). Normalt vil det imidlertid være tilfredsstillende å dimensjonere i bruddgrensetilstanden, men samtidig sikre seg mot riss i undergurten ved en fornuftig minimumsarmering. Når S er kjent, kontrolleres undergurtens risstilstand (bruddgrense): Fullt opprisset når: S 0,5 A u f ck,cube det vil si: V o = V V u = 0 Delvis opprisset når: 0 < S < 0,5 A u f ck,cube det vil si: V o = V I o / (I o + I u,riss ) V u = V V o Kommentar: 0,5 f ck,cube f ctm i EC2-1-1 \6\ Urisset når: S < 0 (trykk) det vil si: V o = V I o / (I o + I u ) V u = V V o

3 34 C2 BJELKER hvor I o = treghetsmoment for urisset trykkgurt, beregnet for homogent tverrsnitt og om trykkgurtens egen nøytralakse I u = treghetsmoment for urisset strekkgurt, beregnet for homogent tverrsnitt og om strekkgurtens egen nøytralakse I u,riss = treghetsmoment for risset strekkgurt, beregnet for transformert tverrsnitt og om strekkgurtens egen nøytralakse Dimensjonering for skjærkraft Overgurten påkjennes av skjærkraft, lokalt moment og trykkraft se figurene C 2.8 og C 2.9. b w = skjærbredde (avhengig av tverrsnittutforming) b = utsparingens lengde N o = trykkraft fra ytre moment pluss spennkraftresultant F o i overgurt (fåes fra bjelkens bruddmomentkontroll). = V o 0,5 b M o Overgurtens skjærkapasitet bestemmes i henhold til EC2-1-1, punkt eller Kontroll av kapasitet uten bøyler: [EC2-1-1, punkt 6.2.2] Bøyestrekkbrudd: V Rd,c = [C Rd,c k (100 ρ 1 f ck ) 1/3 + k 1 σ cp ] b w d V Rd,c (0,035 k 3/2 f 1/2 ck + k 1 σ cp ) b w d Hovedstrekkbrudd: V Rd,c = (I b w / S) (f ctd 2 + α 1 σ cp f ctd ) [når σ s < f ctk,0,05 / γ c ] Trykkbrudd (øvre grense): V Rd,c = 0,5 b w d υ f cd Dersom V o > V Rd,c skal det bøylearmeres for hele skjærkraften V o. [EC2-1-1, punkt 6.2.3] Det er usikkert om dette skal gjøre gjeldende for slike lokale kraft - overføringer i det minste anbefales det å anta betongtrykkvinkelen θ til å være 22, som gir cot θ = 2,5, og minst mulig bøyler. [EC2-1-1, punkt NA.6.2.3, formel NA.6.7aN] Nødvendig armering blir da: A sv = V o / (z b w 2,5) Maksimal senteravstand anbefales mindre enn h o. Undergurtens påkjenning varierer med gurtens strekk/trykktilstand som beregnet i foregående avsnitt: Fullt opprisset: Forutsetter V u = 0 Undergurten gis minimum bøylearmering. Delvis opprisset: Undergurten armeres med vertikale bøyler: A sv = V u / f yd h u (maksimal senteravstand anbefales mindre enn h u ) Urisset: Undergurten dimensjoneres for skjærkraft, lokalt moment og trykkkraft: M u = V u 0,5 b b = utsparingens lengde N u = strekkraft fra ytre moment minus spennkraftresultant F u i undergurt (fåes fra bjelkens bruddmomentkontroll) se figur C Figur C 2.9. Påkjenninger på overgurt. Figur C Påkjenninger på undergurt.

4 C2 BJELKER 35 Dimensjoneringen blir som for overgurt. Siden det er anbefalt at undergurten skal armeres for hele skjærkraften når den er delvis risset, og at den ikke bærer noen skjærkraft når den er risset, behøver man ikke ta hensyn til uttrykket for skjærkraft med samtidig aksialstrekk. Dette er en konservativ forenkling. Opphengsarmering a) Kreftene b) Overgurtens andel c) Undergurtens andel Opphengsarmeringen på hver side av utsparingen dimensjoneres som følger (se figur C 2.11): V = V o + V u A svo f yd + A sαo f yd sin α = V o (h h o ) / h A svu f yd + A sαu f yd sin α = V u (h h u ) / h Figur C Opphengsarmering. I området h på begge sider av utsparingen anbefales det at bjelkens skjærkraftbøyler velges med liten dimensjon slik at bøylenes senteravstand blir minst mulig. Eksempel C 2.1. Utsparinger i bjelke. Bjelkens hoveddimensjonering gir 4 spenntau i overkant og 14 spenntau i underkant, som er forspent med 120 kn/tau. Ved utsparingen har bjelken vertikale bøyler Ø8 c 450 (minimum). Det vil si at skjær - påkjenningen ved utsparingen er relativt liten. Fasthetsklasse B45: f ck = 45 MPa f cd = 0,85 45 / 1,5 = 25,5 MPa C Rd,c = 0,15 / 1,5 = 0,10 (tilslag D < 16 mm) k 1 = 0,15 (trykk) f ctd = 0,85 2,7 / 1,5 = 1,53 Mpa υ = 0,6 [1 (45 / 250)] = 0,492 Ved utsparing: Ytre moment = M = M Ed = 1644 knm Skjærkraft = V = V Ed = 32,6 6 = 195,6 kn For eksponeringsklasse XC1: f yd = f yd 435 N/mm 2 [Punkt 6.2.6] Kommentar: Det er ikke gjennomført ny fullstendig dimensjonering i henhold til EC2-1-1, som kan gi andre størrelser på hoved - armering og bøyler. Figur C Bjelke med utsparing.

5 36 C2 BJELKER UTSPARING Ø = 400 MM Utsparingen ligger 5,7 m = 0,24 L fra opplegg. Ifølge tabell C 2.1 anbefales maksimum utsparing Ø < h / 3 = 1200 / 3 = 400 mm. Dess - uten er utsparingen mindre enn skjærbøylenes senteravstand, og kan eventuelt plasseres som vist i figur C 2.3. I dette tilfellet kan dette bare gjøres ved å flytte på bøylene, og velger derfor å kontrollere om fagverksmodellen kan benyttes se figur C 2.4: Ø < (h h u 1,41 y 1 y 2 y 3 ) / 1,71 = ( , ) / 1,71 = 413 mm > 400 mm ok Utsparingen plasseres med h u = 240 mm og h o = 560 mm. 4 Ø12 gir A sv = 452 mm 2 Fagverksmodell Trykkontroll med vertikal armering: V (2) f cd b 2 w = (2) 0, = 230,8 kn > 195,6 kn ok Opphengingsarmering i henhold til figur C 2.6: A sv = V(h h o ) / h f yd =195,6( )/(1120 0,435) = 257 mm Ø12 gir A sv = 452 mm 2 Figur C Armeringsføring. Hoved armering kommer i tillegg. UTSPARINGEN ØKES TIL REKTANGULÆR UTSPARING b a = Beholder h u = 240 mm, det vil si h o = 360 mm Resultatet av geometri- og kraftberegningene er vist i figur C Vierendeelteori Kontroll av undergurtens spenningstilstand: S = M / d + F o e o / d F u (1 + e u / d ) = 1644 / 0, / ( / 982) = 14 kn (strekk) 0,5 A u f ck = 0, = 220 kn > S Det vil si at undergurten er delvis risset. Fordeling av skjærkraften etter gurtens stivhet: Overgurt: I o = mm 4 Undergurt: I u,riss = mm 4 V o = V I o / (I o + I u,riss ) = 195,6 621 / ( ) = 176,0 kn V u = V V o = 195,6 176,0 = 19,6 kn Figur C Geometriske forhold og spennkraftresultantene. Dimensjonering av overgurt Trykksone A o = = mm 2. Gjennomsnittlig bredde: b w = A o / h o = / 360 = 236 mm Konservativt benyttet «skjærbredde» b w = 236 2/3 = 157 mm. Aksialtrykk: N o = T = S + F o + F u = = 1875 kn Lokalt moment = M o = V o 0,5 b = 176 0,5 1,0 = 88 knm Lokal strekkarmering i overgurt (se figur C 2.14): f yd A s M o / h o T / 2 = 88 / 0, / = 0 Dette viser at det er trykk over hele overgurten, og det er teoretisk ikke nødvendig med lokal strekkarmering. Velger likevel 2Ø12 i overgurt se undergurt. Bøyestrekkbrudd: Kontrolleres ikke siden det er trykk over hele overgurten.

6 C2 BJELKER 37 Hovedstrekkbrudd: Antar I / S som for rektangulært tverrsnitt: I / S = (b h 3 / 12) / (b h 2 / 8) = 0,67 h [NS 3473 angav z 1 = I / S > 0,7 d] α 1 = 1,0 (aksial belastning) σ cp =N o / A o = / = 22,1 MPa (uten hensyn til trykkarmering) V Rd,c = 0,67 h b w (f 2 ctd + α 1 σ cp f ctd ) V Rd,c = 0, (1, ,1 1,53) V Rd,c = N 228 kn > V o = 176 kn Trykkbrudd: V Rd,c = 0,5 b w d υ f cd = 0, ,492 25,5 V Rd,c = N 315 kn > V o = 176 kn Overgurten har altså nok skjærkapasitet uten bøyler, men av praktiske årsaker velges same bøylemengde som i undergurten. Dimensjonering av undergurt Undergurten er delvis opprisset, og bøylearmeres for hele skjær kraf - ten: A sv = V u / f yd h u =19,6 / (0,435 0,16) = 282 mm 2 /m Største senteravstand bøyler anbefales < h u = 240 mm. Av rent praktiske armeringsårsaker velges senteravstand 180 mm (se figur C 2.15). Bøyler Ø8 c 180 gir A sv = 559 mm 2 /m og brukes både i overgurt og undergurt. Lokalt moment = M u = V u 0,5 b = 19,6 0,5 1,0 = 10 knm Lokal strekkarmering undergurt: f yd A s M u / h u + S / 2 = 10 / 0, / 2 = 69 A s 69 / 0,435 = 159 mm 2 Normalt ønskes samme lengdearmering over og under utsparingen velger 2 Ø12 som gir A s = 226 mm 2 Opphengsarmering. Velger A sα = 0 Overgurt: A svo = V o (h h o ) / f yd h = 176 ( ) / (0, ) = 303 mm Ø12 = 452 mm 2 Undergurt: A svu = V u (h h u ) / f yd h = 19,6 ( ) / (0, ) = 39 mm 2 2 1Ø8 = 100 mm 2 Figur C Armeringsutførelse. 2.2 STABILITET Klassisk behandling av vipping forutsetter at bjelkene er momentstivt opplagret med hensyn til vridning (i «gaffel»), og at feltmidte vrir seg i forhold til oppleggene. Det oppstår dermed en sideutbøyning og vridning som kan føre til knekking av trykkflensen. Denne modellen er aktuell for stålbjelker, som har liten torsjonsstivhet. Torsjonsstivheten av I-bjelker er proporsjonal med tredje potens av steg- og flenstykkelsen. Betongbjelker har relativt tykke steg og flenser, så de er fra 100 til 1000 ganger mer torsjonsstive enn stålbjelker. Resultatet er at vipping slik det er behandlet i klassisk teori sjelden er kritisk for betongbjelker. Bjelker som henger i løftekroker, eller som er opplagret på myke opplegg, kan imidlertid rotere på tvers av bjelkens lengdeakse. Rotasjonen kan skyldes en initiell sideutbøyning forårsaket av variasjon i betongens E-modul, utilsiktet eksentrisitet av spennarmeringen,