for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne"

Transkript

1 8 1

2 Algebra Mål for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne faktorisere po ly no mer ved hjelp av null punk ter og polynomdivisjon, og bru ke det te til å løse lik nin ger og ulik he ter med polynomer og rasjo nale uttrykk om for me og for enk le sam men sat te ra sjo na le funk sjo ner og and re sym bol ske ut trykk med og uten bruk av digita le hjelpe mid ler gjø re rede for im pli ka sjon og ek vi va lens og gjen nom fø re di rek te og kontrapositive be vis

3 1.1 Im pli ka sjon og ek vi va lens Mange av de matematiske symbolene som er van li ge i dag, ble først tatt i bruk i pe ri oden fra år 15 til 17. For noen sym boler kjenner vi både opphavsmannen og nøyaktig når symbo le ne først ble tatt i bruk: Tegn Navn År Brøkstreken Fibonacci 122 Teg ne ne + og Widman 1489 Kvadratrottegnet Rudolff 1526 Likhetstegnet = Record 1557 De si mal teg net. el ler, Napier 1616 Ulikhetstegnene < og > Herriot 1631 Multiplikasjonstegnet Oughtred 1631 Divisjonstegnet Rahn 1659 Divisjonstegnet : Leibniz 1684 Multiplikasjonstegnet Leibniz 1693 Symbolet Jones 176 I den nor ske sko len ble det rundt 197 tatt i bruk man ge lo giske symboler. Vi skal gjø re oss kjent med noen av dis se symbolene. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, så er 2x = 3. Med bruk av sym bo ler fra lo gikken skri ver vi 2x + 1 = 4 2x = 3 Tegnet er en implikasjonspil som vi le ser «fø rer til at», «med fø rer at» eller «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to lik ninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B be tyr at hvis på standen A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. Slike påstander trenger ikke være ma tematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola Per so nen er en gutt Det er en rik tig slut ning. Men denne slut nin gen er ikke riktig: Per so nen er en gutt Personen heter Ola 1 1 Sinus R1 > Algebra

4 Hvis x = 2, fø rer det til at x 2 = 4. Med sym bo ler skri ver vi x = 2 x 2 = 4 Men hvis x 2 = 4, be hø ver ikke det bety at x = 2. Det rik ti ge kan være at x = 2. Der for kan vi ikke skri ve at x 2 = 4 x = 2. Det rik ti ge er x 2 = 4 x = 2 el ler x = 2 Man ge bru ker et eget lo gisk sym bol for «el ler» og skri ver x 2 = 4 x = 2 x = 2 Tegnet le ser vi alt så «el ler». Vi bru ker det mel lom to på stan der for å fortel le at minst en av på stan de ne må være rik tig. Likningene 2x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøy ak tig de sam me løs ningene, nemlig x = 2 og x = 2. Vi sier at de to lik nin ge ne er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x 2 = 8 x 2 = 4 Tegnet kal ler vi et ekvivalenstegn. Vi le ser «er ek vi va lent med», «har sam me løs ning som» el ler «hvis og bare hvis». Vi kan også skri ve x 2 = 4 x = 2 x = 2 Det er ikke bare i ma te ma tikk vi bru ker ekvivalenstegnet. Vi kan skrive Ola er fa ren til Jens Jens er søn nen til Ola To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er rik tig hvis og bare hvis på stand B er rik tig. Vi skri ver A B To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. På grunn kur set lær te vi å løse lik nin ger. Når vi lø ser en lik ning, gjør vi liknin gen om på en slik måte at vi får en ny lik ning med den sam me løs ningen. Vi kan for eks em pel flyt te ledd over på den and re si den av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere og dividere på beg ge si de ne av lik hets teg net med tall som ikke er null. Når vi om for mer en lik ning på den ne må ten, får vi en ek vi va lent lik ning som har nøy ak tig de samme løsnin ge ne som den lik nin gen vi be gyn te med. Da kan vi bru ke ek vivalenstegnet mellom likningene. 11

5 Når vi flyt ter et ledd over på den and re si den av lik hetstegnet og skifter for tegn på led det, får vi en ek vi valent likning. Når vi dividerer eller mul tipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ek vi valent likning. EKS EM PEL Løs likningen 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 6x = 3x(x 2) = 3x = x 2 = x = x = 2! I den ne boka kom mer vi nor malt ikke til å skri ve ek vi va lenstegnet når vi lø ser lik ninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ek vivalen te når det ikke står noe sym bol mel lom dem.? Opp ga ve 1.1 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) Jeg er fra Ha mar Jeg er fra Nor ge b) Jeg er fra Ber gen Jeg er ber gen ser c) Jeg er fra Oslo Jeg he ter Odd d) Jeg er fra Finn mark Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo Jeg bor i Oslo Sinus R1 > Algebra Opp ga ve 1.11 Sett inn ett av sym bolene, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) 3x 2 = 12 x 2 = 4 b) x = 4 x 2 = 16 c) x 2 = 9 x = 3 x = 3 d) x 3 = x x 2 = 1

6 I til legg til teg net («el ler») har vi teg net for «og». Teg net bør vi lese «og sam ti dig». Vi kan for eks em pel bru ke det når vi lø ser to lik nin ger med to ukjen te. Likningssettet 2x + y = 1 x y = 2 be tyr at de to lik nin ge ne skal være opp fylt sam ti dig. Vi kan der for skri ve 2x + y = 1 x y = 2! Vi kan ikke all tid er stat te or det «og» med teg net, for teg net be tyr «og sam ti dig». Vi kan gjer ne si at en lik ning har løs nin ge ne x = 2 og x = 3. Det er ikke det sam me som å si at lik nin gen har løs nin ge ne x = 2 x = 3. Variabelen x kan ikke sam ti dig være både 2 og 3. Vi må si at lik nin gen har løsningen x = 2 x = 3.? Opp ga ve 1.12 Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk Jeg er kvin ne b) Jeg er norsk Jeg er kvin ne c) Jeg er trøn der Jeg er svensk d) Jeg er trøn der Jeg er svensk Opp ga ve 1.13 Finn løsningene. a) x 2 = 9 x > b) x 2 = 9 x < c) x 2 + x 2 = x > d) x = 2 x 2 2x + 1 = e) x + y = 3 2x 3y = 1 f) x + y = 5 x y = x 3y 1.2 Noen be vis me to der Når vi di vi de rer 17 med 2, får vi 17 : 2 = Tal let 8 kal ler vi kvotienten, og tal let 1 kal ler vi resten. Vi kan skri ve 17 2 = Vi mul ti pli se rer med 2 og får 17 =

7 Hvis vi di vi de rer et helt tall x med 2, får vi en kvo ti ent k og en rest r. Resten r er en ten el ler 1. Vi kan skri ve x = 2 k + r Hvis res ten r =, er tal let x de le lig med 2. Det er det sam me som at tal let x er et par tall. Hvis res ten r = 1, er tal let x ikke de le lig med 2. Det er det sam me som at x er et od de tall. Den ne egen ska pen kan vi bru ke som defi nisjon av par tall og od de tall. Et helt tall x er et par tall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k. Et helt tall x er et od de tall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k + 1. Tal let 26 er et par tall for di 26 = Tal let 15 er et od de tall for di 15 = I matematikken må vi bevise alle regler og setnin ger. Da tar vi ut gangs punkt i definisjoner og setnin ger som er be vist før. Så be vi ser vi nye set nin ger som vi der et ter kan bru ke i nye be vis. Vi har mange forskjellige typer bevis. Et direkte bevis er en se rie med logiske argumenter som fører oss direkte til den setnin gen vi vil be vi se. Vi skal se på et eksempel. EKS EM PEL La x være et helt tall. Be vis set nin ge ne. a) x er et par tall x 2 er et par tall b) x er et od de tall x 2 er et od de tall a) Hvis x er et par tall, fins det et helt tall k slik at x = 2k. Da er x 2 = (2 k) 2 = 2 2 k 2 = 2 2 k 2 = 2 (2k 2 ) = 2 s Tal let s = 2k 2 er et helt tall, og da er x 2 = 2 s et par tall. b) Hvis x er et od de tall, fins det et helt tall k slik at x = 2k + 1. Da er x 2 = (2k + 1) 2 = (2k) k = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 = 2 r + 1 Tal let r = 2k 2 + 2k er et helt tall, og da er x 2 = 2 r + 1 et od de tall Sinus R1 > Algebra

8 ? Opp ga ve 1.2 Bevis setningene. a) x par tall og y par tall x y par tall b) x par tall og y od de tall x y par tall c) x od de tall og y od de tall x y od de tall Opp ga ve 1.21 La x være et partall. Be vis at 4 går opp i x 2. Opp ga ve 1.22 La x være et oddetall. Be vis at 4 går opp i x 2 1. Velg noen verdier for x og vis at også 8 går opp i x 2 1. Klarer du å forklare hvorfor det er slik? And re gan ger fø rer vi et indirekte bevis el ler et kontrapositivt bevis. Vi an tar da at set nin gen ikke er rik tig, og vi ser at det fø rer til en selv mot si gel se. Vi ser på et eks em pel. EKS EM PEL Bevis setningene. a) x 2 er et par tall x er et par tall b) x 2 er et od de tall x er et od de tall a) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x 2 er et par tall uten at x er et par tall. Et ter som x ikke er et par tall, må x være et od de tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x 2 da et od de tall. Det er en selv mot si gel se, for x 2 skul le være et par tall. Der som x 2 er et par tall, må alt så x være et par tall. b) Vi ten ker oss at set nin gen ikke er rik tig. Det må da fin nes et helt tall x slik at x 2 er et od de tall uten at x er et od de tall. Hvis x ikke er et od de tall, må x være et par tall. Et ter det vi vis te på forrige side, er x 2 da et par tall. Det er en selv mot si gel se, for x 2 skul le være et od de tall. Der som x 2 er et od de tall, må alt så x være et od de tall. 15

9 Vi har nå be vist dis se to set ningene x er et par tall x 2 er et par tall x 2 er et par tall x er et par tall El ler sagt med ord: Hvis x er et par tall, så er x 2 et par tall. Og hvis x 2 er et par tall, så er x et par tall. Da har vi vist at x er et par tall hvis og bare hvis x 2 er et par tall. Det te kan vi skri ve med sym bo ler: x er et par tall x 2 er et par tall Vi har også be vist den ne ekvivalensen:!? x er et od detall x 2 er et od detall Når vi skal bevise ekvivalensen A B, må vi vise at A B, og at B A. Opp ga ve 1.23 Bevis setningen. x er od de tall og y er od de tall x y er od detall Opp ga ve 1.24 Bevis setningene. a) x er et par tall x 3 er et par tall b) x er et od detall x 3 er et od detall Med det vi nå har lært om par tall, od de tall og be vis me to der, kan vi be vise at tal let 2 er et irrasjonalt tall. Et irrasjonalt tall er et tall som vi ikke kan skri ve som en brøk. EKS EM PEL Be vis at 2 er et irrasjonalt tall. Vi gjennomfører et indirekte bevis. Tenk deg at 2 ikke er et irrasjonalt tall. Da må 2 være en brøk. Da fins det hele tall a og b som er slik at a b = 2 og der brø ken a er forkortet mest mulig. b Sinus R1 > Algebra

10 Da må ( a b ) 2 = ( 2 ) 2 a 2 b 2 = 2 a 2 b 2 b2 = 2 b 2 a 2 = 2 b 2 Ettersom b 2 er et helt tall, er a 2 = 2 b 2 et par tall. Men når a 2 er et par tall, er a et par tall. Det fins da et helt tall k slik at a = 2 k. Vi set ter det inn i lik nin gen a 2 = 2 b 2. Det gir (2 k) 2 = 2 b k 2 = 2 b 2 2 k 2 = b 2 b 2 = 2 k 2 Nå er k 2 et helt tall. Da er b 2 = 2 k 2 et par tall. Men når b 2 er et par tall, er b et par tall. Nå har vi vist at både a og b er par tall. Da kan brø ken a b forkortes med 2. Det stem mer ikke med for ut set nin gen om at a skul le være b fer dig for kor tet. Vi har fått en selvmotsigelse. Der med må 2 være et irrasjonalt tall. Når vi skal be vi se en ma te ma tisk på stand som in ne hol der variabler, er det ikke nok å vise at set nin gen er rik tig for noen verdier av variablene. Vi må vise at den er rik tig for alle verdier. Hvis vi der imot skal vise at en set ning er feil, er det nok å fin ne et moteksempel. Hvis noen på står at n er et irrasjonalt tall for alle hele tall n, kan vi mot be vi se det ved å fin ne et eks em pel som vi ser at det er galt. Hvis n = 4, er 4 = 2, og det er ikke noe irrasjonalt tall. På stan den er alt så ikke rik tig.? Opp ga ve 1.25 Be vis at 3 er et irrasjonalt tall. (Tips: Tenk deg at 3 er en brøk som er fer dig for kor tet. Vis at brø ken kan for kor tes med 3.) Opp ga ve 1.26 Be vis at den ne set nin gen er feil: x er et od de tall minst ett av tal le ne x 2 og x + 2 er et prim tall 17

11 1.3 Polynomdivisjon Uttrykket P(x) = 2x 3 6x 2 2x + 48 er et eksempel på et polynom. Uttrykket er av tred je grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, 6, 2 og 48 kaller vi koeffi sientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredje gradskoeffisienten, tallet 6 er andregradskoeffisienten, 2 er førstegradskoeffisienten, og tal let 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket (2x 4)(x + 4) og får Dermed er (2x 4)(x + 4) = 2x 2 + 8x 4x 16 = 2x 2 + 4x 16 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) Da er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) = 2x 4 x + 4 (x + 4) I ste det for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemåten blir (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 Vi skal nå lære å di vi de re to po ly no mer uten å faktorisere først. Me to den likner på den vi bruker når vi dividerer tall. ➊ ➍ (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 ➋ 2x 2 + 8x ➌ 4x 16 ➎ 4x 16 ➏ Her er en for kla ring av de seks punk te ne oven for: ➊ Vi må multiplisere x med 2x for å få 2x 2. ➋ Vi reg ner ut (x + 4) 2x og får 2x 2 + 8x. ➌ Vi reg ner ut (2x 2 + 4x) (2x 2 + 8x) og får 4x. Der et ter flyt ter vi ned leddet 16. ➍ Vi multipliserer x med 4 for å få 4x. ➎ Vi reg ner ut (x + 4) ( 4) og får 4x 16. ➏ Til slutt reg ner vi ut ( 4x 16) ( 4x 16) og får res ten, som her blir. Vi kan di vi de re et tredjegradspolynom med et po ly nom av før s te grad på tilsvarende måte Sinus R1 > Algebra

12 EKS EM PEL Utfør divisjonen. (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) = x 2 x 12 2x 3 4x 2 2x 2 2x 2x 2 + 4x 24x x + 48 Begge divisjonene foran gav res ten. I sli ke til fel ler sier vi at di vi sjo nen går opp. Men det er man ge di vi sjo ner som ikke går opp. Vi utfører divisjonen (4x 2 2x + 1) : (2x 2). (4x 2 2x + 1) : (2x 2) = 2x + 1 4x 2 4x 2x + 1 2x 2 3 Her fikk vi res ten 3. Der med står vi igjen med 3 : (2x 2), som er det 3 sam me som. Divisjonen gir da dette svaret: 2x 2 (4x 2 3 2x + 1) : (2x 2) = 2x x 2 Dette kan vi kontrollere ved multiplikasjon. EKS EM PEL Utfør divisjonen. (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) 19

13 (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) = x 2 3x 11 + x 3 x 2 3x 2 8x 3x 2 + 3x 11x x x 1? Opp ga ve 1.3 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 2 5x + 4) : (x 1) b) (2x 2 4x + 2) : (x 3) c) (3x 2 + 5x 2) : (3x 1) d) (2x 2 + 4x + 3) : (4x + 2) Opp ga ve 1.31 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x 1) b) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x + 2) c) (8x 3 4x 2 16x 6) : (2x 5) d) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) : (x 1) Vi kan også di vi de re med po ly no mer av and re grad el ler høy ere. EKS EM PEL Utfør divisjonen. (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) = x 2 2x 3 + 3x 2 + 2x 4x 2 6x 4 4x 2 6x Sinus R1 > Algebra Før vi gjør en slik di vi sjon, må vi ord ne po ly no me ne slik at ledd med høy grad står først. Det kan også løn ne seg å set te inn ledd med ko ef fisient der det mang ler ledd.

14 Når gra den til res ten er la ve re enn gra den til det po ly nomet vi dividerer med, av slut ter vi di vi sjo nen som vist i eks empelet nedenfor. EKS EM PEL Utfør divisjonen. (4x 3 2x 2 + 3) : (2 x 2 ) Vi ord ner uttrykkene, set ter inn ledd med ko effisient og utfører divisjonen. (4x 3 2x 2 + x + 3) : ( x 2 + x + 2) = 4x x 1 2 x 4x 3 + x 2 8x 2 2x 2 + 8x + 3 2x 2 + x + 4 8x 1 Når vi di vi de rer et po ly nom P(x) med et po lynom Q(x), får vi en rest med la ve re grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradspolynom, blir res ten et tall.? Opp ga ve 1.32 Utfør polynomdivisjonene. a) (2x 3 + 3x 2 + 2x 1) : (x 2 + x 1) b) (2x 4 + 5x 3 x 2 6x) : (2x 2 + x 3) c) (x 3 + 3x 2 2x 6) : (x 2 2) d) (x 3 + x 2) : (x + 3) e) (2x 4 + 5x 2 + 2) : (2x + 1) f) (4x 4 + 3x 3 + x) : (x 2 1) Opp ga ve 1.33 Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x 2) og finn res ten r. Regn der etter ut P(2). Hva ser du? a) P(x) = x 2 + 4x + 3 b) P(x) = x 3 3x 2 + 2x + 3 c) P(x) = x 3 + 2x 2 6x 4 21

15 1.4 Res ten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) = x 2 + x 1 med x 2, får vi (x 2 + x 1) : (x 2) = x x 2 2x 3x 1 3x 6 5 Vi finner at resten r = 5. 5 x 2 Uttrykket x 2 har null punk tet x = 2. Når vi reg ner ut P(2), får vi P(2) = = 5 Vi ser at P(2) er lik res ten et ter di vi sjon med (x 2). I slut ten av delkapittelet vi ser vi at det te er en ge ne rell re gel. Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir res ten r = P(x ). EKS EM PEL a) Finn resten ved divisjonen (x 2 2x + 1) : (x 3) uten å ut fø re di visjonen. b) Kontroller dette ved å utføre divisjonen. a) Her er P(x) = x 2 2x + 1 og x = 3. Vi får r = P(3) = = 4 Res ten blir 4. b) (x 2 2x + 1) : (x 3) = x x 2 3x x + 1 x 3 4 Vi ser at res ten er 4. Det stem mer. 4 x Sinus R1 > Algebra

16 ? Opp ga ve 1.4 Finn res ten uten å di videre. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) (x 2 2x + 3) : (x 1) b) (2x 2 + 5x 7) : (x 2) c) (x 3 2x 2 + x 2 ) : (x + 3) d) (2x 3 + 2x 2 3x 3) : (x + 1) Når vi dividerer et polynom P(x) med (x x ), vet vi at res ten er P(x ). At en di vi sjon går opp, er det sam me som å si at res ten er. Det er det sam me som at P(x ) =. La P(x) være et po ly nom. Divisjonen P(x) : (x x ) går opp P(x ) = EKS EM PEL Av gjør om di visjonen (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) går opp uten at du gjør di vi sjo nen. Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Her er P(x) = x 3 2x 2 7x 4 og x = 4. P(4) = = = Ettersom P(4) =, går di vi sjo nen med (x 4) opp. Vi utfører divisjonen. (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 x 3 4x 2 2x 2 7x 2x 2 8x x 4 x 4 Divisjonen går opp. 23

17 I eks em pe let på forrige side fant vi ut at di vi sjo nen med (x 4) måt te gå opp for di P(4) =. Vi så at Dermed er (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 (x 3 2x 2 7x 4) = (x 4) (x 2 + 2x + 1) Vi ser at (x 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et po ly nom slik at P(x ) =, går di vi sjo nen P(x) : (x x ) opp. Der med fins det et po lynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x). Da er P(x) = (x x ) Q(x), og (x x ) er en fak tor i P(x). Og om vendt: Hvis (x x ) er en fak tor i P(x), så fins det et po lynom Q(x) slik at P(x) = (x x ) Q(x). Da er P(x ) = (x x ) Q(x ) = Q(x ) = Vi har vist den ne regelen: La P(x) være er et po lynom. P(x) har fak toren (x x ) P(x ) = EKS EM PEL Finn ut om (x + 2) er en fak tor i po lynomet P(x). a) P(x) = 2x 2 + 3x 2 b) P(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 4 a) Ettersom (x + 2) = (x ( 2)), må vi un dersøke om P( 2) =. P( 2) = 2 ( 2) ( 2) 2 = = (x + 2) er en fak tor. b) P( 2) = ( 2) ( 2) ( 2) + 4 = = 4 For di P( 2), er (x + 2) ikke en fak tor i P(x) Sinus R1 > Algebra

18 ? Opp ga ve 1.41 Av gjør om di vi sjo nen går opp uten å ut føre divisjonen. a) (x 2 + 2x 3) : (x 1) b) (x 3 3x 2 + 2x + 2) : (x + 2) c) (2x 3 + 4x 2 1x 12) : (x 2) d) (x 4 1x 2 + 8) : (x + 3) Opp ga ve 1.42 Av gjør om (x 2) er en fak tor i P(x) uten å di videre. a) P(x) = 2x 2 + 4x 6 b) P(x) = 2x 2 + 6x 2 c) P(x) = x 3 3x 2 + 3x 2 d) P(x) = x 4 3x 3 + 4x + 1 Opp ga ve 1.43 Av gjør om (x 1) og om (x + 2) er fak to rer i P(x) når a) P(x) = x 2 4x + 3 b) P(x) = x 3 + 2x 2 x 2 c) P(x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 1 d) P(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 + x 2 Opp ga ve 1.44 Bestem tallet a slik at di vi sjo nen går opp. a) (x 2 + ax 2) : (x 2) b) (x 2 + 3x + a) : (x + 5) c) (x 3 + ax 2 + ax + 4) : (x + 2) d) (ax 2 + ax + 2) : (x + 1) e) (x 2 5x + 6) : (x a) Be vis for at di vi sjo nen P(x) : (x x ) gir res ten r = P(x ) La P(x) være et po ly nom. Når vi ut fører divisjonen, fin ner vi et po lynom Q(x) slik at r P(x) : (x x ) = Q(x) + x x der tallet r er resten. Det er det sam me som at P(x) x x = Q(x) + r x x Når vi multipliserer med (x x ) på beg ge si dene av likhetstegnet, får vi P(x) = (x x ) Q(x) + r Her skal høy re og venst re side av lik hets teg net være like for alle ver di er av x, spe si elt for x = x. Der med er P(x ) = (x x ) Q(x ) + r = Q(x ) + r = r Der med har vi vist at res ten r = P(x ). 25

19 1.5 Faktorisering av po ly no mer Å faktorisere et po ly nom vil si å skri ve po ly no met som et pro dukt av po ly nomer av la ve re grad. På vg1 lær te vi å faktorisere andregradspolynomer ved hjelp av null punktene. Vi brukte denne regelen: Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to null punktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Der som andregradsuttrykket har ett null punkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har null punk ter, er det ikke mu lig å faktorisere uttryk ket i førstegradsfaktorer. EKS EM PEL Faktoriser po ly no me ne i førstegradsfaktorer hvis det er mu lig. a) 2x 2 2x 24 b) x 2 + 6x + 9 c) 2x 2 + 4x + 5 a) Først fin ner vi null punk te ne til ut tryk ket ved hjelp av andregradsformelen. 2x 2 2x 24 = x = ( 2) ± ( 2) ( 24) 2 2 x = 2 ± x = 2 ± 14 4 x = 12 eller x = x = 3 eller x = 4 Der med er 2x 2 2x 24 = 2(x ( 3))(x 4) = 2(x + 3)(x 4) Sinus R1 > Algebra

20 b) Likningen x 2 + 6x + 9 = har løsningen 6 ± 6 x = ± x = 2 x = 6 2 x = 3 Ut tryk ket har bare ett null punkt. Da er x 2 + 6x + 9 = (x ( 3)) 2 = (x + 3) 2 c) Nullpunktene fin ner vi slik: 2x 2 + 4x + 5 = 4 ± 4 x = ± 24 x = 4 Det går ikke an å reg ne ut 24. Ut tryk ket har der med ikke noen nullpunkter. Det te ut tryk ket kan vi ikke faktorisere.? Opp ga ve 1.5 Faktoriser andregradsuttrykkene i førstegradsuttrykk hvis det lar seg gjø re. a) x 2 4x + 3 b) 2x 2 4x + 2 c) 3x 2 + 6x 9 d) 2x 2 + 8x + 1 Opp ga ve 1.51 Faktoriser uttrykkene mest mulig. a) x 3 4x b) x 3 + 4x c) x 3 2x 2 + x d) 2x 3 1x x Når vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi kjen ne en førstegradsfaktor. Vi ut fø rer en polynomdivisjon og skri ver tredjegradsuttrykket som et pro dukt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt un der sø ker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket. 27

21 EKS EM PEL Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 x + 2 a) Vis at (x + 1) er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. a) Vi må un der sø ke om P( 1) =. P( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = Der med er (x + 1) en fak tor. b) Nå vet vi at di vi sjo nen P(x) : (x + 1) går opp. (x 3 2x 2 x + 2) : (x + 1) = x 2 3x + 2 x 3 + x 2 3x 2 x 3x 2 3x 2x + 2 2x + 2 Der med er x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 2 3x + 2) Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 3x + 2 der som det lar seg gjøre. Likningen x 2 3x + 2 = har løs nin ge ne x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Inn satt i ut tryk ket oven for gir det faktoriseringen x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) EKS EM PEL Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 x 2 4x 6 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mu lig Sinus R1 > Algebra

22 a) Vi regner ut P(3). P(3) = = = b) Etter som P(3) =, vet vi at di visjonen P(x) : (x 3) går opp. Vi utfører polynomdivisjonen og får (x 3 x 2 4x 6) : (x 3) = x 2 + 2x + 2 Der med er x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Det nes te er å faktorisere ut trykket x 2 + 2x + 2 om mu lig. Vi lø ser der for likningen x 2 + 2x + 2 = 2 ± 2 x = ± = Andregradslikningen har in gen null punk ter, og vi kan der for ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den bes te faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er der med x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2)? Opp ga ve 1.52 Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 + 4x 2 + x 6 a) Vis at (x 1) er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. Opp ga ve 1.53 Et po ly nom er gitt ved P(x) = 2x 3 + 2x 2 16x 24 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mu lig. Opp ga ve 1.54 Et po ly nom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 3x + 1 a) Vis at (x + 2) er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. 29

23 1.6 Lik nin ger og ulik he ter På vg1 lær te vi å løse andregradsulikheter. Nå re pe te rer vi me toden. EKS EM PEL Løs ulik heten x 2 2x 8 > Vi må faktorisere andregradsuttrykket. Da bru ker vi andregradsformelen el ler lom meregneren og fin ner at lik ningen x 2 2x 8 = har løsningene x = 4 og x = 2. Der med er x 2 2x 8 = (x 4)(x + 2) for alle ver di er for x. Ulik he ten blir (x 4)(x + 2) > Nå teg ner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + 2 og la ger deretter en fortegnslinje for (x 4)(x + 2) ved å ut nyt te at to negative fak to rer gir et po si tivt svar, at en po si tiv og en ne ga tiv fak tor gir et negativt svar, og at to po si ti ve fak to rer gir et po sitivt svar x x 4 x + 2 (x 4)(x + 2) Vi skul le fin ne de ver diene av x der (x 4)(x + 2) >. Da må vi pluk ke ut de x-verdiene der fortegnslinja for ut tryk ket er sam menhengende. (x 4)(x + 2) > når x < 2 el ler x > 4 Ulik he ten vi be gyn te med, har den sam me løs ningen: x 2 2x 8 > når x < 2 el ler x > Sinus R1 > Algebra

24 EKS EM PEL Løs ulik heten x 2 2x + 3 > Vi bru ker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 2 2x + 3 = x = 2 ± x = 2 ± 8 2 Kvadratrota av 8 fins ikke. Der med har ikke x 2 2x + 3 noen nullpunkter, og ut tryk ket kan da hel ler ikke skif te for tegn. Ut tryk ket er dermed en ten po si tivt for alle ver di er av x, el ler så er ut tryk ket ne ga tivt for alle ver di er av x. Det fin ner vi ut ved å set te inn én ver di for x. Vi vel ger x =. Det gir x 2 2x + 3 = = 3 Ettersom uttrykket er positivt for x =, må ut tryk ket være po si tivt for alle ver di er av x. x 2 2x + 3 > for alle x? Opp ga ve 1.6 Løs ulik hetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2 5x + 6 > b) x 2 + x 2 < c) 2x 2 + 4x + 2 d) 2x 2 + 4x + 3 Det fins en for mel som vi kan bru ke til å løse tredjegradslikninger. Den læ rer vi ikke i det te kur set. En tredjegradslikning kan ha inn til tre løs nin ger. Vi må kjen ne en av dem for å kun ne fin ne de to and re. 31

25 EKS EM PEL a) Vis at x = 2 er en løs ning av tredjegradslikningen x 3 + 2x 2 5x 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten a) Vi set ter Da er x 3 + 2x 2 5x 6 < P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 P(2) = = = x = 2 er en løs ning av lik nin gen. b) Ettersom P(2) =, er (x 2) en fak tor i P(x). Vi vet da at den ne polynomdivisjonen går opp: (x 3 + 2x 2 5x 6) : (x 2) = x 2 + 4x + 3 x 3 2x 2 4x 2 5x 4x 2 8x 3x 6 3x 6 Der med er x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) Nå kan vi løse tredjegradslikningen. x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = Når pro duk tet av to tall er, må ett av tal le ne være null. Det gir x 2 = el ler x 2 + 4x + 3 = 4 ± 4 x = 2 el ler x = x = 2 el ler x = 4 ± Sinus R1 > Algebra

26 x = 2 el ler x = 4 ± 2 2 x = 2 el ler x = 1 eller x = 3 Likningen har løsningene x = 3, x = 1 og x = 2. c) Faktorisering av x 2 + 4x + 3 gir x 2 + 4x + 3 = (x ( 3))(x ( 1)) = (x + 3)(x + 1) Der med kan vi faktorisere tredjegradsuttrykket P(x). P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = (x 2)(x + 3)(x + 1) Ulik he ten lø ser vi nå ved å lage fortegnslinjer for fak to re ne x x 2 x + 3 x + 1 P(x) x 3 + 2x 2 5x 6 < når x < 3 og når 1 < x < 2 EKS EM PEL a) Vis at x = 2 er en løs ning av tredjegradslikningen x 3 x 2 3x + 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 x 2 3x + 6 > a) Vi set ter P(x) = x 3 x 2 3x + 6 Da er P( 2) = ( 2) 3 ( 2) 2 3 ( 2) + 6 = = x = 2 er en løs ning av lik nin gen. 33

27 b) Ettersom P( 2) =, er (x + 2) en fak tor i P(x). Den ne polynomdivisjonen går opp: (x 3 x 2 3x + 6) : (x + 2) = x 2 3x + 3 x 3 + 2x 2 3x 2 3x 3x 2 6x 3x + 6 3x + 6 Der med er x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) Nå lø ser vi tredjegradslikningen. x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) = x + 2 = el ler x 2 3x + 3 = x = 2 el ler x = 3 ± x = 2 el ler x = 3 ± Andregradslikningen har ingen løsning, der for er x = 2 den eneste løsnin gen av tredjegradslikningen. Likningen har løsningen x = 2. c) Ettersom x 2 3x + 3 ikke har null punk ter, er ut tryk ket en ten posi tivt for alle x eller negativt for alle x. Ut tryk ket er 3 når x =, der med må x 2 3x + 3 være po si tivt for alle ver di er av x. Nå kan vi lage fortegnslinje for P(x) = x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) x x + 2 x 2 3x + 3 P(x) x 3 x 2 3x + 6 > når x > Sinus R1 > Algebra

28 ? Opp ga ve 1.61 a) Vis at x = 1 er en løs ning av lik nin gen x 3 4x 2 + x + 6 = b) Finn alle løs ningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 > Opp ga ve 1.62 Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x 3 + 2x 2 3x 1 a) Vis at x 2 er en fak tor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mu lig. c) Finn nullpunktene til P ved reg ning. d) Finn ut ved reg ning for hvil ke ver di er av x gra fen til P lig ger un der x-aksen. Opp ga ve 1.63 a) Bestem tal let a slik at x = 2 blir en løs ning av lik nin gen x 3 2x 2 + ax + 8 = b) Løs lik nin gen for den ne ver di en av a. c) Bruk denne verdien av a og løs ulikheten x 3 2x 2 + ax For kor ting av ra sjo na le ut trykk Et rasjonalt ut trykk er på for men P(x), der P(x) og Q(x) er po ly no mer. Q(x) I det te ka pit te let skal vi lære å for kor te noen sli ke ut trykk. Hvis det skal være mu lig å for kor te det ra sjo na le ut tryk ket x2 5x + 6 x, må 2 (x 2) være en fak tor i tel le ren x 2 5x + 6. Da må tel le ren x 2 5x + 6 = når x = 2. Vi un der sø ker det: = = Der med kan vi for kor te ut tryk ket en ten ved å ut fø re polynomdivisjonen (x 2 5x + 6) : (x 2) el ler ved å faktorisere tel le ren ved hjelp av nullpunktene. 35

29 x 2 5x + 6 har null punk te ne x = 2 og x = 3. Der med er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Det gir: x 2 5x + 6 (x 2) (x = 3) = x 3 x 2 (x 2) P(x) At vi kan for kor te ut tryk ket x x, er det sam me som å si at (x x ) er en fak tor i P(x). Det er det sam me som at P(x ) =. La P(x) være et po ly nom. Da kan vi for kor te P(x ) =. P(x) x x hvis og bare hvis EKS EM PEL Forkort uttrykket x 3 2x 2 5x + 6 x 3 hvis det er mu lig. Først un der sø ker vi om det er mu lig å for kor te ut tryk ket. Da må telleren P(x) = når x = 3. P(3) = = = Ut tryk ket kan for kor tes, og vi ut fø rer en polynomdivisjon: Dermed er (x 3 2x 2 5x + 6) : (x 3) = x 2 + x 2 x 3 3x 2 x 2 5x x 2 3x 2x + 6 2x + 6 x 3 2x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2 + x 2) og x 3 2x 2 5x + 6 x 3 = (x 3)(x2 + x 2) = x x x Sinus R1 > Algebra

30 EKS EM PEL Un der søk om vi kan for korte uttrykket x 3 x + 2 x + 2 Det er mu lig å forkorte uttrykket hvis telleren P(x) = når x = 2. P( 2) = ( 2) 3 ( 2) + 2 = = 4 Det er ikke mu lig å for kor te ut tryk ket.? Opp ga ve 1.7 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjø re. a) x2 + x 2 x 1 b) 2x2 + 4x 6 x + 3 c) x 2 + 5x 14 x 2 d) 2x2 + 6x 2 2x 6 Opp ga ve 1.71 Forkort uttrykkene om mu lig. a) x3 + x 2 x 1 b) x3 + 6x x + 6 x + 3 c) x 3 9x 3x + 6 d) x + 1 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 Opp ga ve 1.72 For hvil ke a kan vi for korte uttrykket x 2 + 5x + a x + 2 I de eks emp le ne og opp ga ve ne vi har reg net til nå, har det vært et førstegradsuttrykk i nev ne ren el ler tel le ren. Nå skal vi se på ra sjo na le ut trykk der vi ikke har noe førstegradsuttrykk. EKS EM PEL Forkort uttrykket x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x

31 Vi faktoriserer nevneren. Likningen x 2 5x + 6 = har løsningene x = 2 og x = 3. Der med er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Nå un der sø ker vi om (x 2) el ler (x 3) er fak torer i telleren, som vi set ter lik P(x). (x 2) er en fak tor hvis P(2) =. P(2) = = = 3 Der med er (x 2) ikke en fak tor. (x 3) er en fak tor hvis P(3) =. P(3) = = = Alt så er (x 3) en fak tor, og denne divisjonen går opp: Etter dette er Det gir (x 3 3x 2 x + 3) : (x 3) = x 2 1 x 3 3x 2 x + 3 x + 3 (x 3 3x 2 x + 3) = (x 2 1) (x 3) x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x + 6 Vi flyt ter ned to ledd for di både and reog tredjegradsleddet for svin ner. = (x2 1)(x 3) (x 2)(x 3) = x2 1 x 2? Opp ga ve 1.73 For kort ut tryk ke ne hvis det lar seg gjø re. a) x3 2x + 4 x 2 4 b) x 2 + 4x + 3 x 3 + 3x 2 4x 12 Opp ga ve 1.74 For hvil ke ver dier av a kan vi for korte uttrykket x 3 4x 2 + 6x + a x 2 4x Sinus R1 > Algebra

32 1.8 Ra sjo na le lik nin ger En brøk er ikke de fi nert når nev ne ren er null. I ra sjonale uttrykk må vi der for pas se på at nev ne ren ikke blir null. I ut trykket x + 1 x(x 2) er nev ne ren null når x = og når x = 2. Det er ikke mu lig å set te inn x = eller x = 2 i ut trykket. Der for må vi for utsette at x og at x 2 når vi reg ner med det te ut trykket. Slike forut set nin ger er svært vik ti ge når vi lø ser lik nin ger der den ukjen te er med i nev ne ren. EKS EM PEL Løs likningen. 2 x 2 2x + 2 x = 1 x 2 Faktorisering av nev nere n gir 2 x(x 2) + 2 x = 1 x 2 Nev ne ren er lik null når x = og når x = 2. Vi må der for forutsette at x og at x 2. Nå multipliserer vi med fellesnevneren x(x 2) på beg ge si dene av likhetstegnet. 2 x(x 2) + x(x 2) 2 x(x 2) x (x 2) = 1 x 2 + 2x 4 = x 2x 2 = x 2x x = 2 x = 2 In gen løs ning 1 x(x 2) = (x 2) Likningen har ingen løs ning for di vi forutsatte at x 2. Det er ikke mu lig å set te inn x = 2 i den lik nin gen vi skul le løse. 39

33 EKS EM PEL Løs likningen x x 3 2 x 1 = 4 x 2 4x + 3 Først faktoriserer vi nev ne ren x 2 4x + 3. Andregradsuttrykket har nullpunktene x = 1 og x = 3. Der med er x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3) Likningen blir x x 3 2 x 1 = 4 (x 1)(x 3) I denne likningen må x 1 og x 3, for nev ner ne kan ikke være lik null. Nå multipliserer vi med fel les nev ne ren (x 1)(x 3). x (x 1)(x 3) (x 3) x(x 1) 2(x 3) = 4 x 2 x 2x + 6 = 4 x 2 3x + 2 = 2 (x 1)(x 3) (x 1) Andregradsformelen eller lommeregneren gir x = 1 el ler x = 2 = 4 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) Men x = 1 pas ser ikke inn i lik ningen i oppgaven. Dermed er løsningen x = 2? Opp ga ve 1.8 Løs lik ningene. a) 1 x + 1 x 2 = 2 x 2 2x 2 b) x 3 4 x 2 3x = 1 x 2 c) x 1 3 x + 1 = 4 x Sinus R1 > Algebra

34 ? Opp ga ve 1.81 Løs likningene. a) c) x x x 2 + 2x = 3 x x x x 2 2x 8 = 3 x 4 x b) x 3 2 x = 9 x 2 3x 3 d) x 2 4x x + 1 = x x 5 Hvis den ra sjo na le lik nin gen gir oss en tredjegradslikning, må vi van lig vis kjen ne en av løs ningene for å fin ne de and re. EKS EM PEL a) Vis at x = 1 er en løs ning av lik nin gen x 2 x x 6 x 2 + 5x + 6 = 8x x + 2 b) Finn de and re løs ningene. a) Vi set ter inn x = 1 på venstre og på høyre side av lik hets teg net og sammenlikner. 1 V.s. = = = = = 8 3 H.s. = = 8 3 x = 1 er en løs ning. b) Nå faktoriserer vi nev ne ren x 2 + 5x + 6. Null punk te ne er x = 2 og x = 3. Der med er x 2 + 5x + 6 = (x ( 2))(x ( 3)) = (x + 2)(x + 3) Likningen blir x 2 x x 6 (x + 2)(x + 3) = 8x x + 2 Her må x 2 og x 3. Fel les nev ne ren er (x + 2)(x + 3). Vi gan ger med den på beg ge si de ne av lik hets tegnet. x 2 (x + 3) (x + 2)(x + 3) + 35x 6 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) = 8x (x + 2)(x + 3) (x + 2) x 2 (x + 2) + 35x 6 = 8x (x + 3) x 3 + 2x x 6 = 8x x x 3 6x x 6 = 41

35 x = 1 er en løs ning av lik nin gen og må der for også være et null punkt for det te tredjegradsuttrykket. Den ne di vi sjo nen må da gå opp: (x 3 6x x 6) : (x 1) = x 2 5x + 6 x 3 x 2 5x x 5x 2 + 5x 6x 6 6x 6 Der med er x 3 6x x 6 = (x 1)(x 2 5x + 6) Likningen blir (x 1)(x 2 5x + 6) = x 1 = el ler x 2 5x + 6 = Andregradslikningen har løsningene x = 2 og x = 3. Det gir løsningene x = 1, x = 2 og x = 3? Opp ga ve 1.82 a) Vis at x = 2 er en løs ning av lik nin gen 1x + 4 x 2 + 2x 3 = x 2 x x x 1 b) Finn de and re løsningene Sinus R1 > Algebra 1.9 Ra sjo na le ulik he ter Ulikheten x x > kaller vi en ra sjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 2x på beg ge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Ut tryk ket 4 2x er po sitivt for noen ver dier av x og ne ga tivt for and re ver di er. Hvis vi mul tipliserer med 4 2x, vet vi ikke len ger hvil ken vei ulik hetstegnet skal vende. Der for må vi lage en fortegnslinje.

36 Vi la ger fortegnslinjer for tel le ren og for nev ne ren hver for seg x x x x x Hvis tel leren og nevneren har sam me for tegn, blir brø ken positiv. Hvis telleren og nev ne ren har mot satt for tegn, blir brø ken ne ga tiv. Brø ken er null når tel le ren er null (x = 3). Brø ken er ikke de fi nert når nev ne ren er null (x = 2). Det punk tet mar ke rer vi ved å la to pilspisser møtes. Slike punkter ligger alltid under nullpunktene til nevneren.! Vi skal fin ne ut når ut tryk ket er po sitivt. Svaret fin ner vi der fortegnslinja er heltrukket. x + 3 > når 3 < x < 2 4 2x Fortegnslinjemetoden fun ge rer bare når vi har null på høy re side av ulikhetstegnet. Hvis vi har and re tall el ler ut trykk på høy re side, må vi ord ne uttrykket vårt slik at vi får null på høy re side. EKS EM PEL Løs ulik he ten x x 2 < 2. x x 2 < 2 x x 2 2 < x x 2 2(x 2) < x 2 x (2x 4) < x 2 x 2x + 4 < x 2 x + 4 x 2 < Legg mer ke til hvor dan vi gjør om tal let 2 til en brøk med x 2 som nev ner. 43

37 Nå kan vi lage fortegnslinje x x + 4 x 2 x + 4 x 2 Her skal vi fin ne ut når ut trykket er negativt. Svaret fin ner vi der vi har stiplet linje. x + 4 < når x < 2 og når x > 4 x 2! Multipliser aldri begge side ne av et ulik hets tegn med et ut trykk som kan være både po sitivt og negativt.? Opp ga ve 1.9 Løs ulikhetene. a) x 3 x + 1 > b) 2x + 4 x 1 < c) 2 x + 3 > d) 4 + x 3 2x Opp ga ve 1.91 Løs ulikhetene. a) x 1 x + 1 > 1 b) 2x 4 x 1 3 c) 2 x 1 < 2 d) 2x 4 x 2 > 3 Ulikheten i eksempelet ovenfor kan vi også løse på lommeregneren. ON CA SIO Vi vel ger GRAPH, tryk ker på TYPE, F6 og F1 (Y>) og leg ger inn uttrykket Y1 > ( X + 4)/(X 2) Deretter trykker vi på TYPE, F6 og F2 (Y<) og leg ger inn ut tryk ket Y2 < TEXAS Vi tryk ker på Y= og leg ger inn uttrykket Y1 = ( X + 4)/(X 2) < Teg net < fin ner vi ved å tryk ke på TEST og vel ge 5: < Sinus R1 > Algebra

38 Nå tryk ker vi på V-Window og velger vin du be stemt ved at x [ 3, 7] og y [ 5, 5]. Vi tryk ker på EXIT og på F6 (DRAW). Lommeregne ren skra ve rer da først alle punk ter som ligger over grafen. Deretter fjerner den skra ve rin gen som ikke lig ger un der x-ak sen. Vi kan da lese av løs nin gen på det skjerm bil det vi får fram. Lommeregneren setter Y1 lik 1 hvis X pas ser i ut tryk ket ( X + 4)/(X 2) <. Hvis X ikke pas ser, blir ut tryk ket lik. Nå vel ger vi et vin du be stemt ved at x [ 5, 5] og y [ 5, 5]. Når vi så tryk ker på GRAPH, får vi det te skjermbildet: OFF Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 Ulikheten har løsningen x < 2 el ler x > 4? Opp ga ve 1.92 Løs opp ga ve 1.91 ved hjelp av lom meregneren. Noen gan ger må vi faktorisere and re- el ler tredjegradsuttrykk når vi lø ser rasjonale ulikheter. EKS EM PEL Løs ulikheten x + 1 > 5x 1 x + 1 Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og set ter alt på fel les brøk strek. x + 1 > 5x 1 x + 1 (x + 1)(x + 1) x + 1 5x 1 x + 1 > (x 2 + 2x + 1) (5x 1) > Pass på parentesen om (5x 1). x

39 x 2 + 2x + 1 5x + 1 > x + 1 x 2 3x + 2 > x + 1 Telleren x 2 3x + 2 har null punk te ne x = 1 og x = 2. Der med er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Inn satt i ulik he ten gir det (x 1)(x 2) > x + 1 Nå la ger vi fortegnslinjer: x x 1 x 2 x + 1 (x 1)(x 2) x + 1 x + 1 > 5x 1 x + 1 når 1 < x < 1 og når x > 2? Opp ga ve 1.93 Løs ulikheten. 8 6x 1 x > x + 2 Opp ga ve 1.94 Løs ulikhetene. x(x 2) a) x + 1 > b) x x 3 > x 1 3x c) > x d) 3x + 1 x 2 x + 1 > 2x 3 Opp ga ve 1.95 a) Vis at x = 2 er en løs ning av lik nin gen x 3 4x 2 + x + 6 = 2x 2 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 < 2x Sinus R1 > Algebra

40 SAM MEN DRAG Im pli ka sjon Skrivemåten A B be tyr at hvis på stan den A er rik tig, så er også påstanden B rik tig. Ek vi va lens To påstander A og B er ek vivalente dersom på stand A er rik tig hvis og bare hvis på stand B er rik tig. Vi skri ver A B. To lik nin ger er ek vivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et po ly nom Q(x), får vi en rest med la ve re grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Res ten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir res ten r = P(x ). Divisjonen P(x) : (x x ) går opp P(x ) = Fak tor i et po ly nom (x x ) er en fak tor i po ly no met P(x) når og bare når P(x ) =. Faktorisering av andregradsuttrykk Der som andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to null punk te ne x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Der som andregradsuttrykket har ett null punkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har null punk ter, er det ikke mu lig å faktorisere ut tryk ket i førstegradsfaktorer. Ra sjo na le ut trykk Et rasjonalt ut trykk er på for men P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) For kor ting av ra sjo na le ut trykk Vi kan for kor te P(x) x x hvis og bare hvis P(x ) =. 47

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13 Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...

Detaljer

1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer

1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Innhold Del 1 Forutsetninger og betingelser............................. 15 1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Rune Assmann og Tore Hil le stad............................

Detaljer

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE Innhold Ka pit tel 1 Etablering, drift og avvikling av virksomhet...................... 13 1.1 Ut meis ling av for ret nings ide en i en for ret nings plan................13 1.2 Valg mel lom en kelt per

Detaljer

Innhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter.

Innhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter. Innhold Kapittel 1 For br u ker k jøps lo vens omr åde 1.1 Innledning...15 1.2 For bru ker kjøps lo vens vir ke om rå de. Hva lo ven gjel der for el ler re gu le rer...17 1.2.0 Litt om begrepet «kjøp»

Detaljer

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?...

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?... Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16 Del 1 HR som kil de til lønn som het... 21 Ka pit tel 2 For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva

Detaljer

Innledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18

Innledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18 Innhold Innledning...16 Kapitlene... 17 Ano ny mi tet... 18 Del I Innledning til mentoring KapIttel 1 Introduksjon til mentoring...20 Bak grunn...20 Be gre pe ne...22 Sponsorship og ut vik len de mentoring...23

Detaljer

1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser

1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Innhold 1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Gre te Rus ten, Leif E. Hem og Nina M. Iver sen 13 Po ten sia let i uli ke mål

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 InnholD bak grunn... 11 h E n s i k t... 12 inn hold... 12 mo ti va sjon og takk... 13 Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 o p p h E v E l s E n av t y n g d E k r a

Detaljer

PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER

PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER 32 PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER RAGN HILD SIL KO SET før s te ama nu en sis dr.oecon, In sti tutt for mar keds fø ring, Han dels høy sko len BI PRIS OG BESLUTNINGER I BEDRIFTER Pris har til dels

Detaljer

med en ball, men beg ge var for langt unna til at Frank kun ne tref fe dem. Frank så seg om. Ka me ra ten Phil Co hen sto rett i nær he ten.

med en ball, men beg ge var for langt unna til at Frank kun ne tref fe dem. Frank så seg om. Ka me ra ten Phil Co hen sto rett i nær he ten. 1 Kanonball-kluss Nå har jeg deg! Frank Har dy brå snud de. En ball kom flygen de mot ham. Han duk ket i sis te li ten. Du bommet! svarte han. Så bøy de han seg og tok opp en an nen ball fra bak ken. De

Detaljer

De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om?

De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om? [start kap] De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om? Kjell Lars Ber ge og Ja nic ke Hel dal Stray De mo kra tisk med bor ger skap i sko len? De mo kra ti er van ske lig, selv for et gjen nom

Detaljer

1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar

1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar Oppgaver 1 Vektorer KATEGORI 1 1.1 Implikasjon og ekvivalens Oppgave 1.110 Er noen av im plikasjonene gale? a) Ola er nord mann Ola er fra Nor den b) Kari har tatt ser tifi kat for bil Kari er 18 år c)

Detaljer

Oppfattet servicekvalitet. Oppfattet service. Forventet service. Organisasjonsimage. Teknisk kvalitet (Hva?) Funksjonell kvalitet (Hvordan?

Oppfattet servicekvalitet. Oppfattet service. Forventet service. Organisasjonsimage. Teknisk kvalitet (Hva?) Funksjonell kvalitet (Hvordan? lingen i kjøper selger-relasjonen oppleves. Denne delen av kvaliteten er knyttet til prosessen og samhandlingen, og illustrerer hvordan verdiene blir fremstilt i samhandlingen og møtet mellom kundene og

Detaljer

Tap på ford ring mel lom nær stå en de sel ska per: Avskjær ing av fra drags rett ved tap

Tap på ford ring mel lom nær stå en de sel ska per: Avskjær ing av fra drags rett ved tap Tap på ford ring mel lom nær stå en de sel ska per: Avskjær ing av fra drags rett ved tap Artikkelen er forfattet av: Fast ad vo kat Chris ti ne Buer Ad vo kat fir ma et Schjødt Nye av skjæ rings reg ler

Detaljer

www.handball.no Spil le reg ler

www.handball.no Spil le reg ler www.handball.no Spil le reg ler Ut ga ve: 1. juli 2010 Copyright NHF 2010 Innholdsfortegnelse FOR ORD 3 Re gel 1 Spil le ba nen 4 Re gel 2 Spil le ti den, slutt sig na let og ti me out 9 Re gel 3 Bal len

Detaljer

Trom sø/stav an ger/oslo, ja nu ar 2012 Nils As bjørn Eng stad Ast rid Lær dal Frø seth Bård Tøn der

Trom sø/stav an ger/oslo, ja nu ar 2012 Nils As bjørn Eng stad Ast rid Lær dal Frø seth Bård Tøn der Forord Det er i år 100 år si den Den nor ske Dom mer for en ing ble stif tet. Stif tel sen fant sted 4. mai 1912 på et møte der det del tok 24 domme re. De nær me re om sten dig he ter om kring stif tel

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Man dals ord fø re rens for ord

Man dals ord fø re rens for ord Man dals ord fø re rens for ord Man dal blir ofte om talt som den lil le byen med de sto re kunst ner ne. Noen av de kunst ner ne vi ten ker på, er nett opp de fem kunst ner ne som blir om talt i den ne

Detaljer

Ut ford rin ger sett fra nord Eli sa beth An gell, Svein ung Ei ke land og Per Sel le

Ut ford rin ger sett fra nord Eli sa beth An gell, Svein ung Ei ke land og Per Sel le Innhold Ut ford rin ger sett fra nord... 15 Eli sa beth An gell, Svein ung Ei ke land og Per Sel le D en nye nord om r å de p o li t ik ken... 18 Stat lig sat sing før og nå... 20 De sentrale arenaene...

Detaljer

Inn led ning...13 Ut ford rin ger for forsk nin gen på entreprenørskapsopplæring bokas bidrag...15 Bokas innhold...17 Re fe ran ser...

Inn led ning...13 Ut ford rin ger for forsk nin gen på entreprenørskapsopplæring bokas bidrag...15 Bokas innhold...17 Re fe ran ser... Innhold Kapittel 1 Forsk ning på entreprenørskapsopplæring...13 Ve gard Johansen og Liv Anne Stø ren Inn led ning...13 Ut ford rin ger for forsk nin gen på entreprenørskapsopplæring bokas bidrag...15 Bokas

Detaljer

Talsmann. QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen. Geir Strand hjalp Sigrids familie.

Talsmann. QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen. Geir Strand hjalp Sigrids familie. UTGITT AV NORSK JOURNALISTLAG 14 2012 21. SEPTEMBER 96. ÅRGANG B-blad Talsmann Geir Strand hjalp Sigrids familie. FOTO: martin huseby jensen Side 6-10 QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen Geir

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

STY RE LE DE REN: FRA ORD FØ RER TIL LE DER OG MO TI VA TOR

STY RE LE DE REN: FRA ORD FØ RER TIL LE DER OG MO TI VA TOR 28 STY RE LE DE REN: FRA ORD FØ RER TIL LE DER OG MO TI VA TOR MOR TEN HUSE er professor ved Institutt for innovasjon og økonomisk organisering ved Handelshøyskolen BI. Huse har også undervist ved Svenske

Detaljer

Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk Henriette Sinding Aasen og Nanna Kildal

Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk Henriette Sinding Aasen og Nanna Kildal Innhold Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk... 13 og Nanna Kildal Kapittel 2 Sentrale begreper, utviklingslinjer og teoretiske perspektiver... 17 Utviklingslinje

Detaljer

Vektorer. Mål. for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

Vektorer. Mål. for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne 8 Vektorer Mål for opp læ rin gen er at ele en skal kun ne gjøre rede for begrepene implikasjon og ekialens, kjenne til anlige matematiske beistyper og argumentasjon og gjennomføre matematiske beis gjøre

Detaljer

For skjel le ne fra GRS

For skjel le ne fra GRS IFRS SME del I: For skjel le ne fra GRS Artikkelen er forfattet av: Stats au to ri sert re vi sor Hege Kors mo Sæ ther Den nor ske Re vi sor for en ing Re gi strert re vi sor Rune Ty stad Den nor ske Re

Detaljer

Tema for be ret nin ger med for be hold

Tema for be ret nin ger med for be hold Rev isjon sberetninger noen er fa rin ger Den ne ar tik ke len tar for seg er fa rin ger med bruk av re vi sjons be ret nin ger fra års opp gjø ret 2010 i egen prak sis og gjen nom les ning av re vi sjons

Detaljer

In tro duk sjon. Ing rid Helg øy og Ja cob Aars

In tro duk sjon. Ing rid Helg øy og Ja cob Aars In tro duk sjon Ing rid Helg øy og Ja cob Aars I den ne bo ken ret ter vi opp merk som he ten mot hvor dan ut for ming av po litisk-ad mi nist ra ti ve in sti tu sjo ner får kon se kven ser for myn dig

Detaljer

Ikke-norske nasjonaliteter i petroleumsvirksomheten?

Ikke-norske nasjonaliteter i petroleumsvirksomheten? MAGMA 313 fagartikler 5 Ikke-norske nasjonaliteter i petroleumsvirksomheten? Laila Potoku Ansatt i Dovre, har utdanningspermisjon for å ta en mastergrad innenfor Organisasjon og ledelse. Har års arbeidserfaring

Detaljer

Skatt. Del I: Artikkelen er forfattet av:

Skatt. Del I: Artikkelen er forfattet av: Del I: Skattefri omorganisering mv. over landegrensene Nye reg ler gir krav på skat te fri tak ved gren se over skri den de om or ga ni se rin ger mv. og ved ut flyt ting av sel ska per. Ar tik ke len

Detaljer

Hvordan nasjonal opprinnelse

Hvordan nasjonal opprinnelse 50 Bør leverandører bruke sin norske opprinnelse i markedsføringen? Erik B. Nes har PhD fra University of Wisconsin Madison. Han er 1.amanuensis i markedsføring og associate dean ved Handelshøyskolen BI.

Detaljer

Ny ISA 600. Re vi sjon. Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per:

Ny ISA 600. Re vi sjon. Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per: Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per: Ny ISA 600 ISA 600 Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per er en av stan dar de ne der det har skjedd størst end rin ger i

Detaljer

PO SI TIVT LE DER SKAP

PO SI TIVT LE DER SKAP 22 PO SI TIVT LE DER SKAP Jak ten på de po si ti ve kref te ne JON-ARILD JO HAN NES SEN har doktorgrad i systemteori fra Universitetet i Stockholm. Han har vært professor på Handelshøyskolen BI, og rektor

Detaljer

skri ve for ord. Han ga en ut før lig skrift lig be grun nel se for dette. Den ne be grun nel sen gjen gir vi her et ter av ta le med Tran øy.

skri ve for ord. Han ga en ut før lig skrift lig be grun nel se for dette. Den ne be grun nel sen gjen gir vi her et ter av ta le med Tran øy. FOR LA GETS FOR ORD Den dan ske bo ken Jæ ger ble møtt med krav om for bud da den ut kom for et par må ne der si den. Det dan ske for sva ret men te de ler av bo ken var ska de lig for dan ske sol da ter

Detaljer

Mot kref te nes sis te kram pe trek nin ger?

Mot kref te nes sis te kram pe trek nin ger? De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning, til hel se po li

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Innhold. Del I Selbukollektivets historie sett fra leders perspektiv Fakta Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?...

Innhold. Del I Selbukollektivets historie sett fra leders perspektiv Fakta Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?... Innhold Fakta...15 Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?...17 Inger Granby Unge rusmiddelavhengige bærere av en sammensatt problematikk...17 Rus re for men av 2004 et skritt fram el ler to til ba

Detaljer

Le del se i teo ri og prak sis er et stort og sam men satt fag felt der norske og nordiske forskere har gjort seg stadig mer bemerket både nasjonalt og internasjonalt. Samtidig er lederlønn, lederutvikling,

Detaljer

SuK sess Kri te ri er for. Læ rings KuL tur

SuK sess Kri te ri er for. Læ rings KuL tur faglige perspektiver MAGMA 0310 fagartikler 63 SuK sess Kri te ri er for etab Le ring av en sterk Læ rings KuL tur Cathrine Filstad er førsteamanuensis ved Handelshøyskolen BI. Hun har forsket, publisert

Detaljer

BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN

BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN MAGMA 0409 FAGARTIKLER 45 BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN PEDER INGE FURSETH er dr.polit. og førsteamanuensis ved Institutt for innovasjon og økonomisk organisering, Handelshøyskolen

Detaljer

regn skap og skatt Sel skaps rett Del I:

regn skap og skatt Sel skaps rett Del I: Del I: Samv irkeforetak selskapsrett, regn skap og skatt Den ne del I av ar tik ke len tar for seg ak tuelle pro blem stil lin ger, mo men ter, ut ford rin ger og kon se kven ser som kan være ele men ter

Detaljer

FOR ORD TIL SIV FØRDES BOK

FOR ORD TIL SIV FØRDES BOK AV PROFESSOR DR. MED. PER FUGELLI I Ot ta wa-char te ret om hel se frem men de ar beid he ter det: «Health is created and lived by peop le with in the set tings of their everyday life; where they learn,

Detaljer

LIZA MARK LUND. Fasadefall OVERSATT AV DOR THE EMILIE ERICH SEN, MNO

LIZA MARK LUND. Fasadefall OVERSATT AV DOR THE EMILIE ERICH SEN, MNO LIZA MARK LUND Fasadefall OVERSATT AV DOR THE EMILIE ERICH SEN, MNO PROLOG Et menneske kan bare opp fat te en viss meng de smerte. Og så be svi mer man. Be visst he ten slår seg av, akkurat som sikringen

Detaljer

LIVSSTIL. Kamillepuls. Villa Fredbo: Line Evensen har en oase av et ba de væ rel se i sitt hjem Villa Fredbo på Nesodden.

LIVSSTIL. Kamillepuls. Villa Fredbo: Line Evensen har en oase av et ba de væ rel se i sitt hjem Villa Fredbo på Nesodden. LIVSSTIL HVEM: Line Evensen BOR: I en sveit ser vil la fra 1875 på Nesodden utenfor Oslo. FAMILIE: De tre bar na Agaton Sofus (7), Oliam Cornelius (10) og Emil (26), kjæ res ten Bosse og hans to barn,

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Når den blin de skal lede den døve tol ke bruk i psy kisk helse vern

Når den blin de skal lede den døve tol ke bruk i psy kisk helse vern Fra prak sis Når den blin de skal lede den døve tol ke bruk i psy kisk helse vern Bruk av tolk er en pro blem stil ling som de fles te psy ko lo ger i kli nisk prak sis har blitt el ler kom mer til å bli

Detaljer

BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV

BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV 24 FAGARTIKLER MAGMA 0409 BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV MO NI CA VI KEN er cand.jur. fra Uni ver si te tet i Oslo. Hun er før s te lek tor og Associate Dean ved Han

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Innhold. Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17. Kapittel 2 Psy ko lo gisk ald ring... 25

Innhold. Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17. Kapittel 2 Psy ko lo gisk ald ring... 25 Innhold Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17 Av Olav Slet vold og Ha rald A. Ny gaard Le ve al der... 17 Ge ne relt om teo ri er for ald ring... 17 Ald rings teo ri er... 18 Livs l pet som per spek tiv

Detaljer

Forfatterens forord til den norske utgaven

Forfatterens forord til den norske utgaven Forfatterens forord til den norske utgaven 6 Klart lederskap J eg er svært glad for at denne boken nå utgis på norsk. Norge er et land med sterke tradisjoner for samarbeid innen ledelse og organisasjon.

Detaljer

Inn led ning. In ge bjørg Hage 4 INGEBJØRG HAGE

Inn led ning. In ge bjørg Hage 4 INGEBJØRG HAGE Inn led ning In ge bjørg Hage Be no ni vedblev å indrede hu set og naus tet, nu pa nel te og mal te han sit hjem som and re stormænd og folk som så hans stue fra sjø en de sa: Der lig ger ho ved byg ningen

Detaljer

Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt for samfunnsøkonomi, Norges Handelshøyskole (NHH). Hun er ph.d. fra NHH (2008).

Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt for samfunnsøkonomi, Norges Handelshøyskole (NHH). Hun er ph.d. fra NHH (2008). MAGMA 512 fagartikler 45 Et valg i blinde? F Norske ungdommers kjennskap til ulikheter i arbeidsmarkedet før de gjør sine utdanningsvalg Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt

Detaljer

Bestilling og ordremottak Lager og produksjon Regnskap og økonomi. Ordre. Produksjon. Uttak varer. (Fnr - S ) K -s

Bestilling og ordremottak Lager og produksjon Regnskap og økonomi. Ordre. Produksjon. Uttak varer. (Fnr - S ) K -s Ri si ko sty ring og inter n kontroll Artikkelen er forfattet av: tats au to ri sert re vi sor Tore a muel sen Part ner BDO Bestilling og ordremottak Lager og produksjon Regnskap og økonomi Bestilling

Detaljer

Vir vel vin den fra Vika. Di vi sjons di rek tør Arne Hol te

Vir vel vin den fra Vika. Di vi sjons di rek tør Arne Hol te In ter vju FOTO: Marie Lind Di vi sjons di rek tør Arne Hol te Vir vel vin den fra Vika 329 333 Han er en ekte Oslo-gutt, men som psy ko lo gi pro fes sor og helseaktør har han satt spor over hele lan

Detaljer

Ind re sel skap og til ord ning av inn tekt

Ind re sel skap og til ord ning av inn tekt Ut valg te pro blem stil lin ger: Ind re sel skap og til ord ning av inn tekt Artikkelen er forfattet av: S e n i o r r å d g i v e r Ole An ders Grin da len Skatt øst S e n i o r r å d g i v e r Rag nar

Detaljer

Juss og re to rikk inn led ning

Juss og re to rikk inn led ning At ret ten er re to risk, er gam melt nytt. I vår tid er det te li ke vel gått i glemme bo ken. Med gjen nom brud det av det mo der ne var det for nuf ten og viten ska pen som gjaldt, og det har pre get

Detaljer

Bokens oppbygning...12. Hvordan og hvorfor ble førskolelærerutdanningen som den ble?...23

Bokens oppbygning...12. Hvordan og hvorfor ble førskolelærerutdanningen som den ble?...23 Innhold Introduksjon...11 Bokens oppbygning...12 Kapittel 1 Profesjonsutdanning en reise...15 En reise...15 Profesjonsutdanning...16 Begynnelse og slutt på reisen?...17 Før sko le læ rer ut dan ne ren...18

Detaljer

Innledning... 13 Noen be grep... 16 Mange muligheter... 17

Innledning... 13 Noen be grep... 16 Mange muligheter... 17 Innhold Innledning........................................... 13 Noen be grep........................................... 16 Mange muligheter....................................... 17 KAPITTEL 1 Hva skjer

Detaljer

Høy sko le lek tor II, ad vo kat Gun nar Kas per sen Fri stil ling av ar beids ta ke re mo te ord el ler ju ri disk be grep?...

Høy sko le lek tor II, ad vo kat Gun nar Kas per sen Fri stil ling av ar beids ta ke re mo te ord el ler ju ri disk be grep?... Innhold Sti pen diat Kari Bir ke land Re vi sors rol le et ter regn skaps lo ven 3-3b fore taks sty ring i års be ret nin gen... 16 1 Inn led ning... 16 2 Kort om kra ve ne til re de gjø rel se om fore

Detaljer

Innhold. 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13. 2 Å lære i og av na tu ren... 29. 3 Cel len og livs pro ses se ne...

Innhold. 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13. 2 Å lære i og av na tu ren... 29. 3 Cel len og livs pro ses se ne... Innhold 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13 Læring med forståelse... 13 Nærkontakt med liv... 14 Varierte arbeidsmåter i biologi... 15 Forskerspiren og utforskende arbeidsmåter...

Detaljer

Bru ker med virk ning i ut dan nin gen. Hvis bru kerne fikk be stem me, vil le

Bru ker med virk ning i ut dan nin gen. Hvis bru kerne fikk be stem me, vil le Re por ta sje Ill.: YAY MICRO/Arne Olav L. Hageberg Hvis bru kerne fikk be stem me BAKGRUNN Bru ker med virk ning i ut dan nin gen Bru ker med virk ning er en lov fes tet ret tig het, og ikke noe tje nes

Detaljer

Da ver den ras te sam men

Da ver den ras te sam men 1940 1945 Be ret nin ger om krigsbarndom Da ver den ras te sam men 21 25 På min ni års dag ble far tatt av na zis te ne som gis sel for min bror. Med ham for svant den tryg ge vok sen ver de nen. Mor lev

Detaljer

Digital infrastruktur for museer

Digital infrastruktur for museer Digital infrastruktur for museer En evaluering av Kulturrådets satsing Audun Gleinsvik, Elise Wedde og Bjørn Nagell Digital infrastruktur for museer En evaluering av Kulturrådets satsing AU DUN GLEINS

Detaljer

Svar oss på dette! Før stor tings val get 2009

Svar oss på dette! Før stor tings val get 2009 Re por ta sje Før stor tings val get 2009 Svar oss på dette! For ri ge må ned ble par ti le der ne ut ford ret på hva de men te om psy kisk hel se i sko le ne, rus og pa pir lø se mi gran ter. I den ne

Detaljer

Møte med et «løvetannbarn»

Møte med et «løvetannbarn» 1940 1945 Beretninger om krigsbarndom H. Hjor BAR NE HJEM: Le ben s- bornbarn i le ke rom met på Kinderheim Godt haab i Bæ rum. Foto: Nor ges Hjem me front mu se um Møte med et «løvetannbarn» 29 33 Vi

Detaljer

FagartiklEr teknologi EllEr personlig service: hvordan påvirkes kundenes lojalitet? sammendrag innledning

FagartiklEr teknologi EllEr personlig service: hvordan påvirkes kundenes lojalitet? sammendrag innledning MAGMA 1009 fagartikler 33 Teknologi eller personlig service: Hvordan påvirkes kundenes lojalitet? Line Lervik Olsen er førsteamanuensis ved Handelshøyskolen BI, institutt for markedsføring. Hun har ansvar

Detaljer

HEROISK HR PRAGMATISKE PRAKTIKERE

HEROISK HR PRAGMATISKE PRAKTIKERE 44 HEROISK HR PRAGMATISKE PRAKTIKERE Hvor dan HR kan bi dra til bed re re sul ta ter SVEIN S. AN DER SEN er professor i organisasjonsstudier ved handelshøyskolen BI, og professor II på Senter for Trening

Detaljer

CARL JO HAN SEN SKINN RO MAN

CARL JO HAN SEN SKINN RO MAN CARL JO HAN SEN SKINN RO MAN Tom Nord ten ner en si ga rett og blir sit ten de og se for nøyd på røyk rin ge ne som sti ger opp mot ta ket. Han er åpen bart, selv på nært hold, en fjern stjer ne, uvil

Detaljer

Mor og psy ko log i møte med offent lige helse tje nes ter

Mor og psy ko log i møte med offent lige helse tje nes ter Fag es say Mor og psy ko log i møte med offent lige helse tje nes ter 466 471 Som psy ko log spør jeg meg jevn lig hvor dan klien ten opp le ver å møte hel se ve se net ved meg som psy ko log. Som mor

Detaljer

Kog ni ti ve, af fek ti ve og selv re gule ren de me ka nis mer i ope ra ti ve ri si ko si tua sjo ner

Kog ni ti ve, af fek ti ve og selv re gule ren de me ka nis mer i ope ra ti ve ri si ko si tua sjo ner Ka pit tel 6 Av Før s te AMA nu en sis i Ge ne rell Psy Ko lo gi The re se Kobbel tvedt og Før s te AMA nu en sis i Kog ni tiv Psy Ko lo gi Wi BeC Ke Brun, Uni ver si te tet i Ber gen Kog ni ti ve, af

Detaljer

re vi sjon av regnskapsestimater.

re vi sjon av regnskapsestimater. Utfordr inger k ny ttet til re vi sjon av regnskapsestimater Re vi sjon av es ti ma ter i regn ska pet be rø rer grunn leg gen de pro blem stil lin ger knyt tet til regn skaps rap por te rin gen og hvor

Detaljer

Sammendrag. tider er fokus første og fremst rettet mot kostnadsreduksjoner og efektivisering av forretningsprosesser.

Sammendrag. tider er fokus første og fremst rettet mot kostnadsreduksjoner og efektivisering av forretningsprosesser. 5 fagartikler MAGMA 21 OUTSOURCING I TURBULENTE TIDER HANS SOLLI-SÆTHER, postdoktor, Handelshøyskolen BI. Hans Solli-Sæther er cand. scient. fra Universitetet i Oslo og dr. oecon. fra Handelshøyskolen

Detaljer

En kamp på liv og død

En kamp på liv og død 1 En kamp på liv og død Frank og Joe Har dy sto an sikt til an sikt på en øde klip pe. Ne den for slo bøl ge ne hardt inn mot land. Beg ge gut te ne holdt et syl skarpt sverd i hen de ne. De stir ret på

Detaljer

Psy ko lo gi en bak kli ma for and rin ge ne Når fi en den er en selv

Psy ko lo gi en bak kli ma for and rin ge ne Når fi en den er en selv Psy ko lo gi en bak kli ma for and rin ge ne Når fi en den er en selv Teg ne ne til at kli ma end rin ge ne skjer, er ty de li ge nok, men vil vi se dem? Vår psy ke ar bei der hardt for å un der tryk ke

Detaljer

úø ø úø ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø ú øî ø ø ú ø ø ú ø Î Î ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø nø øl ø J ú úl ø Kom, tro, og kom, glæde

úø ø úø ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø ú øî ø ø ú ø ø ú ø Î Î ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø nø øl ø J ú úl ø Kom, tro, og kom, glæde Kom, tro, kom, glæde Engelsk Christmas Carol Korar.: Uffe Most 1998 Dansk tekst: Johannes Johansen 4 4 4 4 4 w 5 w n L j J L J F 1) Kom, 3) Kom, F 1) Kom, 3) Kom, F 1) Kom, 3) Kom, 9 { Kom, tro, kom, glæde

Detaljer

Skattemoral som. Skattemyndighetenes kontrollaktiviteter sett fra de autoriserte regnskapsførernes ståsted. Sammendrag

Skattemoral som. Skattemyndighetenes kontrollaktiviteter sett fra de autoriserte regnskapsførernes ståsted. Sammendrag MAGMA 0213 fagartikler 65 Skattemoral som samfunnsansvar: R Skattemyndighetenes kontrollaktiviteter sett fra de autoriserte regnskapsførernes ståsted Hanne Opsahl, leder av fagteamet i NARF (Norges Autoriserte

Detaljer

Norske bedrifter gjennom krisen: en oversikt

Norske bedrifter gjennom krisen: en oversikt 42 fagartikler MAGMA 0612 Norske bedrifter gjennom krisen: en oversikt Lasse B. Lien er professor ved Institutt for Strategi og Ledelse ved NHH. Leder for delprosjektet «Darwin: Bedrifter og Bransjer»

Detaljer

Ak tiv døds hjelp en sis te ut vei 782 784

Ak tiv døds hjelp en sis te ut vei 782 784 De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning til hel se po li

Detaljer

Fat tig dom mens lukt og smak. Kjell Un der lid i sam ta le med Hal dis Hjort

Fat tig dom mens lukt og smak. Kjell Un der lid i sam ta le med Hal dis Hjort In ter vju Kjell UN DER LID Født 1950. Nyt ting nes i Flo ra kom mu ne Pro fes sor i psy ko lo gi ved Høg sko len i Ber gen Kjell Un der lid i sam ta le med Hal dis Hjort Fat tig dom mens lukt og smak

Detaljer

FORDRER DET NOE SPESIELT Å LEDE EN SAMFUNNSANSVARLIG BEDRIFT?

FORDRER DET NOE SPESIELT Å LEDE EN SAMFUNNSANSVARLIG BEDRIFT? 22 FAGARTIKLER MAGMA 0209 FORDRER DET NOE SPESIELT Å LEDE EN SAMFUNNSANSVARLIG BEDRIFT? Au ten tisk le del se og sam funns an svar CA RO LI NE DALE DIT LEV-SI MON SEN er utdannet Siviløkonom og har en

Detaljer

Hva inneholder maten vår egentlig?

Hva inneholder maten vår egentlig? Tema Næringsinnhold IKKE SPRØYTET: Cecilie Akrei vil tilby sønnen Aleksander (3) mat med minst mulig plantevernmidler. Derfor kjøper hun helst økologisk. Frukt & grønt Hva inneholder maten vår egentlig?

Detaljer

Insentiver og innsats F

Insentiver og innsats F 38 Insentiver og innsats F Alexander W. Cappelen er professor ved Institutt for samfunnsøkonomi på Norges Handelshøyskole, og leder for Senter for etikk og økonomi. Han var en av initiativtakerne til etableringen

Detaljer

Lederlegitimitet i revisjonsbransjen

Lederlegitimitet i revisjonsbransjen 60 Lederlegitimitet i revisjonsbransjen Erik Dø ving (dr. oecon.) er før s te ama nu en sis ved Høg sko len i Oslo, økonomiutdanningen. Hans spe si al om rå der er per so nal le del se og kom pe tan se

Detaljer

Hvem tje ner vi, og hvem tje ner vi på?

Hvem tje ner vi, og hvem tje ner vi på? De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning, til hel se po li

Detaljer

Å estimere handelsområder uten å følge kundene hjem F

Å estimere handelsområder uten å følge kundene hjem F MAGMA 0312 fagartikler 35 Å estimere handelsområder uten å følge kundene hjem F Auke Hunneman er før s te ama nu en sis i mar keds fø ring ved BI i Oslo. Han har mas ter grad i øko no mi og doktorgrad

Detaljer

INNHOLD I. EØS-av ta len: Nor ges in te gra sjon i EUs ind re mar ked... 15 II. Den ma te ri el le EØS-ret ten... 47

INNHOLD I. EØS-av ta len: Nor ges in te gra sjon i EUs ind re mar ked... 15 II. Den ma te ri el le EØS-ret ten... 47 INNHOLD I. EØS-av ta len: Nor ges in te gra sjon i EUs ind re mar ked... 15 1. Innledning...15 1.1 Formålet: integrasjon av EFTA-statene i EUs indre marked...15 1.2 EØS-av ta lens til bli vel se og før

Detaljer

Har kvaliteten på lærere falt over tid? f

Har kvaliteten på lærere falt over tid? f 62 fagartikler MAGMA 0612 Har kvaliteten på lærere falt over tid? f Jarle Møen er professor i bedriftsøkonomisk analyse ved Norges Handelshøyskole. Hans forskningsinteresser inkluderer kunnskapspolitikk,

Detaljer

Frem med frykt i psy kisk helse vern?

Frem med frykt i psy kisk helse vern? De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning, til hel se po li

Detaljer

Faglig og personlig støtte: Om betydningen av en god relasjon mel lom læ rer og elev sett fra ele vens stå sted

Faglig og personlig støtte: Om betydningen av en god relasjon mel lom læ rer og elev sett fra ele vens stå sted Faglig og personlig støtte: Om betydningen av en god relasjon mel lom læ rer og elev sett fra ele vens stå sted Anne Kristin Bø og Sylvi Stenersen Hovdenak Universitetet i Oslo I artikkelen drøfter vi

Detaljer

Det vik ti ge første pro ble met i prak tisk po si sjo ne ring

Det vik ti ge første pro ble met i prak tisk po si sjo ne ring MAGMA 0110 fagartikler 55 Det vik ti ge første pro ble met i prak tisk po si sjo ne ring Lars Erling Olsen er førstelektor ved Markedshøyskolen. Han er siviløkonom og MBA fra NHH og arbeider med en doktoravhandling

Detaljer

REGN DANS EL LER DANS PÅ RO SER? Et kri tisk blikk på den rå den de læ rings tra di sjo nen i øko no mi- og virk som hets sty rings fa ge ne

REGN DANS EL LER DANS PÅ RO SER? Et kri tisk blikk på den rå den de læ rings tra di sjo nen i øko no mi- og virk som hets sty rings fa ge ne MAGMA 0109 FAGARTIKLER 51 REGN DANS EL LER DANS PÅ RO SER? Et kri tisk blikk på den rå den de læ rings tra di sjo nen i øko no mi- og virk som hets sty rings fa ge ne SVEIN H. GJØNNES er utdannet siviløkonom

Detaljer

Annonsebilag. til våre. lesere. Trønder-Avisa hovedpulsåren i nordtrøndersk nyhetsformidling

Annonsebilag. til våre. lesere. Trønder-Avisa hovedpulsåren i nordtrøndersk nyhetsformidling Annonsebilag til våre lesere Trønder-Avisa hovedpulsåren i nordtrøndersk nyhetsformidling Papiravisa er mest populæ Åtte av ti fore trek ker å lese Trøn der-avisa på pa pir i ste det for på net tet. Også

Detaljer

av armlengdeprovisjon

av armlengdeprovisjon godt gjø rel se ikke er en drifts kost nad, men over skudds dis po ne ring? Får det te da igjen inn virk ning på spørs må let om man kan være del ta ker uten ei er an del? Ut fra lo vens ord lyd leg ger

Detaljer

norske bedrifter gjennom krisen: en oversikt f

norske bedrifter gjennom krisen: en oversikt f 40 FagartikLer MAGMA 0612 norske bedrifter gjennom krisen: en oversikt f LAsse B. LIeN er professor ved Institutt for Strategi og Ledelse ved NHH. Leder for delprosjektet «Darwin: Bedrifter og Bransjer»

Detaljer

hva ønsker de ansatte? F

hva ønsker de ansatte? F 32 Ledelse av samfunnsansvar (CSR) hva ønsker de ansatte? F Ca ro li ne D. Dit lev-si mon Sen er ut dan net si vil øko nom og hun har en mas ter grad in nen Ener gy and Environmental Stu dies fra USA og

Detaljer