Binære tall og andre morsomheter

Transkript

1 Lærerveiledning Binære tall og andre morsomheter Passer for: Varighet: Vg1T og Vg2P 90 minutter Binære tall og andre morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får en annerledes tilnærming til totallsystemet, andre tallsystemer og potenser enn hvordan de møter dette i læreboka. Elevene skal forsøke å gjennomskue talltriks, de skal være fysisk aktive og vise tall i varierte tallsystemer og i potensform. Elevene får noen oppgaver felles, andre i gruppe. Programmet er egnet som en introduksjon til emnet om ulike plassverdisystemer i læreboka for Vg2P, men kan passe også til Vg1T, og i tillegg som undring til elever i R1 og S1. Det beste er at elever og lærere er forberedt når de kommer på INSPIRIA science center. Lærerveiledningen inneholder viktig informasjon om skoleprogrammet, og det er derfor fint om den blir lest i god tid før besøket. Vi ønsker at lærerne skal få en best mulig opplevelse og læringsutbytte av å ta med klasser til senteret. Vi oppfordrer til aktivt å ta del i opplegget sammen med elevene. Skoletilbudet til INSPIRIA science center er ment å være en integrert del av opplæringen. Ved å utføre for- og etterarbeid til programmet, vil elevenes læringsutbytte økes, og lærerne vil kunne benytte aktivitetene som et verktøy til å nå konkrete mål i kunnskapsløftet.

2 Hovedområder og kompetansemål fra kunnskapsløftet: Vg1T Tal og algebra Rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebrauttrykk. Vg2P Tal og algebra Rekne med potensar og tal på standardform med positive og negative eksponentar, og bruke dette i praktiske samanhengar Gjere greie for nokre plassverdisystem, og gje praktiske døme på dei Forarbeid Før besøket på INSPIRIA science center bør elevene ha utført enkelte aktiviteter og ha kjennskap til en del begreper knyttet til skoleprogrammet. Nedenfor følger aktivitetene og begrepene. Vi ønsker at elevene har jobbet med potenser, potensuttrykk, tall på standardform og prefiks til tier-potenser før besøket hos oss. En av aktivitetene på senteret forutsetter at dette er kjent stoff for elevene. Aktiviteter 1. Forståelse av store tall Be elevene si et tresifret tall, og skriv det lengst til høyre på tavla. Be så om et nytt tresifret tall, og skriv dette til venstre for det første tallet. Fortsett slik at dere har 15 siffer. Spør så hva tallet heter, og hvordan eleven vet dette. Snakk om at det holder å kunne en ti hundre (sifrene danser vals; 1,10,100, 1,10,100) og så ordne hundretallene i størrelse fra høyre med hjelp av ordene tusen, millioner, milliarder, billioner, billiarder. At vi starter fra høyre, kommer av det arabiske systemet, og at man i arabiske land leser fra høyre til venstre. Når vi har funnet ut hva tallet heter, leser vi det fra venstre til høyre som vanlig når vi sier tallet. Det har oftest lite hensikt å bruke så mange siffer. Hvis man sammenligner størrelsen av sifrene i et tresifret tall, så har det første tallet hundre ganger større betydning en det tredje. Hvor mange siffer som bør brukes kommer an på sammenhengen, men oftest holder det med to eller tre siffer.

3 2. Tall på standardform/normalform a) Innledning En grei måte å gjøre om våre vanskelige store og små tall til enkle og begripelige entall, er ved å bruke tall på standardform/normalform. Første regel er bare å bruke den eller de mest betydningsfulle sifrene i sammenhengen (avrunde). Så flytter man dem helt enkelt til entallplassen. Istedenfor å forklare med ord (prefiks) forteller man hvor mange plasser man har flyttet i posisjonssystemet. Et skritt er 10 ganger større eller mindre, avhengig av i hvilken retning man flytter. To skritt er 100 ganger dvs 10 x 10, som skrives Vise tall på standardform/normalform Materiell: Stol, 15 stk. A4-ark med et siffer på den ene siden og 0 på den andre siden, et A4-ark med X-tegn og et A4-ark med tallet 10. Noe til å markere posisjonene i tallsystemet med på gulvet, f.eks. linjaler eller teip. La elevene stå skulder mot skulder og vise et valgfritt stort tall med sine ulike siffer. Legg ut linjaler eller teip mellom hver elev for å markere posisjonene i tallsystemet. Alle elevene, bortsett fra den med den høyeste sifferverdien snur på sitt ark og viser 0. (For enkelhets skyld bør man ikke ha tall som endrer siffer når de avrundes i starten). Når man har vist fram det nye avrundede tallet, går 0-elevene og setter seg. Eleven som står igjen går nå til sin nye entalls-posisjon og demonstrerer og teller høyt antallet skritt dit. 5 skritt betyr x 10 5 (om det er et sekssifret tall). For å vise standardformen kan en elev vise x, en annen tier og den tredje eleven hopper opp på en stol og viser eksponenten 5. Når elevene har forstått, går man videre med to verdisiffer. Marker kommategnet f.eks med en stol ev. drapert med en skjerf.??? Senere kan man også bruke siffer som gir endring av siffer i avrundningen.

4 3. Prefiks store og små tall Se Kopieringsmal forarbeid 3 sist i lærerveiledningen. Oppgaven er å skrive tall på fire forskjellige måter. 1. Skrive store og små tall med mange siffer. Finn på hele tall som har mellom to og 12 siffer. Tallene skal skrives med mest mulig ulike siffer. Finn også på små tall med en til ni desimaler. Alle disse til sammen 20 tallene blandes godt og skrives inn i kolonnen «tall». 2. Avrunde og skriv tallene med to verdisiffer. Eksempel: skrives som Skriv tallet med to verdisiffer og prefiks: 260 kilo 4. Skriv tallet som standardform/normalform: 2,6 x 10 5 Del opp elevene i grupper med 2 eller 3 elever i hver gruppe. Alle gruppene begynner med 1. Finne på 20 egne tall. Gi deretter 1/3 av gruppene oppgave 2, 1/3 av gruppene oppgave 3 og den siste tredjedelen oppgave 4. Skriv svarene i riktig kolonne på arket, Når gruppene er ferdig med sin kolonne gir gruppene som har gjort oppgave 2, arket til en gruppe som gjort oppgave 3. Disse gir sitt ark til de som har gjort oppgave 4, og disse gir til gruppene som har gjort oppgave 1. Når alle gruppene har gjort alle kolonnene sammenlignes svarene. Hvorfor bruke ord istedenfor tall? Svar: Mange siffer i tallet øker risikoen for å regne, trykke eller lese feil. Vi er sikrest på og kan lettest bedømme mindre tall. Prefiks og normalform, minsker antallet siffer i tallet og gjør det mer forståelig. Oftest er det viktigere enn at tallet er helt eksakt. Kommentar til elevers vanskeligheter med tall mellom 0 og 1 For å kunne håndtere tall som er større enn 0 men mindre enn 1, må man kunne dele opp tall. I vårt desimalsystem har vi bestemt at første siffer til høyre for entallet og kommategnet betyr tideler, dvs sifferet er 10 ganger mindre verdt enn entallet med samme siffer. Neste siffer er en hundredel, og tredje en tusendel osv. Det er like naturlig som at 1 er 10 ganger mindre enn 10. MEN vår inkonsekvente måte å navngi dem på, har forvirret elevene i alle år siden systemet kom til Europa på 1500-tallet. Eks: sifferet 2 plassert til høyre for kommategnet har alltid verdien 2 tideler, men vi sier null-komma-to. 0,23 kaller vi null-komma-tjue-tre og 0,236 kaller vi null-kommatohundre-og-trettiseks. Samme siffer med samme verdi gir vi ulike navn. Med prefikset desi kan vi håndtere 10-delen som et entall. På samme måte som vi kan gjøre tallet till 527 om man legger til ordet tusen, kan man gjøre om 0,2

5 til 2 ved å legge til ordet desi. Med prefikset centi gjør vi om 0,23 till 23 og med ordet milli gjør vi 0,236 til tallet 236. Milliondelen mikro (ᶙ = 10-6 ) brukes som måleenhet blant annet i mikrobiologi. Innenfor nanoteknologi brukes betegnelsen nano (n = 10-9 ). Begreper - potens - grunntall - eksponent - standardform (normalform) - prefiks Etterarbeid Aktiviteter 1. Tallsystemer Vi skal ikke langt før vi støter på andre tallsystemer. Våre naboer danskene teller på en annen måte enn oss. Finn ut hvordan det danske tallsystemet er bygd opp. Kan dere finne eksempler på andre tallsystemer i bruk i verden i dag? Kopieringsmal til oppgaven følger sist i lærerveiledningen. 2. Mønster i Pascals trekant La elevene få hvert sitt ark med Pascals trekant (kopieringsmal kommer helt til slutt i dokumentet). a) Finn mønsteret i trekanten, og sett inn tallene som mangler. b) Fargelegg oddetallsrutene. Ser dere mønsteret? c) Finn ut hvor mange oddetall man har etter hverandre i en rekke i de ulike radene. Finner dere et mønster? d) Sammenlikn tallmønsteret dere finner med tallmønsteret dere finner i det binære tallsystemet. e) Søk på nettet og finn flere eksempler på Pascals trekant, samt fakta om Blaise Pascal. 3. Mayatall Jobbe med Mayatall (tjuetallsystem) Test deg selv på omregning mellom mayatallene og våre tall. Les litt om mayatallene på nettsiden først, og ta testen. Mayaenes kalender og tallsystem kan man også lese om i boka Mattemagi (2010) av Håvard Tjora side 97 og 98.

6 Fasit til etterarbeid 1. Noen eksempler på svar: a) 60-tallsystemet brukes daglig når vi snakker om tid. I en time er det 60 minutter, og i et minutt er det 60 sekunder. Klokka og regning med tid er en utfordring for mange elever. b) Dansk tellemåte ikke helt ulikt vår, faktisk likt opp til 49, bortsett fra at danskene sier enerne først og tierne etterpå. Eks. en og tyve når vi sier tjueen. Den danske tellemåten har et snes (20) som base. Tre snes = 60. Tre snes forkortes til tres. Halv tres betyr to snes pluss et halvt snes = = 50. Halv firs betyr = 70. Firs = 80. Halv fems er = 90. Da skulle man tro at 100 betegnes som fems, med det er feil. 100 er det samme i Danmark som hos oss. c) Fransk system det babylonske tallsystemet med 60 som bare dukker opp i dagens franske tellemåte. Alle tall følger den arabiske modellen opp til 60, på fransk: soixante. Etter 60 begynner man å telle på nytt, og legger det til 60. Til og med 69 er ikke dette bemerkelsesverdig, slik gjør vi også. Forskjellen merkes først ved neste tall i rekken, 70, som på fransk uttales soixantedix. 75 uttales soixante-quinze. Når man kommer til 80 bytter man taktikk og hopper til 20-system. 80 uttales som 4 tjuere, Quatre-vingts, så starter man på nytt. 91 heter eller quatre-vingt-onze, 99 heter 4 tjuere nitten, på fransk quatrevingt-dix-neuf. Ved tallet 100 går man tilbake til den arabiske tellemåten cent. d) Romertallene brukes litt i også i dag f.eks på klokker, og noen ganger som årstall på filmer (til slutt i rulleteksten). 3. Pascals talltrekant b) Elevene vil ende opp med en Sierpinski trekant. c og d) Mønsteret er 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 16, 1 osv. Dette kalles et ABACABA-mønster. e) Les om Pascals trekant bl.a. på:

7 Kopieringsmal forarbeid 3. Prefiks store og små tall 1. Tall 2. Avrundet 3. Prefiks 4. Standardform

8 Kopieringsmal etterarbeid 1. Tallsystemer a) Finn mønsteret i hvordan trekanten er bygd opp, og sett inn tallene som mangler. b) Fargelegg oddetallsrutene. Ser dere mønsteret? c) Finn ut hvor mange oddetall man har etter hverandre i en rekke i de ulike radene. Finner dere et mønster? d) Sammenlikn tallmønsteret dere finner med tallmønsteret dere finner i det binære tallsystemet. e) Søk på nettet og finn flere eksempler på Pascals trekant, samt fakta om Blaise Pascal.