1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar"

Transkript

1 Oppgaver

2 1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens Oppgave Er noen av im plikasjonene gale? a) Ola er nord mann Ola er fra Nor den b) Kari har tatt ser tifi kat for bil Kari er 18 år c) Per har en søs ter Per er ikke ene barn Oppgave 1.11 Sett inn ett av sym bo le ne, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) x er de le lig med x er et par tall b) x er x er et par tall c) x er od de tall x er el ler 5 1. Vektor og skalar Oppgave 1.10 Vi har teg net en rek ke vektorer. Oppgave Hvilken implikasjon er gal? a) Tore er norsk Tore er fra Trond heim b) Kari er norsk Kari har norsk pass c) Per har en bror Per er ikke ene barn Oppgave 1.11 Un der søk om vi kan bru ke ek vi valenstegnet mellom disse utsagnene. a) Trine er tanten til Arne Arne er nevøen til Trine b) Mette har bil Met te har ser ti fi kat for bil c) I dag har Norge nasjonaldag Det er 17. mai i dag e c g h a) Hvil ke vek to rer er pa rallelle? b) Hvil ke vek to rer er like? f y d j i x 15

3 Oppgave 1.11 Hvil ke av dis se stør relsene er vek torer, og hvil ke er skalarer? a) Mas se b) Luftmotstand c) Leng de d) Fart e) Temperatur f) Ar beid Oppgave 1.1 Trapeset nedenfor er satt sammen av tre tre kan ter som er formlike og har sam me størrelse (kongruente). A E D C Finn and re vek to rer på fi gu ren som er lik a) A b) AE c) E Oppgave 1.1 ACD er et rektangel der E er skjæringspunktet mellom diagonalene. Oppgave 1.11 Vi har gitt vek torene og. Finn ved teg ning. a) + b) + Oppgave 1.1 Trekk sam men hvis mu lig. a) A + D b) C + CD + DE c) CA + A + D + DE 1.4 Vektordifferanse Oppgave Vi har gitt vek torene, og c. D C b c A E Vi ser at vek torene A og CD er like. Finn and re vek to rer på figuren som er like. 1. Sum av vektorer Oppgave 1.10 Vi har gitt vek torene og. Finn ved teg ning. a) + + c b) c) c Oppgave I tre kanten AC set ter vi A = og AC = C Finn ved teg ning. a) + b) + ( ) A a) Tegn inn. b) Tegn inn. 154 Sinus T > Vektorer

4 Oppgave 1.14 Vi har fire ulike punkter A,, C og D i pla net. Trekk sam men. a) A C b) A + C DC 1.5 Produkt av tall og vektor Oppgave Finn absoluttverdiene. a) b) 5 4 c) d) 5 Oppgave a) Tegn en tre kant AC. Vi set ter A = og AC = Vi de re er M midt punk tet på AC og N midt punk tet på A. b) Finn AM ut trykt ved og. c) Finn M ut trykt ved og. d) Finn CN ut trykt ved og. Oppgave Vi har gitt vek to re ne og. Finn ved teg ning. a) + c) Oppgave 1.15 Trekk sam men. a) ( + b) ( c) 4 ( + b ) + ( b ) ( b ) ( b) + a ) + 6 ) ) Oppgave 1.15 I AC er A = 6, C = 4 og = 90. Vi set ter A = og C =. Et punkt D er be stemt ved at AD =. a) Finn punk tet D ved teg ning. b) Finn D ut trykt ved og. c) Finn D. d) Hva slags fir kant er ACD? Oppgave a) Tegn en tre kant AC. Vi set ter A = og C = b) Et punkt P er plas sert slik at P = C Merk av punk tet P og finn AP ut trykt ved og. c) Et punkt Q er plas sert slik at Q = C Finn AQ ut trykt ved og. 155

5 Vektorer på koordinatform Oppgave Finn koordinatene til dis se vek torene: Sinus T > Vektorer y Oppgave a) Tegn vek torene med utgangspunkt i origo. 1) [, 4] ) [ 1, ] ) [, 0] 4) [4, 5] b) Tegn de sam me vek torene med utgangs punkt i punk tet ( 1, ) og skriv opp koordinatene til endepunktet for hver av vektorene. Oppgave 1.16 a) Tegn vek torene fra punk tet (1, ) til punk te ne (, 4), (4, ) og ( 1, ). b) Skriv opp koordinatene til vek torene. Oppgave 1.16 Tegn punk tet A sam men med vek toren A i et ko ordinatsystem og finn ko ordinatene til når a) A = [, ] og A(, ) b) A = [1, ] og A(, 4) c) A = [, 5] og A(4, 7) Oppgave Vektorene = [1, ], = [ 1, ] og c = [x + 1, y 1] er gitt. a) Finn x og y når = c. b) Finn x og y når = c. c x 1.7 Regning med vektorkoordinater Oppgave Vektorene = [1, ], = [, 1] og c = [, 1] er gitt. a) Finn +, + c og + c. b) Finn + + c. Oppgave Vektorene p = [, ] og q = [ 1, 1] er gitt. a) Finn p og q. b) Finn p + q. c) Finn p q. Oppgave 1.17 Vektorene, og c er teg net ne den for. 4 c 4 4 Finn ko ordinatene til disse vek torene: a) + b) c c) + c d) + c 1.8 Vektoren mellom to punkter y Oppgave Punktene A(1, 0), (0, ) og C(1, ) er gitt. a) Finn A, C og AC. b) Finn C og A. x

6 Oppgave Punktene A( 1, ), (4, 4) og C(1, 7) er hjør ne ne i en tre kant. a) Tegn trekanten. b) Finn A, AC og C. Oppgave 1.18 Vi har gitt punk te ne A(1, 1), (4, 0), C(5, ) og D(, 4). a) Tegn punktene i et koordinatsystem. b) Finn A, C, CD og DA. c) Finn vektorene AC og D. d) Hva slags fir kant er ACD? 1.9 Lengde og avstand Oppgave Finn leng den av vek to ren p når a) p = [1, ] c) p = [ 1, ] b) p = [, 0] d) p = [ 4, 0] Oppgave Finn leng den av vek to ren når a) = [, ] c) = [ 1, 1] b) = [, 1] d) = [x, y] Oppgave 1.19 Vi har mer ket av punk te ne A(, ) og (1, 5) i et ko or di nat sy stem. A y x a) Finn avstanden d mel lom punk te ne ved hjelp av avstandsformelen. b) Finn avstanden mellom punktene ved å bru ke pytagorassetningen. Oppgave 1.19 Finn avstanden mellom punktene ved hjelp av avstandsformelen. a) A(1, 4) og (, 6) b) P(, 0) og Q(4, 8) c) R(, ) og S(1, ) d) U(0, 4) og V(, ) KATEGORI 1.1 Implikasjon og ekvivalens Oppgave 1.10 Hvilke ekvivalenser er riktige? a) x = 4 x = 0 b) x = 5 x = 5x c) x = 1 x = 1 eller x = 1 Oppgave 1.11 Sett inn rik tig tegn (, el ler ) i rutene. a) x = x = 4 b) x 9 = 0 x = c) x 4 + x = 0 x = d) x x = 0 x = 1 eller x = Oppgave 1.1 Sett inn det rik ti ge teg net (, el ler ) i ru te ne. a) x > 0 x < 0 b) (x 1) > 0 (x 1) > 0 c) x + x 6 < 0 x, d) x + x 4 > 0 x > 1 157

7 1. Vektor og skalar Oppgave 1.0 Figuren viser en sekskant der alle si dene er like lange og alle vink lene er like store. D 1. Sum av vektorer Oppgave 1.0 Vi har gitt vek torene, og c. b c E C F A a) Finn vek torer mellom hjørner på fi gu ren som er lik vek toren 1) A ) AC ) E b) Hvor mange vekto rer kan du trek ke mellom hjørner i sekskanten som er parallelle med 1) A ) AC Oppgave 1.1 Figuren består av ni like kvadrater. M N O P I J K L E F G H Finn ved teg ning. a) ( + ) + c b) + ( c ) c) ( + ) c Oppgave 1.1 Trekk sam men vek torene. a) A + C + CD + DA b) XY + UV + YZ + ZU c) A + ( DC ) + ( C ) Oppgave 1. Et le ge me er an gre pet av tre kref ter F 1, F og F slik at sum men av de tre kreftene er nullvektoren. Kreftene F 1 og F er teg net inn på figuren. Tegn inn kraf ten F som an griper midt under legemet. A C D Hvilke andre vek torer på figuren er lik disse vektorene? a) AM b) AN c) AJ d) AG e) KA f) DM Oppgave 1. Tegn et kvad rat ACD. Hvor man ge uli ke vek to rer kan du trek ke mellom hjørnene i kvadratet? F 1 F 158 Sinus T > Vektorer

8 1.4 Vektordifferanse Oppgave 1.40 Vi har teg net tre vek to rer, og c. c ruk figuren ovenfor og tegn a) b) c c) c d) c Oppgave 1.41 Tegn tre vek to rer u, v og w som ikke er parallelle. Finn ved teg ning. a) u + v + w c) u v + w b) u + v w d) u v w Oppgave 1.4 Tegn tre vek to rer, og c som ikke er parallelle. Vis geo me trisk (ved teg ning) at ( + c ) = ( a ) c 1.5 Produkt av tall og vektor Oppgave 1.50 Tegn to vek to rer u og v som ikke er parallelle. Finn ved teg ning. a) u + v b) u v c) u + 5 v d) u v Oppgave 1.51 I AC set ter vi A = og AC = Midtpunktet på siden C kal ler vi M. a) For klar at AM = + b b) På linja gjennom og C lig ger et punkt D slik at D = C Finn AD ut trykt ved og. Oppgave 1.5 Trekk sam men. a) ( ) ( + ) b) ( 5 u + v ) ( v 4 u ) 1.6 Vektorer på koordinatform Oppgave 1.60 Vektorene = [1, 1], = [, 1] og c = [0, ] er gitt. a) Tegn vek torene når endepunk tet er (, 1). b) Finn ko ordinatene til utgangspunktet for vek torene. Oppgave 1.61 a) Tegn punktene A(1, 1), (4, ), C(6, ) og D(, 4) i et ko ordinatsystem. b) Skriv vektorene A, C, AD og DC på ko or dinatform. c) Skriv vektorene AC og CD på koordinatform. d) Hva slags fir kant er ACD? 159

9 Oppgave 1.6 a) Tegn punktene A(, 1), (1, ) og C(5, ) i et ko or di nat sy stem. b) Skriv vektorene A og C på koordinatform. c) Finn koordinatene til et punkt D slik at ACD blir et pa ral lel lo gram. Oppgave 1.6 Vi har gitt vek to re ne = [, ] = [ 1, 6] u = [x, y ] a) Finn x og y når u =. b) Finn x og y når u =. 1.7 Regning med vektorkoordinater Oppgave 1.70 Vektorene = [4, ], = [, 8] og c = [6, ] er gitt. a) Finn + c. b) Finn + c. c) Finn a. d) Finn t + t. Oppgave 1.71 Løs vektorlikningene. a) [x, ] + [y, x] = [4, y] b) [, t] + [s, ] = [t, s] Oppgave 1.7 Finn koordinatene til x. a) x + [1, ] = [0, ] b) [, 9] x = x c) 1 x + [, 4] = 0 Oppgave 1.7 Finn i hvert av til fel le ne. 4 a + b 4 a + b a + b Vektoren mellom to punkter y Oppgave 1.80 Vi har gitt punk tene A(1, ), (, ), C(, 4) og D(0, ). a) Finn A, CD og C + A. 4 b) Finn koordinatene til punktet P(x, y) slik at A + C + CD + DP = 0 Oppgave 1.81 Punktene A(, 0), (1, ) og C(4, 1) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at AD = C A a) Lag fi gur og plas ser punk tet D. b) Finn koordinatene til D ved reg ning. Oppgave 1.8 Punktene A( 1, ), (, 0) og C(, 1) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at D = A AC Finn koordinatene til D. 1 x 160 Sinus T > Vektorer

10 1.9 Lengde og avstand Oppgave 1.90 estem tallet t slik at = [, 1] og c = [1, t] har sam me leng de. Oppgave 1.91 Vi har gitt punk tet A(, 1) og de to vek to re ne A = [, 1] og AD = [1, ]. D 4 AD 1 x A A 4 y a) Forklar hvorfor punktene A, og D kan være tre av hjør ne ne i en rom be. b) Finn koordinatene til punk tet C slik at firkanten ACD blir en rom be. Oppgave 1.9 I firkanten ACD er hjør ne ne A(, ), (, 0), C(, ) og D( 6, 0). a) Finn leng den av si de ne i firkanten. b) Finn leng den av dia gonalene. c) Hva slags fir kant er ACD? Oppgave 1.9 I AC er A(, 0), (6, 0) og C ( 4, ). a) Finn leng den av si de ne i tre kan ten. b) Hva slags tre kant er AC? LANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.00 Vektorene = [, 0] og = [, ] er gitt. a) Finn ved reg ning. b) Finn ved teg ning. c) Finn ved teg ning. Oppgave 1.01 Punktene (, 0) og C(0, 4) er to av hjørnene i en likebeint trekant AC der hjørnet A lig ger på x-ak sen og A = C. a) Tegn trekanten og finn koordinatene til punk tet A. b) Finn A, C og AC. Oppgave 1.0 I parallellogrammet ACD set ter vi A = og AD =. Midt punk tet på AD kal ler vi M. Videre er punktene P og Q be stemt ved at AP = 4 a og MQ = +. a) Tegn parallellogrammet sammen med punktene M, P og Q. b) La N være midt punk tet på C. Finn be lig gen he ten til et punkt R som er slik at NR = NP. c) Finn AR ut trykt ved og. Oppgave 1.0 a) Vektorene og er gitt. Tegn inn en vek tor c slik at + + c = 0 b) Punktene A(1, ), (t, 5) og C(x, y) er gitt. 1) e stem t slik at A = 5. ) Hvor må punk tet C lig ge hvis AC = 5? 161

11 Oppgave 1.04 Punktene A( 1, ), (1, ), C(, 4) og D(1, 5) er gitt. Vis at ACD er et pa ral lel lo gram. Oppgave 1.05 Ola skal ro fra A til. Avstanden mellom punktene er 60 m. A Elva ren ner mot høy re med far ten 0,5 m/s, og Ola ror med far ten m/s fra A mot. a) Hvor lang tid bru ker Ola på å ro over elva? b) Hvor langt fra vil Ola kom me hvis han ikke tar hen syn til strøm men i vannet? c) Finn far ten til bå ten til Ola der som han ror vin kel rett på strøm men. d) Finn det punk tet C som Ola må sik te mot hvis han skal tref fe punk tet. Oppgave 1.06 a) Sett av to punk ter A og på x-ak sen. Marker det punktet P mellom A og som de ler A i for hol det 1 :, dvs. slik at AP : P = 1 :. Les av koordina ten til P. Gjør det sam me med and re par A og av punk ter. Ser du noen sammenheng mel lom koordi naten til P og koordinatene til A og? b) Kall koordinaten til A for x 1 og koordinaten til for x. Skriv opp det ut tryk ket du tror gjel der for koordina ten til punk tet P som de ler A i for hol det 1 :. e vis at ut tryk ket er riktig ved å regne ut koordinatene til vektoren OP når O er ori go. Oppgave 1.07 a) Sett av to punk ter A og i et koordinatsystem. Marker midtpunktet M på linjestykket A og les av koordi natene til M. Gjør det sam me med and re linjestykker A og midtpunkter M. Ser du noen sam menheng mellom koordinatene til M og koordinatene til A og? b) Kall koordinatene til A for (x 1, y 1 ) og koordinatene til for (x, y ). Skriv opp det ut tryk ket du tror gjelder for koordinatene til midtpunktet M på A. ruk vektorregning til å bevise at ut tryk ket er rik tig. Oppgave 1.08 a) Sett av to punk ter A og i et koordinatsystem. Marker det punktet P på linjestykket A som de ler linjestykket i for hol det 1 :, dvs. at AP : P = 1 :. Les av ko or di na te ne til de lingspunktet P. Gjør det sam me med and re linjestykker A og punk ter P som de ler A i for hol det 1 :. Ser du noen sam men heng mel lom koordinatene til P og koordinatene til A og? b) Kall koordinatene til A for (x 1, y 1 ) og koordinatene til for (x, y ). Skriv opp det ut tryk ket du tror gjel der for koordinatene til punktet P som de ler A i for hol det 1 :. ruk vektorregning til å be vise at uttrykket er rik tig. 16 Sinus T > Vektorer

12 Oppgave 1.09 I AC set ter vi A = og AC =. Punktene M 1, M og M er midtpunkte ne på de tre si de ne i tre kan ten slik figuren viser. A M C M 1 M Finn mest mu lig ut om M 1 M M i forhold til AC. Oppgave 1.11 I et tra pes ACD er A =, AD = og DC =. Videre plasserer vi to 5 punkter P og Q slik at P = C og AQ = 7 a 5. a) Finn AC, D og C ut trykt ved og. b) Finn AP ut trykt ved og. c) Finn PQ ut trykt ved og. Oppgave 1.1 I AC er A(1, ), (, 0) og C(, 4). Hva slags tre kant er AC? Oppgave 1.10 Finn koordinatene til og når og + = [, 1] = [4, ] 16

13 FASIT oppgavedel b) er gal c) er gal I oppgavene a og c kan vi bruke ekvivalenstegn a) b) c) 1.10 a), d, g, j og, c, f, i b) = d = g og = c = i 1.11 a) Skalar b) Vektor c) Skalar d) Vektor e) Skalar f) Skalar 1.1 a) A = C = ED b) AE = D c) E = CD 1.1 A = DC, AD = C, DA = C, AE = EC, EA = CE, E = ED og DE = E 1.1 a) AD 1.14 a) AC b) E b) AD c) CE a) 1 b) c) 0 d) 1.15 a) 5 4 b) 5 c) 1.15 b) c) 10 d) Trapes b) AM = c) M = + d) CN = b) AP = + c) AQ = = [, ], = [, ], c = [0, 4] b) (1, 6), (, 5), (, ), (, ) 1.16 b) [1, ], [, 0], [, 5] 1.16 a) (4, 4) b) (, 7) c) (7, ) a) x = 0, y = 4 b) x =, y = a) [ 1, ], [1, 0], [4, 1] b) [, ] a) p = [4, 6], q = [, ] b) [1, 4] c) [8, 7] 1.17 a) [8, 0] b) [5, 10] c) [, 10] d) [, 11] a) A = [ 1, ], C = [1, 4], AC = [0, ] b) C = [ 1, 4], A = [1, ] b) A = [5, ], AC = [, 5], C = [, ] 1.18 b) A = [, 1], C = [1, ] CD = [, 1], DA = [ 1, ] c) AC = [4, ], D = [, 4] d) Kvadrat a) 5 b) c) 10 d) a) 1 b) c) d) x + y 1.19 a) 5 b) a) 5 b) 10 c) d) 1.10 a) Riktig b) Gal c) Riktig 1.11 a) b) c) d) 1.1 a) b) c) d) 1.0 a) 1) ED ) FD b) 1) 5 ) ) Ingen 1.1 a) N, CO og DP b) O og CP c) K, CL, EN, FO og GP d) H, EK, FL, IO og JP e) L, OE og PF f) Ingen a) 0 b) XV 1.51 b) 5 c) AD

14 1.5 a) _ 6 b) 9 u 5 v 1.60 b) (1, ), (0, 0), (, ) 1.61 b) A = DC = [, ] C = AD = [, 5] c) AC = [5, ], CD = [, ] d) Parallellogram 1.6 b) A = [, ], C = [4, 6] c) (, 5) 1.6 a) x = ± og y = 0 b) x = ±1 og y = 1.70 a) [ 4, 7] b) [5, 7] c) [8, 5] d) [0, 18t] 1.71 a) x = 1, y = b) s = 1, t = a) x = [ 1, 5] c) x = [ 4, 8] 1.7 1) = [, 1] ) = [6, 0] b) x = [1, ] ) = [0, 4] 1.80 a) A = [, ] CD = [ 6, ] 1 C + A = 4 [ 9 4, 1 4 ] b) x = 1, y = 1.81 b) (, ) 1.8 (1, 1) 1.90 t = ± 1.91 a) A = AD b) C(, ) 1.9 a) A = C = AD = DC = 5 b) AC = 6, D = 8 c) Rombe 1.9 a) A = C = AC = 4 b) Likesidet trekant 1.00 a) [5, ] b) [5, ] c) [, 1] 1.01 a) A(, 0) b) A = [5, 0], C = [, 4], AC = [, 4] 1.0 c) AR = 1.0 b) 1) t = eller t = 5 ) C må ligge på sirkelen med sentrum i A(1, ) og radius a) 0 s = 0,5 min b) 15 m til høyre for c),06 m/s d) 15,5 m til venstre for 1.06 b) x 1 + x 1.07 b) M ( x 1 + x y 1 + y, ) 1.08 b) P ( x 1 + x, y 1 + y ) 1.09 M 1 M M er formlik med AC og har halvparten så lange sider = [, ], = [ 1, ] 1.11 a) AC = 5 + D = + C = 5 + b) AP = 7 5 c) PQ = _ A = AC, likebeint trekant.110 a) Parallelle b) Ikke parallelle c) Parallelle d) Ikke parallelle.111 a) x = 6 b) x = c) x = d) x = 6 5 e) x = 8 eller x = 8.11 a) A = [, 1], AC = [6, ] b) Ja, de ligger på samme linje..11 a) A = [, 4], AC = [9, 9] b) Nei, de ligger ikke på samme linje..10 a) 5,7 b) 4 c) 0.11 a) 17, b) 14,1 c) 0.1 4,9.1 a) 10,6 kj b) 7,50 kj c) 5,1 kj.10 a) 8 b) 1 c) 8 d) t 1.11 a) p q = 10 c) q r = 0 b) p r = 0.1 a) x = b) x = 1 4 c) x = d) x = eller x = 09

15 .14 a) 1) = 11, = 5, = 4 ),5 b) 1) = 1, = 1, = 5 ) 97,1.140 a) A = [, 1], AC = [1, ], A AC = 0 b) A = AC = 5 c) En rettvinklet, likebeint trekant.141 b) A = [, 1], AC = [ 1, 4] c) 7 d) A = 10, AC = 17 e) 57,5.14 a) A = [, 4], AC = [, 1] b) 0 c) A = 5, AC = 5 d) b) l : { x = 1 + t y = + t c) (, 0) d) (0, ).151 b) l : { x = + t y = 4 t c) (, 0) d) (0, ).15 b) (0, 0) c) (0, 0).15 b) (, 0) c) (0, ).160 a) t x y b) x aksen: ( 1, 0) og (, 0) y aksen: (0, ).161 a) t x y d) x aksen: ( 1, 0) y aksen: (0, 1) og (0, 1).170 a) (, 1).171 a) l : { x = 1 + t y = 5 t b) m : { x = 1 + s y = s c) (, 1).17 a) l : { x = + t y = 1 t b) m : { x = + t y = t c) ( 1, ).10 a) Parallelle b) Ikke parallelle c) Ikke parallelle.11 a) t = ± b) t = c) Alle t R.1 a) Ikke på samme linje b) t = 11.1 a) A = [4, ], D = [, 6] b) For eksempel er A = DC. c) (, 4 ) d) Parallelle.0 a) 1 b) 1 c) 8.1 a) 4,9 kj b) F x = 491 N, F y = 44 N c) 4,9 kj, 0 J d),5 kj. b) 1 c) 56, d) 4 e) 6. a) =, = b) = 5, = 5.0 a) 60 b) A = CD, de er parallelle c) t =.1 k =. a) k = 7 b) k = eller k = 5 c) k = ±4 d) k = 10 eller k = 6 e) k = ± eller k = 0. a) 4 b) 99,, 80,8.4 c) [b, a] og [ b, a].40 a) ( 0, 9 5 ) b) ( 7 5, 0 ).41 a) A = [ 5, 5 ], A = 5 5 c) y = 6 d) 6,4.4 A = 17,, = 9,9, C =,8.4 a) (4, 0) c) [ 4, ], C = 4, = 5,4.50 b) l : { x y = = t t c) x = 5 d) y = 5.51 a) F.eks. l : { y x = = t tsssssss + 1 b) F.eks. l : { x = tssss y = + t 10

Vektorer. Mål. for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

Vektorer. Mål. for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne 8 Vektorer Mål for opp læ rin gen er at ele en skal kun ne gjøre rede for begrepene implikasjon og ekialens, kjenne til anlige matematiske beistyper og argumentasjon og gjennomføre matematiske beis gjøre

Detaljer

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13 Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...

Detaljer

1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer

1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Innhold Del 1 Forutsetninger og betingelser............................. 15 1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Rune Assmann og Tore Hil le stad............................

Detaljer

Innhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter.

Innhold. For br u ker k jøps lo vens omr åde. Prin sip pet om yt el se mot yt el se sam ti dig hets prin sip pet. Selgers plikter. Innhold Kapittel 1 For br u ker k jøps lo vens omr åde 1.1 Innledning...15 1.2 For bru ker kjøps lo vens vir ke om rå de. Hva lo ven gjel der for el ler re gu le rer...17 1.2.0 Litt om begrepet «kjøp»

Detaljer

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE Innhold Ka pit tel 1 Etablering, drift og avvikling av virksomhet...................... 13 1.1 Ut meis ling av for ret nings ide en i en for ret nings plan................13 1.2 Valg mel lom en kelt per

Detaljer

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 InnholD bak grunn... 11 h E n s i k t... 12 inn hold... 12 mo ti va sjon og takk... 13 Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 o p p h E v E l s E n av t y n g d E k r a

Detaljer

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en

Detaljer

1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser

1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Innhold 1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Gre te Rus ten, Leif E. Hem og Nina M. Iver sen 13 Po ten sia let i uli ke mål

Detaljer

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?...

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?... Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16 Del 1 HR som kil de til lønn som het... 21 Ka pit tel 2 For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva

Detaljer

Innledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18

Innledning...16 Kapitlene Ano ny mi tet... 18 Innhold Innledning...16 Kapitlene... 17 Ano ny mi tet... 18 Del I Innledning til mentoring KapIttel 1 Introduksjon til mentoring...20 Bak grunn...20 Be gre pe ne...22 Sponsorship og ut vik len de mentoring...23

Detaljer

for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne 8 1 Algebra Mål for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne faktorisere po ly no mer ved hjelp av null punk ter og polynomdivisjon, og bru ke det te til å løse lik nin ger og ulik he ter med polynomer

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Innhold. Del I Selbukollektivets historie sett fra leders perspektiv Fakta Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?...

Innhold. Del I Selbukollektivets historie sett fra leders perspektiv Fakta Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?... Innhold Fakta...15 Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?...17 Inger Granby Unge rusmiddelavhengige bærere av en sammensatt problematikk...17 Rus re for men av 2004 et skritt fram el ler to til ba

Detaljer

med en ball, men beg ge var for langt unna til at Frank kun ne tref fe dem. Frank så seg om. Ka me ra ten Phil Co hen sto rett i nær he ten.

med en ball, men beg ge var for langt unna til at Frank kun ne tref fe dem. Frank så seg om. Ka me ra ten Phil Co hen sto rett i nær he ten. 1 Kanonball-kluss Nå har jeg deg! Frank Har dy brå snud de. En ball kom flygen de mot ham. Han duk ket i sis te li ten. Du bommet! svarte han. Så bøy de han seg og tok opp en an nen ball fra bak ken. De

Detaljer

PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER

PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER 32 PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER RAGN HILD SIL KO SET før s te ama nu en sis dr.oecon, In sti tutt for mar keds fø ring, Han dels høy sko len BI PRIS OG BESLUTNINGER I BEDRIFTER Pris har til dels

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Trom sø/stav an ger/oslo, ja nu ar 2012 Nils As bjørn Eng stad Ast rid Lær dal Frø seth Bård Tøn der

Trom sø/stav an ger/oslo, ja nu ar 2012 Nils As bjørn Eng stad Ast rid Lær dal Frø seth Bård Tøn der Forord Det er i år 100 år si den Den nor ske Dom mer for en ing ble stif tet. Stif tel sen fant sted 4. mai 1912 på et møte der det del tok 24 domme re. De nær me re om sten dig he ter om kring stif tel

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Le del se i teo ri og prak sis er et stort og sam men satt fag felt der norske og nordiske forskere har gjort seg stadig mer bemerket både nasjonalt og internasjonalt. Samtidig er lederlønn, lederutvikling,

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

4 Vektorer. Vektorregning Vektorer...2. Skalarprodukt og vektorprodukt...14

4 Vektorer. Vektorregning Vektorer...2. Skalarprodukt og vektorprodukt...14 4 Vektorer 4_Vektorer_2015.odt 31.08.2015 (cc)tg Vektorer...2 Skalarer og vektorer...2 Like, motsatt like, parallelle vektorer...2 Sum og differanse...3 Produkt av tall og vektor...4 Vektorer på koordinatform...5

Detaljer

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren: Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Tap på ford ring mel lom nær stå en de sel ska per: Avskjær ing av fra drags rett ved tap

Tap på ford ring mel lom nær stå en de sel ska per: Avskjær ing av fra drags rett ved tap Tap på ford ring mel lom nær stå en de sel ska per: Avskjær ing av fra drags rett ved tap Artikkelen er forfattet av: Fast ad vo kat Chris ti ne Buer Ad vo kat fir ma et Schjødt Nye av skjæ rings reg ler

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

LIVSSTIL. Kamillepuls. Villa Fredbo: Line Evensen har en oase av et ba de væ rel se i sitt hjem Villa Fredbo på Nesodden.

LIVSSTIL. Kamillepuls. Villa Fredbo: Line Evensen har en oase av et ba de væ rel se i sitt hjem Villa Fredbo på Nesodden. LIVSSTIL HVEM: Line Evensen BOR: I en sveit ser vil la fra 1875 på Nesodden utenfor Oslo. FAMILIE: De tre bar na Agaton Sofus (7), Oliam Cornelius (10) og Emil (26), kjæ res ten Bosse og hans to barn,

Detaljer

www.handball.no Spil le reg ler

www.handball.no Spil le reg ler www.handball.no Spil le reg ler Ut ga ve: 1. juli 2010 Copyright NHF 2010 Innholdsfortegnelse FOR ORD 3 Re gel 1 Spil le ba nen 4 Re gel 2 Spil le ti den, slutt sig na let og ti me out 9 Re gel 3 Bal len

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Innhold. 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13. 2 Å lære i og av na tu ren... 29. 3 Cel len og livs pro ses se ne...

Innhold. 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13. 2 Å lære i og av na tu ren... 29. 3 Cel len og livs pro ses se ne... Innhold 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13 Læring med forståelse... 13 Nærkontakt med liv... 14 Varierte arbeidsmåter i biologi... 15 Forskerspiren og utforskende arbeidsmåter...

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Mot kref te nes sis te kram pe trek nin ger?

Mot kref te nes sis te kram pe trek nin ger? De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning, til hel se po li

Detaljer

BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV

BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV 24 FAGARTIKLER MAGMA 0409 BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV MO NI CA VI KEN er cand.jur. fra Uni ver si te tet i Oslo. Hun er før s te lek tor og Associate Dean ved Han

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Innledning Veiledningsbegrepet og veiledningstradisjonene... 11

Innledning Veiledningsbegrepet og veiledningstradisjonene... 11 INNHOLD Innledning Veiledningsbegrepet og veiledningstradisjonene... 11 Hva er veiledning?... 12 Veiledning er kontekstfølsom... 13 Teorikunnskap og personlig kunnskap...14 Hand lings- og refleksjonsmodellen

Detaljer

De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om?

De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om? [start kap] De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om? Kjell Lars Ber ge og Ja nic ke Hel dal Stray De mo kra tisk med bor ger skap i sko len? De mo kra ti er van ske lig, selv for et gjen nom

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

For skjel le ne fra GRS

For skjel le ne fra GRS IFRS SME del I: For skjel le ne fra GRS Artikkelen er forfattet av: Stats au to ri sert re vi sor Hege Kors mo Sæ ther Den nor ske Re vi sor for en ing Re gi strert re vi sor Rune Ty stad Den nor ske Re

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

Skatt. Del I: Artikkelen er forfattet av:

Skatt. Del I: Artikkelen er forfattet av: Del I: Skattefri omorganisering mv. over landegrensene Nye reg ler gir krav på skat te fri tak ved gren se over skri den de om or ga ni se rin ger mv. og ved ut flyt ting av sel ska per. Ar tik ke len

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

Ny ISA 600. Re vi sjon. Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per:

Ny ISA 600. Re vi sjon. Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per: Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per: Ny ISA 600 ISA 600 Spe sielle hen syn ved re vi sjon av kon sern regn ska per er en av stan dar de ne der det har skjedd størst end rin ger i

Detaljer

Man dals ord fø re rens for ord

Man dals ord fø re rens for ord Man dals ord fø re rens for ord Man dal blir ofte om talt som den lil le byen med de sto re kunst ner ne. Noen av de kunst ner ne vi ten ker på, er nett opp de fem kunst ner ne som blir om talt i den ne

Detaljer

úø ø úø ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø ú øî ø ø ú ø ø ú ø Î Î ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø nø øl ø J ú úl ø Kom, tro, og kom, glæde

úø ø úø ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø ú øî ø ø ú ø ø ú ø Î Î ø wø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ú ø nø øl ø J ú úl ø Kom, tro, og kom, glæde Kom, tro, kom, glæde Engelsk Christmas Carol Korar.: Uffe Most 1998 Dansk tekst: Johannes Johansen 4 4 4 4 4 w 5 w n L j J L J F 1) Kom, 3) Kom, F 1) Kom, 3) Kom, F 1) Kom, 3) Kom, 9 { Kom, tro, kom, glæde

Detaljer

Juss og re to rikk inn led ning

Juss og re to rikk inn led ning At ret ten er re to risk, er gam melt nytt. I vår tid er det te li ke vel gått i glemme bo ken. Med gjen nom brud det av det mo der ne var det for nuf ten og viten ska pen som gjaldt, og det har pre get

Detaljer

In tro duk sjon. Ing rid Helg øy og Ja cob Aars

In tro duk sjon. Ing rid Helg øy og Ja cob Aars In tro duk sjon Ing rid Helg øy og Ja cob Aars I den ne bo ken ret ter vi opp merk som he ten mot hvor dan ut for ming av po litisk-ad mi nist ra ti ve in sti tu sjo ner får kon se kven ser for myn dig

Detaljer

Tema for be ret nin ger med for be hold

Tema for be ret nin ger med for be hold Rev isjon sberetninger noen er fa rin ger Den ne ar tik ke len tar for seg er fa rin ger med bruk av re vi sjons be ret nin ger fra års opp gjø ret 2010 i egen prak sis og gjen nom les ning av re vi sjons

Detaljer

Svar oss på dette! Før stor tings val get 2009

Svar oss på dette! Før stor tings val get 2009 Re por ta sje Før stor tings val get 2009 Svar oss på dette! For ri ge må ned ble par ti le der ne ut ford ret på hva de men te om psy kisk hel se i sko le ne, rus og pa pir lø se mi gran ter. I den ne

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

Oppfattet servicekvalitet. Oppfattet service. Forventet service. Organisasjonsimage. Teknisk kvalitet (Hva?) Funksjonell kvalitet (Hvordan?

Oppfattet servicekvalitet. Oppfattet service. Forventet service. Organisasjonsimage. Teknisk kvalitet (Hva?) Funksjonell kvalitet (Hvordan? lingen i kjøper selger-relasjonen oppleves. Denne delen av kvaliteten er knyttet til prosessen og samhandlingen, og illustrerer hvordan verdiene blir fremstilt i samhandlingen og møtet mellom kundene og

Detaljer

BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN

BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN MAGMA 0409 FAGARTIKLER 45 BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN PEDER INGE FURSETH er dr.polit. og førsteamanuensis ved Institutt for innovasjon og økonomisk organisering, Handelshøyskolen

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

SuK sess Kri te ri er for. Læ rings KuL tur

SuK sess Kri te ri er for. Læ rings KuL tur faglige perspektiver MAGMA 0310 fagartikler 63 SuK sess Kri te ri er for etab Le ring av en sterk Læ rings KuL tur Cathrine Filstad er førsteamanuensis ved Handelshøyskolen BI. Hun har forsket, publisert

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

STY RE LE DE REN: FRA ORD FØ RER TIL LE DER OG MO TI VA TOR

STY RE LE DE REN: FRA ORD FØ RER TIL LE DER OG MO TI VA TOR 28 STY RE LE DE REN: FRA ORD FØ RER TIL LE DER OG MO TI VA TOR MOR TEN HUSE er professor ved Institutt for innovasjon og økonomisk organisering ved Handelshøyskolen BI. Huse har også undervist ved Svenske

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Bjerkreim kyrkje 175 år. Takksemd. Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton

Bjerkreim kyrkje 175 år. Takksemd. Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton Bjerkreim kyrkje 175 år Takksemd Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton Takk for det liv du gav oss, Gud 5 5 Takk for det liv du gav oss, Gud, Hi-mlen som hvel - ver seg 5 5 9 9 o - ver! Takk

Detaljer

PO SI TIVT LE DER SKAP

PO SI TIVT LE DER SKAP 22 PO SI TIVT LE DER SKAP Jak ten på de po si ti ve kref te ne JON-ARILD JO HAN NES SEN har doktorgrad i systemteori fra Universitetet i Stockholm. Han har vært professor på Handelshøyskolen BI, og rektor

Detaljer

Vir vel vin den fra Vika. Di vi sjons di rek tør Arne Hol te

Vir vel vin den fra Vika. Di vi sjons di rek tør Arne Hol te In ter vju FOTO: Marie Lind Di vi sjons di rek tør Arne Hol te Vir vel vin den fra Vika 329 333 Han er en ekte Oslo-gutt, men som psy ko lo gi pro fes sor og helseaktør har han satt spor over hele lan

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Talsmann. QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen. Geir Strand hjalp Sigrids familie.

Talsmann. QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen. Geir Strand hjalp Sigrids familie. UTGITT AV NORSK JOURNALISTLAG 14 2012 21. SEPTEMBER 96. ÅRGANG B-blad Talsmann Geir Strand hjalp Sigrids familie. FOTO: martin huseby jensen Side 6-10 QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen Geir

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Utforsk mønster og former Barnehagens siste år 60 minutter

Utforsk mønster og former Barnehagens siste år 60 minutter Lærerveiledning: Passer for: Varighet: Utforsk mønster og former Barnehagens siste år 60 minutter Utforsk mønster og former er et barnehageprogram der barna sammenligner former og finner likheter og forskjeller.

Detaljer

Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk Henriette Sinding Aasen og Nanna Kildal

Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk Henriette Sinding Aasen og Nanna Kildal Innhold Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk... 13 og Nanna Kildal Kapittel 2 Sentrale begreper, utviklingslinjer og teoretiske perspektiver... 17 Utviklingslinje

Detaljer

R2 - Vektorer Løsningsskisser

R2 - Vektorer Løsningsskisser K.. -.5 I R2 - Vektorer 25.09.09 Løsningsskisser Gitt vektorene u,2,3 og v 2, 3,5. Regn ut: a) u v b) u v c) u v d) 5u 2v e) v f) Vinkelen mellom u og v Oppgave I: Krever lavt kompetansenivå: Grunnleggende

Detaljer

I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E

I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E I N N K AL L I N G T I L O R D I N Æ R T S A M E I E R M Ø T E 2 0 0 9 O r d i næ r t s am e i e rm ø t e i S am b o b o l i g s a m ei e fi n n e r s t e d t o r s d ag 3 0. 0 4. 2 0 0 9 K l. 1 8. 3 0

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) h( x) x x Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 4x k a) Vis at P er

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Innhold. Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17. Kapittel 2 Psy ko lo gisk ald ring... 25

Innhold. Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17. Kapittel 2 Psy ko lo gisk ald ring... 25 Innhold Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17 Av Olav Slet vold og Ha rald A. Ny gaard Le ve al der... 17 Ge ne relt om teo ri er for ald ring... 17 Ald rings teo ri er... 18 Livs l pet som per spek tiv

Detaljer

En kamp på liv og død

En kamp på liv og død 1 En kamp på liv og død Frank og Joe Har dy sto an sikt til an sikt på en øde klip pe. Ne den for slo bøl ge ne hardt inn mot land. Beg ge gut te ne holdt et syl skarpt sverd i hen de ne. De stir ret på

Detaljer

Sangere. Mannen i songen. Kantate for mannskor, guttesopraner og klaver. Komponert til Verdal mannskor sitt 100-årsjubileum i 2013

Sangere. Mannen i songen. Kantate for mannskor, guttesopraner og klaver. Komponert til Verdal mannskor sitt 100-årsjubileum i 2013 Sangere Kantate or mannskor, guttesoraner og klaver Komonert til erdal mannskor sitt 100-årsubileum i 201 Musikk: Asgeir Skrove Tekst: Arnul Haga Musikk: Asgeir Skrove Kantate or mannskor, guttesoraner

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

LIZA MARK LUND. Fasadefall OVERSATT AV DOR THE EMILIE ERICH SEN, MNO

LIZA MARK LUND. Fasadefall OVERSATT AV DOR THE EMILIE ERICH SEN, MNO LIZA MARK LUND Fasadefall OVERSATT AV DOR THE EMILIE ERICH SEN, MNO PROLOG Et menneske kan bare opp fat te en viss meng de smerte. Og så be svi mer man. Be visst he ten slår seg av, akkurat som sikringen

Detaljer

regn skap og skatt Sel skaps rett Del I:

regn skap og skatt Sel skaps rett Del I: Del I: Samv irkeforetak selskapsrett, regn skap og skatt Den ne del I av ar tik ke len tar for seg ak tuelle pro blem stil lin ger, mo men ter, ut ford rin ger og kon se kven ser som kan være ele men ter

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Ind re sel skap og til ord ning av inn tekt

Ind re sel skap og til ord ning av inn tekt Ut valg te pro blem stil lin ger: Ind re sel skap og til ord ning av inn tekt Artikkelen er forfattet av: S e n i o r r å d g i v e r Ole An ders Grin da len Skatt øst S e n i o r r å d g i v e r Rag nar

Detaljer

Del 1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene. og ( 3, 5) b) En rett linje l går gjennom punktene A ( 1, 2)

Del 1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene. og ( 3, 5) b) En rett linje l går gjennom punktene A ( 1, 2) el Oppgave a) eriver funksjonene ) f( ) = 3 e ) h( ) = ln b) En rett linje l går gjennom punktene (, ) og ( 3, 7) ) Sett opp en parameterframstilling for linja l ) Finn skjæringspunktene mellom l og koordinataksene

Detaljer

Innledning...15 Bakgrunnen for boken...15 Begreper og øvrige tilnærminger...20 Kort resymé av bokens innhold...23

Innledning...15 Bakgrunnen for boken...15 Begreper og øvrige tilnærminger...20 Kort resymé av bokens innhold...23 Innhold Innledning...15 Bakgrunnen for boken...15 Begreper og øvrige tilnærminger...20 Kort resymé av bokens innhold...23 Kapittel 1 Pedagogiske ledere og det faglige arbeidet i barnehagen...25 Pedagogiske

Detaljer

Mor og psy ko log i møte med offent lige helse tje nes ter

Mor og psy ko log i møte med offent lige helse tje nes ter Fag es say Mor og psy ko log i møte med offent lige helse tje nes ter 466 471 Som psy ko log spør jeg meg jevn lig hvor dan klien ten opp le ver å møte hel se ve se net ved meg som psy ko log. Som mor

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Oppgave 1 Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Hva er forholdet mellom arealet av det røde området og arealet av det blå korset? 54 7 18 A 3 B C D E 4 17 2 5 Skriv mål på flere sider

Detaljer

Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt for samfunnsøkonomi, Norges Handelshøyskole (NHH). Hun er ph.d. fra NHH (2008).

Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt for samfunnsøkonomi, Norges Handelshøyskole (NHH). Hun er ph.d. fra NHH (2008). MAGMA 512 fagartikler 45 Et valg i blinde? F Norske ungdommers kjennskap til ulikheter i arbeidsmarkedet før de gjør sine utdanningsvalg Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt

Detaljer

Ut ford rin ger sett fra nord Eli sa beth An gell, Svein ung Ei ke land og Per Sel le

Ut ford rin ger sett fra nord Eli sa beth An gell, Svein ung Ei ke land og Per Sel le Innhold Ut ford rin ger sett fra nord... 15 Eli sa beth An gell, Svein ung Ei ke land og Per Sel le D en nye nord om r å de p o li t ik ken... 18 Stat lig sat sing før og nå... 20 De sentrale arenaene...

Detaljer

INNHALD STADBASERT LÆ RING... 19 FORTELJINGA OM AURLANDSMODELLEN

INNHALD STADBASERT LÆ RING... 19 FORTELJINGA OM AURLANDSMODELLEN INNHALD KAPITTEL 1 INNLEIING... 13 Læ ring og berekraftig sam funns ut vik ling... 13 Miljødimensjonen og den generelle læreplanen... 14 Struk tur og innhald i boka... 15 DEL 1 STADBASERT LÆ RING... 19

Detaljer