Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer. Fktorisering er å lge fktorer. Hv en fktor er? Fktorer utgjør et produkt. Vi multipliserer smmen fktorene for å få produktet. Et eksempel er: fktor fktor = produkt 3 5 = 30 Nå lir oppgven vår å lge fktorer. Det er ikke produktet vi skl nne, men fktorene. Oppgven lir den omvendte. produkt = fktor fktor Eller: 30 = 3 5 Hvorfor skl vi fktorisere? En viktig nvendelse v fktorisering er innfor kryptering. Sikkerheten i dtverdenen vhenger v t det er vnskelig å fktorisere store tll. Den som kn nne opp en ny og revolusjonerende lgoritme for fktorisering kn 1
enten li en erømt mtemtiker eller en rik svindler. Ingen v de to skl være målet i dette fget. Når vi ønsker å nne fktorer kn det være for å forkorte i røker eller for å løse ulikheter eller likninger. D vil det oppstå et ehov for å skrive om uttrykk som fktorer. Når vi skl fktorisere er det ere metoder vi kn enytte. Hvilke skl vise på her. 3 Enkel fktorisering I noen tilfeller kn vi fktorisere direkte ved å se hvilke fktorer som inngår i et uttrykk. Vi strter enkelt med å fktorisere et helt tll Fktorisering v et tll Noen eksempler. 6 = 3 4 = 3 100 = 5 5 1066 = 13 41 Når vi fktoriserer tllene vil fktorene være primtll. Tll kn også skrives med vriler. Til det enytter vi okstver. D kn vi fktorisere slik 4 = = 10 x 3 y = 5 x x x y y D skl vi se på fktorisering hvor vi hr ere ledd. Fktorisering v enkle uttrykk med ere ledd I uttrykk med ere ledd skl vi legge smmen eller trekke fr leddene. Her er noen eksempel på erledd uttrykk. }{{} 6 + }{{} 4 ledd }{{} ledd ledd + 3 }{{} ledd
L oss prøve å fktorisere de to uttrykkene. Det første, 6 + 4, er en nnen måte å skrive 10 på. D vet vi t uttrykket kn fktoriseres til 5. Vi kn se t det stemmer når vi fktoriserer hvert ledd og setter felles fktorer utenfor en prentes. 6 + 4 3 + (3 + ) Det står 10 der også, så det stemmer. I fktoriseringen er det viktig å huske den distriutive loven. L oss se litt mer på den. Figuren under viser et rektngel med rel 10. Lengden v sidene er og 5. Sid som er 5 er delt i to deler, en del er 3 og en. Arelet er produktet v de to sidene. Nå kn vi se t den distriutive loven stemmer. (3 + ) = 3 + Vi kn lge gur uten å si noe om lengden v sidene og lengdene i de to delene. D lir guren slik: 3 3 Vi kn vise det smme med terninger. Ser vi føst på (3 + ), så står det to gnger innholdet i prentesen, eller (3 + ) + (3 + ). Slik kn vi tenke oss det smme med terninger. 5 + Vi ender også opp med smme ntll øyne om vi setter opp terningene som 3 +. Det kn vi gjøre slik: + Terningene og relet kn forklre den distriutive loven i dette tilfellet. Vi kn forklre t det smme gjelder unsett hvilke tll i et generelt tilfelle. 3
c c Figuren viser t: + c ( + c) = + c Den distriutive loven er viktig når vi fktoriserer. D tr vi for oss det ndre uttrykket. + 3 + 3 ( + 3) Legg merke til t det først er i siste linje vi hr fktorisert hele uttrykket. I ndre linje hr vi re fktorisert de enkelte leddene. Først når vi står igjen med to fktorer, og ( + 3), hr vi fktorisert hele uttrykket. Vi kn t med et eksempel til. L oss fktorisere uttrykket: 9 x 3 x. Det kn vi gjøre slik. 9 x 3 x 3 3 x x 3 x fktoriserer leddene 3 3 x x 3 x nner felles fktorer 3 x (3 x 1) setter utenfor prentes 4 Kvdrtsetningene De tre kvdrtsetningen skriver vi slik. ( + ) = + + (1) ( ) = + () = ( ) ( + ) (3) 4
1. kvdrtsetning Den første kvdrtsetningen er summen v et kvdrt. ( + ) = + + Benytter vi den distriutive loven kn vi vise t denne setningen stemmer. ( + ) ( + ) ( + ) + + + + + + + + Det smme kn vi vise ved å se på relet til et kvdrt med sider +. + +. kvdrtsetningen Den ndre kvdrtsetningen er det dierensen som kvdreres. Vi kn regne ut og vise t den stemmer. ( + ) = + + Benytter vi den distriutive loven kn vi vise t denne setningen stemmer. ( ) ( ) ( ) 5
+ + + Det smme kn vi vise ved å se på relet til et kvdrt med sider. ( ) Kvdrtet over hr sider med lengde. På hver side er lengden mrkert. Lengden v resten v sidene lir d. Arelet v hele kvdrtet er. For å nne relet v kn vi t relet v hele det store kvdrtet. Nå må vi trekke fr dette relet som er : Vi trekker også fr dette relet, som også er : D hr vi trukket fr to gnger. Vi må legge til for å komme fr til relet v kvdrtet med side. Det forklrer t ( ) = + 6
3. kvdrtsetning Den tredje kvdrtsetningen forklres nok enklest ved t vi regner ut og viser t den stemmer lgerisk. ( )( + ) + Vi kn vise det med reler også, men det er litt mer innviklet enn med de to forrige tilfellene. L oss llikevel prøve og vi tr utgngspunkt i denne guren. Vi ytter relet over det røde kvdrtet og ender opp med denne guren. + 7
Det grønne relet er( )( + ) Vi hr t = ( + )( ) Et nnet lterntiv er å se på guren under. Arelet med denne frgen viser relet v ( )( + ) Vi kn nne det relet ( + )( ) ved å t relet og trekke fr relet med frgen. Vi må legge til relet som er rmmet inn slik:. D ender vi opp med et rel som er litt for stort. Vi må trekke fr relet med frgen. J, det er litt komplisert, men ruk litt tid på guren. Fktorisering med kvdrtsetningene Du hr du knskje enyttet til å regne ut kvdrtene, men når vi skl fktorisere kn vi enytte kvdrtsetngene "ndre veien". Ser vi et uttrykk som + + kn vi skrive om det til ( + ). Fktorisering med kvdrtsetningene lir derfor å ruke setningene omvendt, fr venstre mot høyre. + + = ( + ) + = ( ) = ( )( + ) L oss se på et eksempel hvor = 3 og = 7: 3 + 3 7 + 7 = (3 + 7) 8
Som regel vil vi fktorisere erledd uttrykk, polynom, med en ukjent, x. Et eksempel på det er dette: x x + 1 = x x 1 + 1 = (x 1) Kjenner du igjen den ndre kvdrtsetningen? I eksemplet over er = x og = 1. + = ( ) Legg merke til mønstret i uttrykket som fktoriseres. Det må være på formen. + + Bytt ut med ett tll og med et nnet tll. Alle ndregrdsuttrykk som kn fktoriseres ved de to første kvdrtsetningene kller vi fullstendige kvdrter. Alle fullstendige kvdrter er på formen over(tegnene) Noen eksempler: x + 8x + 16 = x + x 4 + 4 = (x + 4) x + 14x + 49 = x + x 7 + 7 = (x + 7) x 14x + 49 = x x 7 + 7 = (x 7) x + 6x + 9 = x + x 3 + 3 = (x + 3) Et uttrykk med litt større tll er dette: x + 5307546x + 70417378473059 = (x + 653673) Greier du å se t fktoriseringen stemmer? Andregrdsuttrykkene vi vil enytte i dette kurset kn vi generelt skrive som x + x + c. For å sjekke om et ndregrdsuttrykk er et fullstendig kvdrt må vi se om c = ( ). Bre d er hr vi et fullstendig kvdrt. L oss se hvordn vi kn vise t det er sånn. 9
x + x + c ersttter c = ( ) ( ) x + x + Skriver om ( ) ( ) x + x + ( x + ) Vi ser mer på hvordn dette stemmer i eksemplene over. x x + 1 Her er =. Så regner vi ut ( ). D får vi ( ) = ( 1) = 1. I uttrykket ser vi t også c = 1. Det etyr t c = (. ) Dette er derfor et fullstendig kvdrt og vi kn fktorisere. x x + 1 = x x 1 + 1 = (x 1) Ok, her vr det knskje enklere å se direkte v uttrykket? Vi kn se på noen ndre fullstendige kvdrt. uttrykk x x + 1 x + 8x + 16 8 x +14x+49 14 x 14x+49 14 ( ( 8 ( 14 ( 14 ( ) ( c ) = c? ) = 1 c = 1 ) = 16 c = 16 ) = 49 c = 49 ) = 49 c = 49 Hv med det stygge uttrykket: x +53 07 546x+704 173 784 730 59? Jo, her er ( ) ( ) 53 07 546 = = 704 173 784 730 59 og dermed lik c = 70417378473059. D er også det et fullstendig kvdrt. Knskje vi skl t med noen eksempel hvor det ikke er tilfelle? Se her. 10
uttrykk x x + 3 x + 4x + 16 8 ( ( 4 ( ) ( c ) = c? ) = 1 c = 3 ) = 4 c = 16 Slik kn vi nne ut om vi det er fullstendige kvdrt. Nvnet fullstendig kommer fr geometrien og vi kn se på noen gurer som forklrer ordet og de utregningene vi hr gjort så lngt. Vi strter med x + x x x x + x Vi deler opp relet x i to deler. Så ytter vi det ene. x x x Setter vi dette smmen kn vi se t vi mngler ett kvdrt for t hele guren skl li et kvdrt. Det lille kvdrtet vi mngler er et kvdrt med sidene. 11
x x x Det guren viser er t hvis det siste leddet, som vi hr klt c er ( ), så hr vi et fullstendig kvdrt. 5 Fullstendige kvdrters metode Hv om vi hr et ndregrdspolynom som ikke er et fullstendig kvdrt? D går det n å prøve å lge seg et fullstendig kvdrt og så prøve å fktorisere. Det klles fullstendige kvdrters metode. L oss se litt på hvordn vi kn gjøre det. Vi ser på ndregrdspolynomet x x 3 Her ser vi t ( ) = 1 og t c = 3. Nei, d er det ikke et fullstendig kvdrt. Skulle det vært det måtte c = 1. Vi kn skrive om slik t deler v uttrykket lir et fullstendig kvdrt: x x + 1 } {{ } fullstendig kvdrt + 1 }{{} trekker fr det vi l til Det står fktisk det smme som vi hdde i utgngspunktet: x x 3 siden 1 1 = 0. D fortsetter vi med uttrykket vi hdde og regner litt videre. 3 x x + 1 1 3 = x x + 1 4 Det fullstendige kvdrtet kn vi fktorisere: x x 1 + 1 = (x 1) D hr vi: (x 1) 4 1
Vi skriver om det siste leddet og får: (x 1) Virker dette kjent? Er det ikke den tredje kvdrtsetningen? Det er knskje ikke så lett å se, men legg merke til t uttrykket er på formen I vårt tilfelle står det: (x 1) Den kn vi ruke til å fktoriser. (x 1) = ((x 1) + )((x 1) ) D ender vi opp med disse fktorene: (x + 1)(x 3) Vi hr fktorisert uttrykket og funnet ut t: x x 3 = (x + 1)(x 3) Dette er ikke enkelt og vil nok kreve t du ser på det en del gnger. Knskje et eksempel til vil hjelpe? D ser vi på: x + 8x + 1 Det er heller ikke et fullstendig kvdrt. Her er = ( 8 ) = 16 og c = 1. D lger vi et fullstendig kvdrt og gjør det på smme måten som sist. x + 8x + 1 x + 8x + 16 } {{ } fullstendig kvdrt (x + 4) 4 (x + 4) 16 + 1 ((x + 4) )((x + 4) + ) (x + )(x + 6) 13