löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden."

Transkript

1 Likning En likning inneholder alltid et likhetstegn og minst e n ukjent. Den ukjente kaller vi som regel eller y, men alle bokstavene i alfabetet kan brukes. löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden. Likninger egner seg godt Ô bruke nôr noe er avhengig av hverandre eller forholder seg til hverandre. Multiplikasjonsregelen Vi kan multiplisere med samme faktor pô begge sider av likhetstegnet i en likning. 5 =2 5 =2 5 5 =0 Divisjonsregelen Vi kan dividere med samme faktor pô begge sider av likhetstegnet i en likning. =2 = 2 =2 Addisjons- og subtraksjonsregelen Vi kan addere og subtrahere det samme leddet pô begge sider av likhetstegnet i en likning. =3 +4=7 += =7 4 =9 =3 90

2 EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 Over yttingsregelen/ yttebytte-regelen Denne regelen sier det samme som addisjons- og subtraksjonsregelen: Vi kan ytte et ledd fra den ene siden av likhetstegnet til den andre dersom vi samtidig forandrer fortegnet til leddet. =3 + 4 =7 =3+ =7 4 =9 =3 Flere regler i NÔr vi skal löse en likning og mô bruke e n eller ere av reglene, samme oppgave kan det lönne seg Ô bruke reglene i denne rekkefölgen: I Addisjons- og subtraksjonsregelen/over yttingsregelen II Multiplikasjonsregelen III Divisjonsregelen ProblemlÖsning NÔr tallene i en oppgave er avhengige av hverandre eller stôr i forhold til hverandre, kan den löses som en likning. sette pröve sette pröve pô en likning er det samme som Ô kontrollere om venstresiden er lik höyresiden nôr vi har satt den verdien vi har funnet for den ukjente, inn i den opprinnelige likningen. Flere ledd med samme ukjent NÔr vi har likninger som har ere ledd med den samme ukjente, samler vi alle leddene med den ukjente pô den ene siden og trekker dem sammen etter de reglene vi har l rt i algebraen.talleddene samler vi pô den andre siden för vi löser likningen pô vanlig môte. Likninger med Vi bruker först reglene fra algebra og sô reglene fra likninger nôr vi löser parenteser likninger med parenteser. 4ð3 4Þ ð3 +Þ =2ð2 Þ ð2 Þ ð3 +Þ =ð4 2Þ 2 3 = = =20 5 = =4 9

3 EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 Andregradslikninger Andregradslikninger eller kvadratiske likninger er likninger der minst ett av leddene er et ukjent ledd opphöyd i andre potens. NÔr vi skal löse slike likninger, mô vi kombinere det vi har l rt om algebra, likninger, kvadrattall og kvadratrot. 2 = p ffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2 = p = ffiffiffiffiffi = 4 =+4eller = 4 fordi begge svarene gir 2 =. p ffiffi Kvadratrota,, er alltid positiv, men nôr vi har en likning med 2,blir bôde kvadratrota og minus kvadratrota lösninger fordi 2 =ð Þ 2. Flere brökledd Er det ere brökledd i likningen, multipliserer vi alle leddene med nevnerne og forkorter. SÔ löser vi likningen pô vanlig môte = 5 + = =5 3 =3 = Den ukjente inevneren Den ukjente kan like godt v re under brökstreken som over brökstreken i likninger med bröker. OgsÔ her mô vi multiplisere med fellesnevneren. I likninger med en ukjent i nevneren kan ikke den ukjente v re 0. Vi skriver at ¼ 0. Eksempel : =3 =3 =3 =2 Eksempel 2: = 2 + = =3 =9 92

4 EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 To ukjente Likninger kan ha to störrelser som vi ikke kjenner verdien av. Da bruker vi som oftest og y om de ukjente. Dersom to likninger har de samme to ukjente, kan vi löse dem som et likningssett. Addisjons- I 3 + y =3 metoden II y =5 Vi adderer likningene og nner verdien av den ene ukjente. I 3 + y =3 II y =5 I+II 4 = = 8 4 =2 Vi setter inn =2i den ene likningen og nner y. II y =5 2 y =5 y =5 2 y = 3 y = 3 Innsettings- I 3 + y = 3 metoden II y =5 Vi gjör om den ene likningen slik at den ene ukjente blir uttrykt ved hjelp av den andre ukjente. II y =5 =5+y 93

5 EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 Vi setter inn den omgjorte likningen i den andre. I 3 + y =3 3ð5 +yþ + y = y + y =3 4y =3 5 4y 4 = 2 4 y = 3 Vi setter inn y = 3 ilikningiog nner. I 3 + y =3 3 + ð 3Þ =3 3 3=3 3 3 = 3 =2 Ulikhet Over yttingsregelen for ulikheter Divisjonsregelen for ulikheter NÔr vi bruker tegnene <,, > eller i et uttrykk med e n eller ere ukjente, kaller vi uttrykket en ulikhet. Tall og bokstaver kan yttes fra det ene siden av ulikheten til den andre siden dersom vi skifter fortegn. Vi kan dividere med et positivt tall eller en bokstav pô begge sider av ulikheten. Dersom vi dividerer med et negativt tall eller en bokstav med negativt fortegn pô begge sider, mô vi snu ulikhetstegnet for at ulikheten skal stemme. Multiplikasjons- Vi kan multiplisere med et positivt tall eller en bokstav pô begge sider av regelen for ulikheten. Dersom vi multipliserer med et negativt tall eller en bokstav ulikheter med negativt fortegn pô begge sider, mô vi snu ulikhetstegnet for at ulikheten skal stemme. 2 3 > 7 3 > < 3 3 < 5 3 < 2 ð 3Þ > 2 ð 3Þ 3 > 94

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Oppsummering Faktor 1 3

Oppsummering Faktor 1 3 Faktor 1 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1 2 4 5 6... Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 124 = 1 1000 + 2 100 + 10 + 4 1 Partall og oddetall Partall

Detaljer

Tallregning Vi på vindusrekka

Tallregning Vi på vindusrekka Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...

Detaljer

FAKTA. Det gylne snitt. Det gylne snitt er tiln rmet lik 1,618 eller 0,618. Det eksakte tallet for 5. det gylne snitt er + 1 5

FAKTA. Det gylne snitt. Det gylne snitt er tiln rmet lik 1,618 eller 0,618. Det eksakte tallet for 5. det gylne snitt er + 1 5 Det gylne snitt Det gylne snitt er forholdet mellom lengder. Dersom det pô et linjestykke AB er merket av et punkt C slik at forholdet mellom AB og AC er lik forholdet mellom AC og CB, da har linjestykket

Detaljer

Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2013

Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2013 Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2013 Årets julekalender for 8.-10. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver som kan løses uavhengig av hverandre. Alle oppgavene har flere svaralternativer, hvorav

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene?

Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene? Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene? Hvor mange tall tror du det er mellom 0 og? Tall og tallforståelse MÅL I dette kapitlet skal du lære om ulike typer tall plassverdisystemet og tall

Detaljer

Hvor mye må jeg betale for 2 kg appelsiner?

Hvor mye må jeg betale for 2 kg appelsiner? Hvor mye må jeg betale for 2 kg appelsiner? 5 Jeg har omtrent 380 kr 400 kr! Avrunding og overslag MÅL I dette kapitlet skal du lære om avrunding av hele tall avrunding av desimaltall overslag i addisjon

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Eksempel på løsning DEL 1

Eksempel på løsning DEL 1 Eksempel på løsning DEL 1 Eksamen MAT0010 Matematikk 10. årstrinn (Elever) 0.05.011 Bokmål Innledning Formålet med Eksempel på løsning av Del 1 i Eksamen MAT0010 Matematikk, 10. årstrinn, er blant annet

Detaljer

Kapittel 5. Regning med forhold

Kapittel 5. Regning med forhold Kapittel 5. Regning med forhold Forholdet mellom to tall betyr det ene tallet delt med det andre. Regning med forhold er mye brukt i praktisk matematikk. I dette kapitlet skal vi bruke forhold i blant

Detaljer

Brøk-, desimalog prosentplater 1 = 1:7 = 0,143 0,143 100 = 14,3% = 1:24 = 0,042 0,042 100 = 4,2%

Brøk-, desimalog prosentplater 1 = 1:7 = 0,143 0,143 100 = 14,3% = 1:24 = 0,042 0,042 100 = 4,2% Brøk-, desimalog prosentplater = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0, 0, 00 =,% = : = 0,0 0,0 00 =,% = : = 0,0 0,0 00

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse Bind, 8. utgave, Gyldendal

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2014 2015 1. runde

Norsk informatikkolympiade 2014 2015 1. runde Norsk informatikkolympiade 2014 2015 1. runde Sponset av Uke 46, 2014 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Innføring i OOcalc Side 1. OOcalc

Innføring i OOcalc Side 1. OOcalc Innføring i OOcalc Side 1 OOcalc Hva er et regneark? Et regneark kan sammenlignes med et vanlig ruteark, hvor tall skrives inn og beregninger utføres. På et vanlig ruteark må man selv utføre beregningen.

Detaljer

Kapittel 3. Prosentregning

Kapittel 3. Prosentregning Kapittel 3. Prosentregning I dette kapitlet skal vi repetere prosentregningen fra Matematikk 1P. Hovedemnene er: Forstå hva prosent er. Regne ut hvor mange prosent noe er av noe annet (finne prosenttallet).

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Regelhefte for: getsmart Kids: Opp til 10

Regelhefte for: getsmart Kids: Opp til 10 Regelhefte for: getsmart Kids: Opp til 10 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

De fire regningsartene

De fire regningsartene De fire regningsartene Det går ikke an å si at elevene først skal ha forstått posisjonssystemet, og deretter kan de begynne med addisjon og subtraksjon. Dette må utvikles gradvis og om hverandre. Elevene

Detaljer

Informasjon om det økonomiske oppgjøret mellom ektefeller ved separasjon og skilsmisse.

Informasjon om det økonomiske oppgjøret mellom ektefeller ved separasjon og skilsmisse. Arbins gate 7 0253 Oslo Juss-studentenes rettsinformasjon Sentralbord 22 84 29 00 Telefaks 22 84 29 01 Internett http://www.jussbuss.no Informasjon om det økonomiske oppgjøret mellom ektefeller ved separasjon

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

STATPED SKRIFTSERIE NR

STATPED SKRIFTSERIE NR Matematikk på PC Forslag til hvordan svaksynte elever kan bruke PC i matematikk Hilde Havsjømoen og Randi Kvåle Huseby kompetansesenter Oslo 2009 STATPED SKRIFTSERIE NR 72 Matematikk på PC Forslag til

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Afasi praktiske råd om det å snakke sammen

Afasi praktiske råd om det å snakke sammen Afasi praktiske råd om det å snakke sammen av afasiteamet, Bredtvet kompetansesenter, 2006 (www.statped.no/afasi) Det viktigste er at vi greier å formidle det vi har lyst til å si, på en slik måte at det

Detaljer

Det finnes mange måter og mange hjelpemidler til å illustrere brøk. Ofte brukes sirkelen som symbol på en hel.

Det finnes mange måter og mange hjelpemidler til å illustrere brøk. Ofte brukes sirkelen som symbol på en hel. Brøk Hvis vi spør voksne mennesker som ikke har spesiell interesse for matematikk om hva de syntes var vanskelig i matematikk på skolen, får vi ofte svaret: Brøk. Vår påstand er at hvis innføring av brøk

Detaljer