Matematikk 2P. Odd Heir Ørnulf Borgan John Engeseth Per Arne Skrede BOKMÅL

Transkript

1 Matematikk P Odd Heir Ørnulf Borgan John Engeseth Per Arne Skrede BOKMÅL

2 Matematikk P dekker målene i læreplanen av 005 for Matematikk VgP i studieforberedende utdanningsprogram. H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 010. utgave / 1. opplag 010 Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Redaktør: Dag-Erik Møller Grafisk formgivning og omslag: Mona Dahl og Marit Heggenhougen Ombrekning: Type-it AS Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen Tekniske illustrasjoner: Framnes Tekst og Bilde AS Grunnskrift: Sabon 10,8/1 Papir: 100 g Multiart matt 0,9 Trykk og innbinding: AIT Otta AS ISBN Bildeliste, se side 08

3 Guide til Matematikk P Aktivitet i starten av hvert kapittel: Læringsmål i margen ved starten av hvert underkapittel: AKTIVITET: Ren magi? Skriv ned et tilfeldig tresifret tall abc der a er større enn b og b er større enn c. Bytt om rekkefølgen på sifrene i tallet og finn differansen mellom det første og det siste tallet. Bytt om rekkefølgen på sifrene i svaret og finn summen av de to tallene. I. skal du lære å lage en lineær modell ved å bruke digitalt verktøy.. LINEÆR REGRESJON På øyemål er det ikke lett å avgjøre hvilken linje som passer best til punkter i et koordinatsystem. Nå skal vi se på en metode for å avgjøre det. Metoden kaller vi lineær regresjon. Linja kaller vi regresjonslinje. Teori: Åttetallsystemet 8 - plass 8 - plass plass plass I åttetallsystemet forteller det bakerste sifferet antall (antall enere), det nest bakerste sifferet antall 8 1 (antall åttere), osv. Vi setter på indeks 8 når tallet er skrevet i åttetallsystemet. Tallet 8 er altså skrevet i åttetallsystemet. Sifferet står på siste plass og forteller oss at tallet har enere. Sifferet står på nest siste plass forteller oss at tallet har åttere. 8 0 Eksempler: Eksempel 1 Tolv alligatorer og en potensfunksjon Tabellen viser lengden og massen av alligatorer fanget og målt i Florida, USA. Lengde (m),9,7,18 1,60 1,75,5,08 1,88,9 1,7,,90 Masse (kg) Vi skal lage en modell for sammenhengen mellom lengden x i meter og massen fx ( ) i kg. Til det skal vi bruke en potensfunksjon. Deretter skal vi bruke modellen til å anslå massen til en alligator som er målt til å være m lang. Innlæringsoppgaver, med henvisninger til elevnettstedet og til oppgavesamlingen bak i boka: Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 179 Oppgave.0 I perioden drakk norske menn i alderen 5 9 år i gjennomsnitt 5,1 liter ren alkohol per år, mens medianforbruket var,9 liter. Kilde: Tidsskrift for Den norske lægeforening, nr. 0, 00 a Hva kommer det av at gjennomsnittet er større enn medianen? b Hva gir etter din mening best uttrykk for alkoholforbruket til en «typisk» 5 9 år gammel norsk mann? Oppgavesamling bak i boka, med tre forslag til stier: 1.6 Totallsystemet Sti 1 Sti Sti 19, 11, 1 19, 11, 1, 1, 1, 16 10, 11, 1, 1, 15, 16, Skriv tallene i titallsystemet. a b c d Elevnettstedet:

4 Forord Matematikk P Læreverket Matematikk P er skrevet for læreplanen Matematikk VgP på de studieforberedende utdanningsprogrammene. Utdrag fra læreplanen finner du på side 19. Læreverket består av Læreboka, alt-i-ett, med teori, eksempler, innlæringsoppgaver og oppgavesamling. Elevnettstedet, på Lokus.no, med bl.a. interaktive oppgaver og innlæringsressurser. Læreboka Hvert kapittel innledes med en kort aktivitet som kan gi deg en idé om hva kapitlet inneholder. Aktivitetene egner seg godt for samtale. I hvert underkapittel finner du teori, eksempler og innlæringsoppgaver. Innlæringsoppgavene er plassert løpende i teksten, slik at du hele tiden kan kontrollere om du har forstått lærestoffet. Du bør regne alle innlæringsoppgavene. Du kan så gå til oppgavesamlingen bak i boka for videre arbeid og utdypning. I slutten av hvert kapittel finner du en kapitteltest og et sammendrag. Her kan du kontrollere om du har forstått helheten i kapitlet. Sammendragene inneholder bl.a. norsk-engelske ordlister med ti sentrale begreper fra kapitlet. Du finner løsninger til innlæringsoppgavene og kapitteltestene på elevnettstedet. Underveis har vi plassert bilder som kan utdype teksten og knytte stoffet til samfunn og kultur. Vi oppfordrer til aktiv bruk av bildene. På klaffene finner du viktige definisjoner, setninger og formler. Du bør lære deg alt som står på klaffene. Oppgavesamlingen bak i læreboka I oppgavesamlingen finner du varierte oppgaver av mange forskjellige typer og vanskelighetsgrader. Du finner blandede oppgaver i slutten av hvert kapittel, og dessuten testen «15 rette eller gale» og eksamensoppgaver. Eksamensoppgavene er merket med X. Oppgavene innenfor et underkapittel er ordnet etter vanskelighetsgrad. De letteste er ikke markert. De noe vanskeligere er markert med trekanter: eller. De blandede oppgavene har ikke markeringer for vanskelighetsgrad.

5 * Noen oppgaver fra oppgavesamlingen har løsninger på elevnettstedet. Disse oppgavene er merket med stjerne *. Til hjelp i arbeidet har vi laget Stifinneren, en tabell med tre forskjellige forslag til «stier». En sti er et utvalg av oppgaver satt i en passende rekkefølge. Sti 1 er lettest. Sti er vanskeligst. Lokus NETTINNHOLD Elevnettstedet Elevnettstedet har samme kapittelinndeling som læreboka. Til hvert kapittel har vi laget interaktive oppgaver av mange typer. Her får du vite med en gang om du har svart riktig, og ofte kan du velge å se hint og løsningsforslag. Vi har også laget lydeksempler, animasjoner, regneark, basisoppgaver, lenkesamling og opplæringskurs i bruk av digitale verktøy. Elevnettstedet vil være i stadig utvikling. Underveis i læreboka har vi plassert henvisninger til innhold på elevnettstedet. Digitale verktøy Der det har vært aktuelt å forklare bruken av lommeregnere, har vi forklart inntastingen for Casio CFX-9850/fx-9860-seriene og Texas TI-8/TI-8-seriene. I noen oppgaver blir du bedt om å bruke digitalt verktøy. Disse oppgavene kan vanligvis løses både på lommeregner og ved å bruke andre digitale verktøy. Under Verktøyopplæring på elevnettstedet finner du opplæringskurs i bruk av digitale verktøy som lommeregnere, GeoGebra, TI-nspire og regneark. Takk Vi takker konsulentene Jostein Walle og Petter Callin for gode forslag og innspill. En spesiell takk til redaktør Dag-Erik Møller og teknisk redaktør Fred W. Alvad. Lykke til I årenes løp har vi fått mange nyttige tilbakemeldinger fra elever og lærere. Ønsker du å gi kommentarer, kan du bruke adressen matematikkp@aschehoug.no. Vi ønsker deg lykke til med bruken av læreverket! Hilsen Odd Heir, Ørnulf Borgan, John Engeseth og Per Arne Skrede

6 Innhold 1 Tall og algebra 1.1 Potenser 9 1. Nye potenser Store og små tall. Standardform Tallsystemer 1.5 Femtallsystemet Totallsystemet 1.7 Prosentregning med vekstfaktor Renteregning Kapitteltest. Sammendrag 8 Modellering.1 Rette linjer og lineær vekst 51. En lineær modell på øyemål 58. Lineær regresjon 61. Modellering med polynomfunksjoner 67.5 Modellering med eksponentialfunksjoner 76.6 Modellering med potensfunksjoner 8.7 Valg av modell 86 Kapitteltest. Sammendrag 9

7 Statistikk.1 Frekvenstabell og histogram 95. Kumulativ frekvens 101. Median 107. Gjennomsnitt 11.5 Spredningsmål Diagrammer 16.7 Statistiske undersøkelser 16 Kapitteltest. Sammendrag 10 Oppgavesamling 1 Utdrag fra læreplanen i Matematikk VgP 19 Fasit Innlæringsoppgaver og kapitteltester 19 Fasit Oppgavesamling 199 Register 06

8 1 Tall og algebra AKTIVITET: Ren magi? Skriv ned et tilfeldig tresifret tall abc der a er større enn b og b er større enn c. Bytt om rekkefølgen på sifrene i tallet og finn differansen mellom det første og det siste tallet. Bytt om rekkefølgen på sifrene i svaret og finn summen av de to tallene. Eksempel: = 97 = 1089 Prøv med forskjellige tall. Hva ser du? Kan du forklare hvorfor det blir slik?

9 Tall og algebra I 1.1 skal du lære å regne med potenser med positive eksponenter POTENSER eksponent grunntall I dette kurset vil regning med potenser gå igjen flere steder. Før du skal lære mer om potensregning, frisker vi opp en del grunnleggende kunnskaper. 5 er et eksempel på en potens. 5 kalles grunntall, og kalles eksponent. Grunntallet i en potens kan være et tall, en bokstav eller en kombinasjon av tall og bokstaver. Når eksponenten er et positivt heltall, forteller den hvor mange ganger grunntallet skal stå som faktor. Eksempel 1 Grunntall og eksponent I potensen 5 er grunntallet 5 og eksponenten. 5 = = 15 I potensen a er grunntallet a og eksponenten. a = a a a a I potensen a er grunntallet a og eksponenten. faktorer faktorer ( ) ( ) = a a a a faktorer Eksempel Å skrive et tall som en potens Skriv 16 som en potens med som grunntall. Vi faktoriserer 16 og får. faktorer Tallet 16 kan altså skrives som. Oppgave 1.1 a I en potens er grunntallet og eksponenten. Skriv potensen. b I en potens er eksponenten og grunntallet 5a. Skriv potensen. Oppgave 1. Regn ut uten å bruke digitalt verktøy. a 8 b 10 c 5 d

10 10 Tall og algebra 1.1 produkt = faktor faktor Oppgave 1. a Skriv 81 som en potens med 9 som grunntall. b Skriv 81 som en potens med som grunntall. ( ) c Skriv m som et produkt. d Skriv som et produkt. Eksempel Potensregning med digitale verktøy 5 Vi skal regne ut med digitalt verktøy. På mange digitale verktøy skrives potenser ved å bruke tasten mellom grunntallet og eksponenten. Hvis du har denne tasten, taster du slik: 5 EXE / ENTER. Noen verktøy har en tast ( x y eller a n ) som gir en «mal» for potenser:. 5 Finn ut hvordan du skriver inn på ditt digitale verktøy og kontroller at du får 15. Oppgave 1. a Regn ut med digitalt verktøy b Regn ut, 10 5 med digitalt verktøy. Kontroller at svaret blir c Regn ut 75, 5 med digitalt verktøy. Kontroller at svaret blir 18,5. 5 d Regn ut ,80 med digitalt verktøy. Kontroller at svaret blir 168,0. Potensreglene Eksempel Potenser som har samme grunntall Multiplikasjon av potenser: = ( ) ( )= = 6 Divisjon av potenser: 5 5 : = = = = 6 For = er eksponenten 6 lik summen av eksponentene og. 5 For : = er eksponenten lik differansen mellom eksponentene 5 og.

11 Tall og algebra Tilsvarende gjelder generelt: Vi multipliserer to potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og legge sammen eksponentene. a a = a p q p+ q 1 Vi dividerer to potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og trekke den siste eksponenten fra den første. a : a = a p q pq a a p q = a pq Eksempel 5 Å bruke potensreglene 1 og 8 11 Regn ut og, og skriv svaret som en potens Husk: 11 kan skrives 11 1, og kan skrives = = = 11 = = = + 1+ = 7 5 = = 7 5 Husk: a = a 1 Oppgave 1.5 Regn ut og skriv svaret som en potens a b c d Oppgave 1.6 Regn ut og skriv svaret som en potens a b c Oppgave 1.7 Regn ut og skriv svaret som et produkt av to potenser a b c 5 5

12 1 Tall og algebra 1.1 Fargerik eksponent Eksempel 6 Når grunntallet er et produkt ( ) Skriv 5 som et produkt av to potenser. Her er grunntallet 5. Vi får at ( 5) = ( 5) ( 5) ( 5)= 5 5 5= 5 I eksemplet ser vi at både og 5 får eksponenten. Tilsvarende gjelder alltid når grunntallet er et produkt: Når grunntallet i en potens er et produkt, opphøyer vi hver av faktorene i eksponenten. p p p ( a b) = a b

13 Tall og algebra Eksempel 7 Når grunntallet er en brøk Hva blir? Her er grunntallet, og vi får at = = I eksemplet ser vi at både teller og nevner får eksponenten. Tilsvarende gjelder alltid når grunntallet er en brøk: Når grunntallet i en potens er en brøk, opphøyer vi både teller og nevner i eksponenten. p a a b = b p p Eksempel 8 Når grunntallet er en potens Skriv ( ) Her skal enklere. stå som faktor ganger. ( ) = = = = Eksponenten 8 får vi når vi ganger eksponentene og. Tilsvarende gjelder alltid når grunntallet er en potens: Vi opphøyer en potens i en ny eksponent ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene. p a q pq ( ) = a 5 Oppgave 1.8 Regn ut. a b x c ( ) ( ) d 1 ( a) e f Oppgave 1.9 Regn ut og skriv svaret som en potens. a b c d ( ) 5x ( ) ( 5 ) 6 ( x )

14 1 Tall og algebra 1.1 Vi har kommet fram til fem potensregler: a a = a p q p+ q a : a = a p q p q ( a b) = a b p a a b = b ( a ) = a p p p p p p q p q 1 eller p a p q = a q a 5 Vi forutsetter at a 0 og b 0 dersom de står i nevneren. Eksempel 9 Flere potensregler i samme oppgave Regn ut ( ) 5 6 ( ) 5 6. = = = = = Oppgave 1.10 Regn ut og skriv svaret som en potens. 8 ( ) a b c d ( a ) Oppgave 1.11 Regn ut og skriv svaret som en potens. a c 5 ( ) ( 5 ) Oppgave 1.1 a Bruk at kan skrives som en potens av, til å vise at 6 =. b Skriv som en potens med som grunntall. 9 b d ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 5 ( )

15 Tall og algebra NYE POTENSER I 1. skal du lære å regne med potenser der eksponenten er null eller negativ. Hva betyr 0, 0, 0 osv.? p q pq Bruker vi potensregelen a : a = a på divisjonen 5 : 5, får vi 5 : 5 = 5 = 5 0 Bruker vi brøkregning, får vi : 5 = = = Både 5 0 og 1 er svaret på den samme divisjonen. p q pq Skal regelen a : a = a gjelde når p= q, må derfor 5 0 være lik 1. Vi vedtar derfor at et tall opphøyd i 0 er lik 1. a 0 = 1 Vi har altså at når a 0 ( ) = = 1, 56 = 1, 1, osv Potenser med negative eksponenter p q pq 5 Bruker vi potensregelen a : a = a på divisjonen 7 : 7, får vi 7 : 7 = 7 = Men vi kan også utføre divisjonen med brøkregning: : 7 = = = = p q pq Skal regelen a : a = a gjelde for p < q, må 7 være det samme 1 som. 7 1 Det betyr at 7 og er to skrivemåter for samme tall. Generelt vedtar vi: 7 a p = 1 for a 0 p a Når p = 1, får vi at a p = a = =. 1 a a Vi får altså at = =, = =, osv. 1 1

16 16 Tall og algebra 1. Eksempel 1 Potens brøk desimaltall = = =0, = = =0, Legg merke til at og 10 ikke er negative tall! Vi kan også gå «den andre veien». Vi kan skrive enkelte brøker og desimaltall som potenser = = , 01 = = = Husk: er det 1 positive tallet. Oppgave 1.1 Skriv som brøk og desimaltall. a 1 b 10 c 5 d 0 1 Vi vil ikke være negative, så vi kommer oss under streken.

17 Tall og algebra Oppgave 1.1 a Skriv 1 som en potens med som grunntall. 9 b Skriv 1 som en potens med som grunntall. c Skriv 0,001 som en potens med 10 som grunntall. d 1 Skriv som en potens med som grunntall. 16 e 1 Skriv som en potens med som grunntall. 16 Eksempel Regning med negative eksponenter Potensreglene gjelder både for positive og negative eksponenter: 1 + = ( ) = = ( ) + 7 = = = ( ) 6 ( ) = = ( ) = = ( ) ( ) Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 1 Oppgave 1.15 Regn ut. 5 a c Oppgave 1.16 Regn ut. a c 5 6 ( ) 5 Oppgave 1.17 Regn ut. a b c b d b d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 ( ) 5

18 18 Tall og algebra 1. I 1. skal du lære å bruke standardform til å regne med store og små tall. 1. STORE OG SMÅ TALL. STANDARDFORM Avstanden fra jorda til sola er ca. 19,6 millioner kilometer = m. Ugelstad-kuler, med en diameter på 0, m, brukes til å behandle enkelte typer kreft. (Professor John Ugelstad ( ) ble berømt for å ha funnet opp en metode til å lage fullstendig like plastkuler.) Når vi skal skrive svært store og svært små tall, blir tallene ofte «lange». Vi trenger en mer praktisk skrivemåte. Det får vi ved å bruke potenser av tallet 10. Tierpotenser 0 10 = = = = = = 1000 Ser du sammenhengen mellom eksponenten i tierpotensen og antall nuller i tallet? Hva blir 10 6? = = = , = = = , = = = , 001 Ser du sammenhengen mellom eksponentene og antall nuller her? Hva blir 10 5? Oppgave 1.18 Skriv som potens med 10 som grunntall. a b c 0,001 d 0, e 0, Oppgave 1.19 Skriv på vanlig måte. a 10 5 b 10 9 c 10 d 10 8

19 Tall og algebra Standardform Avstanden mellom to fjelltopper er målt til meter. Med tierpotenser kan denne avstanden skrives på flere måter: m = m = 1 10 m = 1, 10 m Helt til høyre er avstanden skrevet på standardform. n Når et tall er skrevet på formen a 10, der a er et tall mellom 1 og 10, og n er et helt tall, sier vi at tallet er skrevet på standardform. Eksempel 1 Standardform eller ikke standardform? 0 10,, 10, og 10 er tre ulike måter å skrive tallet 0,00 på. Men det er bare den midterste skrivemåten som viser tallet på standardform. Eksempel Omforming til standardform = 6, = 6, = 5, 100 = 5, 10 0 = 10 = , 0 = 0, 01 = 10 0, 00 =, 0, 001 =, = 6, plasser mot venstre 0,00 =, 10 plasser mot høyre Når vi ser nærmere på omformingene i eksempel, får vi disse huskereglene: Når vi skal gjøre om til standardform, teller vi antall plasser vi må flytte komma for å få et tall mellom 1 og 10. Flytter vi komma mot venstre, blir tiereksponenten positiv. Flytter vi komma mot høyre, blir tiereksponenten negativ. Tall større enn 10 får positiv tiereksponent. Tall mellom 0 og 1 får negativ tiereksponent. Oppgave 1.0 Skriv tallene på standardform. a b c 00 d 0,00 e 0, f 0,0 Oppgave 1.1 Skriv tallene på vanlig måte. a , b 7, 10 c , d, 5 10

20 0 Tall og algebra 1. Store og små tall med digitalt verktøy Digitale verktøy viser store og små på tall på forskjellige måter. Regn ut med ditt digitale verktøy. På noen Casio- og Texas-lommeregnere får vi: CASIO TEXAS E+11 og E11 betyr en potens med 10 som grunntall og 11 som eksponent..5e11 betyr altså, Legg merke til at vi får svaret på standardform. Noen digitale verktøy viser svaret som Hva gjør ditt? Regn ut 0, ,00. Svaret blir, Hvordan vises svaret på ditt digitale verktøy? Vi lister opp noen varianter, som alle betyr, : E *10^-07 Hvis vi skal taste inn tall på standardform på lommeregneren, har vi flere muligheter. Vi kan bruke potenstasten, vi kan bruke tasten EXP eller EE, og vi kan bruke tasten 10 x. Vi regner ut Først bruker vi potenstasten: CASIO TEXAS Legg merke til at vi må sette parentes rundt nevneren. Hvorfor?

21 Tall og algebra 1. 1 Bruker vi EXP - eller EE -tasten, taster vi slik: CASIO 8 EXP 5 EXP ( ) 9 EXE TEXAS 8 EE 5 EE ( ) 9 ENTER Legg merke til at hvis vi bruker EXP - eller EE -tasten, skal vi ikke taste inn multiplikasjon med grunntallet 10, og i vårt eksempel trenger vi heller ikke å legge inn parentes rundt nevneren. EXP eller EE er «forkortelser» for grunntall 10. Lommeregneren oppfatter 5 EXP ( ) 9og5 EE ( ) 9 som ett tall. Lokus VERKTØYOPPLÆRING Vi overlater til deg å finne ut hvordan 10 x -tasten virker. På nettstedet på Lokus finner du en oppskrift på hvordan du kan stille inn noen digitale verktøy slik at de gir svaret på standardform. Oppgave 1. Regn ut med digitalt verktøy. Oppgi svaret på standardform. 5 6 a, b 50 8, 10 0, c, , d π ( 10 ) 5 10 Eksempel Regning med store og små tall uten å bruke digitalt verktøy Regn ut , 00 uten å bruke digitalt verktøy og skriv svaret på standardform , 00 Vi får altså at = 10 Først skriver vi alle tallene på standardform. = Vi regner sammen tallene og tierpotensene hver for seg = 10 = ( ) 10 = 1 10 = Til slutt må vi skrive svaret på standardform. Det gjør vi slik: = 1, = 1, 10 = 1, , = 1, 10 11

22 Tall og algebra Oppgave 1. Regn ut uten digitalt verktøy. Oppgi svaret på standardform. Kontroller svaret med digitalt verktøy. a c ,00 10 d b Oppgave 1. En dag før jul ble det foretatt 5,6 millioner betalinger med kort. Hver betaling var i gjennomsnitt på 00 kr. a b 500, , 10,1 10 Skriv tallet 5,6 millioner på standardform. Hvor mye var kortbetalingene på til sammen denne dagen? Finn svaret både med og uten bruk av digitalt verktøy. Oppgi svaret på standardform, i millioner kroner og i milliarder kroner. 6 Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 1 Oppgave 1.5 En bestemt type sandkorn har en diameter på 0,15 mm. a Skriv diameteren på standardform med meter som enhet. b Vi tenker oss at vi legger sandkornene etter hverandre. Hvor mange sandkorn får vi plass til på én meter? Oppgave 1.6 I tidsrommet fra til 01.0 natta til 1. januar 010 ble det i gjennomsnitt sendt 1110 SMS-er per sekund. Hvor mange SMS-er ble det til sammen sendt i dette tidsrommet? Oppgi svaret på standardform. I 1. skal du lære å skrive tall på ulike måter. 1. TALLSYSTEMER Alle som kan telle, kan bli enige om at det er femten kyr på et jorde. Hvordan vi teller og eventuelt skriver femten, kan være ulikt alt etter hvilken kultur vi tilhører. Vi tenker «fem mer enn ti», andre kan tenke «tre femmere», «tre mer enn tolv» eller kanskje «én mindre enn seksten». Tallsystemer handler om måten vi teller på, og om hvordan vi skriver tallene. I dette underkapitlet skal vi se nærmere på vårt tallsystem, titallsystemet. Du skal også lære om andre tallsystemer, og om hvordan vi skriver det samme tallet i forskjellige tallsystemer.

23 Tall og algebra 1. Utvidet form Titallsystemet et plassverdisystem I titallsystemet bruker vi ti talltegn, som vi kaller sifre: 0, 1,,, 9. Vi sier at ti er grunntallet i tallsystemet. Vårt titallsystem er et plassverdisystem eller et posisjonssystem. Sifferet 5 betyr noe helt annet i tallet 51 enn i tallet 15. Vi tar for oss tallet 65. Tallet har fire sifre. Sifferet 5 står på siste plass og forteller oss at tallet har 5 enere. 6 står på nest siste plass og forteller oss at tallet har 6 tiere. står på tredje siste plass og forteller oss at tallet har hundreder. står på fjerde siste plass og forteller oss at tallet har tusener. Når vi leser tallet, sier vi sifrene i motsatt rekkefølge av den vi brukte ovenfor: «To tusen tre hundre og sekstifem.» Når vi skriver et tall på utvidet form, skriver vi tallet som en sum av hvert siffer ganget med posisjonens tierpotens. Vi skriver tallet 65 på utvidet form slik: = Denne skrivemåten bruker vi blant annet når vi gjør om mellom ulike tallsystemer. Eksempel 1 Vi skriver tall på utvidet form Vi skal skrive tallene 708 og 6080 på utvidet form. 708 betyr syv hundreder, null tiere og åtte enere. 708 = = betyr seks tusener, ingen hundreder, åtte tiere og ingen enere = = Oppgave 1.7 Skriv tallene på utvidet form. a 76 b c d 7005 Oppgave 1.8 Skriv tallene på vanlig form. a b c

24 Tall og algebra 1. Romerske tallsymboler: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Romertall et additivt tallsystem I et additivt tallsystem legger vi sammen verdien til de enkelte symbolene for å finne tallets verdi. Plassen eller rekkefølgen til symbolene spiller ingen rolle. De ti sifrene 0, 1,,, 9 kalles arabiske tall, men vi burde kalle dem indisk-arabiske tall, fordi de stammer fra India. De kom til Europa med araberne rundt år 100. I Europa var romertallene i vanlig bruk. De utviklet seg fra et additivt system til et system hvor det også er subtraksjon. Dersom et mindre tall står foran (til venstre) for et større, skal det lille tallet trekkes fra det store. Eksempel Romertall XV = 15. Vi legger sammen, fordi V står for et mindre tall enn X. IX = 9. Her står det lille tallet til venstre for det større, og da skal vi trekke det lille fra det store. XIX = 19. X = 10, og IX = 9. Legg merke til at vi skriver XIX og ikke XVIIII. Oppgave 1.9 a Skriv alderen din med romertall. b Skriv 010 med romertall. c Harald er LXIV år. Skriv alderen til Harald med indisk-arabiske tall. Vanens makt er stor, så det tok lang tid før de indisk-arabiske tallene vant over romertallene, enda de er overlegne i praktisk bruk. Det ser du hvis du uten andre hjelpemidler enn blyant og papir prøver å multiplisere CLX XV med romertall, og så den samme multiplikasjonen med indisk-arabiske tall. Fortsatt kan vi finne rester av tallsystemer med grunntall tolv, tjue og seksti: Inndelingen av timer i 60 minutter og inndelingen av sirkelbuen i 60 grader stammer fra babylonernes sekstitallsystem. Fortsatt bruker vi av og til ordet dusin, som betyr 1. Tallene 50, 60, 70, 80 og 90 heter på dansk halvtres, tres, halvfirs, firs og halvfems. Tres er en forkortelse for tresindstyve eller tre ganger tjue. Hva firs og fems er forkortelse for, kan du vel gjette selv? I dansk er det altså sterke spor etter tjuetallsystemet.

25 Tall og algebra 1. 5 Titallsystemet 10 - plass 10 - plass Åttetallsystemet 8 - plass 8 - plass plass plass plass plass plass plass Andre plassverdisystemer enn titallsystemet Har du tenkt over hvorfor vi bruker et tallsystem med 10 som grunntall? Forklaringen er sannsynligvis så enkel som at vi har 10 fingre. Mayaindianerne brukte 0 som grunntall i sitt tallsystem. Det var nok fordi de gikk barbeint. Tenk deg at vi hadde åtte fingre. Da hadde vi kanskje hatt et posisjonssystem med 8 som grunntall, et åttetallsystem med sifrene 0, 1,,,, 5, 6 og 7. I titallsystemet forteller det bakerste sifferet antall 10 0 (antall enere), det nest bakerste sifferet antall 10 1 (antall tiere), osv. I åttetallsystemet forteller det bakerste sifferet antall 8 0 (antall enere), det nest bakerste sifferet antall 8 1 (antall åttere), osv. Vi setter på indeks 8 når tallet er skrevet i åttetallsystemet. Tallet 8 er altså skrevet i åttetallsystemet. Sifferet står på siste plass og forteller oss at tallet har enere. Sifferet står på nest siste plass forteller oss at tallet har åttere. Siffer og posisjon sier oss at tallet er summen av åttere og enere. På utvidet form kan vi skrive tallet slik: 1 0 = = = 16 + = 19 8 i åttetallsystemet er dermed det samme som 19 i titallsystemet. Legg merke til at vi vanligvis ikke skriver 10 som indeks på tall i titallsystemet. Firetallsystemet - plass - plass 1 - plass 0 - plass I et plassverdisystem med grunntall bruker vi sifrene 0, 1, og. Plassene fra høyre mot venstre heter enerplassen ( 0 ), firerplassen ( 1 ), sekstenplassen ( ) og sekstifirerplassen ( ). Vi setter på indeks når tallet er skrevet i firetallsystemet. For alle plassverdisystemer er det slik at plassen sifferet står på, bestemmer potensen av grunntallet sifferet bestemmer antall slike potenser

26 6 Tall og algebra 1. Grunntall 1000? Eksempel Fra firetallsystemet til titallsystemet Tallet 1 er skrevet i firetallsystemet. Hvilket tall er dette i titallsystemet? -plassen -plassen 1 -plassen 0 -plassen 6-plassen 16-plassen -plassen 1-plassen Sifferet står bakerst, på 0 -plassen, og forteller oss at tallet har enere. Sifferet 1 står på 1 -plassen og forteller oss at tallet har 1 firer. Sifferet står på -plassen og forteller oss at tallet har sekstenere. 1 = = = + + = 9 1 er det samme som 9. Oppgave 1.0 a Tallet 1 er skrevet i firetallsystemet. Hvilket tall er dette i titallsystemet? b Tallet 100 er skrevet i firetallsystemet. Hvilket tall er dette i titallsystemet? Oppgave april blir det bestemt at tretallsystemet skal innføres i Norge. a Hva er grunntallet i dette systemet, og hvilke sifre kan vi bruke? b Hva heter plassene fra høyre mot venstre i tretallsystemet? c Hvordan skriver du disse tallene i titallsystemet? 1 10

27 Tall og algebra Oppgave 1. a Hva er galt med å skrive 6 5? b Hvilken verdi har den plassen sifferet står på i tallet nn når 1 = 6 n = 16 c Hva er det største tresifrede tallet i firetallsystemet? Skriv tallet i titallsystemet. I 1.5 skal du lære å gjøre om mellom femtallsystemet og titallsystemet. 1.5 FEMTALLSYSTEMET For å bli bedre kjent med plassverdisystemer tar vi for oss femtallsystemet. Sifrene er 0, 1,, og. Plassene heter enerplassen, femmerplassen, tjuefemmerplassen, hundreogtjuefemmerplassen, osv. Hundreogtjuefemmerplassen Tjuefemmerplassen Femmerplassen Enerplassen Eksempel 1 Fra femtallsystemet til titallsystemet Hvilket tall i titallsystemet er det som skrives 0 i femtallsystemet? 5 -plassen 5 -plassen 5 1 -plassen 5 0 -plassen 0 Ved hjelp av utvidet form og tabellen ovenfor får vi = = = er det samme som 5. Oppgave 1. Hvordan skriver du disse tallene i titallsystemet? a 1 5 b 0 5 c Oppgave 1. a Hvilke tall skrives på samme måte i femtallsystemet og titallsystemet? b Hva heter plassen til sifferet i tallet 1 5? c Hvor mye bidrar sifferet med til tallets totale verdi i de to tallene 1 10 og 1 5?

28 8 Tall og algebra fingre Oppgave er det minste tresifrede tallet i titallsystemet. Det største er 999. Skriv det minste og det største tresifrede tallet i femtallsystemet. Skriv deretter de to tallene i titallsystemet. Fra titallsystemet til femtallsystemet I femtallsystemet bruker vi sifrene 0, 1,, og. Når vi skal gjøre om fra titallsystemet til femtallsystemet, får vi bruk for en oversikt over plassverdiene i femtallsystemet Hvordan skriver vi tallet 9 i femtallsystemet? 9= 5+, altså én femmer og fire enere. Det kan vi skrive slik: plass plass = = Det skal altså stå 1 på 5 1 -plassen og på 5 0 -plassen. Vi får at 9 = 1 5.

29 Tall og algebra Eksempel Fra titallsystemet til femtallsystemet Hvordan skriver vi 8 i femtallsystemet? Vi bruker tabellen på forrige side og ser at 8 = 5 +, altså én tjuefemmer, ingen femmere og tre enere. Det kan vi skrive slik: 8 = 5 + = Det skal altså stå 1 på 5 -plassen, 0 på 5 1 -plassen og på 5 0 -plassen. 8 er det samme som Oppgave Ved hjelp av tabellen kan vi skrive 1 = Skriv disse tallene på tilsvarende måte: a 8 b 19 c d 6 Oppgave 1.7 Hva blir disse tallene i femtallsystemet? a 7 b 11 c 0 d Oppgave 1.8 Hva blir disse tallene i femtallsystemet? a 7 b 5 c 57 d 159 Vi kan skrive om alle tall til femtallsystemet ved å bruke metoden fra eksempel. Når vi skal skrive om store tall, kan det være greit å ha en annen metode for det. Vi skal vise en slik metode, største potens-metoden. Når vi bruker denne metoden, får vi bruk for heltallsdivisjon. Hva heltallsdivisjon er, viser vi i det neste eksemplet. Eksempel Heltallsdivisjon Divisjonen : 8 går opp. Svaret, eller kvotienten, blir. : 8 = Da har vi at = 8. Divisjonen 9 : 8 går ikke opp. 9 : 8 =,65 Kvotienten (eller heltallskvotienten) blir. Resten er 9 8 = 5 Vi skriver 9 = Hva blir kvotienten og resten i divisjonen 11 : 5?