b x = a, og skriver da: x = log b a

Transkript

1 ,! "#$! %&' ( )'#$$* &"! ' $ Lære et sett v gode (og oe få dårlge) lgortmer for å løse kjete prolemer Gjør det mulg å vurdere effektvtete v progrmmer Lære å lge effektve & velstrukturerte progrmsystemer/loteker Lære å løse ethvert vskelg prolem så effektvt som mulg. Også lære oe klsser v prolemer som kke k løses effektvt Eks: Hvor lg td tr det å sortere mllo tll? 6 tmer og m (optmlsert Bolesorterg),4 sek. (Quck-sort),8 sek. (rdx-sort) '$ -. Logrtmer (hr ett grutll, f.eks., e, eller, v ruker lltd ): Defsjo: Logrtme tl et tll er det tll x v må opphøye grutllet for å få dvs: x, og skrver d: x log Når v (INF) ruker, skrver v log ute oe suskrpt Regeregler: log xy log x log y log x/y log x - log y log x log x log log x log x

2 ,. c c c c c c c c log log ) ( ) ( ) ( " ) ( S S ) (... ) ( ) ( Summerer dsse to: S... ( -) S... summe S : Kll : ) (... 4 ) ) : Tre kjete summer... Defsjo : Bevs k l l k l " ) ( - (**) : (*) (**)... med : multplserer (*) (*)... for S) : (kller... Geometrsk rekke : c) S S S S S Bevs /**! ## #) &#$ #$$

3 #) ( /$ "#" ()$$)* "$$$$ *"$/ T : heltll > : Bevs : Vet S : >, > gger så med på egge sder v ' > ' med og får : 7 ( $ $$ $$$4 '5#6'''7'! 8# 9! %* : ' $*$ $$$4! * #$7!$* * :9 ; $... k k... s >, og sde v vet t >, k v ersttte de sste ' '-e medpå høyresde og får : <* * #'* $$#* $' * * 5$ > > som er T 5) #).6 ) Skl vse : ) Bss, rktg for ) Atr 4) V hr d (for v.s : k k > k h.s : ( k ) k > k 5: k ) : k V hr v.s > h.s, ford k V hr å vst stse ford "v k gå opp på første tret på stge"( 5) og lltd gå ett tr tl (fr k tl k, > 4 for vlkårlg k > 4 k > k > 5, > 5 > k, k > 4 (dette k du evt. selv vse pr. duksjo, me v hr jo ettopp vst dette postvt for k > ) 5 k for lle verder v k) &$ 8$ # )$#$$ $$'! &#6 $!$ *#$$#, *#694 4 &6')$#:7 #6

4 #$$ /#*$,6 ;#$$$$$ $$$#$* $! ;#$$$$$'#* 6 ' ' 7 ' '' #$$! #* $$$ ##)6 $6: 7 9 $$ #$$ ' ' 7 ' ''!* /$$ * ;$$'# * 5$$4 #$# $# *# $' ## '! Hvor lg td ruker: A) Ekel for-løkke for (t ; < ; ) [] [--]; B) Doel for-løkke for (t ; < ; ) for (t j ; j < ; j) [] [-j-]; (Td mllsek.) : %!,$ 4!;$ ? ( T flse) ( T true) Progrm: se mport jv.utl.*; pulc clss Ttd // åde mulg å ruke fr 'm' og v suklsse { log td ; Ttd(t ) { td System.curretTmeMlls(); ruk(); td System.curretTmeMlls() - td; System.out.prtl("Td rukt: " td " mllsekuder"); vod ruk(t ) { // redeferes suklsse // ed ruk pulc sttc vod m ( Strg[] rgs) { f (rgs.legth < ){ System.out.prtl(" Bruk: \ >jv TTd <>"); else { t ew Iteger(rgs[]).tVlue(); // få prmeter fr lj Ttd t ew Ttd(); // ed m // ed **** clss Ttd ***** mport esyio.*; mport jv.utl.*; pulc clss Lokke exteds Ttd { Lokke(t ) { super(); vod ruk(t ) { for (t k ; k < ; k) for (t j ; j < ; j) ; // ed ruk pulc sttc vod m ( Strg[] rgs) { f (rgs.legth < ){ System.out.prtl(" Bruk: \ >jv Lokke <> "); else { t ew Iteger(rgs[]).tVlue(); // få prmeter fr lj Lokke l ew Lokke(); // ed m // ed **** clss Lokke *****

5 " /$$ < $$$$ $$ <##$ >*?5$, $$ $$ <$# $$! <) ## "$ '$$$ #$# ')#$'#'!,AA "$.6 * $$BC '$ &'<'" $$'/ DA 8#.6 ;$* # $ $#.$$ E#@ " "$'#) < >$$5 BCBC $#6#:FBCG "6 BC B9C':'''. "$ -$$$#5#$ ; BC:B)CH)'* $H' BC* $ BCB)C* $ BC' "$#$#BC $$ )$$ 6 BC B)C'* ) ) $#BC$$#) $$ ##$$$ $# )# <5$$,$$$'$$ H! $$$'$$#!,$ $I 6 $$$ ##BC'$?BC $6"$)''$$. $BC:BBCC'':''. * ###'#5! [ ] : p[ ] : [ ]: $$* $5 $$!

6 ,$ $#' $$$ #.'$$ &<KJ -$$$$$$' #5)5 J$ BOK: HER: Comprle [ ] ew Comprle []; t [ ] ew t []; tmp []; tmp [], f ( tmp.compreto( [j]) < ) { f ( tmp < [j] ) { Legde v : Bole-sort,6 Istkk-sort,7 Hep - sort,66 Shell-sort,65 Tree - sort,7 Legde v : Bole-sort,6 Istkk-sort, Hep - sort,7 Shell-sort,7 Tree - sort,6 Legde v : Bole-sort 46, Istkk-sort,9 Hep - sort,7 Shell-sort,7 (,68 for le4) Tree - sort,6 Legde v : Bole-sort 475, Istkk-sort, Hep - sort 8, Shell-sort, Tree - sort 7, $ #$$$L / $$5 vod ytt(t[], t, t j) { t t []; [][j]; [j] t; vod olesort (t [] ) {t, mx.legth; whle ( < mx ) f ([] > []) { ytt (,, ); f ( > ) -; else { ; // ed olesort Ide: Bytt om oer hvs de som står tl vestre er størst, lr de mste ole vestreover [ ] : [ ] : [ ] : [ ] : ,) $!#6BC4B)C'H) / ;) $.!)5$# "* $-#$- "* $*$ $@'5#$$*#$$ 5!;.!$#$' * $$ '#.!)-

7 $5$. $$!#6 /#!)' 5)$) >* $6 8*) $5' $ $ $! 5#! $5 :!')#* $.5!. vod sertsort(t [] ) {t, t, mx.legth -; for (t k ; k < mx; k) { f ([k] > [k]) { t [k]; k; do{ // gå kover, skyv de dre // og f rktg plss for t [] []; --; whle ( > && [] > t); [] t; // ed sertsort Ide: T ut ut elemet [k] som er mdre e [k]. Skyv elemeter k, k-,... ett hkk tl høyre tl [k] k settes ed for et mdre elemet [ ] : [ ] : [ ] : [ ] : $ "'")" ($$#.# Spesfksjo_: vod Sort (,); // [..] er utdt, [..] er dt -verdee Idt: tll [..-] vlkårlg rekkefølge Utdt: '[ ] '[ ], < < og permutsjo P: < : '[P[]] [] Bevrgskrvet leses: Det fes e rekkefølge P v tllee..-, slk t ved å lese utdt [..] de rekkefølge, er de lk dt [..] Sortert-krvet Bevr holdet v [..-] ( $)#$$##,#$)5 5! #$$ # "# $ %& #' ;$ )$ $!G )$##5#$# # #.$')$#* )6 5$ #.$ #$$$ )$$ M

8 ;' >#. k sortert - Istkk-sorterg (for k,,,...,-:): k f ( [k] > [k] ) Svekker Sortert-krvet tl re å gjelde [..-] Bevrgskrvet eholdes (for hele [..-]) ) T ut det glt plsserte elemetet [] ) F hvor gmle [k] skl plsseres og skyv [..k] ett-hkk-tl- høyre (ødelegger Bevrgskrvet) ) Sett gmle [k] på plss (gjeskper Bevrgskrvet) N vod sertsort ( t [ ] ) { t, t, mx.legth ; for(t k; k < mx; k) f ([k] > [k] ) { t [k]; 4 k; 5 do 6 { [] []; - -; 7 whle ( > && [] > t) 8 [] t; 9 k - sortert Her gjelder Sortert: [.. k] og Bevrt [..-] ) T ut det glt plsserte elemetet [k] ) F hvor gmle [k] skl plsseres og skyv [..k] ett-hkk-tl- høyre (ødelegger Bevrgskrvet) ) Sett gmle [k] på plss (gjeskper Bevrgskrvet) Verfseres flg. spesfksjoee resoemet for termerg v prosedyre 7 " E rry med ett elemet er sortert - dvs. [] er sortert. Løkke-vrte ([..k] er sortert og Bevrt [..-]) gjelder følgelg ved første strt v hovedløkk (lje) ford. t f ( [k] > [k] ) lje : $5. "$5$'$? )$5! lje 5-7: N.B. rekkefølge på kopergee, Ødelegger Bevrt [..-] ford gmle [] overskrves. lje 8: j Gjeoppretter Bevrt [..-] Ett gjeomløp v hovedløkk gjør de sekvese som er sortert ett elemet leger og øker med - dvs. løkkevrte gjelder på toppe ved este gjeomløp ([..k] er sortert og Bevrt [..-]). Prosedyre termerer opplgt år k- og for (..) øker k med hver gg.

9 " $$' Ide: Gjør esseselt stkksorterg lgs [], [-gp] [-gp]... vod ShellSort(t [] ) for gp /, /4,.., og gp, gp {,..,-. Dvs. lle sekveser [] v for (t gp.legth/ ; gp > ; gp gp/) for (t gp ; <.legth ; ) legde../, /4,..., og tl sst f ([] < [-gp] ) { t tmp [], j ; [ ] : do { [j] [j-gp]; j j- gp; [ ] : whle (j > gp && [j-gp] > tmp); gp [j] tmp; [ ] : gp // ed ShellSort [ ] : gp $5" $$. <# #I #*:#5 <#$ #* $$ * BC) #:'*BC#$'$ OA'! &5##'( $# 7!$$ # 8$$$#$#$* )9* #$$!6 ''''7'7'''! &$* $ %& " $$$$'$$ <6,$5* #$$ <" $$.* #*$*: I Legde v : Hep - sort Shell-sort 9 Tree - sort 7 Legde v : ** Hep - sort 455 Shell-sort 57 Tree - sort 4 Legde v : Hep - sort 49 Shell-sort 55 Tree - sort 47

10 " $$ #$$ " $$:$ :'''M'' " $$#:'''''' vod ShellSort(t [] ) { t [] gpvl {,,5,,, 47,, 9, /9, /,/47,/,/,/5,/ ; t gp ; for (t gpid gpvl.legth -; gpid > ; gpid --) { gp gpvl[gpid]; for (t gp ; <.legth ; ) f ([] < [-gp] ) { t tmp [], j ; do { [j] [j-gp]; j j- gp; whle (j > gp && [j-gp] > tmp); // ed [j] tmp; Legde v : Hep - sort 9 Shell-sort 5 Shell -sort 85 Tree - sort 89 Legde v : Hep - sort 79 Shell-sort 4 Shell -sort 75 Tree - sort 875 Legde v :48576 ** Hep - sort 5 Shell-sort 8!! Shell -sort 98 Tree - sort 78 Legde v : 8 9 ** Hep - sort Shell-sort Shell -sort Tree - sort E Fel rot, er kke størst: Ide for Hep &Tre sorterg rotrettet tre rrye:. Rot er største elemet treet (også rot lle sutrær rekursvt). Det er ge ordg mellom vsu og hsu (hvem som er størst). V etrkter holdet v e rry [:-] slk t vsu og hsu tl elemet er : og (Hvs v kke går ut over rrye) Fel ldode, 99 er større e s rot:.., [ ] : , Eks på rktg tre:.., 8 [ ] : , 5 99

11 <)$#!$$6 sttc vod dyttned (t, t ) // Rot er (mulges) felplssert dytt gmmel edover // få y, større oppover { t j *, temp []; whle(j < ) { f ( j < && [j] > [j] ) j; f ([j] > temp) { [] [j]; j; j j*; else rek; [] temp; Før: dyttned (, 5) Etter: sttc vod dyttned (t, t ) { t j *, temp []; whle(j < ) { f ( j < && [j] > [j] ) j; f ([j] > temp) { [] [j]; j; j j*; else rek; [] temp;,##5# V ser t metode strter på sutreet med rot [] og verste tlfelle må flytte det elemetet helt tl ed tl e ldode c. tl [], Avstde er (-) rrye og hver gg doler v j tl j < : dvs. whle-løkk går mks. log(-) gger O(log ) ( dette er det smme som t høyde et ærtre er log()) sttc vod dyttopp (t ) // Bldode på plss er (mulges) felplssert // dytt de oppover mot rot tl hele treet { t j (-)/, temp []; whle( temp > [j] && > ) { [] [j]; j; j (-)/; [] temp; Før: dyttopp (5) Etter: 55,##5 sttc vod dyttopp (t ) // Bldode på plss er (mulges) felplssert // dytt de oppover mot rot tl hele treet { t j (-)/, temp []; whle( temp > [j] && > ) { [] [j]; j; j (-)/; [] temp; V ser t metode strter på det treet med rot [] som går tl og med [], og verste må flytte gmle [] helt opp tl rot [] Avstde er rrye og hver gg hlverer v tl verste fll : dvs. whle-løkk går mks. log() gger O(log ) ford mksmlt er lk og gjeomstlg / ( dette er også et smme som t høyde et ærtre er log())

12 #/P<. / / 6 8# '#?' #5## *'5#! <.6 8#$##'$#!.' # $$6,##'* $BC vod dyttned (t, t ) { // Rot er (mulges) felplssert // Dytt gmmel edover // få y større oppover t j *, temp []; whle(j < ) { f ( j < && [j] > [j] ) j; f ([j] > temp) { [] [j]; j; j j*; else rek; [] temp; // ed dyttned vod treesort( t [] ) { t.legth-; for (t k / ; k > ; k--) dyttned(k,); for (t k ; k > ; k--) { dyttned(,k); ytt (,k); Ide: V hr et ært ordgstre [..k] med største rot. Orde først lle sutrær..få største elemet opp [] og Bytt det med det k te elemetet (k, -,.. ) [ ] : $5. <. ;$68)#??' #'$$#$ $: $! #?# ) 5#: $!:$ "* 5# #BC':'.''' 5#* #!$ #$ "$ $! vod dyttopp(t ) // Bldode på plss er // (mulges) felplssert // Dytt de oppover mot rot { t j (-) /, temp []; whle( temp > [j] && > ) { [] [j]; j; j (-)/; [] temp; // ed dytt Opp vod hepsort( t [] ) { t.legth -; for (t k ; k < ; k) dyttopp(k); ytt(,); for (t k -; k > ; k--) { dyttned(,k); ytt (,k);

13 $5<. "/.68)#??!' #'$$#$ $: $! DA $$#Q. F ett elemet (de dele v) rrye du skl sortere som er omtret mddels stort lt dsse elemetee kll det prt. Del opp rrye tre deler og flytt elemeter slk t: ) små - de som er mdre e prt er tl vestre ) lke - de som hr smme verd som prt er mdte c) store - de som er større, tl høyre små lke store. Gjet pkt. og rekursvt for de små og store områdee hver for seg tl legde v dem er <, og dermed sortert. l s lke små lke store usett vod qucksort ( t [], t l, t r) { t s l-, lke, d; t t, prt [(lr)/]; for ( t l; < r; ) f ( [] prt ) { lke; // ytt om de vestre store t [slke]; // og de ye ([]) [slke] []; [] t; else f ([] < prt) { s; // ytt om syklsk de vestre d slke; // store, de vestre lke og t []; // de ye [] [] [d]; [d] [s]; [s] t; f ( l < s ) qucksort (,l,s); f ( slke < r ) qucksort (,slke,r); r DA". $ Sortert :

14 DA '# 8)$quckSort.$!#' )$!##.$: ) * 8$ $##$ ;*$$$* qucksort,!# ) #!$!* 8$ $##$5 $#$ /).$$ *#5#$* # *)$$$$ 5! #6!9!99!: $! $$####)! $$$$ $ #B$C'B$9!BC* $! DA $)##$ #?5! >$$" *$##$ #A,-(..%%* " * ' vod qucksort ( t [],t l,t r) { t l, jr; t t, prt [(lr)/]; whle ( < j) { whle ([] < prt ) ; whle (prt < [j] ) j--; f ( < j) { t [j]; [j] []; [] t; ; j--; f ( l < j ) { f ( j-l < ) stkksort (,l,j); else qucksort (,l,j); f ( < r ) { f ( r- < ) stkksort (,,r); else qucksort (,,r); // ed qucksort DA # $ 8$)$ $ )DA>'$5 ) $* #$)' 5#$$$ 8$## ###! 6 # ## # $#*#$ DA#$ E#@#$*!'55 )$%5!G ($$#Q6 #$# DA"#$ $ $ #$ -#!#$6 * H: $#$!!$$ * H: $#$9$!$ $# lte lke stor Eksekvergstd - se QuckSort (me hvord?)

15 t kvkkvlg ( t [],t l,t r, t k) // deler [l,r] lte, lk og stor // velger ut det k-største elemetet (k,...,.legth) { t s l-, lke, d; t t, prt [(lr)/];,#. 8$ f (l r) retur [r]; else { for ( t l; < r; ) f ( [] prt ) { lke; t [slke]; [slke] []; [] t; else f ([] < prt) { s; d slke; t []; [] [d]; [d] [s]; [s] t; f ( k -< s ) retur kvkkvlg (,l,s,k); else f ( k -< s lke) retur prt; else retur kvkkvlg (,slke,r,k ); (forts.) f ( k -< s ) retur kvkkvlg (,l,s,k); else f ( k -< s lke) retur prt; else retur kvkkvlg (,slke,r,k ); dvs: / /4 /8... ( ½ ¼ /8...) O() / /4 /8 $.! 8$$ ($$#Q6 8 % * $! 8* * $J# 7 8$##$* %$$ #$J'.$ #7$##$ $#$$'#$. & $#$$ *!5* $'$ $5#E#@'>. $$. $.# Algortme flettesort ( Fl A, Fl B, utfl C) { A.frst; B. frst; whle (! ull &&! ull) f ( < ) { C.wrte (); A.frst; else { C.wte (); B.frst; whle (! ull) { C.wrte (); A.frst; whle (! ull) { C.wrte (); B.frst;

16 8#.#.) ;$* # $ $#.$$ /$$.'# I!,$!'#$6 # :G :GHG99! BC4@!@:BCG BC$$:FB@9CG :GHG99!$$BBCC99G :GH:@G99!R :$$BCG F $ 4!R B#99C:G..G SS #6$'# ) #! $$ "#$" :-! #6"$ *@$$ ##'5#$!' )$$ $6 $6 $9.)! 9 #)'$ :. %$$#$ $%"/ clss BNode { BNode este; t verd; BNode (BNode, t v) { este ; verd v;.. for(t ; <; ) s ew BNode( s, []); s ucketsort( s );... s lst BNode ucketsort ( BNode s ) {t mx ; BNode t s; whle (t! ull) { f (t.vlue >mx ) mx t.vlue; t t.ext; BNode [] lst ew BNode [mx]; BNode t; whle (s! ull) { t s; s s.este; t.este lst[t.verd]; lst[t.verd] t; // lg lste FIFO from LIFO LIFO for (t mx; > ; --) whle (lst[]! ull ) { t lst[]; lst[] t.este; t.este s; s t; retur s; E#@. "5BC*, $$ >## $)5 BC!$'BC$#!$BC$BC

17 // Rdx kostter og kode < 4 elemeter t [] ; sttc t umbt, rmx 4-, mx ; vod rdxsort(t [] ) { // f mx [] for (t ; <.legth; ) f ([] > mx) mx []; f ( mx < rmx) { // for første gg, hvs små/få verder // Treger å re ett sffer som også er mdre whle ( (<<umbt) > mx ) umbt --; umbt ; // wet oe too fr rmx (<< umbt) -; rdxsort(,,, mx); // koper tlke tl hvs svret å er [] f (! ) for (t ; < ; ) [] []; Ett elemet fr[]: t t rmx: umbt umbt ere t [] rdxsort ( t [] fr, t [] tl, t t, t mx ) { t [] t ew t [rmx]; t cumvl, j; // tell opp t hvor mge v hver verd for (t ; < ; ) t[((fr[]>> t) & rmx)]; // Adder opp 't' kkumulerte verder for (t ; < rmx; ) { j t[]; t[] cumvl; cumvl j; // flytt tllee sortert (på dette feltet) tl tl. for (t ; < ; ) tl [ t [ ((fr[]>>t) & rmx) ] ] fr[]; // Hvs mer gje å sortere sorter på este t ter f ( ( << (t umbt)) < mx ) retur rdxsort ( tl, fr, t umbt, mx); else retur tl; /#$E#@ "#* $.) -$BC $#&@:7 7 $#)) $@!$&@! 6 /$$BC #.#:! TBC: $&@! 7 $5$$# 6BC$6$BC!:! ;$ $@!'#@)' $# $! $ E#@$#$* DA' #$* $ <I $* & & ###6 6>U''#'$#* >U "#6'#'U''* U %#/%// $%* /$6 $5#'A'##$# V $L -# ' ''#!) ")* $ V '$# #$#! 7 () / $6 V BBCC'BBCC''#BBCC##

18 '$.) # # 7 "E#@6%##$$$$A.( /$.(/.(/ -. )6/.(//$ Eks: mx 6. Cout Adder tl pekere 4. Lg p : t [] psort ( t [] ) { t.legth; t [] p ew t []; t [] cout ; t loclmx ; t ccumvl, j, for (t ; < ; ) f( loclmx < []) loclmx []; cout ew t[loclmx]; for (t ; < ; ) cout[[]]; for (t ; < loclmx; ) { j cout[]; cout[] ccumvl; ccumvl j; for (t ; < ; ) p[cout[[]]] ; retur p; "$$ /. DA. ##$H. ;$);$$ $# )#. E#@ &' ##! # Tree - sort ,5,97,954,657,46 Bøtte - sort 78 9,8 4,68,5,,6 Rdx - sort ,98,,5,6 PSort ,,,56,88, Quck - sort ,4 6,88,5,75, mllsek Asolutte sortergstder Tree - sort Bøtte - sort Rdx - sort PSort Quck - sort

19 E$$DA <AAI,5,,5,,5, Reltve eksekvergstder (Quck-sort ) Tree - sort Bøtte - sort Rdx - sort PSort Quck - sort Nvå cche KB CPU System uss Nvå cche MB Loklett Dsk Når v kke fer dt ærmeste cche, overføres e cchelje Byte fr sktere tl rskere hukommelse.,5, legde v sortert rry,aa I JA. "* 55E#@ E#@6 // flytt tllee for (t ; < ; ) tl[t[((fr[]>>t) & rmx)]] fr[]; // mke p[] for (t ; < ; ) p[cout[[]]] ; ;)$øaa.$ 4 * (.( /55# $6 for(t ; < ; ) / $#6 [[[ [] ]]] ; "$$6BC: AA.$ /$$# $#BC:$$#.! AA.$##' * AA$'* * *

20 Effect of cchg JA $) 5 Reltve to sme sequetl ccess ( ) 5 5 Numer of elemets (log scle) Sequetl Rdom:WR Rdom:WR Rdom:W4R Rdom:W8R Rdom:W6R $@$# AA.$ $@$#$$$$6 #Q6 -$AA$ 8).7@$# :)! AA.$#5 %# $'AA$.' DA. $.! /* #.$6 Smmelgg mellom Sekvesell utførelse og Rdom hold v [] E'AA.$$I /* #.$6 #E#@6 #$#* "* $E#@.* ##$ #:A7@! "$#6 DA. :! 8$E#@. * #$ #* #$$#* # 5 Reltve executo tme reltve Quck-sort () Cche sortg lgorthms compred Legth of sorted rry (x) Quck PSort-pss PSort - pss Block Rdx

21 >$)* $AA.$ #5'$ $#$*# JA$#'$* $ 5'$'#6 5#$ &$# ($$$#AA$$ #8#$ #@ $$A@ $$#.7@* $# "$AA.$$$# $#$$J &<K! $ &<K!#$# )$$!