LATVIJAS REPUBLIKAS 37. OLIMPIĀDE

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "LATVIJAS REPUBLIKAS 37. OLIMPIĀDE"

Torvald Olsen
5 år siden
Visninger:

1 Mterāls ņemts o grāmts: Adžās Ags Bērzņ A Bērzņš Avrs "tvjs Repulks 6-5 mtemātks olmpādes" ATVIJA REPUBIKA 7 OIMPIĀDE ATRIINĀJUMI 7 Peņemsm pretējo Td vsem dskrmtem jāūt egtīvem t < < < No prmjām dvām eveādīām seko k > 0 u > 0 rezot tās u sīsot s puses r egūstm < ks r pretruā r trešo eveādīu 7 Novelkm CE AB (skt 7 zīm) B C A E D 7 zīm Td ABCD r roms Tā kā DE DA AE DA BC CD td BDC r veādsāu trjstūrs Apzīmējm CAE u pkāpesk egūstm BAC BCA ABC 80 ACE AEC 80 CED ECD EDC 80 4 Tā kā ACD r veādsāu trjstūrs td CDE CAD Tātd 80 4 u 6 Tāpē trpees leņķ r ) kt 7 zīmējumu

2 7 zīm ) dlām kvdrātu kvdrātos r zmērem 6 6 u ktru o tem sgrežm stūrīšos kā eprekšējā gdījumā Pē tm plūkojm 9 puktus kuros sveojs 4 kvdrāt 6 6 Ktrā o tem grezumus zmām tā kā prādīts 74 zīmējumā 74 zīm 74 dlām regulāro trjstūr r mls grumu vrākās dļās (skt 75 zīm) B Q R N P M A U T C 5 75 zīm Ar trjstūr T zmām krāsu trjstūrem APU MPU BQR NQR CT T; r trjstūr T 5 zmām krāsu trjstūrem PQ RM u UNT Rezultātā vss trjstūrs ABC kļūs mels jo vsem pglem zņemot MN krās mīt veu rez et pglm MN trīs rezes Vēl j epeešms jāpārkrāso tsevšķ ogrežņ u pukt

3 75 J td 4 v turāl sktļ kvdrāts J td 44 J td J > td sktļ pēdēje pr r 4444 u ts dlot r 6 dod tlkumā Vegl pārudīt k turāl sktļ kvdrāts pē moduļ 6 edod tlkumu 76 Pārvedojot egūstm AA BB AB BC CD BC CD DE EA 5 CC DD r ( AB BC CD DE EA) 0 EE AB EA AB DE CD DE BC EA 77 ) Peņemsm k roež lm eksstē u r veād r Td pārejot uz roežu veādīā lm( ) 0 egūstm 0 0 ) Prsīts pgls ttēlots 76 zīmējumā π Y 0 π 76 zīm 78 Fgūrs lukumu pzīmēsm r [ F ] Td (skt 77 zīm) [ ACE] [ ABCDEF ] [ ABC] [ CDE] [ AFE] [ BDF ] [ ABCDEF ] [ BCD] [ DEF] [ FAB] Trjstūru ABC u FAB lukum r veād jo tem r kopīgs pmts AB u veād ugstum (Attālum strp prlēlām tsēm AB u FC) īdzīg perād k [ CDE ] [ DEF ] u [ ] [ FAB] [ ACE ] [ BDF ] AFE No šejees seko prsītā veādī

4 B C A D F E 77 zīm 79 Idettāt perād pkāpesk kostruējot veādīs ljā u kresjā pusē f grfku egūst tspoguļojot pret O esošo fukju grfkus Aterēsmes ( ) s smetrsk to fukjs f ( ) grfk dļu ks trods zem O ss 70 Iekrāsosm šh dēlīt tā kā prādīts 78 zīmējumā 78 zīm Fgūr vr o ltā luņ pārvetotes tk uz lto u o melā tk uz melo ākumā uz meljem luņem trods tk fgūr Augšējā kresjā stūrī r mel luņ ugšējā ljā 4 Ts ozīmē k prsīto evrēsm zpldīt e veā e otrā gdījumā 6 Pārvedojot egūstm s s s 5 s 7 ( s s 7) ( s s 5) s 4 os s 4 os s ( os os ) 4os os s 4 6 Izdrām svēršs: ) u kpeku moēts slīdzām r 5 kpeku moētu ) u kpeku moēts slīdzām r kpeku moētu 4

5 J kādā o svēršām svr trods līdzsvrā td vltot r tteīg esvērtā moēt Pārudām k rī vsos pārējos 4 gdījumos vr veozīmīg otekt vltoto moētu 6 Apzīmēsm AD vduspuktu r E (skt 79 zīm) B C F N M G X A E D ME r trjstūr ACD vduslīj tāpē 79 zīm ME CD īdzīg EN AB Tā kā AB CD td ME EN u MEN r veādsāu trjstūrs Tātd NME MNE Tā kā ME CD td NME XGD DGX NGC kā krustleņķ Tāpē NME NGC īdzīgā vedā egūstm k MNE BFM Tāpē BFM MNE NME NGC ks rī j jāperād 74 Doto polomu pārvedosm formā ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( d ) d J vetā evetojm sktl ks pārsedz td vs ssktāme r eegtīv et prms poztīvs Poztīv r rī to summ Tātd dotjm veādojumm v skņu ks lelāks pr 75 Ar Z pzīmēsm zēu ks dejojs r vsvrāk meteēm Ar M pzīmēsm jekuru mete ks v dejojus r Z Metee M otekt r dejojus r kādu tu zēu Z Meteņu skts r kurām r dejojs Z r e mzāks pr meteņu sktu r kurām dejojs Z Tā kā Z r dejojs r M et Z ē td eksstē metee M r kuru Z r dejojs et Z v Še četr skolē tlst uzdevum osījumem 76 Ar ekvvletem pārvedojumem pārvedojm doto eveādīu 5

6 os ( β ) os os β os os β s s β os os β ( os ) ( os β ) s s β 0 Šī eveādī zpldās jo u β r šur leņķ 77 Peņemsm pretējo k rņķ līj epeskrs eve 987-stūr ml Td dudzstūr vrsote A trods ārpus rņķ lījs Tā kā rņķ līj krusto mlu A A td vrsote A trods rņķ lījs ekšpusē īdzīg -- A trods ārpus rņķ lījs et A4 trods rņķ lījs ekšpusē Šād turpot egūstm k A 987 trods ārpus rņķ lījs et A trods rņķ lījs ekšpusē Iegūt pretru ks perād k uzdevum pglvojums r prezs 78 ) Ar ktru gājeu eosvītroto sktļu skts smzās pr veu Tātd r zdrīt 986 gāje Pe dotjem 987 veekem tātd perkstīt vēl 986 sktļ Kop uzrkstīt sktļ ) Neosvītroto sktļu summ vsu lku plek emīg Tātd pēdējs sktls r 987 ) Vsu uzrkstīto sktļu summ r Prsīto dudzskld egūst o regulār oktedr mzlet oīdot tā vrsotes l plke vrētu šķelt vss tā skldes Tādā gdījumā šķēlums ūs stoņstūrs 70 dlām skolekus klos A A A A Bultņ A B ozīmē k B uzvls A epur Atlek perādīt k ktrm šādm klm dvās deās espējms tgrezt epures svem īpšekem 7 Novelkm N AB (skt 70 zīm) C M B A D K N 70 zīm 6

7 7 No smetrjs pret ogrežņ MN vdusperpedkulu seko k K CD J mēs perādīsm k ABK r prlelogrms prsīts ūs perādīts Tā kā AM KN td AKNM r rņķī evlkt trpee; tāpē tā r veādsāu u MAK AMN īdzīg perād k BN MN Tā kā MN AMN td BN MAK Ņemot vērā šo veādīu u to k četrstūr ABK mls AB u K r prlēls seām k ABK r prlelogrms Prsīts perādīts 7 Apzīmēsm ( ) ( ) ( ) Td 0 ko rī vjdzēj perādīt 7 Izvēlmes ptvļīgu rūtņu A u psktām tās 5 rūtņs ks trods veā rdņā v veā koloā r A Izpldām 5 tļutās mņs r etrem šjās 5 rūtņās Vegl pārudīt k rezultātā krāsu mīs tk rūtņ A Tā kā vr mīt ptvļīgs rūtņs krāsu td vr egūt rī ptvļīgu krāsojumu 74 Trjstūrī evlktās rņķ lījs rāduss r m Novelkm ur tās etru tses t t t prlēl trjstūr mlām (skt 7 zīm) kdrs k esvītroto prlelogrmu lukumu summ mzāk pr trjstūr lukumu t pr 00 m Uzdevum osījumos mētās tses m m m tšķeļ melos prlelogrmus ks r eturtdļ o tlstošjem esvītrotjem prlelogrmem; tātd to lukumu summ r mzāk pr 5 m

8 m t m t m t 7 zīm 75 Prms spēlētājs vr uzvrēt zvēlotes šādu strtēģju Ievērojot k sākotējs kmeņu skts edlās r 6 ktrā gājeā vņš tņem 4 v 5 kmeņus tā l tlkušs kmeņu skts dlītos r 6 Pē otrā spēlētāj kārtējā gāje tlkušo kmeņu skts tkl edlīses r 6 jo vņš evr tņemt 6k kmeņus (6k v prmsktļ pkāpe jo 6k dlās r u ) Rezultāt pēdējo kme pņems prms spēlētājs 76 J u dv ogrežņ kuru grum epārsedz td plūkosm tādu ogrežņu vduspuktu kopu kurem ves glpukts peder et otrs glpukts peder Arī r ogrezs kur grums r u tātd epārsedz Tātd M vr pārklāt r 5 sākotējem ogrežņem u 0 ogrežņem ks tlst šo peu ogrežņu pārem (to svstrpējo vduspuktu kopām) 77 Vsprms perād k trjstūr ks trods pe pestūr mlām r līdzīg u pē tm k te r veād 78 Aplūkosm dvus gdījumus ) A v turāl sktļ kvdrāts Td A stur kādu prmsktl p epār pkāpē k r Petekm lelem sktls! dlās r k p et edlās r k p ) A r turāl sktļ kvdrāts sktls! dlās r veādīu r ( k k k egūstm k p Ts ozīmē k A u evr ūt turāl sktļ kvdrāts k m ) Bet m ( mod)! dlās kur m edlās r Petekm lelem J zpldītos veādī! A td zdlot šo! l m kur u m edlās r k edlās r 79 Pkāpesk perād šādus pglvojumus 8

9 9 ) ākot o vrke r edlstoš ) Tā r eroežot o ugšs r sktl ) Tās roež r 70 Aplūkojm ptvļīgu trjstūr XYZ stāvokl (7 zīm) X C Z A Y B 7 zīm Ievērosm k ( ) ABC 80 et YXZ 60 Tāpē 80 YXZ ABC Tātd p četrstūr YXZB vr pvlkt rņķ līju Tā kā hords XY u XZ r veāds td leņķ XBY u XBZ r veād Tātd pukts X trods uz leņķ ABC sektrses Tātd X prkst fgūru ks sstāv o veādem ogrežņem r kopīgu glpuktu O Nogrežņ trods uz tsēm ks sveo O r -stūr vrsotēm 7 Vsprms perād k strs tspoguļojotes o trjstūr mlām vr et tk 6 vrzeos Tātd o mētjām 7 rezēm strs vsmz dvs rezes ur puktu O gāj veā u tjā pšā vrzeā Tātd kustī r perodsk u strs ur puktu O es vēl ezglīg dudzs rezes 7 Apzīmēsm -tā posm projekju grumus uz koordātu sīm r z et projekju grumus koordātu plkēs r ; pš posm grums r l Td ( ) ; z l z z Tāpē ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 l l ummējot šīs eveādīs vsem egūstm 6 l

10 Šādu tteīu vr egūt pemērm slēgt luzt līj ks sveo puktus (0 0 0) ( ) ( 0) ( -) ( 0 -) ( - -) 7 Apzīmēsm 987 r p ( p r prmsktls) Aplūkosm dotjā summā loekļus ks trods veādā ttālumā o summs glem ( )( ) ( p )( p )( p ) ( p ) ( p ( ) )( p ( ) ) ( )( ) ( )( )( p )( p )( p ) ktītāj tverot ekvs ( )( ) sīsās; tātd sktītājs dlās p Šs p esīsās r suēju jo p r prmsktls et suējā vs rezātāj r mzāk pr p sktot k šāds dļs rī rezultātā sktītājs dlās r p u rezātājs p esīsās (jo kopsuējā vs rezātāj mzāk pr p) 74 Puktus tā vr zkrāsot Apglvojumu perād r mtemātsko dukju pē puktu skt 75 Apzīmēsm vrsotēs erkstītos sktļus r A B C D E Aplūkosm lelumu ( A C) ( B D) ( C E) ( D A) ( E B ) Pārudām k operājs rezultātā šs lelums smzās Tā kā r vesels eegtīvs sktls td ts evr pmzātes ezglīg lg Tātd psktāms proess evr turpātes ezglīg 0

Like dokumenter

!"#$%& ' & (!"#$%"&' "# " %! ' &% "% (("'%)* +" ', -.%/ "+ 0% # 1/+" $" % "+"." %! $( - '+% " )*#+,-./ !"# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? #

!#$%& ' & (!#$%&' # %! ' &% % (('%)* + ', -.%/ + 0% # 1/+ $ % +. %! $( - '+% )*#+,-./ !# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? # !"#$%& ' & (!"#$%"&' "# " %! ' &% "% (("'%)* +" ', -.%/ "+ 0% # 1/+" $" % "+"." %! $( - '+% " )*#+,-./01 23 4567 -!"# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? #@A)BCDE 2 - )*+ ',-. / 01 55 6 FGH IJ 23K 7 6 LM -