Funksjonen cos(x) Frekvens, f. Periode, T. INF 2310 Digital bildebehandling FILTRERING I FREKVENS-DOMÈNET I

Transkript

1 nksjonn cos I 3 Digital bildbhandling cos arirr mllom og - når arirr mllom og π og mllom π og 4π... priodisk ILTRERIG I REKVES-DOÈET I -D og -D sinsoidr rkns amplitd og as D DT Visalisring og tolkning a rkns-spktra Vinds-nksjonr cos GW Kap I I 3 rkns nksjonn cosπ dr r t hltall.g.. nksjonn singr gangr mllom og π : priod Priod T priod r antall singningr pr nht og kalls rkns I 3 3 I n priodisk singning blir t ast mønstr gjntatt. ønstrt trngr ikk å ær n sinsoid! Priodn T r astandn mllom to pnktr på samm std i singningn. rkns og priod hngr sammn: T T I 3 4

2 Amplitd A as A s A cosπ φ t A cosπ t φ Amplitdn A til n cosins-nksjon r dn maksimal rdin a nksjonn asn φ angir startpnktt or nksjonn cosπ t π cosπ t I I 3 6 A cosπ : Eksmplr orskjll mllom cosπ og sinπ? cosπ5 startr md og rptrs 5 gangr pr nht: Dt r bar startpnktt asn som r orskjllig. cosπ A cosπ*.5*.5 A cosπ*.7*.7 A sinπ5 startr md og rptrs 5 gangr pr nht: I 3 7 All sinsoidr har samm orm som n sins mn as rkns og amplitd kan ær orskjllig I 3 8

3 Sinsoidr i bildr Romlig rkns π 7 Acos φ A5 A Et D sinsoid-signal md n gitt rkns amplitd as og orintring kan sparrs i to ortogonal komponntr. A - amplitd - horisontal rkns - rtikal rkns φ -as A5 A 5 A 5 5 To ortogonal D sinsoidsignalr md gitt rknsr amplitdr og asr il sammn dann t D bild a n sinsoid md n gitt rkns amplitd og as. rk: og r antall singningr horisontalt og rtikalt i bildt I I 3 Sm a sinsoidr tt bgrp: Basis-bildr Sart r hitt r. Dtt r n ortogonal basis or all 44 gråton-bildr dr G * 3*. 6* I I 3

4 En altrnati basis Et bild kan ttrkks som n sm a sins- og cosinssignalr md orskjllig rknsr og orintringr Gitt bildn md rknsr Sinsoidr som basis π cos - - π sin All digital bildr a størrls kan ttrkks som n it sm a diss sins og cosins bildn I I 3 4 Basis-bildr - cosins Basis imags - sins I I 3 6

5 Smmtri i basis-bildn cosins sins anti-smmtri i sins-bildn -D Diskrt orir-transorm DT Dinisjon: jθ Dtt kan også skris: cosθ j sinθ Inrs transorm: jπ [ cosπ j sin π ] jπ I I 3 8 r t komplkst tall Komplks tall kan skris som R ji ral-dl and imaginær dl kan også skris som jφ blir da gitt d n amplitd og n as R I φ tan R I I 3 9 Komplks pikslrdir r t bild md rll pikslrdir r t bild md komplks pikslrdir kan lagrs som t to-bånds bild: R Ral-dln I Imaginær-dln llr: - amplitd llr spktrm Innholdr inormasjon om hilk rknsr som inns i bildt. φ as Vislt il t as-bild s t som stø asn gir inormasjon om dn rlati posisjon til objktr i bildt I 3

6 Enkl gnskapr d D DT r priodisk: Dtt implisrr at bildt også må btrakts som priodisk: Konjgrt smmtri: His r rll: conj -- > -- on gnskapr d D DT middlrdi-tormt shit tormt : j jπ jπ jπ En translasjon a spktrt bildt sarr til å mltiplisr bildt spktrt md n gitt aktor. Dtt il i bntt oss a d isalisring a spktrt I I 3 Visalisring a orir-spktrt Sidn r priodisk md priod r dt anlig å orsk spktrt slik at origo r midt i bildt a spktrt Btt kadrantr Ellr: pr-mltiplisr md - r om isalisring a spktra r t rlt tall og kan ha hø tallrdi Lagrs som loat llr dobl Brk logaritmisk skala d ramisning: Pass på: ta ikk logaritmn a nll! Bildt i rkns-domnt r amplitd-spktrt a Powr-spktrt r: C log dr C.ks. lgs slik at 55 Vi zro-paddr til n [ ] matris I I 3 4

7 Eksmpl Eksmpl rptisjon tn diskontinitt I I 3 6 Eksmpl diagonal sinsoid Eksmpl diskontinitt I I 3 8

8 Eksmpl diskontinitt II Eksmpl på objktr og spktra I I 3 3 Eksmpl orintrt strktrr Spktra: non gnrll obsrasjonr Dt mst a nrgin r konsntrrt i d la rknsn la rdir a og Aksn i spktrt og r ot snlig pga diskontinittr mllom motstånd bildkantr. Linær strktrr i bildt il inns igjn som 9 gradr rotrt strktrr i orir-domnt. En brd strktr i bildt sarr til n smal i spktrt og omndt I I 3 3

9 Spktra og kantr Skarp kantr: Vi il trng mang sinsoidr or å approksimr n skarp kant ang orir-koisintr r > Ss som n brd strktr i spktrt Blrrd kantr: Kan approksimrs md non å sinsoidr Ss som n tnn strktr i spktrt. Brk a inds-nksjon Bildt må btrakts som priodisk Drmd kan dt oppstå diskontinittr mllom motstånd bild-kantr Dtt orårsakr n knstig opphopning a nrgi langs aksn i spktrt. Vi kan brk n inds-nksjon på bildt or å rdsr diskontinittn mllom motstånd bildkantr ør DT brgns. Vinds-nksjonn w glattr bildt mot nll langs bildkantn inn middlrdin i bildt; og sbtrahr dnn ra all pikslrdir Lag ntt bild d w ar w inn DT a w I I 3 34 Vinds-nksjonr Eksmpl Bartltt Blackman DT DT Hann Hamming I I 3 36

10 I 3 37 Ektn a indsnksjonn Vinds-nksjonn r basrt på at i brgnr w ar w ør i brkr T Dtt gjør at i år mindr tslag langs aksn i spktrt mn dt irkr også inn på andr rknsr i spktrt. ltiplikasjon md n brd klokk-nksjon i bilddomnt r kialnt md konolsjon md n smal klokk-nksjon i rkns-domnt. ltiplikasjon md n indsnksjon gir n blrring a spktrt I 3 38 Egnskapr d DT Distribtiitt og skalring Rotasjon [ ] [ ] [ ] ] [ ] [ b a ab b a a a sin cos sin cos θ ϕ ϖ θ θ ϕ ϖ ϕ ϖ θ θ r r r I 3 39 Priodisitt og konjgrt smmtri * I 3 4 Sparabilitt j j j j whr π π π π or hr rdi a og or...- r dtt n kompltt -D orir-transorm langs n rad a. La ørst arir. Dtt gir n skns a radis -D transormr. Drttr gjørs kolonnis transormr a

11 Implmntasjon a DT Brgning a or n nkl : O Brgning or kadratisk bild: : O 4 Rask algoritm -D T ast orir Transorm Sparrr -D transormn i to -D transormr. Brks bildr llr indr md størrls k k hltall Ordn O log or tor-potns bildstørrls. Anndlsr a D orir transorm iltrring jrn llr dmp non rknsr lapass båndpass høpass iltrs. jrning a priodisk stø. Egnskaps-ttrkking inn tkstr-gnskapr. Komprsjon I I 3 4