Del 5 Måleusikkerhet 5. Type A og type B usikkerhetsbidrg Utdrg fr VIM:.8 Type A evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty by sttisticl nlysis of mesured quntity vlues obtined under defined mesurement conditions.9 Type B evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty determined by mens other thn type A evlution of mesurement uncertinty
Eksempel på målefunksjon Tenk t vi klibrerer et håndholdt multimeter mot en klibrtor. I EA-4/0 S9 (http://www.europen-ccredittion.org/publiction/e-4-0-m) er det viset et eksempel på et usikkerhetsbudsjett for denne klibreringen ved 100 V DC. Dette tr utgngspunkt i følgende målefunksjon for feilvisningen E x : E x =V ix -V s +dv ix -dv s hvor V ix : V s : dv ix : dv s : Avlest spenning (middel v i observsjoner) Spenning generert v klibrtoren Korreksjon for visningen i multimeter som følge v begrenset oppløsning Korreksjon for feil i klibrtorens genererte spenning som følge v: drift fr sist klibrering vvik i tempertur endring i forsyningsspenning belstningseffekt
Definisjoner, begreper i NA Dok 5 X: teoretisk inngngsstørrelse Y: teoretisk utgngsstørrelse (teoretisk resultt ved ideelle betingelser) x: estimert inngngsstørrelse y: estimert utgngsstørrelse (resultt) q i : måleverdi q: middelverdi s (q): eksperimentell vrins (stndrdvvik = kvdrtrot v vrins) s(q): eksperimentelt (estimert) stndrdvvik s(q): eksperimentelt (estimert) stndrdvvik for middelverdi u(x i ): stndrd usikkerhet for inngngsstørrelse x i c i : Følsomhetsfktor (y er følsomhet for vrisjon i inngngsstørrelse x i ) u i (y): Bidrg til kombinert måleusikkerhet fr inngngsstørrelse x i u i (y) = c i u(x i ) k: dekningsfktor i : frihetsgrder for inngngsstørrelse x i u c (y): kombinert stndrd måleusikkerhet eff : effektive frihetsgrder for resulttet (utgngsstørrelse y) U: utvidet måleusikkerhet
Type A, type B, tilfeldige og systemtiske effekter Type A og Type B er ikke det smme som tilfeldige og systemtiske Type A og Type B er to ulike måter å evluere usikkerhetsbidrg på Det er ingen grunn til å lge egne nvn eller skille de på noen måte Type B evluering kn være like god som en Type A evluering
Feil og vrisjon i målingene gir måleusikkerhet Målefeil Avvik mellom estimert verdi og snn verdi Systemtiske feil Tilfeldige feil Kjent systemtisk feil Ukjent systemtisk feil Avvik Rest usikkerhet Måleverdi Måleusikkerhet
Type A evluering v usikkerhet Beskrivelse v type A evluering: Den estimerte vrinsen u (x i ) (eller stndrd usikkerheten u(x i )) til estimtet x i v en inngngsstørrelse X i, som er bestemt ved en sttistisk nlyse v en serie observsjoner gjort under identiske forhold
Tempertur/C Sttistisk nlyse Temperturmåling 106 104 10 100 98 96 94 0 5 10 15 0 Måling nr.
Antll observsjoner Histogrm (stolpedigrm) 7 6 5 4 3 1 97 98 99 100 101 10 103 Tempertur (C)
Normlfordeling (Gussfordeling) 68% - + = Middelverdi = Stndrdvvik
Normlfordelingens egenskper 0,5 0,45 0,4 0,35 x s 95,45% x 3s 99,73% 0,3 0,5 0, x 1s 68,7% 0,15 0,1 0,05 0-4 -3 - -1 0 1 3 4 s s s s x s s s s
Tempertur/C Sttistisk nlyse Temperturmåling 106 104 10 100 98 96 94 0 5 10 15 0 Måling nr.
Beregne (estimere) middelverdien Middelverdien er estimert ved hjelp v: q 1 n n i1 q i 1 n ( q 1 q... q n )
Beregne (estimere) vrins og stndrdvvik Vrinsen i en serie (k=1 til n) observsjoner q k skrives s (q), stndrdvviket er kvdrtroten v vrinsen og skrives s(q): s ( q) 1 n 1 n k1 ( q k q) s(q) = eksperimentelt stndrd vvik til enkeltverdi Eksempel på regnerkfunksjoner (Excel 007, norsk) Vrinsen til tllene i cellene A1 til A0: VARIANS(A1:A0) Stndrdvviket til tllene i cellene A1 til A0: STDAV(A1:A0)
Tempertur/C Sttistisk nlyse v repeterte målinger Temperturmåling 106 104 10 100 98 96 q q s( q) s( q) q 94 0 5 10 15 0 Måling nr.
Tempertur /C Sttistisk nlyse v repeterte målinger (forts.) Temperturmåling 106 104 10 100 98 96 q q s( q) s( q) q 94 0 5 10 15 0 Måling nr.
Tempertur /C Sttistisk nlyse v repeterte målinger (forts.) Temperturmåling 106 104 10 100 98 96 q q s( q) q q s( q) s( q) q s( q) 94 0 5 10 15 0 Måling nr.
Repeterbrhet Når vi gjør repeterte målinger for å finne et gjennomsnitt, ønsker vi minst mulig vrisjon. Mnge observsjoner gir et bedre mål for beliggenheten til gjennomsnittet dvs senteret til fordelingen. Når n øker, konvergerer s mot en bestemt verdi dvs bredden til fordelingen blir bedre kjent. Avvik Bidrg til måleusikkerheten Vi benytter gjennomsnittet v mnge målinger som beste estimt for måleresulttet, derfor er usikkerheten i målingen gitt v stndrdvviket til gjennomsnittet. u repeterbrhet s n Ref s: observert stndrdvvik til fordelingen n: ntll observsjoner x
Estimt for vrinsen til middelverdien s ( q) = eksperimentelt stndrdvvik til enkeltverdi s ( q) = eksperimentelt stndrdvvik til middelverdien Denne er gitt som: s ( q) s ( q) n
Stndrd usikkerhet Estimtet v inngngsstørrelsen, x i, er gitt på grunnlg v observsjonene q i. x i Estimtet v stndrd usikkerhet er gitt ved stndrdvviket til middelverdien q u( x ) s( q) i
Frihetsgrder Antll frihetsgrder er et mål på kunnskpen om en sttistisk fordeling. Dersom n uvhengige observsjoner skl brukes til å bestemme m målestørrelser, så er frihetsgrden ν i til én enkelt målestørrelse: n m i Dersom n uvhengige observsjoner skl brukes til å bestemme en middelverdi til en målestørrelse, så er frihetsgrden ν i n 1 Dersom fordelingen er kjent/definert, er det et uendelig ntll frihetsgrder.
Reproduserbrhet Når vi gjør reproduserte målinger ønsker vi å krtlegge hele vrisjonsbredden. Reproduserbrheten gir kunnskp om den smlede betydningen v t mnge effekter bidrr til vrisjon. Bidrg til måleusikkerheten Reproduserbrheten fnger opp mnge (lle?) tilfeldige og systemtiske effekter. Nye målinger vil dermed gi nye bidrg til den totle spredningen. Dersom vi ikke korrigerer for de systemtiske effektene, vil hele vrisjonsbredden bidr til måleusikkerhet. Dersom vi gjør korreksjoner for systemtiske effekter blir reproduserbrheten mindre, men de bidrr likevel til måleusikkerhet, fordi det gjenstår en usikkerhet i korreksjonene. u s reproduser brhet s: observert stndrdvvik Ref
Type B evluering v usikkerhet Definisjon, type B-evluering: Den estimerte vrinsen u (x i )(eller stndrd usikkerheten u (x i )) til estimtet x i v en inngngsstørrelse X i, som ikke er bestemt ved gjenttte målinger, kn bestemmes ved vitenskpelig vurdering bsert på ll mulig tilgjengelig informsjon om vrisjonen v X i.
Type B usikkerhet u(x i ) fremkommer ved vitenskpelig vurdering bsert på ll mulig tilgjengelig informsjon om hvordn målestørrelsen kn vriere. - Fordelingsfunksjonen nts som kjent. Vi definerer dermed en fordelingsfunksjon med en kontinuerlig snnsynlighetsfordeling med kjent middelverdi og stndrdvvik. Den teoretiske tilpsningen må være rgumentert og konservtiv. - Ofte er det mnge usikkerhetskomponenter v type B - Ofte er det korreksjoner med forventningsverdi lik null, men med vrins forskjellig fr null
Antll Eksempel på en (eller flere) fordeling Histogrm over høyde til vernepliktige. Hvordn vil populsjonen være fordelt? Høydefordeling vernepliktige 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 000 1000 0-1000 Høyde
Normlfordelingen (Guss-fordeling, klokkefordeling) Normlfordelingen påtreffes ofte i nturen og når vi ser på tilfeldige vrisjoner. Når vi summerer 3 eller flere vrible (som kn h vilkårlige fordelinger) sier Sentrlgrenseteoremet t summen er tilnærmet normlfordelt. 95 %,5 %,5 % - -1 0 +1 + Dekningsnivå/ Konfidensnivå ( %) 68,3 90 95 95,45 99 99,7 Dekningsfktor/ Konfidensintervll ( k ) 1 1,65 1,96,58 3
Normlfordelingen (forts.) I klibreringsbevis er ofte resulttet rpportert å være normlfordelt, og usikkerheten er ngitt med en dekningssnnsynlighet på c. 95 %. Det er d benyttet en dekningsfktor k= for å gå fr et dekningsintervll på 1 stndrdvvik til stndrdvvik. Y = y ± U For å finne stndrd usikkerhet for dette normlfordelte type B usikkerhetsbidrget, må U divideres på (k=). u( x i ) U
Usikkerhet fr klibreringsbevis Fr klibreringsbeviset finner vi usikkerheten til det estimerte vviket for et instrumentet.
Firkntfordeling Vi ser på fordelingsfunksjonen til et terningkst. Terningen kn vise 6 forskjellige tll, og det er like stor snnsynlighet for lle verdier fr 1 til 6. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Firkntfordeling (forts.) u ( xi ) u( xi ) 3 3
Stndrd usikkerhet til en firkntfordeling Vrinsen for en vilkårlig fordelingsfunksjon er gitt som: ( x ) ( x ) p( x) dx Firkntfordeling hr 100 % sjnse (1) for t verdien ligger innenfor grenseverdiene - og +, 0 utenfor. Vrinsen finner vi d ved å sette inn for p(x) = 0 utenfor - og +, og p(x) =1/ * innenfor. ( x) ( x ) 1 dx r x r 1 dr
Stndrd usikkerhet til en firkntfordeling (forts.) 3 3 3 3 3 3 1 6 1 ) ) ( ( 3 1 1 3 1 1 r 3 ) ( x
Kilde til usikkerhet: Begrenset oppløsning Avlesning 1,0 1,1 1, 1,3 1,4 1,15 1,5 Oppløsningen er 0,1 mm Yttergrenser for firkntfordelingen er Estimtet v stndrd usikkerhet er 0, 05mm u 3 0, 09 mm
Eksempel på firkntfordelt type B usikkerhet I et lbortorium vrierer temperturen ± C. I lbortoriet benyttes et voltmeter. I spesifiksjonen fr leverndøren oppgis det t temperturmålingen vrierer med temperturen med ppm/k. Vi får dermed følgende effekt v temperturvrisjon i spenningsmålingen: ± ppm/k * K = ± 4 ppm 4 ppm u( x vrisjon) 3 tempertur, 3 ppm
Eksempel på firkntfordelt type B usikkerhet En måleverdi leses v et instrument med et digitlt disply. Avrundingsfeilen i det digitle displyet er på opptil et hlvt siffer. m/s Sett t vi leser v en vindmåler som med 3 siffer viser vind i m/s. Det minst signifiknte siffer hr en oppløsning på 1 m/s. Verdien instrumentet prøver å vise kn dermed ligge et sted mellom 6,5 m/s og 7,5 m/s. Alle verdier i dette intervllet er like snnsynlige. Verdien er dermed firkntfordelt. 0,5 m / s u( x visning ) 0,9m / 3 s
Volt Drift til en spenningsnorml 1,0180590 1,0180585 1,0180580 1,0180575 1,0180570 1,0180565 1,0180560 1,0180555 1,0180550 1,0180545 1,0180540 0 100 00 300 400 500 600 700 800 Dger
Volt Drift til en spenningsnorml (forts.) 1,0180590 1,0180585 1,0180580 1,0180575 1,0180570 1,0180565 1,0180560 1,0180555 1,0180550 1,0180545 1,0180540 0 100 00 300 400 500 600 700 800 Brukes her! Dger Mn kn nt noen grenseverdier for drift fr siste klibrering. Usikkerhetskomponenten knyttet til drift kn for eksempel nts firkntfordelt (konservtiv vurdering).
Volt Drift til en spenningsnorml (forts.) 1,0180590 1,0180585 1,0180580 1,0180575 1,0180570 1,0180565 1,0180560 1,0180555 1,0180550 1,0180545 1,0180540 0 100 00 300 400 500 600 700 800 Dger
Trekntfordeling Vi ser på summen v to terninger. Den kn h diskrete verdier fr til 1. Hvis vi ser på ntll forskjellige måter vi kn få de ulike verdiene, vil det gi en trekntfordeling: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 Kvlitetsstyrt måleteknikk og sttistiske nlysemetoder Universitetsstudiene på Kjeller #
Trekntfordeling (forts.) x - u( xi ) 6
Trpesfordeling p(x) 0 1 - + x u ( x ) i ( 1 ) 6
Ant. punkt U-fordeling 00 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 u Intervll u( xi )
Eksempel på u-fordelt type B usikkerhet Svært mnge vrisjoner i nturen er sykliske. De følger en pendelbevegelse, dvs oscillerer frm og tilbke. Slike vrisjoner kn beskrives mtemtisk vh en sinus eller en cosinusfunksjon. Sett t en posisjon på en borerigg leses v med en GPS-mottker. Sett t riggen svinger frm og tilbke i nkerkjettingene med et gitt mksimlt utslg på 15 meter. Når posisjonen leses v på GPS-mottkeren er det ikke mulig å si noe om hvor i svingningen riggen er. Dermed blir det en u-fordelt vlesningsusikkerhet med følgende verdi: 15m u( x vlesning ) 10, 6m
Eksempel på type B-evluering multipler v stndrdvvik konfidensnivå 90%, 95%, 99% gitt en fordeling innenfor et intervll, firkntfordeling innenfor et intervll, trekntfordeling innenfor et intervll, trpesfordeling innenfor et intervll, u-fordeling
Hvordn finne et stndrdvvik? Dersom: 1. U= ±0. ml, k= (k=3) => divider med (3). U= ±0. ml, 95% (99%) => divider med 1.96 (.58) 3. U= ±0. ml, ikke noe mer. Antr rektngulær fordeling innenfor dette intervllet: => divider med 3
Informsjon som gir grunnlg for vurdering v type B usikkerhet Følgende kilder til type B usikkerhet er ofte ktuelle resulttet i et klibreringsbevis miljøpåvirkning eller nnen påvirkning som kn gi en begrenset effekt på måleresulttet Historiske dt som viser hvordn instrumentet kn forventes å endre seg over tid. instrumentets spesifiksjoner instrumentets oppløsning erfring eller nnen kunnskp om målemetoden og måleprosedyren
Vnlige måter å ngi type B usikkerhet usikkerhet oppgis som multipler (k) v stndrd vvik smt med informsjon om fordeling. Ofte benyttes k= og normlfordeling usikkerhet oppgis som grenseverdier for et intervll. Alle verdier innenfor intervllet er like snnsynlige mens verdier utenfor intervllet er usnnsynlige. usikkerhet oppgis som et stndrdvvik uten informsjon om fordelingens fsong usikkerhet oppgis som en vrins uten informsjon om fordelingens fsong
Hvordn finne en stndrd usikkerhet? Under følger det 3 ulike usikkerhetsbidrg ved volummåling. Hv blir stndrd måleusikkerhet, u(x), for de ulike usikkerhetsbidrgene? Fr et klibreringsbevis følger det t U = ± 0. ml, k = og normlfordeling. u(x) =? Oppløsning på 0.4 ml gir mulige verdier i intervllet ± 0. ml. u(x) =? Temperturvrisjon på mks ± 5 C gir volumvrisjon på ± 0. ml. u(x) =?
Oppsummering på 1,, 3: 1) Målefunksjonen Skriv opp en mtemtisk modell for smmenhengen mellom inngngsstørrelser og utgngsstørrelse. x 1 f (x1, x,. xn,) y x x n Til estimtet v smtlige inngngsstørrelser knytter det seg en usikkerhet. y f ( x, x,..., x ) 1 n u c (y) u(x 1 ) u(x ) u(x n ) u(x i ) = stndrd usikkerhet i x i u c (y) = kombinert stndrd usikkerhet
) Beregning v stndrd usikkerhet Beregn usikkerhet til komponentene med metode A eller B. A Repeterte observsjoner s ( q) 1 n 1 n k1 ( q k q) u s( q) s( q) n Normlfordeling (95 % konfidensintervll) u U B Firkntfordeling u 3 Trekntfordeling u 6 U-fordeling u Trpesfordeling u (1 ) 6 Type A usikkerhet (diskret snnsynlighetsfordeling) Type B usikkerhet (velrgumentert fordelingsfunksjon)
3) Kombinering v usikkerheter Alle inngngsstørrelsenes usikkerhetskomponenter kombineres for å gi måleusikkerheten i resulttet, u c (y). Drift i normlen x Måleverdiene q i q 1 q q 3 x q Miljøpåvirkning og ndre influensprmetere x 3 x 4 x 5 x 6 Begrenset oppløsning x 1 Verdi fr klibreringsbevis for norml 30,05 y ± U Estimert utgngsstørrelse y med ngivelse v usikkerhet