Institutt for elektroteknikk og dtbehndling Stvnger, 7. mi 997 Løsningsforslg til eksmen i TE 9 Signler og Systemer, 6. mi 997 Oppgve ) Et system er lineært dersom superposisjonsprinsippet gjelder, d.v.s. t dersom y i er utgngen ved u i på inngngen, så vil x + bx gi y + by. b) Et system er tidsinvrint dersom utgngen kun er vhengig v tilstnd og inngngssignl, ikke v når inngngssignlet settes i gng. c) Et system hr endelig impulsrespons dersom responsen til impulsen hr endelig vrighet, og vice vers. d) Uendelig impulsrespons kn kun oppstå dersom utgngen nå er vhengig v ndre utgngsverdier følgelig hr lltid ikke-rekursive systemer endelig impulsrespons. Ser her bort fr spesiltilfellet med uendelig ntll tilstndsvrible. e) I følge diskusjonen ovenfor: j. f) h[k] u[k] f:; :7; :; :9; :67; :7; :7g g) H(!) X k, h[k]e,j!k Trygve Rnden +e,j! +e,j! + e,j! Stipendit Høgskolen i Stvnger Institutt for elektroteknikk og dtbehndling Postboks 7 Ullndhug 44 Stvnger Tel.: 8 6 Tel.: 64 9 h) Se gur (h) i) Se gur (i) Det er ikke nødvendig å regne fordi DFT er denert ved smplingen v DTFT. j) Utvide signlet med nuller. k) D DFT på en konstnt nær er identisk med diskret-tid Fourier-rekke, er forutsetningene for t DFT'en skl være ekskt de smme som for diskret-tid Fourier-rekken, d.v.s. t signlet er periodisk. l) Se gur (l) Priv.: Mob.: 9 98 7 Fx.:87 E-mil: t.rnden@ieee.org WWW: http://www.hsr.no/~trnden
7 6 4 4 4 (h) 7 6 4 4 4 (i) 4 4....4..6.7.8.9 (l) Figur :
Oppgve ), :9Hz b) Når vi hr lising vil mn ved å betrkte det smplede signlet nturlig nt t det svrer til et signl med en nnen frekvens enn den det opprinnelige signlet hdde. En gitrtone i vår spesikke problemstilling kn med lising oppfttes som en nnen gitrtone (med en nnen frekvens) dersom vi hr lising. c) Med høyeste grunntone på Hz, må mn i.h.t. smplingsteoremet h smplingsfrekvens på minst 4Hz. Mn unngår lising fr hrmoniske vedålvpss- ltrere signlet med knekkfrekvens khz før smpling. d) Med smplingsfrekvens khz svrer diskret tid vinkelfrekvens! til f f s. En frekvensvstnd på.9hz svrer d til :9 f s :9 :74, : Dette betyr t vi smpler DFT-spekteret med smplevstnd :74, i en lengde v, m..o. med :74, 68 (lterntivt 68, 68 eller 69 smples, vhengig v nøyktighet på mellomregningene). e) 68 T s 68 :68,4 s 68:ms f) For hvert spektrlelement hr vi 68 multipliksjoner, og med et spekter v lengde 68 elementer blir totlen ltså 68 8 76 multipliksjoner for hvert spekter. g) 8 76 :68,4 :68 multipliksjoner per sekund. h) Bruk v en hurtiglgoritme for DFT, f.eks. rdix-. Delsignllengden må i så fll være n den n er et heltll, her medfører det t delsignllengden må være 48 smples. i) Finn spekteret til delsignlene. Finn frekvensene svrende til toppene i spekterene. Identiser frekvensene svrende til toppene som de nærmeste gitrtoner. Merk: smmenligning med ett og ett kjent spekter blir umulig i og med t det er mulig med ere smtidige gitrtoner. Oppgve ) hvor : + j:6. z, 4 z, + z, 4 q( 4 ), 4 z, 4 z + b) jj j j :6 < ) polene ligger innenfor enhetssirkelen ) stbilt.
c) H(!) H(z)j ze j!, e,j!, 4 e,j! + e,j! d) Se gurene (d) e) Systemet hr båndpss-krkter, det vil si det slipper gjennom frekvenser midt mellom Hz og f s ( og i diskret-tid vinkelfrekvens). Fseresponsen viser hvordn de enkelte frekvenskomponentene forsinkes, reltivt til hverndre. Vi ser f.eks. t den ikke er lineær følgelig forsinkes ikke lle frekvenser like mye (lineær fse hr ikke blitt behndlet i pensum). Flere svr kn godts på nlyse v fseresponsen, men essensen er å få frem t den gir forsinkelsen til de enkelte frekvenser gjennom systemet. f) H(z) Y (z) U (z), z,, 4 z, + z, Invers z-trnsformsjon gir (, 4 z, + z, )Y (z) (, z, )U (z) y[k] y[k, 4 ], y[k, ] + u[k], u[k, ] g) Behndler først u[k]: uten tidsskift hr vi u[k] for k ellers : z-trnsformsjon gir Tidsforsinkelse gir u[k] u[k, ] Null initilbetingelse gir som videre gir Y (z) H(z)U (z) U(z), z, :! U (z) z, U(z)., z,, 4 z, + z, z,, z,, z, (, z, )(, z, )(, z, z, ) A, z, + B, z, + C, z, A(, z, )(, z, ) + B(, z, )(, z, ) + C(, z, )(, z, ), z, + D z, + D(, z, )(, z, )(, z, ) 4
.... 4 4 (d) Amplituderespons.... 4 4 (d) Fserespons.4...4.6.8. (i) Figur :
og, z, A(, ( + )z, z, ) + B(, ( + )z, z, ) + C(, 4 z, + z, ) + D(, 4 z, + som resulterer i det lineære ligningssettet z, : A + B + C + D z,, z, ) z, :,A( + ), B( + ), 4 C, 4 D z, :, A + B + C + D z, :, D: Løsningen v dette er trivielt, og svret blir A :, j:9:4e,j:7 B : + j:9:4e j:7 A C D : D : + j:6:6e j:7 får vi eller Y (z) Y (z) A, z, + A, z, z, :4e,j:7, :6e j:7 z, + :4e j:7, :6e,j:7 z, z, og invers z-trnsformsjon med Y (z) Y(z)z, gir y[k] A k + A k + :4 :6 k cos (:7k, :7) for k, og y[k] :8 :6 k, cos (:7(k, ), :7) : for k. h) Impulsrespons: u[k] h[k] og U (z). D får vi som gir H(z), z, (, z, )(, z, ) A, z, + B, + z, C; z, : A + B + C z, :,A, B, 4 C z, :, C 6
Løsningen v dette er trivielt, og svret blir A :7e,j:86 B :7e j:86 A C,:4; som helt ekvivlent med forrige deloppgve gir for k. i) Se gur (i) h[k] :4 :6 k cos (:7k, :86), [k] j) Brttere frekvensrespons, lengre impulsrespons, og vice vers, jfr. usikkerhetsprinsippet (Hiessenberg) s. - i Chen: System nd Signl Anlysis, 99). Oppgve 4 ) H(z) C z, z, C, z,, z, b) H(!) H(z)j ze j! C, e,j!, e,j! c) jh(!)j H(!)H (!) C, e,j!, e C, e j!,j!, e j! jcj, e,j!, ej! +, e,j!, e j! + q.e.d. jcj jh(!)j jcj jcj, cos(!) +, cos(!) + jcj, cos(!) +,, cos(!) + 7