1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens. 1.2 Vektor og skalar"

Transkript

1 Oppgaver

2 1 Vektorer KATEGORI Implikasjon og ekvivalens Oppgave Er noen av im plikasjonene gale? a) Ola er nord mann Ola er fra Nor den b) Kari har tatt ser tifi kat for bil Kari er 18 år c) Per har en søs ter Per er ikke ene barn Oppgave 1.11 Sett inn ett av sym bo le ne, el ler i ru te ne der det er mu lig. a) x er de le lig med x er et par tall b) x er x er et par tall c) x er od de tall x er el ler 5 1. Vektor og skalar Oppgave 1.10 Vi har teg net en rek ke vektorer. Oppgave Hvilken implikasjon er gal? a) Tore er norsk Tore er fra Trond heim b) Kari er norsk Kari har norsk pass c) Per har en bror Per er ikke ene barn Oppgave 1.11 Un der søk om vi kan bru ke ek vi valenstegnet mellom disse utsagnene. a) Trine er tanten til Arne Arne er nevøen til Trine b) Mette har bil Met te har ser ti fi kat for bil c) I dag har Norge nasjonaldag Det er 17. mai i dag e c g h a) Hvil ke vek to rer er pa rallelle? b) Hvil ke vek to rer er like? f y d j i x 15

3 Oppgave 1.11 Hvil ke av dis se stør relsene er vek torer, og hvil ke er skalarer? a) Mas se b) Luftmotstand c) Leng de d) Fart e) Temperatur f) Ar beid Oppgave 1.1 Trapeset nedenfor er satt sammen av tre tre kan ter som er formlike og har sam me størrelse (kongruente). A E D C Finn and re vek to rer på fi gu ren som er lik a) A b) AE c) E Oppgave 1.1 ACD er et rektangel der E er skjæringspunktet mellom diagonalene. Oppgave 1.11 Vi har gitt vek torene og. Finn ved teg ning. a) + b) + Oppgave 1.1 Trekk sam men hvis mu lig. a) A + D b) C + CD + DE c) CA + A + D + DE 1.4 Vektordifferanse Oppgave Vi har gitt vek torene, og c. D C b c A E Vi ser at vek torene A og CD er like. Finn and re vek to rer på figuren som er like. 1. Sum av vektorer Oppgave 1.10 Vi har gitt vek torene og. Finn ved teg ning. a) + + c b) c) c Oppgave I tre kanten AC set ter vi A = og AC = C Finn ved teg ning. a) + b) + ( ) A a) Tegn inn. b) Tegn inn. 154 Sinus T > Vektorer

4 Oppgave 1.14 Vi har fire ulike punkter A,, C og D i pla net. Trekk sam men. a) A C b) A + C DC 1.5 Produkt av tall og vektor Oppgave Finn absoluttverdiene. a) b) 5 4 c) d) 5 Oppgave a) Tegn en tre kant AC. Vi set ter A = og AC = Vi de re er M midt punk tet på AC og N midt punk tet på A. b) Finn AM ut trykt ved og. c) Finn M ut trykt ved og. d) Finn CN ut trykt ved og. Oppgave Vi har gitt vek to re ne og. Finn ved teg ning. a) + c) Oppgave 1.15 Trekk sam men. a) ( + b) ( c) 4 ( + b ) + ( b ) ( b ) ( b) + a ) + 6 ) ) Oppgave 1.15 I AC er A = 6, C = 4 og = 90. Vi set ter A = og C =. Et punkt D er be stemt ved at AD =. a) Finn punk tet D ved teg ning. b) Finn D ut trykt ved og. c) Finn D. d) Hva slags fir kant er ACD? Oppgave a) Tegn en tre kant AC. Vi set ter A = og C = b) Et punkt P er plas sert slik at P = C Merk av punk tet P og finn AP ut trykt ved og. c) Et punkt Q er plas sert slik at Q = C Finn AQ ut trykt ved og. 155

5 Vektorer på koordinatform Oppgave Finn koordinatene til dis se vek torene: Sinus T > Vektorer y Oppgave a) Tegn vek torene med utgangspunkt i origo. 1) [, 4] ) [ 1, ] ) [, 0] 4) [4, 5] b) Tegn de sam me vek torene med utgangs punkt i punk tet ( 1, ) og skriv opp koordinatene til endepunktet for hver av vektorene. Oppgave 1.16 a) Tegn vek torene fra punk tet (1, ) til punk te ne (, 4), (4, ) og ( 1, ). b) Skriv opp koordinatene til vek torene. Oppgave 1.16 Tegn punk tet A sam men med vek toren A i et ko ordinatsystem og finn ko ordinatene til når a) A = [, ] og A(, ) b) A = [1, ] og A(, 4) c) A = [, 5] og A(4, 7) Oppgave Vektorene = [1, ], = [ 1, ] og c = [x + 1, y 1] er gitt. a) Finn x og y når = c. b) Finn x og y når = c. c x 1.7 Regning med vektorkoordinater Oppgave Vektorene = [1, ], = [, 1] og c = [, 1] er gitt. a) Finn +, + c og + c. b) Finn + + c. Oppgave Vektorene p = [, ] og q = [ 1, 1] er gitt. a) Finn p og q. b) Finn p + q. c) Finn p q. Oppgave 1.17 Vektorene, og c er teg net ne den for. 4 c 4 4 Finn ko ordinatene til disse vek torene: a) + b) c c) + c d) + c 1.8 Vektoren mellom to punkter y Oppgave Punktene A(1, 0), (0, ) og C(1, ) er gitt. a) Finn A, C og AC. b) Finn C og A. x

6 Oppgave Punktene A( 1, ), (4, 4) og C(1, 7) er hjør ne ne i en tre kant. a) Tegn trekanten. b) Finn A, AC og C. Oppgave 1.18 Vi har gitt punk te ne A(1, 1), (4, 0), C(5, ) og D(, 4). a) Tegn punktene i et koordinatsystem. b) Finn A, C, CD og DA. c) Finn vektorene AC og D. d) Hva slags fir kant er ACD? 1.9 Lengde og avstand Oppgave Finn leng den av vek to ren p når a) p = [1, ] c) p = [ 1, ] b) p = [, 0] d) p = [ 4, 0] Oppgave Finn leng den av vek to ren når a) = [, ] c) = [ 1, 1] b) = [, 1] d) = [x, y] Oppgave 1.19 Vi har mer ket av punk te ne A(, ) og (1, 5) i et ko or di nat sy stem. A y x a) Finn avstanden d mel lom punk te ne ved hjelp av avstandsformelen. b) Finn avstanden mellom punktene ved å bru ke pytagorassetningen. Oppgave 1.19 Finn avstanden mellom punktene ved hjelp av avstandsformelen. a) A(1, 4) og (, 6) b) P(, 0) og Q(4, 8) c) R(, ) og S(1, ) d) U(0, 4) og V(, ) KATEGORI 1.1 Implikasjon og ekvivalens Oppgave 1.10 Hvilke ekvivalenser er riktige? a) x = 4 x = 0 b) x = 5 x = 5x c) x = 1 x = 1 eller x = 1 Oppgave 1.11 Sett inn rik tig tegn (, el ler ) i rutene. a) x = x = 4 b) x 9 = 0 x = c) x 4 + x = 0 x = d) x x = 0 x = 1 eller x = Oppgave 1.1 Sett inn det rik ti ge teg net (, el ler ) i ru te ne. a) x > 0 x < 0 b) (x 1) > 0 (x 1) > 0 c) x + x 6 < 0 x, d) x + x 4 > 0 x > 1 157

7 1. Vektor og skalar Oppgave 1.0 Figuren viser en sekskant der alle si dene er like lange og alle vink lene er like store. D 1. Sum av vektorer Oppgave 1.0 Vi har gitt vek torene, og c. b c E C F A a) Finn vek torer mellom hjørner på fi gu ren som er lik vek toren 1) A ) AC ) E b) Hvor mange vekto rer kan du trek ke mellom hjørner i sekskanten som er parallelle med 1) A ) AC Oppgave 1.1 Figuren består av ni like kvadrater. M N O P I J K L E F G H Finn ved teg ning. a) ( + ) + c b) + ( c ) c) ( + ) c Oppgave 1.1 Trekk sam men vek torene. a) A + C + CD + DA b) XY + UV + YZ + ZU c) A + ( DC ) + ( C ) Oppgave 1. Et le ge me er an gre pet av tre kref ter F 1, F og F slik at sum men av de tre kreftene er nullvektoren. Kreftene F 1 og F er teg net inn på figuren. Tegn inn kraf ten F som an griper midt under legemet. A C D Hvilke andre vek torer på figuren er lik disse vektorene? a) AM b) AN c) AJ d) AG e) KA f) DM Oppgave 1. Tegn et kvad rat ACD. Hvor man ge uli ke vek to rer kan du trek ke mellom hjørnene i kvadratet? F 1 F 158 Sinus T > Vektorer

8 1.4 Vektordifferanse Oppgave 1.40 Vi har teg net tre vek to rer, og c. c ruk figuren ovenfor og tegn a) b) c c) c d) c Oppgave 1.41 Tegn tre vek to rer u, v og w som ikke er parallelle. Finn ved teg ning. a) u + v + w c) u v + w b) u + v w d) u v w Oppgave 1.4 Tegn tre vek to rer, og c som ikke er parallelle. Vis geo me trisk (ved teg ning) at ( + c ) = ( a ) c 1.5 Produkt av tall og vektor Oppgave 1.50 Tegn to vek to rer u og v som ikke er parallelle. Finn ved teg ning. a) u + v b) u v c) u + 5 v d) u v Oppgave 1.51 I AC set ter vi A = og AC = Midtpunktet på siden C kal ler vi M. a) For klar at AM = + b b) På linja gjennom og C lig ger et punkt D slik at D = C Finn AD ut trykt ved og. Oppgave 1.5 Trekk sam men. a) ( ) ( + ) b) ( 5 u + v ) ( v 4 u ) 1.6 Vektorer på koordinatform Oppgave 1.60 Vektorene = [1, 1], = [, 1] og c = [0, ] er gitt. a) Tegn vek torene når endepunk tet er (, 1). b) Finn ko ordinatene til utgangspunktet for vek torene. Oppgave 1.61 a) Tegn punktene A(1, 1), (4, ), C(6, ) og D(, 4) i et ko ordinatsystem. b) Skriv vektorene A, C, AD og DC på ko or dinatform. c) Skriv vektorene AC og CD på koordinatform. d) Hva slags fir kant er ACD? 159

9 Oppgave 1.6 a) Tegn punktene A(, 1), (1, ) og C(5, ) i et ko or di nat sy stem. b) Skriv vektorene A og C på koordinatform. c) Finn koordinatene til et punkt D slik at ACD blir et pa ral lel lo gram. Oppgave 1.6 Vi har gitt vek to re ne = [, ] = [ 1, 6] u = [x, y ] a) Finn x og y når u =. b) Finn x og y når u =. 1.7 Regning med vektorkoordinater Oppgave 1.70 Vektorene = [4, ], = [, 8] og c = [6, ] er gitt. a) Finn + c. b) Finn + c. c) Finn a. d) Finn t + t. Oppgave 1.71 Løs vektorlikningene. a) [x, ] + [y, x] = [4, y] b) [, t] + [s, ] = [t, s] Oppgave 1.7 Finn koordinatene til x. a) x + [1, ] = [0, ] b) [, 9] x = x c) 1 x + [, 4] = 0 Oppgave 1.7 Finn i hvert av til fel le ne. 4 a + b 4 a + b a + b Vektoren mellom to punkter y Oppgave 1.80 Vi har gitt punk tene A(1, ), (, ), C(, 4) og D(0, ). a) Finn A, CD og C + A. 4 b) Finn koordinatene til punktet P(x, y) slik at A + C + CD + DP = 0 Oppgave 1.81 Punktene A(, 0), (1, ) og C(4, 1) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at AD = C A a) Lag fi gur og plas ser punk tet D. b) Finn koordinatene til D ved reg ning. Oppgave 1.8 Punktene A( 1, ), (, 0) og C(, 1) er gitt. Et punkt D er plas sert slik at D = A AC Finn koordinatene til D. 1 x 160 Sinus T > Vektorer

10 1.9 Lengde og avstand Oppgave 1.90 estem tallet t slik at = [, 1] og c = [1, t] har sam me leng de. Oppgave 1.91 Vi har gitt punk tet A(, 1) og de to vek to re ne A = [, 1] og AD = [1, ]. D 4 AD 1 x A A 4 y a) Forklar hvorfor punktene A, og D kan være tre av hjør ne ne i en rom be. b) Finn koordinatene til punk tet C slik at firkanten ACD blir en rom be. Oppgave 1.9 I firkanten ACD er hjør ne ne A(, ), (, 0), C(, ) og D( 6, 0). a) Finn leng den av si de ne i firkanten. b) Finn leng den av dia gonalene. c) Hva slags fir kant er ACD? Oppgave 1.9 I AC er A(, 0), (6, 0) og C ( 4, ). a) Finn leng den av si de ne i tre kan ten. b) Hva slags tre kant er AC? LANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.00 Vektorene = [, 0] og = [, ] er gitt. a) Finn ved reg ning. b) Finn ved teg ning. c) Finn ved teg ning. Oppgave 1.01 Punktene (, 0) og C(0, 4) er to av hjørnene i en likebeint trekant AC der hjørnet A lig ger på x-ak sen og A = C. a) Tegn trekanten og finn koordinatene til punk tet A. b) Finn A, C og AC. Oppgave 1.0 I parallellogrammet ACD set ter vi A = og AD =. Midt punk tet på AD kal ler vi M. Videre er punktene P og Q be stemt ved at AP = 4 a og MQ = +. a) Tegn parallellogrammet sammen med punktene M, P og Q. b) La N være midt punk tet på C. Finn be lig gen he ten til et punkt R som er slik at NR = NP. c) Finn AR ut trykt ved og. Oppgave 1.0 a) Vektorene og er gitt. Tegn inn en vek tor c slik at + + c = 0 b) Punktene A(1, ), (t, 5) og C(x, y) er gitt. 1) e stem t slik at A = 5. ) Hvor må punk tet C lig ge hvis AC = 5? 161

11 Oppgave 1.04 Punktene A( 1, ), (1, ), C(, 4) og D(1, 5) er gitt. Vis at ACD er et pa ral lel lo gram. Oppgave 1.05 Ola skal ro fra A til. Avstanden mellom punktene er 60 m. A Elva ren ner mot høy re med far ten 0,5 m/s, og Ola ror med far ten m/s fra A mot. a) Hvor lang tid bru ker Ola på å ro over elva? b) Hvor langt fra vil Ola kom me hvis han ikke tar hen syn til strøm men i vannet? c) Finn far ten til bå ten til Ola der som han ror vin kel rett på strøm men. d) Finn det punk tet C som Ola må sik te mot hvis han skal tref fe punk tet. Oppgave 1.06 a) Sett av to punk ter A og på x-ak sen. Marker det punktet P mellom A og som de ler A i for hol det 1 :, dvs. slik at AP : P = 1 :. Les av koordina ten til P. Gjør det sam me med and re par A og av punk ter. Ser du noen sammenheng mel lom koordi naten til P og koordinatene til A og? b) Kall koordinaten til A for x 1 og koordinaten til for x. Skriv opp det ut tryk ket du tror gjel der for koordina ten til punk tet P som de ler A i for hol det 1 :. e vis at ut tryk ket er riktig ved å regne ut koordinatene til vektoren OP når O er ori go. Oppgave 1.07 a) Sett av to punk ter A og i et koordinatsystem. Marker midtpunktet M på linjestykket A og les av koordi natene til M. Gjør det sam me med and re linjestykker A og midtpunkter M. Ser du noen sam menheng mellom koordinatene til M og koordinatene til A og? b) Kall koordinatene til A for (x 1, y 1 ) og koordinatene til for (x, y ). Skriv opp det ut tryk ket du tror gjelder for koordinatene til midtpunktet M på A. ruk vektorregning til å bevise at ut tryk ket er rik tig. Oppgave 1.08 a) Sett av to punk ter A og i et koordinatsystem. Marker det punktet P på linjestykket A som de ler linjestykket i for hol det 1 :, dvs. at AP : P = 1 :. Les av ko or di na te ne til de lingspunktet P. Gjør det sam me med and re linjestykker A og punk ter P som de ler A i for hol det 1 :. Ser du noen sam men heng mel lom koordinatene til P og koordinatene til A og? b) Kall koordinatene til A for (x 1, y 1 ) og koordinatene til for (x, y ). Skriv opp det ut tryk ket du tror gjel der for koordinatene til punktet P som de ler A i for hol det 1 :. ruk vektorregning til å be vise at uttrykket er rik tig. 16 Sinus T > Vektorer

12 Oppgave 1.09 I AC set ter vi A = og AC =. Punktene M 1, M og M er midtpunkte ne på de tre si de ne i tre kan ten slik figuren viser. A M C M 1 M Finn mest mu lig ut om M 1 M M i forhold til AC. Oppgave 1.11 I et tra pes ACD er A =, AD = og DC =. Videre plasserer vi to 5 punkter P og Q slik at P = C og AQ = 7 a 5. a) Finn AC, D og C ut trykt ved og. b) Finn AP ut trykt ved og. c) Finn PQ ut trykt ved og. Oppgave 1.1 I AC er A(1, ), (, 0) og C(, 4). Hva slags tre kant er AC? Oppgave 1.10 Finn koordinatene til og når og + = [, 1] = [4, ] 16

13 FASIT oppgavedel b) er gal c) er gal I oppgavene a og c kan vi bruke ekvivalenstegn a) b) c) 1.10 a), d, g, j og, c, f, i b) = d = g og = c = i 1.11 a) Skalar b) Vektor c) Skalar d) Vektor e) Skalar f) Skalar 1.1 a) A = C = ED b) AE = D c) E = CD 1.1 A = DC, AD = C, DA = C, AE = EC, EA = CE, E = ED og DE = E 1.1 a) AD 1.14 a) AC b) E b) AD c) CE a) 1 b) c) 0 d) 1.15 a) 5 4 b) 5 c) 1.15 b) c) 10 d) Trapes b) AM = c) M = + d) CN = b) AP = + c) AQ = = [, ], = [, ], c = [0, 4] b) (1, 6), (, 5), (, ), (, ) 1.16 b) [1, ], [, 0], [, 5] 1.16 a) (4, 4) b) (, 7) c) (7, ) a) x = 0, y = 4 b) x =, y = a) [ 1, ], [1, 0], [4, 1] b) [, ] a) p = [4, 6], q = [, ] b) [1, 4] c) [8, 7] 1.17 a) [8, 0] b) [5, 10] c) [, 10] d) [, 11] a) A = [ 1, ], C = [1, 4], AC = [0, ] b) C = [ 1, 4], A = [1, ] b) A = [5, ], AC = [, 5], C = [, ] 1.18 b) A = [, 1], C = [1, ] CD = [, 1], DA = [ 1, ] c) AC = [4, ], D = [, 4] d) Kvadrat a) 5 b) c) 10 d) a) 1 b) c) d) x + y 1.19 a) 5 b) a) 5 b) 10 c) d) 1.10 a) Riktig b) Gal c) Riktig 1.11 a) b) c) d) 1.1 a) b) c) d) 1.0 a) 1) ED ) FD b) 1) 5 ) ) Ingen 1.1 a) N, CO og DP b) O og CP c) K, CL, EN, FO og GP d) H, EK, FL, IO og JP e) L, OE og PF f) Ingen a) 0 b) XV 1.51 b) 5 c) AD

14 1.5 a) _ 6 b) 9 u 5 v 1.60 b) (1, ), (0, 0), (, ) 1.61 b) A = DC = [, ] C = AD = [, 5] c) AC = [5, ], CD = [, ] d) Parallellogram 1.6 b) A = [, ], C = [4, 6] c) (, 5) 1.6 a) x = ± og y = 0 b) x = ±1 og y = 1.70 a) [ 4, 7] b) [5, 7] c) [8, 5] d) [0, 18t] 1.71 a) x = 1, y = b) s = 1, t = a) x = [ 1, 5] c) x = [ 4, 8] 1.7 1) = [, 1] ) = [6, 0] b) x = [1, ] ) = [0, 4] 1.80 a) A = [, ] CD = [ 6, ] 1 C + A = 4 [ 9 4, 1 4 ] b) x = 1, y = 1.81 b) (, ) 1.8 (1, 1) 1.90 t = ± 1.91 a) A = AD b) C(, ) 1.9 a) A = C = AD = DC = 5 b) AC = 6, D = 8 c) Rombe 1.9 a) A = C = AC = 4 b) Likesidet trekant 1.00 a) [5, ] b) [5, ] c) [, 1] 1.01 a) A(, 0) b) A = [5, 0], C = [, 4], AC = [, 4] 1.0 c) AR = 1.0 b) 1) t = eller t = 5 ) C må ligge på sirkelen med sentrum i A(1, ) og radius a) 0 s = 0,5 min b) 15 m til høyre for c),06 m/s d) 15,5 m til venstre for 1.06 b) x 1 + x 1.07 b) M ( x 1 + x y 1 + y, ) 1.08 b) P ( x 1 + x, y 1 + y ) 1.09 M 1 M M er formlik med AC og har halvparten så lange sider = [, ], = [ 1, ] 1.11 a) AC = 5 + D = + C = 5 + b) AP = 7 5 c) PQ = _ A = AC, likebeint trekant.110 a) Parallelle b) Ikke parallelle c) Parallelle d) Ikke parallelle.111 a) x = 6 b) x = c) x = d) x = 6 5 e) x = 8 eller x = 8.11 a) A = [, 1], AC = [6, ] b) Ja, de ligger på samme linje..11 a) A = [, 4], AC = [9, 9] b) Nei, de ligger ikke på samme linje..10 a) 5,7 b) 4 c) 0.11 a) 17, b) 14,1 c) 0.1 4,9.1 a) 10,6 kj b) 7,50 kj c) 5,1 kj.10 a) 8 b) 1 c) 8 d) t 1.11 a) p q = 10 c) q r = 0 b) p r = 0.1 a) x = b) x = 1 4 c) x = d) x = eller x = 09

15 .14 a) 1) = 11, = 5, = 4 ),5 b) 1) = 1, = 1, = 5 ) 97,1.140 a) A = [, 1], AC = [1, ], A AC = 0 b) A = AC = 5 c) En rettvinklet, likebeint trekant.141 b) A = [, 1], AC = [ 1, 4] c) 7 d) A = 10, AC = 17 e) 57,5.14 a) A = [, 4], AC = [, 1] b) 0 c) A = 5, AC = 5 d) b) l : { x = 1 + t y = + t c) (, 0) d) (0, ).151 b) l : { x = + t y = 4 t c) (, 0) d) (0, ).15 b) (0, 0) c) (0, 0).15 b) (, 0) c) (0, ).160 a) t x y b) x aksen: ( 1, 0) og (, 0) y aksen: (0, ).161 a) t x y d) x aksen: ( 1, 0) y aksen: (0, 1) og (0, 1).170 a) (, 1).171 a) l : { x = 1 + t y = 5 t b) m : { x = 1 + s y = s c) (, 1).17 a) l : { x = + t y = 1 t b) m : { x = + t y = t c) ( 1, ).10 a) Parallelle b) Ikke parallelle c) Ikke parallelle.11 a) t = ± b) t = c) Alle t R.1 a) Ikke på samme linje b) t = 11.1 a) A = [4, ], D = [, 6] b) For eksempel er A = DC. c) (, 4 ) d) Parallelle.0 a) 1 b) 1 c) 8.1 a) 4,9 kj b) F x = 491 N, F y = 44 N c) 4,9 kj, 0 J d),5 kj. b) 1 c) 56, d) 4 e) 6. a) =, = b) = 5, = 5.0 a) 60 b) A = CD, de er parallelle c) t =.1 k =. a) k = 7 b) k = eller k = 5 c) k = ±4 d) k = 10 eller k = 6 e) k = ± eller k = 0. a) 4 b) 99,, 80,8.4 c) [b, a] og [ b, a].40 a) ( 0, 9 5 ) b) ( 7 5, 0 ).41 a) A = [ 5, 5 ], A = 5 5 c) y = 6 d) 6,4.4 A = 17,, = 9,9, C =,8.4 a) (4, 0) c) [ 4, ], C = 4, = 5,4.50 b) l : { x y = = t t c) x = 5 d) y = 5.51 a) F.eks. l : { y x = = t tsssssss + 1 b) F.eks. l : { x = tssss y = + t 10

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13

Innhold. Ka pit tel 1 Inn led ning Barn og sam funn Bo kas opp byg ning... 13 Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning... 11 Barn og sam funn... 11 Bo kas opp byg ning... 13 Ka pit tel 2 So sia li se rings pro ses sen... 15 For hol det mel lom sam funn, kul tur og so sia li se ring...

Detaljer

1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer

1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Innhold Del 1 Forutsetninger og betingelser............................. 15 1 Forutsetninger og rammebetingelser for fleksible organisasjonsformer Rune Assmann og Tore Hil le stad............................

Detaljer

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15

Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 InnholD bak grunn... 11 h E n s i k t... 12 inn hold... 12 mo ti va sjon og takk... 13 Del I InDustrIutvIklIng: en fortelling om fornyelsen av luftfart... 15 o p p h E v E l s E n av t y n g d E k r a

Detaljer

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE

8 ØKONOMISTYRING FOR LØM-FAGENE Innhold Ka pit tel 1 Etablering, drift og avvikling av virksomhet...................... 13 1.1 Ut meis ling av for ret nings ide en i en for ret nings plan................13 1.2 Valg mel lom en kelt per

Detaljer

1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser

1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Innhold 1 Vår onn med nye mu lig he ter. Ver di ska ping på vest lands byg de ne ba sert på res sur ser og opp le vel ser Gre te Rus ten, Leif E. Hem og Nina M. Iver sen 13 Po ten sia let i uli ke mål

Detaljer

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?...

Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16. For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva er så ef fek tiv HR?... Innhold Ka pit tel 1 Inn led ning...13 Bo kens inn hold og opp byg ning...16 Del 1 HR som kil de til lønn som het... 21 Ka pit tel 2 For plik tel ses ba sert ver sus kon troll ori en tert HR... 23 Hva

Detaljer

for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne 8 1 Algebra Mål for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne faktorisere po ly no mer ved hjelp av null punk ter og polynomdivisjon, og bru ke det te til å løse lik nin ger og ulik he ter med polynomer

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Innhold. Del I Selbukollektivets historie sett fra leders perspektiv Fakta Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?...

Innhold. Del I Selbukollektivets historie sett fra leders perspektiv Fakta Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?... Innhold Fakta...15 Men nes ket bak ru sen ser vi hen ne og ham?...17 Inger Granby Unge rusmiddelavhengige bærere av en sammensatt problematikk...17 Rus re for men av 2004 et skritt fram el ler to til ba

Detaljer

PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER

PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER 32 PRISSTRATEGIER HOS NORSKE BEDRIFTER RAGN HILD SIL KO SET før s te ama nu en sis dr.oecon, In sti tutt for mar keds fø ring, Han dels høy sko len BI PRIS OG BESLUTNINGER I BEDRIFTER Pris har til dels

Detaljer

Trom sø/stav an ger/oslo, ja nu ar 2012 Nils As bjørn Eng stad Ast rid Lær dal Frø seth Bård Tøn der

Trom sø/stav an ger/oslo, ja nu ar 2012 Nils As bjørn Eng stad Ast rid Lær dal Frø seth Bård Tøn der Forord Det er i år 100 år si den Den nor ske Dom mer for en ing ble stif tet. Stif tel sen fant sted 4. mai 1912 på et møte der det del tok 24 domme re. De nær me re om sten dig he ter om kring stif tel

Detaljer

Le del se i teo ri og prak sis er et stort og sam men satt fag felt der norske og nordiske forskere har gjort seg stadig mer bemerket både nasjonalt og internasjonalt. Samtidig er lederlønn, lederutvikling,

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

www.handball.no Spil le reg ler

www.handball.no Spil le reg ler www.handball.no Spil le reg ler Ut ga ve: 1. juli 2010 Copyright NHF 2010 Innholdsfortegnelse FOR ORD 3 Re gel 1 Spil le ba nen 4 Re gel 2 Spil le ti den, slutt sig na let og ti me out 9 Re gel 3 Bal len

Detaljer

LIVSSTIL. Kamillepuls. Villa Fredbo: Line Evensen har en oase av et ba de væ rel se i sitt hjem Villa Fredbo på Nesodden.

LIVSSTIL. Kamillepuls. Villa Fredbo: Line Evensen har en oase av et ba de væ rel se i sitt hjem Villa Fredbo på Nesodden. LIVSSTIL HVEM: Line Evensen BOR: I en sveit ser vil la fra 1875 på Nesodden utenfor Oslo. FAMILIE: De tre bar na Agaton Sofus (7), Oliam Cornelius (10) og Emil (26), kjæ res ten Bosse og hans to barn,

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om?

De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om? [start kap] De mo kra tisk med bor ger skap hva hand ler boka om? Kjell Lars Ber ge og Ja nic ke Hel dal Stray De mo kra tisk med bor ger skap i sko len? De mo kra ti er van ske lig, selv for et gjen nom

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Innhold. 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13. 2 Å lære i og av na tu ren... 29. 3 Cel len og livs pro ses se ne...

Innhold. 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13. 2 Å lære i og av na tu ren... 29. 3 Cel len og livs pro ses se ne... Innhold 1 Biologi på barnetrinnet. Hvordan få til et godt møte?... 13 Læring med forståelse... 13 Nærkontakt med liv... 14 Varierte arbeidsmåter i biologi... 15 Forskerspiren og utforskende arbeidsmåter...

Detaljer

Mot kref te nes sis te kram pe trek nin ger?

Mot kref te nes sis te kram pe trek nin ger? De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning, til hel se po li

Detaljer

BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV

BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV 24 FAGARTIKLER MAGMA 0409 BESKYTTELSE MOT «UØNSKET MARKEDSFØRING» ETTER NY MARKEDSFØRINGSLOV MO NI CA VI KEN er cand.jur. fra Uni ver si te tet i Oslo. Hun er før s te lek tor og Associate Dean ved Han

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

Man dals ord fø re rens for ord

Man dals ord fø re rens for ord Man dals ord fø re rens for ord Man dal blir ofte om talt som den lil le byen med de sto re kunst ner ne. Noen av de kunst ner ne vi ten ker på, er nett opp de fem kunst ner ne som blir om talt i den ne

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

Svar oss på dette! Før stor tings val get 2009

Svar oss på dette! Før stor tings val get 2009 Re por ta sje Før stor tings val get 2009 Svar oss på dette! For ri ge må ned ble par ti le der ne ut ford ret på hva de men te om psy kisk hel se i sko le ne, rus og pa pir lø se mi gran ter. I den ne

Detaljer

Oppfattet servicekvalitet. Oppfattet service. Forventet service. Organisasjonsimage. Teknisk kvalitet (Hva?) Funksjonell kvalitet (Hvordan?

Oppfattet servicekvalitet. Oppfattet service. Forventet service. Organisasjonsimage. Teknisk kvalitet (Hva?) Funksjonell kvalitet (Hvordan? lingen i kjøper selger-relasjonen oppleves. Denne delen av kvaliteten er knyttet til prosessen og samhandlingen, og illustrerer hvordan verdiene blir fremstilt i samhandlingen og møtet mellom kundene og

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

In tro duk sjon. Ing rid Helg øy og Ja cob Aars

In tro duk sjon. Ing rid Helg øy og Ja cob Aars In tro duk sjon Ing rid Helg øy og Ja cob Aars I den ne bo ken ret ter vi opp merk som he ten mot hvor dan ut for ming av po litisk-ad mi nist ra ti ve in sti tu sjo ner får kon se kven ser for myn dig

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Bjerkreim kyrkje 175 år. Takksemd. Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton

Bjerkreim kyrkje 175 år. Takksemd. Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton Bjerkreim kyrkje 175 år Takksemd Tekster av Trygve Bjerkrheim Musikk av Tim Rishton Takk for det liv du gav oss, Gud 5 5 Takk for det liv du gav oss, Gud, Hi-mlen som hvel - ver seg 5 5 9 9 o - ver! Takk

Detaljer

Talsmann. QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen. Geir Strand hjalp Sigrids familie.

Talsmann. QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen. Geir Strand hjalp Sigrids familie. UTGITT AV NORSK JOURNALISTLAG 14 2012 21. SEPTEMBER 96. ÅRGANG B-blad Talsmann Geir Strand hjalp Sigrids familie. FOTO: martin huseby jensen Side 6-10 QUICK: Dagbladet betalte PROFIL: Tonje Sagstuen Geir

Detaljer

Juss og re to rikk inn led ning

Juss og re to rikk inn led ning At ret ten er re to risk, er gam melt nytt. I vår tid er det te li ke vel gått i glemme bo ken. Med gjen nom brud det av det mo der ne var det for nuf ten og viten ska pen som gjaldt, og det har pre get

Detaljer

BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN

BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN MAGMA 0409 FAGARTIKLER 45 BE TYD NIN GEN AV SØM LØS HET FOR LO JA LI TET TIL NETT KA NA LEN PEDER INGE FURSETH er dr.polit. og førsteamanuensis ved Institutt for innovasjon og økonomisk organisering, Handelshøyskolen

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Vir vel vin den fra Vika. Di vi sjons di rek tør Arne Hol te

Vir vel vin den fra Vika. Di vi sjons di rek tør Arne Hol te In ter vju FOTO: Marie Lind Di vi sjons di rek tør Arne Hol te Vir vel vin den fra Vika 329 333 Han er en ekte Oslo-gutt, men som psy ko lo gi pro fes sor og helseaktør har han satt spor over hele lan

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk Henriette Sinding Aasen og Nanna Kildal

Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk Henriette Sinding Aasen og Nanna Kildal Innhold Kapittel 1 Fra retts stat til vel ferds stat: over sikt over bo kens te ma tikk... 13 og Nanna Kildal Kapittel 2 Sentrale begreper, utviklingslinjer og teoretiske perspektiver... 17 Utviklingslinje

Detaljer

Sangere. Mannen i songen. Kantate for mannskor, guttesopraner og klaver. Komponert til Verdal mannskor sitt 100-årsjubileum i 2013

Sangere. Mannen i songen. Kantate for mannskor, guttesopraner og klaver. Komponert til Verdal mannskor sitt 100-årsjubileum i 2013 Sangere Kantate or mannskor, guttesoraner og klaver Komonert til erdal mannskor sitt 100-årsubileum i 201 Musikk: Asgeir Skrove Tekst: Arnul Haga Musikk: Asgeir Skrove Kantate or mannskor, guttesoraner

Detaljer

Innhold. Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17. Kapittel 2 Psy ko lo gisk ald ring... 25

Innhold. Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17. Kapittel 2 Psy ko lo gisk ald ring... 25 Innhold Kapittel 1 Bio lo gisk ald ring... 17 Av Olav Slet vold og Ha rald A. Ny gaard Le ve al der... 17 Ge ne relt om teo ri er for ald ring... 17 Ald rings teo ri er... 18 Livs l pet som per spek tiv

Detaljer

Innledning...15 Bakgrunnen for boken...15 Begreper og øvrige tilnærminger...20 Kort resymé av bokens innhold...23

Innledning...15 Bakgrunnen for boken...15 Begreper og øvrige tilnærminger...20 Kort resymé av bokens innhold...23 Innhold Innledning...15 Bakgrunnen for boken...15 Begreper og øvrige tilnærminger...20 Kort resymé av bokens innhold...23 Kapittel 1 Pedagogiske ledere og det faglige arbeidet i barnehagen...25 Pedagogiske

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Forfatterens forord til den norske utgaven

Forfatterens forord til den norske utgaven Forfatterens forord til den norske utgaven 6 Klart lederskap J eg er svært glad for at denne boken nå utgis på norsk. Norge er et land med sterke tradisjoner for samarbeid innen ledelse og organisasjon.

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

INNHALD STADBASERT LÆ RING... 19 FORTELJINGA OM AURLANDSMODELLEN

INNHALD STADBASERT LÆ RING... 19 FORTELJINGA OM AURLANDSMODELLEN INNHALD KAPITTEL 1 INNLEIING... 13 Læ ring og berekraftig sam funns ut vik ling... 13 Miljødimensjonen og den generelle læreplanen... 14 Struk tur og innhald i boka... 15 DEL 1 STADBASERT LÆ RING... 19

Detaljer

konstruksjon ikke bare at menneskelige krefter skaper ste der, men også at de so sia le struk tu re ne på bestem te ste der er med på å ska pe men

konstruksjon ikke bare at menneskelige krefter skaper ste der, men også at de so sia le struk tu re ne på bestem te ste der er med på å ska pe men Forord Vi be fin ner oss all tid et sted. Sted er ikke noe som kom mer i til legg til ek si sten sen. Sted er ikke bare en be stemt plass i ver den der vi kan be fin ne oss. Sted er sel ve må ten vi be

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

w VTenor 2 ú ú ú ø ø ú ú

w VTenor 2 ú ú ú ø ø ú ú Ter 1 E ggodt hu E ggodt hu VTer 1 2H 2 V H mel. ANCHORS AWEIGH H Komm Sange kom m mot to kom mot m to L san ge all L tid L san ge all tid mel. 2H E ggodt hu kom m mot to san ge all L tid Ter 1 2H kom

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

FORDRER DET NOE SPESIELT Å LEDE EN SAMFUNNSANSVARLIG BEDRIFT?

FORDRER DET NOE SPESIELT Å LEDE EN SAMFUNNSANSVARLIG BEDRIFT? 22 FAGARTIKLER MAGMA 0209 FORDRER DET NOE SPESIELT Å LEDE EN SAMFUNNSANSVARLIG BEDRIFT? Au ten tisk le del se og sam funns an svar CA RO LI NE DALE DIT LEV-SI MON SEN er utdannet Siviløkonom og har en

Detaljer

Roth Gatevarmesystem. Prosjekterings- og mon te rings vei l ed ning

Roth Gatevarmesystem. Prosjekterings- og mon te rings vei l ed ning Roth Gatevarmesystem Prosjekterings- og mon te rings vei l ed ning Innhold side Roth SnowFlex 3 Fordeler i PEH 4 Fordeler i messing 4 Styring og regulering 4 Økonomi 4 Dimensjonering 5 Prinsippskisse 5

Detaljer

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså

Detaljer

FOR ORD TIL SIV FØRDES BOK

FOR ORD TIL SIV FØRDES BOK AV PROFESSOR DR. MED. PER FUGELLI I Ot ta wa-char te ret om hel se frem men de ar beid he ter det: «Health is created and lived by peop le with in the set tings of their everyday life; where they learn,

Detaljer

Det vik ti ge første pro ble met i prak tisk po si sjo ne ring

Det vik ti ge første pro ble met i prak tisk po si sjo ne ring MAGMA 0110 fagartikler 55 Det vik ti ge første pro ble met i prak tisk po si sjo ne ring Lars Erling Olsen er førstelektor ved Markedshøyskolen. Han er siviløkonom og MBA fra NHH og arbeider med en doktoravhandling

Detaljer

Del 1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene. og ( 3, 5) b) En rett linje l går gjennom punktene A ( 1, 2)

Del 1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene. og ( 3, 5) b) En rett linje l går gjennom punktene A ( 1, 2) el Oppgave a) eriver funksjonene ) f( ) = 3 e ) h( ) = ln b) En rett linje l går gjennom punktene (, ) og ( 3, 7) ) Sett opp en parameterframstilling for linja l ) Finn skjæringspunktene mellom l og koordinataksene

Detaljer

skri ve for ord. Han ga en ut før lig skrift lig be grun nel se for dette. Den ne be grun nel sen gjen gir vi her et ter av ta le med Tran øy.

skri ve for ord. Han ga en ut før lig skrift lig be grun nel se for dette. Den ne be grun nel sen gjen gir vi her et ter av ta le med Tran øy. FOR LA GETS FOR ORD Den dan ske bo ken Jæ ger ble møtt med krav om for bud da den ut kom for et par må ne der si den. Det dan ske for sva ret men te de ler av bo ken var ska de lig for dan ske sol da ter

Detaljer

Oppmerksomhet... 26 Emosjon og emosjonsregulering... 28 Relasjonen mellom emosjonsregulering og oppmerksomhet 36

Oppmerksomhet... 26 Emosjon og emosjonsregulering... 28 Relasjonen mellom emosjonsregulering og oppmerksomhet 36 Innhold Kapittel 1 Innledning.............................................................. 15 Karl Ja cob sen og Bir git Svend sen Kapittel 2 Kunnskap om oppmerksomhet og emosjonsregulering 25 Karl Jacobsen

Detaljer

Da ver den ras te sam men

Da ver den ras te sam men 1940 1945 Be ret nin ger om krigsbarndom Da ver den ras te sam men 21 25 På min ni års dag ble far tatt av na zis te ne som gis sel for min bror. Med ham for svant den tryg ge vok sen ver de nen. Mor lev

Detaljer

Ikke-norske nasjonaliteter i petroleumsvirksomheten?

Ikke-norske nasjonaliteter i petroleumsvirksomheten? MAGMA 313 fagartikler 5 Ikke-norske nasjonaliteter i petroleumsvirksomheten? Laila Potoku Ansatt i Dovre, har utdanningspermisjon for å ta en mastergrad innenfor Organisasjon og ledelse. Har års arbeidserfaring

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

Høy sko le lek tor II, ad vo kat Gun nar Kas per sen Fri stil ling av ar beids ta ke re mo te ord el ler ju ri disk be grep?...

Høy sko le lek tor II, ad vo kat Gun nar Kas per sen Fri stil ling av ar beids ta ke re mo te ord el ler ju ri disk be grep?... Innhold Sti pen diat Kari Bir ke land Re vi sors rol le et ter regn skaps lo ven 3-3b fore taks sty ring i års be ret nin gen... 16 1 Inn led ning... 16 2 Kort om kra ve ne til re de gjø rel se om fore

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt for samfunnsøkonomi, Norges Handelshøyskole (NHH). Hun er ph.d. fra NHH (2008).

Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt for samfunnsøkonomi, Norges Handelshøyskole (NHH). Hun er ph.d. fra NHH (2008). MAGMA 512 fagartikler 45 Et valg i blinde? F Norske ungdommers kjennskap til ulikheter i arbeidsmarkedet før de gjør sine utdanningsvalg Ing vild Alm ås er førsteamanuensis i samfunnsøkonomi ved Institutt

Detaljer

Hvordan nasjonal opprinnelse

Hvordan nasjonal opprinnelse 50 Bør leverandører bruke sin norske opprinnelse i markedsføringen? Erik B. Nes har PhD fra University of Wisconsin Madison. Han er 1.amanuensis i markedsføring og associate dean ved Handelshøyskolen BI.

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

Areal av polygoner med GeoGebra

Areal av polygoner med GeoGebra 1. Vi starter med å lage forskjellige rektangler og kvadrater med følgende arealer: 1 rute, 2 ruter, 3 ruter, 4 ruter, 5 ruter, 6 ruter, 7 ruter, 8 ruter, 9 ruter og 10 ruter 2. Tegn så mange ulike figurer

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034 10 b) Løs likningen x + 6x = 16 c) Løs ulikheten x x> 0 d) På tallinjen ovenfor har vi merket av 1 punkter. Hvert

Detaljer

Bru ker med virk ning i ut dan nin gen. Hvis bru kerne fikk be stem me, vil le

Bru ker med virk ning i ut dan nin gen. Hvis bru kerne fikk be stem me, vil le Re por ta sje Ill.: YAY MICRO/Arne Olav L. Hageberg Hvis bru kerne fikk be stem me BAKGRUNN Bru ker med virk ning i ut dan nin gen Bru ker med virk ning er en lov fes tet ret tig het, og ikke noe tje nes

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2011

Eksamen 1T, Våren 2011 Eksamen 1T, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Liv laga i Lær dal? og det er in gen bom be at hem se døler

Liv laga i Lær dal? og det er in gen bom be at hem se døler Med tørr flue i fordums De sagn om sus te stam me ne av stor vokst laks og sjø ør ret i Lærdal sli ter tungt un der gy rosmit te og oppdrettslus. Men det ny åp ne de flue fis ket på brunør ret gir tro

Detaljer

HEROISK HR PRAGMATISKE PRAKTIKERE

HEROISK HR PRAGMATISKE PRAKTIKERE 44 HEROISK HR PRAGMATISKE PRAKTIKERE Hvor dan HR kan bi dra til bed re re sul ta ter SVEIN S. AN DER SEN er professor i organisasjonsstudier ved handelshøyskolen BI, og professor II på Senter for Trening

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum

Detaljer

Ak tiv døds hjelp en sis te ut vei 782 784

Ak tiv døds hjelp en sis te ut vei 782 784 De batt og kom men tar Engasjert? Vær med å bi dra til ut vik lin gen av norsk psy ko lo gi. Tids skrif tet øns ker de batt om alt fra me to der, ideo lo gi, fag etikk, og ut dan ning til hel se po li

Detaljer

Møte med et «løvetannbarn»

Møte med et «løvetannbarn» 1940 1945 Beretninger om krigsbarndom H. Hjor BAR NE HJEM: Le ben s- bornbarn i le ke rom met på Kinderheim Godt haab i Bæ rum. Foto: Nor ges Hjem me front mu se um Møte med et «løvetannbarn» 29 33 Vi

Detaljer

Re ha bi li te ring av bygg verk ved li ke holds be gre pet

Re ha bi li te ring av bygg verk ved li ke holds be gre pet Re ha bi li te ring av bygg verk ved li ke holds be gre pet Den skattemessige håndteringen av rehabiliteringer byr på utfordringer både for skattyter, rådgiver, revisor og skatteetaten. Det er derfor på

Detaljer

hva ønsker de ansatte? F

hva ønsker de ansatte? F 32 Ledelse av samfunnsansvar (CSR) hva ønsker de ansatte? F Ca ro li ne D. Dit lev-si mon Sen er ut dan net si vil øko nom og hun har en mas ter grad in nen Ener gy and Environmental Stu dies fra USA og

Detaljer

FagartiklEr teknologi EllEr personlig service: hvordan påvirkes kundenes lojalitet? sammendrag innledning

FagartiklEr teknologi EllEr personlig service: hvordan påvirkes kundenes lojalitet? sammendrag innledning MAGMA 1009 fagartikler 33 Teknologi eller personlig service: Hvordan påvirkes kundenes lojalitet? Line Lervik Olsen er førsteamanuensis ved Handelshøyskolen BI, institutt for markedsføring. Hun har ansvar

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Bokens oppbygning...12. Hvordan og hvorfor ble førskolelærerutdanningen som den ble?...23

Bokens oppbygning...12. Hvordan og hvorfor ble førskolelærerutdanningen som den ble?...23 Innhold Introduksjon...11 Bokens oppbygning...12 Kapittel 1 Profesjonsutdanning en reise...15 En reise...15 Profesjonsutdanning...16 Begynnelse og slutt på reisen?...17 Før sko le læ rer ut dan ne ren...18

Detaljer

Hør sels tap sorg og ak sept, stress og mest ring

Hør sels tap sorg og ak sept, stress og mest ring Fag ar tik kel Ka tha ri ne Ce ci lia Pe ter son Oslo uni ver si tets sy ke hus HF Na sjo nalt sen ter for hør sel og psy kisk hel se Hør sels tap sorg og ak sept, stress og mest ring Er det bare hard

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

næringslivstopper: Kontinuitet eller brudd?

næringslivstopper: Kontinuitet eller brudd? MAGMA 0310 fagartikler 37 Utdanning av norske næringslivstopper: Kontinuitet eller brudd? Rolv Petter Amdam er professor i økonomisk historie, og er tilknyttet Institutt for strategi og logistikk ved Handelshøyskolen

Detaljer

Når den blin de skal lede den døve tol ke bruk i psy kisk helse vern

Når den blin de skal lede den døve tol ke bruk i psy kisk helse vern Fra prak sis Når den blin de skal lede den døve tol ke bruk i psy kisk helse vern Bruk av tolk er en pro blem stil ling som de fles te psy ko lo ger i kli nisk prak sis har blitt el ler kom mer til å bli

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Bokmål Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2007 2008 Første runde 1. november 2007 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet

Detaljer

Å estimere handelsområder uten å følge kundene hjem F

Å estimere handelsområder uten å følge kundene hjem F MAGMA 0312 fagartikler 35 Å estimere handelsområder uten å følge kundene hjem F Auke Hunneman er før s te ama nu en sis i mar keds fø ring ved BI i Oslo. Han har mas ter grad i øko no mi og doktorgrad

Detaljer

bunader_ Vi els ker Hallingbunad fra Nes

bunader_ Vi els ker Hallingbunad fra Nes bunader_ Vi els ker Hallingbunad fra Nes STAKKEN er i sort damask, mens jakken er i vadmel. Det er en åpen trøye med perlebrodert bringeklut festet innenfor livet. Foto: Scandinavian Folklore/Laila Duràn

Detaljer

Vil øke kjennskapen. Nordlyskatedralen var en dris tig drøm og vi sjon. Nå er den blitt til virkelighet.

Vil øke kjennskapen. Nordlyskatedralen var en dris tig drøm og vi sjon. Nå er den blitt til virkelighet. Annonsebilag til Kommunal Rapport Nyheter fra Kommunalbanken Nr. 1-2013 Nordlyskatedralen var en dris tig drøm og vi sjon. Nå er den blitt til virkelighet. Side 4 God dialog mellom administrasjon og politikere

Detaljer