Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet lir 40. Vi skriver dette som en funksjon v tiden t. f( t) = 59t+ 4095 5. Vekstfktoren er 3,. Det vil si t økningen i prosent vr på: p + = 3, 00 p = 3, 00 p =, 00 p = Altså %. I 865 hr det gått 6 år siden 859. Det er rundt 700 kniner i 865. c f( t ) = 00 000 Løser likningen i CAS. Aschehoug www.lokus.no Side v 6
Løsninger til oppgvene i ok Det vil t litt under 8 år før det er 00 000 kniner, ltså rett før nyttår 867. 5.3 Løser oppgven i CAS: Vi ser t vekstfrten, den deriverte, er porporsjonl med funksjonsverdien. 3 Proporsjonlitetsfktoren lir ln = ln 3,,35. 00 Løser oppgven med CAS Aschehoug www.lokus.no Side v 6
Løsninger til oppgvene i ok Vi får smme svr som i oppgve ). 5.4 f ( x) = x + f(0) = f() f(0) = ( + ) = Ved f (0) får vi utgngsverdien, konstntleddet. f() f(0) gir oss, ltså vekstfktoren, som også er den deriverte til f, momentn vekstfrt. gx ( ) = 0 g(0) = = = g() = = g(0) x Ved g (0) får vi strtverdien. g() gir oss, ltså vekstfktoren. g(0) 5.5 3x f( x) = 5e f ( x) = 5 3e = 5e 3x 3x 0,4t gt () = 3e g ( t) = 3 ( 0,4) e =,e ht ( ) = 80,048 t 0,4t 0,4 t t h'( t ) = 80 ln,048,048 = 8,44,048 f() t = 57 = 5 e 5e t ln 7 t,946t gx ( ) = 95,75 = 95 e 95e x ln,75 x 0,6x ( ) 0,4 p 0,4 p p ( ) = 50 = 50 50 0,869 hp e e Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 6
Løsninger til oppgvene i ok p c + =, 073 00 p = 0,073 00 p = 7,3 Vekstfktor,073 gir en økning på 7,3 %. p + = 0,978 00 p = 0,0 00 p =, Vekstfktor 0,978 gir en reduksjon på, % e 0,048 0,953 p + = 0,953 00 p = 0,047 00 p = 4,7 Vekstfktor 0,953 gir en reduksjon på 4,7 %. 5.6 y y 3 4 9 = = = = 3 x x 3 0 3 y y = ( x x ) y 4 = 3 ( x 0) y = 3x+ 4 y x y x = = = = y y = ( x x ) 3 y 4 = ( x ) 3 3 y 4 = x 3 5 y = x 0 4 6 3 5 4 Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 6
Løsninger til oppgvene i ok y y m 5m 6m x x 4 = = = = y y = ( x x ) y 5m= 3 m ( x ) y 5m= 3m x 6m y = 3m x m Løser oppgven i CAS: 3m 5.7 y 45 = y 5 x = 9 x = 9 0 = 9 = 9 = ± 3 Vekstfktoren er positiv og vi får = 3. y = 5 x = 5 0 3 = 5 = 5 = 5 Vi får funksjonsuttrykket gx= () 53 x. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 6
Løsninger til oppgvene i ok y y x x 3 = 50 0 = 5 = 5 = 5 = ± 5 Vekstfktoren er positiv og vi får = 5. y = 0 x = = 0 5 0 5 = 0 = Vi får funksjonsuttrykket gx= () 5 x. 5.8 Løser i CAS. Lineær funksjon: Eksponentilfunksjon: Siden vekstfktoren er et positivt tll, er løsningen = 3 = 7. Funksjonsuttrykket lir gx= () 37 x. Løser i CAS. Lineær funksjon: Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Eksponentilfunksjon: Funksjonsuttrykket lir gx= ( ) 5, 45,5 x. 5.9 Veksten hr vært ekponentiell siden det ikke hr vært noen ressursegrensninger. Øy er stor og den er uten rovdyr. Løser med CAS. Funksjonsuttrykket lir gx= ( ) 00,4 t. c Den årlige veksten lir 4 %. 5.0 Lineær vekstmodell eskriver situsjonen est, siden hn holder konstnt frt og ensinmengden dermed vil vt med jevn frt. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Hn strter med 3 liter, så dette lir konstntleddet. På 4 timer er tnken tom. Det vil si t stigningstllet lir negtivt med verdien 3 8 4 =. Funksjonsuttrykket lir: Bt ( ) = 3 8t. c Frten er 00 km / h i 4 timer. Det vil si t hn kjører 4 00 = 400 km som tilsvrer 40 mil. 3 L Bensinforruket per mil lir 0,8 L / mil 40 mil =. 5. Vi ruker regnerk i GeoGer og tster inn tllene med 99 som utgngspunkt lik 0.. Velger regresjonsnlyse og velger regresjonsmodell Ekponentiell. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Funksjonsuttrykket lir: At ( ) = 007,047 t. Vekstfktor,047 gir oss en prosentvis økning lir 4,7 %. c Løser i CAS. d 534,7 tonn tilsvrer 53 70 kilo vfll. Dette psser ikke så veldig r med modellen. Siden modellen ikke psser så godt for 0, og det målte tllet for vfllsmengde er lvere enn tllet modellen gir, tyder dette på t veksten i mengden vfll kn h vttt. Dermed vil neppe modellen være god for den videre utviklingen i mengden husholdningsvfll. 5. y y 3 8 4 = = = = x x 3 y y = ( x x ) y 8 = ( x ) y 8 = x y = x 4 Med CAS: y x y x = = = = y y = ( x x ) 9 y 3 = ( x 0) 8 9 y = x+ 3 8 Med CAS: 3 9 3 4 4 9 0 8 Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 6
Løsninger til oppgvene i ok y y x x 3 = 3 8 = 4 = 4 = 4 = ± Vekstfktoren er positiv og vi får =. y = 8 x = 8 = 8 = 8 = 4 Vi får funksjonsuttrykket gx= () 4 x. Med CAS: Siden vekstfktoren er et positivt tll, er løsningen = 4 =. Funksjonsuttrykket lir gx= () 4 x. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 6
Løsninger til oppgvene i ok y y x x 0 3 4 3 = = = 3 4 = 4 = 4 = 4 = ± Vekstfktoren er positiv og vi får y = 3 3 x = 0 = 3 = 3 = 3 Vi får funksjonsuttrykket Med CAS: =. gx ( ) = 3. x Siden vekstfktoren er et positivt tll, er løsningen Funksjonsuttrykket lir gx ( ) = 3. x = 3 =. Aschehoug www.lokus.no Side v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.3 Eksponentiell siden strålingen vil vt rskest i strten. Lineær, forutstt t husleien er en fst sum, og ikke økes i perioden eller økes i tkt med prisstigningen. c Eksponentiell siden kninene vil øke rskere og rskere i tkt med t de lir flere de førsye årene. d Ingen v delene siden dglengden først vil li lengre, så på høsten li kortere. e Eksponentiell siden ntll kterier vil øke rskere og rskere i tkt med t de lir flere. f Lineær, forutstt t du lr trykket i dusjen være jevnt og ikke skrur på hrdere eller svkere trykk underveis i dusjen. 5.4 Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Lineær. Vi får funksjonen: Tt ( ) =,3t+ 9, Vnnet koker ved T = 00 C. Setter 00 inn i modellen. Aschehoug www.lokus.no Side v 6
Løsninger til oppgvene i ok Det vil si litt over 6,5 minutter. 5.5 Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Ekponentiell. Vi får funksjonen: c Ht ( ) = 0,075 t, der t er ntll år etter 950. Den prosentvise veksten ser finner vi ved å se på vekstfktoren,075. Dette inneærer en vekst på 7,5 %. 975 tilsvrer 5 år etter 950, og vi setter 5 inn i modellen i GeoGer. Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Etter modellen le det felt hjort i 975. d Løser oppgven i CAS og setter Ht ( ) = 3000. Det vil etter 37,4 år, ltså i løpet v 987. e Finner verdiene for 990 ( t = 40) og 00 ( t = 60 ) med CAS. 990: Dette tllet psser meget godt med tellverdien på 35. 00: f Dette tllet er for høyt, og psser ikke svært godt med tellverdien på 77. Dette er neppe en god modell, d den øker rskt. Vi ser llerede i 00 t modellen gir lt for høye tll, og det vil neppe være plss til så mnge hjort i Sogn og Fjordne som modellen viser. Regner vi ut tllet for 050, t = 00, ser vi t ntllet hjort vil være nesten 80 000. 5.6 Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 6
Løsninger til oppgvene i ok y y 3d d d = = = x x c c c d y d = ( x c) c d y d = x d c d y = x d c Med CAS: 5.7 y y x 6 = = 7 6 = 7 x 4 = 7 3 = 7 = 3 Vi får = 3. ( ) y = 6 x = 6 3 = 6 3= 6 = Vi får funksjonsuttrykket f() x = 3 x. y 30 = = 3 y 0 x = 3 x 6 = 3 5 = 3 = Vi får =. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 6
Løsninger til oppgvene i ok x = ( ) y = 0 0 = 0 = 0 = 5 Vi får funksjonsuttrykket gx= () 5 x. 5.8 f () t = e kt f () t = k e () = = kt kt f t k k e k e Gjør oppgven i CAS: kt Fr definisjonsmengden vet vi t er større enn null, ltså positivt. e opphøyd i hv som helst vil også lltid li positivt. k vil også lltid li positivt, med mindre k er lik 0. Det vil si t den doeltderiverte lltid er positiv og grfen vender hul side opp. Fortegnet til k vil ikke h noe å si. 5.9 Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Ekponentiell. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Vi får funksjonsuttrykket f( t ) = 990,09 t, der t er ntll år etter 950. Den årlige efolkningsveksten er på,9 % (vekstfktoren er,09) c Løser oppgven i CAS: Colomi psserte 30 millioner innyggere etter 3 år, ltså i 98. d Forholdstllene fr eksempel psser r fordi 5, 09 =,54. 5.0 Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Ekponentiell. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 0,07t Vi får funksjonsuttrykket Tt ( ) = 84,6e, der t er ntll minutter teen hr stått. Temperturen vil nærme seg 0 C, siden 0,7t e vil nærme seg 0 for stdig større verdier v t. c Det psser dårlig. Ifølge modellen skulle temperturen ute h vært 0 C. d Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Ekponentiell. e Vi får funksjonsuttrykket 0,095t Tt ( ) = 70, e, der t er ntll minutter teen hr stått. Temperturen på teen i funksjonen over lir lltid 5 grder for lv. Vi får dermed 0,095t funksjonsuttrykket Tt ( ) = 70, e + 5, som også stemmer med utetemperturen d funksjonsuttrykket nå vil nærme seg 5 C etter lng tid, utetemperturen. Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5. Dette lir en likning som på venstre side hr funksjonsverdien til f() t pluss et tillegg i tiden, nemlig T. Vi setter dette lik høyresiden som er gnger funksjonsverdien. Dette tillegget T lir d tiden det tr for funksjonverdien å dole seg. f( t+ T) = f() t ( t+ T) t = ( t+ T) t = t T t = T = Tln = ln ln T = ln c I løsningen finner vi ingen t. Altså er verdien T uvhengig v t. Det vil si t det spiller ingen rolle hv t er i likningen, vi finner dolingstiden unsett. 5. f( t+ T) = f() t Løser likningen i CAS med kommndoen Løs[ <Likning>, <Vriel> ]: 5.3 C Funksjonen f() t = tegnes inn i GeoGer med glidere. t + e Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c Når vi endrer C vil den horisontle symptoten heve og senke seg, det vi kller funksjonens æreevne. Når vi endrer endrer vi hvor rtt grfen stiger. Velger C=8 og =7. Finner skjæringspunktet mellom y-ksen og grfen ved å ruke verktøyet Skjæring mellom to ojekt og klikker på y-ksen og grfen. Skjæringspunktet lir A = (0, ). Gjør det smme en gng til, men endrer -verdien til =3. Skjæringspunktet lir A = (0, ). hr ingenting å si for skjæringspunktet. Aschehoug www.lokus.no Side 0 v 6
5.4 Løsninger til oppgvene i ok C Funksjonen f() t = tegnes inn i GeoGer med glidere. I tillegg plotter vi de fire t + e punktene og kller dem E, F, G og H. Vi justerer intervllene og nimsjonstrinn på gliderne og prøver oss frem. Ender opp med for eksempel denne løsningen: 5.5 C=60, =40 =0, 60 f() t = 0.t + 3e Nei, denne funksjonen vil ikke skjære t-ksen. Dette kommer v t telleren er et fst tll, 60. Nevneren vil også lltid være et postivt tll større enn. Dermed vil også kvotienten være et positivt tll, og følgelig ldri li lik 0. Aschehoug www.lokus.no Side v 6
Løsninger til oppgvene i ok 60 = + 3e 60 60 60 60 f (0) = = = = = 5 f() t 0.t 0. 0 0 + 3e + 3e + 3 4 Skjæringspunktet lir (0,5). C c f() t = t + e C C C C f (0) = = = = + e + e + + 0 0 C Skjæringspunktet lir 0, +. 5.6 C f() t = + e t Siden den vnnrette symptoten er y=36 vet vi t C=36. Skjæringspunktet (0, 4) gir oss likningen: f (0) = 4 36 = 4 0 + e 36 = 4 + 36 = 4( + ) 36 = 4 + 4 4 = 3 = 8 At grfen går gjennom punktet (4,) gir oss likningen: Aschehoug www.lokus.no Side v 6
Løsninger til oppgvene i ok 36 + 8 e f (4) = 4 e 4 = 4 ( e ) 36 = + 8 3= + 8 e = 8 e = 8 4 4 4 = ln 4 4 = ln ln 4 4 0, 4, 4 = 4 = 0,35 36 Funksjonsuttrykket lir f() t =. 0,35t + 8 5.7 C f() t = t + e Siden den vnnrette symptoten er y=4 vet vi t C=4. Løser resten v oppgven i CAS med punktene (0, ) og (, 6,6). e Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 4 Funksjonsuttrykket lir f() t =. 0,t + 9,5 e 5.8 C f() t = + e t Siden ærevenen er00 er C=00. Løser resten v oppgven i CAS med punktene (0, 40) og (, 00). 00 Funksjonsuttrykket lir f() t =. 0,88t + 9e 5.9 C f() t = + e t t ( ) ( ) t C + e C + e f () t = t ( + e ) t 0 + e C ( ) e = t ( + e ) t C e = t + e t ( ) ( ) ( ) Kontrollerer svret med CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c d Grfen vil lltid stige. Det ser vi ut fr den deriverte. Siden,, og C er positive konstnter t og e lltid vil være positiv, ser vi t telleren i den deriverte også lltid er positiv. Nevneren er et kvdrt v et positivt uttrykk, og derfor også lltid positiv. Dermed vil kvotienten også li positiv, og den deriverte vil lltid være positiv. Dermed vet vi t en logistisk funksjon lltid vil stige. Når t lir veldig stor vil nevneren nærme seg. Dermed vil kvotienten nærme seg mer og mer C, æreevnen og den horisontle symptoten, og vi ser t stigningen vil li mindre og mindre. Grfen vil flte ut. 5.30 Deriverer uten hjelpemidler. 500 f() t = 0,34t + 0 e 0,34t 0,34t ( + e ) ( + e ) 0,34t ( + 0 e ) 0,34t 0,34t ( e ) ( e ) 0,34t ( + 0 e ) 500 0 500 0 f () t = 0 + 0 500 0 ( 0,34) = = 3400 e 0,34t 0,34t ( + 0 e ) Deriverer ved hjelp v CAS. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c Deriverer ved hjelp v lgerfeltet. Skriver først inn funksjonen f. Skriver så inn i inntstingsfeltet: f'(t)=derivert[ <Funksjon>, <Vriel> ]. Velger så funksjon som f og Vriel som t. 5.3 Løser oppgven i CAS: c Det vil si det er cirk 570 tøffeldyr ved tiden t=0. Bæreevnen finner som C=80. Antllet tøffeldyr er oppgitt i ntll tusen, og æreevnen er dermed 80 000 tøffeldyr. Løser oppgven i CAS: d Svret etyr t etter nøyktig 0 timer er økningen i ntll tøffeldyr cirk 7980 per time, eller vel 8000 dyr. 80 Grfen hr et vendepunkt når C = = 40. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Antll tøffeldyr vokser rskest etter 9,78 timer, ltså 9 timer og 47 minutter. 5.3 Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Logistisk. c, 5 Vi får funksjonsuttrykket Ft () =, der t er ntll år etter år 900. 0.66t +,8e Folketllet vil nærme seg en øvre grense på,5 millirder mennesker. Grfen hr et vendepunkt når Løser likningen Ft ( ) = 5, 75 i CAS. C, 5 = = 5,75. Aschehoug www.lokus.no Side 7 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Det vil si t folketllet øker rskest mot slutten v 995, like før 996. 5.33 Løser oppgven i CAS: Antll kterier etter 5 timer er 6, millioner. Løser oppgven i CAS: c Det er 8 millioner kterier etter 36,5 timer. Antllet kterier vil ikke nå 0 millioner siden funksjonens æreevne (horisontle symptote) er 9,5 millioner. 5.34 C f( x) = + e x Siden den vnnrette symptoten er y=65 vet vi t C=65. Løser resten v oppgven i CAS med punktene (0,5) og (6,5, 5,3). Aschehoug www.lokus.no Side 8 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 65 Funksjonsuttrykket lir f( x) =. 0,6x + 5.35 C f( x) = + e x Siden den vnnrette symptoten er y= vet vi t C=. Skjæringspunktet 0, gir oss likningen: 3 f (0) = 3 = 0 + e 3 = + 3 = ( + ) 3 3= + = At grfen går gjennom punktet (6,0) gir oss likningen: e Aschehoug www.lokus.no Side 9 v 6
Løsninger til oppgvene i ok + e f (6) = 0 6 = 0 6 ( e ) = 0 + = + e 0 6 6 = e 0 6 e = 0 6 = ln 0 6 = ln ln 0 6 0 3 3 = 6 = 0,5 Funksjonsuttrykket lir f( x) =. 0,5x + e 5.36 Løser i GeoGer med regnerk. Velger regresjonsnlyse og regresjonsmodell Logistisk. Aschehoug www.lokus.no Side 30 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c 85,3 Vi får funksjonsuttrykket ht () =, der t er ntll år etter år 900. 0.068t +, 3e Hun kn forvente t solsikken lir litt over 85 cm, siden y=85,3 er den horisontle symptoten til funksjonen. Vi løser oppgven grfisk ved hjelp v grfikkfeltet i GeoGer. Strter med å skrive inn funksjonen h i inntstingsfeltet. Skriver deretter inn: h'(t)=derivert[ <Funksjon>, <Vriel> ]. Bytter ut Funksjon med h og Vriel med t. Krysser så ut h(t), slik t det kun er grfen til den deriverte som er tegnet i grfikkfeltet. Velger så verktøyet Ekstremlpunkt fr menyen og klikker på grfen. Finner d punktet A. Vi ser t solsikken vokste rskest etter 38,6 dger, ltså den 39. dgen. 5.37 Løser oppgven i CAS. Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Vendepunktet hr koordintene ln C,. Finner stigningstllet til vendetngenten ved hjelp v CAS. Stigningstllet tilsvrer den deriverte v x-verdien til vendepunktet. Verdien lir C. 4 5.38 y-verdien til vendepunktet hr verdien C. Det gir oss denne likningen når vendepunktet hr y- verdi 0: C = 0 C = 0 Stigningstllet til vendetngenten er gitt ved til vendetngenten er 4: C = 4 4 0 = 4 4 0 = 6 6 = 0 4 = = 0,8 5 C. Dette gir oss denne likningen når stigningstllet 4 Aschehoug www.lokus.no Side 3 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Vi mngler re, som vi finner ved å sette lle opplysningene, inkludert vendepunktet inn i C funksjonsuttrykket på formen f( x) =. x + e C f( x) = + x e 0 0 = + 0,8 e 0 0 = +,6 e,6 ( e ) 0 + = 0,6 + e = e,6 = = e,6 = e e,6 ln 5 = 5 Vi får funksjonsuttrykket 0 f() t = 0,8t + 5 e. 5.39 C y-verdien til vendepunktet hr verdien. Vendepunktet er der funksjonen vokser rskest, og det gir oss denne likningen når vendepunktet hr y-verdi 35: C = 35 C = 630 Utgngspunktet (0, 30) gir oss likningen: f (0) = 30 630 = 30 0 + e 630 = 30 + 630 = 30( + ) = + = 0 At grfen går gjennom punktet (5, 35) gir oss likningen: Aschehoug www.lokus.no Side 33 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 630 + 0 e f (5) = 35 5 = 35 5 ( e ) 630 = 35 + 0 = + 0 e = 0 e 5 5 5 e = 0 5 = ln 0 5 = ln ln 0 5 0 3 3 = 5 = = 0, 5 630 Funksjonsuttrykket lir f() t =. 0,t + 0 e 5.40 Løser oppgven i CAS. Etter uker vr 8, % fullført. Grfen hr et vendepunkt når Løser likningen f( t ) = 50 i CAS. C 00 = = 50 c Det vil si t yggevirksomheten er størst etter 8 uker. Siden grfen vokser hele tiden, og veksten er symetrisk rundt vendetngenten vil det meste v reidet li utført 4 uker før og 4 uker etter vendepunktet. Altså fr uke 4 til uke etter yggestrt. Aschehoug www.lokus.no Side 34 v 6
5.4 Løsninger til oppgvene i ok Siden f( x ) er en god modell for utviklingen v dyreestnden kn vi nt t den fungerer kover i tid også. Siden gxskl ( ) vise den smme estnden, men strte 5 år tidligere lir strtverdien x 5. Derfor er gx ( ) = f( x 5). Setter inn uttrykket i oppgve. gx ( ) = f( x 5) 5.4 50 = + e 50 = + e 0,35 ( x 5) 0,35x +,75 50 = + e e 50 +, 5e 0,35x,75 0,35x Strter med uttrykket i oppgve og løser for N () t Aschehoug www.lokus.no Side 35 v 6
c N () t = C Nt () + e t Løsninger til oppgvene i ok N () t = t + e ( C Nt ()) C = t C+ e C = t C+ e ( C Nt ()) ( C Nt ()) = Nt () ( C Nt ()) C t Hvis t øker vil e gå mot 0. Videre vil e t gå mot 0 og nevneren vil gå mot, og hele utrykket vil gå mot C. For å forklre del v oppgven, omformer vi uttrykket for N () t litt. Nt () N () t = ( C Nt ()) C Nt () Hvis Nt () går mot C, vil røken, gå mot. Uttrykket for den deriverte går dermed C C Nt () når t lir stor. mot ( ) d Når () Nt nærmer seg C vil uttrykket for den deriverte gå mot ( C Nt ()) og den deriverte vil nærme seg null. Når N () t går mot null, vil Nt () h stigningtll lik null, dvs. flte ut. e Vi gjør igjen litt om på uttrykket fr oppgve () () () C N t = Nt Nt C C Nt () Når uttrykket for Nt () går mot null vil fktoren gå mot, og vi ender opp med C uttrykket N () t = Nt (). f Når Nt () er liten vil den dervierte følge smme kurveform som Nt (). Det vil si t veksten er tilnærmet eksponentiell. 5.43 På tidspunktet der 4000 husstnder hdde fltskjerm-tv vr veksten på 00, dvs. t N ( t) = 00. Tilsvrende på tidspunktet der 8000 husstnder hdde fltskjerm-tv vr veksten på 300, dvs. t N ( t) = 300. Setter opp to likningssett før vi løser dem i CAS. Aschehoug www.lokus.no Side 36 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c 5.44 A= g h = 0 = 0 Enheten er enheten på x-ksen multiplisert med enheten på y-ksen. s m = m s Arelet v treknten hr enheten meter, det vil si t relet må være en strekning. c Strekningen fr lkongen ned til plene er lik relet under grfen. Strekningen er 0 m. d Når relet under grfen lir 5, så hr kulen flt 5 m. Etter sekund hr kulen flt 5 m, fordi relet under grfen ved dette tidspunktet er gitt ved: 0 5 = Aschehoug www.lokus.no Side 37 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.45 c d 5.46, 3 7 7 0 f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx (3 + ) = = 5 (3 + 0) 6 = = 9 (4 + 3) = = 7 (3,5 + 0) 7 = =,5 c 3 g( x) dx Aschehoug www.lokus.no Side 38 v 6
Løsninger til oppgvene i ok d 3 (3 + 5) g( x) dx = = 8 5.47 Integrlet v gxeskriver ( ) relet under grfen. Når vi skriver under grfen fr x = til x=. g( x) dx etyr det relet c 5.48 Dette integrlet tr ikke hensyn til t hlve relet er under x-ksen Det siste v disse to integrlene tr ikke hensyn til t relet er under x-ksen og dermed lir negtivt. Aschehoug www.lokus.no Side 39 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 3 Dette er korrekt, første integrlet er relet over x-ksen som er positivt, ndre integret er relet under x-ksen som er negtivt som korrigeres for med minustegnet forn integrlet. 4 Her er fortegnet på egge integrlene gle 5.49 c Nei. Integrlet forteller hvor mye vnn som er igjen i mgsinet. De første 6 timene er det et tilsig på 000 liter vnn, mens de neste 0 timene renner det ut 7500 liter vnn. Dette er ikke nok til å tømme mgsinet. De påfølgende timene fylles mgsinet opp igjen. Endringen lir summen v integrlene. 0, + ( 7,5) + 5, 4 = 8, 0 Den totle endringen i vnnmgsinet er på 8000 L. Kl. 6 går det fr å renne vnn ut fr mgsinet til å renne vnn inn i mgsinet. 5.50 Det totle ilslget i løpet v de 4 månedene er på 750 iler. Det tredje rektngelet fr venstre representerer slget v iler i løpet v den tredje måneden, gitt t slget holder seg likt som på strten v måneden gjennom hele måneden. Aschehoug www.lokus.no Side 40 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Det tredje rektngelet fr venstre representerer nå slget i løpet v den tredje uken d 04 representerer ukene i løpet v de to årene. Summen v relet til de 04 rektnglene er 767. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c Arelet under grfen lir 77. Ser t summen v rektnglene nærmer seg integrlet når ntll rektngler øker. Aschehoug www.lokus.no Side 4 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.5 Plotter grfen og ruker kommndoen «Ekstremlpunkt[ <Funksjon>, <Strt>, <Slutt> ]». Anders regner med å selge flest softis etter 8 uker. Anders forventer å selge 68 softis den åttende uken. c Bruker kommndoen «Integrl[ <Funksjon>, <Strt>, <Slutt> ]». I løpet v hele sommeren forventer Anders å selge c 80 softis. Aschehoug www.lokus.no Side 43 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.5 3 y km km x = t = t y L L x = min = min y kg kg x = mnd = mnd x y = km t = km t x y = L min = L min 3 x y = kg mnd = kg mnd c 5.53 c 5.54 3 0 3 30 0 9 (3 x) dx = 3 3 = (3 x) dx = = c ( + ) 3 (3 x) dx = = v( t) dt = 30 0 = 50 Enheten til integrlet er m s = m. Gunnr hr syklet 50 meter på de første 30 s sekundene. 80 30 65 80 v() t dt = v() t dt + v() t dt + v() t dt 0 0 30 65 = 50 + 0 35 + 5 0 = 50 + 350 + 75 = 575 Gunnr hr syklet 575 meter på de 80 sekundene sykkelturen vrte. Aschehoug www.lokus.no Side 44 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.55 5.56 Siste innskudd: 5 000 Nest siste innskudd: 5 000, 0 Tredje siste innskudd:... Første innskudd: Dette er en geometrisk rekke. 5 000,0 7 5 000,0 n n = k n = 5 000,0 n k S = k 8, 0 = 5 000, 0 8745 Etter det 8. innskuddet hr Bill c. 9 000 kr på kontoen. I oppgve c le summen v de 8 innskuddene lgt smmen. Dette er tilsvrende vi gjør for integrlet, der vi summerer opp relet under grfen. c 8 d Aschehoug www.lokus.no Side 45 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Det tilnærmede eløpet lir c. 30 000 kr. 5.57 Personen lir utstt for c 6300 stråleenheter over de 30 dgene. 5.58 Iskremslget vr størst etter 0 uker. Aschehoug www.lokus.no Side 46 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Tilsmmen i de ukene le det solgte c. 80 is. 5.59 c De første 0 sekundene fller sehopperen c. 340 meter. Aschehoug www.lokus.no Side 47 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.60 Totlkostnden øker med 0 500 kr fr produksjon v 00 vrer til produksjon v 400 vrer. c Fr oppgve lir kostnden ved produksjon v 400 enheter 50 500 kr. 0 500 + 400 000 = 50 500 5.6 C. 80 personer lir smittet i løpet v de fem første dgene. c C. 630 personer lir smittet i løpet v de to første ukene. d C. 330 personer lir smittet i løpet v den ndre uken. Det tr c 0 dger før 800 personer er smittet. Aschehoug www.lokus.no Side 48 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.6 5.63 3 3 0 3 0 3 f ( x) dx = 4,5 f ( x) dx = f ( x) dx = 4,5 + = 7,5 f ( x) dx = A + A = A A Regner ut relet under grfen. 00 + 300 300 + 00 A = + + 00 4 = 300 Setter inn i uttrykket for gjennomsnittlig konsentrsjon. T 8 K() t dt K() t dt T = 8 0 0 = 300 8 = 6,5 Krvet i reidsmiljøloven le ikke oppfylt denne dgen. 5.64 Finner først nullpunktene til funksjonen, deretter integrerer mellom nullpunktene. Aschehoug www.lokus.no Side 49 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.65 Årlig rente er på %, d lir månedsrenten på % = % =. 6 600 De siste eløpet Ktink setter inn får hun ikke renter på: 00 Det nest siste eløpet får hun en måneds rente på: 00 + 00 = 0 600 Den tredje siste eløpet får hun to måneds rente på: 00 + 00 = 04 600... Den første eløpet får hun elleve måneds rente på: 00 + 00 = 600 Dette er en ritmetrisk rekke, der d =. Bruker summen v en rtimetrisk rekke. + S = 00 + = = 4 53 Ved inngngen til det nye året hr Ktink c 4 500 kr på kontoen. c Funksjonen må være lineær siden eløpet øker med to for hver måned. f( t) = 00 + t Aschehoug www.lokus.no Side 50 v 6
Løsninger til oppgvene i ok d Ved strten v det nye året hr Ktink c. 4 500 kr på kontoen. 5.66 Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Det vr netto tilsig lik null etter,9 døgn, 7,8 døgn, og 4,9 døgn. c Siden relet under grfen i perioden 7,8 til 4,9 døgn er større enn relet under grfen i perioden,9 til 7,8 døgn er det størst vnnmengde i mgsinet etter 4,9 døgn. Det er 3,4 m 3 mer vnn i mgsinet enn det vr ved t = 0. d Det er minst vnn i mgsinet etter 7,8 døgn for d hr det minket siden,9 døgn. Det er,0 m 3 mindre vnn i mgsinet enn det vr ved t = 0. Aschehoug www.lokus.no Side 5 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.67 c d e 0 0 f ( x) dx g( x) dx = 96 4 4 4 = 7 Dette er relet mellom de to grfene. Aschehoug www.lokus.no Side 53 v 6
Løsninger til oppgvene i ok 5.68 Aschehoug www.lokus.no Side 54 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Integrlet viser ntll fødte minus ntll døde, som igjen viser efolkningsveksten i perioden jnur 009 til og med desemer 00. Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve Enhet for y-kse Enhet for derivert = Enhet for x-kse m m/s= s Enheten på y-ksen er meter. c Enhet for rel under grf = Enhet for x-kse Enhet for y-kse Kffekopper Antll kffekopper = Dger Dg Enheten på x-ksen er dger. Enhet for rel under grf = Enhet for x-kse Enhet for y-kse L L = s s Enheten på x-ksen er sekund, enheten på y-ksen er liter per sekund, og enheten for relet under grfen er liter. Aschehoug www.lokus.no Side 55 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Oppgve f() = = 600 4 f(4) = = 75 3 = 75 3 600 = 75 3 75 = 600 3 = 8 = = 600 = 600 = 00 Uttrykket er f( x ) = 00 0,5 x. Oppgve 3 Bæreevnen er gitt ved C -leddet, og er på 30 villsvin. Strter med å ruke strtetingelsen for å finne verdien til. 30 f (0) = 0 + e 30 0 = + 0 + 0 = 30 0 = 300 = 5 Finner verdien til ved å sette inn ntllet villsvin etter 9 år. Aschehoug www.lokus.no Side 56 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4 c + e = 30 f (9) = + 5 e 30 60 = + 5 e 9 60 400 30 e = 9 400 60 e e 9 = = 5 9 ln ln 5 9 9 9 = ln ln5 9 = ln5,7 9 0,3 Funksjonsuttrykket lir 30 f() t 0,3t 5e. Mri rukte to sekunder på å oppnå toppfrten. A = q + 6,5 q = 7,5q 60 = 7,5 q 60 q = 7,5 = 8 Toppfrten til Mri er 8 m/s. Oppgve 5 Vi setter ntll liter vnn i ssenget ved strten til å være x. Vi får vite t etter min er det fire gnger så mye vnn i ssengen, det vil si t vnnmengden må øke med tre gnger x. Etter t minutter er ntll liter vnn i ssengen gitt ved Lt () = x+ 3x t Vi vet t etter tre minutter er det 50 L vnn i ssenget. L(3) = x+ 3x 3 50 = 0x x = 5 Setter inn i uttrykket for Lt () og får den lineære modellen Lt ( ) = 5 + 45t. Aschehoug www.lokus.no Side 57 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Del Med hjelpemidler Oppgve 6 Vi ser t Gt () vtr sktere ettersom t øker. Dette tilsvrer en eksponentiell vekst. I tillegg er stråling til et rdioktivt mterile vhengig v hlveringstiden som er en eksponentiell funksjon. Bruker regresjonsnlyse. c Den eksponentielle funksjonen som psser est til dtene er Gt ( ) = 460 0,86 t Skriver inn uttrykket i CAS og regner ut den deriverte. Aschehoug www.lokus.no Side 58 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Etter to timersynker strålingen med c. 90, og etter fem timer synker strålingen med c. 0. d Regner her ut endringen fr G() til G(3) og endringen fr G(5) til G (6). e Begge endringene er på 7,4 %. Oppgve 7 Det vil t c 3,6 timer før strålingen er hlvert. Siden det er 840 mennesker over 7 år, og lle vil vite om ryktet til slutt, må C = 840. Ved strten er det de 0 personen på festen som kjenner til ryktet, det vil si t f (0) = 0. 840 f (0) = 0 + e 840 0 = + 0 + 0 = 840 0 = 830 = 83 c Etter 3 dger hr lve ygd hørt ryktet, d lir f (3) = 40. Setter opp uttrykket i CAS. Aschehoug www.lokus.no Side 59 v 6
Løsninger til oppgvene i ok d Skriver inn den fullstendige funksjonen i CAS, og finner toppunktet til den deriverte. Oppgve 8 D ryktet spredde seg rskest vr det c. 7 personer som fikk høre om ryktet. Arelet er 4,5 når =,5. Aschehoug www.lokus.no Side 60 v 6
Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 9 Skriver inn funksjonen i CAS og finner toppunktet. Kn også finne toppunktet til funksjonen i grfvinduet. Økningen v ntll smittede er størst etter 5 dger. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 6
Løsninger til oppgvene i ok c d Leser v skjæringen mellom linjen y = 0,5 og funksjonen s t ulikheten hr løsning t > 35 Siden ntllet nye smittede er 0,5 etter 35 dger vil det etter dette ikke li flere smittede fordi vrundet lir 0, 49 0. Vi kn dermed si t epidemien vil vr i c. 35 dger. Siden vi fr forrige oppgve vet t epidemiden vrer i c. 35 dger kn vi regne ut integrlet for denne perioden i CAS. C. 470 personer vil li smittet totlt. Aschehoug www.lokus.no Side 6 v 6