SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd.

Transkript

1 SALG > KOSTNAD 20x > 10x Dersom den venstre siden er større enn den høyre, vil den fortsette å være det dersom vi adderer/subtraherer samme tall til/fra begge sidene Fra kapitlene om ligninger vet vi at vi kan addere/subtrahere et tall til/fra begge sidene ved å flytte tallet fra en side til den andre samtidig som vi skifter fortegn. Vi bruker dette til å forandre ulikheten slik: 20x > 10x x 10x > 1000 Vi flytter verdien (tallet) 10x fra den høyre til den venstre siden og skifter fortegn. 10x > 1000 Vi innser at x må være større enn 100 for at 10x skal være større enn Det samme kommer vi fram til hvis vi dividerer begge sidene på 10: 10x 1000 > x > x > 100 Salget (20x) er større enn kostnadene (10x ) når det produseres og selges mer enn 100 produkt (når x > 100). Dermed har vi det svaret vi er ute etter. SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd.

2 10x < 1000 Her må x være større enn hundre (x > 100) for at 10x skal være mindre enn 1000, men dersom vi løser ulikheten helt som en førstegradsligning, går det slik: 10x < 1000 : ( 10) 10x 1000 < x < 100 Dette er feil! Rett løsning er x > 100. Det betyr at vi får følgende spesialregel for ulikheter: Dersom vi multipliserer/dividerer begge sidene i en ulikhet med/på en negativ verdi, må vi snu ulikhetstegnet slik: < byttes med > > byttes med < byttes med byttes med Vår ulikhet skal følgelig løses slik: 10x < 1000 : ( 10) 10x 1000 < Vi dividerer på en negativ verdi og må snu ulikhetstegnet x > 100 x > 100

3 Ulikheter av andre grad Et andregradspolynom på formen a + bx + c kan faktoriseres dersom b 2 4ac > 0 Da er a + bx + c = a(x x 1 )(x ) x 1 2 b b 4ac = x 2a 2 b b 4ac = + 2a x 12 < 0 2()() < 0

4 2 + 2x 12 < 0 2()() < 0 Sluttlinjen forteller oss at 2 + x 6 er en positiv verdi når x < x 6 er lik 0 når x = x 6 er en negativ verdi når 3 < x < x 6 er lik 0 når x = x 6 er en positiv verdi når x > 2 At en verdi er negativ, betyr at den er mindre enn 0, og dermed har vi løsning på den andregradsulikheten vi startet med. 2 + x 6 < 0 når 3 < x < 2 Totalt har vi fått vite at 2 + x 6 < 0 når x > 3 OG x < x 6 0 når x 3 OG x x 6 > 0 når x < 3 ELLER x > x 6 0 når x 3 ELLER x 2 3 < x < 2 3 x 2 < 3,2> [ 3,2] <, 3 <, 3] [2, Alternativ skrivemåte Med mengdenotasjon kalles union og leses eller

5 La oss, som en forsmak på kapitlet om grafisk løsning av ulikheter, se på en grafisk framstilling av andregradspolynomet 2 + 2x 12. Den forteller oss også at 2 + 2x 12 < 0 når 3 < x < x 6 < 0 når x > 3 OG x < x 6 0 når x 3 OG x x 6 > 0 når x < 3 ELLER x > x 6 0 når x 3 ELLER x 2 3 < x < 2 3 x 2 < 3,2> [ 3,2] <, 3 <, 3] [2, Alternativ skrivemåte Med mengdenotasjon kalles union og leses eller

6 Ulikheter på brøkform > 0 > 0 når x < 3 ELLER x > 2 Totalt har vi fått vite at < 0 når x > 3 OG x < 2 0 når x 3 OG x < 2 3 < x < 2 < 3,2> 3 x < 2 [ 3,2] Legg merke til at x = 2 ikke er med i løsningen. x = 2 er nullpunkt i nevneren. Brøken har ingen verdi når x = 2. > 0 når x < 3 ELLER x > 2 0 når x 3 ELLER x > 2 <, 3 <, 3] < 2, Legg merke til at x = 2 ikke er med i løsningen. x = 2 er nullpunkt i nevneren. Alternativ skrivemåte Med mengdenotasjon kalles union og leses eller

7 Igjen lar vi en grafisk framstilling bekrefte det vi har funnet. < 0 når x > 3 OG x < 2 0 når x 3 OG x < 2 3 < x < 2 < 3,2> 3 x < 2 [ 3,2] Legg merke til at x = 2 ikke er med i løsningen. x = 2 er nullpunkt i nevneren. Brøken har ingen verdi når x = 2. > 0 når x < 3 ELLER x > 2 0 når x 3 ELLER x > 2 <, 3 <, 3] < 2, Legg merke til at x = 2 ikke er med i løsningen. x = 2 er nullpunkt i nevneren. Alternativ skrivemåte Med mengdenotasjon kalles union og leses eller

8 > 1 1 > 0 1 kan vi omskrive til > 0 () > 0 x 6 > 0 x 6 = a(x x 1)(x ) = 1(x ( 2))(x 3) = 1(x + 2)(x 3) = (x + 2)(x 3) (x + 2)(x 3) > 0 (x + 2)(x 3) > 1 når > 0 (x > 6 OG x < 2) ELLER x > 3 ( 6 < x < 2) ELLER x > 3 < 6, 2 > < 3, Alternativ skrivemåte Med mengdenotasjon

9 < 1 1 > 1 1 (x+2)(x 3) < 0 (x+2)(x 3) 0 (x+2)(x 3) > 0 (x+2)(x 3) 0 x < 6 ELLER (x> 2 OG x<3) x < 6 ELLER ( 2 < x < 3) Alternativ skrivemåte x < 6 ELLER (x 2 OG x 3) x < 6 ELLER ( 2 x 3) Alternativ skrivemåte (x > 6 OG x < 2) ELLER x > 3 ( 6 < x < 2) ELLER x > 3 Alternativ skrivemåte (x > 6 OG x 2) ELLER x 3 ( 6 < x 2) ELLER x 3 Alternativ skrivemåte Vi avslutter med å kommentere bruken av OG og ELLER i løsningene foran. En av dem var slik: 2 + x 6 < 0 når x > 3 OG x < x 6 0 når x 3 OG x x 6 > 0 når x < 3 ELLER x > x 6 0 når x 3 ELLER x x 6 < 0 når x < 3,2> x < 3, <, 2 > 2 + x 6 0 når x [ 3,2> x [ 3, <, 2 > 2 + x 6 > 0 når 2 + x 6 0 når x <, 3 x [, 3 ] Mer omstendelig, men korrekt. kalles snitt og leses og